（应用数学专业论文）连续接种和脉冲接种在seirs流行病模型中的效应.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 内容摘要 本文研究了一个具有潜伏期的混合接种的流行病模型，并且分析了连续接种和 脉冲接种的动力学性质，对这两种接种策略的效应进行了比较。对于疾病的连续接 种，得出了无病平衡点和地方病平衡点稳定的充分条件，同时，也给出了系统持续 生存的条件：对于疾病的脉冲接种模型，利用离散动力系统的频闪映射，得到了脉 冲系统的无病周期解，并且证明了无病周期解是全局吸引的。理论结果显示，在疾 病的根除上，脉冲接种策略比连续接种花费的相对要少一些，因此证明，脉冲接种 策略是一个更自然、更有效的接种策略。 关键词：s e 瓜s 流行病模型；脉冲微分方程；稳定性；吸引性；合作系统。 a b s t r a c t 毡蛾sp 礞a 檄i x 醯p 覆s ev 纛c e i n 蠢傩s 锄留影遗肇i d 嘲e 趣耐e lw i 攮l 疵稚 t 妇e si sc o n s i d e r e d 讹ed y n 锄i c so ft l l i sd e s e 鹕em o d e l 硼d e rc o n s t 勰t 徽l dp u l v a c c i n a t i o na r ca n a l y z e d ，t h ee f r c 圮t i v e n e s so fc o n s t a n t 觚dp u l s ev | c c i l l a t i o np 0 1 i c i e sa r c c 佣1 p a r e d f o rc o n s t a n tv a c c i n a t i o nm o d e l ，w ed 积v e 畦l e 趿伍c i e 哦c o n d i l i o n 姒s t 曲i l 时 o fi n f c c 专主沿蠹e e 甓毽i l 南磊憾越d 印i d 锶l i e 锈珏i l 谗砖糊，黼蠢s o & 纛v e 氇ee o 瓣i 专主so f m ep 锄m a l l e i l c eo ft h es y s t e m f 0 rp u l s ev a c c i n a t i o nm o d e l ，u s i n gt l l ed i s c r e t ed y n 疵c a l s y s t e md e t e n 撕n e db yt h es 仃( 1 b o s c o p i cm a p ，w e0 b 埘ht l l ee x a c ti l l f e c t i o n - 舶：ep 嘶o d i c s o l u t i o no ft 1 1 ei m p u l s i v ee p i d e l i l i cs y s t e m 锄dp 戏v em a tm ei 觳f t i o n - 舶ep e 五o d i c s o | 撕。载主s 蔷o 越采岔鑫e t e i v e z 囊f e 娃c 越糟s 珏囊ss 耋：i o w 氇鑫| 也e 秘l s ev 曩e e 巍a 鼍i o 觳鼹隧e g y i s 击s t i n 肼i s h e d6 - o mm ec o n v e n t i o n a ls 缸a t e 舀e s i i l1 e a d i l l gt od e 舔e 豇a d i c a t i o na t r e l a t i v e l yl o wv a l u e so fv a c c i n a t i o n ，t 1 1 e r e f o r ch 1 1 p u l s i v ev a c c i l l a t i o ns 臼a t e g yp r o 、，i d e sa m o 陀n a 耄u r a l ，m o f ee f 凳c l i v ev a c c i n a t i o l ls 扛a l e 醪 k e y w o r d s ：s e 墩s 印i d 锄i cm 1 d d e l ；h n p u l s i v ed i 舵僦t i a le q u a t i o n s ；s t a b i l i t y ； a t t r a c t i v i t y ；c o 叩e r a t i v es y s t e m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：暨皱 日期：历呕年歹月巧日 白号、 一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：哆誓、 日期砂2 年5 月哆日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回重途塞逞銮卮进蜃；旦兰生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名： 日期：例年月k 日 硕士学位论文 粕纨s t e r st h e s l 8 第一章引言 过去凡十年生态学在连续动力系统的研究结果已穗当丰富。在连续动力学孛总 是假设被描述的生命现象是连续发生的，眈如动物的生育，死亡，或是两个相对独 立的环境中的迁移过程，还有人类对可更新自然资源的管理和利用方面如对一些人 工养殖的动物的放养和收获，以及在传染病控制方面实旄的人工接种免疫等行为都 在数学模型里被描述为连续发生的。一般来说，这些动物的生理行为以及入类的于 扰行为本身并不是连续的，而是离散的。分析这样解不连续的演变过程，很自然的 就涉及到研究不连续的动力系统，或称之为脉冲微分系统。疫苗接种是控制疾病传 播的很有效的途径，数学模型 1 6 】对接静策略的设计和估计起到帮助作用。如果成 功接种入弱的比例高于菜一个临界值时传统的接种策略会导致疾病根除。例如麻疹 的接种比例约等于9 5 ( a g u r e ta 1 1 ) ，而在实践中，对人口密集地区实施接 种是又困难，花费又高。因此，我们介绍一种脉冲接种策略。脉冲接种是对某个同 龄群入隧进行周期重复地脉冲接种，在每次接稀时，易感者人群比例为p 的人蠢被 成功接种。我们把它称之为脉冲，因为对于某个疾病的动力学性质而言，接种是在 一个固定的时间内而且时间很短 4 。 脉冲微分方程是在连续的微分方程的基础上发展起来的，从理论上来说，连续 的常微分方程是脉冲微分方程豹一种特殊情况。霞此用它描述很多自然现象或人为 活动对自然界的影响是更精确和更加符合实际的。脉冲微分方程的理论尤其是稳定 性理论在近几年的研究中得到了不断的完善，已经形成了一个比较完整的初形，在 理论上可以说是一个眈较完整的学科。这些理论包括解的全局存在性和唯一性，解 对初值的连续依赖性，比较原理，稳定性定理等等。脉冲微分方程几乎在每个应用 科学领域都能找到。在b a i n o v 和他的合作者的书中介绍了一些典型的例子 1 1 ， 1 4 。最近，种群动力学已经引进一些脉冲方程：如疫苗接种 卜7 】，疾病的化学 疗法 8 ，9 】。 本文，我们介绍连续接种的s e i r s 模型，我们主要聚焦在连续接种和脉冲接种 下疾病根除的问题。同时，比较了蹰种策略的效应，理论结果显示脉冲接种策略不 圊于传统的策略，脉冲接种导致疾病根除时接种的比例低一些，脉冲接静文献 重】 曾经研究过。 在本文中，基本蒋生数冠在控制疾病流行与否中扮演了一个关键角色，基本再 生数通过阶o e s s e h e 和w a t l l l o u g h 在文献 1 5 】中的技巧得。系统( 3 2 ) 的动力学性质 和疾病的命运可以基本再生数置得到。通过用r o u t h 一飘硼i t z 条件，证明了酝和q + 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 的局部渐近稳定，q o 的全局稳定通过构建l y a p u n o v 函数和运用l a s a l l e 不变原理 证明的 1 0 。同时，我们证明系统( 3 2 ) 是持续生存的。在第四节，通过频闪映射， 利用离散动力系统得到脉冲微分方程的无病周期解；透过运用脉冲微分方程的比较 定理和文献 4 中的方法，如果r ，l ，我们证明无病周期解是全局吸引的。通过比 较连续接种和脉冲接种策略，可以得出脉冲接种策略比连续接种策略更自然，更有 效，焉且花费更少。 1 1 1 脉冲微分方程 考虑下列微分方程系统描述的一个变化过程： ( 1 ) 一阶微分方程 上 等= 厂( f ，力 ( 1 1 1 ) 口f 其中：疋q 啼r “，qc 火“是一个开集，r 4 是，| 维欧几里德空间且尺+ 是非 负实数集合； ( 2 ) 集合m ( f ) ，( f ) cq f r ( 3 ) 算子么( f ) ：m ( f ) ( f ) ，f 疋 令蔗) = x 0 ，气，而) 是系统( 王。l 。1 ) 以，) 为初值的解。则演变过程如下： 点只= ，砸) ) 从它的起点& = 瓴，而) 开始，沿着曲线 ，力：f 岛，x = 雄) ) 运动 时刻f ，瓴f 。) 处，点c 遇到集合肘( f ) 时。在f = f 。处，算子4 ( f ) 把点丘= “，x ( f ，” 交换为毫= 馥，) g 她) ，其中鬈= 么g ；) x ( f 1 ) 然后点置从薯= 毡，i ) 舞始继续 沿着系统( 1 1 1 ) 的解曲线工o ) = f ，i ) 运动，直到下一个时刻乞 毛处遇到集 合m ( f ) ，这样& = ( f 2 ，x ( f 2 ) ) 又变到足= 化，) ，这儿= 彳也) x ( f 2 ) 。像前面一样， 点霉驮謦= ，薯) 舞始继续沿着系统( 董量。1 ) 的解魏线善0 ) = 并0 ，如，菇) 运动，只要 系统( 1 1 1 ) 的解存在，就重复上述过程。 我们刻画上述演变过程的( 1 ) ，( 2 ) ( 3 ) 统称为脉冲微分系统，称由只所构成 的曲线及定义该曲线的蟊数分别为积分趋线和解。 脉冲微分系统与连续微分方程的解有很大不同，它的解可以是： ( a ) 连续函数，如果积分曲线与集合m ( f ) 不交或交于算予彳o ) 的不动点； ( b ) 有有限个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合膨9 ) 交予算 子么0 ) 的非不动点； 2 ( c ) 有可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合肘( f ) 交于可 数个算子么( f ) 的非不动点。 点只与集合相遇的时刻被称为脉冲时刻，并且规定脉冲微分方程系统的解在脉 冲时刻是左连续的，即：石瓴) = 蚋x ( 0 一丙) = x ( 以) 自由选取描述脉冲微分系统的三个关系( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，可得到较为常用的三 种脉冲微分方程系统； i 固定时刻脉冲的脉冲微分方程 设集合m ( f ) 表示一系列平面f = 气，这里纯 是时间序列，使得当七一o o 时 气j 。在f = 处按下列方式定义算子么( f ) ，算子0 0 ) 只有在f = 气有定义，算 子痔列么( 露) 满足： 4 ( 尼) ：q 呻q ，x 彳( 彪) x = x + l ( x ) ， 其中磊：q q ，相应地0 ) 也仅仅在f = & 处定义，因此 ) = 彳( 露渺( 后) 。 在这穗情况下，固定时刻发生脉_ 洚微分系统的数学模型描述为： 象川m 缛。 ( 1 1 2 ) l 缸= ( x ) ，f = ，露= l ，2 ， 其中，在f = 气处：缸也) = x ( 譬) 一z ( 气) 且x 簖) = 熙x 辕+ ? 1 ) 因此，我们知道 系统的解满足： ( 主) 等= 郧，动，# 瓴，鑫+ l 】 ( i i ) x ( 气) = 厶( x ( f i ) ) ，f = 气，足嚣l ，2 ， 显然脉冲微分方程解的性质受脉冲效应的影响。 ( 王王) 脉冲时刻变化的脉冲系统 设溉) 是由最：f 然q ( x ) ，j = l ，2 ，且靠( 对 + - o ) ，! 受瓢( x ) 给出的一个曲面 序列，我们有下面的脉冲微分系统： 象= 俺舶靠鳓“1 3 ) 【缸= 丘( 的，扣气( 曲，七= 1 ，2 ， 脉冲时刻变化的系统( 1 1 3 ) 相对于脉冲时刻固定的系统( 1 1 2 ) 要复杂一些，其 脉冲时刻依赖于方程的磊= ( x 敝) ) ，露= l ，2 解。嚣此，始予不同点的解有不圊的 3 硒士学位论炙 m a s t e r s 下h e s l s 不连续点。一个解可以与同一个曲面f = & ( 力相交几次，我们把这种现象称为“鞭 打 现象；另处，不同的解在某个时刻后也可以合为一个解，我们把这种现象称为： 合流黟现象。 ( i i i ) 自治脉冲系统 如果集合m ( f ) ，( f ) 及算子彳( ，) 不依赖于f ，即m ( f ) 羞肼，( f ) 眚，彳( f ) 霉4 且 么：掰一由出= x + ，( x ) ，j ：q q 给出，我们褥到下列的脉冲自治系统； 去叫枷“ ( 1 1 4 ) 【缸拳，( x ) ，x m 系统( 1 ，重4 ) 的解茗0 ) = 茗瓴筑) 在时刻f 遇到集合嚣时，算子么立刻将点 x o ) m 转换为点灭f ) = x o ) + j o ( f ) ) 仨。由予( 1 1 4 ) 是自治系统，点m ) 的运动 可沿着( 1 1 4 ) 的轨线在集合q 内考虑。 1 。2 解的存在性，唯一性，连续性 本节我们给出脉冲微分方程解的存在性，唯一性和延拓性的一些结果。 设qc 天4 是一开集，t ：q _ r ( 七z ) 在q 上是连续的且 靠 o 使得s ，( 妒( s ) ) ，f s f + 仃 刘称涵数：以，爹) 一震”是( 薹2 2 ) 的一个解。 4 臻士学位论文 瑚汹蕊t e l r st h b s i s 定理1 2 1 设以下条件成立 ( 1 ) 函数：r q 哼r 。，在f 靠o ) 时是连续； ( 2 ) 对任意点l j f ，砖霆q 存在一个局部可积丞数使得在章，茗) 的一个小的 邻域内有 l 厂( s ，y ) l o ，使得当 0 f 一 如，使得初值问题( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 存在解并：纯，励一尺”，如 果函数厂关予善在霆q 上是( 局部) l 主p s c h 主t z 连续的，则此是唯一。 给定脉冲微分方程( 1 2 3 ) 的解，下面给出解的延拓定量。 定理1 2 3 假设下列条件成立： ( 1 ) 函数，：灭q 一天“在集合瓴，& + ，) q ( 素z ) 上是连续的，并且对每一 个未z 和茗q 时，当8 ，力一瓴，弗，f 靠时，( f ，力存在有限极限。 硕士学位论_ 定 狱a s t e r s1 h e s l s ( 2 ) 函数缈：似，) 专足”是( 1 2 3 ) 的解；则解缈( f ) 可延拓到的右边当且 仅当存在根限 嚣m 够9 ) = 努 及下列条件之一成立。 ( a ) 对所有的后z ，7 q ，都有靠 ( b ) 对某一个露撼z ，譬+ 五国) q ，有多= & 定理1 2 4 假设下列条件成立： ( 1 ) 假设定理1 2 3 中的条件1 成立 ( 2 ) 函数厂关予茗在r q 上局部l i p s c h 主t z 连续 ( 3 ) 对每一个露z ，努q ，有穆+ 五国) q 则对任意纯，而) ，初值问题( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 在区间上( 气，彩) 存在唯一解且不能 延拓到彩的右边。 假定理董。2 。4 的条件成立，瓴，而) 嚣q ，剡解茗0 ，气，) 有定义的解的最大 存在区间瓴，而) 记为+ = ，+ ( f o ，而) 定理1 2 5 假设下列条件成立： ( 重) 假设定理董2 4 中的条件成立 ( 2 ) 砷) 是初值问题( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 的解 ( 3 ) 存在紧集q c q 使得f + ( f o ，而) 时，有妒( f ) q 煲+ 阮，而) = 纸，) 1 3 脉冲微分方程的比较定理 定理l 。3 1 设函数彩粥( 【o ，) ，足) 满足不等式 | 毋) ，0 ) 彩( 磅+ g 囊) ，f 靠， o 彩( ) 五彩( 靠) + ，f = 气o ( 1 3 。1 ) l 缈( o + ) 绋 其中，客) 彤( 【。 嘞，固，五) 侥& ，蛾是常数( 夤= l ，2 哆，则对 o 有 缈( f ) 缈( o ) n 五e x p ( i ：厂( s ) 出) o f q o ” + j ：墨，加攀( r 竹) g 。+ 毛( 如孥五e x p ( j ：厂。) 凼) ) 级 相似的，如果不等式组( 1 3 1 ) 的所有不等号反向，则对f o 我们有 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 国( f ) 彩( o ) 己五e x p ( r 厂o ) 出) + r ，槊五e x p ( r 弛川g q 胁。丕，( 气曼q 乃c x p ( 侧 | 譬= 厂以靠 f 气( x ) l 出 ，。”。1 ”7 黪捌- ，。) ( 1 ) 0 五 屯 l ，在通常情况下，每个病人在平均患病期能传染 的最大人数大于l ，一个简单的分毫曙显示地方病平衡点( ，置，碍) 是局部渐近稳 定的，无瘸平衡点( 式，菘) 是不稳定的。如果忍 l ，即每个病人在平均患病 期能传染的最大人数小于1 ，无病平衡点( ，e ，石，砖) 是局部稳定的，此时地方病 平衡点不存在。 9 磺士譬榱镑震 麟赢簖e r st l 羲嚣8 l s 第三章具有连续接种的：s e l 豁模型 的毙镶 p 1 ) ，该模型通过下面酶系统描述： 彳2 嬲一) 露 垂予鞠) 嚣鳓+ 始+ 霆辨嚣圭，遴过3 。董我粥哥赣研巍下瑟煞子系统： 酝茹。尝，毽璐，我 想找裂基本襻生数是，如果我船霸文献旺爨孛嚣定义， 露争嚣 ，拳 孑 ，妒= ( 串妨每盘二：巍丰参髫+ 掰3 f 拳g 譬) y = 心尹_ 嚣戴，基零褥生数可巍烈f 矿) 绘遵，摩以 最端l ，堡l 辫受，竺l p 脚，力艿+ ”+ 拶+ 夕 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 定理3 1 ，如果墨 1 ，则系统( 3 2 ) 在平衡点娥( 譬，o ，o ) 处是全局渐近稳定 。 + d + 口 的 证明：假设以绕) 表示系统( 3 2 ) 在平衡点绕的雅可比矩阵，则有 歹( 幺) = 一( + 万+ p ) 一艿一掣一万 七6 七p o p + )掣 p 6 p 0f 一( ，+ ) ( 3 4 ) 系统( 3 4 ) 的特征方程是 ( 名+ + 万+ p ) 【名2 + ( 笤+ r + 2 ) a + ( ，+ ) ( s + ) 一缨】：o p o p 当且仪冠 l 是，所有特征值有负实部，符合r o u t h h u w i t z 矩阵判别条件。因 此，如采墨 o 使得 f 呻+ 口+ d + 矽， s ( f ) l ，系统( 3 2 ) 存在唯一的正平衡点q 拶，层，。) ，并且它是局部 渐近稳定的。 证明。假设歹( q 。) 表示系统( 3 2 ) 在平衡点q + 的雅可比矩阵： ，( q ) ； 嘶+ 艿训一竺竺! 二壹 一艿一吐岂基型2 一艿 一( + 艿+ p ) 一j 云_ i i 否_ = _ ；_ _ j 耥一艿一! 三二拦半一艿 ；竺；二兰竺二三曼一。芎+ 声，幽 魔+ ( 拶+ e + x ，+ ) 、7 f 6 ) ( 3 6 ) 的特征方程为 名+ 红牙+ 6 2 五+ 6 3 = o ， 其中 o 一( ，_ + ) 岛一( r + ) + ( + 艿+ p ) + 名+ ( 器+ ) 毡 吃絮p + ) ( + 万+ p + 么) + ( g + ) ( + 艿+ p + 毋+ 副 像 魂= 彳 ( s + ) ( ，+ ) + 】+ 谢( r + ) ， 显然有 龟如一岛= ( r + + 艿+ 占) ( + 艿+ p ) ( ，+ 占+ 2 ) + 么p + 声治专+ 譬) + 么( 8 + ) ( 万+ 譬) + 翻( ，+ + 万) o ； 1 2 ( 3 7 ) 硕士学位谂定 期睁i 骶e r 落t h e s i s 肛+ 回( 卜) 其中么篇- _ = - o 通过r o u t h h u r w i t z 判搌，得到正平衡点。 蠹+ ( ，+ ) ( 艿+ s + ) 。” 。 q + ( s ，嚣+ ，歹) 是局部渐近稳定的。证毕。 定理3 3 对所有足够大的f ，存在一个正数肘 o ，使得对系统( 3 2 ) 的任意正解 ( s 蛾层( f ) ，) ) ，都有露( f ) o t 硼 o p 使得对任意充分小的正数蜀 o ，对所有f ，都有s 0 ) 雪+ 岛则对f ，存在一 个只依赖于系统( 3 2 ) 的正数肘，使得j 乙( f ) 1 ，则系统( 3 2 ) 是一致持续生存的 证明如果墨 l ，则有加( + 万) p + ) p + ) ( + 艿+ p ) 我们先证明系统( 3 2 ) 是 弱持续生存的假设它不是弱持续生存的，壹定理3 。l 的证暖，系统( 3 2 ) 存在一个 正轨道( s ( t ) ，e i j f ) ，0 ) ) ，使得 l i ms ( f ) = s ，l i me ( f ) 拳o ，l i m ，( f ) = o 选择一个足够小的笤， 侥使得 s ( f ) 雪一占。 量曼掣 ( 3 8 ) p 8 则选择一个足够大的气 绣当f 屯，时有 1 3 硕士学位论文 l a s t e r st l l e s l s e ( f ) 芝( s q ) ，( f ) 一p + ) e o ) ，( 3 9 ) l ，p ) = s e o ) 一( ，- + ) j o ) 考虑矩阵么，其定义如下： 妒( - ( ：+ 脚嬲 卣予么。允许菲对角元素，p e r r o 嚣一黠o b e n 主珏s 定理意味着对么。的最大特征值搿，存 在一个正的本征向量1 ，= ( y 。，v ：) ，而且，由方程( 3 8 ) ，知道最大的特征值口是芷的 我们考虑系统 l 三l = ( s 一) z 2 一+ ) z l ， l 三2 一貂l 一( r + ) z 2 ( 3 1 0 ) 假设z ) = ( z 0 ) ，z 2 ) ) 是系统( 3 1 0 ) 通过池，如) 在f = f o 的解，其中z o 且满足 娥 l ，夕 藏无病平衡点绕是全局渐近 稳定的，其中= 弛+ 国( 凰一1 ) 由( 3 2 ) 的平衡点局部稳定的检验显示，如果p p 。，无病平衡点是稳定的； 然而，如果夕 致，则无病平衡点是不稳定的。因此为了成功避免流行病，接种的魄 例将是很大的，这将导致对巨大的入口进行接种是很困难的，而且花费很高。 1 4 硕士学位论必 m a 甜b r st l e s i s 第四章具有脉冲接种的s e lr s 模型 我稍发震系统( 2 圭) ，考虑每r 年对易感入群进行一次脉冲接种，成功接种的 比例为p ，当脉冲接种引进系统( 2 1 ) 后，系统成为如下的模型： 实际上，由于霆可透过s ) 昱 + 歹( f ) 霆= l 得到，所以冀可以被忽略，嚣此，考 虑如下的予系统： s = ( + 万) 一( 十万) s 一晒一衄一日，1 嚣一声溶一p + ) 露，霉嚣瓦 j 越一( ，+ 弘 ! ( 4 2 ) s ( 刀f + ) = ( 1 一p ) s ( 胛f 一) ， l 层( 矩f + ) = 互r ( 靠f 一) ， f2 撑f ， ? ( 嚣f + ) = j 国f x j 其中f 是脉冲接种周期，l f + 是第栉次应用脉冲接种的时间，栉f 。是第以次脉冲刚要 应用前的时间 首先证明无病周期解的存在性，此时染病者类完全缺乏，帮：? 0 ) = 绣爹o 。显然 e 0 ) = o f o ，在此条件下，易感者种群s ) 满足方程： s = 似+ 回一似+ 万) s ， ( 4 3 ) l s ( 露f + ) = ( 1 一夕) s ( 弹f 一) 。 嚣f f o + 1 ) 系统( 4 3 ) 有下列解： s ( f ) 篇1 + ( s ( 疗f ) 一1 ) 8 一声+ 烈卜。， 行f 镄o 移 董则系统( 4 。圭王) 存在唯一的正周期解： 万( d = 兰+ 一兰) 聍曲( ，1 f ， ，l f f ( 刀+ 1 ) 是全局渐近稳定的，其中嚣= 詈号筹 移 l 一| 一移涫一 证明在两个脉冲点之间积分和解系统( 4 1 1 ) 的第一个方程，得到 “( f ) 2 詈+ ( ”( 罪f ) 一詈户曲。叫”， 其中掰o f ) 是在时闻嚣f 处的初始值由系统( 4 。1 1 ) 的第二个方程，得到频闪映射。 啪例邓一曙+ ( 小矿护7 p 似嗍， 埘 其中， ) = ( 1 一囝+ 秘一参e 垂r ) 易知系统( 4 。1 2 ) 有唯一的正平衡点 1 6 “：孚婴攀，如果o “ “满足“ 厂( “) “满足 61 一( 1 一们p 咖 。 “。 厂 ) 甜由文献 1 2 ，可知“全局渐近稳定的，这意味着系统( 4 1 1 ) 对应的周 期解： 石( f ) ：兰+ ( 砧一罢) p 曲( f 一 ”， 以f f ( 刀+ 1 ) f ， 是全局渐近稳定的 定理4 1 如果r ： 1 ，则无病周期解( 箩( f ) ，0 ，0 ) 是全局吸引的 证明由于r 2 o ，使得 丝堡垒! o ，( o + ) = 厶 0 x ( f ) 是系统( 4 1 4 ) 的解，且具有初始值 工( o + ) = 瓯，由引理4 1 ，得到s ( f ) z ( f ) 且z p ) 专z ( f ) ，因此，对任意的整数乞，存在一 个整数刀l o 使得 s o ) z ( f ) + s 2 ，刀f f 力l ， ( 4 1 6 ) 即 s o ) 碧( f ) + s 2 ，n f o ，罢= 占 。，因此系统( 4 1 8 ) 是 合作系统，且 1 7 硕士学位论文 m 洛t e r st h e s l s i e ( s + 占2 ) 一( g + ) e ， f 以f ，刀 刀l ， i j = 虚一( ，+ ) ，f 刀 刀l ，( 4 1 9 ) ie ( o ) = 毛， l ，( o ) = 厶 则考虑下面的比较系统 ( ，( f ) = ( s + s 2 ) 一( g + ) ，u ( o ) = 厶，( 4 2 0 ) 【y ( ，) = 彬( ，) 一( ，+ ) y ( f ) ， y ( o ) = 厶， 应用k 锄k e s 定理 4 ，1 3 ，得到e u ，y 系统( 4 2 0 ) 有唯一的平衡点( o ，0 ) 在( 0 ，0 ) 处的雅可比矩阵为： 厂 一、 o ) - 【一( ? ) 露，j j 的特征方程是 牙+ ( f + 厂+ 2 ) 五+ ( s + ) ( 厂+ ) 一分( s + 占2 ) = 0 由r o u t h h u r l r i t z 判据，所有的根有负实部的充分必要条件是 d l = 占+ 厂+ 2 o ，d 22 卜+ ，i + 2 ( 邶x ，+ 0 肛( i + 句) | n ii5 + 声 ，+ j 一声j 十5 2 朋 通过计算d 2 ，得到p + ) p + ) 一肚( 歹+ 乞) 0 由 ( 4 1 3 ) ， 有 + ) ( 厂+ ) 一肛( 歹+ 巳) o 因此，可得( ，乇) = ( 0 ，o ) 是渐近稳定的，所以有 l i m u o ) 一o ，l i i i l y ( f ) 寸o 由引理4 1 ，得到l i ms u pe ( f ) l i ms u pu ( f ) = o ， l i m s u p ，) l i l i l s u p y l j f ) = o ，由于e ( f ) 和j ( f ) 是正的，可知l i m e = o ，1 i m ，) = 0 因 f f f-+卜+田 此，对任意充分小的毛 0 ，当f 刀2 f ，存在一个整数以2 啊，使得，( f ) 他f ，刀 刀2 时，考虑下面的脉冲微分方程 妒) = 似+ 艿一2 如) 一姐+ 6 + 飚) m ( 4 2 1 ) 【y ( 疗f + ) = ( 1 一p ) y ( 刀f 一) ， f = 刀f 类似于( 4 1 4 ) 的研究方法，由引理4 2 ，得到系统( 4 2 1 ) 唯一的周期解 夕( f ) = 篇一微一y ) p 一( p + 占+ 4 白x ，一f ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 一p ) ( 1 巧懒) r ) 丛等晏 是全局渐近稳定的，其中y + = f 币= 历瓦萨根据引理4 1 ，存在 一个整数垠 岛使得 s o ) 夕o ) 一岛，七f ，1 3 ( 4 2 2 ) 因为占：和毛任意小，从( 4 1 7 ) 和( 4 2 2 ) 得到 s o ) = 1 一i ： 二万，l f ( 刀+ 1 ) f 是全局吸引的因此，无病周期解( s ( f ) ，o ，o ) 是全局吸引的证毕 定妯= 南l n ( 1 + 去踹= 佤州州弦_ 1 ) 根据定理4 1 ，易得下面的结论 推论4 1 - ( i ) 如果肛 l ，且p p 或者f f + 则无病周期解 ( f ) ，o ，0 ) 是全局吸引的。 下面，我们比较脉冲接种和连续接种策略的效应，讨论哪种接种策略( 连续接种 或者脉冲接种) 更容易消除疾病 对于连续接种，基本再生数是 曷= ( 占+ ) ( ，+ ) + 万+ 尸 对于脉冲接种，基本再生数是 见： 壁! 歹 忙+ ) ( 厂+ ) r ( f ) 关于f 的增函数，则存在唯一的t 使得墨：是当且仅当乙：望掣 十口 时墨= r 如果f l ，则恐( f ) t ，则r p ，无病周期解( j ( f ) ，o ，o ) 是全局吸引的比较临界的接种比例 见= ( r 一1 ) ( + 万) ，能选择一个f 使得p + p 。，即为了成功地避免疾病，接种比例p 能小于见，即，我们只能接种小于p 的比例控制疾病更小的接种比例意味着更小 的花费和更少的困难因此，我们证明脉冲接种策略是更自然更有效的接种策略 硕士学位论文 嗣_ 蟠碍e st h e s i s 第五章讨论 本文分析了s e i r s 流行病模型连续接种和脉冲接种的关系首先，我们考虑了连 续接种策略下s e i r s 流行病模型的性质，其性质由两个平衡点一刀无病平衡点一 和”地方病平衡点 描述得出如果基本再生数冠 1 ，则地方病平衡点q + = ( s ，e ，厂) p o p 是局部渐近稳定的，其中平衡点蜴和q + 的局部渐近稳定是通过r o u t h h u r m i t z 条件 证明，平衡点幺的全局稳定是通过构建五卿“刀d ，函数和三娜口耽不变原理证明的 1 1 另外，我们还讨论了在脉冲接种条件下的s e i r s 流行病模型，得出了无病周期 解，并证明当r ， 1 ，无病周期解是全局吸引的，由推论4 1 知道，当接种率足够大或 者脉冲周期足够小时，地方病将消失 在文中，我们还比较了脉冲接种和连续接种的效应当脉冲接种周期小于。时， 脉冲接种比连续接种好的多，我们能通过选择接种的周期，使得脉冲接种的比例比 连续接种的比例更小。因此，脉冲接种比连续接种更自然、更有效，花费也更少。 2 l 磺士学位论文 m 魂s t e r st h e s l s 参考文献 【1 】z a g w ，l c 0 j o c a m ，g m a z o r ，r m a n d e r s o n ，yl d 锄o n ，p u l s em a s sm e 嬲l e s v c i n a t i o n r o s sa g ec o h o r t s ，p r o c n a t a c a d s c i u s a9 0 ，116 9 8 - 1 17 0 2 ，( 19 9 3 ) 。 【2 】焦健军、陈兰荪，具脉冲控制的害虫管理s i 模型生物数学学报， 3 7 8 5 - 3 9 4 ( 2 0 0 7 ) 【3 】向中义、宋新宇，一类具有饱和发生率的脉冲免疫接种的s i s 模型，生物 数学学报3 4 8 0 4 8 6 ( 2 7 ) 【4 】a d 0 1 1 1 0 衔o ，s t a b i l i t yp r o p e n i e so fp u l s ev a c c m a t i o ns t r a t e g yi ns e m 印i d e m i c m o d e l ，m a t l l b i o s c i 17 9 ，5 7 - 7 2 ，( 2 0 0 2 ) 【5 】向中义，感染率为脚v + r 的s 瓜流行病脉冲接种模型，湖北民族学院学 报0 1 3 0 1 7 ( 2 0 0 6 ) 【6 】j h 吐l s c h ，h n p u l s i v ev a c c i n a t i o no fs m 印i d e m i cm o d e l sw i t hn o n l i n e a r m i d 肌c er a l e s ，d i s c r e t ec o n t i n u o u sd ) ，1 1 s y s s 既b4 ，5 9 5 - 6 0 5 ，( 2 0 0 4 ) 【7 】韩丽涛两种群相互竞争的具有脉冲出生率的s i s 传染病模 型2 2 3 7 2 4 6 ( 2 0 0 6 ) 【8 】j c p a n 酬am a t l l e m a t i c a lm o d e lo fp e r i o d i c a l l yp u l s e dc h e m o t h e r a p y ：t l l m o r r e c u 玎e i l c e觚dm e t 嬲t 硒i si na c o m p e t i t i o ne 1 1 v i r 0 姗锄t ， b u l i m a t l l b i 0 1 5 8 一( 1 9 9 6 ) 4 2 5