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基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 中文摘要 中文摘要 平面低副机构是应用很广泛的机构，其中又以铰链四杆机构最为常用。连杆曲线 是连杆上的点对于机架的运动轨迹，连杆上各点有多种多样的轨迹曲线。铰链四杆机 构通过转化后得到许多带移动副的四杆机构，又可以得到很多不同的连杆曲线。连杆 曲线的形状是千姿百态的，一般的几何曲线均可由连杆曲线复演，而且可以满足机械 设计中各种导向机构或其它机构运动规律的要求，而且结构简单、制造容易、工作可 靠。例如，在加工工艺上，可以让连杆平面上某点的运动轨迹符合加工形体的轮廓， 这样，只要把刀具安装在连杆平面该相应点上，即可按所需的轮廓进行加工。 本文所要做的就是找到解决方案，对给定的运动轨迹曲线能够快速、准确地复演， 并设计出相应的铰链四杆机构，从而满足工程实际的需要。 在本课题软件研制过程中，作者首先创新采用三次b 样条曲线拟合连杆曲线，对 文献 1 中每一个铰链四杆机构的不同连杆曲线，选取合适的型值点，由型值点反算 出三次b 样条曲线控制顶点，用该控制顶点坐标代表连杆曲线存入数据库，构建连杆 曲线数值图谱。当设计者需要某条连杆曲线信息时，只需要由相应的控制顶点坐标生 成对应的b 样条曲线，即可得到需要的连杆曲线。 其次，作者采用神经网络方法，把控制顶点坐标作为网络输入，相应的铰链四杆 机构参数作为网络输出，建立神经网络。训练成功后，输入控制顶点坐标，即可输出 相应的铰链四杆机构参数。 本课题研制软件基本实现了给定运动轨迹曲线( 期望曲线) 的复演和对应铰链四 杆机构的设计。对于给定的运动轨迹曲线，按照一定规则选取型值点，通过型值点反 算出控制顶点，将控制顶点坐标输入预先训练好的神经网络，网络将输出对应的铰链 四杆机构参数。 关键词：连杆曲线；轨迹复演；b 样条；神经网络 作者：张新歌 导师：顾德裕 a b s t r a c t 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 a b s t r a c t f o u r - b a rl i n k a g em e c h a n i s mo ft h ep l a n el o w e rm e c h a n i s m ，w h i c hi sw i d l ya p p l i e d ，i s i nc o m m o nu s e l i n k a g ec u l v e si st h em o v e m e n tt r a c ko ft h ep o i n t so ft h el i n g k a g e m e c h a n i s m ，w h i c hh a v ea l ls o r t so ft r a c kc h iv e s ，r e l a t i v et ot h es t a n d f o u r - b a rl i n k a g e m e c h a n i s mc a l lb et r a n s f o r m e di n t om a n yf o u r - b a rm e c h a n i s m sw i t hp u r e - s l i d ep a i r , w h i c h c a l lm a k em o r el i n g k a g ec u r v e s l i n k a g ec u r v e sh a v ea l ls o r t so fs h a p e sa n da l lo r d i n a r y g e o m e t r i c a lc u r v e sc a nb eg e n a r a t e df r o mt h e m t h e yc a ns a t i s f yt h er e q u e s to ft h er u l eo f s t r a i g h t l i n e sm e c h a n i s mo ro t h e rm e c h a n i s ma n dh a v es i m p l es t r u c t i o n ，c a nb ee a s i l y m a n u f a c t u r e da n dr e l i a b l yw o r k f o re x a m p l e ，p a t hc u r v eo fs o m ep o i n ti nl i n k a g ep l a n e c a nb ed e s i g n e da c c o r d i n gt ot h ef i g u r eo fp r o c e s sp a r t s ，t h e ni tc a nb ep r o c e s s e d a c c o r d i n g t ot h ea n t i c i p a n tf i g u r ea sl o n ga sf i x i n gt h et o o l so nt h a tp o i n t t h et a s ko ft h i st h e s i si st of i n ds a l v a t i o n s ，w h i c hc a n r a p i d l ya n de x a c t l y g e n e r a t et h e g i v e nm o v e m e n tp a t hc u r v e sa n df i n dt h ec o r r e s p o n d i n gf o u r - b a rl i n k a g em e c h a n i s m i ti s f i r s t l ya p p l i e dt ou s eb s p l i n ec u r v e st om a t c hl i n k a g ec u r v e s f o re v e r yl i n k g ec u r v e ，f i n a d i t sa p p r o p r i a t ep o i n t s ，a c c o r d i n gt ow h i c hc a l c u l a t ei t sc o n t r o lp o i n t s ，w h i c ha r ep u ti n t o d a t a b a s e ，r e p r e s e n t i n gt h el i n g k a g ec u r v e s 。w h e nsd e s i g n e rn e e ds o m el i n k a g ec u r v e ，h e o n l yn e e du s ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o lp o i n t st og e n e r a t et h es p l i n e - c u r v e ，w h i c hi st h e l i n k a g e c u r v e t h ea u t h o ra l s oa p p l i e st h en n ，s e tt h e s ec o n t r o lp o i n t sa st h ei n p u t d a t ao ft h en n ， s e tc o r r e s p o n d i n gf o u r - b a rl i n k a g em e c h a n i s mp a r a m e t e r sa st h eo u t p u t d a t ao ft h en n w h e ni ti st r a i n e d s u c c e s s f u l l y , i n p u tt h ec o n t r o lp o i n t s ，i t c a l lo u t p u tc o r r e s p o n d i n g f o u r - b a rl i n k a g em e c h a n i s mp a r a m e t e r s t h es o f tu l t i m a t e l ys o l v e dt h eg e n e r a t i o no ft h eg i v e nm o v e m e n tp a t hc u r v ea n dt h e d e s i g no ff o u r - b a rl i n k a g em e c h a n i s m k e y w o r d s ：l i n k a g ec u r v e s ，p a t h c u r v eg e n e r a t e ，b s p l i n e ，n e u r a ln e t w o r k i i w r i t t e nb y ： s u p e r v i s e db y ： z h a n gx i n g e g u d e y u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果d 除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：- 弋蚴日 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盈壑煎日期：篁! 竺竺 导师签名：型丝经 e t 期：竺量：竺 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题来源与研究意义 本课题为自主研发项目。 在各种机构型式中，连杆机构的特点表现为具有多种多样的结构和多种多样的特 性仅就平面连杆机构而言，即使其构件数被限制在很少的情况下，大量各种可能的 结构型式目前也是难以估计的。所以，数学家、自然科学家、工程师和哲学家们已经 并且仍然把连杆机构作为值得研究的对象。集合论、图论、数值数学以及工程力学和 设计科学等都将连杆机构作为例子加以研究和讨论，而且，连杆机构已在各种各样机 器和仪器仪表中获得广泛应用，比如在重型机械、纺织机械、食品机械、包装机械以 及化工、冶金、矿山、交通运输机械中的应用。它之所以能得到广泛的应用是由于它 具有显著的优点【2 j ： ( 1 ) 平面连杆机构能够实现多种运动形式的转换，例如，它可以将原动件的转动 转变为从动件的转动、往复移动或摆动，反之也可将往复移动或摆动转变为连续的转 动。 ( 2 ) 它的运动副一般均为低副，其元素之间为面接触，传动时单位接触面积所受 压力较小，磨损也相应减少，寿命较长。另外，由于运动副元素为圆柱面或平面而易 于加工、安装、调整和维修，并能保证精度要求，且因各构件之间为面接触而压强小， 便于润滑，承载能力大。而且其低副元素的接触是依靠本身的几何约束来保证的，不 需要附加诸如弹黄之类的零件便能保证其接触。 ( 3 ) 连杆机构还能起增力和扩大行程的作用，若接长连杆，则能控制较远距离的 某些动作。 ( 4 ) 平面连杆机构中的连杆是作复杂平面运动的构件，因而其上各点可以描绘出 不同形状的曲线轨迹，当主动件的运动规律不变时，机构中每一构件的相对长度有所 改变，则可使从动件得到多种不同的运动规律。所以，工程上常利用某一连杆曲线全 部或部分来完成工艺上特殊的曲线运动要求。 第l 章绪论 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 在平面连杆机构中，铰链四杆机构是最为常用的，其连杆曲线是一条六阶代数曲 线，它是连杆点对于机架的运动轨迹，连杆上各点有多种多样的轨迹曲线，其形态 多种多样，利用它可以解决很多工程设计方面的问题。铰链四杆机构通过转化后得到 许多带移动副的四杆机构，又可以得到很多不同的连杆曲线，连杆曲线的形状是千姿 百态的，一般的几何曲线均可由连杆曲线复演，可以满足机械设计中各种导向机构或 其它机构运动规律的要求，而且结构简单、制造容易、工作可靠。连杆曲线轨迹综合 的方法，经历了几个发展阶段。传统经典的方法，主要是以满足目标轨迹的若干个点 位置为前提，最终达到整体拟合的目的。其优点是复演机构能够精确地经过目标曲线 上的这些位置点，但不能保证轨迹形态的相似。 近年来，由于连杆的运动轨迹具有直观性，而且位置问题和复演函数规律运动这 两类问题可以从轨迹问题转化来求解，尤其在计算机辅助下，这己不是很困难的。这 样，以前仅在学术上讨论的“复演平面曲线”问题己由书本理论走向市场。连杆曲线 常被应用在各种机械上来产生已知轨迹的运动。例如搅面机、起重机等，所以人们已 经对连杆曲线进行了许多的研究。早在上一世纪，英国人首先开始了对连杆曲线的研 究，接着俄国人应用四连杆机构描绘出翼形剖面茄科夫斯基曲线，这是连杆曲线 在工业上应用的著名范例。 1 2 国内外研究现状 在平面连杆机构的设计中，设计要点是：根据机构所应起的作用而提出的己知条 件来确定机构运动简图的参数。这些参数是：转动副中心问的距离、确定移动副位置 的尺寸以及确定描绘连杆曲线的点的位置尺寸等等。由于己知条件是根据机构的用途 而定的，它是各式各样的，因此设计平面连杆机构的实际问题也是多种多样的。多年 来平面铰链四杆机构在工业生产中的应用十分普遍，所以其运动综合问题一直是机构 学界研究的热点，经过人们长期的不懈努力，它已发展成为机构学领域中的一个重要 分支连杆运动学。从已有的大量研究成果来看，有关连杆机构轨迹的综合方法从 大的方面来分可以分为四类，即实验法、几何图解法、解析法和图普法。 以下是目前国内外存在的几种轨迹复演解决方案的介绍及优缺点分析： ( 1 ) 实验法通过作实验来试凑各杆的尺寸，曾经是一种较为实用的工程方 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发第l 章绪论 法。 具体做法是预先选定一组机构参数，通过实验检验其连杆曲线是否与需要的曲线 相符，若得不到近似的曲线，则可改变上述选定的几个参数并重新作图，以便求得满 意的结果。这种方法的效率很低，求解精度较低，所以在应用计算机之后，这种方法 己很少被采用。 ( 2 ) 图解法几何图解法主要是通过几何作图来进行机构的综合，其中又有速 度瞬心法、相对运动法和线图法。只需要在给定轨迹上选取多个点，就可以用图解法 近似实现给定的轨迹。一般可以解决至少四个点，至多七个点的问题，超过七个点的 问题，该方法目前尚不能妥善解决。用图解法作机构运动分析，几何意义比较清楚， 基本概念比较明确，且易于发现错误，也能满足一般工程实际的精度要求，并能应用 于一些较复杂的机构。但传统的图解法作图工作繁琐，作图误差难于控制，不仅费时， 也不便于把机构的分析问题和机构的综合问题联系起来，以选择最佳的综合方案。对 于准确度要求很高的机构，精度难于保证。 最新进展：近几十年来，很多学者把运动几何学的作图过程用数学公式来描述， 建立了图解解析法，使求解的精度得到很大提高。 ( 3 ) 解析法一解析法是首先建立数学模型，即利用数学中的函数通近论、矩阵、 复数等手段进行机构综合。用解析法进行机构的运动综合，可以得到精度较高的解， 可以计算或估计误差程度。然而在很多情况下，解析法都是解决给定精确点的轨迹问 题，而能够给定的精确点数是由机构的未知参数决定的，这就在一定程度上限制了该 方法的应用，此外在两精确点之间的轨迹误差无法控制也是这种方法的一个较明显的 缺点。随着给定的精确点数的增加，由代数法列出的机构位置方程都是非线性方程组， 这给求解带来很大困剌引。 最新进展：在坐标位移矩阵用于机构分析的基础上，c h s u h 提出的位移矩阵法 综合机构【4 】，开辟了平面与空间机构综合的新途径，在平面多杆机构的综合方面表现 出很大的优越性。这个方程的实际求解过程，主要是求解二次线性方程组或超越方程 组，为此必须应用优化方法进行多次迭代而取得近似解，以达到工程实用的程度。 ( 4 ) 图谱法一图谱法是利用编制连杆曲线图册来设计平面连杆机构。 连杆曲线图谱出现后，研究者终于看到了连杆曲线的纷繁多样，这也为设计者打 开了思路，他们可以更多地考虑利用这种低副机构所能实现的连杆曲线来开发新产 3 楚l 章缝论基予神经对终豹铰链耀抒视构复演鞔迹设计软件的开发 品。例如，在加工工艺上，可以让连杆平面上某点的运动轨迹符合加工形体的轮廓， 这样，只要把刀具安装在连杆平面该相应点上，即可按所需的轮廓进行加工。常用的 方法是将各种连杆的运动轨迹预先分析好，将运动轨迹列为图谱。具体应用时找个 相近的机构再分析调整，以获 | 导能产生所需要运动轨迹的机构。 实践证明，利用曲线图谱进行连杆的设计是一个实用且有效的方法，但通过传统 的查图谱设计有很多不足之处。文献【1 】按不同尺寸的曲柄摇杆机构给出了近8 0 0 0 条 连杆曲线，为利用图谱进行设计提供了一种可能的途径，面要从这么多连杆曲线中人 工找到所需的轨迹线，显然不是容易的事。而且事实上，连杆曲线应是无穷的，丽目 前的图谱是有限的，设计者常因用近似法而使图样的误差很大。 随着计算机技术的发展，精确求给定连杆机构的连杆盐线十分容易，那么从计算 机得到的大量连杆曲线中，直接找到所需曲线或者找到最接近的的曲线，就引入了平 面连杆曲线的计算机识别。具体来说，根据四杆机构的连杆曲线是具有多种形状的不 规则曲线，它的轮廓尺寸和形状将由四个杆的长度和连杆点的位置来决定，随着这些 参数的不同，连杆曲线亦发生变化。分析连杆曲线的特征，建立连杼曲线的特征参数 数据库，通过特征参数的比较来决定连杆曲线的近似程度，就会使平面四杆机构的综 合大为简化。其中关键技术是陆线特征的抽取。因为，一方面，抽取特征不但出现在 识别过程中，两且首先应当出现在建立标准特征值库的时候；另一方面，特征的数目 过少，曲线的分辨率就低，数目过多，特征数据库就会很庞大，识别时费机时。因此， 很多文献中都对曲线特征的抽取进行了多种尝试。 下面介绍一下目前常用到的连杆凿线特征提取方法： 1 ) 曹惟庆教授提出的基于图形处理技术的铰链四杆机构尺度综合【5 1 。具体措施： 对轨迹曲线进行编辑处理、图形变换和参数提取等一系列操作得到曲线的特征参数， 将这些参数与同样方法建立的电子图谱数据库进行识别，进而检索出机构的尺度参 数。如图l l 所示 4 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 第1 章绪论 1 图1 1 连杆曲线特征提取 用以下5 个参数作为曲线的特征参数。 周长p ：表示连杆曲线封闭图形的整周长度。 面积a ：表示连杆曲线封闭图形围成的面积。 长度l ：表示连杆曲线封闭图形的最长轴。 宽度w ：表示连杆曲线封闭图形垂直于最长轴的连线的最大长度。 形状t ：表示连杆曲线封闭图形的形状。如：椭圆形、雨点形、8 字形等等。 以上选取的5 个参数相互独立，且各自表达了曲线的几何信息和图形的组成特 点。通过图形分析归类，能大大缩小搜索区间，提高检索速度。然而，该方法所取特 征参数只描述了图形的几何信息，并不能完整地精确地表达曲线的所有特征。在实际 运用中，有可能会遇到5 个特征参数都相同的多个连杆曲线，他们在局部形状上会存 在较大的误差。 2 ) 快速傅立叶变换法【6 1 。平面连杆曲线的轨迹函数为一周期函数，是一条二维 平面曲线，其上任一点的坐标都是时间t 的函数，用复数表达为：攻f ) 叫力+ 叭o ，i 为 虚数单位。上式可以用傅立叶级数表达为z ( f ) = p 2 肭 铲万1 毛n - i 乙e x p ( 一等) = 万1 驴n - i 。s 等神等) + ( 胂s 孥蛐孚) f 】 ( 1 1 ) 令：口。= 万1 毛n - i 靠c 。s - 2 j x r m k 一儿s m - 2 j ；r r m k 】 5 第l 章绪论基于神经网络的铰链魍杆机构复演轨迹设计软件的开发 = 万l 毛n - i 帆c o s l - 2 7 r m k i - x ks i n - 2 t r m k ，】 幅值，：，= 户了石 初相角丸= 口比留羔 口 式( 1 1 ) f l ，欺一连杆曲线第k 个点的横、纵坐标；一曲线上离散点的个数；，广 阶数，对一般的连杆曲线，m 取3 至+ 3 即可满足要求。 将经过f f t 得到谐波特征参数( ，m = 0 ，1 ，2 ，) 以相对值的方法存储，相对 幅值呓= 玉，相对相位丸= 一纹，把处理过的参数( ，蛾，m = o ，l ，垃，) 作为描 1 述曲线的特征参数，可以消除同样形状的曲线因尺寸的大小不同、方位和初始角的不 同造成的不可比性。 3 ) 数学形态学澍7 1 。数学形态学是- - f 建立在严格数学理论上的新兴学科，是 一种新型的数字图像处理方法和理论，广泛应用在医学上。其基本内容是借助不同形 状的结构元素对图像进行一些列的结构变换，实现对数字图像分析、描述和处理。 用数学形态学方法提取曲线特征参数的方法是：将连杆曲线转换为二值化图像， 即以连杆曲线为边界，填充曲线边界所围成的闭合区域，并作反色处理，得到连杆曲 线图像。根据数学形态学分析的形状谱计算方法，以连杆曲线图像的形状谱来描述连 杆曲线的特征参数。 除以上三种大的方案外，还有一些较新的方案，例如：基于图形处理技术的铰链 四杆机构尺度综合，带有预定时标平面四杆刚体导引机构的优化尺度综合，用快速傅 立叶变换进行再现平面四杆机构连杆曲线的综合，用模糊数学方法进行平面四杆机构 轨迹综合，基于遗传算法和结构误差的平面四杆机构轨迹优化综合，连杆曲线特征分 析的数学形态学方法等等。这些方法也各有自己的优点和缺点。 1 3 研究内容和研究方法 本文所要研究的主要内容是，对于期望曲线，设计出一个四杆机构，使上面某一 个连杆点的轨迹与所给期望曲线相符( 达到给定精度的重合即认为相符) 。本文以曲柄 6 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 第1 章绪论 摇杆机构为主要研究对象，综合以上各方案的经验，提出用三次b 样条曲线拟合连 杆曲线，存入数据库，构建连杆曲线库，并引入神经网络方法，实现给定轨迹曲线的 铰链四杆机构设计。 本课题主要研究内容及方法如下： 1 ) 连杆曲线分类和数据采集 按照文献 1 】，把连杆曲线按形状分类，然后编制程序，获取每一条连杆曲线的 所有坐标点( 按曲柄每转o 5 度取一个轨迹，共计7 2 0 个点) 。 2 ) 连杆曲线的特征提取和拟合 主要研究怎样提取连杆曲线的特征，怎样由特征参数复演轨迹曲线。对每一个连 杆曲线，选取合适的型值点，由这些型值点反算出对应的三次b 样条曲线的控制顶 点。根据这些控制顶点，即可复演连杆曲线，所以可以把这些控制顶点作为连杆曲线 的特征。 3 ) 建立连杆曲线库 将这些控制顶点坐标和对应的连杆机构机构参数按照统一规则存入数据库，形成 一条连杆曲线信息。大量的曲线存入数据库，构建连杆曲线库。( 具体操作方法见第3 章) 。 4 ) 构建神经网络 以控制顶点坐标为网络输入，连杆机构参数为网络输出建立神经网络。网络类型 将采用多隐层b p 网络。以第一类连杆曲线卵形曲线为例，控制顶点有1 1 个， 但第9 、1 0 、1 1 与第1 、2 、3 重复，所以存入8 个点，共1 6 个坐标作为网络输入， 对应的铰链四杆机构的参数作为网络输出，构建神经网络。 5 ) 试验 神经网络的参数确定没有现成的公式，只能根据经验选取初始值，编制程序，不 断做试验，寻找最合适的参数。 6 ) 编制软件 当前面的步骤都已经完成了，就可以开始最终软件的编制。软件根据曲线分类分 为六大块，每一大块又分别包含三个模块：轨迹曲线读取模块、四杆机构生成模块和 误差计算模块。前者主要负责轨迹曲线的读取，把曲线转化成数据；中者把前者得到 的数据输入神经网络，从而得到所求四杆机构的参数。后者用已得到的四杆机构重新 7 第l 章绪论基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 绘制出连杆曲线，并与给定的轨迹曲线进行比较，计算误差，看是否达到精度要求。 根据功能要求进行各窗体设计。相关功能完善，根据功能要求添加功能操作，提供使 用说明；进行软件的使用方便性设计，添加交互功能。 6 ) 软件调试及测试 对软件进行最后的调试，检查是否有错误和遗漏之处，如果有，及时补正。还要 对软件进行测试，准备若干不同的轨迹曲线，用软件设计出对应的四杆机构，再计算 误差，看是否能达到精度要求，如果都能达到要求，则表示软件无误。 1 4 需解决的关键问题 l 、数据采集。建立连杆曲线库需要大量的连杆曲线数据，作者从文献 1 】中获取 数据，该书全部以图形形式列出不同类型众多连杆曲线，怎样将这些图形转换为数据 是需要解决的问题之一。 2 、连杆曲线库的制作过程中，需要用b 样条曲线拟合连杆曲线。对于每一条连 杆曲线，选取哪些点作为型值点，选取多少个型值点，同时，b 样条曲线的节点怎样 确定才能保证拟合精度，是关键问题。 3 、建立神经网络时神经网络隐层数和隐层结点数目的确立及神经网络的训练方 法也是一个关键问题。因为神经网络层数和各层神经元数目的确立并没有标准的方 案，设计者大多根据经验选定。 4 、软件使用交互处理设计。根据需要，设计界面添加用户使用交互性功能。由 于神经网络的优化算法存在较多的循环，在算法优化调试运行过程中，可能会出现死 循环，导致计算机死机，并且实际程序难以控制优化精度，故添加外部中断事件，用 户可以根据运行状况实时中断；添加优化进程显示。 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发第2 章理论基础 第2 章理论基础 本章将着重介绍本文采用方案的理论基础及对方案进行可行性分析。 2 1 连杆机构分析与综合基础 机构运动学所讨沦的问题可分为两大类。 第一类问题的研究内容，是就现有的机构分析讨沦其从动杆上各点的轨迹、位 移速度、加速度等的性质。从事这方面研宄的学科，称为“机构的运动分析学。 第二类问题的研究内容，是按照预期的运动感规律，来设计机构的运动系统简图， 以达到所需要求。从事这方面研究的学科，称为“机构的运动综合学”。 连杆机构是由若干构件用低副( 转动副、移动副、球面副、球销副、圆柱副及螺 旋副等) 联结而成，故又称低副机构。连杆机构常用于刚体导引、实现已知运动规律 或已知轨迹。连杆机构分析包括建立连杆机构的动力学方程，进行静力学、动力学和 运动学分析，计算各点各时期的位移、速度、加速度和反作用力等。 连杆机构综合包括型综合和尺寸综合，型综合需要在型分析的基础上进行，并且 欲将性能特点和型联系起来，就必须进一步研究和尺寸有关的型问题，目前型综合还 停留在构建数和运动幅连接的型式的关系阶段，而尺寸综合已得到很大的发展。连杆 机构尺寸综合问题，首先和主要考虑的方面是实现运动学要求，目前的主要成果也多 在这一方面。连杆机构尺寸综合又分为两种，一种是实现已知的运动规律，另一种是 实现已知的预期轨迹。本文研究的是后者。 2 2b 样条理论 关于b 样条理论最早由恩波格( s c h o e n b e r g ) 提出，而后由德布尔( d e b o o r ) 与 考克斯( c o x ) 分别独立地给出关于b 样条计算的标准算法。但作为在c a g d 中的 一个形状数学描述的基本方法，是由戈登( g o r d o n ) 与森费尔德( r i e s e n f e l d ) 在研 究b e z i e r ( 贝齐尔) 方法的基础上引入的。为了很好的理解这个理论，先从基本的概 9 第2 章理论基础 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 念入手： 1 插值、逼近与拟合 给定组有序的数据点只，这些点可以是从某个形状上测量得到的，也可以是设 计员给出的。要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值( i n - t c r p o l a t i o n ) ，所构造的曲线称为插值曲线8 1 。 在某些情况下，测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲 线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。更合理的提法应该是，构造一条曲线 是使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称之为对这些数据点进行逼近 ( a p p r o x i m a t i - o n ) ，所构造的曲线称为逼近曲线。插值与逼近统称为拟合( f i t t i n g ) 。 2 基函数与系数矢量 在c a c d 里，纵观所采用的形状描述数学方法，可以见到，曲线大多采用称为 基表示的一种特殊的矢量函数形式， p ( 甜) = 口，仍( 甜) ( 2 1 ) 式中“代表参数，仍 ) 称为基函数，它决定了曲线的整体性质；q ( f 0 ，l ，刀) 成为 系数矢量。当基函数确定后就决定了系数矢量究竟是表示位置矢量的绝对矢量还是相 对矢量，也就决定了所表示曲线的形状。 3 多项式基和参数多项式曲线 式( 2 1 ) 表达的自由曲线需要选择一类函数作为基函数，由于多项式函数能够 很好地满足形状数学的要求，它表示形式简单，当选定一组多项式基函数后，通过改 变作为基函数的幂次及基表示中定义形状的系数矢量，而获得丰富的形状表达力，又 无穷次可微( 以次多项式可以达到 一1 次可微) ，因而曲线曲面足够光滑，且容易计 算函数值及各阶导数值。采用多项式函数作为基函数即多项式基，相应得到的参数多 项式曲线。 4 参数三次样条曲线 一类分段( 片) 光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。样 条一词来源于工程绘图人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲线所使用的工具，即 富有弹性的细木条或薄钢条。由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的坡度与 曲率。分段低次多项式、在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展 1 0 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发第2 章理论基础 起来的，它克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象，具有较好的数值稳定性和收 敛性，由这种插值过程产生的函数就是多项式样条函数。 5 b e z i e r 曲线( 又称为贝齐尔曲线) 设已知一组型值点只，只，将这些离散的数据点连接成一个折线多边形， 这些数据点称为折线多边形的顶点。b e z i e r 曲线是通过折线多边形的顶点唯一定义 的，且在各项点中只有第一点和最后一点在曲线上，如图2 - 1 所示。由于b e z i e r 曲线 的形状趋向于折线多边形的形状，改变折线多边形顶点的位置与改变曲线形状有密切 的关系，因此称折线多边形为特征多边形。 b e z i e r 曲线的数学基础是在第一个和最后一个端点之间进行插值的多项式调和 函数，其n 次b e z i e r 曲线段的参数表达式为 p o p o p o ， 图卜1b e z i e r 曲线 q o ) = 2 墨，。o ) ， f 【o ，1 】 f o j0 、 第2 章理论基础 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 其中，只( f = o ，1 ，n ) 表示特征多边形n + 1 个顶点的位置矢量，忍。( f ) 是n 次伯恩斯 坦( b e r n s t e i n ) 多项式： e 。( f ) 5j _ i i ；：! j j i ( 1 一f ) ”一f ， f = o ，1 ，z ， ( 2 - 2 ) 其中，当i = 0 ，t = 0 时，t = 1 ，o ! = l 。 三次b e z i e r 曲线具有如下性质： ( 1 ) b e z i e r 曲线的首末端点正好分别是b e z i e r 多边形的首末顶点 ( 2 ) b e z i e r 曲线在首末端点的k 阶导矢分别与b e z i e r 多边形的首末k 条边有关， 与其他边无关，这表明曲线在首末端点分别与首末条边相切。 ( 3 ) 几何不变性与仿射不变性 由b e z i e r 曲线的参数表达式可知，曲线的形状仅与特征多边形各顶点的相对位置 有关，而与坐标系的选择无关，即不依赖于坐标系的选择。 ( 4 ) “对称性 将b e z i e r 多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方向相反。 ( 5 ) 凸包性质( c o n v e xh u l l ) b e z i e r 曲线的凸包性质是质b e z i e r 曲线恒位于它的控制顶点的凸包内，见图 2 2 。这一性质确定了b e z i e r 曲线的所在范围，使得设计人员预先就心中有数。 图2 2 凸包性 ( 6 ) 移动刀次b e z i e r 曲线的第_ ，个控制顶点q ，将对曲线上参数为f = n 的那点 p ( 寺) 处发生最大的影响。这是因为相应的基函数色，。( f ) 在f = 三n 处达到最大值。 若使顶点屯引入便宜矢量t ，则由新b e z i e r 多边形定义的b e i z i e r 曲线将是 1 2 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 第2 章理论基础 p ( f ) = p ( f ) + 哆b 加( f ) 在p ( z ) 处发生的最大影响( 见图2 - 3 ) 为 刀 ( 2 - 3 ) p = p ( 上) 一p ( ) = 万，曰伽( 上) ( 2 4 ) 疗n 。 n 反之，欲使曲线p ( f ) 在p ( 丢) 处移动p ，则必须使顶点l 引入便宜矢量 哆= a p _ ，。( 寺) 可见，这是一个交互设计b e z i e r 曲线很有用的性质 ( 2 - 5 ) 图2 - - 3 移动 6 b 样条曲线 b 样条方法是在保留b e z i e r 方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不具有局 部性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题背景下提出来的。几何连续 的b e z i e r 曲线在形状设计方面有很大的灵活性，但迄今没有出现像在b 样条方法里 那样统一、通用、有效的标准算法及强有力的配套技术，b 样条方法兼具了b e z i e r 曲线的一切优点，具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是最广泛流行的形状 数学描述的主流方法之一。另一重要点是，b 样条方法是目前已成为关于工业产品几 何定义国际标准的有理b 样条方法的基础。 为了保留b e i z i e r 方法的优点，仍采用控制顶点定义曲线。为了能描述复杂形状 和具有局部性质，b 样条曲线采用一次b 样条基函数替换了b e z i e r 曲线采用的 b e m s t e i n 多项式。曲线方程式如下： p ( “) = 喀f 。( “) ( 2 - 6 ) 1 3 第2 章理论基础 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 其中，“为参数，西o = 0 ，1 ，刀) 为控制顶点。顺序连成的折线称为b 样条控制多边 形，简称为控制多边形。m ； ) o = o ，1 ，刀) 称为k 次规范b 样条基函数，其中每一 个称为规范b 样条，简称b 样条。它是由一个称为节点矢量的非递减的参数u 的序 列u ：“。5 + 。所决定的k 次分段多项式，也即是k 次多项式样条。b 样条基 是多项式样条空间具有最小支撑的一组基，故被称之为基本样条( b a s i cs p l i n e ) ，简称 b 样条。 b 样条曲线与b e z i e r 曲线比较，差别在于： 对于b e z i e r 曲线，基函数的次数等于控制顶点数减1 。对于b 样条曲线，基 函数的次数k 与控制定点数无关。 b e z i e r 曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。b 样条曲线则是一种特殊 表示形式的参数样条曲线。 b e z i e r 曲线缺乏局部性质。b 样条曲线具有局部性质。 下面重点介绍一下b 样条曲线的局部性质。 第i 个k 次b 样条m 。 ) 具有支撑区间【u i , l ! m + 。】，他的左端节点u ，的下标与该b 样条的次数无关，但右端节点u m + 。的下标与次数k 有关，也即支撑区间包含的节点 区间数( 含零长度区间) 与次数k 有关。k 次b 样条的支撑区间包含斛1 个节点区间。 于是在参数1 1 轴上任一点u l ! i , u m + 】，就至多只有胁1 个非零的k 次b 样条 m ) ( ，一f - k ，i - k + l ，f ) ，其他k 次b 样条在该处均为零。例如，对于k = - 2 ，在 u 【u f ，u m + i 】处，只有m 矗2 ( “) ，m 1 ，2 ( “) 与m 2 m ) 非零，如图2 4 所示。 n i 2 ，2n i 一1 ，2n i ，2 图2 叫在“【u f ，u l + k + l 】处至多只有3 个非零的二次b 样条曲线 考察b 样条曲线定义在区间“【u ，u m + 。 上那一曲线段，略去其中函数取零值的那些 项，则可表示为 1 4 基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发第2 章理论基础 p ( u ) = 乃m ，。( “) ， “ ，u i + 。】( 2 - 6 ) j f _ f - k 该式表明了b 样条曲线的局部性质的一个方面，即k 次b 样条曲线上定义域内参数 为“心，。】的一点夕( 功至多与n 1 个顶点d j ( j = f k ，i k + l ，f ) 有关，与其他定点 无关。这个局部性质也表明，在曲线定义域内，定义在非零节点区间u ，u i + 。】_ l r j j b 一露次b 样条曲线段，由斛1 个控制顶点呸彬4 小l ，一，喀及相应的b 样条基函数决定， 与其他顶点无关，增加减少一个控制顶点，样条曲线相应增加或减少了一曲线段。 瓦1 i 1 赢1 五一掰 地一1 址一i “i 。l 地一i 图2 - 5 定义在心，+ i 】上那一段七次b 样条曲线 另一方面，可以得出结论：移动第f 个控制顶点吐，至多影响到定义区间( “，“+ 。) 上 那部分曲线( 图2 6 ) ，对b 样条曲线的其他部分将不发生影响。 d ，i d - 3 荪3 刁1 鼻菇- j 蔽- 1 钉 烈 图2 一_ 6 移动顶点d i 到比至多影响【u i ，u i + 】那些曲线段 7 三次均匀b 样条曲线 第2 章理论基础基于神经网络的铰链四杆机构复演轨迹设计软件的开发 b 样条曲线有多种分类，从代数表达式来分，分为无理和有理，无理又分为 均匀和非均匀。本文用到的是三次均匀b 样条曲线，它的基函数如下 e 3 ( f ) e ，( f ) = i 1l f 3 + 3 f 2 3 f + 1 ) = l ( t a , t 2 , t , 1 ) ( 一1 ，3 ，一3 ，1 ) 7 ， 2 专c 3 ，一6 户+ 4 ，= 吾。3 2 ，厶1 ，c 3 ，6 ，。，4 ，7 ， 。27，l = 吉( 一3 ，3 + 3 f 2 + 3 f + 1 ) = ( t 3 , f l , t , 1 ) ( 一3 ，3 ，3 ，1 ) 7 ， 。 = i t 3 6 = l ( t 3 t 2 t 1 ) ( - 1 , 0 , 0 , 0 ) r 。 第i 段的三次b 样条曲线的数学表达式： q 3 ( f ) = f o ，3 ( ) 霉+ 互，3 ( f ) 2 + i + e ，3 ( f ) 曩2 + 忍。3 ( f ) 最3 ( 2 - 8 ) 将它用矩阵形式表示，有 q f ，3 ( f ) = ( p o ，3 0 ) + 巧。3 ( f ) + 五，3 ( f ) + 巧t 3 ( f ) ) 若记丁= ( t 3 , t 2 , t ，1 ) ， m s = l ( t 3 , t 2 , t , 1 ) r 三 l1 则第i 段三次b 样条曲线可简记为 蚓 l 兄，j q ，( f ) = 巩q 。， 如图2 7 所示，三次b 样条曲线的端点性质如下 1 6 ( 2 - 9 ) ( 2 - l o ) ( 2 1 1 ) j 3 磊 气 i 2 3只最& 曩 l 2 ，只r & 最 ，。_ 1 o 0 0 o 3 3 3 巧0 4 弓3 3 3 西o 4 o 3 o _。l 1 6 基于神经圆垫盟堡壁璺堑型! 丝星堕塾鎏堡盐墼堡箜茎垄 箜! 兰型蕉亘| ! ! - = = - _ _ _ - i - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ 。1 。一一。 b o ( o ) = ( 昂+ 4 互+ 墨) 岛( 1 ) = ( 墨+ 4 + b ) 或( o ) = 去( 昱- e o ) ( 2 1 2 ) b 0 0 ) = 寺( 弓- g ) 反( o ) = p o 一2 p , + 昱 或( 1 ) = 日一2 最+ 弓 由于 b o ( o ) ：丢( r + 4 9 + ) ：摹1 华一日】+ e l ( 2 - 1 3 ) o jz 则 b o ( o ) 一日：i 1 华一日】( 2 - 1 4 ) ，z 令 耳：墨妄墨 ( 即耳为昂尸的中点) 这说明b 样条曲线起始点是在第二个控制顶点与相邻控制顶点连线段的中点连线的 1 3 处，且其切矢量与第二个控制顶点相邻连线平行，模长为该连线段的一半，且一 介导矢和二阶导氏连续。终点也有相识的性质，不再赘述。 图2 _ - 7 两段三次均匀b 样条曲线 8 由型值点反求控制顶点 通过大致给定位于曲线上的一些点( 型值点) ，反算出b 祥条曲线的控制顶点， 1 7