（应用数学专业论文）一类有脉冲的一阶泛函微分方程的周期正解.pdf

摘要 本文研究了有脉冲的一阶泛函微分方程周期正解问题的存在性，以及其在具体 的生物数学模型问题中的应用本文的主要结果是利用锥不动点定理证明的，这个 结果是在文献【1 - 3 】的基础上更一般的推广全文包括三部分：首先是引言，介绍要 讨论问题的背景及研究现状；之后是主要结论，给出多时滞的一阶脉冲微分方程周 期解存在的充分条件和证明第三部分是应用举例，并且具体讨论了生态学中所提 出的几类时滞脉冲微分方程模型，包括：红细胞再生模型，绿豆蝇模型和多时滞的 l o g i s t i c 方程等 关键词：泛函微分方程；正周期解；脉冲；锥不动点定理 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt op e r i o d i cp r o b - l e m sf o rf i r s ti m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da p p l i e st ob i o l o g i c a l s y s t e m i to b t a i n san e we x i s t e n c et h e o r yf o rs i n g l ea n dm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n st oak i n do fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s ea c t i o n s a tf i x e dm o m e n t sb ye m p l o y i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s e a s i l yv e r i f i a b l e s u f f i c i e n tc r i t e r i ai se s t a b l i s h e d i te x t e n ( i ss o m ep r e v i o u sr e s u l t sa n dr e p o r t ss o m e n e wr e s u l t sa b o u ti m p u l s i v ef i m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ep a p e rc o n t a i n s t h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 ，a tt h eb e g i n n i n go ft h i sp a p e r ，w em a i n l yi n t r o d u c et h e b a c k g r o u n d c h a p t e r2 ，w eo b t a i n e dt h em a i nr e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ep r o b l e mf o rf i r s ti m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd e l a yc h a p t e r3 ，a sa p p l i c a t i o n ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa p p l i e dt o s o m em a t h e m a t i c sb i o l o g i c a ls y s t e m s ，f o re x a m p e l s ，t h eh e m a t o p o i e s i sm o d e l ，m o r e g e n e r a lt h em o d e lo fb l o o dc e l lp r o d u c t i o n ，t h em o r eg e n e r a ln i c h o l s o n sb l o w f l i e s m o d e la n ds oo n k e yw o r d s ： f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i m p u l s e ，p o s i t i v ep c r i o d i c s o l u t i o n ，f i x e dp o i n tt h c o r c m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 巾作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 榭牛魄节一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：i ；嶙指导教师签名；秀避 日 期：j 盘率f 上。渡日期；垂婴2 1 尘! 塞盘 学位论文作者毕 工作单位： 通讯地址：御铲 疆鲥够钎屯 电话； 邮编： 矛璺丝缨 1 引言 脉冲作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在其 数学模型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑 到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻，更精确地反映事物的变化规律近年 来的最新科技成果表明，这类系统在航天技术，信息科学，控制系统，通讯，生命 科学，医学，经济领域均得到重要应用 对于脉冲微分方程的研究始于己于1 9 6 0 年自2 0 世纪8 0 年代，有更多的专 家学者致力于从理论上对其进行研究到8 0 年代末对其研究已有一些重要成果发 表9 0 年代以来脉冲微分方程作为非线性微分系统领域的一个新的分支，更加引 起专家的重视和兴趣，在许多方面都取得了重要的研究成果关于脉冲微分系统的 边值问题也有一些很好的结果2 0 0 2 年陈兰荪阐述了近年来脉冲微分方程在生命 科学中的应用，其中包括在药物动力学，种群动力学，传染病模型以及可再生资源 的最优管理方面的应用，并且具体讨论了l o t k a - v o l t e r r a 生态数学模型等在有脉冲 的情况下的持久性，周期性等动力学行为，得到了一些很好的结果 在现实生活中人们常会看到一些周期的脉冲现象，例如，时间的周期性，许多种 群的增长或出生是不连续的，而是在一些固定的时间点( 如血细胞的再生) ，可以把 在这些点的种群出生看作是对种群系统的脉冲因此用脉冲微分方程周期系统能够 更精确描述这种种群系统的特征对脉冲微分方程周期系统理论研究中的一个基本 问题是对方程解的存在性的研究，确定是否存在周期解，什么条件下存在周期解 参见文献【1 - 3 ，5 ，7 ，9 ，1 2 2 0 】 本文在已有文献的基础上推广创新，给出更一般的多时滞一阶脉冲微分方程 jy ( t ) = 一a ( t ) y ( t ) + ，0 ，( t 一7 1 0 ) ) ，( 一t i ) ) ) ，t ( 一o o ，o o ) t t j ，j z ， 【( 寸) = 口( 譬) + l 国( 0 ) ) ，t = 岛 ( 1 1 ) 正周期解存在的充分条件，并用锥不动点定理证明了这一条件的正确性这里y ( t f ) 和y ( t 7 ) 分别是( ) 的右极限和左极限，y 在岛上左连续；a ( t ) c ( ( - o o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) 1 ( ) e ( ( o o ，o 。) ，( 一，o o ) ) ，并且口( ”= o ( t + u ) ，( t ) = 0 + u ) ，m = 1 ，。n ，s ( t ，缸l ，“2 ，。) = s ( t + u ，u l ，u 2 ，) ，u 0 ，存在一个正的整数p 使 得押= 巧十u ，毛+ ，= 弓，j z 假设f 0 0 j ) n t j ：j z ) = t 1 ，t 2 ，知 ，：( 一o 。，o o ) 【0 ，o 。) “一【0 ，o 。) 和i j ：【0 ，o 。) 一【0 ，o 。) 是连续的 众所周知，无脉冲影响的泛函微分方程( 1 1 ) 包含许多生物数学模型，例如， 红细胞再生模型 多( ) = 一a ( t ) y ( t ) + 6 ( ) e 一9 ( ) ，( ”( ) ) ( 1 2 ) 更广义的红细胞再生模型 口( ) = 一。( 。) g ( 。) + 6 ( 。丁了百币前，n o ， ( 1 3 ) 和 i ( t ) = 一n ( t ) ( t ) + 6 ( ) r 潞，n 。， ( 1 4 ) 还有广义的绿豆蝇模型 口( ) = 一a ( t ) y ( t ) + b ( t ) y ( t r ( t ) ) e 一口o ) ，p 一7 ( 2 ) ) ( 1 5 ) 因此对模型( 11 ) 的研究有重要的理论和实际意义本文将把所得结果在上面的生 物数学模型中加以应用 为了解决问题方便，下面给出本文所用的锥不动点定理 定理1 1 | 1 0 l设x 是一b a n a c h 空间，k 是x 上的一个锥假设q hq 2 是x 上的开子集且0 q l ，n lcn 2 设 垂：k n ( q 2 n 1 ) + k 是一个连续且完全连续的算子，使得 ( i ) j | 西z 0 4 zj | ，z k nc o f l l ， ( i i ) 存在妒k o ) 使得z 西z + a 妒，z k n a q 2 且a 0 则垂在k n ( 吼n z ) 上有一个不动点 注记l 1 ：在定理1 1 ，如果把条件( i ) 和( i i ) 换成 2 ( i ) i l 西z l i 0 z l i ，z k n a q 2 ，和 ( i i ) + 存在1 ；f ，k o ) 使得z 西z + a 妒，z k n a n l 且a o 则垂在k n ( q 2 q 1 ) 中有一个不动点 3 2 主要结论 首先考虑线性问题 y ( t - ；- ，舞y ( t 7 。 ：嬲，t 仁， 【) =) + 厶白( 岛) ) ， j z ， = 岛， 、 这里口( t ) c ( n ，【o ，+ o o ) ) 是一u 一周期函数并且其余参数满足方程( 1 1 ) 的假设条 件 事实上，由于脉冲函数不一定是线性的，所以方程( 2 1 ) 并不是一个真正的线 性问题然而如果乃，j = 1 ，2 ，m 是线性的，则( 2 1 ) 便是一个线性脉冲问题 在本文结论的证明中，要用到下面的引理( 21 ) 和( 2 2 ) ，由于证明方法简单，故略 去 引理2 1 9 ( ) 是方程( 2 ，i ) 的一个u 一周期解等价于口( t ) 是下面积分微分方 程的一个u 一周期解： ) = ”“， + ；( ，tv(ty(t c ( ts ) a ( s ) d s g t j ) i j ( y ( t j ) ) ，(22),i ) =， + ；( ，j ) ) ，( 2 2 ) t j ：t j 面刊 其中 g ( t , s ) ：= 唑潞糕笋 ( 2 3 ) 引理2 2 y ( t ) 是方程( 1 1 ) 的一个u 周期解等价于9 ( ) 是下面的积分微分 方程的一个u 周期解： g ( ) = f g ( ，s ) f ，( s ，y ( s n ( s ) ) ，口( s t i ( s ) ) ) d s + g 。o ，t j ) b ( y ( t j ) ) ， ，：岛睢件u ) ( 2 4 ) 其中c ( t ，s ) 与( 2 3 ) 的定义相同 设x 是一b a n a c h 空间，k 是x 上一非空闭子集如果下面条件成立，则 k 是一个锥( i ) 口u + 跏k ，任意u ，u k 和q ，卢0 ( i i ) 缸，一“k 当且 仅当u = 0 定义 p c b ( r ) = f y ：r 一捌c ( t j ，t j + x ) ，y ( t t ) = y ( t j ) ，jy ( t d ，j z ，口( t ) 是r 上有界连续函数) 4 令 x = 可( t ) ：y ( t ) p c b ( r ) ，v c t + 0 , ) = ! ( ) ) ( 2 5 ) 并设 f l v l f = s u p f 擎( ) f ：y x ) 则x 在8 下是一b a n a c h 空间 定义x 上算子如下； ( ) ：广g ( ，s ) m ，( s - - 7 1 ( 蛳。o ( t ，t j ) 6 ( c v ) ( t v ( sy ( s - t n ( s ) ) ) d s +o ( t可( 蛳() = g ( ，s ) ，( s ，( s ) ) ，可( 如) ) ， 儿 j ：t ，a 不) ( 2 6 ) 任意口x 令 k = b x ：u ( t ) 0a n dv ( t ) , , l l v l l ， a s c ( t ，s ) s b ，( 2 7 ) 其中 a = 石画石予拓，b = 石蓦青瓣 令0 1 和厶。+ a k ( j ) l ； j = l j 。1 ( m 2 ) ，o + b 壹i o ( j ) 1 j 2j 下面是本文的主要结论： 定理2 1 假设条件( a ，1 ) 和a 五) 成立则方程( 1 1 ) 至少有两个正u 一周期 解v l 和9 2 使得 0 l i i p 1 1 2 1 1 证明设m - ) 和( 捣) 成立由( m x ) 的第一个表达式 知对0 1 并存在一个常数0 r p + a o ，矛盾 另一方面，因为( a 如) 成立，存在g 0 使得 f ( t ，? 2 1 ，“。) sf q a ( t ) m a x u l ， u n ) ，i j ( u ) i q ( j ) u ，j = 1 ，2 ，p 其中a q u m ，“q ，m = 1 ，n 由于 a q = o l l u l i 冬u 0 ) 0 缸0 = q ，任意“k n a q 。 7 则对任意y k 且| i = g ，有 ( c y ) ( t ) = j ? “a ( t ，s ) f ( s ，”( s 一下1 ( s ) ) ，( s 一7 i ( s ) ) ) d s + g ( t ，t j ) i j ( y ) ) ，：0 【f h u ) f qf + 。a ( t ，s ) d ( s ) m a x g ( s n ( s ) ) ，( s 一，h ( s ) ) ) d s + b 墨乃 ( 岛) ) f q q 詹+ 。a ( t ，s ) n 0 ) d s + b g 苎p ( j ) j = l ：q 【，a + b 墨，a 0 ) 】 j = l d 于是有 i i 中训 | | 任意y k n a n 。( 2 9 ) 由( 2 , 8 ) 和( 2 9 ) 及定理1 1 ，可知垂有一个不动点分i k n ( 矗。缉) 这里， r 1 知存在0 q 使得 f ( t ，i t l ，“。) ( 1 一e ) f ；a ( t ) m i n u l ，u 。) ， b ( u ) ( 1 一e ) 。( j ) 其中t t m ，“n ，m = 1 ，n 令r ：卫，于是有 玎 u ( ) 20 1 1 “1 i = a r = r 1 任意i t k n a f 2 r 令妒i 1 任意t r 可以证明 y 圣y + a 妒任意y k n a q 疗和a 0 ( 2 1 0 ) 若不然，存在y 0 k n a q r 和a o 0 使得 y o = c y o + a o 妒 8 令p 2 磐强珈( 。) 则对任意。兄有 y o ( t ) = ( c y o ) ( t ) + a o = 丘“g ( t ，s ) f ( s ，y o ( s n ( s ) ，y o ( s 一7 ( s ) ) ) d s + eg ( t ，t j ) b c u o ( t j ) ) + j ：b 【t 。t + ) ( 1 一) 厶詹+ 。g ( t ，s ) n ( s ) m i n u o ( s n ( s ) ，珈0 一h ( s ) ) ) d s + a e b ( y o ( t j ) ) + 如 ( 1 一e ) 厶p 丘“g ( t ，s ) a ( s ) d s + ( 1 一e ) a 妻k 0 ) p + 知 ” 3 = 1 = ( 1 一e ) 。+ atk 0 ) 】p + a o j = i 弘+ a o ， 这与p 芦+ a o ，矛盾 于是由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 及定理1 1 知。币有一个不动点y 2 k n ( 晓r q 口) 这 里，q 1 成立，则保 证( 1 i ) 存在一个周期正解可l ， 同理，在定理2 1 中如果只假设( a 如) 和厶+ a k ( j ) 1 ，成立，则保证 ( 1 1 ) 存在一个周期正解9 2 推论2 1 在定理2 1 中用条件( m 7 ) 代替( m 1 ) ，则结论仍然成立 ( m ：) y o = o o 或 p 和厶= o o 或k ( j ) = o o j = l 定理2 2 假设条件( 如) 和( 乱) 成立则方程( 1 1 ) 至少两个u 一周期正解 l 和驰使得 0 l l l p 0 9 2 m 证明 假设条件( m 2 ) 和( 厶) 成立由( m 2 ) 的第一个式子， i e ，f o + 。1 一( ，o + b i o ( j ) 口砉p o ) 1 ，可知对任意0 e 面曩 存在一个常数0 r 口 9 使得 ，( t ，t l ，u 。) s ( ，o + e ) 口o ) m a x u 1 ，。，易( u ) ( ，0 ) + e ) u ，j = 1 ，2 ，一，p 其中0 su ，m sr ，m = 1 ，2 ，n 若任意y k 且l l = r ，则口r y ( t ) r 对于任意y k 且i l y l = r ，有 ( c y ) ( t ) = + 。g ( t ，5 ) ，( s ，y ( s 一丁1 ( s ) ) ，y ( s 一( s ) ) ) d s + 善。g ( t ，t ，) l j ( y ( t 3 ) ) j ：t ，i c ，“叫) + u ( ，o + e ) g 0 ，s ) o ( s ) m a x y ( s 一7 1 ( s ) ) ，y ( s 一7 h ( s ) ) d s + b 量z j ( y ( t j ) ) ( y o + e ) 丘+ 。c ( t ，s ) a ( s ) d s l l y l l + b 壹( j o o ) - 4 - e ) 引j = 【，o + b 1 0 0 ) + ( p b + 1 ) e l l y l i j ；l p + a o ， 这与p p + ，矛盾由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 及定理1 2 ，可知圣有一个不动点 l k f l ( n g f 2 r ) 并且r l l y d i 0 ，说明y x ( t ) 是方程( 1 | 1 ) 的一个u 一周期正解 接下来，有( m 2 ) 的第二式，i e ， ，。+ b ，。d ) 1 ， j = x 1 一( ，w + b 苎，m ( j ) ) 可知对任意0 g 使得 a 口十l 。 y ( t ，“l ，u 2 ，u 。) ( ，”+ d a ( t ) m 3 , x u 1 ，u 2 ， 1 1 , n ，b ( u ) ( ，。0 ) + e ) 让，j = 1 ，2 ，p 任意u ，u 。2 ”l ，m = 1 ，2 ，r t 令r = 翌，于是有 盯 “o ) 2 盯8 “0 = a r = r l 任意u k f q a q r ( 2 1 3 ) 则对k w i t h f | = r ，有 ( 西9 ) ( t ) = “a ( t ，s ) ，( s ，y ( s n ( s ) ) ，y ( s r ( s ) ) d s + a ( t ，t j ) i j ( y ( t j ) ) j ：b j “，“) 。 f + w ( ，+ e ) g ( t ，s ) n ( s ) m a x ( s n ( s ) ) ，y ( s t n ( s ) ) d s + 口妻b ( u ( t j ) ) s ( ，。+ e ) t n ；+ “g ( t ，s ) a ( s ) d s l l y l l + b 壹( ，* ( j ) + e ) i l u l i n 1 ，= = 【，”+ b ，。d ) + b + 1 ) e l l y l i f 即 i i c y l i f l y l f( 2 1 4 ) 任意y k n 触r 。 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 及定理1 1 可知圣有一个不动点y 2 k n ( q r q 。) 并且 q f 协 0 ，说聪轭( ) 方程( 1 。i ) 的一个p 周期正解 综上定理2 2 得证 注2 2 若在定理2 2 中只假设( 地) 和f o + b 墨j o ( j ) l 成立，则能保证 j ；l y 1 存在同理，若只假设( 尬) 和，o 凸+ b 苎p o ) 1 3 = n 1 ( i i )，o + b i o ( j ) 1 则方程( 1 1 ) 至少有一个u 一周期正解y l 和，。+ b ，。( j ) 1 ， 证明此证明与定理21 和22 的证明过程类似，从略 推论2 3 如果下面条件之一成立，方程( 1 1 ) 至少有一个u 一周期正解 ( )f o = o 。或如( j ) = o o和 f 。= 0 ，。( j ) = 0 ，j = 1 ，2 ，p ( 次线性) ( “) f 。= 0 ，0 0 ) = 0 ，j ：1 ，2 ，m 和氏：0 0a ；r 墨k ( j ) ：o 。 ( 超线性) 1 2 3 应用举例 本节将用前面的主要结果讨论一类特殊的脉冲系统和时滞生物模型 首先考虑下面的脉冲l o g i s t i c 系统 = ( t ) 【0 0 ) 一f ( t ，y ( t 一以( t ) ) ，口o 一7 k ( ) ) ) l ，t ( 一o o ，o o ) t t j ，j z = p ( 可) 一易( ”( 巧) ) ，t = 巧 ( 3 1 ) 推论( 3 1 )假设条件( 矗) 和a 如) 成立贝方程( 3 1 ) 至少有两个正沙周期 解y 1 和y 2 使得 0 i l y l l i p i l y 2 1 1 由于此证明与定理( 2 i ) 类似，故略去 推论( 3 2 ) 假设条件( m 1 ) 和 如) 成立则方程( 3 1 ) 至少有两个正u 一周期 解玑和抛使得 0 i l y l l i 1 b 墨州北1 f m 则方程( 3 4 ) 至少有一个u 一周期正解 推论3 5假设 ( 研) ：o ( ) ，b ( t ) c ( r ，( 0 ，。o ) ) ，r ( ) c ( r ，r ) ，z ( t ) c ( r ，( 0 ，o o ) ) 1 4 口( ) ，6 ( ) ，r ( t ) a ：m f l ( t ) 都是妒周期函数，u 0 是常数 ( 凰) ：器+ a 喜而。) l ，b j 墨= l j 。) 1 ，t 【o ，u 】 则方程( 3 4 ) 至少有一个”周期正解 推论3 2 和推论3 3 可由，。= 0 和矗= o 。直接得出对推论3 4 和3 5 可由 下面条件得出 。l i m 舢i n f 吲m 叫i n 群端2 蚓m 叫i n 器f o = 蚓m 。i 胪n ， 和 。l 。i m m i n 佃f ma。叫x。(tf)(t,ut，u“，)面=o。i-=teo m a x u l o u l ，n t 。叫d u )，t 正n ， 。 即先2 矧m 。i 。n f 器和f o o = 0 ，于是由定理2 ，3 即得推论3 4 和3 5 推论3 2 一推论 3 5 是已有结果的扩展 1 5 参考文献 f l j lj i a n gdq ，w e ijj e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rn o n a u t o n o m o t md e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，c h i n a n n 吖m a t h ，1 9 9 9 ，( 2 0 ) ：7 1 6 - 7 2 0 ( 2 l l iyk e x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o r8c l a s so fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，s c i e n c ei nc h i n a ，1 9 9 8 ，( 2 8 ) ：1 0 8 1 1 8 【3 1 3k u a n gy g l o b a ls t a b l i t yf o rad a s so fn o n l i n e a rn o n a u t o n o m o n sd e l a yl o g i s t i ce q u a - t i o n s j ，n o n l i n e a ra n a 蜘氇1 9 9 1 ，( 1 7 ) ：6 2 7 - 6 3 4 4 lg o p a l s a m yks t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o n si nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p u l a t i o n d y n a m i c s m ，b o s t o n ：k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 2 5 】g o p a l s a m yk ，l a l l ibs o s i n a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fam u l t i p l i c a t i v ed e l a y l o g i s t i ce q u a t i o n j ，d y n a m i c sa n ds t a b i l i t yo fs y s t e m ，1 9 9 2 ，( 7 ) ：3 5 4 2 6 】p i e l o uec m a t h e m a t i c se c o l o g y m ，n e wy o r k ：w i l e y i n t e r s c i e n c e ，1 9 7 7 7 】l e n h a r ts ，t r a v i sc g l o b a ls t a b i l i t yo f ab i o l o g i c a lm o d e lw i t ht i m ed e l a y i j ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 8 6 ，( 9 6 ) ：7 5 - 7 8 8 】m a l l e t p a r e rj ，n u s s b a u mrg l o b a lc o n t i n u a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rp e r i o d i c s o l u t i o n so fad i f f e n t i a l d e l a ye q u a t i o n j ，a n nd i m a t hp u r e d a p p l 1 9 8 6 ，( 1 4 5 ) ：3 3 1 2 8 9 jj i a n gdq ，w e ija n dz h a n gb p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dp o p u l a t i o nm o d e l s i j l ，e l e c t r o n i cj o u r n a l 盯d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 0 0 2 ， ( 7 1 ) ：1 - 1 3 f l o ld e i m l i n gk n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s m ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 5 i i i 】s a m o i l e n k oam ，p e r e s t y u kna d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s ee f f e c t m ，r u s s i a n ： v i s e a o l ak i e v , 1 9 8 7 1 2 j l a k s h m i kv ，b a i n o vdda n ds i m e o n o vp s ，t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s m ，s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，1 9 8 9 f 1 3 】a n o k h l nav ，b e r e z a n s k yla n db r a v e r m a ue e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd e l a y i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，正m a t h a n a l a p p 1 9 9 5 ，( 1 9 3 ) ：9 2 3 - 9 4 1 【1 4 1 b a l n o vdd ，c o v ah e yva n ds t a m o v _ ai s t a b i l i t yu n d e rp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e j ，zm a t h a n a l 卯1 1 9 9 4 ， ( 1 8 7 ) ：7 9 0 - 8 0 8 i s s h e nj h o ns o m ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yr e s u l t so fi m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s f j ，c h i n e s em a t h a n n 1 9 9 6 ，( 7 7 ) ：7 5 9 - 7 6 5 【1 6 】s h e njh t h ee x i s t e n c eo fn o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fd e l a yd