（机械设计及理论专业论文）少齿差传动多齿弹性啮合效应的研究.pdf

摘要 少齿差齿轮传动具有传动比大，承载能力强，体积小，结构简单等诸多 优点，在很多领域已得到了应用。 少齿差齿轮传动，由于相邻齿廓工作面间的间隙非常小，在足够大的载 荷作用下，齿对的弹性变形有可能大于工作齿廓面问的原始间隙，这些齿对 就要发生接触并同时分担载荷，使得齿轮传动的承载能力得到提高。这种由 弹性变形引起多齿承载使齿轮承载能力提高的现象称为多齿弹性啮合效应。 因此，进行少齿差齿轮传动的多齿弹性啮合效应的研究，对提高少齿差齿轮 传动的承载能力，缩小齿轮和整机尺寸，降低制造成本具有重要意义。 本文在综合考虑轮齿弹性变形、法向啮合刚度、基节误差的基础上详细 推导了多齿弹性啮合效应的理论模型，并通过有限元仿真实验对该模型的可 靠性进行了验证。在误差影响的研究中，将基节误差按正态分布计入齿廓面 间的间隙，通过蒙特卡罗随机模拟方法对不同误差分布的大量齿对、大量齿 轮副的啮合情况进行了分析，并通过有限元仿真加以验证。研究结果表明： 基节误差使得多齿弹性啮合效应对齿轮副承载能力提高的积极作用打了很 大的折扣。 针对误差产生的不良影响，本文提出了一种行之有效的补偿方法来弥补 齿轮副的承载能力的下降，即用过载的方法使轮齿根部预先形成塑性变形产 生残余应力以抵消正常工作时的工作应力，从而使正常工作时的齿根弯曲应 力大幅下降。这种方法称为过载强化。本文还针对以悬臂梁模型为基础的齿根 弯曲应力计算公式在少齿差齿轮传动齿根弯曲应力计算方面的不足，以有限元模 型为基础，通过大量的计算和统计，对该公式进行了合理的修正，使其适用于少 齿差齿轮传动，并将多齿弹性啮合效应引入到修正后的公式中。 本文的研究成果对充分而正确地利用多齿弹性啮合效应、提高少齿差齿 轮传动的承载能力奠定了坚实的理论基础。 关键词：少齿差内啮合多齿弹性啮合效应有限元分析基节误差蒙特卡 罗过载强化 a bs t r a c t t h ei n t e r n a lg e a r i n gw i t hs m a l lt o o t hn u m b e rd i f f e r e n c ef i n d si t sa p p l i c a t i o ni n m a n yf i e l d sd u et o t h ea d v a n t a g e ss u c ha sl a r g et r a n s m i s s i o nr a t i o h i g hl o a d c a p a b i l i t y , c o m p a c tv o l u m ea n ds i m p l es t r u c t u r e ，e t c t h et i n yc l e a r a n c e sb e t w e e nw o r k i n gp r o f i l e so fe a c hn o n - c o n t a c tt o o t hp a i rn e a r t h ea c t i o nl i n em a yd i m i n i s hu n d e rh e a v yl o a d w h i c hm a k e st h ea c t u a lc o n t a c tt e e t h n u m b e re x c e e dt h et h e o r e t i cc o n t a c tt e e t hn u m b e rc a l c u l a t e db yc o n t a c tr a t i o i no t h e r w o r d ，t h el o a ds u p p o s e dt ob ea p p l i e do no n et e e t hp a i ri sn o ws h a r e db ym u l t i p l e t e e t hp a i r s t h u s , t h el o a dc a p a c i t yo ft h e g e a r i n gi s i n c r e a s e dg r e a t l y t h i s p h e n o m e n o ni sc a l l e de l a s t i cm e s h i n ge f i e c t ( e m e ) 。i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et o e x p l o r ee m et oi n c r e a s et h el o a dc a p a c i t y , t om i n i m i z et h ev o l u m ea n dt or e d u c et h e m a n u f a c t u r i n gc o s t b yc o n s i d e r i n gt h et e e t hd e f o r m a t i o n ，n o r m a lc o n t a c t i n gs t i f i n e s s ，a n db a s ep i t c h e r r o r s am a t h e m a t i cm o d e li sd e v e l o p e di n t h i st h e s i st oe x p l o r et h es t a t eo f m u l t i t e e t hc o n t a c ta n di o a dd i s t r i b u t i o n t h ec o r r e c t n e s so ft h i sm o d e li sv a l i d a t e db y t h es i m u l a t e dr e s u l t so faf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ( f e a ) t h eb a s ep i t c he r r o ri st r e a t e d a sn o r m a ld i s t r i b u t e de r r o ra n dc a l c u l a t e di n t ot h ec l e a r a n c e sb e t w e e nt h ew o r k i n g p r o f i l e s am a s so f t e e t hp a i r sa sw e l la sg e a r i n g sw i 廿ld i f f e r e n te r r o r s 剐旧a n a l y z e dt o r e v e a lt h ee f f e c to ft h ee r r o r sw i t hm o n t ec a r l or a n d o ms i m u l a t i o nm e t h o d t h e a n a l y s i si n d i c a t e st h a tt h eb a s ep i t c he l l o r sc o u n t e r a c tt h ea c t i v ee f f e c to ft h ee m e t h ef e as i m u l a t i o na l s oc o n f i r m st h en e g a t i v ee f f e c to fb a s ep i t c he r r o r s t oc o m p e n s a t et h en e g a t i v ee f f e c to f p i t c he r r o r s ，am e t h o dc a l l e ds t r e n g t h e n i n g w i t ho v e rl o a d i n g ( s o i sp r o p o s e d t ob ed e t a i l ，t h eg e a r i n gi sr u n n i n ga tal o a d t w i c eo rt r i p l eo fn o r m a ll o a df o rs e v e r a lh o u r sb e f o r ei t sa c t u a lu s e p l a s t i c d e f o r m a t i o nw i l lt a k ep l a c ei nt h er o o fo fe v e r yg e a ra n dr e s i d u a ls t r e s s e sa r ep r o d u c e t oc o u n t e r a c tt h en o r m a lw o r k i n gs t r e s s t h e 仃a d i t i o n a lf o r m u l a sf o rg e a rr o o fs t r e s s a r em o d i f i e do nt h eb a s i so fm a s so ff e mc a l c u l a t i o n sf o ri n t e r n a lg e a r i n gw i t hs m a l l t o o t hn u m b e rd i f f e r e n c e a n dt h ef a c t o ro fe 匝i si n t r o d u c e di n t ot h e s ef o r m u l a s t h er e s e a r c hp r o v i d e sat h e o r e t i c a lg u i d e l i n ef o rt h es t u d yo ne m 匪w i t hw h i c h w ec a ni n c r e a s et h el o a dc a p a c i t yo fi n t e m a lg e a r i n gw i t hs m a l lt o o t hn u m b e r d i f f e r e n c e k e yw o r d s ：i n t e r n a lg e a r i n gw i t hs m a l lt o o t hn u m b e rd i f f e r e n c e ，e l a s t i c m e s h i n ge f f e c t - , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，p i t c he r r o r s ，m o n t ec a r l or a n d o m s i m u l a t i o n ， s t r e n g t h e n i n gw i t ho v e rl o a d i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：刻斌彬 签字日期： 2 口0 7 年7 月9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：刘乏武书眵 导师签名： 签字日期：2o d 7 年f 月g 日 震象 签字醐：叩月舢 第一章绪论 第一章绪论 1 1 渐开线少齿差行星齿轮传动 齿轮传动是最重要的机械传动形式之一，具有传动功率大、效率高、结 构紧凑、传动比精确恒定、工作可靠、使用寿命长、速度和功率的适用范围 广等一系列优点，因此广泛应用于机械、冶金、化工、建筑、汽车、武器及 航天航空等各个领域。 随着现代化工业技术的高速发展，机械化水平的不断提高，对齿轮传动 装置的技术及经济性能也提出了越来越高的要求。在传统的齿轮传动装置 中，普通的定轴圆柱齿轮传动其传动比小、体积大、结构笨重：普通蜗轮蜗 杆传动效率低；而行星齿轮传动由于其体积小、重量轻、结构紧凑、传动比 大、传动效率高、运动平稳等优点，得到更加广泛的应用。 少齿差行星齿轮传动是行星齿轮传动的一种，其外齿轮和内齿轮组成的内啮 合齿轮副的齿数相差较小( 一般业= l 4 ) ，简称为少齿差传动。少齿差传动的 类型主要有摆线针轮行星齿轮传动、渐开线少齿差传动、圆弧齿少齿差传动等。 渐开线少齿差齿轮传动其内外齿轮的齿廓曲线采用渐开线，结构简单、承载能力 高、效率较高，可采用普通的渐开线齿轮刀具和齿轮机床加工，其制造成本低； 摆线针轮行星齿轮传动用的是摆线齿形，需要专门设备制造，其成本较高；圆弧 齿少齿差传动需要专门的圆弧形刀具加工，并且需要进行磨齿，加工比较复杂。 通常所讲的少齿差行星齿轮传动特指渐开线少齿差行星齿轮传动，其余的少齿差 行星齿轮传动类型一般都有专门名称。 ； i ； 裁 押_ 囊x 疑 | 图1 1 中心轮固定的k h v 骢 图1 2 构件固定的k h v 第一章绪论 渐开线少齿差行星齿轮传动是一种结构紧凑的大传动比传动，广泛应用于轻 工、化工、建筑等各种行业。最常见的形式是k h v 传动，其基本结构如图1 1 所示，基本构件为行星轮g 、中心轮b 、转臂( 系杆) h 以及w 输出机构和输出 轴v 等。行星轮g 为外齿轮，中心轮b 为内齿轮，两齿轮的齿数差通常为l 4 。 当转臂h 转动时，带动行星轮g 的轴线作圆周运动。由于行星轮g 与固定不动 的内齿轮b 相啮合，迫使行星轮g 绕自身轴线做慢速自转。但由于行星轮的轴线 在空间运动，因此需要一个把行星轮的转动传递到输出轴上去的传动机构，称为 输出机构，也就是w 机构，其作用是在空间两平行轴之间实现传动比为l 的等 速传动。该k - h - v 传动机构的传动比为f h s = 一z 。( z 。- z 。) 。也可以把构件v 固 定，转臂h 主动，中心轮b 输出，如图1 - 2 所示，其传动比为i m = z b “z 。一z 。) 。 这两种结构形式并没有什么本质区别，只是选择不同的构件作输出机构和机架而 已。 少齿差行星齿轮传动机构实质上是一个由平面四连杆机构和内啮合齿轮副 组成的齿轮连杆机构。通过对不同构件作不同限制，可以设计出多种少齿差行星 齿轮传动结构形式。少齿差行星齿轮传动按w 输出机构的不同，可分为销轴式 ( 孔销式) 、十字滑块式、浮动盘式、零齿差式、双万向节式等。 在少齿差行星齿轮传动中，由于内外啮合齿轮的齿数差很少，极易产生各种 干涉，在设计过程中选择齿轮几何参数十分复杂。因此，为了保证内啮合传动的 正常运转，设计时应满足以下限制条件：l 、内齿轮的齿项圆不应小于基圆；2 、 内外齿轮的齿顶不得变尖，要有足够的厚度；3 、不发生过渡曲线干涉；4 、不发 生渐开线干涉；5 、不发生齿廓重迭干涉；6 、插齿刀切入进给时，不发生项切现 象；7 、啮合率不小于l 。 早在1 9 4 9 年苏联学者就从理论上解决了实现一齿差传动的几何计算问题， 但直到6 0 年代随着电子计算机技术的发展，少齿差行星齿轮传动才得到了迅速 的发展。国内对于渐开线少齿差行星齿轮传动的研制，首先由太原工学院在5 0 年代初进行的。1 9 6 0 年研制成我国第一台二齿差渐开线行星齿轮减速器，传动 比为3 7 5 ，功率为1 6 k w ，用于桥式起重机的提升机构中。1 9 6 3 年朱景梓发表了 “齿数差乃= l 的渐开线k h - v 型行星齿轮减速器及设计”一文【5 9 】，详细阐述了渐 开线少齿差行星齿轮传动的原理和设计方法，开创了少齿差行星齿轮传动在我国 的推广应用。 与传统的齿轮传动相比，少齿差行星齿轮传动具有许多优点，可以大致概括 如下： l 、加工方便，制造成本较低。渐开线少齿差传动的特点是用普通的渐开线 齿轮刀具和齿轮机床就可以加工齿轮，不需要特殊的刀具与专用设备，材料也可 第一章绪论 采用普通齿轮材料。 2 、结构紧凑、体积小、重量轻。由于采用内啮合行星传动，所以结构紧凑； 当传动比相等时，与同功率的普通圆柱齿轮减速器相比，体积和重量均可减少 l 3 2 3 。 3 、传动比范围大。一级传动比可达1 0 0 ，二级传动传动比可达1 0 0 0 0 以上。 4 、效率高。当传动比为1 0 - 1 0 0 时，效率为8 0 - - - 9 0 。设计与制造精良的 传动，效率可达0 9 以上。效率随着传动比的增加而降低。 5 、结构形式多，应用范围广。由于其输入轴与输出轴可在同一轴线上，也 可以不在同一轴线上，所以能适应各种机械的需要。 6 、运转平稳、噪音小、承载能力大。由于是内啮合传动，两啮合轮齿一为 凹齿、一为凸齿，两者的曲率中心在同一方向，曲率半径义接近相等，因此接触 面积大，使轮齿的接触强度大为提高；又因采用短齿制，轮齿的弯曲强度也提高 了。此外，少齿差传动时，由于齿阔面间的间隙很小，通常不是一对轮齿啮合， 而是几对轮齿同时啮合共同承剥2 5 a o , 5 5 】，所以运转平稳，噪音小，并且在相同的 模数情况下，其传递力矩比普通圆柱齿轮减速器大。 7 、运转可靠，使用寿命长。 基于以上优点，少齿差行星齿轮传动被广泛用于冶金机构、食品工业、石油 化工起重运输及仪表制造等行业，具有广泛的发展前景。但从目前的设计和应 用情况来看，渐开线少齿差行星齿轮传动存在的一些问题是： l 、计算较为复杂。当内齿轮与行星轮的齿数差小于5 时，容易产生各种干 涉，为了避免这些干涉，需要采用变位齿轮，所以计算较复杂。 2 、转臂轴承受力较大，寿命较短。由于齿轮变位后啮合角较大，所以转臂 轴承上径向载荷较大，并且轴承转速还稍高于输入轴的转速，所以转臂轴承是渐 开线少齿差行星齿轮传动的薄弱环节。 3 、有的结构需要加平衡块。有些变异机构，需要仔细地进行动平衡，否则 会引起较大的振动。 4 、承载能力远没有达到最大程度的发挥。这主要是由于设计人员没有充分 发掘少齿差行星齿轮传动所具有的多齿对同时啮合共同承载这一现象的积极作 用。就目前的应用情况看，少齿差行星齿轮传动的承载能力远没有达到最大程度 的发挥，原有的设计和理论存在许多不尽合理因素。因此，对少齿差行星齿轮传 动所特有的多齿对啮合共同承载现象进行深入的研究已经十分必要。 近几年，随着人们对渐开线少齿差行星齿轮传动认识的深入，电子计算机技 术及其应用的进一步发展以及轴承性能的提高等，以上缺点正在被逐步地克服。 为了提高承载能力和传动效率，减少外形尺寸、质量及增大减速比等，国内外的 第一章绪论 少齿差正沿着高承载能力、高精度、高速度、高可靠性、高传动效率、小型化、 低振动、低噪音、低成本、标准化和多样化的方向发展，相信在不久的将来，必 然会有更广泛的应用。 1 2 三环传动简介 鉴于本文中的大量计算实例是以三环传动及三环减速器为对象进行，故对其 进行简要介绍。三环传动是由我国重庆钢铁设计研究院陈宗源高级工程师于 1 9 8 5 年提出的一种特殊形式的少齿差行星传动【2 1 ，后来重庆钢铁集团公司又 提出了单齿环双曲柄输入少齿差减速器双环传动f 3 0 1 。由于两者的传动原 理基本相同，可统称为三环传动。国内有些文献也称内齿行星齿轮传动【3 5 1 或 平动齿轮传动1 4 6 47 。从机构学角度看，它们都是由连杆机构( 平行四边形机 构) 和齿轮机构所构成的组合机构。 典型三环传动的基本原理如图 l 一3 所示，它由平行四边形机构和齿 轮机构组成。机构中有动力输入的曲 柄轴称为输入轴，无动力输入的曲柄 轴称为支承轴。平行四边形机构的连 杆上带有内齿轮，称为内齿板，其结 构如图1 4 所示。输出轴和外齿轮为 _ 竺：雩兰守、夕! 苎竺紫啮拿：。胄譬 图1 3 三环传动的基本原理 出轴输出动力。平行四边形机构的曲 一 一。 柄一般制成偏心套的形式，如图1 - 5 所示。 图l - 4 内齿板 n !闷 图1 5 偏心套 当平行四边形机构的连杆运动到与曲柄共线的两个位置( o o 和1 8 0 。) 时， 机构的运动不确定，一般把这种运动不确定的位置称为死点位置。为了克服 第一章绪论 机构在死点位置的运动不确定，最常用的方法是采用三相平行四边形机构并 列布置，各相机构之间互成1 2 0 0 的相位角，如图1 6 所示。这样当某一相平 行四边形机构运动到死点位置时，由其它两相机构传递动力，从而克服死点。 这就是三环传动名称的由来。采用这种并列方式，不仅可以利用多相机构共 同承担载荷，还可以使机构在运动平面内的摆动力相互平衡。 根据输入轴、支承轴和输出轴之间不同的位置关系，三环传动有两种基 本的形式：对称型和偏置型。当输入轴和支承轴相对于输出轴对称布置时， 称为对称型三环传动，如图1 - 6 所示。当输出轴位于输入轴和支承轴的外侧 时，称为偏置型三环传动，如图1 7 所示。两种形式相比较而言，偏置型三 环传动的受力状态比对称型恶劣，振动、噪声也明显较大【3 8 】，现已较少采用。 图1 - 6 对称型三环传动 图1 7 偏置型三环传动 三环传动具有承载能力强，传动比大，结构简单、紧凑，加工制造简单 等一系列优点，已被广泛应用于水泥磨慢速传动装置、环型加热炉传动装置、 钢包回转台回转装置、方坯连铸拉矫机传动、桥式起重机传动、摩托车装配 生产线传动、建筑打桩机传动等。随着其它行业对三环减速器认识的加深和 其自身性能的进一步完善，其应用领域也必将不断扩大。 1 3 多齿弹性啮合效应及其研究现状 在渐开线少齿差行星齿轮中，啮合线附近几个相邻工作齿对的齿廓面间的间 隙非常小，如图1 8 所示；靠近啮合线的两对齿，其理论间隙通常为1 0 - - - 2 0 $ t m 。 假设内齿轮固定。当轮齿承担载荷时，两接触轮齿将分别产生弹性变形，外齿轮 将绕其轴线旋转一附加角，当这一附加转角足够大时，除原有接触齿对继续发生 接触外，相邻工作齿对的齿廓面间的间隙也会消失，形成多齿对接触并同时承担 载荷，如图1 - 9 所示，从而提高了齿轮传动的承载能力。这种由于轮齿的弹性变 形导致多齿承载而引起齿轮承载能力提高的现象称为多齿弹性啮合效应 4 0 l 。 第一章绪论 图i 8 齿廓问隙 圈i - 9 多齿弹性啮合效应 为方便后面章节的论述，本章节给出多齿弹性啮合效应主齿对的定义，即忽 略轮齿的弹性变形时在啮合线上单齿啮合区啮台的轮齿对。它也就是产生多齿弹 性啮合效应时。同时接触的各齿对中受载最大的轮齿对( 中间的一对齿) 。引入 多齿弹性啮合效应系数丘。来反映各接触齿对实际所承担的载荷： 坼，= 正f( 1 1 ) 其中是，齿轮传递的总法向载荷f 为同时啮合齿对中齿对i 所承担的载荷。通 常用k ，。表征主齿对实际所承担的载荷，为方便简写为k ，它是衡量多齿弹性 啮合效应的最重要参数。 早在1 9 6 5 年，苏联学者y a s t r e b o v l 3 1 就预言了少齿差内啮合传动中存在多 齿弹性啮合效应，并给出了齿廓工作面问法向间隙的计算方法。此后，日本 学者s u n a g a x 驯对理论重合度为08 4 的行星齿轮在额定载荷的条件下进行了 张力标尺实验，确实观测到了多齿弹性啮合现象。这些研究或是仅仅考虑了 各对齿的工作齿廓的间隙，或只是通过实验来进行的，而投有建立轮齿的弹 性变形、工作齿廓间隙和同时啮合齿数之间的数学模型，以致都无法给出实 际接触的齿对数和各齿对上的载荷分配比例。 由于多齿弹性啮合效应的存在，在进行设计时如果按照普通圆柱齿轮的强度 公式进行计算，强度实际上会存在相当的裕量而造成浪费。在无制造误差的情况 下t 这一效应 分明显，轮齿所承受的实际载荷大幅降低。文献【2 5 ，4 0 ，5 5 】都提 出了在轮齿强度计算中计入多齿弹性啮合效应的方法。 然而少齿差内啮合传动的工作齿廓面问的间隙非常小；而工作齿廓面问的 相对位置误差相对要更大一些。这- 5 起实际齿廓问隙不小的变化，必然影响到多 齿弹性啮合效应的理想发挥。为了在强度设计中充分并正确地利用多齿弹性啮合 效应，必须计入制造误差的影响。 第一章绪论 文献【1 6 】经过多元回归分析，认为齿轮的基节误差是影响相邻工作齿廓面间 相互位置的最重要的因素。因此，目前在考虑制造误差的影响时，都只计入基节 误差的影响。 舒小龙【2 5 】在考虑轮齿法向啮合刚度、工作齿廓面问的间隙及齿轮制造误差 的基础上，建立了多齿弹性啮合效应的载荷分配数学模型。该文用概率统计 的方法将基节误差按正态分布计入齿廓间隙中，并在此基础上分析了一定载 荷下多齿弹性啮合效应系数的分布规律，认为该分布也属于正态分布。但是， 该文中的多齿弹性啮合效应系数分布规律仅仅是对某参数齿轮副大量主齿 对( 即不考虑齿对属于哪个齿轮副或在齿轮副的哪个位置) 啮合情况的总体 反映。给定该参数的某对具体齿轮副，对于其上的任意一个轮齿f ，由于误差 的随机性，当该轮齿和对应齿轮上的不同轮齿构成主齿对时，所引起的多齿 弹性啮合效应必然不同。于是，这些由轮齿f 参与构成的主齿对在啮合中所承 担的载荷也必然不相同。因此，轮齿f 在啮合过程中实际承担的是一系列变载 荷，应该按变载荷的情况处理。同时，在一定可靠度下，多齿弹性啮合效应 系数可能较大，即大量主齿对承担大载荷的总次数较多，而平均到每个轮齿 f ，这种情况却可能很少，相应的等效载荷也就不一定很大。因此，简单地按 某一可靠度从该文的多齿弹性啮合效应系数分布规律中取定一个值并不能 准确地反映出误差的影响。按照该理论对某参数齿轮副进行进一步的分析， 结果表明：在考虑基节误差的情况下，多齿弹性啮合效应系数在一定的载荷下 也并不符合正态分布，本文将在第三章对其进行论述。 朱才朝【5 5 】将上述模型应用于三环减速器的分析中，并将实测的基节误差 计入齿廓间隙中，计算了某次啮合时同时接触的齿对数及各齿对上的载荷分 配比例。但是，该文对于误差的处理存在着不足。首先，在设计阶段无法得 到实际误差的数值；其次，即使测量得到了某参数齿轮副基节误差的数值， 由于误差的随机性，不同主齿对在啮合时产生的弹性变形以及由变形导致的 多齿弹性啮合效应必然有所不同，一两次的计算结果既不能体现出该基节误 差分布下齿轮副的实际啮合情况，也不能反映该参数其它基节误差分布时的 啮合情况。 应广驰1 4 0 j 重新精确地推导了齿廓工作面间的法向间隙、齿轮法向啮合刚 度和轮齿的弹性变形的计算方法，求出了无制造误差时同时啮合的齿对数以及多 齿弹性啮合效应系数。该文认为基节误差可能会导致瞬时的单齿啮合，提出在将 多齿弹性啮合效应系数引入齿轮的弯曲疲劳强度计算的同时，还需按单齿对啮合 校核弯曲静强度。该方法较前人虽已进了一步，但将单齿对啮合处理为静强度还 是有相当程度的近似。 第一章绪论 更精确地分析误差对多齿弹性啮合效应的影响实属必要，因为这是提高少齿 差传动承载能力的理论基础。 1 4 本文的研究意义和内容 渐开线少齿差内啮合行星齿轮传动的实际接触齿对数以及载荷在各接触齿 对间的分配情况，对齿轮承载能力的估算以及齿轮模数的确定具有重要的意义。 在不考虑误差的情况下，多齿弹性啮合效应现象十分明显，一般同时啮合的齿对 数为3 4 0 ；但少齿差内啮合传动的理论工作齿廓间隙非常小，而制造误差( 主要 是随机基节误差) 相对却大得多；误差对于多齿弹性啮合效应将产生两方面的影 响 4 0 l ：一是误差可能导致啮合齿轮的弹性变形无法形成多齿对同时接触，甚至 是单齿对啮合承载，二是误差也可能导致同时啮合的齿对数更多，进一步提高齿 轮的承载能力。因此，要充分而可靠地挖掘这一积极效应的潜力，必须考虑误差 的影响。近年来，国内外学者对此进行了一些研究，取得了一定的进展，但如前 所述对于误差的处理还存在一些不足之处，需要进一步建立考虑误差的多齿弹性 啮合效应的精细的数学模型。本文正是对这方面进行的研究。 本文的主要研究内容有： 第一章介绍了渐开线少齿差内啮合行星齿轮传动的基本原理、结构形式及其 优缺点。介绍了多齿弹性啮合效应现象，并对该现象的研究现状做了综述，阐述 了对其进行进一步研究的必要性。 第二章详细论述了不考虑误差的多齿弹性啮合效应的理论模型。同时，本章 还建立了相应的有限元模型对该理论的可靠性进行了进一步的验证。在相同的外 部条件下，分别对理论模型、有限元模型在同一个啮合周期的各个啮合位置处的 啮合情况进行了计算，并对计算结果进行比较分析。通过对同时接触齿对数、主 齿对所对应的多齿弹性啮合效应系数值、多齿弹性啮合效应系数值在一个啮合周 期内的变化规律的分析，进一步验证了理论模型的可靠性。 第三章在文献【4 0 】的基础上，计入随机基节误差，重新推导了内外齿轮副在 某啮合位置处啮合时的多齿弹性啮合效应的理论模型，并通过有限元仿真对其可 靠性进行了验证。在此模型的基础上，利用蒙特卡罗随机模拟方法，将误差视为 随机变量，从两个不同的层面对基节误差所产生的影响进行了深入的分析。一是 以大量具有特定基节误差分布的主齿对作为研究对象，对其啮合情况进行分析、 统计，得到多齿弹性啮合效应的整体分布情况，纠正了文献1 2 5 】的结论：即在考 虑随机基节误差的情况下多齿弹性啮合效应系数的分布属于正态分布。二是从 更深层面上对随机基节误差对多齿弹性啮合效应的影响进行精确定量的分析：以 第一章绪论 齿轮副为分析对象，从齿轮失效的角度研究误差影响的本质。该分析结果表明： 误差使多齿弹性啮合效应对齿轮副的积极作用打了不小的折扣。本章以概率统计 的思想来处理误差，进而将误差引起的实际接触齿对数变化以及由此导致的轮齿 实际受力变化视为变载荷，提出了一定可靠度下的当量多齿弹性啮合效应系数的 概念，从而对误差现象在本质上有了更为深刻的认识和理解。 第四章针对少齿差传动齿面接触面积大的特点，提出利用塑性变形产生残余 应力抵消部分正常工作应力的方法，在一定程度上弥补了由误差导致的齿轮副承 载能力的下降，也为承载能力的进一步提高开辟了一个新的方向。为验证该方法 的可行性，本章建立了相应的有限元模型，进行了大量的仿真计算。通过对过载 前后轮齿齿根弯曲应力进行比较，验证了其可行性。鉴于传统齿根弯曲应力计算 公式对于渐开线少齿差行星齿轮传动的内外齿轮齿根弯曲应力计算上不准确的 事实，本章在大量有限元仿真计算的基础上，提出了将轮齿不同时刻的齿根弯曲 应力等效为当量应力作为其弯曲应力进行强度设计的思想，对原有公式进行了合 理的修正，使其更适用于渐开线少齿差行星齿轮传动。考虑到渐开线少齿差内啮 合行星齿轮传动所特有的多齿弹性啮合效应，将多齿弹性啮合效应系数引入到修 正后的公式。 第五章全文总结和展望。 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 2 1 引言 在少齿差内啮合行星齿轮传动中，若作用的载荷足够大，实际接触齿数会大 于按重合度算出的理论啮合齿数，在不考虑误差的情况下通常实际接触的齿对数 为3 对 4 0 1 ，这使得齿轮的总载荷由各齿对共同分担，单个轮齿所承担的实际载 荷会有较大幅度降低。这是因为，在少齿差内啮合行星齿轮传动中，不处于啮合 位置的齿对在进入啮合之前和脱离啮合之后，其内外齿轮的齿廓工作面间的间隙 非常小。在施加载荷后，齿对的弹性变形有可能大于齿廓面间的间隙，这些齿对 就要发生接触并同时承担载荷，从而提高了整个齿轮传动的承载能力。这种由于 轮齿的弹性变形导致多齿承载而引起齿轮承载能力提高的现象称为多齿弹性啮 合效应 4 0 】。因此，进行多齿弹性啮合效应的研究，对提高少齿差内啮合行星齿 轮传动的承载能力，缩小齿轮尺寸和整机尺寸，降低制造成本具有重要意义。 应广驰【4 0 】重新推导了少齿差行星齿轮传动齿轮副工作齿廓面间的理论间 隙、轮齿弹性变形及法向啮合刚度，并以此为基础，建立了不考虑误差的多 齿弹性啮合实际接触齿对数及各接触齿对间载荷分配的理论分析模型。通过 分析计算，该文认为在不考虑制造误差的情况下，少齿差行星齿轮传动可达 到的同时啮合的齿对数通常为3 对。为进一步验证该模型的可靠性，进而为 可靠地以该理论模型为基础进行进一步研究或进行少齿差行星齿轮传动的 齿轮强度设计，本章将建立精细的有限元模型，在同等外部条件下，计算一 个啮合周期内的各个位置处的啮合情况，与该理论模型的计算结果进行比 较，进一步验证其可靠性。 2 2 多齿弹性啮合效应的数学模型 图2 1 为一渐开线少齿差内啮合齿轮副示意图。在少齿差内啮合行星齿 轮传动中，外齿轮做定轴转动，内齿轮做平动，根据相对运动原理，可假设 内齿轮固定，外齿轮做复合运动。当齿轮轮齿受载产生弹性变形时，行星齿 轮轮体必然会产生一个逆行星轮自转方向的附加转角，以补偿啮合齿廓间由 于轮齿变形产生相互退让而可能产生的间隙，使内、外齿轮仍然保持啮合以 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 传递载荷。而少齿差内啮合传动其啮合线附近两相邻工作齿对齿廓工作面间 的间隙非常小，当这一附加转角足够大时，除原有接触齿对继续发生接触外， 相邻齿对的齿廓工作面间的间隙也会消失，从而发生接触并且承担载荷，这 样就产生了多齿承载接触。 图2 一l渐开线少齿差内啮合齿轮副示意图 = 4 若忽略接触点处的切向摩擦力，则载荷作用在接触点的法线方向。将啮 合线附近各齿对按图2 1 所示进行编号i ( i = 0 ，1 ，2 ，刀) ，同时定义主齿对为忽 略轮齿的弹性变形时在啮合线上单齿啮合区啮合的轮齿对，即图2 1 中编号为0 的齿对，它也就是产生多齿弹性啮合效应时同时接触的各齿对中受载最大的轮齿 对。由于外齿轮上的每一个齿都是固联在其上的，外齿轮弹性变形产生的附 加转角口对于其上的每一个轮齿而言都是相等的，即 o o = b = 岛= = 以( 2 - 1 ) 式中 只外齿轮弹性变形使第i 个齿产生的附加转角，i = 0 ，l ，2 ，刀。 外齿轮上各轮齿的附加转角若能填补各相应齿对的齿廓工作面间的间 隙角，则各相应齿对将发生接触，并产生相应的弹性变形，于是有 只：仍+至(2-2) r b l 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 式中仍第i 对齿的齿廓工作面间的间隙角，详见附录i ； 。夕f 齿轮的基圆半径； 磊第i 对齿在啮合点处的法向变形，按下式计算 f巧 驴压 式中 f 第，对齿所承受的法向载荷； 毛第f 对在啮合点处的法向啮合刚度，详见附录i ； b 齿轮的啮合宽度。 同时，齿轮传递的总载荷f 为各对齿承受的载荷f 之和，即 即 由方程0 0 = 0 1 可得 ( 2 3 ) 磊+ 互+ 最+ + e = f( 2 - 4 ) ” 01 ”4 i + 毛饥。2 仍+ 两 去磊一击互= 玩- ( 吼一) ( 2 - 5 - 0 ) 同理，由方程b = 0 2 ，砧。= 见可得 吉互一吉最= 巩- ( 仍一仍) ( 2 - 5 - 1 ) 亡e 一- 一去e = 仇，纸一纯一，) ( 2 - 5 - n - 1 ) 将式( 2 - 4 ) 与式( 2 - 5 ) 联立，并写成矩阵形式： 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 lll l ll k o 毛 l1 毛七2 ll k ，吒 e 厩 e ： f 矾，( 仍一) b r b 。( 仍一仍) ； 巩。( 纯一纯一) ( 2 - 6 ) 求解矩阵方程( 2 6 ) 可以得到同时接触的齿对数以及各齿对所承担的载 荷。但由于同时接触的齿对数未知，即方程组的维数未知，需采用试算的方 法来求解此矩阵方程。在相同的附加转角下，齿廓工作面间的间隙角最小的 齿对，先发生啮合；在不考虑误差的情况下，离啮合线越近，齿对的齿廓工 作面间的间隙角越小，呈数量级递减。求解前可先计算出啮合线两侧的6 对 齿对( 左右各3 对；在少齿差行星齿轮传动的一对齿轮副中，其同时啮合的 轮齿一般不超过5 对) 的理论齿廓工作面间的间隙角，并按间隙角的大小重 新对其进行编号( i ( i = 0 ，l ，2 ，刀) ，通常与图2 1 的编号相同) ，间隙越小的 齿对其编号越小。由于主齿对必需参与啮合，即方程的维数至少为1 ，故求 解时可以先假定有2 对齿同时接触，方程的维数为2 ( 行= 1 ) ，将重新编号后 编号为l 的轮齿对加入矩阵方程求解，得到解向量e = ( f o ，e ) 1 。若向量e 中 有小于零的元素，载荷出现负值无意义，说明接触齿对估计过多，则此时实 际啮合的齿对数应为1 对，即只有主齿对参与啮合( 方程的维数应为1 维) ； 若向量e 中没有小于零的元素，说明同时接触齿对数至少为2 对( 方程的维 数至少应为2 维) ，进一步假设有3 对齿同时接触( 玎= 2 ) ，将重新编号后编 号为2 的轮齿对加入矩阵方程求解，重复上述的过程；继续试算，直到方程 的维数不再增加为止，此时方程的维数即为实际接触齿对数。 为反映载荷在各接触齿对间的分配状况，引入多齿弹性啮合效应系数群。 来反映各接触齿对实际所承担的载荷： k v ；= 只i f ( 2 - 7 ) 其中是，齿轮传递的总法向载荷，e 为同时啮合齿对中齿对i 所承担的载荷。通 常用砗。表征主齿对所承担的实际载荷，为方便简写为砗，它是衡量多齿弹性 啮合效应的最重要参数。 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 2 3 多齿弹性啮合效应理论模型的有限元验证 上一节详细论述了不考虑误差的多齿弹性啮合效应的理论模型，本节将利用 a n s y s 软件建立精细的有限元模型，在外部条件相同的情况下，通过计算，将 所得结果与利用前述理论模型计算得到的结果在同一个啮合周期的各个位置进 行比较，以进一步验证其可靠性。 现以某s h l 6 0 型三环减速器为例进行论述，但该理论对少齿差行星齿轮传 动具有普遍性。该减速器内外齿轮副的具体参数如表2 1 所示，其中而、z ，分别 为外齿轮、内齿轮齿数，m 为齿轮模数，f 为齿轮传递的法向总啮合力( 取其 峰值) ，口为啮合角，j c l 、x ：分别为外齿轮、内齿轮的变位系数，口为齿轮啮合 宽度。内外齿轮材料均为4 5 钢，其弹性模量为2 1 1 0 5 n m m2 ，泊松比为0 2 6 9 。 表2 is h l 6 0 型三环减速器内外齿轮的主要参数 z 1z 2 伪( m m )f ( n )口( o ) 而屯 曰( m m ) 6 3 6 4 2 7 51 2 0 0 05 5 0 6 80 9 7 7 41 6 0 3 53 5 2 3 1 多齿弹性啮合效应的有限元模型 有限元法具有精度高、适应性强以及计算格式规范、统一等优点，其计算的 准确性很大程度取决于对边界条件的处理。在三环传动中，驱动力由输入轴输入， 并由曲柄带动内齿板作平动，最后通过齿轮副将动力由输出轴输出。因此，实际 建模时应将内齿轮作为主动件，将转动力矩作用在内齿轮上，其周向转动自由度 不应单独约束，而必须通过在轮齿对间建立接触副进行限制。同时，为限制外齿 轮的刚体位移，必须约束其周向转动和径向移动自由度。考虑到三维实体有限元 接触模型计算时耗费大量的机时，而齿轮啮合属于平面应力问题，故可以进行一 定的简化，只建立多齿弹性啮合效应的平面有限元接触模型。 第= 章无误差多齿弹性啮合敏应的理论计算与有限元仿真 图2 - 2 多齿弹性啮合教应的有限元模型 图2 - 2 为多齿弹性啮合效应的平面有限元模型。该模型包含5 对可能参与啮 合的轮齿对，对于三环传动在通常情况下已经足够f , l o 。约束内齿轮的径向自由 度、外齿轮的径向和周向( 转动) 自由度，并将转矩作用在内齿轮的齿圈上。根 据内外齿轮的材料及分析精度要求本文选用分析精度较高的p l a n e l 8 3 单元对 内外齿轮进行网格划分；同时，选用t a r g e l 6 9 和c o n t a l 7 2 作为接触单元， 建立齿对间的接触关系。 轮齿的接触求解属于非线性问题，为保证收敛，在球解过程中应使载荷平稳 而缓慢地增加到工作载荷。对于少齿差行星齿轮传动一般设置载荷步为2 0 - - 3 0 ， 即载荷由0 开始经历2 0 - 3 0 次的递增后达到最终的工作载荷。同时应堪量使用 映射网格对内外齿轮进行州格划分，即尽量使用规则的四边形单元，并在可能的 接触区域( 齿面) 以及齿掇过度曲线处保证有足够的有限元单元，相邻单元的大 小不应相差太大，如图2 - 3 所示。 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 囤2 - 3 齿面及齿根过度曲线处的有限元单元 为减少求解时间及对机器性能的要求，选用p c g 求解器明预处理共轭梯 度求解器。该求解器不需要形成模型的总刚度矩阵，而可以直接针对单元刚度矩 阵求解，最后再对计算结果进行组装，故对计算机的内存要求有所降低，求解速 度较快。 求解时为满足外部条件的一致性要求，理论模型中的齿轮传递总载荷，与该 有限元模型中作用于内齿轮上相应大小的转矩m ，应满足如下关系： ，= r ：( 2 - 8 ) 式中k 为内齿轮的基节半径。求解后的结果如图2 4 、图2 - 5 所示。通过后处理 模块中相应韵命令可以得到各接触齿对实际所承担的载荷，进而由公式( 2 7 ) 可以 得到相应齿对所对应的多齿弹性啮合效应系数。 第二章无误差多齿弹性啮合效应的理论计算与有限元仿真 l ”。 ! 互： ! ! ! ：= ! = 墨! = = ! ! ! 图2 4 模型的同时啮台齿对数图2 * 5 主齿对的应力云图 2 3 2 理论计算结果与有限元仿真结果的对比 为进一步验证理论模型的可靠性本小节通过理论模型及有限元模型分别对 三环传动内外齿轮副在一个啮合周期内韵啮合情况进j i 计算，并对计算结果进行 对比。在不考虑误差的情况下，内外齿轮副在每个啮合周期内的啮合情况部应相 同计算时可将实际啮合线进行 等分，并按各位置处啮合发生时间的先后顺序 进行编号，啮 点编号为i ，啮出点编号为h