（机械设计及理论专业论文）平面超冗余机器人机构的运动规划研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 超冗余度机器人是指机器人含有的自由度数远远多于完成某一作业任务 所需的最少自由度数的一类机器人。它具有广泛的应用前景，越来越受到研究 人员的重视。 本文研究了基于脊线模式的平面超冗余度机器人的运动学规划。其主要研 究内容如下： 从所建立的脊线模式的运动学模型入手，研究了机器人的实际工作空间与 其脊线初始位形参数之间的关系，并提出了一种可以保证逆运动学求解有效性 的初始位形参数选取方法。 提出了利用脊线初始位形参数选取的避障路径规划方法，并将该方法成功 地应用于一个平面1 0 杆、3 0 杆机构的单障碍物、两障碍物的躲避中。 在分别分析了利用初始位形参数和分段函数进行避障规划的局限性的前 提下，对这两种方法的结合进行了探索。通过一个平面3 0 杆机构的避障路径 规划实例研究初步说明了基于这两种方法的混合避障法在多障碍物躲避规划 中的可行性。 研究了分段函数在冗余度机器人包裹操作运动规划中的运用。提出了一种 新的包裹运动规划方法变曲率法，这种方法的优点是可以对不规则物体进 行有效包裹抓取。 借助m a t l a b 软件对上述运动学的规划方法进行了仿真研究。 关键词：超冗余度机器人；运动规划；避障：包裹运动 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s t r a c t a h y p e r - r e d u n d a n tr o b o ti ss u c hr o b o tw i t l ld e g r e e so ff r e e d o mf a rm o r et h a n i t sm i n i m u mn u m b e ro fd e g r e e so ff r e e d o mr e q u i r e dt oc o m p l e t eat a s k i th a sa w i d er a n g eo fp o t e n t i a la p p l i c a t i o n s ，a n dh a sd r a w na t t e n t i o no fm o r ea n dm o r e r e s e a r c h e r s i nt h i st h e s i sk i n e m a t i c a lp l a n n i n go fp l a n a rh y p e r - r e d u n d a n tm a n i p u l a t o r b a s e do nb a c k b o n ec u r v ei ss t u d i e d , a n dt h em a i n p o i n t sa r e a sf o l l o w w i t ht h ek i n e m a t i c e q u a t i o no fh y p e r - r e d u n d a n tm a n i p u l a t o rb a s e do n b a c k b o n ec u r v em o d a l ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na c t u a lw o r k s p a c co fa m a n i p u l a t o r a n di t si n i t i a lp a r a m e t e ri si n v e s t i g a t e d a n dam e t h o df o rc h o o s i n gt h ei n i t i a l p a r a m e t e ri sp r e s e n t e dt oe r s n r et h es o l v a b i l i t yo fi n v e r s ek i n e m a t i c s a no b s t a c l ea v o i d a n c em e t h o du t i l i z i n gi n i t i a lp a r a m e t e ri sp r o p o s e da n di s a p p l i e ds u c c e s s f u l l yt ot h ep a t hp l a n n i n go fap l a n a rh y p e r - r e d u n d a n tm a n i p u l a t o r w i t h1 0o r3 0l i n k st oa v o i do n ea n dt w oo b s t a c l e sr e s p e c t i v e l y t h ec o m b i n a t i o no ft h em e t h o d sb a s e do ni n i t i a lp a r a m e t e ra n ds u b s e c t i o n f u n c t i o ni ss t u d i e dt oo v e r c o m et h e i rs h o r t c o m i n g s a ne x a m p l eo fap l a n a r m a n i p u l a t o rw i t h3 0l i n k si sg i v e nt od e m o n s t r a t et h ef e 觞i b n i t yo ft h ec o m b i n e d m e t h o di nt h ep a t h p l a n n i n go fm u l t i p l e - o b s t a c l e a v o i d a n c e s u b s e c t i o nf u n c t i o ni s a p p l i e d t ot h e w r a p p i n gp l a n n i n g o fp l a n a r h y p e r - r e d u n d a n tm a n i p u l a t o r an e wa p p r o a c hb a s e do nv a r i a b l ec u r v a t u r ef o r w r a p p i n gp l a n n i n gi sd e v e l o p e d t h ea p p r o a c hs h o wi t sa d v a n t a g ei nw r a p p i n ga b o d yw i t hc o a r s eo rn o n - c i r c u l a rs u r f a c e t h es i m u l a t i o n so ft h ea b o v em e n t i o n e dk i n e m a t i cp l a n n i n ga r ec o d e di n m a t l a b k e y w o r d s ：h y p e r - r e d u n d a n tm a n i p u l a t o r ；k i n e m a t i cp l a n n i n g ；o b s t a c l ea v o i d a n c e ； w r a p p i n g 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 选题的意义 第1 章绪论 机器人智能的实现在相当程度上取决于其执行机构( 操作机) 的结构特 性。 传统的机械臂是由小数量的刚性连杆通过一个自由度的关节按一定的次 序连接在一起组成的，它类似于人手的简化型结构，一般被称为分离操作器 ( d i s c r e t em a n i p u l a t o r s ) 【1 1 ，如图1 - 1 所示。这样的机构主要适用于有简单障 图1 - 1 传统的分离操作器 碍物的环境和依靠末端执行器对物体进行操作的情况。其局限性在于：智能 性很低，在复杂环境中或者并不能由末端执行器对物体进行操作的情况下， 操作臂会由于自由度较少而无法满足任务要求。 冗余度机器人的多余自由度可以用来改善它的运动学和动力学特性，在 完成特定任务的同时，达到回避奇异、避免障碍、增加灵活性、减小由于杆 件和关节的柔性引起的振动以及最小化关节力矩等目的，因而冗余度机器人 常被用作智能机器人的操作机。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 超冗余度机器人是一类具有更多或无穷多自由度的串联型机构。这类机 器人在形态和动作上类似于生物界中的象鼻、天鹅颈或蛇等多节爬行动物。 超冗余度机器人的串联式多节多自由度结构使得其具有极好的对环境的适应 性和相容性，可以在高度受限的工作空间中工作，例如，进行核反应堆蒸汽 发生器的维护：可以不通过末端执行器来实现对作业对象的操作，例如，象 触手一样缠绕，去捕捉自由飘浮的小卫星；也可以在地理环境十分复杂的地 方完成诸如探测等任务。可以预计，超冗余度机器人将在宇宙探测、军事侦 察和抢险救灾等非结构、未知复杂环境中发挥着极其重要的作用，而这些都 是非冗余度和低冗余度机器人所不具备的。因此，基于超冗余度机构的仿生 机器人逐渐引起国际先进机器人尤其是特种机器人研究领域的重视。如上世 纪9 0 年代美国将其列入n i a c ( n a s a i n s t i t u t ef o r a d v a n c e dc o n c e p t s ) 计划。 研究超冗余度机器人的运动学、动力学、驱动和控制等关键技术问题对 于该类机器人的实际应用具有深远的意义。目前，国内外有关这方面的研究 才刚刚起步，尚无成熟的理论和方法，所以本学位论文对其中的一个重点和 难点运动规划问题的研究是很有必要和价值的。 本学位论文的研究受到了四川省应用基础研究项目( 0 2 g y 0 2 9 - 一3 5 ) 的资助。 1 2 国内外研究现状 超冗余度机器人以其本身几何结构所具有的高度灵活性，受到了越来越 多的关注，得到迅速发展，已成为机器人技术的一个重要发展方向。下面对 超冗余度机器人的研究现状作一概述。 1 2 1 超冗余机器人的结构设计 超冗余度机器人结构形式常用的是蛇形机器人，如图1 2 所示。它仿照 蛇的结构特点和运动机理，由多个相同的模块构成，各节有独立的驱动系统， 采用统一的车厢式结构和活动坐标式运动方式，依靠躯体和地面间的相互作 用实现驱动，并且有多种运动形式，前进的动力和机构的运动形式有密切的 关系。它可以仿生自然界中蛇的多种步伐，包括蜿蜒运动、收缩运动、行波 运动，直线运动等平面运动形式以及侧向蜿蜒、推进、跳跃、攀爬、翻滚、 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 挖掘等复杂的空间运动形式。而蛇形机器人要实现空问运动，其关节至少应 具有两个自由度，通常采用特制的关节结构，例如，万向节式、连杆式、多 脊骨连接式、轴线斜交球铰等，但是它们的缺点在于制造复杂，控制困难。 c h i r i k j i a n 和b u r d i c k t 2 3 l 首先从超冗余度机构角度开始对蛇形机器人的机构和 运动理论进行一些研究，并提出用变几何桁架结构作为蛇的基本模块形式。 k a r l l p a a p 研制了g m d s n a k e l 4 ，其优点在于运动在各个方向灵活，缺点是 抬起时由于重力作用，关节将产生失控的扭动作用。另外文献1 5 卅也对超冗 余机器人结构进行了研究，在此就不一一叙述。 图1 - 2 蛇形机器人 如图1 3 所示为一象鼻式机器人，它属于连续型。这种机械手与蛇形大 不相同，它没有刚性连杆和关节，它的机械臂可以像象鼻子或者无脊椎动物 的触角一样连续弯曲来达到避开障碍物或者抓取物体的目的，如a n d e r s o n 和 h o r n 1 0 蝇出的一种口q 做t e n s o ra r n lm a n i p u l a t o r 的机器人，这个机器人是由1 4 个2 自由度关节连接的1 5 根连杆组成，它的每个关节由4 个单腱驱动，这样 1 4 个关节总共具有5 6 爪肌腱”，并且还有其它3 个腱用来驱动抓爪。i m m e g a 和a n t o n e l l i | l l j 研究出一种k s i 触手操作器，如图1 - 4 所示。k s i 触手由一些可 膨胀的类似于风箱一样的杆件组成而不是固定的杆件链接，这样它在结构上 就具有了可伸缩性，操作臂可以分为2 个部分，每个部分由3 根电缆驱动。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 图1 3 象鼻式机器人 图1 4 k s i 机械手示意图 1 2 2 超冗余机器人的运动学 由于超冗余机器入具有大量的自由度，这使得传统的机构运动学解法计 算量很大，甚至出现无法求解的情况。迄今，对于超冗余度机器人运动学的 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 大部分研究都是基于脊线。1 9 9 4 年，c h i r i k j i a n 【u 憎次用一种能代表超冗余度 机器人宏观几何特征的“脊线”( b a c k b o n ec u r v e ) 的形态方法( m o d a la p p r o a c h ) 对一个平面超冗余度机器入的运动学进行了研究，较好地解决了超冗余机器 人求逆解的问题。s u m lk u m a ra g r a w a l 1 3 】则将脊线设定为一个圆弧，杆件则 相当于这个圆弧的内接弦，在已知末端坐标时，根据圆弧内接弦的性质来求 出其他点的坐标。马书根【1 4 1 5 】提出从初始位姿参数的角度入手的计算逆解的 方法，即在整个工作空间里面搜索合适的协同参数和合适的初始位姿参数。 但这种求解法在末端运动路径相对长的情况下来说计算量相当巨大。l i s h e n g 在文献【1 6 】中提出几何方法，即n 杆操作臂的初始位姿由传统的正运动学方法 来得到，当末端点的目标位置变化时，以目标位置为圆心，末端杆长为半径 作一圆c i ，将新的目标位置与初始的第加1 关节点连接起来，得到一个交点， 将这个交点定义为打- 1 关节点的期望位置点只1 ，然后判断这一坐标点是否在 以第一杆到h 1 杆杆长总合为半径的工作空间内，如果不能达到要求，则以第 一杆到加1 杆杆长总合为半径，以固定点为圆心做圆，可以得到这个圆与圆c 。 的两个交点，选取离只1 距离较近的点作为n 1 关节点的实际坐标点，依次循 环，直到操作臂的所有关节点都得到为止，但是这种解法是以一个已知的末 端点逆向搜索出合适的关节坐标，在没有搜索出合适的点之前机械臂的宏观 构型并不确定。 超冗余度机器人运动学研究的一个重要方面是路径规划。目前，机器入 的路径规划主要研究方法有：路标法、单元分解法、人工势场法和运用分段 函数法。已有的研究表明1 2 8 j ：机器人路径规划完整算法的复杂度与机器人的 自由度数成指数关系，与机器人和环境的几何复杂度成多项式关系，这就造 成了超冗余度机器人运动学规划求解的困难。为了解决超冗余度机器人路径 规划问题，k a v r a k i 等【l - 1 1 提出了随机路标法，该方法通过在工作区域内搜索出 一些合适的能够避开障碍物的关节坐标点来实现避障的目的，但是由于这种 搜索方法与机构的关节数有关，随着机构的冗余度增加，计算量也在增加。 e f a h i m i 和h a s h 翻盘u o n l l s j 用传统的势场力避障规划方法就一个2 2 杆空间超 冗余机构的避障问题进行了研究。在这种算法中，工作区域被认为均处于一 势场力的影响，目标看成是吸引域，障碍物看成为排斥域，以此来使得操作 臂在远离排斥域的障碍物同时又能由于目标的吸引力而向目标点靠近，但是 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 这种方法也有它的缺陷：如，存在陷阱区域、障碍物前震荡等；c h i r i k j i a n 1 9 】 运用分段函数方法来进行避障路径规划，即将脊线看成是穿过一些管道的曲 线，只要规划这些管道的方程，就能达到避开障碍物的目的，但是这种方法 对工作空间中的障碍物分布要求较高。马书根1 1 4 t 冽提出了避障路径规划的参 数搜索法，这种方法主要是在数域范围内搜索合适的初始位形参数和协同参 数来达到避障的目的。如前述，该方法是在整个协同参数和初始位形参数的 数域上搜索合适的点，对于避障路径较长的情况计算量相当大。 综上所述，在超冗余度机器人逆运动学的求解方法和路径规划方法方面 的研究已经取得了一些成果。但是这些方法的弊端也是明显的：计算量普遍 较大，未考虑逆解的可求域问题等。对此，应深入研究解决的途径和方法。 1 3 论文的研究方法和内容 本文以平面超冗余刚性连杆机构为对象，研究超冗余机器人的运动学问 题，着重研究超冗余度机器人的避障路径规划和包裹操作运动规划问题。主 要研究内容如下： 第二章：在介绍微分几何学基本知识的基础上，研究平面脊线的数学表 达及其正运动学和逆运动学的建模以及求解、脊线与原超冗余机构拟合的方 法。 第三章：通过研究脊线初始位形与其工作空间的关系，寻找使运动学逆 解有意义的脊线初始位形可行域以及规划方法。并进行脊线初始位形参数规 划方法在机构两位姿间最小关节运动幅度确定中的应用研究。 第四章：对超冗余度机器人的新的路径规划方法进行研究。在比较初始 位形参数法和分段函数避障规划法的优缺点的前提下，将这两种方法结合起 来探索一种新的避障方法一混合避障法，并通过一个平面3 0 秆超冗余度机 器人避障规划实例来证明该方法的可行性。 第五章：研究超冗余度机器人基于分段函数的包裹操作运动规划新方法， 并进行实例验证。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章基于脊线的平面超冗余度机器人机构的运 动学 2 1 引言 运动规划是超冗余度机器人机构学研究中的一个重点和难点，主要存在 着规划算法的有效性问题。由于大量自由度的存在，该类机构的运动学计算 变得十分复杂。冗余度分解，即逆运动学求解，是运动规划的必要环节，而 已有的研究表明1 1 2 1 ：在低冗余度机器人的冗余度分解中行之有效的基于雅可 比伪逆矩阵的方法在对具有大量自由度的超冗余机构求逆解时遇到了计算量 非常巨大甚至无法求解的状况，因此，这种方法只适用于求解自由度数较小 的机构而不适用于超冗余度机构。而c h i r i k j i a n 和b u r d i c k 1 2 】提出的基于脊线 ( b a c k b o n e c u r v e ) 的模式分析方法( m o d a la p p r o a c h ) 能够较好的解决这个问 题。 本章将把基于脊线的模式分析方法应用于平面超冗余度机构的运动学方 程的建立与求解。 2 2 基于微分几何学的平面曲线的数学表述 这里所要应用到的脊线模式法是建立在微分几何学的基础之上的。在此， 对微分几何学作一个简单的介绍。由于本文研究的是平面超冗余机构，因此 仅从平面曲线的角度来介绍微分几何学的基础知识。 对于任意一条平面曲线，其位置的向量方程可表示为自然参数5 ( 一般取 为弧长) 的映射，即： r r ( s 、 众所周知，一条平面曲线的形状完全取决于它的曲率函数 k 一七o ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中，曲率t 值的正负用来表示曲线的弯曲方向。 图2 - 1 所示为一平面曲线的示意图，图中“为曲线在位置向量为r ( s ) 的切 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 向量；，为曲线在该点的法向量。i 为与z 轴方向相同的方向向量。如果 ，- 工0 ) ，y o ) 是由弧长参数s 表示的平面曲线，则： “一塞一) 斟( 2 - 3 ) ，j j ，r ，工 图2 - 1 平面曲线示意图 从i 转向“的有向角记为a ( o s a t 缸) ，它是s 的函数，称为切向量“的 旋转角。则式( 2 2 ) 可表示为： 七。掣( 2 - 4 ) 因为“是单位向量，所以它的分量可以表示成： 工艘堋沁( 2 - 5 ) 1 ) ，o ) 。s i n a 式( 2 一1 ) 和式( 2 2 ) 可通过下面的基本定理建立更加密切的关系。 基本定理若在区间【o ，z 】上存在任意一个连续函数七o ) 以及初始点r o 和初始 倾斜角a 。( o s t 加) ，则唯一存在一条正则平面曲线 c ：r r ( s ) 一 x ( j ) ，) ，o ) ) ( o s s f ) ( 2 6 ) 使它的弧长为j ，曲率为七o ) ，而且满足初始条件r ( o ) 一r o 和切向量砧( o ) 的旋 转角“( o ) 一口o 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 现假定有一条曲线c ，初始旋转角为c r 0 ，其曲率方程如式( 2 - 4 ) 所不， 其与参数a ，s 的关系如式( 2 - 5 ) 所示。将式( 2 - 4 ) 两边对s 进行一次积分， 得到曲线的旋转角为： 口o ) 。1 ：胁+ ( 2 - 7 ) 将上式代入式( 2 - 5 ) 再对s 积分一次，并设曲线的初始位置为： r o - x o ，y o ) ( 2 8 ) 便得到曲线方程为： j x o ) - f o 0 0 s 郇+ ( 2 _ 9 ) l y o ) - i ：s i n 口。冲+ y o 上式就是平面曲线c 的唯一表示。 2 3 基于脊线的平面超冗余度机器人机构的运动学建模方法 脊线模式法 脊线模式法的基本思想是：利用脊线来表征一个超冗余度机构的几何特 征，将原机构的运动学问题转化为脊线的运动学问题。在求得脊线的运动学 问题后，垣过脊线与原机构适当的拟合最终求出原机构的运动学解。 2 3 1 脊线 脊线是一条从原点出发的能概括超冗余机构宏观几何特征的曲线，其与 机器人机构的关系如图2 2 所示。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 二。汐_ 潜娟) ，) 憎 j 图2 - 2 脊线与机构关系 工。，- p 。，y 。，r 。忱j ：oc。虹osaa。(dtym)d仃t7】 c 2 d 。， 式中，x o ) 为脊线上对应于弧长为s 的点的x 坐标；y o ) 为脊线上对应于弧长 为s 的点的y 坐标：口p ) 为表示弧长为s 处的旋转角。 2 3 。2 脊线的运动学 脊线运动学主要是研究脊线参数与其末端位置参数之间的关系。假设 七o ) 代表平面上脊线的曲率，要达到一个确定的末端点可以有无穷多种七( s ) 表达式的取法，这里采用文献 1 2 中的方法，即： 生 七o ) t ：略o ) ( 2 1 1 ) 筒 式中，纯o ) 为模式子方程；为协同参数： 悔为模式子方程总个数。 一般来讲，模式子方程的总个数胁。必须大于或等于目标任务的维数：平 面运动的 k 必须大于等于2 ；空间运动的胁，必须大于等于3 。理论上讲，模 式子方程的总个数要远远小于超冗余机构自由度数目 1 2 1 。用向量万表示协同 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 艇乏专 2 ， 寺s 缸孚s - 了2 石 。0 叮2 r t 咖- 知v 叩i n ( 孚s ) ( 2 - 1 3 ) 翟蒜m a 2 一c o 渤协 一c r o + 口l s l n s ) + 【l s ( s ” z o ) 一f o c o s ( s ) ) 出 i c o s 。z + 口。玑( 孑了虿) 2 ( 2 - 1 5 ) y q ) 2 j ：8 i n ( a ( s ) ) d s - s i n ( n ：+ a 。v 。( 再可) ， 在式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 中，a 0 为脊线起始点切线与x 轴夹角，即脊线 的初始位形参数；几为零阶贝赛尔函数【2 0 1 ：j o 表示式为 一抛) = 薹卜1 ) t 1 v 。 ( 2 - 1 6 ) 式中，v 为一个常数，f 代表贝塞尔函数中的数列中展开式中的元素数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 式( 2 - 1 1 ) 到式( 2 1 5 ) 构成了脊线的运动学方程。脊线正运动学可以描 述为：己知协同参数口，、吧、模式子方程略o ) 以及初始位姿参数口。，确定末 端位置的坐标。 现以两个具体例子来说明脊线正运动学过程。两曲线的具体参数如表2 - 1 所示，模式子方程丸o ) 按式( 2 - 1 2 ) 来选取。做出正运动学位姿图如图2 3 所示。 表2 - 1 曲线0 ) 、p ) 的协同参数和初始位姿参数值 4 i a 2a o 曲线0 ) 1 3 4 1 60 9 5 0 50 8 4 1 5 曲线0 ) 1 1 0 7 5- 0 4 6 3 61 2 图2 - 3 脊线正运动学位姿图 脊线的逆运动学则是在已知末端位置坐标的情况下确定出脊线的参数， 使其能达到末端位置的要求。 假设、末端位置坐标 ( f ) ，y ( f ) ) 已知，则由式( 2 1 5 ) 解得： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 f 口2 4 t a n 2 ( y ( o ，算( f ) ) - - a o， o ( i j o l ( 厕鬲万f 汗一。扩 协1 7 式中，。4 为零阶贝赛尔函数逆解【1 4 1 。 口，的正负号对应于同一脊线末端坐标的两个不回位姿( 本文中如无特殊说 明均取正) 。由此，当已知末端执行器坐标o ( f ) ，y o ) ) 及初始位形参数口。时就 可以根据式( 2 1 7 ) 求出协同参数，再将所求出的协同参数代入式( 2 1 4 ) 和 式( 2 1 0 ) 即可确定出脊线上各点的坐标，亦即脊线的位形。 现假设末端坐标分别为( - o 5 ，0 4 ) 、和( o 6 , 0 2 ) ，初始位形参数分别为 a o 一2 4 6 6 9 和a o 0 3 2 1 8 ，做出对应脊线的逆运动学的求解结果如图2 4 所 示。 圈2 4 脊线逆运动学求解示例图 2 。3 3 脊线与其原机构的拟合 在求出了脊线上各点的坐标后，必须进行脊线与其原机构的拟合，使得 机构的各关节点与脊线上各对应点尽可能接近。 假设机构的各杼件长度相等，其总长度为z ，与脊线上弧长为最的点 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 ( 工“) ，) ，( 墨) ) 所对应的关节点( 4 而，。咒) 坐标方程为 寺毫 熹套 式中，g ，为机构的第，个关节的关节角；n 为机构杆件数。与脊线拟合的关节 角可以用下式表示为 吼- a ( 兰- ) - q s j n ( 马+ a 2 ( 1 一c 0 “勺) + a o ( 2 - 1 9 ) 吼一口锥山争刍一娟一1 一i 1 ) 爿l 。q 【s i n ( 曼( 2 f 1 ) ) 一s i n ( r ( 2 f 一3 ) 口】 ( 2 2 0 ) 一辟2 【加s ( 至( 2 f 一1 ) ) 一c o s ( 石- ( 2 f 一3 ) ) 】 式中，i - 2 , 3 ， ，每根杆的长度为二。 已有的研究表明，运用上式计算机构关节点，末端坐标的误差小于1 0 。【1 5 l 。 下面是平面1 0 杆机构运用式( 2 2 0 ) 计算的关节点，机构末端坐标在 ( o 5 ，0 6 ) ，a 。- 0 9 6 ，a ：- 0 ，c r 0 一o 8 7 6 1 ，具体数据如表2 - 2 所示a 表2 - 2 与脊线拟合1 0 杆平面机构关节点坐标 z123456789 1 0 4 t 0 0 3 80 0 3 0o 0 0 3 6_ o 0 ( h 80 0 3 3 80 1 1 7o 2 20 3 1 60 4 1 6o 5 4 y i o 0 9 20 1 9 20 2 8 8o 3 8 80 4 8 00 5 3 5o 5 4 40 5 3 60 5 4 5o 6 2 4 本章小结 本章从微分几何学入手，介绍了脊线的定义；研究了平面脊线的数学表 达、正运动学和逆运动学的建模和求解以及脊线与原超冗余机构的拟合方法， 为后续章节中对超冗余机器人机构的运动学规划研究提供了理论基础和实现 方法。 幻dq )、， 毋 吼 。v角，v箭 删 啾 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 第3 章基于脊线表达的平面超冗余机器人机构的 初始位形参数规划 3 。1 引言 工作空间是在设计一个机器人时必须考虑的问题，而机器人的位形参数 是影响工作空问的重要因素之一。作者在求解基于脊线表达的平面超冗余机 构的运动学逆解时发现：在脊线初始位形参数确定的前提下，对理论工作空 间中的某些点求逆解有时可能出现协同参数甄，口：为复数的现象，这意味着机 构末端无法达至4 在理论上可以达到的末端坐标点，由此说明机构存在着一个 实际的工作空间。 本章将研究基于脊线表达的平面超冗余机构的初始位形参数与其实际工 作空间的关系，旨在寻找初始位形参数的可行域以充分发挥该类机构的高度 灵活性。 3 2 理论工作空间与实际工作空间 在此假设所要研究的平面超冗余机构的各关节运动范围为3 6 0 度，于是 机构的理论工作空间为其末端所能达到的以机架基点为圆心，以机械臂总长 为半径的圆形区域。 面实际工作空间为：在给定初始位形参数的前提下，排除理论工作空间 中根据末端坐标求运动学逆解时使所得出的协同参数吼，口，为复数的点而得到 的区域。 图3 - 1 所示为杆长为0 1 的平面1 0 杆机构其脊线始位形参数不同时理论 工作空问和实际工作空间示意图。从中看出，实际工作空间包含于理论工作 空间中，初始位形参数影响实际工作空间所占据的具体位置。 下面研究使脊线( 机构) 逆运动学求解有效的脊线初始位形参数选取方 法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 ( 口) 一石2 时工作3 e n d , 意图 ( 6 ) c r 0 一石4 时工作空间示意图 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 ( c ) a o - 0 时工作空间示意图 ( d ) c r 0 一订4 时工作空间示意图 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 ( e ) c r 0 一呵2 时工作空问示意图 图3 - 1 实际工作空间相对于不同初始位形参数的分布示意图 3 3 脊线初始位形参数的选取方法 大量的数值模拟结果显示：在不同杆件参数和不同初始位形参数下的平 面超冗余机构的实际工作空间随其初始位形参数的变化情况均与图3 1 相同。 即，在实际工作空间中存在一个近似对称轴，该轴与x 轴成口。夹角；当a 。变 化时，该工作空间的实际位置随之变化。 还发现：当初始位形参数a 。为某一定值时，理论工作空间中的末端点可 能未落在相应的实际工作空间中。图3 2 为c r na 1 0 5 1 7 时的理论工作空间和 实际工作空间图。不难看出，a n 段处于1 0 5 1 7 的实际工作空间中，其逆 解可求；b c 段处于该实际工作空间之外，其逆解不可求。因此，如何选取 一个适当的初始位形参数a 。使末端点能够落入实际工作空间中变得尤为重 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 要。 图3 - 2 理论工作空闯和a o - 1 0 5 1 7 时的实际工作空间 此外，还可以观察到：在末端位置不变的前提下，口0 在一定范围内变化 总可以傈证末端位置可解，且脊线的位姿也相应地变化。如图3 - 3 所示，末 端 图3 - 3 逆解可求时的a o 的可行域 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 的位置为( o 4 , 0 7 ) ，a o 0 2 ，2 o 】时，逆解可求。这就意味着理论空间中的 任何末端点瓴，凡) 一定落在对应于适当的c r o 的实际工作空间中。为了确保满 足工作需要的点落入实际工作空间中，可以取对应于该实际工作空间的脊线 初始位形参数口。为： c r ol l l l a r c t a n o , t ) + 卢 ( 3 1 ) 式中，t 为末端点的x 坐标：儿为末端点的y 坐标当脊线末端点处于第一、 四象限时，卢- 0 ；当脊线末端点位于第二象限时，芦刀；当脊线末端点位 于第三象限时，口- 疗。 图3 - 4 所示的是末端点位置分别在( o 3 ，0 4 ) ，( o 3 ，_ 0 4 ) ，( - o 3 ，0 4 ) ， ( - o 3 ，- 0 4 ) 的脊线位姿示意图。不难看出，按式( 3 1 ) 选取，能确保脊线 逆解的有效性。 图3 4 末端位置不同时的脊线位姿图 按式( 3 1 ) 选取初始位形参数的主要优点有： 1 、该方法是保证理论工作空间中的任何点都可以求逆解的最稳妥的解 法，因而运用这种方法可以不用判断逆解的可解性而直接求出脊线的位姿。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 2 、使逆运动学求解的计算量大为减小。 由式( 2 1 0 ) 可知脊线的运动学方程为： j x q ) i j ：c o s p ) ) d 盯( 3 2 ) i y o ) - j ：s i n p ) ) d 盯 将式( 2 - 1 4 ) 代入式( 3 - 2 ) ，并展开得： x o ) - c o s ( t o f o o c o s ( a l s i n 2 崩o 1 ) c o s ( a z ) c o s ( a 2 c o s 9 a t ) + s i n ( a 2 ) s 巡4 2 c o s 2 m ，1 1 ) - s i n ( a l 血细，f ) 陋q 2 ) c o 如2 c o s 2 a o 0 一嘶2 ) s i n ( a 2c o s 2 m o o a 盯 一s i n 吨s i n ( a 1 s i n2 , a 1 ) c o s ( a 2 ) c o s ( a 2c o s 2 石a 1 ) + s i n ( a 2 ) s i n ( a 2 c o s 2 面o 1 ) 】 + c o s 魄s i n 么盯f ) 【s i n q 2 ) c o s 0 2 c o s 2 蜀a 1 ) - c o s ( a o s i n ( a 2 s 2 脚z 灌o r ( 3 - 3 ) y o ) - c 0 8 “5 i n 瓴s i n 知灯z ) 【c o s q 2 ) c o s 0 2 c o s 2 o 1 ) + s i n ( a 2 ) s i n ( a 2 c o s 2 n z r 1 ) + e o s ( a t s i n 2 a c r 1 ) s i n ( a 2 ) c o s ( a 2 c o s 2 j r c r 1 ) c o s ( # 2 ) s i n ( a 2 c o s 2 r r 玎1 ) d 0 + s i n a o f f 。c o s ( a x s i n 2 v r o ) c o s 2 ) c o s ( 口2 c o s 勘灯，) + s m ( a 2 ) s i n ( a 2 c o s 2 n r o 1 ) 】 一s i i l l s i n 2 v r o 1 ) s i n ( a 2 ) c o s 0 2 c o s 2 矗c r 1 ) - c o s 0 2 ) s i n 0 2c o s 2 r o 1 ) d 盯 ( 3 4 ) 式中，s 【o ，1 】；z 为脊线总长。 式( 3 3 ) 、( 3 4 ) 中复杂三角函数的展开式为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 c o s ( a 。s i n 2 r r a 1 ) 一凡o ，) + 2 ，o 。) c o s ( 2 + f 口。知a 1 1 ) c o s ( a ：c o s 2 a r a 1 ) 一厶o ：) + 2 ( 一1 y 屯o ：) c o s ( 2 个口：+ 2 商a 1 1 ) s i n ( a t s i n 细f ) - 2 荟屯n 瓴) s 砥笤+ 1 ) 口t 细) s i n ( a 2 c o s 2 舸，z ) 一2 薹( 一砂j 0 2 ) c o s “2 | f + 1 ) + 口z + 2 加z ) ( 3 - 5 ) 式中，l 第互阶贝塞尔函别加1 ，其表达式为 如( v ) - 砉( 一赢“。 ( 3 6 ) 而协同参数为： j 4 2 t a n 2 ( y _ q ) , x ( o ) - a , ( 3 - 7 ) i4 。- ( 【巧1 ( ( f ) 2 + ) ，( f ) 2 1 ) 1 2 一口；) i ，2 当初始位形参数c r 0 由式( 3 1 ) 确定时，可使得式( 3 - 6 ) 中的口：为0 ，因 此，式( 3 - 3 ) ，( 3 - 4 ) 可以简化为： 工q ) _ c 0 8 a 。0 s o x s i n 加7 j ) ( 3 - 8 ) 一s i n 吨s i n l s i n 2 a 1 ) d a y o ) c o s a o j ：。s 血。s i n 加7 明仃 ( 3 9 ) + s i n a o f oc o s ( 1s i n2 j r u 1 ) ：( 7 比较式( 3 8 ) 、式( 3 - 9 ) 和式( 3 3 ) 、式( 3 - 4 ) 可以看出，解式( 3 - 8 ) 和式( 3 9 ) 所需的计算量得到了很大的减小，因而大大节省了计算时间。 3 4 基于初始位形参数规划的最小关节运动幅度 在机器人的运动学规划中，两个位姿间的关节相对运动幅度也是一个需 要考虑的因素，因为关节运动幅度的大小关系到运动能量消耗的多少。 既然机构末端位置不变时，随着初始位形参数变化脊线的整个位姿也跟 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 着变化，所以可以利用这一点来规划机构两个位姿闻的最小关节运动。 在此提出基于初始位形参数规划的最小关节运动幅度的规划方法如下。 s t e p l 由式( 3 - 1 ) 确定末端点位置为瓴，y 。) 时的脊线初始位形参数，并计算 出其初始位姿； s t e p2 搜索出末端在第二位置( x z ，y ：) 时脊线的初始位形参数的取值范围 【a 讲，口帖】； s t e p3 在取值范围内改变末端第二位置( 吃，n ) 时的脊线初始位形参数 ( 一+ a 口o ，a o i a m ，】) ，计算出对应每一初始位形参数的脊 线位姿。 s t e p4 分别在末端点为瓴，m ) 和末端点为( ，y ：) 的每一变化c r o 所对应的脊线 上均匀取疗个点，计算这1 个对应点间的距离总和q ： q 一( 而( f ) 一屯( f ) ) 2 + ( y 。o ) 一y ：( f ) ) 2 ( 3 1 0 ) 筒 求出最d , q 所对应的，即得到机构末端第二位置相对于第一位置的最 小关节运动幅度的脊线初始位形参数值。 通过计算可以验证，这一方法是可行的。此处以末端从( o 3 ，0 4 ) 运动到 ( o 4 ，0 7 ) 为例加以说明。按上述方法来计算，所得出的计算结果如表3 - 1 所示。 袭3 - 1 两位姿间随初始位形参数变化的关节运动幅度变化 末端点为( 0 3 ，0 4 )末端点( 0 4 ，o 7 ) 时的脊线初始位形时的脊线初始位形 肛一3 0 时q 的取 值 参数参数 0 9 2 7 3 o 2 4 2 1 4 5 0 9 2 7 30 44 1 4 1 8 0 9 2 7 3o 63 6 8 2 6 0 9 2 7 30 8 3 3 1 7 2 0 9 2 7 31 o3 0 2 7 6 o 9 2 7 31 22 。8 6 5 l 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 0 9 2 7 31 1 42 8 9 5 o 9 2 7 31 6 3 1 3 2 5 o 9 2 7 31 83 6 5 2 0 9 2 7 32 o4 9 1 7 3 从表3 - 1 中可以看到，当第二位置( 0 4 , 0 7 ) 的脊线初始位形参6 0 - 1 2 时，机构的关节运动幅度最小。 3 5 本章小结 本章对基于脊线表达的平面超冗余机器人机构的脊线初始位形参数规划 问题进行了研究。通过分析脊线的初始位形参数与机构的实际工作空间的关 系，找到了初始位形参数的可行域，并提出了一种简单有效的初始位形参数 的选取方法，该方法能够在不考虑其逆解可求性的前提下对超冗余机构进行 求解，并且具有计算量小的优点i 此外，还将基于脊线的初始位形参数的规划方法应用于平面超冗余机构 最小关节运动幅度的确定。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 第4 章基于脊线的平面超冗余机器人机构的避障 路径规划 4 1 引言 超冗余机器人的避障路径规划是具体应用时的一个关键。超冗余机器人 所具备的多自由度，使它能够非常灵活地通过改变自身构形来达到避开障碍 物的目的。这是非冗余和低冗余机构所不具备的优点。 已有的研究结果表明【2 l l ：机器人路径规划完整算法的复杂度与机器人的 自由度数成指数关系，这就造成目前已有的规划器仅能解决低自由度的机器 人路径规划问题。为了解决超冗余度机构【8 】的路径规划问题，k “f a l 【i 等旧曾 提出了路径规划的随机路标法，但该方法一般需要搜索工作空间中的很多点 来确定机构关节点坐标，在计算上比较耗时。而c l d r i k j i a 1 9 】通过分段函数约 束脊线位形来达到躲避障碍物的目的，该避障路径规划方法能够较好地避开 多个特殊排列的障碍物。 本章将在前一章的基础上，研究新的避障路径规划方法，并结合分段函 数法探索多障碍物躲避规划问题。文中以圆形区域代表障碍物。 4 2 利用初始位形参数的避障研究 4 2 1 利用初始位形参数的避障策略 从上一章的研究可知，在末端坐标位置不变的情况下，改膏初始位形参 数可以使脊线的形状发生变化。本节将利用这一特性来进行避障路径规划。 所采用的避障策略是：用一条直线连接末端执行器的初始位置点与目标 位置点，位置在理论工作空间中