（检测技术与自动化装置专业论文）非线性系统的分段模糊控制方法的研究.pdf

摘要 摘要 题名：非线性系统的分段模糊控制方法的研究 硕士研究生姓名：刘志康 导师姓名：纪志成 专业名称：检测技术与自动化装置 币文：t a k a g i s u g e n o ( t s ) 模糊控制系统的稳定性分析及系统化设计已成为模糊 控制领域研究的热点领域。利用l y a p u n o v 直接方法、线性矩阵不等式( l m i ) 和并行分 配补偿策略( p d c ) ，对t s 模糊系统进行研究，已经取得了一定的研究成果。该方法 需要寻找一个适合所有规则的公共j 下定矩阵p ，而在工程应用中对于实际控制对象，随 荷f j ，j - 捉变量和规则数目的增多，l m i 的求解的保守性也随之增加。针对求解l m i 出现的 保、) 。陡问题，许多学者针对l y a p u n o v 函数的结构进行了不懈的探讨和研究，得到了非单 一l y a p u n o v 函数方法，但是没有将该方法针对连续t s 模糊系统进行深入的研究。 本文通过分析传统的l y a p u n o v 匪l 数( c q l f ) 的结构，分别利用t s 模糊系统的隶属 嫂函数的结构信息和模糊前件规则，构造了分段二次l y a p u n o v 函数( p q l f ) 和模糊 l y a p u n o v 函数( f l f ) ，在此基础上将f l f 引x - 至l j p q l f 所得到的分段模糊区域中定义分 段模糊l y a p u n o v 函数( p f l f ) ，本文利用单- - l y a p u n o v 函数( c q l f ) 和非单一l y a p u n o v 函数( p q l f 、f l f 和p f l f ) 对连续t s 模糊系统的稳定性分析和系统化设计进行了较为 深入的研究。 首先，针对t s 模糊系统进行了稳定性分析和控制器的设计，利用单一与非单一 l y a p u n o v 函数方法对单一与非单一鲁棒控制器的设计问题做了深入的研究，得到了l m i 形j i = 的鲁棒控制器的参数化设计方法；继而针对不确定t s 模糊系统，利用非单一 l y a p u n o v 函数进行了研究，给出了模糊保性能控制器和分段模糊h 。状态反馈控制器存 存的充分条件，得到了l m i 形式的控制器的表示方法；最后，研究了一类不确定时滞t s 模糊系统的分段保性能和分段模糊跟踪控制问题，得到了系统保持渐近稳定的充分条 件。 对上述控制系统设计方法进行仿真研究表明：由p f l f 所设计的控制器的控制效果优 1 ：其他方法，可以有效降低由于模糊规则数目增多所带来的求解l m i 的保守性问题。 关键词：模糊控制；t - s 模糊系统；l y a p u n o v 函数；分段；模糊；并行分配补偿； 线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t t i t i e ：t h er e s e a r c ho fp i e c e w i s ef u z z yc o n t r o lf o rn o n l i n e a rs y s t e m s p o s t g r a d u a t e ：l i uz h i k a n g t u t o r ：j iz h i c h e n g p r o f e s s i o n a l ：c h e c k i n gt e c h n o l o g ya n da u t o m a t i o nd e v i c e t e x t ：t h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds y s t e m a t i cd e s i g no f t a k a g i s u g e n o ( t - s ) f u z z ys y s t e m s a r eah o t s p o ti nt h ef u z z yc o n t r o lf i e l d 。b a s e do nt h el y a p u n o vd i r e c tm e t h o d 1 i n e a rm a l r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) a n dp a r a l l e ld i s t r i b u t e dc o m p e n s a t i o n ( p d c ) ，al o to fr e s e a r c ha p p l i c a t i o n s h a v eb e e ng a i n e do nt - sf u z z ys y s t e m s ac o m m o np o s i t i v e d e f i n i t em a t r i xpm u s tb e f o u n dt os a t i s f yt h ee q u a t i o n s 。f o ra c t u a lc o n t r o lo b j e c t so fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ，t h e d i f f i c u l t yt os o l v el m lw i l lb ei n c r e a s e dd u et ot h el a r g en u m b e ro fp r e m i s ev a r i a b l e sa n d r u l e so ff u z z ys y s t e m s f o rt h ec o n s e r v a t i v e n e s so fs o l v i n gl m i m a n ys c h o l a r sh a v eb e e n s t u d y i n gt h es t r u c t u r eo ft h el y a p u n o vf u n c t i o n ，a n dg e t t i n gt h en o n s i n g l el y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o d n e v e r t h e l e s s f e wr e a s e a r c ho nc o n t i n u o u st s f u z z ys y s t e m si sd o n ew i t h t h i sm e t h o d b a s e do nt h es t r u c t u r ea n a l y s i so fc o m m o nq u a r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n ( c q l f ) ，t h e p i e c e w i s eq u a r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n ( p q l f ) a n df u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ( f l f ) a r e c o n s t r u c t e dr e s p e c t i v e l yw i t ht h em e m b e r s h i pf u n c t i o ns t r u c t u r ea n df u z z yr u l ep r e m i s e so f t - sf u z z ys y s t e m s ，a n dt h ep i e c e w i s ef u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n ( p f l f ) i sd e f i n e db yb r i n gt h e f l fi n t ot h ep i e c e w i s ef u z z yr e g i o n se d u c e db yp q l f t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ef a r t h e r a n a l y s i sa n dr e s e a r c hf o rt h ec o n t i n u o u s sf u z z ys y s t e m s 谢搬s i n g l e ( c q l f ) a n dn o n s i n g l e l y a p u n o vf u n c t i o n s ( p q l f 、f l f 和p f l f ) f i r s t l y ，t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ea n a l y s i so fs t a b i l i z a t i o na n dt h ed e s i g no fc o n t r o l l e r so f t sf u z z ys y s t e m s s i n g l ea n dn o n s i n g l er o b u s tc o n t r o l l e r sa r es t u d i e db yu t i l i z i n gt h es i n g l e a n dn o n s i n g l el y a p u n o vf u n c t i o n s ，a n dt h ep a r a m e t r i cm e t h o d so fr o b u s tc o n t r o l l e r sa r e g i v e ni nt h ef o r mo fl m l 。s e c o n d l y 。b a s e do nf sf u z z ys y s t e m sw i t hp a r a n a e t r i c u n c e r t a i n t i e s t h es u 箍c i e n tc o n d i t i o n sf o rf u z z yg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra n dp i e c e w i s e f u z z yh 。s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra r ed e r i v e db ym a k i n gu s eo fn o n s i n g l el y a p u n o v f u n c t i o n s ，a n dt h e s ec o n t r o l l e r sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fl m l f i n a l l y t h ep r o b l e m so f p i e c e w i s eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra n dp i e c e w i s ef u z z yo u t p u tt r a c k i n gc o n t r o la r es t u d i e d ， a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg r a d u a l l ys t a b i l i z a t i o no ft s f u z z ys y s t e m sw i t h p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e sa n dt i m e d e l a ya r eg i v e n s i m u l a t i n gt h ec o n t r o ls y s t e m sd e s i g n e db yt h e s ed i f f e r e n ta p p r o a c h e sr e s p e c t i v e l y , t h e r e s u l t ss h o w st h a tt h ec o n t r o l l e r sb a s e do np f l fh a v eb e t t e rc o n t r o lp e r f o r m a n c et h a no t h e r a p p r o a c h e s ，a n di tr e d u c e st h ec o n s e r v a t i v e n e s so fs o l v i n gl m id u et oal a r g en u m b e ro f p r e m i s ev a r i a b l e sa n dr u l e so faf u z z ys y s t e m k e y w o r d s ：f u z z yc o n t r o l ；t - sf u z z ys y s t e m ；p i e c e w i s e ；f u z z y ；p d c ；l m i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：刘岩扉日 期： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名：烈掉导师签名： e l 期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究意义 在传统的控制领域里，控制系统动态模型的精确与否是影响控制优劣的最主要因 素，系统动态的信息越详细，则越能达到精确控制的目的。然而，对于复杂的系统，由 于变量太多，往往难以正确地描述系统的动态模型，虽然利用各种方法可以来简化系统 动念模型，以达成控制的目的，但却不尽理想。换言之，很多情况下被控对象的数学模 型很难获得或者描述动态系统的方程十分复杂，不确定性也难以用固定的数学表达式表 示，此时常采用模糊控制l j l 。模糊控制综合了专家的操作经验，具有不依赖被控对象的 梢确数学模型、设计简单、便于应用、抗干扰能力强、响应速度快、易于控制和掌握、 对系统参数的变化有较强的鲁棒性等特点，在经典控制理论和现代控制理论难以应用的 场合发挥了很大的作用。 1 2 研究现状 作为模糊控制中应用最广泛的模型之一，t a k a g i s u g e n o ( t - s ) 模糊模型i 刘t a k a g i 平n s u g e n o 于1 9 8 5 年提出以来，由于具备将传统控制理论与模糊控制理论良好结合的能 力，已成为模糊控制领域最活跃的分支之一。后来s u g e n o 和k a n g 对其深入研究1 3 1 w a n g 先后发表了三篇关于模糊控制系统稳定性及模糊控制器设计的文章1 4 i ，在这些文章中， 洋细闸述了基于t s 模糊模型的稳定性问题和状态反馈控制器设计问题，并给出了仿真 结果；h o j a e ，l e e 等人1 7 l 研究了基于t s 模糊模型的不确定模糊系统的鲁棒稳定性问题和 状念反馈鲁棒控制器设计问题，从而把传统线性系统的鲁棒控制技术引入到了模糊控制 系统中。佟绍成、马文阁等对一类不确定非线性时滞系统进行模糊建模，得到不确定时 滞模糊系统；然后，设计模糊状态反馈控制器和基于观测器的动态输出反馈控制；最后利 川l y a p u n o v 和l m i 方法证明了加入控制器后的闭环系统的稳定性。随后国内外的其他研 究学者对该模型进行了深入而广泛的研究i s - t 4 i 。实践证明：对于非线性系统，具有线性 元件的t - s 模糊模型充分利用局部信息和专家控制经验，可以任意精度逼近实际的控制 对象。 r 前，基于传统的二次l y a p u n o v 函数( c q l f ) 1 8 1 理论，采用线性矩阵不等式( l m i ) | 1 1 方法对t s 模糊系统进行稳定性分析和控制器设计，已经成为一种较为成熟和普遍的 方法。该方法需要求解一个公共的j 下定矩阵p ，以满足所有的t s 模糊子系统的稳定性 条件，并通过并行分配补偿( p d c ) f i o f 控制策略将其转化为l m i 形式，继而利用凸优 化技术进行f 定矩阵p 的高效求解。文献【1 1 1 2 1 都是基于c q l f 对不确定连续时滞系统 进7 j ：稳定性分析和鲁棒控制器的设计。文献f 1 3 】将c q l f 方法用于离散系统的鲁棒控制 器设计中，得到了系统稳定的充分条件。但是在实际的应用中，随着日i 提变量以及规则 数h 的增加，求解l m i 的难度将增大甚至出现无解的情况。 义献i1 4 l 巾论证了c q l f 方法在t s 模糊控制系统的稳定性分析和系统化设计中所 江南人学硕j ? 学位论义 面临的保守性问题。如何减小在稳定性分析中求解l m i 的保守性和难度，成为目| j i 的 研究热点。 t a n a k a 等针对连续模糊系统首先提出了模糊l y a p u n o v 函数( f l f ) i ”i ，对隶属度 的导数给出了限制并假设前件变量只与状态有关，得到了系统稳定的充分条件。该f l f 是多个c q l f 的模糊组合，并且它的前提规则同模糊系统的前提规则一致。因此在f l f 的导数中包含了前提隶属函数的导数。t a n a k a 等在文献i1 6 ，1 7 i 中进一步论证了f l f 川对 于c q l f 可以得到更为宽松的稳定性条件，并且不同于p q l f ，它是光滑的，冈此不存 在p q l f 中所谓边界问题。t a n a k a 等人还在上述文献中论述了隶属度函数与系统的稳定 性、响应速度的关系。文献【1 8 2 0 l 将f l f 应用与离散系统的稳定性分析中。上述文献鄙 证明了采用模糊l y a p u n o v 函数的优越性。但是由于隶属度函数导数的存在，f l f 需婴 假设隶属度函数的连续性，使其无法在常见的具有三角形隶属度函数的模糊系统中应 用。 近来，采用分段二次l y a p u n o v 函数( p q l f ) 1 2 1 , 2 2 i 的方法引起了广泛的关注。所i 胃 的分段二次l y a p u n o v 策略，就是通过分析前提变量模糊隶属度函数的结构信息，将整 个输入空间划分成几个模糊子区域，并在每个子区域上求解一个二次l y a p u n o v 方程， 极大地降低了求解难度。文献1 4 1 中充分利用了模糊规则前件变量模糊隶属度隶属度函 数的结构信息，利用局部l y a p u n o v 函数 i o p q l f 对前件变量采用标准模糊分划的t - s 模糊 系统输出反馈控制器进行了研究，获得了一些新的低保守性的稳定性条件。c a o 等r 叫提 出用一组矩阵构造分段光滑的二次l y a p u n o v 函数的方法进行稳定性设计。文献f 2 - 1 。、f , 哿p q l f 成功应用于离散t - s 模糊系统稳定性分析中。p q l f 在各个划分所得的子区域- j ， 本质上仍是c q l f 理论，依旧保留了较大的保守性。 针对c q l f 判断系统稳定性的强保守性和f l f 及p q l f 在实际应用中的不足和限 制，本文引入分段模糊l y a p u n o v 函数( p f l f ) 1 26 i 来分析一类t s 模糊系统的稳定性， 得到了系统化的设计方法。文献 2 7 1 在定义了离散型p f l f 的基础上，应用p d c 设计j 【 使模糊系统全局渐近稳定的控制器，并提出和证明了一个新的判定闭环离散t s 模糊 系统稳定的充分条件。文献1 2 6 ，2 7 1 将p f l f 对t s 模糊系统进行了简单的应用，本文利用 单一与非单一l y a p u n o v 函数对不确定和不确定时滞系统进行了深入的研究，得到了新 的稳定性判决和控制器的设计方法。首先为了直观看到p f l f 的优越性，利用上述四种 方法分别设计了单一与非单一鲁棒控制器，以l m i 的形式给出了控制器的参数化设计 方法；针对不确定t s 系统，利用f l f 成功设计了保性能控制器，进一步对该系统引入 扰动w ( ，) ，用p f l f 方法得到模糊鲁棒h 。控制器的设计方法；由于时滞存在，系统性 能变得更加不稳定，将p q l f 和p f l f 分别应用于时滞不确定系统，分别研究了该系统 的保性能和输出跟踪控制问题。 1 3t - s 模糊系统描述 模糊逻辑系统是由模糊规则基、模糊推理、模糊化算子和反模糊化算子四部分组成， 其基本结构如上所示。其中x u = u 乩五x ：以为模糊系统的输入， 2 第一章绪论 j ，vcr 为模糊系统的输出。 图1 1 模糊控制的基本结构 f i g 1 - lt h es t r u c t u r eo ff u z z yc o n t r o l y 文献l2 j ；1 给出了模糊推理的几个模型及最常用的模糊逻辑系统。模糊规则基是由若 十模糊“如果一则”规则的总和组成的。其中最常用的是t - s 模糊模型和m a m d a n i 模型， m a r n d a n i 模型是m a m d a n i 和a s s i l i a n 于1 9 7 5 年的开创性文章 a ne x p e r i m e n ti nl i n g u i s t i c s y n t h e s i sw i t haf u z z yl o g i cc o n t r o l l e r ) ) 1 2 9 i 中提出并成功进行了工业应用；而t - s 模糊模型 足t a k a g i 和s u g e n o 于19 8 5 年 f u z z yi d e n t i f i c a t i o no fs y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n st o m o d e l i n ga n dc o n t r 0 1 ) ) 1 2 1 中提出的。由于t - s 模糊模型俱备的将传统的线性理论与模糊理 论良好结合的能力，业已成为最重要的模糊模型之一。在模糊控制系统的理论分析上大 部分采用了t - s 模糊模型。两者主要区别在于其规则形式的不同1 3 0 1 。 在m a m d a n i 模型下，对于一个单输入单输出模型的规则描述如下： i fxi sa ，t h e nyi sb 其中：a 和b 都是模糊集合； 在t - s 模型的情况下，模型的规则描述是： i fzi sa ，t h e ny = f ( x ) t - s 模型的结论中包括函数厂( x ) 而不是一个模糊集合。这个函数可以是非线性的， 小过一般情况下都是线性的。 较常用的t s 模糊推理规则如下： r 7 ：如果一是e 7 且而是爿且且是爿，则 y 。= + c l x , + + c l n x n ( 1 1 ) 式巾：f 7 为模糊集；q 为真参数；y 7 为系统根据规则r 7 所得到的输出；，= l ，2 ，m 。 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化构成的模糊逻辑系统为： ，nn c ；x ，兀“f ，( 葺) y ( x ) = 旦 f 旦_ ( 1 2 ) 兀p ( 薯) k i ，t i 模糊逻辑系统( 1 2 ) 通常称为模糊t - s 模型。图1 2 即为t a k a g i - - s u g e n o 模糊系统 的犟本框图。 江南人学硕1 j 学位论文 l l ： 如果x l 为f ? 且_ r x 。为f ：， 1 则y 1 = c ：+ c ：x i + + c ：x 。 ； l 平均加权l z u y ( x 1 l m ： w m ，y 盯 如瓢。为甲且眠为晔， 磉炒m = c 警+ c y x l + + c ：x n 图1 - 2t a k a g i - s u g e n o 模糊系统的基本框图 f i g 1 2t h eb a s i cs t r u c t u r eo ft - sf u z z ys y s t e m 模糊t - s 模型是一种非线性模型，易于表示复杂系统的动态特征1 i 。对于非线陀系 统的不同区域的的动态，可以利用模糊t - s 模型建立局部线型模型，然后把各个局部模 型用模糊隶属度函数连接起来，得到整体的模糊非线性模型，然后基于此模型进行复杂 系统的控制设计与分析。文献1 3 2 1 用连续t s 模型对非线性系统进行模糊建模，在此珐础 上利用隶属度函数最大法设计鲁棒观测器和控制器，并得出了使闭环系统渐近稳定的允 分条件。 1 4l m i 、p d c 和l y a p u n o v 函数 1 4 1 线性矩阵不等式一l m i 最早的l m i 是在1 8 9 0 年l y a p u n o v 在他的开创性工作中提出的，现在称为l y a p u n o v 不等式： 爿t p + 以 。，如( f ”2 揣。，善n “2 ( f ) ) = 1 ， ，；ij = iu i i i ，= i p d c 控制器与模糊系统之问的对应关系如图1 3 ： f u z z ys y s t e m f u z z yc o n t r o l l e r 图1 3p d c 控制器与模糊系统之间的对应关系 f i g i 3t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e np d cc o n t r o l l e r sa n df u z z y s y s t e m s 模糊规则i ：j t l l 果毛( ，) 是只l 且z 2 ( ，) 是e 2 且且乙( ，) 是吒，则 ”( ，) = 一墨x ( t ) ( 1 5 ) 式( 1 5 ) 称为系统( 1 3 ) 的局部子系统控制器，采用p d c 控制策略，可以得到系 统( 1 3 ) 闭环渐近稳定的的条件： 定理1 1 ：对系统( 1 3 ) ，如果存在一个共同的矩阵p ，满足： g h p + p g , l 0 一) 乙弩一a l x x 驾一aj x + m jb i + b | mj + m jb j + b j mi 0 1 4 3l y a p u n o v 函数： l y a p u n o v 稳定性理论是俄国力学家a m l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表的论文运动稳 定性的一般问题中首先提出的。这一理论将由常微分方程组描述的动力学系统的稳定 性分析方法区分为本质上不同的两种方法，即l y a p u n o v 第一方法和第二方法。l y a p u n o v 第一方法也称为l y a p u n o v 间接法，属于小范围稳定性分析方法；而l y a p u n o v 第二方法 称为l y a p u n o v 直接法i 剐，属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法。第二方法直接 而对非线性系统，基于引入具有广义能量属性的l y a p u n o v 函数和分析l y a p u n o v 函数导 数的定号性，建立判断系统稳定性的相应结论。直接法概念直观，理论严谨，方法具有 一般性，物理含义清晰，业已成为现代系统控制理论中研究系统稳定性的主要工具，本 文所采用的即是l y a p u n o v 直接法。 l y a p u n o v 直接法判定系统稳定性的充分条件如下： 考察如下的连续时问非线性时变系统： 文= s ( x ，) ，t “t o ，o o ) ( 1 6 ) 其中：x 为n 维状态变量；s ( o ，) = 0 ，即状态空间原点x = 0 为系统孤立平衡状态。 引理1 1 ：对式( 1 6 ) 若可构造对x 和f 具有连续一阶偏导数的一个标量函数 v ( x ，) ，v ( o ，) = 0 ，且对状态空间酞”中所有非零状态点x 满足如下条件： 1 v ( x ，) 正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数 , ( 1 l x l b ，m l l x l b ，其中 a ( o ) = o ，卢( o ) = 0 ，使对所有， t o ，) 和所有z 0 成立： n 0 2 v ( x ，) 对时间，的导数q ( x ，f ) 负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数 y ( 恻i ) ，其中r ( o ) = 0 ，使对所有t 【t o ，0 0 ) 和所有x 0 成立： v ( x ，) - ) ( 1 l x l b 0 3 当0 0 ，有a ( ) - yo o 即v ( x ，) - o o 。 则系统的原点平衡状态x = 0 为大范围一致渐近稳定。 1 9 9 2 年，k t a n a k a 和m s u g e n o 在文献【8 1 中首次采用c q l f 方法对t - s 模糊系统 进行了稳定性分析，并得到了相应的稳定性判据，其在连续t - s 系统上的表现形式为： 7 江南大学颂l j 学位论文 引理1 2 i ：如果存在一个正定对称矩阵p ，满足： 筮p 七e a , 0 则t - s 模糊系统( 1 3 ) 全局渐近稳定。 引理1 2 中，l y a p u n o v 函数的构造形式为y ( x ( ，) ) = x t p x ，即为c q l f 的一般形式。 定义1 1 ：本文出现的单一l y a p u n o v 函数即为传统二次l y a p u n o v 函数( c o m m o n q u a r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n c q l f ) , 非单一l y a p u n o v 函数即为分段二次l y a p u n o v 函数 ( p i e c e w i s eq u a r m i cl y a p u n o vf u n c t i o n p q l f ) 、模糊l y a p u n o v 函数( f u z z yl y a p u n o v f u n c t i o n - f l f ) 和分段模糊l y a p u n o v 函数( p i e c e w i s ef u z z yl y a p u n o vf u n c t i o n - p f l f ) 。 1 5 论文的研究工作 第一章介绍了模糊控制的发展现状，阐述了本文的研究方向及研究意义；叙述了 p d c 、l m i 和l y a p u n o v 稳定性理论。 第二章研究了单一与非单一鲁棒控制器的设计方法，针对公共l y a p u n o v 函数方法 判定t - s 模糊系统稳定性存在的保守性和难度，利用了t - s 系统的模糊f j i 提规则和隶属 度函数分别构造分段l y a p u n o v 函数和模糊l y a p u n o v 函数，且通过在每个交叠规i a i 乡i l 1 定义模糊l y a p u n o v 函数，研究一类t - s 模糊系统的鲁棒控制问题，以线性矩阵不等 的形式给出了单一与非单一鲁棒控制器的参数化设计方法。 第三章研究了不确定系统的控制方法，将模糊l y a p u n o v 稳定性理沦和引入到一类 具有参数不确定的t a k a g i s u g e n o ( t - s ) 模糊系统的分析与设计中。通过构造模糊系统的 模糊l y a p u n o v 函数，采用状态反馈的并行分布补偿( p d c ) 结构，给出了t - s 模糊系 统渐近稳定的充分条件，并以线性矩阵不等式的形式给出了系统保性能控制器的参数化 设计方法；将扰动引入到不确定的t s 模糊系统，利用分段模糊l y a p u n o v 函数分析一 类不确定非线性系统的稳定性，以线性矩阵不等式的形式给出了非线性系统渐近稳定且 具有h ，扰动抑制度y 的充分条件，并给出了基于状态反馈的模糊鲁棒、控制器的设计 方法。 第四章研究了不确定时滞系统的控制方法，利用分段l y a p u n o v 研究了不确定时延 的t - s 模糊系统的保性能控制器的设计问题，基于状态反馈的并行分布补偿( p d c ) 结 构，导出了保性能控制器存在的充分条件；基于分段模糊l y a p u n o v 函数，研究一类t - s 模糊系统的输出跟踪问题，给出了输出跟踪控制器的参数化设计方法，且使设计的输 n 跟踪控制器满足一定的扰动抑制性能指标 ，利用该方案设计的控制器可保证整个i _ j j ；f 系统是有界稳定的。 第五章对本文的研究工作进行了总结，并对分段模糊理论的发展方向进行了展望。 8 第二章单一与非单一鲁棒控制器的设计 第二章单一与非单一鲁棒控制器的设计 2 1 概述 稳定性是系统的重要特征，是系统正常工作的必要条件。在实际问题中，系统特性 或参数的摄动常常是不可避免的。因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课 题，也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。许多学者对模糊系 统的鲁棒性进行了研究。文献1 5 1 针对一类不确定非线性系统导出了一个鲁棒稳定性条 件：文献| 【) 1 采用p d c 控制方法得到一个l m i 形式的鲁棒控制器设计方法；文献8 1 根据 l y a p u n o v 稳定性理论提出了一个稳定性判决，即求解一个公共的j 下定对称矩阵p ，以 满足所有t - s 模糊子系统的稳定条件；文献【4 1 通过p d c 策略将文献l8 1 中的稳定性判据 转换为l m i 的形式求解；上述的研究成果都是基于c q l f 方法。随着模糊系统的前提 规则数增多，求解l m i 的保守性增强。所以有必要采取更好的方法降低求解l m i 的保 守性，得到低的保守性的方法。 针对上述i 、u j 题，本章采用单一与非单一l y a p u n o v 函数方法来设计单一与非单一鲁 棒控制器，以l m i 的形式给出了使系统保持稳定的充分条件。最后的仿真表明：非单 一鲁棒控制器的控制效果要优于单一鲁棒控制器，基于p f l f 设计的分段模糊鲁棒控制 器在控制超调、系统的响应速度等方面要优于基于p q l f 和f l f 分别设计的分段鲁棒控 制器和模糊鲁棒控制器；说明相对于c q l f 、p q l f 和f l f ，p f l f 可以有效降低求解 l m i 的保守性。 2 2 问题描述 2 2 1t - s 模糊系统结构 考虑如下的t - s 模糊系统，其连续状态的模糊规则如下所示： r ：i f 毛( ，) i sm ia n d a n d 乙( r ) i sm i ，t h e n 荆24 x ( ，) + e h ( ) ( 2 1 ) y ( ，) = e x ( ，) ，f = l ，2 ， 。 j ：尺表示第，条规则；，为规则数；m q 是模糊集合；z ( f ) - - z 。( ，) ，乙( ，) 】1 是模糊前 什变量；x ( t ) r ”是状态变量；口( ，) r 埘是系统的控制输入；y ( t ) r 7 是系统的输出； a ，r ”，曰，r ”和c r & ”分别是系统、输入和输出矩阵。 2 2 2t - s 模糊系统的闭环控制 对于给定的数对( x ( ，) ，( ，) ) ，由单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化，可得 模糊系统的整个状态方程为： 小市内容将发表于2 0 0 8 年控制t 程第1 5 卷第4 期，c s c d 核心 9 江丽大字坝i ：学位论文 孟( ，) = 二tp ，( z ( ，) ) 4 x ( ，) + 置“( ，) 】 ( ，71 y ( ，) = 二。“( z ( ，) ) e x ( ，) 式中：危( z ( ，) ) = ( z ( ，) ) ，- 1w f ( z ( ，) ) ，忽( z ( ，) ) o ，二i 向( z ( ，) ) = l ，w ( z ( ，) ) = 兀? ：im ，( z ，( ，) ) i = l ，2 ，m v ( z j ( t ) ) 是z ) 在中隶属度。 采用p d c 控制规则设计鲁棒控制器： r ：i fz l ( ，) i s m la n d a n dz n ( ，) i s 坂，t h e n ( ，) = 置x ( ，) ( 2 3 ) 则全局鲁棒控制器为： h ( ，) = 二。囊( z ( ，) ) k x ( ，) ( 2 4 ) 2 2 3 分段模型的建立 a d f 打i 2 疗 jll m ( 纠) 一是厦卵 广弋一、一 ( ，) 图2 一lt - s 模糊系统规则结构 f i g 2 1t h es t r u c t u r er u l e so f o f t - sf u z z y s y s t e m s 设系统( 2 2 ) 中的每一个前提条件乙( t ) 在相应的论域中都有q 个模糊集合，这些模 糊集合都足完整的三角形结构，即当任- - f i | - 提变量z m ) 进入到模糊系统中至多有两个 规则被激活，并且所有的前提变量都是单点模糊集。对于前提向量z ( ，) r ”，被激活的 规则数至多为2 ”个( 2 n 小于模糊系统的所有规则数目) 。因此，在任意时刻进行模糊系 统控制器设计时，只需考虑所被激活的2 n 个规则，显然这时的求解难度要小得多。但是， 进入到系统的前提向量是连续的，不同的向量可能会激活不同的2 一个规则。为系统考虑 所有可能的前提变量，将整个前提变量空间化分为几个模糊子区域，处于同一个模糊予 区域的前提变量将激活相同的2 “条模糊规则，称这些相同的模糊规则为一个模糊舰则 组，显然有任意时刻只有一个模糊子区域会被激活。 针对隶属度函数为三角形规划的t - s 模糊系统建立分段t - s 模糊模型，令g 、f 分 别表示模糊区域数目和每个区域中被激活的规则数，g 为i ； 提变量数，墨表示第i 个模 糊子区域，在此模糊区域上定义局部模型为： y c ( t ) = 2 l 向，( z ( ，) ) 【4 ，x ( ，) + e ，“( ，) 】 ( 2 5 ) 此局部模型上的鲁棒控制器为： u ( t ) = ：l 啊，( z ( f ) ) k 。，j c ( f ) ( 2 6 ) l o 第二章学一与非单一鲁棒控制器的设计 在各个模糊子区域上面定义如f 的特征函数： 撇胪 糍篡，喜撇胪t 则t - s 模糊系统的全局模型为： 文( f ) = ：。九( x ( f ) ) ：i ( z ( f ) ) 【 x ( f ) + 玩h ( f ) 】 全局鲁棒控制器为： h ( ，) = ( x ( ，) ) ：。( z ( ，) ) 五，x ( r ) 2 3 单一l y a p u n o v 函数 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 根据文献i i l 中的l y a p u n o v 稳定性理论，做出如下定义2 1 。 定义2 1 ：称式( 2 1 0 ) 为系统( 2 2 ) 的单一l y a p u n o v 函数( c q l f ) ： v ( t ) = x t ( t ) p x ( t ) ( 2 1 0 ) 2 4 非单一l y a p u n o v 函数 2 4 1 分段二次l y a p u n o v 函数 近来，采用分段二次l y a p u n o v 函数( p q l f ) i z l , z 2 1 的方法引起了广泛的关注。所谓 的p q l f 策略，就是通过分析前提变量模糊隶属度函数的结构信息，将整个输入空间划 分成几个模糊子区域，并在每个子区域上求解一个二次l y a p u n o v 方程，极大地降低了 求解难度。 在每个模糊区域上定义l y a p u n o v 函数为： ( ，) = 戈1 ( ，) p x ( f ) ( 2 1 1 ) 定义2 2 ：称式( 2 1 2 ) 为系统( 2 2 ) 的分段l y a p u n o v 函数： 矿( ，) = 二。a ( x ( f ) ) ( f ) ( 2 1 2 ) 将式( 2 1 1 ) 代入式( 2 1 2 ) 有： y ( ，) = 二i ( x ( f ) 冷t ( f ) x ( f ) p q l f 方法在各个划分所得的子区域中，本质上仍是二次l y a p u n o v 理论，依旧保 留了较大的保守性。 2 4 2 模糊l y a p u n o v 函数 近年来，t a n a k a 等人提出了模糊l y a p u n o v 函数( f l f ) 刘的概念。该f l f 是多个 c q l f 的模糊组合，并且它的前提规则同模糊系统的前提规则致。因此在f l f 的导数 中包含了前提隶属函数的导数。t a n a k a 等在文献 1 6 ，1 7 】中论证了f l f 相对于c q l f 可 以得到更为宽松的稳定性条件，并且不同于p q l f ，它是光滑