（机械设计及理论专业论文）基于模糊理论的随机可靠性分析.pdf

基于模糊理论的随机可靠性分析 摘要 机械模糊可靠性设计自2 0 世纪8 0 年代初期诞生以来，在理论和应用上都 取得了很大的发展。目前在一些基本概念上人们尚有争议，可喜的是已经有了 一些与此相关的理论研究，但这些理论研究大多都艰深晦涩，数学表达式复杂， 缺乏面向应用的沟通渠道。本文所研究的内容为可靠性计算提供了新的方法， 具有重要的理论意义和实用价值。 本文用模糊理论进行随机可靠性分析的基本原理是，在把随机变量转化为模 糊变量后，再利用模糊数学中截集的概念，把模糊变量变为均匀分布的区间数，最后 进行可靠性分析。 首先，本文推导了两个随机变量均服从均匀分布的情况下，随机变量之差和商 的联合概率密度函数，其目的是便于利用模糊理论进行可靠性分析，并给出了应力 强度均为均匀分布时，应用应力强度干涉模型得到的失效概率的解析表达式。 其次，本文在模糊变量和随机变量相互转化的基础上，推导出线性分布的 随机变量与抛物型分布的模糊变量可以相互转换，具有等价关系。 最后，在把随机变量变换为模糊变量的前提下，本文详细讨论了应力强度 均为模糊变量时的可靠性计算方法。方法一是首先根据模糊数学中截集的概念， 得到模糊应力和模糊强度的区间数，然后利用区间数的运算法则得到干涉变量 的区间数，最后进行可靠性计算。方法二是首先用同一阈值得到模糊应力和模 糊强度的区间数，把应力和强度看作在各自区间内服从均匀分布的随机变量， 再用均匀分布随机变量之差或商的联合概率密度函数，得到干涉变量的联合概率密 度函数，最后进行可靠性计算。方法三在第二种方法进行可靠性计算的过程中， 分别用不同的阈值得到模糊应力和模糊强度的区间数，然后得到干涉变量的联 合概率密度函数，再进行可靠性计算。 通过计算表明，方法一的误差最大，方法二的误差次之，方法三得到的可靠性计 算结果与利用应力强度干涉模型得到的可靠性计算结果相同。从理论上看，利用模糊 理论进行随机可靠性分析在方法上是可行的，从而为随机可靠性分析提供了另一途 径。 关键字：可靠性分析；随机变量：模糊变量；隶属函数：区间数 r a n d o mr e l i a b i l i t ya n a l y s i sb a s e do nf u z z yt h e o r y a b s t r a c t q u i t eg r e a tp r o g r e s si nm e c h a n i c a lf u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nh a v e b e e nm a d es i n c et h ee i g h t i e so ft h et w e n t i e t hc e n t l l r y , b u tt h em e a n i n g so fs o m ei m p o r t a n t c o n c e p t si nf u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r ya r en o ta c c e p t e db ya l lo fp e o p l e a l t h o u g hs o m e c o r r e l a t i v et h e o r yh a v e b e e np r o p o s e d ，m o s to ft h e s et h e o r ya l eo b s c u r e ，a n dt h e e x p r e s s i o n sa r ec o m p l e x ，s ot h e ya r ed i f f i c u l t t op u ti n t op r a c t i c e an e wm e t h o do f c a l c u l a t i o no ft h er e l i a b i l i t yw i t ht h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lv a l u ew a sp r o v i d e db yt h i sp a p e r t h eb a s i cp r i n c i p l e so fr e l i a b i l i t ya n a l y s i sb yr a n d o mf u z z yt h e o r yo ft h i sp a p e ri sp u t r a n d o mv a r i a b l e si n t oa f u z z yv a r i a b l ea n du s et h ec o n c e p to ff u z z ym a t hc u ts e t sp u tt h e f u z z yv a r i a b l e si n t oau n i f o r md i s t r i b u t i o no fi n t e r v a ln u m b e r sa n dt h e nr e l i a b i l i t ya n a l y s i s f i r s to fa l l ，t h i sp a p e rs u b j e c tt ot w or a n d o mv a r i a b l e sa r eu n i f o r m l yd i s t r i b u t e dt h e d i f f e r e n c eb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h e i rj o i n tp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n i t s p u r p o s ei st of a c i l i t a t et h eu s eo ff u z z yt h e o r yt or e l i a b i l i t ya n a l y s i s ，f m a l l br e l i a b i l i t y a n a l y s i s s e c o n d l y , i nt h i sp a p e rt h ef u z z y v a r i a b l e sa n dr a n d o mv a r i a b l e so nt h eb a s i so fm u t u a l t r a n s f o r m a t i o nd e r i v a t i o no fl i n e a rd i s t r i b u t i o no fr a n d o mv a r i a b l e s 、析也t h ep a r a b o l i c d i s t r i b u t i o no ft h ef u z z yv a r i a b l e sc a l lb em u t u a l l yc o n v e r t e dw i t he q u i v a l e n c er e l a t i o n f i n a l l y , t h es t r e s sa n dt h ei n t e n s i t y a l es u p p o s e dt ob ef u z z yv a r i a b l e sa n dt h e n d i s c u s s e dc a l c u l a t e dr e l i a b i l i t yi nd e t a i l i nt h i sp a p e r , t h r e em e t h o d sa r cu s e dt oc a l c u l a t e t h er e l i a b i l i t y t h r o u g ht h ec a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h ef i r s tm e t h o dh a sl a r g e s te r r o ra n dt h es e c o n d m e t h o dh a sl a r g e re r r o ra n dt h et h i r dm e t h o dh a st h es a n l ec a l c u l a t i o nr e s u l t sw i t h s t r e s s s t r e n g t hi n t e r f e r e n c em o d e l s ot h i sa p p r o a c hi sf e a s i b l ei nt h e o r y k e yw o r d s ：r e l i a b i l i t ya n a l y s i s ；r a n d o mv a r i a b l e ；f u z z yv a r i a b l e ；m e m b e r s h i pf u n c t i o n ； i n t e r v a ln u m b e r 图表清单 图2 1z = z + 】，取值范围示意图1 0 图2 - 2 情况l 求解示意图1 1 图2 - 3 情况2 求解示意图1 2 图2 4z = y x 取值范围示意图1 4 图2 - 5 情况1 求解示意图15 图2 6 情况2 求解示意图16 图2 7 情况3 求解示意图17 图2 8 模糊数正态分布隶属度函数图形2 2 图2 - 9 模糊数抛物型分布隶属度函数图形2 3 图3 1 应力强度干涉模型的产生原理2 6 图3 2 应力强度干涉的干涉区2 7 图3 3 线性应力强度干涉模型干涉区2 8 图3 4 线性应力强度干涉模型的几种基本情况2 8 图4 1 区间数产生示意图3 5 图4 2 均匀分布概率密度函数图形3 6 图4 3 均匀分布应力强度干涉模型3 6 图4 4 区间数可靠性算法示意图3 7 图4 5 抛物线型模糊应力强度干涉模型3 7 图4 6 极限状态方程为差时正( z ) 情况1 图形3 9 图4 7 联合概率密度函数情况2 图形3 9 图4 8 联合概率密度函数不同阈值时图形。4 1 图4 9 两个独立变量下阈值取值范围示意图4 3 图4 1 0 极限状态方程为商时t ( 三) 情况1 图形4 4 图4 1 1 联合概率密度函数情况2 图形4 5 图4 1 2 联合概率密度函数情况3 图形4 6 表4 1 不同方法计算的失效概率的比较4 7 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金趄王些盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：趣毫田 签字日期：刀年争月形日 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些态堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金壁王、业太 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：趑吝，闪 导师签名： 签字日期。7 年4 月蟛日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 东南娉博士 签字日期：砂7 年9 ，月彩日 电话： 邮编： 致谢 本文是在导师董玉革教授的精心指导下完成的。在读研期间，导师对我的 学习及论文工作倾注了大量的心血，在生活上给予了无微不至的关怀。导师严 谨的治学态度、求实创新的开拓精神，诲人不倦、宽以待人的高尚品质给我留 下深刻的印象，这些都将对我以后的学习和工作产生巨大的影响。同时还要衷 心感谢师母倪峥老师在我读研期间给我的关心和帮助! 在此对恩师和倪老师表 示我衷心的谢意! 同时，真诚感谢理学院的赵征权老师和机械原理及零件教研室的朱家诚教 授、周美立教授、王纯贤副教授、吴焱明副教授、陈奇老师给我各方面的指导 和帮助，并创造了许多必要条件和学习机会! 感谢教研室的其他所有老师在我 读研期间给予的诸多帮助。 感谢同届的宋智燕，师兄刘建峰、陈加超，师姐方俊芳、熊燕，师弟陈秋 杰、古明林，的支持和帮助。感谢教研室的李祥、李方、刘元平、高振刚、褚 颖等同学等给予的支持和鼓励。 感谢好友韩宏雷、刘斌、吕吉鹏、高勇、魏峰和同学殷浩、孟超、梁青松 等对我的帮助和鼓励，感谢与他们一起度过的快乐时光。 最后，还要深深感谢我的母亲对我无微不至的关怀，感谢他们对我的理想 的理解和支持! 感谢哥哥赵武田对我的关怀和鼓励。感谢所有支持及帮助过我 的亲人、同学和朋友们。谢谢! 作者：赵古田 2 0 0 9 年3 月2 0 日 第一章绪论 1 1 概述j 1 2 捌 可靠性是指“产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。 在定义中包含了可靠性的对象、规定的功能、规定的条件、规定的时间四大要 素。 l 、可靠性对象包括系统、机器、零部件等。它可以是非常复杂的产品，也 可以是一个简单的零件。单个零件，如机械零件的齿轮、轴、弹簧等；电子零 件，如电阻、电容、集成块等；机器，如机床、汽车、飞机、轮船、发动机等 等。如果对象为一个系统，则它不仅包括硬件( 系统本身) ，而且包括软件和入 的因素在内。 2 、规定的功能系指零部件、系统的预期功能，即它所应实现的使用目的 和功能，如电灯泡的照明功能，汽车的运行功能，机床进行金属毛坯的切削加 工功能等。如果对象在实际使用中，不能实现规定的功能时。就称为对象发小 故障或功能失效，反之则称为对象可靠、能正常上作。功能失效在研究对象的 可靠性时必须明确。例如，如果一台8 缸发动机，当有1 个汽缸火花塞石良好 时，而其他7 个汽缸正常，汽车仍能在规定的时间内完成运输功能，这时就不 一定算功能失效；如果8 个汽缸火花塞都有毛病，出现很大爆破声，直到完全 熄火，这时就应称为功能失效。一般地，功能失效是一个模糊的界限，不容易 分清。 3 、规定的条件包括环境条件、维护条件及使用条件。环境条件，如环境 温度、湿度、振动、润滑状况等；维护条件，如能否维修保养、维修条件、使 用者的技术水平等；使用条件，如使用方法、使用频率等等。对象如果超载运 行、误用、操作不当或故意的破坏行为等情况均会产生对象的功能失效，故研 究对比可靠性必须规定条件。 4 、规定的时间是指对象的工作期限，或经济寿命期( e l t ) ，可以用时间 表示，也可以随对象的不同采用诸如次数、周期、距离等表示。例如，滚动轴 承的工作期限用时间，车辆的工作行程用公里数，齿轮的寿命用应力循环次数 表示。 可靠性最初是由美国军方提出，起因是在第二次世界大战末期美国对德国 实施战略轰炸的b 2 7 轰炸机的电子设备失效率高，因故障损失的飞机比被德军 击落的还要多的多，因此为减少维护修理的时间，减少飞机的非战损率，抓住 战场上瞬息万变的战机，可靠性的概念便应运而生了。从1 9 5 7 年美国电子设备 可靠性咨询委员会( a g r e e ，a d v i s o r yg r o u po nr e l i a b i l i t yo fe l e c t r o n i ce q u i p m e n t ) 发 表“军用电子设备可靠性报告”【i j 算起，可靠性设计登上历史舞台已有将近5 0 年。 在这5 0 年中，随着可靠性设计逐步广泛而深入的应用于工程实践，随着人们在实践 中逐渐深刻地认识了事物的本质，随着基础学科( 如模糊数学) 的不断发展，可靠性在 理论研究和实际应用方面都取得了长足的进步。不仅最初出现的概率可靠性理论( 文 中也将其称为随机可靠性理论) 获得了飞速的发展，涌现出了越来越多的分支，对产 品可靠性的描述越来越完善，而且随着非概率可靠性理论浮出水面，并逐渐在工程应 用中崭露头角，整个可靠性的理论体系分成了概率可靠性理论和非概率可靠性理论两 大门类。总的说来，可靠性理论体系规模越来越大，分支越来越细，涉及的基础理论 越来越艰深，相互的联系错综复杂。 1 1 1 随机可靠性 可靠性工程是一门跨专业跨部门的横向综合性学科，它研究的内容非常广泛，最 先应用在军事领域后来逐渐应用于各种民用产品，应用最多的是电子产品。可靠性工 程可以分为，系统可靠性、结构可靠性、软件可靠性、机械可靠性、网络可靠性以及 人的可靠性等。研究的内容包括可靠度的计算、寿命的分布、加速寿命实验、故障树 分析、数据分析等。可靠性研究的领域有：相干的结构理论、更新理论、可用性理论、 极值分布理论、最佳维修方案、贝叶斯理论、冗余的最优化、多变量寿命分析、蒙特 卡罗模拟、随机过程等。 随机可靠性理论的深入发展也好，非概率可靠性理论的出现也罢，归根结底，各 种可靠性理论的基本目标只有一个，那就是如何越来越合理准确地量化产品的“可 靠性 。各种可靠性理论的基本观点、基本思想、基本原理，它们的区别与联系，它 们的长处与不足，最终都将在它们用什么样的数学模型来描述产品的可靠性中体现出 来。可靠性的核心就是用于量化“可靠性”这个概念的数学模型。 数学模型作为对现实客体的数学描述，它与现实的“接口 源于现实的假设 和回到现实的结果处于一个相当关键的位置。假设是一个模型得以建立的基石，也是 把一个数学模型用于实践中时需要细致检验的前提。而一个数学模型描述现实客体的 能力，最终要接受实践的检验，这需要把模型的结果放到实际中去分析。分析数学模 型的结果有两个方面的内容：对数学运算结果的现实解释和对模型与现实客体吻合程 度的分析，只有在一定精度要求下与现实客体相吻合的模型才是一个可用的模型。此 外，应该采用什么样的数学工具和数学结构来描述一个现实客体，取决于现实客体本 身的结构是什么样的；一种数学理论能不能用于描述现实客体是取决于这种数学理论 所能描述的结构是否与现实客体的结构相吻合。 对于数学模型而言，它因为提出了可以在一定程度上正确反映现实客体的一些假 设，用一定的数学理论合理地描述了现实客体的结构而具有活力，同时，也因为假设 与现实的差别和数学理论本身的适用范围而产生局限。因此，在建立和分析一个数学 模型时，对数学模型与现实客体的关系予以特别的关注，尽量分析清楚一个模型的假 设从何而来，为什么要用这种数学结构来描述现实客体，模型的结果反映了客体的什 么特征，使模型被反驳或被接受都有据可依。由于实践经验的局限和客观条件的制约， 对于模型与现实客体的吻合程度的分析可能薄弱了一些，但是，由于讨论的对象有其 2 特殊性更多是与人的经验、语言、决策有关，认知的对象是人自己，用“内省 的方法来“扪心自问或许可以从定程度上弥补实践环节的不足。另外，许多地方 用可以用分类与分层的方法来说明问题。需要强调的是，划分只是相对的，联系才是 绝对的，现实中有的对象本身就不能明确分层和分类。作划分只是为了在承认联系的 前提下，突出相对的区别，可以把讨论的对象说得更清楚一点，而决不是要把思想限 死在框架中，或者一定要给对象套上一个框框。因此，对于提出的划分不必太过于认 真，只要能体味到对象之间在不可分割的联系中存在着差别就够了。 因此数学模型的建立是可靠性分析的关键所在。目前，随机可靠性研究已经比 较成熟。由于可靠性涉及多学科多领域，因此各个领域里都有从事可靠性研究 的学者，如机械领域、电子领域、通讯领域、计算机领域、土木水利领域、航 空航天领域等，在各个领域中都取得了显著的成绩。在机械领域中可靠性的研 究也很突出，已经出版了很多关于这方面的专著。在国内有很多知名学者从事 可靠性方面的研究。 机械可靠性设计又称机械概率设计，是可靠性理论在机械设计中的应用。 对机械破坏机理认识的日益加深和机械故障概率资料的逐步积累，以及概率与 统计在机械零件的应力与强度分析方面的应用等，都为机械可靠性设计提供了 理论基础和实践经验，使可靠性理论的应用扩展到结构设计、强度分析、疲劳 研究等方面。 在采用传统的机械设计方法进行设计时，不能预测零部件在运行中破坏的 概率，是因为在设计中所采用的载荷、材料性能等数据，是它们的平均值，而 没有考虑数据的分散性。为了保证机械产品的可靠性，往往对计算载荷、选用 的强度等分别乘以各种系数，最后还要考虑安全系数。这种传统方法是人们对 这些因素的随机变化所做的经验但不精确的估计，只好将机械的尺寸、重量等 做经验的但又不精确放大，盲目取用优质材料或加大零件尺寸，形成不必要的 浪费。相比之下，采用机械可靠性设计方法，所得结构将更接近实际情况。在 机械可靠性设计中，将载荷、材料性能与强度及零、部件的尺寸，都视为服从 某种概率分布的统计量，应用概率论与数理统计及强度理论，得出在给定设计 条件下零、部件不发生破坏的概率公式，应用这些公式，就可以在给定可靠度 下求出零、部件的尺寸，或给定零部件尺寸下确定其安全寿命。机械可靠性设 计的特点，首先是以非确定性随机方法研究、设计机械零件和机械系统，它采 用了可靠度指标来确保机械零件和机械系统的可靠性，而传统机械设计主要采 用许用应力法和安全系数法来保证机械零件和机械系统的可靠性，机械可靠性 设计在设计变量处理方法、设计变量运算方法以及设计准则等方面都与传统的 机械设计法不同。其次，机械可靠性设计除引入可靠度指标外，还对安全系数 做了统计分析，这样得出的安全系数比传统机械设计中的安全系数更符合实际 情况。从对机械零件和机械系统安全性的评价来看，传统机械设计只有安全系 3 数这样一个指标，而机械可靠性设计指标则有可靠度和安全系数。 1 1 2 模糊可靠性的提出。 随机可靠性理论的基本假设具有局限性【2 j 。 随机可靠性理论的基本模型是b i m b a u m 在第三届数理统计与概率论的b e r k e l e y 专题讨论会上的一篇文章中提出的“应力强度干涉模型”【2 】，模型中用r ( ，) = 以，j ) 来计算零件的可靠度。“应力强度干涉模型”是一个典型数学建模成功的案例，该 模型一方面继承了传统设计方法中使用的强度理论，用强度是否大于等于应力来判断 零件是否安全，一方面又基于实验事实 2 1 ，把强度与应力描述为随机变量，进而用概 率论与数理统计的方法来把握零件的寿命，把产品的设计推广到了时域，极大地推动 了可靠性理论以至现代设计理论的发展。 可是，随着设计要求的不断提高，以“应力强度干涉模型 为基础的随机可靠 性理论已经不太能满足描述产品可靠性的要求了。“应力强度干涉模型的数学工 具是概率论与数理统计，一方面，从概率论的数学基础“测度论 中可以知道，概率 测度可以测度的只是普通集 4 1 ，随机可靠性理论中表现为：必须把“规定条件 、“规 定时间 以及“规定功能”用普通集来表示，可靠度是可以用概率论计算的；另一方 面，用统计学的方法确定强度与应力的概率分布，需要通过对产品进行各种随机试验 来获得数据，如果不能做试验，也至少要有一定的先验数据作为统计推断的依据，因 此，随机可靠性理论其实是用产品在“确定的条件下”和“确定的时间内完成“确 定功能”( 其中，“确定 是指数或者区间) 的概率来量化产品的可靠性的，而且要在 有条件通过试验数据来确定强度与应力的概率分布时，这种量化才是可以实现的，而 在工程实际中我们常常遇到这样一些问题： ( 1 ) 随机可靠性理论包含如下二个基本假设【5 】 一是离散有限状态假设。在离散逻辑基础上，将系统指标的取值范围划分 成若干部分，每一部分标志着系统的不同性能水平，即系统的不同状态。如在 二值逻辑中，系统就只有二种状态，即系统要么完全正常，要么完全故障( 失效) 。 二是概率假设。系统可靠性行为可以完全用概率方式予以描述。 ( 2 ) 在随机可靠性中，对系统状态做二值状态假设，从而使系统性能指标的取 值范围被划分为截然不同的两部分，然后根据系统的实际指标值落入哪一部分 判断系统故障与否。显然这种划分在多种情况下是不符合工程实际的。尽管在 多位逻辑下，可将系统指标的取值范围划分为许多部分，从而使得对系统性能 的描述变得更为细致，但在本质上，多值逻辑与二值逻辑是相同的，它不能区 别同一部分内不同指标间的差异，而不同部分交界处的相邻指标点间并无性能 上的本质差异，却被分别划分属于不同的状态，这是极不合理的，也不符合人 们的思维特点和对客观事物的认识。 实践表明，在工程实际中，任何一种设计准则所限制的约束边界，从安全 到失效，从可用变为不可用，均存在一个从量变到质变的连续过渡过程，具有 4 一个模糊的边界范围。此时离散有限状态假设不成立，而应以模糊状态假设代 替。所谓模糊状态假设是指故障判据是模糊的，即在任意时刻，系统在某种程 度上处于模糊正常状态，又在某种程度上处于模糊故障状态。 随机可靠性理论的另一基本假设为概率假设，即系统可靠性行为可以完全 在概率范畴内得以描述，但概率不是可靠性的唯一度量方法。可靠度与可靠性 这两个概念应区别开来。 ( 3 ) 应用概率方法处理实际问题必须满足四个前提： l 、事件定义明确； 2 、大量样本存在； 3 、样本具有概率重复性并具有较好的分布规律； 4 、不受人为因素影响。 但在实际工程问题中，这四个条件往往并不满足。如“正常使用 、“正常 维护 就是人人皆能体会而又很难确切加以定义的概念( 模糊概念) 。又如对电 站、化工、冶金等大型成套机械设备以及故障发生频率很低的设备就无法获得 大量的数据。对全新开发的产品，由于无使用先例，无法获得失效数据。而这 类问题又是工业界和学术界所关注并致力取得突破的问题，因这类设备一旦发 生事故，经济损失十分巨大，有时可能还会带来严重的社会影响。然而时至今 日，对这类问题尚无个令人满意的理论模型。许多系统即使有了大样本，也 不一定能找到统计规律，即使有了统计规律也不一定是典型的，而非典型的过 程( 如非平稳、非高斯分布、非自噪声等) 在数学上是难以处理的。 1 9 6 5 年，美国控制论专家z a d e h 提出的模糊数学为解决不确定性问题提供 了一种新的方法，人们开始将模糊数学与随机可靠性理论相结合，建立了一门 全新的学科模糊可靠性。引入模糊数学方法不是为了把随机可靠性问题模 糊化，而是把实际问题中模糊事件等用精确的数学表达式表示，使问题精确化。 1 2 模糊可靠性设计发展现状 机械模糊可靠性设计自2 0 世纪8 0 年代初期诞生以来，在理论和应用上都 取得了很大的发展。目前在一些基本概念上人们尚有争议，可喜的是已经有了 一些与此相关的理论研究，但这些理论研究大多都艰深晦涩，数学表达式比较 复杂，缺乏面向应用的沟通渠道。 从某种意义上说。非概率可靠性理论的研究是围绕着如何解决三类问题 4 1 来展开的。这三类问题加上随机可靠性理论能解决的问题，形成了从可靠性概 念中衍生出来的四类问题： ( 1 ) 随机可靠性理论能解决的问题。 ( 2 ) 如果强度或应力的概率分布已知，而规定功能和规定时间不能用普通 集表示时，如何描述产品的可靠性? 8 0 年代9 0 年代初，模糊可靠性理论发展 的主要方向就是解决这类问题( 关于这个时期发展的更详细介绍请参见文献t 2 j ) 。 5 现在对处理该类问题的方法已经基本达成共识：把不能用普通集描述的规定时 间与规定功能用模糊集来描述，然后用z a d e l 定义的模糊概率计算模糊规定时 间与模糊规定功能下的可靠度，并且以此为基础发展出了与随机可靠性理论中 的主要概念相对应的一整套概念( 如模糊平均寿命、模糊维修度等) 。 ( 3 ) 如果规定时间和规定功能可用普通集来表示，而实际条件不允许进行 可靠性试验，也没有先验数据可利用，因而不能用统计方法确定强度与应力的 概率分布时，如何描述产品的可靠性? 这是9 0 年代中后期以来，模糊可靠性研 究的热点问题。除了蔡开元早期在p o s b i s t 方面的工作外，吴杰明在文献【8 】 中提出了模糊强度与模糊应力的概念，董玉革在文献【2 】中系统地阐述了在模糊应 力- 随机强度、模糊强度随机应力、模糊强度模糊应力等情况下计算可靠度的方法， 这也是目前解决第二类问题的主要方法之一。与此一脉相承，文献 9 】把 2 】中的方法 推广到了截集区间中的分布为线形分布的情形，吕震宙等在文献 1 0 】中比较了几种方 法的计算结果，并在文献【1 1 】中对模糊应力模糊强度的情况作了统一处理，研究了此 时的数值算法。目前解决第二类问题的另一种主要方法是黄洪钟在文献 1 2 ，1 3 】 中提出的加权平均法，而江涛等在文献 1 4 】中证明了两种方法的等价性，说明 两种方法存在统一的契机。研究了模糊因素与随机因素融合时的设计方法，并 从形式上统一了几种可靠性模型。 近几年，董玉革教授在文献【2 】中方法的基础上提出模糊变量向随机变量的变换 【1 6 ，2 3 ，4 1 】，找到了第二类问题与随机可靠性理论的联系，从而把第二类问题转化为 随机可靠性问题处理，使随机可靠性理论中大量成熟的方法可以应用于解决第二类问 题 1 7 2 2 】，提供了解决第二类问题的新思路；另外，黄洪钟在文献 2 6 中提出了一种 把可能性分布转化为概率分布密度函数的变换，不过，由于文中的变换是用归一化处 理来实现的，其中的“可能性分布”看起来更像是变相地给出了一种主观概率。 ( 4 ) 如果规定功能和规定时间不能用普通集来表示，强度或应力的概率分布也 未知的情况时，如何描述产品的可靠性? 目前关于这类问题的论文几乎是空白。出现 这种情况的主要原因是处理第二类问题的方法尚未达成共识，甚至对处理第一类问题 的方法也还有疑问，各种方法也还有待于接受工程应用的进一步检验；而从数学上的 角度看，可能性测度、似然测度等测度的对象仍然是普通集，要把第一类问题与第二 类问题综合起来，如果不考虑向随机可靠性理论转化，那么需要发展真正面向模糊集 的测度，这种类型的测度目前还鲜见于各类文献中。因此，目前研究第三类问题的时 机或许并不成熟。 1 3 课题来源及背景、必要性 本课题来自国家自然科学基金项目“基于模糊变量向随机变量变换的可靠 性分析及应用研究 ( 项目号5 0 3 7 5 0 4 2 ) 。 模糊可靠性设计自诞生以来，已经取得了长足的进步1 9 - 2 2 , 3 5 - 4 6 】。 正如本文1 1 2 所论述的那样“应力强度干涉模型 为基础的随机可靠性理论已 6 经不能满足大量信息为不确定性信息和非量化信息的可靠性分析的需要，而且该方法 计算量大，通用性差以对于分布相同和分布不同的情况下都需要因干涉区域的大小和 位置分别进行讨论和计算。因此有必要对此展开新的研究以期获得更简便、实用、准 确，的可靠性分析方法。本为据此展开研究。 1 4 论文体系及内容安排 本文综合微积分、概率论和可靠性理论等知识，针对目前传统机械可靠性 设计中尚存的若干问题：针对随机可靠性分析中计算量较大、方法单一、无法 处理模糊变量等问题，提出了在随机变量与模糊变量相互等价转换基础上，用 随机可靠性理论分析模糊可靠性问题以及用模糊数学方法计算随机可靠性问 题。这里主要探讨了利用模糊数学中的截集和区间数等模糊理论进行可靠性计 算；建立模糊应力强度干涉模型和概率论相结合在不同的极限状态变量下进行 可靠性的计算；并将上述方法的结论与随机可靠性计算的结论进行比较并分析 误差原因。 具体内容和结构安排如下： 第一章：通过介绍国内外机械模糊可靠性设计的发展和应用现状，阐述本 课题研究的意义和必要性。 第二章：介绍了模糊可靠性设计涉及到的必要的基本数学理论，包括概率 论与数理统计和模糊数学的一些基本理论。 第三章：应力强度均为均匀分布时的可靠性计算。 第四章：介绍在随机变量与模糊变量相互等价转换的基础上，研究基于模 糊理论的可靠性计算的新方法，并与随机可靠性分析所得到的结论进行分析比 较，分析误差原因。并利用算例验证新方法的可行性。 第五章：对本文的主要工作成果进行了总结，并展望了今后进步研究需 注意的方向。 7 第二章数学理论基础 2 1 概率论与数理统计1 6 7 1 基本概念由于本文所做的研究将涉及到概率论与模糊数学的一些知识在此对这 些基本概念做一下简单的介绍。 事件是概率论研究的对象。事件分以为：必然事件、不可能事件、随机 事件。必然事件与不可能事件分别用u 、v 表示。概率是概率论中最基本的概 念之一。事件a 的概率是a 发生可能性大小的度量，记为尸a ) 。 概率的统计定义进行大量重复试验时，事件彳发生频率具有稳定性。频 率的稳定性p 称为事件a 的概率，记作p = p ( 4 ) 。 古典概率定义设随机试验有两个特点： ( 1 ) 随机试验只可能出现种( 有限) 基本结果，而全体基本结果构成两两 不相容事件完备组； ( 2 ) 在一次随机试验中各个基本结果发生可能性相等； 如果事件a 包含m 种基本结果，则称p ( a ) = m n 为事件a 的概率。 概率的性质： ( 1 ) 0 尸( 彳) l ； ( 2 ) p ( u ) = 1 ，p ( y ) = 0 ； ( 3 ) 若事件a ，b 互不相容，则尸似u 功= 尸似) + 尸( 功。推广之，若事件 4 ，么：，彳。两两不相容，则 p ( a 。u a ：u u a 。) = p ( a 。) + p ( 彳：) + + p ( a 。) ( 4 ) p ( 彳) = 1 一尸( 彳) ( 5 ) 若acb ，则p ( b 一么) = 尸( 功一p ( 彳) ，尸( 彳) 尸( 占) ( 6 ) p ( aub ) = 尸( 彳) + p ( a ) 一p ( a b ) 条件概率若p ( b ) 0 ，则称在事件b 发生的条件下事件彳发生的概率为事 件4 对事件b 的条件概率，记作p ( aib ) 。其公式为p ( alb ) = e ( a b ) p ( b ) 。 在条件概率中有三个重要公式： ( 1 ) 概率乘法公式若p ( b ) 0 ，则尸( 彳b ) = p ( b ) p ( aib ) ： ( 2 ) 全概率公式若事件骂，垦，鼠为两两不相容的事件完备组，且 尸( e ) o ( i = 1 ，2 ，以) ，则尸( 彳) = p ( 马) p ( 彳l 骂) ； 1 = 1 ( 3 ) 贝叶斯公式在全概率公式所加条件下，再另加条件p ( 彳) 0 ，则 p ( eia ) = 华盟业，2 ，肛 p ( e ) p ( 彳i 乃) p , i 随机变量在随机试验中，若存在一个变量，它依试验结果的改变取不同 8 的数值，则称此变量为随机变量。 设有随机变量兄对任意实数x ，令 f ( 石) = p x x 则称，( x ) 为x 的分布函数。 相互独立的事件设a ，b 是两事件，如果具有等式 p ( a b ) = p ( 4 ) 尸( b ) 则称彳，曰是相互独立的事件。 概率密度函数如果对于随机变量x 的分布函数，o ) ，存在非负函数厂( x ) ，使对 于任意实数z 有 f ( 力= i ( f ) d t 则称x 为连续型随机变量，其中函数f ( x ) 称为x 的概率密度函数。 联合分布函数设，n 是二维随机变量，对于任意实数x ，弘二元函数 f ( x ，y ) = p ( x 工) n ( y y ) j = p ( 彳x ，】，) ，) 称为二维随机变量( 彳，即的分布函数。 联合概率密度对于二维随机变量( z ，即的分布函数f = ( x ，力，如果存在非负的函数 厂“y ) 使对于任意x ，y 有 f ( x ，力= i 。i f ( u ，v ) d u d v ( x ，功是连续型的二维随机变量，函数f ( x ，y ) 称为二维随机变量( x ，即的概率密度，或 称为随机变量彳和】，的联合密度。 一些常见的概率分布 离散型： ( 1 ) 二项分布分布布列为a = p x = 0 = q p 。g 州o = o ，1 ，珂) ，记作b ( n ，p ) 。 1 ， ( 2 ) 泊松分布分布列为p 。= p x = f = p 以( f = o ，1 ，2 ，) ，彳 0 ，记作p ( 兄) 。 l ： 连续型： ( 1 ) 均匀分布分布密度为 ( x ) = ， 口 x b 其他 其中a 0 ，正态分布记作n ( g ，盯2 ) 。n ( o ，1 ) 称为标准正态分布。 随机变量的数学期望表示多次试验的理论平均值，也是概率分布的中心。 随机变量的方差和标准差表示概率分布对数学期望的分散程度，方差也 表示多次试验试验值对数学期望的平均平方偏差。 2 2 两个随机变量的联合分布函数的求解 由于两个随机变量的联合分布函数的求解涉及到本文所研究的方法，而通常的概 率论与数理统计的资料对与这方面介绍比较少，在此本节给出较为详细的理论推导过 程。 2 2 1z ：x + y 的分布6 l 设( x ，即的概率密度函数为似j ，) ，则z = x + j ，分布函数为 c ( z ) = ，仁z ) = f 陟( x ，y ) d z d y ( 2 - 1 ) ，施 这里的积分区域g ：x + y z 是直线x + y = z 左下方的半平面如图2 1 化成累次积分，得 c ( z ) = ，二【1 2 y m ，y ) d x d y 固定z 和y 对积分e 厂( x ，) ，) 出作变量变换，令x - - - - u - - 少，得 f f s x , y ) d x = 二 f ( u y ，y ) d u 于是 e ( z ) = 二二厂 一y ，y ) 妇d y = 二 f ( u - y ，y ) d y d 甜 由概率密度的定义，既得z 的概率密度为 z ( z ) = j 。f ( z y ，x ) d y o o ， 笏 y 入x + y = z 纷? 钐钐入一 图2 1z = z + j ，联合概率密度函数取值范围示意图 由x ，y 的对称性，z ( z ) 又可写成 z ( z ) = i f ( z x ，x ) d x ，, - n o i o ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 上述为两个随机变量和的一般公式。 特别的，当石，y 相互独立时，设( x ，n 关于x ，y 的边缘概率密度分别为厶( x ) ，力o ) ， 则以上两式分别化为 正( z ) = f 二f x ( z - y ) f r ( y ) d y ( 2 4 ) z ( z ) = f 。石( z x ) 厶( z ) d r , ( 2 5 ) 这两个公式称为卷积公式，记为厶石，即 厶石= 仁厶( x ) 石。一工) 出= 二无( z y ) f r ( y ) d y ( 2 - 6 ) 由于本文稍后进行的分析中需要解决两个均匀分布在极限状态方程z = j y 下 的联合概率密度函数的分布情况，在此本章给出详细的推导过程 已知相互独立的两个随机变i x a ，b 】，y = 【c ，刎( 由于本文研究对象的特点决定 了的了参数口，6 ，c ，d 均为大于零的实数) 均为均匀分布，求z = 石+ ( 一y ) 求联合概率密度 函数，为方便起见，不妨设x 在区间【o ，h 】内服从均匀分布，y 在区间 0 ，】内服从均匀 分布其中h = b 一6 1 ，= d c 则