（机械设计及理论专业论文）基于调和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究.pdf

大连理 ：大学硕士学位论文 摘要 随着数控雕刻技术的发展，曲面雕刻时图案扭曲变形问题成为一个越来越受到重视 的问题。如何生成曲面雕刻的刀具运动轨迹以解决这个难题是打破曲面数控雕刻过程中 的关键。 本文利用调和映射理论，把平面数控雕刻技术生成的刀具运动轨逊映射到曲面上， 生成曲面雕刻的刀具运动轨迹，以此避免在复杂曲面的数控雕刻过程中出现图案的扭曲 变形。 术文重点介绍了调和映射的基本理论，研究了平而到曲面的调和映刺。利用二二次b 样条拟和目标曲面，应用变分法推导出平面到曲面调和映射所必须满足的偏微分方程。 解这个偏微分方程时，我们把调和方程转化为扩散方程，通过求解扩散终值问题来得到 调和映射。本文给出了求解扩散终值问题的数值算法并讨论了算法的稳定性和收敛 性。 对于提出的生成曲面数控雕刻刀具运动轨迹方法的有效性，本文通过数值实验来进 行验证。依照初始映射和调和映射的对应关系将图像贴到目标曲面上，并把贴图后的曲 面透视投影到观察面上，从初始映射到调和映射透视效果的改善，证明本文提出的方法 是有效的。 关键词：调和映射；偏微分方程；数控滩刻；双三次b 样条曲面：曲面拟合；刀具轨迹 规划 基于调和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 a b s t r a c t w nt h ed e v e l o p m e n to f n u m e f i c mc o n t r o le n g r a v i n g t e c h n o l o g y t h ep r o b l e mo f p a t t e m s d i s t o r t i o nh a sr e c e i v e dm o r ea n dm o l la u e n f i o ni ns c u l p t i n go nac o m p l e xs u r f a c e ，a n dm a n y e f f o r t sh a v eb e e nm a d et ot r yt os o l v et h i sp r o b l e m t h i st h e s i sf o c u s e so l lh o wt og e n e r a t et h e e n g r a v i n gt o o l - p a t h o ns u r f a c e sf o rs o l v i n gt h i sp r o b l e m an e wm e t h o dh a sb e e n d e v e l o p e d i nt h i st h e s i s ，w h i c hc a n p r e s e r v et h ep a t c e ms c u l p t e d o i ls u r f a c eu n c h a n g e d b a s i c a l l y ，t h ep r o p o s e dm e t h o d f i r s t l yg e n e r a t e s t h e t o o l - p a t hb yu s i n g t h et e c h n o l o g yo f s c u l p t i n go i lp l a n e ，a n dt h e nt h et o o l - p a t hi sm a p p e dt ot h es n r f a c eb a s e do i l t h eh a r m o n i c m a p p i n gt h e o r y t h eb a s i ct h e o r i e so fh a r m o n i cm a p p i n ga n dt h eh a r m o n i cm a p p i n gf r o map l a n et oa s u r f a c ea r ee m p h a t i c a l l yd i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h et a r g e tf r e ef o r ms u r f a c ei sc o n s t r u c t e d b a s e do i lt h ec u b i cb s p l i n es u r f a c e ，a n da p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c ht h eh a r m o n i c m a p p i n gm u s ts a t i s f y ，i sa c h i e v e db yu s i n gt h ev a r i a t i o na p p r o a c h b e c a u s ei ti s d i f f i c u l tt o s o l v et h eh a r m o n i ce q u a t i o n sd i r e c t l y , t h eh a r m o n i ce q u a t i o nh a st ob ec h a n g e dt od i f f u s i o n e q u a t i o n s , t h es o l u t i o no f w h i c hh e l p st oo b t a i nt h eh a r m o n i cm a p p i n g i nt h em e a nt i m e ，t h e a l g o r i t h mf o rt h es o l u t i o no f t h ed i f f u s i o ne q u a t i o n si si n t e n s i v e l yd i s c u s s e da n dt h es t a b i l i t y a n dt h e c o n v e r g e n c e o f t h ea l g o r i t h ma l ea l s o p r o v e d ， s o m eh u m e r i e a le x a m p l e sa r eg i v e ni no r d e rt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o du s e d t og e n e r a t et h ee n g r a v i n g t o o l - p a t ho n t h es u r f a c e t h ei m a g ei sf i r s tm a p p e dt ot h es u r f a c ew i m t h ei n i t i a lm a p p i n ga n dt h eh a r m o n i cm a p p i n g ，a n dt h e nt h es u r f a c ei sp r o j e c t e dt ot h ev i s i o n p l a n e t h em e l i o r a t i o nf r o mt h ei m a g em a p p i n g t ot h es u r f a c ep r o j e c f i o no n t ot h ev i s i o np l a n e p r o v e s t h ee f f e c t i v e n e s so f t h i sm e t h o d k e yw o r d s ：h a r m o n i cm a p s ；p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；n u m e r i c a l c o n t r o l s c u l p t i n g ；c u b i cb 。s p l i n es u r f a c e ；s u r f a c er e c o n s t r u c t i n g ：t o o l p a t hp l a n n i n g 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：熟至丕日期：丝互：兰 人连理工人学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究意义及背景 课题属于自由曲面数控加工的研究领域，用到了数学领域中调和映射的一些基本理 论和计算机图形图像学中曲砸贴图的基本思想。 手：l = = 雕刻是一种工匠型的劳动，它是雕刻师高智能和高技能的综合活动。雕刻产品 是否成为珍品完全取决于雕刻师对艺术的理解、对材料的感觉、雕刻技巧的发挥和孜孜 不倦的精神。正是由于如此，雕刻成为一种艺术、一种文化和一种精神的象征。 雕刻技术起源于艺术品的加工，但是出于其深厚的文化内涵和精湛的成品效果促使 雕刻走入了工业生产领域。雕刻技术在进入工业生产的初期主要是产品形态的细节精纠 修整和产品的文字图案雕刻。传统的手工雕刻是以刀斧凿为工具，无沦从生产效率还是 精度上都难于适应工业生产的需要，因为工业生产毕竟与艺术创意不太一样。这样应运 产生了机械仿形雕刻加工。机械仿形雕刻的出现为雕刻进入工业起到了巨大的推动作 用，尤其是图案和文字的雕刻能力加速了模具产业的发展速度，为雕刻这一艺术型的工 艺在工业领域中广泛使用奠定了扎实的基础。 仿形雕刻的主要过程是：将一个由工艺设计师制作出的样品，装夹于仿型雕刻机工 作台左边的回转央具上，将被加工的工件装夹于工作台右边的回转夹具上，左边的吲转 央具及右边的回转夹具是同步回转的，当仿形触指在人手的操纵下沿着样品的轮廓运动 时，装在主轴端部的刀具，将与仿形触指同步运动，从而在工件上雕刻出所要求的轮 廓。仿形雕刻技术对雕刻这一艺术型工艺，在工业生产中的广泛使用起到了巨大的推动 作用。 但是仿形雕刻需要技术工人操纵仿形触指来引导刀具运动，并且仿形雕刻机本身的 精度也不高，这就导致仿形雕刻产品的加工精度较低，同批产品的差异也较大，无法满 足人们对雕刻产品精细度越来越高的要求。同时机械仿形雕刻在曲面产品的雕刻、与计 算机设计技术的接口等方面也明显存在着弱势，上述弱势阻碍着雕刻技术在现代工业中 的应用广度。随着工业产品的开发速度加快，尤其是计算机设计的广泛应用，工业产品 的形态更加丰富，变化更加迅速，这样对制造业提出了新的要求，一批以计算机控制为 基础的数控设备进入了机械加工工业。这样促使以计算机辅助设计和制造 ( c a d c a m ) 技术、计算机数控技术( c n c ) 为核心的数控雕刻技术成为了推进雕刻 走入工业领域的主流。由于数控雕刻对象的特点为图案复杂、造型奇特、成品精细，决 定了数控雕刻的工作方式为小刀具的高速铣削，事实上这也正是数控雕刻的专业优势， 基丁+ 调平“映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 缘由是数控雕刻是在干常规大刀具无法加工的业务。数控机床具有很高的加工精度和稳 定的加工质量，用数控机床作为加工工具进行数控雕刻，就可以保证雕刻产品具有很高 的精细度，而且同批产品几乎没有差异。数控机床的刀具运动由数控指令控制，刀具按 照确定的运动轨迹加工工件，而雕刻的图案主要来自图像，所以数控雕刻的主要过程就 是：根据图像计算生成刀具运动轨迹，经过后置处理把刀具运动轨迹转换成数控机床的 数控加工指令，传输到数控机床上进行雕刻。正由于数控雕刻特有的专业特点，使其在 模具雕刻业和广告雕刻等行业得到广泛的应用。 数控雕刻的实质是进行型腔铣削加工，平面数控雕刻就是二维平底型腔加工，而曲 面数控雕刻是三维曲底型腔加工。曲面数控雕刻比平面数控雕刻复杂，直以来都是数 控雕刻的难点。曲面数控雕刻的刀具运动轨迹，一般是把平面数控雕刻的刀具运动轨 迹，垂直投影到曲面上而得到的。衄面数控雕刻现在存在的主要问题是图案扭曲变形。 曲面上点的黎曼度量是变化的，而平面上点的黎曼度量是常量，即曲面上局部坐标网曲 线两个切向量的长度及它们之间的夹角是变化的，而在平面上这些是不变的。直接把平 面数控雕刻的刀具运动轨迹，垂直投影到曲面上来计算曲面数控雕刻的刀具运动轨迹， 没有考虑黎曼度量的变化，因此依照这样的刀具运动轨迹来进行曲面数控雕刻会产生图 案的扭曲变形。 为了解决图案扭曲变形问题，本文探索性地提出利用调和映射理论生成曲面数控 雕刻过程中刀具运动轨迹的方法。这一课题从理论上扩展了调和映射理论的应用范围， 促进了曲面数控雕刻技术的发展。应用本文提出的调和映射方法，生成曲面数控雕刻过 程中的刀具运动轨迹，进行数控雕刻，可以有效地减小图案的扭曲变形，进而改善雕刻 产品的视觉效果，提高产品的市场竞争力。 1 2 国内外研究概况和发展前景 在曲面数控雕刻的研究过程中，涉及到离散型值点的曲面重构和刀具轨迹规划中的 些问题，下面先介绍一下这两个领域的当前研究概况及发展趋势。 1 2 1 曲面重构的研究概况及发展趋势 1 9 6 3 年，美国b o e i n g 飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数的 矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个 方向的切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片。它所采用的曲线曲面的参数形式从此成为 曲线曲面设计中进行形状数学描述的标准形式。1 9 6 4 到1 9 6 7 年，美国麻省理工学院的 c o o n s 提出了一个具有般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可以定 2 大连理l ：大学硕士学位论文 义一块曲面片一一c o o n s 曲面。1 9 7 1 年，法国r e n a u l t 汽车公司的g e z i e r 提出了种 由控制多边形定义曲线的方法。设计人员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形 状，而且形状的变化完全在预料之中。由于g e z i e r 方法简单易用，又漂亮地解决了整 体形状控制问题，所以广为人们接受。但随着应用数学和c a d c a m 技术的发展，在 s c h o e n b e r g 、m a n s f i e l d 、d e b o o r 和c o x 奠定和完善了b 样条的基础理论之后， w g o r d o n 和r r i e s e n f e l d 于7 0 年代中期，将b 样条理论引入曲线曲面设计系统。以 后，b e z i e r 曲线曲面被看作为b 样条曲线曲面的一种特例，而b 样条方法比b e z i e r 方 法更具一般性，即任何分段光滑多项式曲线曲面均可用b 样条曲线曲面表示。b 样条基 函数具有训算稳定、快速的特点，同时，b 样条曲线曲面具有局部可修改性和强的，7 包 性，故具有较强的几何造型能力。在1 9 7 4 年召开的著名的u t a h 会议上，b a r n h i l l 和 r i e s e n f e l d 第一次使用了计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ， 简写成c a g d ) 这个名词，从此，以研究几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门独立的 学科出现。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描述问题， 然而将其应用于圆锥曲线和初等解析曲面时，却是不成功的，每种方法都是只能给出近 似表示，故不能适应大多数工业产品的要求。1 9 7 5 年，基于r i e s e n f e l d 的工作， v e r s p r i l e 在他的博士论文中，将b 样条理论推广到有理情形，首先提出了非均匀有 理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a ib - s p l i n e ，简写成n u r b s ) 这个概念。以后，主要 由于p i g e 和t i l l e t 等人的功绩，发展至8 0 年代后期，n u r b s 方法成为曲线曲面造型 方法中最为流行的技术。非有理与有理曲线曲面形式和非有理的b 样条曲线曲面形式都 被统一在n u r b s 形式之中。从此，n u r b s 逐渐成为工业界的标准。1 9 9 1 年，国际标准化 组织( i s o ) 颁布的关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，把n u r b s 作为定义工业产 品几何形状的唯一数学方法。与此同时，一些著名的商品化的c a d 软件系统纷纷开发和 推出n u r b s 功能，美国s d r c 公司推出的i d e a s 系统中的g e o m o d 模块就把所有的曲面 实体模型建立在单一的n u r b s 曲面上。目前市场上c a d 软件都标榜具有和声称正在开发 n u r b s 功能。关于n u r b s 理论方面的研究成果正在迅速转化成现实生产力。n u r b s 方法 主要有以下四个特点： n u r b s 不仅可以表示自由曲线曲面，它还可精确的表示圆锥曲线和规则曲面，所以 n u r b s 为c a g d 提供了统一的数学描述方法。 n u r b s 具有影响曲面、曲面形状的权因子，故可以表示相当复杂的曲线曲面形状。 若运用恰当，将更便于设计者实现自己的设计意图。 一3 一 基于调承映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理b 样条曲线曲 面的性质及其相应的计算方法可直接推广到n u r b s 曲线曲面。 计算稳定、快速。 然而，n u r b s 方法会遇到非有理方法中未出现的一些问题，而导致计算将变得复 杂。特别是不适当地选取权因子会导致很坏的参数化，甚至破坏随后的曲面结构。 n u r b s 方法给设计人员以广阔的自由度和极大的柔性，但是将这额外负担推给用户是不 可取的 1 。因此，有关自动算法和优选算法的研究应用是完全必要的。 】22 数控概述和刀具轨迹规划的研究概况 12 t 2 1 数控加工的发展概述 数控雕刻的实质是数控加工 2 - 4 。根据零件图样及工艺要求等原始条件编制零件 数控加工程序，输入数控系统，控制数控机床中刀具与工件的相对运动，从而完成零件 的加工，这就是数控加工。 数控加工起源于飞机制造业。1 9 4 7 年，美国p a r s o n 公司为了精确地制作直升机机 翼、螺旋桨叶片和飞机框架，提出了用数字信息来控制机床自动加工复杂零件的设想， 他1 _ i j n 用电子计算机对机翼加工的刀具运动轨迹进行数据处理，使得加工精度达到 0 0 0 1 5 英寸，这在当时的加工水平来看是非常高的。1 9 4 9 年美国空军为了能在短时间 内制造出经常变更设计的火箭零件，支持p a r s o n 公司与麻省理工学院伺服机构研究所 合作研制数控机床。1 9 5 2 年世界上第一台数控机床三坐标立式数控铣床研制成 功，它可以进行连续空间曲面的加工，揭开了数控加工技术发展的序幕。 数控加工是采用数字信息对零件的加工过程进行定义，并控制机床进行自动加工的 一种自动化加工方法，它具有以下几个方面的特点： ( 1 ) 具有复杂形状加工能力。复杂形状零件的加工在飞机、汽车、船舶、模具、 动力设备和国防军工等产品的制造过程中占有重要地位，复杂形状零件的加工质量直接 影响这些产品的整体性能。数控加工过程中刀具运动的任意可控性使得数控加工能完成 普通加工难以完成或者根本无法进行的复杂曲面加工。 ( 2 ) 高精度。数控加工使用数字程序来控制刀具的运动实现自动加工，排除了人 为的误差因素，而且加工误差还可以由数控系统通过软件技术进行补偿校正，因此采用 数控加工可以极大地提高零件的加工精度。 ( 3 ) 高效率。数控加工的生产效率一般比普通加工高2 3 倍，在加工复杂零件时 生产效率可以提高十几倍甚至几十倍。采用五面体加工中心、柔性制造单元等数控加工 4 火连理工大学硕十学位论文 设备进行加工时，零件一次装夹后可以完成几乎所有部分的加工，不仅可以消除多次装 夹引起的定位误差，且可大大减少加工辅助操作，使得加工效率进一步提高。 ( 4 ) 高柔性。只需改变加工程序即可适应不同零件的加工要求，而且几乎= j f i 需要 制造专用的工装夹具，因此加工柔性好，有利于缩短产品的研制与生产周期，适应多品 种、中小批量的现代生产需要。 数控加工是一种高效率、高精度、高柔性的自动化加工，但数控设备的费用相对于 普通机床要高，因此目前数控加工多应用于零件形状比较复杂、精度要求较高，以及产 品更换频繁，生产周期要求短的加工场合。 数控加：r 是现代自动化、柔性化、数字化牛产的基础j 关键。数控加i 。可以提高生 产效率、稳定加工质量、缩短加工周期、增加生产黍陛，实现对各种复杂精密零件的自 动化加工。应用数控加工易于在工厂或车间实现计算机管理，可以减少车间设备的总 数、节省人力资源、改善劳动条件，有利于加快产品的开发和更新换代，提高企业对市 场的适应能力，增加企业的经济效益。 1 2 2 2 数控加工编程技术的发展概况 在传统的通用机床上加工零件时，一般是由：i ：艺人员按照设计图纸事先制订好零件 的加工工艺规程。在工艺规程中确定零件的加工工艺、切削用量、机床的规格及工具、 夹具等内容。操作人员按工艺规程的各个步骤操作机床，加工出图纸给定的零件。数控 机床与传统的通用机床不同，它是按照事先编制好的加工程序，高效、自动地对零件进 行加工。把加工工艺路线、工艺参数、刀具运动轨迹、位移量、切削参数以及些辅助 功能( 换刀、主轴正反转、切削液开关等) 按照数控机床规定的语言规则和格式编写成 加工程序，然后输入到数控机床的数控系统中控制机床进行加工。 自从数控机床出现，数控加工编程技术就随之一起发展 2 - 4 。数控加工编程技术 的发展可分为三个阶段：手工编程阶段，自动编程阶段和图形交互编程阶段。 手工编程是指主要由人工来完成零件加工程序的编制工作。编程过程中包括制定加 工工艺，计算刀具运动轨迹，编写程序单，制备程序介质( 如穿孔带，磁带，磁盘) ， 程序的校验和修改等各个阶段的工作都要由人工来完成。显然，这种编程技术适用于对 形状不太复杂，坐标计算简单，加工程序不长的零件进行加工。手工编程阶段编程需要 很长的时间，而且容易出现错误。但是，手工编程是数控加工编程技术的基础，它的重 要地位是不可取代的，而且对于形状简单的零件手工编程快捷、简便。编程费用少。 自动编程是指借助数控自动编程系统由计算机来自动生成零件加工程序。编程人员 用自动编程语言对零件的几何形状进行定义，对加工过程中的工艺路线进行描述，输入 5 一 基丁调和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 计算机后，刀具运动轨迹的计算，数控指令的生成等环节都是由计算机完成。数控加工 程序生成后还可以在计算机屏幕等设备上进行图形检测，若程序有错误或不完善的地 方，可在计算机上进行相应的修改。自动编程技术使数控加工编程从面向机床指令，上 升到面向几何元素，编程过程中很多环节由计算机自动完成，所以可以加工比较复杂的 零件。在此阶段，数控程序的制作时间较短，可靠性也有很大的提高。但是，自动编程 语言也存在着一些弱项，采用自动编程语言定义零件几何形状，难以描述复杂的几何形 状，缺乏几何直观性，缺少对零件形状、刀具运动轨迹的直观图形显示和刀具轨迹的验 证手段，不容易作到高度的自动化、集成化。 图形交互编程是以待加工零件计算机辅助设计的表甬j 模型为基础的一种集加工二j ：艺 规划和数控编程为一体的自动编程方法。在零件设计阶段，采用计算机辅助设计系统的 几何设计模块对零件的几何形状以图形交互的方式进行定义、显示和修改，得到零件的 表面模型。然后调用计算机辅助制造系统的数控编程模块，在图形交互的方式下，完成 数控编程过程中刀具的定义或选择，刀具相对零件表面运动方式的定义，切削加工参数 的确定，刀具运动轨迹的生成，加工过程的动态图形仿真演示，程序的验证以及后置处 理等步骤。这种编程方式习惯上又称为计算机辅助设计计算机辅助制造( c a d c a m ) 集 成系统数控编程，编程人员的主要工作一般都是以屏幕菜单和命令驱动的人机交互的方 式完成的。在图形交互编程阶段，编程速度快，直观性好，可靠性高，这种编程方式是 目前数控编程的主要方式。 1t 2 2 t 3 数控雕刻技术概述 数控雕刻技术是在工业领域中计算机辅助设计技术、计算机辅助制造技术、计算机 数控技术和高速铣削技术等相关技术的基础上，根据雕刻应用的特殊性结合艺术设计发 展起来的 5 1 0 。 数控雕刻的几何建模 随着科学技术的发展和学科间的交叉渗透，计算机视觉技术进入数控雕刻领域，图 像矢量化成为数控雕刻几何建模主要方式 6 7 。数控雕刻的图案来源多数是图像，然 而图像中花纹复杂、没有精确的图像边缘尺寸，从而导致难于对其进行几何建模，如果 人工对其边缘进行拟和，则必然导致其拟和精度不高、准确性差、效率低，因此需要对 图像的边缘进行自动跟踪并拟和成若干个封闭轮廓的图元实体，即对图像进行矢量化。 为了满足雕刻办n 工的要求，图像矢量化必须满足一些条件：图像矢量化后所形成的 所有轮廓线必须是封闭的；对图像边缘跟踪后得到的一系列离散点进行拟和时，既要保 6 一 大连理1 ：人学硕十学f 矗论文 证轮廓线的光滑又要保留轮廓线的失角部分，要求所有轮廓线与原图像之间的逼近误差 小；图像矢量化后所形成的所有封闭轮廓线之间不允许存在自交叉或互交叉的现象。 图像是通过二维点阵的形式表达，这种结构直接对应光栅显示设备，其本身没有包 含任何关于图像中几何结构的信息。在二维图像中，所有的对象都可以看作是由各种不 同形状、不同大小的区域所构成。边缘是指图像局部灰度变化最显著的地方，图像的矢 量化就是采用边缘跟踪技术，搜索得到整幅图像中所有区域的轮廓线。 判断图像中某一点是否是边界点通常使用r o b e r t 梯度算法 7 。设图像的灰度函数 为f ( x ，y ) ，x 为行坐标，y 为列坐标，r o b e r t 梯度算法通过比较灰度的梯度矢量幅 度：g f ( x ，y ) 1 = f f ( x ，y ) f ( x + i ，y f l ) f ( x ，y ) 一f ( x + i ，y + i ) l 与设定的阀值的大小 来判断该点是否为边缘点。 轮廓线搜索的主要过程为 6 ：从图像的左上点开始，由左到右、由上到下逐点判 断是否为边缘点；找到第一个边缘点后对该点设置标志表示已经找到过，以该点为起点 按逆时针顺序在相邻的八个点中搜索下一个边缘点：对刚找到的边缘点设置标志，从该 点m 发还是按逆时针顺序继续搜索没有堤置过标志的边缘点；以此类推，搜索回到起点 后就形成了一个封闭的轮廓线；从刚找到的轮廓线的起点开始，由左到右、由上到_ 卜继 续逐点判断是否为边缘点，如果是边缘点且没有设置过标志，就以该点为起点按逆时针 序搜索新的轮廓线；到达图像右下点时就得到了所有的轮廓线。 有些图案中存在交叉点，这时需要对交叉点进行处理 7 3 。交叉点在第一次找到后 会被设置标志，这样它只能出现在首次找到它的轮廓线中，不能出现在包含它的其它轮 廓线，导致其它轮廓线不闭合，因此需要对交叉点进行特殊处理。在轮廓线搜索过程 中，如果发现某个边缘点周围的八个点中存在多于一个没有设置过标志的边缘点，列该 点就是交叉点，对它作特殊的记录，然后在这几个刚找到的没有设置过标志的边缘点中 按逆时针顺序选取第一个，对这个点设置标志后从它出发继续下一步的搜索。当再次搜 索到交叉点时，如果在其周围还有未设置过标志的边缘点，将交叉点当作刚找到的边缘 点处理，在其周围没有设置过标志的边缘点中选取逆时针顺序的第一个点，对这个点设 置标志后从它出发继续下一步的搜索；如果在其周围没有未设置过标志的边缘点，就将 交叉点作为已经设置过标志的边缘点处理。 搜索得到的轮廓线是由许多间距为l 的离散点构成，需要进行优化处理，其主导思 想是：从轮廓线的起点出发，根据事先设定的允许误差，用条直线段尽可能多地拟和 轮廊线上的点。 7 基丁调和映射理论进行自由曲面数控雕划的研究 数控雕刻的加工工艺 数控雕刻加工工艺的合理制定对实现优质、高波、经济的数控雕刻具有极为重要的 作用 9 。制定加工工艺主要是根据实际的加工要求，选用机床和刀具，划分加：7 t 序，确定装夹方式，选择走刀方法，确定切削加工参数( 主轴转速、进给速度、切削深 度和切削宽度) 等。 数控雕刻加工别象的特点是图案复杂、造型奇特、成品精细，这就决定了数控雕刻 是在三坐标立式数控铣床上选用小半径刀具进行的型腔铣削加工 g j 。型胯是指具有封 闭边界轮廓线的平底或1 扫底的凹坑，而且可能具有一个或多个不需要加工的岛屿。型腔 铣削加丁包括对型腔底部区域的铣自0 加工和刘型腔边界轮廓的铣削加工。 型腔底部区域铣削加工的走刀方法可以采用行切法或环剀法 n 。行切法是指以一 组相互半行的直线作为走刀路线，刀具与待加工零件表面的切点轨迹呈一1 行行的。行 切法具有编程简单和切削效率高等优点，但两行之间的残留高度差较大。根据【墨域加工 的实际情况，采用不同行距的分区域行切法进行切削，可以使残留高度较为均匀。采用 行切法对曲底的型腔底部区域进行加工需要进行投影计算，根据投影方法的不同，加工 时可聚用两坐标联动或三毕标联动。在两坐标联动时，x 、y 、z 三轴中的任意两轴作联 动插补，其余轴作单独的周期进给，这称为二轴半坐标联动。若铣刀沿平行于y z 平 面的曲线进行铣削加工，则将x 轴的运动轨迹分成若干段，每加工完一条曲线后，进给 x ，再加工另一相邻蓝线，如此依次切削即可以加工出整个曲底区域。三坐标聪动的 行切加工是x 、y 、z 三轴同时作联动捅补，这时刀具中心运动轨迹不是平面折线，而是 一条空间折线。三坐标联动行切加工的精度较高，但编程计算较为复杂。环切法是指以 型腔轮廓的一组偏胃轮廓线作为走刀路线，刀具与待加工零件表面的切点轨迹呈一环 环的。环形法走刀路线可以从边界轮廓开始逐步向内偏置生成，也可以从岛屿轮廓开始 逐步向外偏重生成，同时也可以出上述两个过程同步进行来完成，即边界轮箭每向内偏 置一次，岛屿轮廓也向外偏置一次，这样交叉进行直到覆盖整个底部区域。采用环切法 对曲底的型腔底部区域进行加工时也必须进行投影计算。 型腔边界轮廓铣削加工的走刀路线就是轮廓曲线偏置一个刀具半径后的偏置轮廓线 4 。在编程过程中要安排刀其从切向进入轮廓进行加工，当轮廓加工完毕之后，要安 排一段游切线方向继续运动的距离进行退刀，这样可以避免刀具在零件的切入点和退出 点留下接刀痕。此外，在铣削加工零件轮廓时，要考虑尽量采用顺铣加工，这样可以提 高零件的表面质量和加_ t 精度，减少机床的颤攘。 8 大连理工人学硕士学位论文 切削加工参数包括主轴转速，进给速度，切削深度和切削宽度等 4 。确定切削加 工参数的目标是要生成具有最大材料切除率的数控程序，同时保持稳定的切削状态和要 求的加： 精度。在铣削过程中轴向和径向切削深度必须先确定，而进给速度要考虑切削 力的限制和刀具的承受能力进行选择。为了实现稳定高效的加工，进给速度应当根据加 工时的实际情况自动生成，以便刀具在加工过程中始终能够获得最大的材料去除率，而 切削负荷始终维持恒定，可以保证机床安全、稳定地工作。 数控雕刻刀具运动轨迹的生成 数控雕刻的核心工作是生成刀具运动轨迹，然后将其离散成刀位点，经后罨处理后 产。扛数控加工指令 5 ，9 ，1 0 。刀具运动轨迹是以零件的几何模型为基础，根据所选择的 机床和刀具、走刀方法以及切削加工参数而计算生成的。 数控雕刻的实质是进行型腔铣削加工，平面数控雕刻就是二维平底型腔加工，而曲 而数控雕刻就是三维曲底型腔加工 9 。加工三维曲底型腔的刀具运动轨迹是以加：】：二 维平底型腔的刀具运动轨迹为基础计算得到的。可见，生成加工二维平面区域的刀具运 动轨迹是数控雕刻过程中必不可少的重要工作。 平面任意区域是由一个或若干个封闭环组成的 5 ，一个封闭环内部可能内嵌有多 个封闭环，必须确定环与环之间的关系，将平面区域分割成若干个连通的加工单元( 有 且仅有一个外环和若干个直接内嵌的内环) ，才能进行加工。 判断两个封闭环是型腔关系( 内嵌关系) 还是岛屿关系( 分离关系) 的方法是 5 ：在两个环上各自找到x 向坐标最小点，按两个点x 向坐标值从小到大的顺序对两 个环进行排序；求出连接两点的线段与第一个环的交点并判断是否为y 向增量的突变点 ( 孩点的前后两点的y 向坐标值或者都比该点大或者都比该点小) ，统计非突变交点的 个数；若非突变交点个数为奇数说明两个环为岛屿关系，若非突变交点个数为偶数说明 两个环为型腔关系。 将平面区域分割成加工单元通常采用资料排序算法。资料排序算法的具体步骤是 5 ： ( 1 ) 找到每一个封闭环的x 向坐标最小值，按这些环的x 向坐标最小值，对所有 的环进行从小到大的排序，设置未处理标志。 ( 2 ) 在所有未处理环中，第一个环一定是某个加工单元的外环，将该环记录为这 个加工单元的外环，设置处理过标志。 ( 3 ) 判断该环与其它未处理环的岛屿关系，找到它的所有内环，将这些环记录为 这个加工单元的内环。 9 - - 基1 i 澜和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 ( 4 ) 在这些未处理的内环中，第一一个内环一定是一级内环，对该环设置处理过标 志，判断该环与其它未处理内环的岛屿关系，将该环内部的环从这个加工单元的内环记 录中去掉。 ( 5 ) 判断内环是否处理完毕，如果没有处理完毕，重复步骤( 4 ) ；如果处理完 毕，就得到了这个加工单元的所有内环。 ( 6 ) 判断是否还有未处理的环，如果还有就重复步骤( 2 ) 到( 5 ) ；如果所有的 环处理完毕，就得到了平面区域所有的加工单元。 考虑到刀具半径补偿，需要对加工单元的外环以刀具半径为偏置量沿内法线方向进 行偏移，血1 工单元的所有内环以刀具半径为偏置量沿外法线方向进行偏移。对加工乖元 的内外环进行等距偏移后产生的偏置环可能会出现交叉干涉的现象，需要对偏置环进行 分析和处理 5 。 偏置后出现自交叉现象的处理：对偏置后的外环自身求交时发现交点，这时需要对 该偏置环进行去除处理。将偏置环以交叉点为分界点分割成若干个封闭环，依次进行筛 选。筛选的方法是：依次在这些分割得到的偏置环上任取一个非交叉点，求出该点到偏 置前原封闭环的最短距离，若距离小于偏置量，则该环去除，否则该环保留。 偏置后出现互交叉现象的处理：对偏置后的内环与外环求交时发现交点，或对偏置 后的内环之间求交时发现交点，这时需要对这些环进行合并处理。对两个环求交可以得 到两个交叉点，其中一个环在两交叉点前后的四点中必有两点到另一环的最短距离小于 偏置量，去除掉该环在这两点之间的点( 包含这两个点) ，对另一个环进行类似的处 理，将两环各自保留下来的部分，在交叉点处连接成为一个新的封闭偏置环。 偏置后出现孤岛现象的处理：对外环进行偏置后，单一的外环变成两个或多个封闭 的偏置环，这时不需要进行特殊处理，只要把这若干个偏置环都作为外环的偏置环就可 以了。 对每个加工单元的内外环进行偏置，得到每个加工单元的既不自交叉右不互交叉的 初值边界等距线。对平面区域所有的加工单元逐一进行加工，就可实现对二维平面区域 的加工。采用行切法对加工单元进行加工的刀具运动轨迹的生成算法为 5 ： ( 1 ) 找到加工单元初值边界等距线的y 向最大值y m a x 和最小值y m i n 。 ( 2 ) 求出初值边界等距线与直线y = y m a x j d 的交点( 其中j 是从1 开始的自然数，d 是切削行距) ，并判断是否为y 向增量的突变点( 该点的前后两点的y 向坐标值或者都 比该点大或者都比该点小) 。非突变交点的个数必为偶数。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 当j 是奇数时，按x 坐标从小到大的顺序对非突变交点排序：当j 是偶数时 按x 坐标从大到小的顺序对非突变交点排序。 ( 4 ) 将这些非突变交点按从前到后的顺序，两两成对地连成分段的线段，生成加 e 这一行的刀具运动轨迹。 ( 5 ) j 值增加1 ，如果y y m i n 重复( 2 ) ，否则说明内部各行的刀具运动轨迹已经 全部生成。 ( 6 ) 内部填充加工完成后还要进行兜边加工，兜边加工的刀具运动轨迹就是加1 单元的初值边界等距线。为了减少空行程，兜边加工刀具运动轨迹的起点应该选择与当 前刀位有最小距离的点。 每个加工单元的刀具运动轨迹生成后，需要将它们连接起来。连接各个加工单元的 刀具运动轨迹以获得最小空行程为原则，即当一个加工单元的刀具运动轨迹计算生成 后，在剩余的加工单元中寻找与当前刀位有最小距离的加工单元，并选择与当前刀位有 最小距离的刀位点连接。连接所有加工单元的刀具运动轨迹就得到了平面数控雕刻的刀 具运动轨迹。 当前，生成曲面数控雕刻刀具运动轨迹常用的算法是刀位点路径截面线法，即将刀 具运动轨迹约束在一组曲面内，用这组曲面与待加工曲面刀具偏置面的交线作为刀具运 动轨迹。实用中，约束曲面族通常选择为一组平面，等效于将平面数控雕刻的刀具运动 轨迹垂直投影到曲面上，生成曲面数控雕刻的刀具运动轨迹。这种生成刀具运动轨迹的 方法的优点就是映射过程简单，不需要太多的计算；缺点是没有考虑曲面上黎曼度量的 变化，雕刻图案出现扭曲变形。 1 3 本文工作内容概述 本论文介绍了调和映射的基本理论，给出平面到自由曲面调和映射的数学模型。将 用参数方程表达的二维曲面应用变分法，根据能量泛函取极值的必要条件推导出从平面 到二维曲丽的调和映射所必须满足的偏微分方程。采取有限差分法，通过引入时间变量 t ，将曲面的参数坐标所必须满足的调和方程转化为扩散方程，通过求解扩散方程终值 问题得到平面网格节点所调和对应的曲面点的参数坐标值。本文利用双三次b 样条来拟 和自由曲而，然后在拟和出的自由曲面上根据调和映射进行曲面贴图，验证了曲面数控 雕刻生成刀具运动轨迹的调和映射方法的合理性。 基丁凋和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 2 调和映射基本原理及数学模型 2 1 调和映射的基本原理 2 1 1 调和映射理论的研究概述 调和映射理论是数学物理的一个重要分支 1 1 2 9 ，其研究对象是黎曼流形 3 0 。调 和映射可以保证从一个黎曼流形到另个黎曼流形的映射过程中所产生的映射变形能最 小。 微分流形是一类重要的拓扑空间 3 1 ，它除了具有通常的拓扑结构外，还加上了微 分结构，因而应用微分几何的分析工具，也能建立微分几何性质。在微分流形上引进距 离和联络的概念就可得到黎曼流形 3 0 ，它是一类最重要的微分流形。黎曼流形及其子 流形的研究是当前整体微分几何与数学物理中的一个极重要的课题 3 2 3 3 。三维欧氏 空间r 3 中二维整体曲面s 2 的内在性质( 即由曲面第一基本形式决定的性质) 可作为n 维黎曼流形的一个模型。由于黎曼流形上具有距离、联络和曲率等概念，因而黎曼流形 及其予流形具有丰富的几何信息。例如：我们可以研究一维特殊黎曼流形测地线 3 4 ，二维特殊黎曼流形极小曲面 3 5 ，以及更高维数的特殊黎曼流形极小予 流形等几何对象 3 6 。极小子流形的研究一直是流形研究中最活跃的课题。 对于两个黎曼流形m 和n ，考虑映射空间cr ( m ，n ) ，一个最重要的问题就是找 到这个空问中好的代表元。对于映射f ：m n 可以定义它的映射变形能，调和映射f 就 是这个能量泛函的临界映射。这是极小子流形研究的推广，它的出发点是变分原理。对 调和映射的研究工作最早是由e e l l s 和s a m p s o n 完成的 儿 ，他们证明了当m 、n 是紧 流形且曲率满足k n o 时，每个同伦类中都存在调和映射，若f f n 0 ，有时也记为h ，我们称其为空间步长。而平行于x 轴的直 线则大多是不等距的，往往要按具体问题而定。设距离为, a y 0 ，有时也记为g - ，称其 为时间步氏。 fx = x ，= i a x = i h ，i = 0 ，1 ，+ - 2 ， ly 5 y ，2j a y2 f ，j 。0 ，1 ，2 ， ( 3 1 ) 网格节点( x y ) ，简记为( f ，) 。利用有限差分方法来离散偏微分方程，方法是多 种多样的。而且对于同一偏微分方程可以建立各不相同的差分方程。考虑如下的偏微分 方程 1 9 一 ( 3 2 ) “ 一， y d吼“ = i | 塑以m 口 茁 + “ 如一钞 ，f，-【 基于调和映射理论进行自由曲面数控雕刻的研究 在( 一，y ，) 处可以近似地用下面的方程来代替 ! ! 二兰! + a ! 二! 二! ：o fh j = 0 ，1 ，2 ，i = o ，1 ，2 ， ( 3 3 ) 其中，u u ( x ，乃) 的近似值。由此，式( 3 3 ) 称作逼近微分方程( 3 ，2 ) 的有限差 分方程，或简称差分方程。 用到的节点如图3 1 所示。我们可以把式( 3 3 ) 改写成便于计算的形式 外? = 托? 一瑾a ( 甜二l 一“? ) 其中五= f h ，称其为网格比。 差分方程( 3 4 ) 再加上式( 3 2 ) 中初始条件的 离散形式“? = f ，i = o ，1 ，2 ，就可以逐层推进，算 出各层的值。这里的“层“是表示在直线y = ，r 上网格点的整体。差分方程( 3 4 ) 和初始条件的离 散结合在一起构成了一个差分格式。 一般来说，差分格式可分为显式格式和隐式 格式。由第n 个层推进到第珂+ 1 个层时，如果公 式提供了逐点计算“? “的明显表达式，那么，就 ( 3 4 ) 图3 1 f i g 3 1 称该公式为显式格式。若在显式格式中，计算第盯+ 1 层时只用到”层的数据。前后仅联 系到两个层次，称为两层显式格式。 若对y 仍采用向前