（应用数学专业论文）上三角型无穷维hamilton算子的谱及其应用.pdf

上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱及其应用 摘要 无穷维h a m i l t o n 算子来源于线性无穷维h a m i l t o n 系统，具有深刻的力学背景 本文主要研究了无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画、可逆性及其应用 一直以来，非自伴算子的谱理论没形成完善的理论框架，一些有重要力学背景的 非自伴算子：无穷维h a m i l t o n 算子、j 自伴算子、迁移算子的谱研究没有统一的处 理方法本文首先定义了两类算子：同点谱算子、反点谱算子；自伴算子、j 一自伴算 子、迁移算子均为同点谱算子；反自伴算子、无穷维h a m i l t o n 算子均为反点谱算子； 对h i l b e r t 空间中的稠定闭线性算子的剩余谱利用其点谱进行了完全的刻画，利用这 个刻画给出了其剩余谱为空的充要条件；由此给出了同点谱算子及反点谱算子的谱结 构；由此得到上述非自伴算子的谱结构 为了解决应用的问题，研究了上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画无穷维 h a m i l t o n 算子是一类特殊的2 2 算子矩阵，利用其谱结构及结构特性给出对角定 义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱能由其第一个对角元的谱等价刻画的充要条 件；由此建立了不计体力的平面弹性力学问题的谱理论模型并且给出上行占优的上 三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱、连续谱的刻画及可逆性 本文还得到了判定一类无穷维h a m i l t o n 算子纯虚本征值的代数指标是1 的充分 条件 非负h a m i l t o n 算子在线性二次最优控制问题中有着重要的应用，本文给出了一 类非负h a m i l t o n 算子的点谱分布及其可逆性 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，非负h a m i l t o n 算子，算子矩阵，可逆性，谱， 点谱，剩余谱，连续谱，纯虚本征值，代数指标 分类号：( 中图) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b t h es p e c t r u mo fu p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r j t o r s a n da p p l i c a t i o n s a b s t r a c t i n f i n i t eh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r eo r i g i n a t e df r o mi n f i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o - n i a ns y s t e m ，w h i c hi se n g a g e di np r o f o u n dm e c h a n i c a lb a c k g r o u n d t h i sd i s s e r t a t i o n m a i n l yi n v e s t i g a t e st h es p e c t r u ma n di n v e r t i b i l i t yo ft h eu p p e rt r i a n g l ei n f i n i t ed i m e n - s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s a l la l o n g ，s p e c t r a lt h e o r yo fn o n s e l f a d j i o n to p e r a t o r sd i dn o td e v e l o pas a t i s f a c t o r yt h e o r e t i c a lf r a m e w o r k n o n - s e l f a d j i o n to p e r a t o r sw h i c hi se n g a g e di np r o f o u n d m e c h a n i c a lb a c k g r o u n d ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，j - s e l f a d j i o n to p - e r a t o r s ，t r a n s p o r to p e r a t o r s ，h a v en o tu n i f o r mw a ya b o u tt h e i rs p e c t r a li n v e s t i g a t i o n i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t l yt h ed e f i n i t i o n so fo p e r a t o ro fs a m ep o i n ts p e c t r u ma n d o p e r a t o ro fo p p o s i t ep o i n ts p e c t r u ma r eg i v e n j - s e l f a d j i o n to p e r a t o r sa n dt r a n s p o r t o p e r a t o r sa r ea l lo p e r a t o r so fs a m ep o i n ts p e c t r u m ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n o p e r a t o r sa r ea l lo p e r a t o r so fo p p o s i t ep o i n ts p e c t r u m t h ed e s c r i p t i o no fr e s i d u a l s p e c t r u mo ft h ec l o s e dd e n s e l yd e f i n e do p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c ei so b t a i n e d ，b yt h e a b o v ed e s c r i p t i o n ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h er e s i d u a ls p e c t r u mo ft h e c l o s e dd e n s e l yd e f i n e do p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c eb e i n ge i i 【p t yi sg i v e n ；b yt h er e s u l t ，t h e s p e c t r a ls t r u c t u r e so fo p e r a t o ro fs a m ep o i n ts p e c t r u ma n do p e r a t o ro fo p p o s i t ep o i n t s p e c t r u ma r eg i v e n ；b yt h er e s u l t s ，t h es p e c t r a ls t r u c t u r e so ft h ea b o v en o n s e l f a d j i o n t o p e r a t o r sa r eo b t a i n e d i no r d e rt op r a t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h es p e c t r a ld e s c r i p t i o no fu p p e rt r i a n g l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si ss t u d i e d i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n o p e r a t o r sa r eac l a s so fs p e c i a l2 2o p e r a t o rm a t r i c e s ，b yi t ss p e c t r a ls t r u c t u r ea n d s t r u c t u r ec h a r a c t e r ，w eg e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h es p e c t r u mo f u p p e rt r i a n g l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sw i t hd i a g o n a ld o m m nb e i n g e q u i v a l e n t l yd e s c r i b e db yt h es p e c t r u mo ft h e f i r s td i a g o n a le l e m e n t b yt h er e s u l t ，t h e s p e c t r a lt h e o r e t i c a lm o d eo fp l a n ee l a s t i c i t yp r o b l e m sw i t h o u tt h eb o d yf o r c ei se 8 - t a b l i s h e d a n dw eo b t a i nt h ei n v e r t i b i l i t ya n dd e s c r i p t i o no fs p e c t r u ma n dc o n t i n u o u s s p e c t r u mo fu p p e rt r i a n g l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sw i t hu p p e rd o m - i n a n t i na d d i t i o n ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa l g e b r i ci n d e xo ft h ep u r ei m a g - i n a r yp i o n ts p e c t r u mo fac l a s so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sb e i n g 0 n e n o n n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r sh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nl i n e a rq u a d r a t i c o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m t h ei n v e r b i l i t ya n dd i s t r i b u t i o no fp o i n ts p e c t r u mo fac l a s s o fn o n n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，n o n n e g a t i v eh a m i l - t o n i a n o p e r a t o r s ，o p e r a t o rm a t r i c e s ，i n v e r t i b i l i t y , s p e c t r u m ，p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a l s p e c t r u m ，c o n t i n u o u ss p e c t r u m ，p u r ei m a g i n a r yp i o n ts p e c t r u m ，a l g e b r i ci n d e x s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：( c l ) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b i n i x r c r e a i m a t + d ( t ) 入 一入 m m ( t ) ( z ，y ) 恻i p ( t ) a p ( t ) a ( t ) c r c ( t ) a r ( t ) 主要符号表 单位算子 h i l b e r t 空间 实数域 复数域 复数入的实部 复数入的虚部 线性算子t 的共轭算子 线性算子t 的定义域 复数入的共轭 复数入关于虚轴对称的点 数集m 关于实轴对称的分支 数集m 关于虚轴对称的分支 线性算子t 的零空间，即集合_ 【z 9 ( t ) ：t x = o ) 两元素x ，y 的内积 元素x 的范数 线性算子t 的预解集 线性算子t 的点谱 线性算子t 的谱集 线性算子t 的连续谱 线性算子t 的剩余谱 原创性声明 本人声明：所交的学何论文是本人各导师的指导卜进行的研究i ：作及取缁的 j 究成 果。除本文已经注明引州的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成聚，也 不包含为获得内墓直太堂及其他教育机构的学位或证l5 而使h j 过的材料。与我一同l ：作的刚 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：指导教师签名：! 璺查丝鱼 日 删：垒! 二2 ，塞! ! ：| 【i 在学期间研究成果使用承诺书 本学何论文作者完全了解学校有犬保留、使用学位论文的规定，即：内蒙占人学有权将 学何论文的仑部内容或部分保留并向国家有关机构、部f j 送交学位论文的复印f ，l ：和磁盘，允 许编入r 仃天数据库进i n 金索，也叮以采州影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学何论文。 为保护。z 院和f 导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属丁内蒙占人学。作者今后 使川涉及往学期间t 要研究内容或研究成果。须征得内蒙古人学就读期间导师的同意：若州 】- 发表论文，版权单位必须署名为内蒙占人学方可投稿或公开发表。 学f 移论文作者签名： 日期： 盘虫蒌 a 生啤：尘缪 指导教师签名：里皇查! 曼兰垒 日期：2 = = 21 篁。! 堡 耋剿篷j ； 丛限f 血型 第一章绪论 h a m i l t o n 体系足动力系统的重要内容之一，其应用范围几乎遍及日常生活的各个 方面，一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可表示为h a m i l t o n 体系【1 】h a m i l t o n 系统包括有限维和无穷维两种形式，它们分别足某种特定形式的常微分方程和偏微分 方程，无穷维h a m i l t o n 算子来源于无穷维h a m i l t o n 系统，具有深刻的力学背景，其 谱理论是解决某些力学问题的分离变量法的理论依据，在弹性力学等相关领域起重要 作用【卅 1 1无穷维h a m i l t o n 算子的起源 由h a m i l t o n 奠基的h a m i l t o n 力学 7 】已有一百七十多年的历史了，它在分析力 学史上是继l a g r a n g e 工作的第二个里程碑 撵一攀 q h ， 其中咒，q ，t ) 是定义在开集q 冬p r 竹r 上的光滑实值函数，称为h a m i l t o n 函 数，它表示系统的总能量【8 ，9 】；p = 囟1 ( 亡) ，沈( 亡) ，( t ) 】t ，q = 【q l ( t ) ，q 2 ( t ) ，骱( 亡) 】t 方程组( 1 1 1 ) 是一阶常微分方程组，它可以写成如下的矩阵形式 警= 厂1 v 郴， ( 1 1 - 2 ) 其中z 礼胛，v 郴= v z 郴= 睇锄o u ，舄t 小 三计厶为 扎阶单位阵，方阵j 是辛几何中的度量矩阵，它满足j - 1 = j r = 一z ，= 一j 1 2 n 如果h a m i l t o n 函数冗= 互1 z t s z ，s 是2 n 2 n 阶对称数矩阵，则( 1 1 2 ) 可以写 成如下的( 有限维) 线性h a m i l t o n 系统 面d z = h z ，日= 一j s ( 1 1 - 3 ) 并且有 1j r b “ 1 a c l 1 1 日 2 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 钲 其中b ，c 是t t n 对称矩阵，a 是任意他礼矩阵称h 为h a m i l t o n 矩阵( 也称 为无穷小辛矩阵【1 0 】) h a m i l t o n 矩阵有如下特性： c 1 ，设h 是h a 血t o n 矩阵，则h + = j 日正其中，= 一0 j ： ( 2 ) h a m i l t o n 矩阵是一类特殊的矩阵：主对角元分别是矩阵a 和它负的转置一a t ； 副对角元都是对称矩阵 有关h a m i l t o n 矩阵，可参阅文【1 1 17 】 那么如何把h a m i l t o n 矩阵推广到无穷维并且保留其特性，下面足相关的定义 将方程组( 1 1 2 ) 推广到一般的h i l b e r t 空间x x 中，就得到如下的无穷维 h a m i t o n 正则系统 定义1 1 1 称如下发展型方程( 组) 为无穷维h a m i l t o n 正则系统 也：，一1 孥， 其中j = 匕a 笔为变分导数，咒为t o n 陋 由v a i n b e r g 定理 1 8 】和定义i i 1 知，线性h a m i t o n 系统( 包括有限维) 可以简 化为如下变量分离的形式 定义1 1 2 设x 为h i l b e r t 空间，h ：d ( h ) x x _ x x 是线性算子， 若日满足h + = j h j ，其中j 如定义1 1 1 所示，则称发展型方程( 组) 也= h u 为线性h a m i l t o n 正则系统，并称日为无穷维h a m i l t o n 算子 容易看出，定义1 1 1 和定义1 1 2 分别是( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 的自然推广把h a m i l - t o n 矩阵中的n 佗矩阵换成微分算子，舻换成无穷维h i l b e r t 空间，转置换成共 轭，对称性换成自伴性，则得到无穷维h a m i l t o n 算子的另一个定义： 定义1 1 3 设x 为h i l b e r t 空间，日：i ab i ：d ( 日) c _ x x _ x x l ic a + j 是稠定闭线性算子，且a 为x 中的稠定闭线性算子，b ，c 均为自伴算子，h + = j 日j 10il 则称日为无穷维h 锄n t o n 算子其中j2 i j oi 2 0 0 9 焦 第一章绪 论3 特别地，当c = 0 时，称日为上三角型无穷维h a m i l t o n 算子 确切定义 定义l l 4 设x 为h n b e r t 空间，日= c a b a 。 ：。c 日，x x x x 是无穷维h a m i l t o n 算子，如果b 和c 都是非负自伴算子，则称h 为非负h a m i l t o n 算子 一些弹性力学方程( 组) 可以化为无穷维h a m i l t o n 系统，且对应的算子是上三角 型无穷维h a m i l t o n 算子( 见文【5 ，6 】) ，下面看两个例子： 例1 1 1 考虑板弯曲方程边值问题【1 9 】 i d a 2 。，别a 22 胪0 ，0 o ) 通过计算，也能求得a r ( t ) = 入cir e a o 但计算存在一定的难度，见 文 9 9 】的1 6 4 - 1 6 6 页 2 2 内蒙古大学博士学位论文2 0 0 9 年 例2 4 2 设x = l 2 【o ，1 】把波动方程 化成h a m i l t o n 系统 晏h r 0 2 一l 弘 一i a 2 l 一弭纠h 铲if i 一孬ll w i 得无穷维h a m i l t o n 算子 嚣= ab 。 - 妻 其中 d ( a ) = d ( a + ) = d ( b ) = d ( c ) = u x ：乱绝对连续，u ( o ) = 1 5 ( 1 ) = 0 ，“7 ，u ”x ) 经计算，其点谱为 则其剩余谱为空集 a p ( h ) = a c ：a = 士忌丌i ，k = 1 ，2 ，3 ) 例2 4 3 对任意z = ( x l ，z 2 ，x 3 ，z n ，) 1 2 ，定义 a x = ( x l + 2 x 2 ，x l ，x 2 ，x n - - 1 ，) 显然a ：z 2 1 2 是线性算子，且 a + z = ( x l + x 2 ，2 x l + x 3 ，x 4 ，z n + 1 ，) 令 日= a 。二。 。c 日，= 。c a ，。c a + ， 则h 是无穷维h a m i l t o n 算子，经计算得- 1 c r r ( 日) ，则h 的剩余谱非空 z 矽 = z 0 仉= “) 一 0 功 划比咖 概弘 = 一 功象地印 ，、【 1，j f一 舻蕊 孑礤 一 第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻 画及其应用 无穷维h a m i l t o n 算子是一类特殊的2x2 算子矩阵，板弯曲方程、平面弹性力学方 程组都能化为线性无穷维h a m i l t o n 正则系统，并且对应的是上三角型无穷维h a m i l t o n 算子日：i ab i 最近，上三角型无穷维h a m i l t 。n 算子的谱理论引起了相关 1 0 一a 4j 学者的兴趣，但是能应用到实际中的结论很少为了解决应用的问题，本章研究了上 三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画 3 1对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱 在有限维空间，三角矩阵的性质仅由其对角块决定但是在无穷维空间，2 2 上 三角型鼾觯尥= a 。b c 的情舭较躲也试图想得到类似三角矩阵的 结论当a 、b 、。c 均有界时，相关的工作见文【1 0 0 ，1 0 1 】 上三角型无穷维h a m i l t o n 算子h = 三。 的子块一般是无界的，这节给 出了对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子谱的性质，并得到了h 的谱能由其第 一对角元等价刻画的充要条件 为了得到主要结论，先看下面的引理： 引理3 工1 设x 是h i b e r t 空间，令= a 。1 如a 2 ：d ( d ) c _ x xx 二 x x 是闭的算子矩阵， a x ，a 3 均为闭算子，d ( ) = d ( a 1 ) d ( a 3 ) ，则 ( i ) a p ( a i ) 唧( ) o p ( a 1 ) u ( a 3 ) ； ( i i ) p ( a 1 ) np ( a a ) p ( ) 证明( i ) 若入( a 1 ) ，则存在z 1 ( 0 ) d ( a 1 ) ，使得 ( a 1 一入，) z 1 = 0 ； 2 3 内蒙古大学博士学位论文 令z = ： ，贝u z 。，z 。c ， 所以 从而 c 一入，z = a 10 ，) z 1 = 。， 入唧( ) ， a p ( a i )唧( ) ； 若a 唧c ，则存在z = 耋 c 。，。c ，使得 如果x 2 0 ，那么 如果x 2 = 0 ，那么 所以 因此 综上所述 则 ( i i ) 如果 c 盘矿一入，z = ( a i 。- a 3 m 一) x a l + ，z a 22 2 2 = 。， a o a a 3 ) ； x l 0 ，( a 1 一m ) x l = 0 ， 入a p ( a 1 ) ( ) so p ( a 1 ) i ja p ( a 3 ) ； a p ( a 1 ) 唧( ) ca p ( a 1 ) ua p ( a 3 ) 入p ( a 1 ) i - 1p ( a 3 ) ， 入譬( a 1 ) u a p ( a 3 ) ， 2 0 0 9 年 2 0 0 9 年第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其应用2 5 由( i ) 可知： a 隹( ) ， 则( 一入，) _ 1 存在； 下面证明 r ( d 一入，) = x x ， 对刍= ： x 五因为入p c a 3 ，所以存在z 2 。c a 3 ，使得 ( a 3 一k 1 ) z 2 = y 2 ； 又( y l a 2 x 2 ) x ，因为入p ( a 1 ) ，所以存在x l d ( a 1 ) ，使得 ( a 1 一m ) x l = y l a 2 x 2 ， 即 ( a 1 一入i ) x l + a 2 x 2 = y l ， 令茁= 三： ，z 。c 露矿， c 盘矿一入，z = ( a 1 。- a 3 a i 一) x a l ，+ ，z a 22 2 2 = 可， 所以 综上所述 所以 冗( 一k i ) = xxx ； a p ( ) ， p ( a 1 ) 1 3p ( a 3 ) p ( ) m 下面分别给出对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子谱的性质 定理3 工1 设日为上三角型无穷维h a m i l t o n 舅 - f i , h = a b 小 ，。c 日，= d ( a ) xd ( - a ) ，则 盯( 日) c 入c ：a 盯( a ) 或一页仃( a ) ) 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 年 证明( 反证法) 假设存在入仃( 日) ，但是入p ( a ) 且一天p ( a ) ，由引理2 3 1 知 又因为 再由引理3 1 1 的( i i ) 知 这与入盯( 日) 矛盾! 故 入p ( - a + ) ， a p ( a ) 入j d ( 日) ， 盯( 日) 冬 入c ：入盯( 4 ) 或一页盯( a ) ) _ 推论3 1 1 设h 为上三角型无穷维h a m i h o n 算子，日= a 。一b 小 ，。c 日，= d ( a ) xd ( - a + ) ，如果盯( a ) 关于虚轴对称，则 仃( 日) o ( a ) 定理3 1 2 设日为上三角型无穷维h a m n t 。n 算子，日= a b 小 ，。c 日，= d ( a ) xd ( - a + ) ，则 a c ：a a p ( a ) 或一入( a ) ) a p ( h ) u 西( 日) ； 证明由引理3 1 1 的( i ) 知 a p ( a ) a p ( h ) ， 所以如果一天a p ( a ) ，则 一入a p ( h ) 由推论2 3 4 知o p ( h ) ua r ( h ) 关于虚轴对称，所以 因此 入a p ( h ) ue r r ( h ) ， 【入c ：入唧( a ) 或一天a p ( a ) ) a p ( h ) uc r r ( h ) ； 2 0 0 9 年第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其应用 2 7 定乳怕设日为上三角型硝维h 舢。n ；子，日= a 。硝b ，d ( 耻 d ( a ) d ( 一a 4 ) ，则 a c ：入c r r ( a ) 且一页岳听( a ) 】仃( 日) ， 从而当a r ( a ) 不含关于虚轴对称的点时，( a ) 盯( 日) 证明 若a ( a ) ，- h 隹( a ) ，贝0 一a o p ( a ) u a c ( a ) u p ( a ) ； 若一天唧( a ) ，由定理3 1 2 知 若一页a t ( a ) ，则 故r ( - a 一h i ) x ，因此 所以 若一灭p ( a ) ，由引理2 3 1 知 入a p ( h ) u ( 日) ； 入a c ( - a ) ， r ( h 一入，) xxx ， 入盯( 日) ； 入p ( - a + ) ， 下面证明：r ( h m ) xx x 因为入西c q ，所以存在秒- k 秒隹r c a 一入。，令可= ： x 五则 y r ( h 一入n 若不然，存在z = 兰 。c 日，使得 ( 日一m ) x = y ， 2 8 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 盔 即 。(aa-。ai)入x。lz + 。b ：x 。2 2 玑 因为入j d ( 一a + ) ，所以x 2 = 0 ，从而 一m ) x l = y l ， 这与y l 岳r ( a a ，) ，矛盾! 所以y 簪r ( h 一入，) ，从而 故 综上所述：如果 则 所以 r ( h a i ) x x ， 入仃( 日) ； 入听( a ) 且一天譬c r r ( a ) ， 入仃( 日) ； 入c ：入听( a ) 且一天隹c r r ( a ) ) 盯( 日) - 定舭设日为丘角型筋维n 鼾日= a 。硝b ，d ( 耻 d ( a ) d ( - a + ) ，则 尬u 尬u 一而瓦c r c ( 日) 故 其中 以= 入c ：入( a ) 且一页o c ( a ) ) m 2 = 入c ：入p ( a ) x 一入吼( a ) ) 证明若入m 1um 2 ，贝0 一页c r c ( a ) ， 入盯。( - a ) ， 2 0 0 9 年第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其应用2 9 所以 从而 故 结合点谱的定义知 再由引理3 1 1 的( i ) 知 r ( - a + 一a j ) x ， r ( h 一入，) x x ， 入盯( 日) ， 入簪a p ( a ) u a p ( - a 4 ) ， 入隹a p ( h ) ， 下面证明：入隹听( 日) ； 假设a a r ( h ) ，由推论2 3 3 知：一天a p ( h ) ，由引理3 1 1 的( i ) 知 一入a p ( a ) ua p ( - a + ) ， 这与入舰u 尬矛盾! 所以 a 譬c r r ( 日) ； 综上所述 a c r c ( 日) ； 从而 舰u c r c ( 日) ； 由推论2 3 2 知：盯。( 日) 关于虚轴对称，所以 一c r c ( 日) ， 故 舰u u 一m 2 a t ( h ) i 推龃抛设h 为e 角型确维鼾日= a 。三。 f d ( 耻 d ( a ) xd ( - a 。) ，如果c r c ( a ) 关于虚轴对称，则 c r c ( a ) a t ( h ) 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 年 注3 1 1 由定理3 1 2 、定理3 1 3 及定理3 1 4 可知，a p ( a ) 中关于虚轴对称的 点还在a p ( h ) 中，a c ( a ) 中关于虚轴对称的点还在a c ( h ) 中，但是田( a ) 中关于虚轴 对称的点可能在p ( h ) 中( 见例3 1 2 ) ，而a r ( a ) 中不关于虚轴对称的点在o ( h ) 中 下面给出对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱能由其第一对角元等价 刻画的充要条件 定舭设日为e 利筋维h 砌赢鼾肚a 硝b i d ( 驴 d ( a ) d ( - a + ) ，则 则 所以 盯( 日) = 入c ：a 盯( a ) 或一天仃( a ) ) 错o r r ( a ) 盯( 日) 证明第一步证明“号” 如果 仃( 日) = a c ：a 盯( a ) 或一a 盯( a ) ) ， 盯( a ) 仃( 日) ； a r ( a ) 盯( 日) 第二步证明“仁” 若听( a ) 盯( 日) ；由谱集的定义知 o ( a ) = a p ( a ) ua r ( a ) u 吼似) ， 由引理3 1 1 的( i ) 知 a p ( a ) a p ( h ) ， 若入c r c ( a ) ，则一页吼( 一a + ) ，由连续谱的定义知 r ( - a + + 入，) x ， 故 r ( h4 - 入j ) x x ， 2 0 0 9 年第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其应用 因此 一入盯( 日) ； 由推论2 3 1 知：盯( 日) 关于虚轴对称，所以a 盯( 日) ；由上所述 综上所述 c r c ( a ) 盯( 日) ； ( a ) 盯( 日) ； 下面证明： 入ci 一入盯( a ) ) 盯( 日) 如果一天盯( a ) ，由上述证明可知 一入盯( 日) ， 因为o ( h ) 关于虚轴对称，所以 所以 故 由定理3 1 1 知 因此 综上所述 a 盯( 日) ； 入cl 一入盯( a ) 盯( 日) a c ：a 盯( a ) 或一天仃( a ) ) 盯( 日) 盯( 日) 入c ：入盯( a ) 或一天盯( a ) ) 盯( 日) = 入c ：入盯( 4 ) 或一天盯( a ) ) 盯( 日) = a c ：a 盯( a ) 或一天仃( a ) ) = 争西( a ) s 盯( 日) - 注3 1 2 由定理3 1 3 知：如果( a ) 不含关于虚轴对称的点，则听( a ) 仃( 日) 因此有如下结论： 推觚粥设日为e 刺筋维+ h 舢碟子，肚a 硝b i d ( 耻 d ( a ) d ( 一a + ) ，如果c r r ( a ) 不含关于虚轴对称的点，则 盯( 日) = 入c ：入盯( a ) 或一天仃( a ) ) 3 2 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 年 推论3 1 4 设日为上三角型无穷维h a m i l t o n 算：- f i , h = a b ，。c 日，= d ( a ) d ( 一a + ) ，如果( a ) c 盯( 日) ；那么 ( i ) o ( h ) = d 铸盯( a ) = d ， ( i i ) p ( h ) = 入c ：a p ( a ) 且一a j d ( a ) ) 推论3 1 5 设日为上三角型无穷维h a m i l t o n 算：- f i , h - - 言三。 ，。c 日，= d ( a ) d ( 一a + ) ，如果o r ( a ) 盯( 日) ；那么p ( h ) 为空集当且仅当p ( a ) 不含关于虚轴 推论3 1 6 设日为上三角型无穷维h a m i l t o n 算子，h = d ( a ) d ( 一a + ) ，如果听( a ) 盯( 日) ，且盯( a ) 关于虚轴对称， o ( h ) = 盯( a ) ab ，。( 日) ： 10 一a + i l j 则 定理3 1 6 设日为上三角型无穷维h a m i t 。n 算子，日= a 。一b ，。c 日，= d ( a ) d ( 一a + ) ，如果c r r ( a ) 盯( 日) ；那么h 有有界逆当且仅当a 有有界逆 证明日有有界逆当且仅当0 p ( 日) ，由推论3 1 4 的( i i ) 知 所以h 有有界逆当且仅当a 有有界逆 i 下面的例子说明了定理3 1 5 是无穷维h a m i l t o n 算子的特性，并且验证了结论的 有效性 例3 1 1x = l 2 【0 ，+ ) ，a = 爱，a x = 害 d ( a ) ：缸x ：z ( 亡) 局部绝对连续，z ( o ) = o ，面d x x ) 可证得a 不是反自伴算子；令 = a 。三 。c ，= 。c a ，。c a ， 2 0 0 9 年 第三章对角定义的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其应用 3 3 经计算得 听( a ) = 入cir e a o ) ， 盯( a ) = 入cr e a 0 ) 盯( ) = 入cr e a o ) 盯( ) a cla 盯( a ) 或一天盯( 4 ) ) = c 显然是对角算子矩阵，但不是无穷维h a m i l t o n 算子，所以虽然听( a ) 盯( ) ，也 没有定理3 1 5 的结论从而说明定理3 1 5 是无穷维h a m i l t o n 算子的特性 例3 1 2 对任意z = ( x l ，x 2 ，x 3 ，) f 2 ，定义 a x = ( x l + 2 x 2 ，x l ，x 2 ，z n 一1 ，) 显然a ：j 2 一1 2 是线性算子，且 a + z = ( x l + x 2 ，2 x l + x 3 ，z 4 ，x n + l ，) 则 日= a 。二。 。c 日，= 。c a ，。c a ， 是无穷维h a m i l t o n 算子，经计算得0 西( a ) ，而0 p ( 日) ，0 不是h 的谱；即 a t ( a ) g 盯( 日) ，而且盯( 日) 入c ：入盯( a ) 或一页盯( 4 ) 例3 1 3 设 x = l 2 ( 0 ，+ o 。) ，a ：d ( a ) x x 是稠定闭算子，对z d ( a ) ，a x = z 7 ，其中 令 d ( a ) = z x ：说对连续，z ( o ) = o ，z x ) ， 日= a 。二。 d ( h ) - - d ( a ) x d ( - a ) 内蒙古大学博士学位论文 2 0 0 9 矩 是无穷维h a m i l t o n 算子，经计算得 听( a ) = 入c ：r e a o ) ， 仃( a ) = 入c ：r e 入o ) ， p ( a ) = 【入c ：r e 入 o ) 则a r ( a ) 不含关于虚轴对称的点，由推论3 1 3 得 盯( 日) = c ； 又a 不可逆，由定理3 1 6 得h 不可逆；再由推论3 1 4 知：p ( h ) = d 经计算验证盯( 日) = c ，h 不可逆，p ( h ) = d 3 2一类上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱刻画及其在板弯曲方程 中的应用 板弯曲方程能化成无穷维h a m i l t o n 系统，其对应的是定义域为对角形的上三角 型无穷维h a m i l t o n 算子 1 1 1 ，在简支端的边界条件下，它的第一个对角元是无穷维 h a m i l t o n 算子 这节对满足上述条件的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱进行刻画，并应用到 简支端的边界条件下的板弯曲方程中 定理3 2 1 设日为上三角型无穷维h a m t t 。n 算子，日= a 。一b 岔 ，。c 日，= d ( a ) xd ( 一a + ) ，如果a 是无穷维h a m i l t o n 算子，则仃( 日) = 盯( a ) 证明因为a 是无穷维h a m i l t o n 算子，由推论2 3 3 知，听( a ) 不含关于虚轴 对称的点，由定理3 1 3 知 0 r r ( 4 ) 盯( 日) ； 再由定理3 1 5 知 o ( h ) = 入c ：入盯( 4 ) 或一页盯( 4 ) ) ， 由推论2 3 1 知盯( a ) 关于虚轴对称，所以 盯( 日) = 盯( a ) 2 0