（应用数学专业论文）法向lyapunov指数与渐进稳定的吸引子.pdf

法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 中文提要 中文提要 本文主要想借助于法向l y a p u n o v 指数考虑法向非一致双曲与一致双曲 之间的关系，分别在映射和流的情况下对三个不同的问题进行讨论。 我们首先考虑映射作用下的某类单向耦合系统的同步问题，证明了在法 向非一致压缩的情况下同步函数的连续性。 接着考虑低维吸引子的全局吸引性质。如果对任意一个遍历测度，最大 法向l y a p u n o v 指数都小于0 ，则低维吸引子同时也是高维吸引子，这推广 了a s h w i n 等人1 9 9 6 年的结论。另外我们还得到：最大法向l y a p u n o v 指数在 所有遍历不变测度的集合( 该集合未必紧) 上能取到最大值。 最后考虑由流产生的不变子流形在何种条件下具有扰动不变性? 我们 减弱了j o s i c 在2 0 0 0 年给出的条件并得到了同样的结论。 关键词t 法向l y a p u n o v 指数，同步，吸引子，横截稳定性，不变流形，扰动 不变性 作者，徐兰 指导老师：曹永罗 n o r m a l l y a p u n o ve x p o n e n t s a n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea t t r a c t o r sa b s t r a c t n o r m a lb y a p u n o ve x p o n e n t sa n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea t t r a c t o r s a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，w ew a n tt os t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h en o r m a l l yu n i f o r m l y h y p e r b o l i s ma n dt h en o r m a l l yn o n u n i f o r m l yh y p e r b o l i s mm a i n l yb yt h et o o lo fn o r m a l l y a p u n o ve x p o n e n t s w e d i s c u s st h r e ed i f f e r e n tp r o b l e m si nt h ec a s eo ft r a n s f o r m a t i o n s a n df l o w sr e s p e c t i v e l y w e f i r s t l yc o n s i d e rt h es y n c h r o n i z a t i o ni nd i r e c t i o n a l l yc o u p l e ds y s t e m sg e n e r a t e d b ym a p u n d e rt h ea s s u m p t i o no fn o r m a l l yn o n u n i f o r m l yc o n t r a c t i o n ，w ep r o v et h e c o n t i n u o u s i t yo ft h es y n c h r o n i z a t i o nm a p p i n g n e x tw ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ep r o b l e mo nt h eg l o b a la t t r a c t i o n o fl o w e r - d i m e n s i o n a l a t t r a c t o r s ：i ft h el a r g e s tn o r m a ll y a p u n o ve x p o n e n ti sl e s st h a nz e r of o re v e r ye r g o d i c m e a s u r e ，t h e nt h ea t t r a c t o rc o u l db eah i g h e r d i m e n s i o n a lo n e t h i sg e n e r a l i z et h e r e s u l tg i v e nb ya f r a i m o v i c he t ci n1 9 9 6 m o r e o v e r ，w e g e tt h i sp r o p o s i t i o n ：t h el a r g e s t n o r m a ll y a p u n o v e x p o n e n tc a l lo b t a i ni t sm a x i m u m o nt h es e to fa l le r g o d i ci n v a r i a n t m e a s u r e s ( t h i ss e tm a y n o tb ec o m p a c t ) f i n a l l yw es t u d yt h ei n v a r i a n ts u b m a n i f o l d sf o rf l o w s h o wc a ni tp e r s i s tu n d e r p e r t u r b a t i o n s ? h e r ew ee x t e n dt h ec o n d i t i o n sg i v e nb yj o s i ci n2 0 0 0b u tg e tt h es a m e c o n c l u s i o n k e y w o r d s ：n o r m a ll y a p u n o ve x p o n e n t s ，s y n c h r o n i z a t i o n ，a t t r a c t o r s ，t r a n s v e r s es t a - b i l i t y ，i n v a r i a n tm a n i f o l d s ，p e r s i s t e n c eu n d e rp e r t u r b a t i o n s i i w r i t t e nb yx ul a n s u p e r v i s e db yp r o f c a oy o n 酉u o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏少 | 大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 客：塾日期：翟旦生= 生y f 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部，中国社科院文献信：息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：擒二塾日期：丝! 芏! 垡： 导师签名：虹日期：】! 竺竺：竺l f 法向l y a p t t n o v 指数与渐进稳定的吸引子 一引言 第一章引言 在很多情况下( 例如：某些广义同步流形) ，动力系统中的流或映射会产 生不变子流形，且该子流形包含一个混沌的吸引子。出于现实考虑，我们希 望该不变子流形和吸引子能具有一些全局的良好性质，比如；低维吸引子也 能成为高维的吸引子，不变子流形在扰动下还能保持等等，因此需要研究它 在横截方向的性质。比较好的情况是在横截方向具有一致压缩性，即所谓的 法向一致双曲，但是这在实际中并不多见。本文就是想在法向非一致双曲的 情况下讨论上述问题。 在本文的第一章中，我们考虑由映射产生的单向耦合系统的同步问题。 同步的概念是由p u j i s a k a ，y a m a d a p i k o v s k y 【2 】a f r a i m o v i c he t 出 3 】和p e c o r a ， c a r r o l l 【4 】等提出的。在科学和工程学的许多分支中，例如：生物，物理， 通讯等领域，同步都是最基本的非线性现象之一【5 】。广义同步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ) 是同步的基本形式之一，指对于不恒等的耦合子系统，可以 通过函数将驱动系统中吸引子的轨道映射到响应系统中，该函数称为同步函 数。为了使讨论的范围更广泛，在这一章里我们不对系统的光滑性有要求， 因此首先要考虑的问题就是同步函数是否连续? a f r a i m o v i c h 等人在2 0 i 1 1 年 证明了当在驱动方向有一致压缩性时，同步函数存在且是连续的( 详见文献 6 】) 。我们考虑更为一般的情况，证明了当在驱动方向只有非一致压缩性时， 该结论也成立 因为缺乏有效的工具，所以对连续系统我们很难深入研究，从本文的第 二章起，我们集中讨论光滑系统。在这种情况下，我们可以应用法向l y a p u n o v 指数的概念来刻划系统在横截方向的扩张或压缩率( 本文主要考虑的是压缩 时的情况) 。l y a p u n o v 指数刻划了系统在某一方向的平均扩张及压缩，它在 动力系统中特别是在非一致双陷理论中具有非常重要的作用。自从p e s i n 、 k a t o k 等人开创性的工作之后，非一致双曲理论( 亦称为p e s i n 理论) 一直是 动力系统中最为热门的课题之一。在【7 1 中a l v e s 等对于c 1 局部同胚，给出 了在一定条件下，非一致双曲是一致双曲的，他们的结果本质是一维的，而 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 一引言 在文献f 8 1 中把这个结果推广到了高维。 对于不变集，为了考虑其不变子流形中混沌吸引子在横截方向的稳定 性，a s h w i n 等人提出了法向l y a p u n o v 指数的概念( 详见文献 9 ) ，类似于 o s e l e d e c 乘法遍历定理，法向l y a p u n o v 指数与支撑在吸引子上的遍历不变测 度之间也有对应关系，a s h w i n 等人得到了如下结论：当最大法向l y a p u n o v 指 数( 对遍历测度的) 的上确界小于0 时，该吸引子在横截方向是稳定的( 详见 文献【1 0 】) 。在这一章里，我们主要解决了这样的问题：只要所有遍历不变测 度的最大法向l y a p u n o v 指数小于o ( 不考虑其上确界) ，该结论也成立。更进 一步，我们在理论上找到了一个遍历不变测度，使得它的最大法向l y a p u n o v 指数能取到最大值。 虽然形式不同，但是我们在前两章里给出的条件和得出的的结论本质上 是一致的，在本文的第三章，我们想把这个结论推广到流的情况。我们考虑 由流产生的不变流形，在什么情况下具有扰动不变性? f e n i c h e l 曾研究过这 个问题，但是他的理论主要是借助于广义l y a p u n o v 数对溢出不变流形来讨 论的。j o s i c 在2 0 0 0 年研究了同步流形的扰动不变性，因为同步流形是溢入 不变流形，所以j o s i c 对f e n i c h e l 理论进行了一些修改，使得它对溢入不变 流形也能成立，同时他还给出了广义l y a p u n o v 数和法向l y a p u n o v 指数的关 系t 两者的上确界是相等的( 详见文献【u ) 类似于第二章的考虑，我们对 广义l y a p u n o v 数和法向l y a p u n o v 指数给出了更为一般的条件，证明了在我 们所给出的条件下，流形同样具有扰动不变性。 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 二映射作用下耦合系统的同步 第二章映射作用下耦合系统的同步 2 1 同步的基本概念及已有结论 考虑由如下映射所产生的单向耦合系统r ：( z ，们一0 ，y 其中 惟茹 ， z 称为驱动系统，y 称为响应系统，k 是参数，反映了耦合强度。 我们假定z r ，y r i ，肌连续，是同胚。假定存在耗散球bcr ”+ ， 当在某一范围内取值时满足以( 丑) ci n t ( b ) 。不失一般性，我们设b 是个 矩形，即b = 日。玩，b ( 岛) 是。一空间( y - 空间) 中的球，记a 。：齐一风( 日) 是b 中的最大吸引子。 定义2 ，1 ( f 6 】) 设，舶) ( 茹) 是b 中任意点，记，) = 堙( 铷) i ( z 。，蟊) = 曰( 口o ) ，若 。1 + i m 。l y n 一讥l = 0 ( 2 2 ) 尉称口中产生了驱动响应同步。 定义2 2 ( 8 1 ) 设屯，= 儿a ，7 r 。是自然投影，若存在函数h ：a 如_ r 使得 a = g r a p h ( h ) ，且对所有的( 茁，y ) a ，h 。 i f 。昭( z ，y ) = o 昭( 茹，) ( n 0 ) 都成立，则称日中产生了广义同步，其中h 称为同步函数。 此外，我们还需要如下假设 1 9 k ( z ，y ) 一6 女( z ，雪) l 七i 一雪lv ( 石，g ) ，( z ，口) b( 2 3 ) 其中女是常数，且0 k 0 ，k ( x ) 对。连续 i i ) 厶；l 。g ( 七( z ) ) d p o ，v p e r 9 ( ，) 这一节的主要结论是下面这个定理。 定理2 3 若b 中产生了驱动响应同步，且满足( 2 4 ) 式，则同步函数h 是连 续的。 上一节中的( 2 3 ) 式反映出系统在y 方向的一致压缩性，这一节里我们 所考虑的条件则是更为广泛的非一致压缩情况。我们证明了在( 2 4 ) 式的条 件下，当迭代次数充分大时，系统在y 方向仍然具有一致压缩性，从而也就 完成了该定理的证明。 引理2 1 | c o 0 ，满足nl o g ( k ( x ) ) a , sc o 0 ，v p m ( f ) 。 证明：设p m ( ，) ，由遍历分解( 1 2 ，p 1 5 3 ) ，唯一存在m ( ，) 上的测度 r ，r ( e r g ( ，) ) = 1 ，使得厶；l o g ( k ( 茁) ) 札= 厶憎( ，) ( 厶1 0 9 ( 女扛) ) d i n ) d r ( m ) ，根 据i i ) ，可得上l o g ( k ( x ) ) d # 0 。 由l a 的任意性知：dl o g ( k ( x ) ) d # 时，对v z b ，都有；蔓l 。g ( ( ，z ) ) sc 0 ，3 n ( n ) 及z ( ) 玩，使得 1n ( ) 一1 高毛1 。g ( k ( f z ( ) ) ) c 口 显然，当_ o o 时，n ( n ) _ o o 。 令p 。( ) = 未丽州笺1 吩( ；( ) ) ，其中如是。点的狄拉克测度，则 p 。( ”) ) 是p 中测度序列。 因b 是紧度量空间，所以p 是紧的( 1 2 】，p 1 5 0 ) ，所以 卢。( ) ) 在p 中 必存在收敛子列，为书写简单起见，不妨仍记为 p - ( 】) 。 设 ( ) ) o 伽( _ 0 0 ) ，对v g c ( 玩) ( 鼠上所有连续函数的集合) l f 9o i d t , 。一嘲i 所以p o m ( f ) ( 1 2 】， = 恕i 9 。，( ) 一口( ) l = 。骢l 高，等1 go-g(g o 坶怡) l 2 o 骢l 南蚤) 眦r ) ) 1 2 舰i 高毛( g o 蹦z ( ) ) 一刚汁1 ( z ( ) ) ) 一n - - m + o oi 高“警1 g o f n ( n ) ( g o 删刊删 = 1 1 m l 南蚤( z ( ) ) 一g ( z ( ) ) i o 骢裟= 。 d 1 5 1 1 根据弓l 理2 。1 厶l 。g ( 七( 茁) ) 咖。c o c ：垒 一 9 c 0 ( 2 6 ) 第一个等号成立是因为 芦。( - ) ) _ 如，第二个等号是根据, a n 的定义，第 三个不等号由假设及极限的性质得出。 ( 2 5 ) 与( 2 6 ) 矛盾! 假设错误i 于是结论成立。 口 定理2 3 的证明：由引理2 2 知：3 n 0 及c n 时，对v z 玩， ：n 盏- 1 l 。g ( 七( ，乇) ) c o 及( ： n 时，对v z 玩 i g ：( $ ，掣) 一瓤n 、x ，口) i e ”。l y 一口i 余下的过程与文献 6 】关于定理2 2 的证明完全相同，这里不再重复。 口 注2 1 在文献脚中，在条件( 2 3 ) 下，假设，和g 。另外满足一定条件，则 可得 是h s l d e r 连续或l i p s c h i t z 连续的。类似的，在条件( 2 4 ) 下，假设， 和g k 满足与文献倒中相同的条件，也能得到同样的结论。证明方法与定理 2 3 的证明一致。 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸 i 子 三渐进稳定的吸引子 第三章渐进稳定的吸引子 3 1 记号和主要定理 设肘是i t l 维黎曼流形，：mom 是伊似映射，是m 的i i 维嵌入 子流形，且f ( n ) n ，设a cn 是，l 的渐进稳定吸引子。 设t m = u ，。m 耳m 是切从，当p m 时，定义其上的光滑分解：耳 = 2 1 p o ) ，因f ( 2 v ) cn ，显然有( c p | 厂( 耳n ) 巧( 计。 简记t = t i n ( p ) m ，简记其上的分解为t m = t o ( t 帆) 1 。 对p a ，0 ，考虑1 0 9 i i d ，f “( ) 怫吣，_ 在佗_ 时的极限，若 该极限存在，我们定义它为在p 点沿”方向的l y a p u n o v 指数，即 1 a ( p ， ) = 。l 。i m 。i 1 0 9i i d j “扣) | | 叶n ( p ) 进一步，可以定义切向l y a p u n o v 指数和法向l y a p u n o v 指数的概念。 定义3 1 ( 1 0 】) 设p a ，。b m ，定义在p 点沿付方向的切向l y a p u n o v 指 数为一 a l l ( p ) 撬n 1 _ l o g | | 研。d j “。7 r t n o ( 口) 怯( 若极限存在) 其中霄表示正交投影 类似的，定义在p 点沿w 方向的法向l y a p u n o v 指数为： m ( p ， ) = 。1 i m o 。n i1 0 刨”( t 心) 上。d p ，”。“( t o ) - 扣) i t m 。( 若极限存在) a s h w i n 等人对o s e l e d e c 定理进行了推广，得到了下面的定理 定理3 1 ( 1 0 1 ) 设是支撑在a 上的，一不变测度，则对芦一p a 和每 个 耳m ，有 口儿i l ( a ”) 和a 上0 ，”) 存在 例若叫= ，( v ) 0 ，贝4a ”加，w ) = a ，叫) 7 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 三 渐进稳定的吸引子 俐若r ( t p n ) - ( ”) 0 ，则存在s ( p ) m n 及址 h ( p ) a ：! ( p ) 使 得a ( p ，v ) 取上述值之一 俐映射p 卜s ( p ) 是，不变和可测的 俐存在滤子 ( o ) = v o ( p ) cv ( p ) c cv 5 ( p ( p ) = ( t p n ) 上 且 丌( b ) - o 如，( y ) ) cv ( ，( p ) ) 使得对”v ) 伊_ 1 ( p ) ，有a j ( p ，”) = 艟( p ) 特别的，若p 是一个，一遍历测度，则不变函数 h ( p ) ，4 p ) ) 几乎处处是 常数，这种情况下，我们把法向l y a p u n o v 指数记为址( p ) h ( p ) a j - ( 埘( 8 m 一咒) 。 令p ( a ) 是a 上所有概率测度的集合，m i ( a ) 是a 上所有，一不变测度 的集合，e r g ，( a ) 是a 上所有，- 遍历测度的集合。 对p n ，令d 古，= 7 r ( t n i ) - l - o 如，o 丌( t 0 ) - ：( t w o ) 上- ( t 1 ) 上，称姑，是， 在p 点的法向导数。下面我们总假设皓，在a 上是单射。 问题是：在什么条件下a 是m 中的吸引子? a s h w i n 等人有如下结论 定理3 2 ( 1 0 】) a 是巾渐进稳定吸引子，且毋，在a 上是单射，若 s u p 蛆( p ) ) 0 # e e r g i ( a ) 则a 是m 中渐进稳定吸引子。 事实上，对于这个问题，我们能得到更进一步的结论。 定理3 3a 是中渐进稳定吸引子，且喏，在4 上是单射，若对v 肛 e r g ，( a ) ，都有h ( p ) o 成立，则a 是m 中渐进稳定吸引子。 下一节我们将给出这个定理的证明，我们先在a 的单位法丛上考虑，再 利用投影得到在a 上的结论 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 三 渐进稳定的吸引子 3 , 2 定理证明 先引入一些定义和记号，为简单起见，我们只要考虑似! ( 丁0 ) 1 即可。 记法丛为n a ，单位法丛为s a ，即 n a = ， ) t mi p a ，口( r ，v i ) 上) s a = ( p ， ) n a | | = 1 ) 定义映射疗：s a _ s 4 和妒：s a - r 如下： t f ( p , v ) = i t - - q r 川掰如l 1 1 ) 【p ( p ：口) = l o g l i q 。( t n i ) - od v f ( v ) l l 则有 妒( ( 开) ( p ，”) ) = l o g i r ( r n ) - 。d p ，“( ) i | ( 31 ) 记p ( s a ) 是s a 上所有概率测度的集合，m 夼( s a ) 是s a 上所有开、一不 变测度的集合，e r g 而( s a ) 是s a 上所有衍 一遍历测度的集合， 在证明定理之前，先给出几个引理。 定义矿：7 ，( s a ) _ + p ( a ) ，矿( m ) = 丌# 。7 r ，其中7 r 是s 4 到a 的正交投 影。显然该定义是合理的 引理3 1 矿满足t i ) 若m m 乔( s a ) ，则7 r ( 哟川，( a ) i j ) 若m f r 口疗( s a ) ，贝07 r 4 ( m ) e r g i ( a ) i i i ) 7 r + ( 川静( s a ) ) = m ，( a ) ，矿( e r g 乔( s a ) ) = e r g l ( a ) 证明：设e ( x ) 是x 子集的弘代数。 i ) 设m m 而( s a ) ，e b ( a ) ，于是 竹+ ( m ) ) ( ，。( e ) ) = ( m o 7 r - 1 ) ( ，_ ( e ) ) = m 。( 开。) ( 丌一1 刀) = m ( 丌_ 1 ( e ) ) = ( 矿( m ) ) ( 劭 9 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子三渐进稳定的吸引子 因此矿( m ) h , t l ( a ) 。 田设m 岛踊；沁由，e 嚣( 固且满足厂( 司= e ，于是由 于弦一1 ( ”一1 ( f ) ) = 仃一1 ( ，一1 ( e ) ) = 丌一，( e ) 可碍m ( 丌_ 1 ( e ) ) = 0 或1 。则 ( 丌+ ( m ) ) ( e ) = ( m o7 - - 1 ) ( 曰) = ( mo f l - - - 1 ) ( ，一1 ( e ) ) = m 睁。1 t f i ( e ) ) ) = m ( i f - 1 ( 曰) ) = 0 或1 因此矿( m ) e r g ，( a ) 。 i i i ) 对铷p ( 固，令识= 弘。：7 1 - v ( s a ) ，则矿( 弼) - 芦。 若p m ，( 4 ) ，则m a 4 f - f ( s a ) 。这是因为t 对v b b ( s a ) ，有 m ( 回。1 ( b ) ) = p 。丌( ( 疗。( b ) ) = p ( ，一1 ( 仃( 劭) ) = p ( 丌( b ) ) ：m ( b ) 若p e r g l ( a ) ，则m e r g 靠( s a ) 这是因为：对v b b ( s a ) 且满足 疗。( b ) = b 。有 ，一曩( 功，= 万( 疗一) _ 霄( 聊 因“e r g f ( a ) ，故p ( 7 r ( b ) ) = 0 或1 ，于是m ( b ) = p 。7 r ( b ) = 0 或1 。 口 引理3 2 在定理3 t 3 给定的条件下，二 妒d m o ，v m e 埝( s a ) 。 证明：设m e r 9 而( s a ) ，根据b i r k t l o f f 遍历定理：3 b l s a ，m ( b 1 ) ：1 ， 使得对v ( p ， ) b l 有 ，l i mn 一妒( ( 卿酬= 正。妒a m 结合( 3 1 ) ，对v ( p ， ) b ，有 。l ，i m 。，t 。l o g 忙口心卜。，”( ”) i l = 正。l p d m ( 3 2 ) 令p = 矿( m ) ，根据引理3 , 1 知t p e r g ( a ) 。 1 0 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 三渐进稳定的吸引子 一 。一 令a l ：7 r b l ，则a lca 且p ( a 1 ) = m ( s 1 ) = 1 ，因肛e r g f ( a ) ，所以由 条件有 i ( 妨 0 又根据定理3 1 知。3 a 。ca ，肛( a 2 ) = 1 ，使得对砌如，对每个 0 ( t n o ) 上， 1 县恐l 。l o 酬丌( t n ) - 。略，“( 口) 忪磕( p ) 0 令五：a 。n a 。，则p ( 由= 1 ，于是a ，设乒a ，适当选取o ( t n o ) 1 ， 使得( 武o ) b 1 ，则有 s ac p d m = 。1 + i m 。n 1 _ l 。gl l ”( 下心) - 。而，“( i ) 1 1 o 由m 的任意性知：对v m e r 喻( s a ) ，都有 s a l p d m o 。 引理3 3 j c o ，使得 8 a 妒如c o ，v 仃a d 侨( s a ) 。 证明：设d m 而( s a ) ，由遍历分解知，存在唯一的r ， 的b o r e l 子集上的测度，满足丁( e 7 喻( s a ) ) = 1 ，使得 s a 妒d a = 厶喇q ( 正。妒加) 蛳) 口 f 是h d c f ( s a ) 根据引理3 2 ：妒d 仇 0 ，v m e r g 彳- f ( s a ) ，于是由积分的性质可 j s 得妒出 0 ， j s a 再由仃的任意性知 止 妒如 0 ，m 命( s a ) 因为s a 是紧度量空间，所以m 疖( s a ) 是紧的，而映射 s a i p d ( ) ：m 疖( s a ) 。+ r 是连续的，所以根据紧空间上连续函数的性质可知： | c j v 时，对v p a ，v ( t w o ) 上且l = 1 ，都有去1 0 9 忙f n ) t b d p ，“( 训5 ； 1 ， s a ，满足 3 n 。 ( 显然当- o 。时，n - o o ) 及( p 。， 。) 。l o g 帅。) - 。，”( w ) 1 i ( 3 3 ) 令m t l n i 1n 刍n - - 1 嗡- ，。) ，其中瓦是z 点上狄拉克测度，则m n 是 p ( s a ) 中测度序列。因为s a 是紧度量空间，所以p ( s a ) 是紧的，于是存在 收敛子列，不妨仍记为( m n ) ，设m 札。_ m o 。 下证m o m 疗( s a ) 这是因为：对s a 上任意连续函数h ， f h 。亍- - p d m 。一r 删mo | = 。l i mf h 。疗帆。一f h d m 。一 1l “一1 ”一1 = n 1 - i - m + z o 熹i 。疗( 疖( p ，w ) ) 一 ( 开4 ( m ”) ) 铝高 。 一 鲁、 ”7 = 。l i m ，熹岫耐”嘶，u ) 一九嘶，w ) l _ + n 。7 s l i r a 2 1 1 h l l =0 因此m o m 静( s a ) ，于是 l s a t d m , o = n t i + m 。 jsl p 南礼。 = 舰嘉篙1 衙刚) ) 另一方面，由引理3 3 ：妒d m osc ，矛盾! 定理证明完毕! 口 j s a 3 3 法向l y a p u n o v 指数的最值 我们知道t 朋，( 4 ) 是紧的，但e r g f ( a ) 未必紧，本节的目的是想证明： h ( p ) 在e r g i ( a ) 上能取到最大值。 定理3 4 存在脚e r g ! ( a ) 使得诅( p o ) = s u pf a i ( p ) ) 。 p e 届r 9 ，( a ) 1 2 0 ， 白 o i ? 玎 唱 土 量 ，c一2 坠一 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 三渐进稳定的吸引子 还是先在单位法丛s a 上考虑，为此给出。f 面的两个引理。 引理3 4 存在m 。e r g 疖( s a ) 使得 p d m o = m 。a ，x 删五a i p d m 证明：因为s a 是紧度量空间，所以m 行( s a ) 是紧的，而以l p d m 是 州疖( s a ) 上连续函数，故存在m m 靠( s a ) ，使得 正 妒加1 = 。m 齐a x 。枷上a 妒d m 由遍历分解知，存在唯一的，是m # ( s a ) 的b o r e t 子集上的测度， 满足。( e r g 而( s a ) ) = 1 ，使得 f s a ，o d 一上秽删( l 妒加) ( m ) 又因为 f s a 妒d 一一s 喻u p ；跚f s a 妒d 一。臻洲f s a ，a 加。上a 咖， 因此必存在m o e r 口帝( 跗】，使得 厶妒d m 。2 厶妒挑一。m m 乔a x 。跚f s a 。o d m 该引理得证! 口 注3 1 由证明过程可知t 其实我们能找到e r g 而( s a ) 的一个，全测度集合 壶，使得对每个m 。壶，都有s a l p 拥。上a 妒加，3r n e , 嘴v t 盎洲上a 妒4 m 。 jj s l j jj s 引理3 ，。器a ) m ( p ) 。嫦叫_ s a p 加p 县f 口，( a )m e 朋彳齑p j o 证明：对任一p e r g l ( a ) ，可适当选取( p ，) s a ，使得 ) 、i ( = a 上( p ， ) = l i r a n 1 _ 1 0 9 怖心) - 。d p ，“( ) i i = 舰i 1 “备- - 1 i p ( ( 行) ) ) ( 3 4 ) 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 兰渐进稳定的吸引子 令m 。= i 1 n 兰- - 1 d ( 谛m ，则m n 是p ( s 4 ) 中测度序列，其中屯是茁点上 的狄拉克测度。 因为s a 是紧度量空间，所以7 。( s a ) 是紧的，于是存在收敛子列 m 。) ， 不妨设m 。_ + 币_ o 。) ，则伉是疗不变的。 由m 。_ 伉可得： js a f ，v d f f t2 s a t d m n k = l ，m 菘1 n 白, - i k - + o o 妒( ( 开) 伽) ) n k 怠、 ， = 一l i r a 。= 1 l p ( ( 开) ，”) ) ) n _ 。n = 、 7 3 = 4 1 a j - ( 肛) 又因为“是任意选取的，所以 该引理证毕 sup)ai(#)s。min夼axttel2rgl(a ( s 棚j s al p 加 )”夼p j 口 下面我们来证明本节的主要定理。 定理3 4 的证明：由引理3 4 及引理3 5 知 p 酬s u p ) a i ( # ) 。川m 夼a x ( s 棚s a 妒d r a = s a ( p 慨 ( 3 5 ) 其中m o e 7 跖声( s a ) ，根据b i r k h o f f 遍历定理，j k s a ，m o ( k ) = l ，使 得对v ( p ，u ) k 撬元ln 芭- 1i p ( ( 开) ) = f s a v 如。 ( 3 6 ) 令p 。= 矿m 。，则p o ( 7 r ( k ) ) = 1 由引理3 1 知伽是a 上，一遍历测度， 则根据定理3 1 ：刍gsa ，脚( g ) = 1 ，对v p g ，对每一个 ( t 2 v 0 ) 上， h ，v ) = h ( “o ) ，i 是 l ，2 ，s ) 中某一个 1 4 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 三渐进稳定的吸引子 令l = ，r ( k ) ng ，则p o ( i ) = 1 ，取p 五，适当选取u ( t n o ) 上，使 ( p ，”) k ，则( 3 6 ) 成立，于是 a 上0 ， ) = l i m 1 1 。gi i 丌( t 帆) - 。d p ，”( u ) = 舰三n - 1 妒( ( 疗) t ，”) ) ”。”n 高” = 正a 妒d m 。 于是 正 i p d m 。= a 上( ”) = ( 伽) h ( 伽) 结合( 3 5 ) 可得 a i ( 芦o ) = s u pa i ( p ) ，其中肛o e r g i ( a ) # e e r g i ( a ) 注3 2 定义a 4 f ( a ) 上的测度如下： ( 日) = ( ( 矿) 一1 ( b ) ) ，v b 8 ( m ，( a ) ) 则有t 靠( 丌+ 亩) = t m 。( + ) 一1 ( 矿雪) ) 。( 雪) = 1 因此( 丌憎) = 1 ，根据注3 1 及上述证明过程可知t a i ( p o ) =8 u pa 三- ( 卢) ，v ，幻丌+ e e r g f ( a ) # e e r g i ( a ) 1 5 口 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 四溢入流形的扰动不变性 第四章溢人流形的扰动不变性 4 1 背景和结论 设x 是r 严上c 1 向量场，= ，t 【t r 是由x 产生的流。是紧连 通带边流形，且是r n 的嵌入子流形。 设t 是的切丛，t 上是在r n 中法丛，于是有这样的分解： t r n n = t n o t n 上。 定义4 1 ( 【1 3 】) 若边界上的点在，下是严格内移的，则称在，下威 在x 一是溢入不变的。若边界上的点在，下是严格外移的，则称在 ，下溅在x 一是溢出不变的。 f e n i c h e l 在文献【1 3 中考虑了是溢出不变流形的情况。 定义，。在p 点处与流形相切方向和正交方向的线性化算子如下 心( p ) = d p 厂。1 a ( p ) ：耳n _ 巧一t p b ( p ) = 丌d i - * p f 。b ( p ) ：( 巧一t p ) 上- - 4 ( 耳) 上 定义4 2 ( 1 3 1 ) 吲p ) _ n l 掣毗t 一+ o 。) = l i i i l s 1 1 刚”肛 若。( p ) 1 ，令 盯x = i n 叫川愀洲硼t 一+ o 。h i i d s u p 渊 v 。和o x ( p ) 称为是广义l y a p u n o v 数。 f e n i c h e l 证明了如果对所有的p n 都有如0 ) 1 及o x ( p ) 1 厅( 对某个 r 1 ) ，则溢出不变流形是具有扰动不变性的。 但是在很多情况下我们所要考虑的流形是溢入不变的( 例如同步流形) ， 为了使得这个结论对溢入不变流形也能成立，j o s i c 对f e n i c h e l 理论进行了 一些修改，得到了如下的结论： 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子四溢入流形的扰动不变性 定理4 1 ( 【1 1 】) n 是溢入不变流形，如果当p n 且，一( p ) n ( t20 ) 时， 总有一。 o ) 时总有肛( e ) = 0 或l ，则称p 是，一遍历测度。 定理4 2 设芦是支撑在a 上的，不变测度，则对肛一a e p a ，对每个 口( 0 ) 上，对每个w 乃n 口j a i i ( p ，t ”) 和a 上扫， ) 存在 俐若w 0 ，则存在s ( p ) m 一礼及a i ( p ) 艟0 ) a 尘使得a ( p ，u ) 取上述值之一 例映射p 卜s ( 力是，不变和p 可测的 俐存在滤子 o ) = v o ( p ) cv 1 ( p ) c cv 。( p p ) = ( 耳) 上 且 7 r c t p n ) - o 出，。( ) cv ( ，( p ) ) ( t 0 ) 法向l y a p u n o v 指数与渐进稳定的吸引子 四滥入流形的扰动不变性 使得对w v ) 伊一1 ) ，有a 上( p ， ) = 艟k0 ) 证明：定义e ：( r n 0 ) 1 _ ( t n t ) 上 l ：( 口) = 丌( t 。) 1 。岛，( u ) ，u ( t n o ) 上 显然睇满足：l = 工 ，( ，) 。q ，且 8 望p ，l o 矿1 1 l 洲和8 里l o g + i i l i 一* ( 。) | | l l ( ( t 0 ) 上，p ) 0 t 10 t l 其中“l o 矿”表示该函数的正部，于是根据流的乘法遍历定理就可以得到上 述定理。口 特别的，若p 是一个，一遍历测度，则不变函数 h