（检测技术与自动化装置专业论文）随机广义系统的分析与控制.pdf

中文摘要 实际应用时，随机性与广义性常常共存于复杂系统中。本学位论文基于随机 稳定性定理与广义系统分析方法，利用伊藤公式、广义系统线性变换、广义逆矩 阵以及矩阵不等式等工具，对随机广义系统的稳定性问题以及控制器设计问题进 行了研究，并且进一步分析了时滞与不确定随机广义系统和模糊随机广义系统的 稳定性与控制器设计问题。主要结果如下： 建立了随机广义系统的数学模型，指出了随机广义系统与随机系统和广义系 统之间的联系和区别。并对随机广义系统的模型进行了分析，得到了该模型的特 性。通过对随机方程中伊藤公式的推广，给出了伊藤公式在广义系统下的形式， 为随机广义系统的分析提供了重要的工具。 给出了随机广义系统的随机稳定，随机渐近稳定以及容许的定义。并在此基 础上，得出了随机广义系统稳定性判据。对线性随机广义系统的稳定性进行分析， 给出了线性矩阵不等式表述的稳定性判据，在此基础上进行了状态反馈控制器的 设计。 进一步考虑了线性随机广义系统的鲁棒性问题。分析了时滞随机广义系统的 解的存在与唯一性，并给出了系统稳定性判据。另外，还研究了随机广义系统存 在参数不确定性时的稳定性和控制器设计的问题。并给出了相应的线性矩阵不等 式的设计方法。 针对非线性随机广义系统，本文采用了模糊逼近的方法，将非线性随机广义 系统的研究转化为模糊随机广义系统的研究。通过对传统t s 模型的推广，给出 了模糊随机广义系统的模型，以及稳定性判据和控制器的设计方法。进一步讨论 了带有参数不确定的模糊随机广义系统的稳定性。在此基础上，通过运用模糊随 机广义系统的稳定性结论，得出了普通模糊随机系统控制器设计的新方法。 考虑了随机广义系统的状态观测问题，给出了基于状态观测的状态反馈控制 器设计方法。 关键词：随机系统；广义系统；时滞系统；参数不确定性；鲁帮控制；t s 模 型 a b s t r a c t s t o c h a s t i cs y s t e m sa n dd e s c r i p t o rs y s t e m sa r et w od i f f e r e n tk i n d so fs y s t e m s m o d e l sa n dt h e yb o t ha p p e a ri nc o m p l e xs y s t e m ss i m u l t a n e o u s l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， b a s e do ns t o c h a s t i cs t a b i l i t yt h e o r ya n dd e s c r i p t o ra n a l y s i sm e t h o d ，i t 6f o r m u l a ， d e s c r i p t o rs y s t e m sl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，m o o r e p e n r o s ei n v e r s em a t r i xa n dl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e so 。m i s ) a r ee m p l o y e dt os t u d ys t a b i l i t ya n dc o n t r o l l e rd e s i g no f s t o c h a s t i cd e s c r i p t o rs y s t e m s ( s d s ) f u r t h e r m o r e ，s t a b i l i t i e so ft i m e - d e l a ys d s ， u n c e r t a i ns d sa n df u z z ys d sa r ed i s c u s s e d t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i s d i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： s d sm o d e li se s t a b l i s h e d d i f f e r e n c e sb e t w e e ns d sa n ds t o c h a s t i cs y s t e m s ， d e s c r i p t o rs y s t e m sa r es h o w n b ya n a l y z i n gm a t h e m a t i cm o d e l ，c h a r a c t e r i s t i c so fs d s a r eg i v e n f u r t h e r , i t 6f o r m u l ai se x t e n d e di n t od e s c r i p t o rs y s t e m s ，w h i c hi so n eo ft h e m o s ti m p o r t a n tt o o l sf o ra n a l y s i so fs d s 1 1 1 es t o c h a s t i c a l l ys t a b l e ，s t o c h a s t i c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n da d m i s s i b l eo f s d sa r ed e f i n e d a c c o r d i n gt ot h o s ed e f i n i t i o n s ，s e v e r a ls t a b l ec o n d i t i o n sa r e o b t a i n e d as t a b l ec o n d i t i o no fl i n e a rs d s ，d e s c r i b e da sl m i s ，i sg i v e na n das t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d r o b u s tc o n t r o lo ft i m e d e l a ya n du n c e r t a i ns d si si n v e s t i g a t e d f i r s t ，t h es o l u t i o n e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft i m e - d e l a ys d si sp r e s e n t e da n das t a b l e c o n d i t i o no ft i m e d e l a ys d si sg i v e n t h e n t h eu n c e r t a i np a r a m e t e r sa r ec o n s i d e r e d a n o t h e rs t a b l ec o n d i t i o ni so b t a i n e df o ru n c e r t a i ns d sa n dc o n t r o l l e rd e s i g nb yl m i s i sg i v e na c c o r d i n g l y a i m i n gt oa n a l y z dn o n l i n e a rs d s ，t - sm o d e li si n t r o d u c e d b ye x t e n d i n gt - s m o d e l ，f u z z ys d s m o d e li se s t a b l i s h e d a c c o r d i n gt ol i n e a rs d s ，t h es t a b l ec o n d i t i o n o ff u z z ys d si sd e s c r i b e da sl m i sa n dc o n t r o l l e rd e s i g ni sg i v e n c o n s i d e r i n gt h a ts t a t ec o u l dn o tb em e a s u r e dd i r e c t l y , o b s e r v e ro fs d si s d e s i g n e dt oe s t a m i t es t a t ev e c t o r t h es e p a r a t ea p p r o a c ht o o b s e r v e rd e s i g na n d c o n t r o l l e rd e s i g ni sg i v e n 。 一 l ( e yw o l m s ：s t o c h a s t i cs y s t e m s ，d e s c r i p t o rs y s t e m s ，t i m e d e l a ys y s t e m s ， u n c e r t a i ns y s t e m s ，r o b u s tc o n t r o l ，t - sm o d e l - c r ，r ”， 尺“” 口vb ，aa b ：aj b d ( ) 6 ( 0 f 气f ) w ( f ) x ( t ；t o ，x o ) s u p ( f ( t ) ) i n f ( f ( t ) ) e ( x ) d ( x ) c o v ( x ，y ) 【a 】 i i n 以。 彳r 彳一1 彳一r 4 + 符号说明 等价于 ， 实数、以维实向量集合 m t 维实矩阵集合 a ，b 两数中的大者和小者 集合a 到集合b 的映射 高阶无穷小 t 时刻的脉冲函数 f ( t ) 的i 阶导数 标准布朗运动( 维纳过程) t 。时刻的初始值为石。的状态轨x ( t ) 函数f ( t ) 的上确界 函数f ( t ) 的下确界 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量x ，y 的协方差 不大于的最大整数 垂件a 的示性函数，即l ( z ) = 三二主三 刀维单位矩阵 m 刀维矩阵么 矩阵4 的转置 矩阵a 的逆 矩阵a 的逆的转置 矩阵彳的m o o r e p e n r o s e 逆 彳 0 ( 彳 1 2 t 7 1 时，l t 6 型随机微分方程 d x ( t ) = g ( x ( t ) ) d w ( t ) ，t 0 ( 1 一1 ) 在初始条件x ( 0 ) = x o r 下的解时存在唯一的，其中w ( f ) 是一维标准维纳过程 ( 详见第二章) ，g 是有界的一维实值函数，且满足 j g ( x ) - g ( x ) j 纠z 一叫4 ，v x ，yer ，口 妻 其中k 是大于零的常数。 1 9 7 1 年y a m a d a 和w a t a n a b e 嘲发展了这一结果，证明了当口去时，方程( 1 1 ) 、 二 存在着唯一解。 1 9 7 7 年，i k e d a 和w a t a n a b e l 9 证明了当初值x ( 0 ) = 0 时，如果函数g 满足 g ( o ) = 0 ，v 1 4 占 0 ，g ( x ) l 且 心。2 0 ) d x 0 是延迟项；f ：r ”xr ”r + 专r ”，g ：r ”r ”r + 一r “”。m o h a m m e d 在文献 1 4 】中给出了解存在唯一的条件，同时，他也对该方程解的有界性等问题 进行了深入的研究。正是基于他的研究成果，给出了针对一般随机延迟微分方程 的解的存在唯一性定理以及保证解的有界条件。在文献 1 3 1 4 r p ，学者们也讨 论了延迟与时间有关的随机延迟微分方程解的存在唯一性问题。m a o 在在他的 著作【1 5 】中总结了这方面的研究成果，给出了针对一般随机延迟微分方程解的存 在唯一性定理及保证解有界的条件。 在随机微分方程解的稳定性研究中，l y a p t m o v 函数是一直是最重要的研究 工具。而且，几乎所有的研究都是在常微分和泛函微分方程理论的基础上开展起 来的【1 6 】【1 7 1 。1 9 6 7 年，h a s t m i n s k i i t l 8 1 给出了线性随机系统 d x ( t ) = a x ( t ) d t + t x ( t ) d w ( t ) ，x ( 0 ) = x o ( 1 3 ) 其中五c ，口c 。该方程的解在大范围内渐近稳定的充要条件是 1 r e ( 2 - u 2 ) 0 ，以概率q = 1 2 向左移动一个a x 0 ，且每次移动 相互独立，记做 天津大学博：e 学位论文随机广义系统的分析与控制 五= 一茎；襄震煮高妻纂耄 若x ( f ) 表示t 时刻质点的位置，则有 x o ) = a t ( x , + x 2 + + f a f 】) 其中【s 】为不超过s 的最大整数。 显然，e ( x ，) = 0 ，d ( x ，) = e ( 砰) = 1 ，故此时 酗0 ，d ( 删) = ( 讲陶 以上简单随机游动可作为微小粒子在直线上做不规则运动的近似。实际粒子 的不规则运动是连续进行的，为此，考虑f - - - 0 的极限情形。由物理试验得知， 当垃越小时，每次移动缸也越小，通常有出一0 ，a x 一0 。而且在许多情形 下，有a x = c f ( c 0 为常数) 。因此，下面先假定缸= c 垃的条件下，推出 其极限的情形。 。 显然当血- - - - 0 时e ( x ( ，) ) = 0 ，而 l i m c 删咧埘 舟烨l i m2 q 舟以 另一方面，x ( f ) = a x ( x 。+ x 2 + + x 【，出1 ) 可以看作是独立同分布的随机变 量之和，因而它是独立增量过程，即x ( f ) 看作是许多微小的相互独立的随机变 量x ( t ，) 一x o h ) 组成之和。故当出寸0 时，由中心极限定理可知，x 0 ) 经过标 准化以后，它的分布趋向标准正态分布，即出专0 时，x ( t ) 一n ( o ，c 2 t ) 。由此 就可以引出以下定义。 定义2 1 【叫若一随机过程 x ( f ) ，t 0 满足： ( 1 ) x ( t ) 是独立增量过程； ( 2 ) vs ，t 0 ，x ( s + f ) 一x 0 ) n ( o ，c 2 t ) ，即x ( s + f ) 一x ( s ) 是期望为0 ，方 差为c 2 t 的正态分布； ( 3 ) x ( t ) 关于t 是连续函数。 则称 x ( f ) ，t 0 是布朗运动或者维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 当c = 1 时，称 x ( f ) ，t 0 ) 为标准布朗运动，此时为x ( o ) = 0 ，x ( t ) 一n ( o ，t ) 。 下面讨论布朗运动的一些性质。 第二章随机系统与广义系统 2 布朗运动的形式导数： 设 w ( o ，t 0 为布朗运动，考虑增量之比，固定a t 0 ，令 w ( t + a t ) - w ( t 一) ：a w ( t ) t色t 显然 垒；掣，f o 是一个正态过程，易知其一阶矩、二阶矩分别为 f e 攀l ：墅坚剑型业o ， i fj f 愕 - 古毗圳川肛古c 叫= 古 故警一n ( 0 ，争 再考虑其协方差，设0 j t 取址充分小，使s j + a t t ，于是有 c 。v f ，掣，螋 ：e 惮螋 一e - 螋 d 螋 ：o l 出。f l 址 f jl fjl ，j 可见j ，且当，充分小时，型与螋相互独立。 | 进一步讨论，当f o + 时，e j 螋：o ，斟巡一，因此把垃jo 【a tj 【a tj 时，正态过程斧掣，f o ) 的极限过程形式上记为 尘掣，f 0 ，定义如下： |dt 定义2 2 【1 0 0 1 称 尘粤，fzo 为布朗运动的形式导数，若 ( 1 ) v f 0 ，d w - ( t ) n ( 0 ，呦； ( 2 ) v ”f 2 ，划d r 嘲与剖蛳相互弛 布朗运动的形式导数有时又被称为连续参数的白噪声。它在物理上有许多的 应用，在随机微分方程理论中也起着极其重要的作用。 3 带有漂移的布朗运动 定义2 3 r e e l 设 w ( f ) ，t 0 ) 为布朗运动，记x ( f ) = “f ) + j u t ，为常数，则称随 机过程 x ( f ) ，t 0 ) 是带有漂移系数为的布朗运动。 带有漂移的布朗运动的背景是一个质点存盲线h 做非对称的喃棚游动。官具 1 4 天津大学博士学位论文随机广义系统的分析与控制 硐一足的趋同，十小j l l 则微观还动中义由一足的宏观规则还动仔征，如分于热刀 散、电子不规则运动等等。确切描述如下： 一质点在直线上每经过a t 时间随机的移动a x ，每次向右移动a x 的概率为 p ，向左移动a x 的概率为q ，且每次移动相互独立，以x ( f ) 表示f 时刻质点的位 置。令 置= 一乏篓；襄要塞寓妻冀耄 贝u x o ) = ( 缸) ( 五+ x 2 + + x t r 】) 。 设缸：石，p = 1 + _ 2 广4 石一，g = 旦巫2 ，对于给定的，取充分小的出， 使得压 1 ，当a t 母0 时，有 胪咕卜， = 厄匕p 厄_ 。( x o ) ) = ( 缸) 2 古 e ( x ? ) 一( e ( 彳，) ) 2 】 ： = ( 厨脚却- g ) 2 】 = 出脚- ( 2 川) 2 】l 血j 。一 = 缸时川) 2 】l f j 一 。 寸t ( 垃寸0 ) 所以x o ) ( ，t ) 。可见它和 w ( f ) ，t 0 都是正态过程，只是均值不为零。 这是由于其不对称性引起的。表示单位时间内质点漂移的平均值。 将带漂移的布朗运动定义写成微分形式，得到d x ( t ) = d w ( t ) + 础，即质点t 时刻位移的增量分解为随机性增量与确定性增量之和。一般的，漂移的布朗运动 有如下推广： d x ( t ) = 掰以f ) + 础 若扩散系数万与漂移系数不是常数，而是t 与x 的函数，那么有如下更 第二章随机系统与广义系统 一般的随机微分方程： d x ( t ) = 8 ( t ，x ( t ) ) d w ( t ) + z ( t ，x ( t ) ) d t 这类随机微分方程可以用来描述分子的热运动、电子的迁移运动规律等等。 例如以x ( f ) 描述一个粒子在液体表面t 时刻的速度，有 所掣：一f x c 卅掣 d l 。 d t 其中所为质点的质量，一( f ) 为粒子与液面的摩擦阻力，而鱼掣为由分子撞击 产生的总的合力。由此可见研究带漂移的布朗运动很具有实际意义，只要赋予相 应系数以物理意义，就可以用它来刻画许多复杂的难以研究的物理过程、工程以 及经济现象等。 4 多维布朗运动 定3 ( 2 4 【1 0 0 彳( f ) = ( x 。( f ) ，x ：( 吐，x 。( f ) ) ，t 0 是取值为r ”的随机过程，如果 该随机过程满足 ( 1 ) 对任意的0 t l t 2 o 为常数，则 查掣，f o 也是刀维布朗运动。 1 6 天津大学博士学位论文随机广义系统的分析与控制 2 1 2 随机微分与i t 6 ( 伊藤) 公式 首先，我们引入伊藤积分的定义并分析其性质。 研究如下形式的积分 上g ( t ，万肌，万) 粗略的说，这是g ( f ，巧) 关于w ( t ，刃) 的r - s 均方积分。然而我们已经知道， 布朗运动的轨道性质很特殊，即几乎没有任何一条轨道的任意一点都没有有限的 导数，任意两点之间也不是有限的变差函数，因此必须对关于w ( t ，万) 的r s 积 分给出这些性质相对应的定义。 设标准布朗运动 以f ) ，t 之0 ) 是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的随机过程。设 派，t 0 ) 是一族单调递增的f 的子一仃域，且对v o s t ，“j ) 是关于f 可测 的，e ( 川) f 只) = w ( s ) ，e ( w ( t ) 一w ( s ) fc ) = 0 假设2 1 设随机过程堙( f ，方) ，t 0 ) ，对丁 0 满足以下条件： ( 1 ) g ( f ，万) 关于 0 ，r 】x f z 可测； ( 2 ) v t 0 ，g ( t ，) 关于f 可测，即v x r ，( 刃：g ( t ，刃) x ) 只； ( 3 ) j ：e ( g ( t ，万) ) 2 d t 0 0 ，e ( g ( t ，万) ) 2 o 。 满足该假设的函数全体记做露。 在伊藤积分中，可测性具有重要的前提意义。首先，对于给定的概率空间 ( q ，f ，p ) ，二元函数 g ( f ，刃) ，0 f t ) 关于可测空问( 0 ，t x f l ， 0 ，明q ) 可测， 是使积分rg ( t ，m ) d w ( t ，刃) 有意义的基础，同时对于给定的t ，积分 r g ( t ，万矽以f ，万) 也是关于( q ，) 可测的，即概率测度 攻巧：r g ( t , w ) d w ( t , w 脚) 是有意义的。从而对于变化的o f r ，积分rg ( t ，w 矽w ( t ，万) 构成一个随机过 程。其次对于v o f t ，g ( t ，) 关于f 可测( 即v x r ，细：g ( t ，万) z ) z ) 使 得e ( g ( 圳f ) = g ( f ) 成立。正是由于这个事实，赋予了伊藤积分许多重要而简洁 的性质。 第二章随机系统与广义系统 定义2 5 设 w ( f ) ，t o ) 为标准布朗运动， g ( f ，巧) ，t o ) 满足假设2 1 ，即g 上；， 【0 ，f 】c 【0 ，t 】。任取v 0 t o t l t 2 t 。st ，令a t t = t