（技术经济及管理专业论文）小波分析和神经网络在股指预测中的应用研究.pdf

摘要 随着股票市场在我国的不断成长、中国经济的快速发展，越来越多的人将资 金投向股票市场。因此，对股票市场走势的预测具有很大的理论意义和应用价值。 股指作为一种重要的金融数据，具有强不确定性和非线性，所以对股指的预测存 在一定的难度，目前对股指的预测多采用b p 神经网络。本文主要研究的内容是 针对b p 神经网络的一些缺陷提出径向基函数( r b f ) 神经网络更适合对股指进行 预测，同时为了使预测的效果更佳，将小波分析理论引入本文当中。 本文首先对中国股票市场的现状进行分析，然后引入小波理论，并对其进行 简单介绍，说明小波理论在股指预测中的应用方法。随后介绍了人工神经网络的 发展概况及分类，并对本文所要用的b p 神经网络及r b f 神经网络的算法及学习 规则进行了说明。在理论基础之上，本文将小波分析同神经网络结合应用于股指 的预测。本文分别选取了9 7 年到0 6 年深、沪的每周闭盘指数共4 5 2 个作为样本 数据。 本文的第四章、第五章为实证部分。第四章对样本数据进行小波处理，使用 s y m 8 小波函数对其进行降噪处理，使数据变得更加平滑，提高之后预测的准确 度。文章的第五章先使用b p 神经网络算法进行建模，用小波处理后的数据作为 网络的输入，并对预测的结果进行平均绝对误差及平均相对误差计算；然后使用 相同的输入数据用r b f 神经网络建模预测，最后将b p 网络及r b f 网络预测的结 果进行比较分析，得出r b f 网络在股指预测中较b p 网络更加准确。为了说明小 波理论在股指预测中应用的有效性，本文还对未经小波降噪的预测结果同降噪后 的预测结果进行比较，证明将小波理论应用于此有明显效果。 关键词：股指小波分析b p 神经网络r b f 神经网络 a b s 仃a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t o c km a r k e ta n de c o n o m i c s ，m o r ea n dm o r ep e o p l e i n v e s tt h es t o e k a c c o r d i n g l y , p r e d i c t i o nt h et r e n do fs t o c km a r k e ti so fg r e a t t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i e dv a l u e a sa l li m p o r t a n tf i g u r e ，t h es t o c ki n d e xi s s t r o n g l yu n c e r t a i n t ya n dn o n - l i n e a r s ot h ep r e d i c t i o na l w a y su s e sb p n e u r a ln e t w o r k , w h i c hi sn o te a s y f o rt h el i m i t a t i o no ft h eb pn e u r a ln e t w o r k , t h em a i ni d e ao ft h e d i s s e r t a t i o ns h o w st h a tr b fi sm o r es u i t a b l et op r e d i c t i o nt h es t o c ki n d e x a tt h e s a m et i m e ，t h ed i s s e r t a t i o nu s e st h ew a v e l e ta n a l y s i st h e o r y , w h i c hm a k e sab e t t e r p r e d i c t i o n t h ed i s s e r t a t i o na n a l y s e st h es i t u a t i o no fc h i n a ss t o c km a r k e ta tf i r s t t h e n i t i n t r o d u c e st h ew a v e l e ta n a l y s i st h e o r ya n dd e s c r i b e st h ea p p l i e da p p r o a c ht o p r e d i c t i o ns t o c ki n d e x n e x t ，t h ed i s s e r t a t i o ng e n e r a l i z e dt h ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k , i l l u m i n a t e st h ec a l c u l a t i n gm e t h o da n dr e g u l a t i o no fb pn e u r a ln e t w o r ka n dr b f n e u r a ln e t w o r k o nt h eb a s i co ft h e o r y , t h ed i s s e r t a t i o nc h o o s e s4 5 2c l o s i n gi n d e xo f c h i n a ss e c u r i t ym a r k e ta sa n a l y s i ss a m p l e sf r o m1 9 9 7t o2 0 0 6 ，c o m b i n i n gt h ew a v e l e t a n a l y s i sa n dn e u r a ln e t w o r kw i t ht h ea p p l i c a t i o no fp r e d i c t i o ns t o c ki n d e x t h ef o u r t ha n df i f t hc h a p t e ro ft h ed i s s e r t a t i o ni st h ee m p i r i c a lr e s e a r c h c h a p t e r f o u ro f t h i sa r t i c l eu s i n gw a v e l e td e a l sw i t hs a m p l ed a t a , u s i n gs y m 8w a v e l e tf u n c t i o n i ns i g n a ld e n o i s i n gt h u st h ed a t aw o u l db em o r es m o o t h i n ga n da c c u r a t eo fp r e d i c t i o n w o u l db ei m p r o v e d i nt h ec h a p t e rf i v et h ea r t i c l eu s e sb pn nm a k i n gm o d e l ；t a k e s t h ed a t aa f t e rw a v e l e td e n o i s i n ga sn e t w o r ki n p u t t i n g ，a n dc a l c u l a t e sm a ea n dm a p e o fp r e d i c t i o nr e s u l t ；t a k e st h es a m ei n p u t t i n gd a t au s i n gr b fn nm a k i n gm o d e l f i n a l l yt h ea r t i c l ec o m p a r e sb p n np r e d i c t i o nr e s u l tw i t hr b f n np r e d i c t i o nr e s u l t ，i t i sc o n c l u s i o nt h a tr b fn ni sm o r ea c c u r a t et h a nb pn ni ns t o c ki n d e xp r e d i c t i o n i n o r d e rt op r o v et h ee f f e c t i v e n e s so fw a v e l e tt h e o r y sa p p l i c a t i o ni ns t o c ki n d e x p r e d i c t i o n ，t h i sa r t i c l em a k e sac o m p a r i s o nb e t w e e nt h ep r e d i c t e dr e s u l tw i t h o u ta n d w i t hw a v e l e td e n o i s i n g i nt h a tc a s ew a v e l e tt h e o r yi sp r o v e dt ob ee f f e c t i v ei n a p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：s t o c ki n d e x w a v e l e ta n a l y s i sb pn e u r a ln e t w o r kr b fn e u r a ln e t w o r k 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘翌或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：幸勖茹以臻 签字日期： 少年莎月，) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：少年 瓠蝣 i 钼f1 日新虢一签字日期： 夕年矿月，1 日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 对于股票的投资者来说，获得高额的收益一直是他们所追求的目标，如果能 对股票市场有一个准确的预测，那么对投资者而言，将能有效地规避市场中的风 险，同时，政府部门也能对股票市场进行有效地监管。在全世界范围来看，对股 票价格预测的模型研究已经成为一个焦点问题。 正确认识我国股市运动的规律对于我国政府对股票市场进行预测，加强宏观 调控和管理，引导股民进行正确投资，使股价指数真正成为经济发展的晴雨表。 辨认股票市场的运动规律与对其将来时刻状态的预报是证券投资决策的制胜关 键。9 0 年代初期，为了建设有中国特色社会主义经济的需要，我国政府分别在 上海和深圳设立证券交易所，经过十几年的实践检验取得很好的社会和经济效 果。然而股市大起大落的现象及过大的涨落幅度表明我国股市系统仍不成熟，非 常脆弱，表现在指数上就是上升时越来越快，下跌时会越来越急n 引。例如1 9 9 0 年1 2 月1 9 日上海证券交易所成立，并公布股票指数，标志着证券系统的正式运 行。刚开始股指逐步攀升，后上升速度越来越快，到1 9 9 2 年5 月2 5 日，仅用了 一年半的时间就涨至1 4 8 2 点，涨幅可谓惊人，随后又一路回落，到1 9 9 2 年1 1 月1 7 日，即六个月后又跌回3 8 6 点，而在这段时间里竟无一次像样的反弹行情。 接着，股指发力上攻，于1 9 9 3 年2 月1 6 日达到最高点1 5 5 8 点，这一轮上涨所 花的时间更短，仅3 个月，接着，2 月2 2 日指数从1 5 2 8 点一路下跌，至2 4 日 跌至1 1 9 7 点，三天跌幅达2 1 6 6 ，可见其波动是何其剧烈。而就目前中国股市 的情况虽较过去有所好转，但是起伏速度依然波动很大，最近一次是在2 0 0 7 年 的2 月2 7 日，当日股市在没有任何利空的情况下，放量跳水，沪市股指大跌将 近3 0 0 点，深市更是达到了7 0 0 多点。在这十多年里，中国的股价经历了多次的 大起大落，引起了社会的巨大反响。 与美国等发达国家相比，我国的国民更倾向于把钱放在银行，或者购买国债 来获得稳定的收益，这与我国的基本国情也是有关的。但是就目前的情况来看， 越来越多的人将钱投放到股市中，想在牛市的时候赚一笔，仅4 月1 6 日一天的 开户量就达到了1 2 万人。所以，人们迫切的需要了解股市的情况，各股的状况， 对股市走势的预测也成为一种需要。谁能更好的预测股市的未来，谁就能在股市 中规避风险，稳操胜券。 第一章绪论 因此，从为政府的宏观调控和普通投资者的投资活动作参考的角度出发我们 需要找到一种方法对股票未来的形势做出简单的预测。目前，应用最多的方法是 神经网络方法，大多数研究者一般采用b p 算法或b p 改进算法，但是b p 算法在 股市的预测中存在着一些缺陷，本文针对b p 网络的缺陷，提出r b f 网络对股指 预测较b p 网络更加准确，本文为了使预测的效果更好，将对数据进行小波降噪 之后再进行预测。 1 2 研究的意义和目的 目前，随着中国经济的飞速发展，特别是0 8 年奥运会的开幕在即，中国股 市也随之火热起来。就目前的情况来看，真可谓是1 0 亿人民9 亿股。股市的过 热似乎使人们已然忘了风险的存在，从事实不难看出，人们的心理已经被牛市占 据，一个小小的下跌调整都会在社会上引起严重的恐慌，人们总担心股市就此一 蹶不振，自己的钱被套在股市中。同时，政府部门针对股市过热的现象也进行了 一些宏观调控。比如，央行三次调整准备金率，提高银行存款利率。尽管采取了 一些措施，效果并不是特别显著。那么，对老百姓来说，如何能更好地对股市行 情进行把握，都成为刻不容缓的事情。本文针对目前中国股市的现状对股票的指 数进行预测分析，同时在对数据进行预处理及建模预测之后，达到对短期股市进 行预测的目的。本文用目前最流行的神经网络预测方法对股指进行预测，同时， 对历史数据先用小波分析去除噪声，使数值更贴近于真实值。本文的重点是提出 径向基函数神经网络比广泛使用的b p 神经网络在股指预测上更加精确。 1 3 中国股票市场的研究现状及存在问题 股市预测同其它资本买卖市场预测一样，“利益”和“风险”构成了市场的 核心内容，它符合市场经济的两条基本假设，即：人是“理性”的，理性意味着 每个人都会在给定的法规政策约束条件下，争取自身的最大利益；交易者在市场 交换中有着完全的选择自由，同时由自己承担风险，承担选择的后果。从证券市 场内部来看，市场行情由投资者们的行为共同创造，反过来市场行情又直接影响 着投资者的信心和下一步的操作行为。从外部看，股市还受到来自政治经济形势、 金融政策、公司状况和重大消息等多方面因素的影响。由此，证券市场结构框图 可由图1 1 t 1 】表示。 2 第一章绪论 环境因素 图1 1 证券市场结构图 t h ef la m eo fs e c u r i t i e sm a r k e t 目前中国股票市场主要采用两种投资预测分析法，分别为基本面分析和技术 面分析。技术面分析法是指根据市场行为来决定股票的买卖时机，基本面分析法 是根据环境因素来决定股票买卖时机，下面分别介绍两种分析方法。 基本面分析是研究影响证券市场供给和需求的各种因素。技术面分析是研究 市场过去和现在的行为对市场未来走势的影响，并根据市场过去和现在的行为， 运用多种数学模型，进行预测市场未来变化的分析方法。 基本因素分析能够让投资者理解在某些时刻为什么价格发生变化? 是什么原 因造成的? 技术因素分析则注重系统本身具有使得价格波动的特性。因此，基本 面因素对市场未来走势的影响是直接的，易于理解的，而技术面因素对市场的 影响则是比较复杂的。 1 3 1 基本面分析 投资者在分析市场以及个股情况时最常用的是基本面分析。基本面分析着重 于对一般经济状况以及上市公司的经营管理状况，行业动态等因素进行分析，以 此来研究股票的内在价值，把它与现价进行比较，从而决定股票的买卖。 1 9 3 4 年美国本杰明的证券分析一书的出版奠定了基本分析法的基石。 基本分析法把重点放在了股票的内在价值上。它认为影响股票价值的因素很多， 最 重要的有以下几个方面。 ( 1 ) 宏观经济指标 社会主要经济指标的变动与股价的变动有重要的关系。这些指标表明了国家 经济的景气状况。在国家经济景气的时候，大多数企业的经营状况良好，此时企 业发行的股票价格就比较高。反之，当国家的经济情况不景气的时候，大多数企 业发行的股票价格就会下跌。 ( 2 ) 宏观经济指标利率水平 3 第一章绪论 利率水平对股价的影响比较明显，反映也比较迅速。当银行利率升高时，股 票价格就会相应下降。反之，当银行利率下调时，股票价格就会上升。 ( 3 ) 汇率变动 汇率的变动会影响未来经济的发展和外贸的收支平衡，从而影响人们对于前 景的期望值。 ( 4 ) 行业因素 股票发行公司的所属行业对于股票价格的影响较大。 ( 5 ) 政治因素 外交关系，领导人的更换等等政治活动会对股票的价格产生重大的影响。 基本分析法的主要目的是判断股票现行价位是否合理并且描绘出股票长远 的发展空间。其理论依据是股票价格由股票内在价值决定，通过分析影响股票价 格的基本条件和决定因素，判断和预测其发展趋势。基本分析能够比较全面地把 握证券价格的基本走势，并且应用起来比较简单。因而它应该是中长线股票投资 者应该采用的主要的分析方法。 1 3 2 技术分析法 所谓股票的技术分析法是相对于基本分析法而言的。技术分析法是通过图标 或者技术指标的记录，研究市场过去以及现在的行为反映，以推测未来的价格变 动趋势。其依据的技术指标的主要内容是由股票价格、成交量和指数的涨跌等数 据计算所得。由此可知技术分析只关心证券市场本身的变化而不考虑对其产生某 种影响的经济方面、政治方面等各种外部因素。 技术分析法来源于空中楼阁理论。空中楼阁理论是美国著名经济学家凯恩斯 于1 9 3 6 年提出的，该理论完全抛开了股票的内在价值，强调心理构造出来的空 中楼阁。现在越来越多的投资者运用技术分析法来投资金融资产，技术分析法逐 渐发展成以下六类： ( 1 ) 指标学派 指标学派主要考虑市场行为的各个方面，建立一个数学模型，给出数学上的 计算公式，得到一个体现股票市场的某个方面内的实质的数字。这个数字叫做指 标值。指标值的具体数值和相互间的关系直接反映股票市场所处的状态，为投资 者的操作行为提供指导的方向。指标反映的东西大多是从行情报表中直接看不到 的。 ( 2 ) 切线学派 切线派是指按照一定的方法和原则在由股票价格的数据所绘制的图表上画 一些直线。然后根据这些直线的情况推测股票价格的未来趋势。这些直线就叫切 4 第一章绪论 线。切线的作用主要是起支撑和压力的作用。支撑线和压力线往后的延伸位置对 价格的趋势起一定的制约作用。 一般来说，股票价格在从下向上抬升的过程中，一触及压力线，甚至远未触 及压力线，就会调头向下。同样，股票从上向下跌的过程中，在支撑线附近就会 转头向上。目前切线的画法很多，它们都是人们长期研究之后保留下来的精华。 著名的有趋势线、通道线、黄金分割线、甘氏线、角度线等。在实际应用中，人 们从这些切线法上获益不少。 ( 3 ) 形态学派 形态学派是根据价格图表中，过去一段时间走过的轨迹的形态来预测股票价 格未来的趋势情况的方法。技术分析法的理论基础告诉我们，市场行为包括一切 信息。价格走过的形态是市场行为的重要组成部分，是股票市场对各种信息感受 之后的具体表现，所以用价格的轨迹或者说是形态来推测股票价格的将来是有理 由的。 从价格轨迹的形态看，我们可以推测出股票市场处在一个什么样的大环境之 中，由此对我们今后的行为给予一定的指导。著名的形态有“m 头”。“w 底”“头 肩顶底”等十几种，这些形态是投资者经验的结晶。 ( 4 ) k 线学派 k 线学派的研究手法是侧重若干日k 线的组合情况，推测股票市场多空双 方对比，进而判断股票市场多空双方谁占优势，是暂时的? 还是决定性的? k 线图 是进行各种技术分析的最重要的图表。 。 单独一天的k 线图的形态有十几种，若干日的k 线图的组合种类就更多人 们经过不断的总结经验，发现了一些对股票市场买卖有指导意义的组合。而且， 新的结果正在不断的被发现，被运用。k 线图在东亚地区很流行，广大股票投资 人进入股票市场之后，进行技术分析时往往首先接触的就是k 线图理论。 ( 5 ) 波浪学派 波浪理论起源于1 9 7 8 年美国人查尔斯发表的专著波浪理论。波浪理论 的实际发明者和奠基人是艾略特，他在3 0 年代有了波浪理论最初的想法。 波浪理论把股价的上下变动和不同时期的持续涨跌、下降看成是波浪的上下 起伏一样。波浪的起伏遵循自然界的约束，按照一定的规律进行，股票价格也象 波浪起伏一样遵循某种规律。 但是，波浪理论又是公认的最难掌握的技术分析方法。大浪套小浪，浪中有 浪，在计算浪的个数时非常容易发生偏差。往往是事情过了以后回过头来计算 波浪的个数，发现均满足波浪理论所陈述的。一旦身处现实中，真正能够使用好 波浪理论的人很少。 5 第一章绪论 ( 6 ) 数量分析方法 随着时代的发展，使数学越来越多的被应用到金融中。它也给金融带来了 一场革命。其中最受人瞩目的莫过于金融工程、定量投资以及风险管理。基于 以上理论，除了传统的股票投资分析方法以外，近年来又发展了许多新的股市 预测方法，并且取得了很好的效果。 a 时间序列分析法 现在常用的时间序列分析法主要是建立自回归模型( a r ) ，移动平均模型 ( m a ) 、自回归一移动平均模型( a r m a ) 和齐次非平稳模型( a r i m a ) ，其中 a r i m a 模型是较成熟的模型，常被用来对股价( 最高价、最低价、开盘价、收 盘价) 及综合指数进行预测，通过选择模型的参数和辩识模型的系数实现对时间 序列的拟合，进而用拟合好的模型对未来进行预测。 b 神经网络预测方法 神经网络( n m 预测方法主要包括：前向神经网络预测方法( f n n ) 、时间 延迟神经网络预测方法( t d n n ) ，以及自回归神经网络预测方法( r n n ) ot d n n 可转化为f n n 。本文着重介绍神经网络在股票预测中的应用，特别是径向基函 数神经网络对股指的预测。 c 其他预测方法 如专家评估法和市场调整法等定性预测方法，回归分析法、时间序列平滑 法、 趋势曲线模型法、随机时间序列预测方法、马尔柯夫预测法和判别分析预测法 等 定量预测方法。 1 3 3 目前股票市场预测中存在的问题 目前关于股票市场预测的问题主要表现为以下几点： ( 1 ) 对于股票市场这个多变量非线性动态系统，目前学术上还没有较好的建 模方法，同时，股票市场还具有一定程度的不确定性，因此，对那些试图用建 立精确模型的方法来进行股价预测的方法，其预测效果必然不会理想； ( 2 ) 股票市场中各种因素之间的相关性错综复杂，主次关系变化不定，数量 关系难于提取，因此应用常规的预测方法对股市做出定量的分析也非常困难； ( 3 ) 对股票市场进行预测时，需要处理的信息量和计算量往往十分巨大，对 预测算法的性能要求也非常高，一般的预测方法基于线性或者近似线性的假设， 很难满足对股票市场进行精确预测的要求。 6 第一章绪论 1 3 4 人工神经网络在股市预测中的应用 人工神经网络是由简单神经元构成，具有能够模拟生物体中神经网络的某 些结构与功能，进行大规模并行信息处理的非线性模型系统【2 1 。1 9 8 7 年，l a p e d e s 和f a r b e r 首先将神经网络应用于预测领域，之后，这种预测方法得到了广泛的重 视和研究。人工神经网络在经济学领域中的应用主要是在1 9 9 0 年以后，尤其 是1 9 9 3 年以后，各种处理经济问题的人工神经元网络模型广泛出现。使用神经 网络对股票市场进行预测是由于神经网络本身具有以下特点1 3 j ： ( 1 ) 它能逼近任意的p 次幂可积函数； ( 2 ) 它采用并行分布信息处理，具有很强的容错性； ( 3 ) 可以用硬件实现； ( 4 ) 具有学习能力和自适应性，受适当训练的网络有泛化能力； ( 5 ) 可以同时对定性和定量的数据进行操作； ( 6 ) 具有多输入和多输出，适用于多变量系统。 研究表明，股票市场是一个极其复杂的非线性动力学系统。神经网络具有 分布处理、自组织、自适应、自学习和容错性的优良特性，在处理股价预测这 种多因素、不确定、非线性的时间序列预测问题方面有其特有的优势。 经过多年的发展，神经网络在模式识别、经济管理、优化控制和趋势预测 等方面己经取得了很大的成果，在解决线性和非线性规划问题、数值逼近、统 计计算等问题上给出了非常重要的解决方法，但是在某些方面仍然存在一些有 待解决的问题，如算法过于复杂、局部网络性能下降和随着神经元个数增加网 络运算时间急剧增加等等。当前解决这些问题的主要思路主要集中在寻求网络 算法的优化，网络结构的改良和数据预处理的改进等等。 所以，本文考虑目前股票市场预测中的这些问题及神经网络的特点，采用 人工神经网络建模，进行股指的预测。同时，本文提出r b f 神经网络更适合于 对股指进行预测，并同时下最流行的b p 网络的预测结果进行比较分析，文章 为了保证数据更具有说服力，首先对数据进行小波降噪，使数据更符合实际情 况，然后再进行股指预测。 1 4 研究内容 7 第一章绪论 l 第四章小波降噪在股指预测中 - 1 数据的归一化处理 l 的应用 数据的小波降噪 ”“”“、 第五章基于神经网络的股指预 测 基于b p 神经网络的股指预测 基于r b f 神经网络的股指预测 b p 网络与r b f 网络预测结果比较分 析 8 第一章绪论 1 5 研究方法和技术路线 1 5 1 研究方法 本文分别选取了沪深股市1 9 9 7 年1 月到2 0 0 6 年2 月的大盘股指周数据， 共4 5 2 个样本，先对这些数据进行小波降噪，使数据更贴近真值；然后建立人 工神经网络模型对小波降噪后的数据进行预测，本文先建立时下最流行的b p 神 经网络模型对股指进行预测，然后建立r b f 神经网络模型对股指预测，最后对 两种模型预测的值进行平均绝对误差和平均相对误差分析，旨在得出r b f 神经 网络模型对股指的预测较b p 神经网络更加精确。 1 5 2 技术路线 本文的技 图1 3 本文的技术路线 9 第二章小波分析基本理论 第二章小波分析基本理论 2 1 小波理论的发展概述 小波理论是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继f o u r i e r 分 析之后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了 强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的 数学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多 其它学科领域的发展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。 探讨小波的新理论、新方法以及新应用已成为当前数学界和工程界一个非常活 跃和富有挑战性的研究领域。 所谓小波分析，从数学角度看，它属于调和分析范畴，从事计算数学的工 作者把它看作是一种近似计算的方法，用于把某一函数在特定空间内按小波基 展开和逼近；从工程角度看，小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继 f o u r i e r 分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换作为一种新的多分辨分 析方法，可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和多分辨特性，因此特 别适合于处理非平稳信号。 小波的起源可以追溯到2 0 世纪初。1 9 1 0 年，h a a r 提出了规范正交小波基 的思想，构造了紧支撑的正交函数系。1 9 3 6 年，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论，构造了一组l i t t l e w o o d - p a l e y 基，这为小 波在后来的发展奠定了理论基础。 1 9 4 6 年，g a b o 提出了加窗f o u r i e 变换( g a b o r 变换) 理论，使得对信号的 表示具有时频局部化特性。人们真正研究小波是在8 0 年代，1 9 8 2 年s t r o m b e r g 构造了一组具有指数衰减且有限次连续导数的小波基。1 9 8 4 年g r o s s m 和m o r l e t 首次提出了小波( w a v e l e t ) 的概念，给出了按一个确定函数t 的伸缩平移系展开 函数的新方法和进行信号表示的新思想。随后m e y e r 证明了一维小波的存在， 并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函数。1 9 8 6 年m a l l a t 和m e y e r 提出了多 分辨分析的理论框架，为小波基的构造提供了一般的途径。多分辨分析研究思 想是小波的核心，它是理论与应用的结晶。至此，小波分析才真正形成- - f - j 学 科。之后，人们构造出了大量的小波，其中包括具有指数衰减的b a t t l e ，l e m a r i e 小波和第一个双正交t c h a m i c h i a n 小波等，比较引人注目的是d a u b e c h i e 于1 9 8 8 年构造的一类具有紧支集的有限光滑正交小波函数，该小波得到了非常广泛的 应用。1 9 8 9 年随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 提出了实现小波变换的快速 1 0 第二章小波分析基本理论 算法m a l l a t 塔式算法，它的地位相当于f o u r i e r 变换中的f f t 1 9 9 0 年崔锦泰 和王建忠构造了基于样条的双正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的 尺度函数。与此同时，w i c k e r h a u s e r 和c o i f m a n 等人通过对母小波函数进行伸 缩、平移和调制运算，提出了小波包的概念，并将m a l l a t 算法进一步深化，得 到小波包算法。1 9 9 2 年d a u b e c h i e s 的小波1 0 讲系统论述了正交小波的紧 支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离散小波变换和连续小波变换等。 至此经典小波理论已基本成熟，1 9 9 2 年在国际上，重点转向了小波的推广和应 用。 在国内，由于对小波的研究起步较晚，1 9 9 1 年邓东皋等在数学进展 上发表国内第一篇小波论文一小波分析，对国内小波的研究和应用起了很大的 推动作用。1 9 9 4 年形成国内的小波研究高潮，近1 0 年来，粗略估计，国内公 开发表的论文已达数百篇。大部分小波文献都属于应用性研究，主要集中在数 学物理( 如分形、混沌、求解方程等) ，图像与数据压缩，信号处理，神经网络， 故障诊断与控制，语言合成，石油地质勘探等方面。 2 2 从傅立叶变换至l j d , 波变换 2 2 1 傅立叶变换 在信号处理中，重要的方法之一是傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 【4 】，它 架起了时间域和频率域之间的桥梁。傅立叶变换一直统治着线性时不变信号处 理，最主要的原因是傅立叶变换所用的正旋波e 协是所有线性时不变算子的特 征向量。 我们设是系统的输入，f ( t ) z 似) ，函数厂( f ) 的连续傅立叶变换为： 一 = v e - i 删 (21f(ro)e - f ( t ) d t ) = ( 2 - ) f ( c 0 1 傅立叶逆变换定义为： 饨) = 击e ，( 砌d 国 ( 2 - 2 ) f ( r o ) 确定了厂( f ) 在整个时间域上的频谱特性。傅立叶变换将信号的时域 特征和频率特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有 机结合起来。傅立叶变换是整个时间域内的积分，识别出的频率在什么时候产 生并不知道，因此是一种全局的变换，不能反映某一局部时间内信号的频谱特 第二章小波分析基本理论 性，即在时间域上没有任何分辨率。这样在信号分析中就面临一对矛盾：时域和 频域的局部化矛盾。傅立叶变换对具有突变的信号，如地震波、暴雨、洪水等 的分析带来诸多不便和困难。这就促使寻求一种信号时频局部分析新方法。 2 2 2 小波变换的由来和作用 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 的概念是1 9 8 4 年法国地球物理学家j m o r l e t 在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。小波变换的数学基础是1 9 世纪的傅 立叶变换，其后理论物理学家a g r o s s m a n 采用平移和伸缩不变性建立了小波变 换的理论体系。1 9 8 5 年，法国数学家y m e y e r 第一个构造出具有一定衰减性的 光滑小波。1 9 8 8 年，比利时数学家l d a u b e c h i e s 证明了紧支撑正交标准小波基 的存在性，使得离散小波分析成为可能。1 9 8 9 年s m a l l a t 提出了多分辨率分析 概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的 快速算法，使得小波变换完全走向实用性。 小波分析是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可改变，时间窗和 频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率 和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率， 所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 小波变换的含义是：把一称为基本小波的函数少( f ) 做位移f 后，再在不同 尺度口下与待分析信号x ( f ) 做内积： r r t x ( 叩) = 忑1 亡m 渺( 等p 删 ( 2 - 3 ) 等效的频域表示是： t r y x ( 叩) = 尝仁= x ( 国炒( 鲫) p 问d c o ( 2 - 4 ) 式中，x ( e o ) ，沙( 国) 分别是工( f ) ，y ( f ) 的傅立叶变换。 小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样，因为f 仅仅影 响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影 响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的， 即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变 换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频 信号变化迅速的特点。这便是它优于经典的傅立叶变换和短时傅立叶变换的地 方，从总体上来说，小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。 由此可见，小波变换具有以下特点和作用。 ( 1 ) 具有多分辨率( m u l t i r e s o l u t i o n ) ( 也叫多尺度( m u l t i s c a l e ) ) 的特点， 1 2 第二章小波分析基本理论 可以由粗到细地逐步观察信号。 ( 2 ) 我们也可以把小波变换看成用基本频率特性为沙( 缈) 的带通滤波器在 不同尺度a 下对信号做滤波。由于傅立叶变换的尺度特性，如果妒( f ) 的傅立叶 变换是沙( ) ，则5 c ，( f a ) 的傅立叶变换为h 沙( 口动，因为这组滤波器具有品质因 数恒定，即相对带宽( 带宽与中心频率之比) 恒定的特点。 ( 3 ) 适当地选择基本小波，使y ( f ) 在时域上为有限支撑，i i f ，( 国) 在频域上 也比较集中，便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力， 这样就有利于检测信号的瞬态或奇异点。 2 2 3 小波变换与傅立叶变换的比较 下面对小波分析方法和傅立叶变换进行比较，就更可以显示出小波变换特 长所在。 ( 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限的信号厂( f ) 分解到以 p 细 为正交基 的空间上去；小波变换的实质是把能量有限的信号厂( f ) 分解到矿，( j f = l ，2 ，j ) 和k ，所构成的空间上去。 ( 2 ) 傅立叶变换用到的基本函数只有s i n ( 耐) 、c o s ( t o t ) 和e x p ( i c o t ) ，具有 惟一性；小波分析所用到的小波函数则不是惟一的，同一个工程问题用不同的 小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际 中的一个难点问题也是分析研究的一个热点问题，目前往往是通过经验或不断 地试验，将不同的分析结果进行对照分析来选择小波函数。 ( 3 ) 在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率 成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠 加和的形式，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，无法从信号厂( f ) 的傅 立叶变换f ( 功中看出f ( t ) 在任一时问点附近的性态。 ( 4 ) 在小波分析中，尺度口越大相当于傅立叶变换中的缈的值越小。 ( 5 ) 在短时傅立叶变换中，变换系数g ，( 缈，f ) 主要依赖于信号在时间窗内 的情况，一旦时间窗函数确定，则分辨率也就固定了。而在小波变换中，变换 系数呢( 口，f ) 虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度是随尺度口 的变换而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。 ( 6 ) 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在 于： 对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽a c e 则正比于中心频率e t ) ，即 ，、 q = 一a t t = c c 为常数 第二章小波分析基本理论 亦即滤波器由一个恒定的相对带宽，称之为等q 结构。 2 3 多分辨率小波分析 由于离散的小波框架其信息量仍然是有冗余的，从数值计算及数据压缩等 角度来看，希望减小它的冗余量，直到得到一组正交基，此正交基为正交小波 基。 多分辨掣5 】概念是由s m a u a t 和y m e y e r 于1 9 8 6 年提出来的，它可将此前所 有的正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生突破性的进展。同时，在多 分辨率分析的基础上，s m a l l a t i j i 入了一种计算离散栅格上小波变换的快速算 法，即m a l l a t 算法。它可以避免a 值越大，对( f ) 的采样就得越密的缺点，这一 算法在小波分析中的地位很重要，相当于快速傅立叶变换( f f t ) 在经典傅立 叶分析中的地位。 2 3 1 多分辨率的概念 将平方可积的函数厂( f ) l 2 ( r ) 看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近 都是用某一低通平滑函数矽( f ) 对( f ) 做平滑的结果，在逐级逼近时平滑函数( f ) 也做逐级伸缩，这就是“多分辨率”，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数 厂( f ) 。将空间做逐级分解产生一组逐级包含的子空间： ，v o = ko 彬，k = o ，巧= _ + 。o + 。， ，是从- - - - 0 0 到恂的整数，值越小空间越大，当，= 4 时，如图2 1 所示。 图2 - 1 _ ，= 4 函数空间的剖分 空间剖分是完整的，即当_ ，一础时，巧一r ( 尺) ，包含整个平方可积的实 变函数空间。 1 4 第二章小波分析基本理论 u 巧= l 2 ( r ) j = ： 当寸佃时，一寸0 ，即空间最终剖分到空集为止。 n 巧= ( o ) 这种剖分方式使得空间巧与空间髟正交，各个杉之间也正交， 巧上 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 即 ( 2 - 7 ) 上孵 j j 这种函数空间的剖分还具有如下特性。 ( 1 ) 位移不变性：函数的时移不改变其所属空间，即：如果厂( f ) ，则 f ( t 一后) e ( 2 - 8 ) ( 2 ) 二尺度伸缩性：即f ( t ) ，则 f 厂( 二) 巧+ 。f ( 2 t ) 巧一 ( 2 9 ) 二 在上述基础上，对各空间内的结构做进一步分析。 ( 1 ) 设中有低通平滑函数( f ) ，它的整数移位集合 矽( f 一后) ) 七留是中 的正交归一基。称( f ) 为尺度函数( s c a l i n gf u n c t i o n ) ，所以有 ( 矽o 一尼) ，矽 一后) ) = 8 ( k - k 9 ( 2 - 1 0 ) 1 在上式中，矽。一七) = 妣( f ) ( 妣( f ) 为j = 0 时的痧肚( f ) = 啬矽( 2 - j t 一七) ) 。 圪中的任意函数( f ) 均可以表示为 矽( f 一七) ) 七：的线性组合。设眵( f ) 代表 厂( f ) 在上的投影，则有 p o f ( t ) = x k 0 ( f ) ( 2 1 1 ) 掣是线性组合的权重，其求法如下： 掣= ( 昂厂( f ) ，死七( f ) ) = ( 厂( f ) ，唬七( f ) ) ( 2 - 1 2 ) 称p o f ( t ) 为厂( f ) 在r o 处的平滑逼近，也就是( f ) 在分辨率_ ，= 0 下的概貌。 0 称为f ( t ) 在分辨率j = 0 下的离散逼近。 ( 2 ) 根据二尺度伸缩性，如果认，) ，则蜓) 巧。而且，如果 加( 纠胁 是中的正交归一基，贝i j 舭) = 老矽( 壹一尼) 。 第二章小波分析基本理论 ( 删刚f ，) = 崩1 陪t 刁去矽隆尼弘 = 三p ( 三一尼弘( 三一后 破 ，l 1 p ( ，t - 尼矽( f l k ) 衍 = 万( f t ) 所以 萌。( ，) ) 把必是k 中的正交归一基。 因此k 中的任意函数，如p 。f ( t ) ，均可表示为 缟。( f ) ) 妇的线性组合，即 p i f ( t ) =