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一维贝塞尔光学格子中表面波孤子传播行为研究 摘要 光波在光学格子调制介质中的传播显示出了均匀大块介质中没有的、独特的动 力学属性。有效控制这类系统的衍射属性为设计多种光子设备提供了广泛的可能 性。而光学表面波孤子在光学检测、光学转换器、探测界面物理特性等方面有着潜 在的应用价值。对应于大块介质与光学格子孤子的各种属性以及光学表面波孤子的 研究现状，本文利用解析和数值方法研究了复合贝塞尔格子支持的表面波孤子的特 性。 分析了由界面分隔的自散焦k e r r 非线性介质中表面波孤子的存在性、稳定性与 传播行为。所讨论模型由界面两边不同形式的一维贝塞尔光学格子调制。稳定性分 析和数值传输模拟表明，这种模型支持的基本孤子在其存在区域内全部稳定。贝塞 尔格子的阶数决定孤子的形状，格子的调制深度决定孤子的振幅。这个模型提供了 多种控制孤子解形式的自由度，如格子调制深度、阶数等。我们提出了相应的实验 实现方案。 其次，与均匀大块介质不支持高阶孤子形成对比的是，此模型支持从线性模中 分叉出来的高阶结构，这样的高阶孤子在界面两边的组件是相位相反的 ( o u t - o f - p h a s e ) ，并且此高阶模随着传播常数的增大会逐渐退化成双峰或者单峰的形 式。通过增加格子的调制深度或者选择更高阶格子调制可以增强高阶孤子的稳定 性。此外，我们还发现在饱和自散焦非线性介质中支持稳定的多峰孤子。 关键词：表面波孤子；贝塞尔格子；高阶 p r o p a g a t l 0 nd y n a m i c so fs u r f a c es o l i t o n s s u p p o r t e db yldb e s s e ll a t t i c e s a bs t r a c t o p t i c a ls o l i t o n si no p t i c a ll a t t i c e se x h i b i ts o m eu n i q u ef e a t u r e st h a tc a n n o tb ef o u n d i nh o m o g e n e o u sb u l km e d i u m s u r f a c es o l i t o n sh a v ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n si no p t i c a l s e n s i n g ，s w i t c h i n ga n de x p l o r a t i o no fi n t r i n s i ca n de x t r i n s i cs u r f a c ec h a r a c t e r i s t i c s c o m p a r ew i t hr e c e n tr e s e a r c h e so fs u r f a c es o l i t o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fs o l i t o n s s u p p o r t e db yu n i f o r ma n do p t i c a ll a t t i c e s ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o p a g a t i o na n dc o n t r o lo f s u r f a c es o l i t o ns u p p o r t e db yb e s s e lo p t i c a ll a t t i c e sa n a l y t i c a l l ya n d n u m e r i c a l l y w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dd y n a m i c so fs o l i t o n ss u p p o r t e db ya1dc o m p o s i t e b e s s e lo p t i c a ll a t t i c ei nad e f o c u s i n gk e r rm e d i u m t h ec o m p o s i t el a t t i c ei sc o m p o s e db y t w o1d ( o n e d i m e n s i o n a l lb e s s e ll a t t i c e sw i t hd i f f e r e n to r d e r so rd i f f e r e n tm o d u l a t i o n d e p t h sl o c a t e db e s i d ea ni n t e r f a c es e p a r a t i n gt h e m s t a b i l i t ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a l p r o p a g a t i o ns i m u l a t i o n sr e v e a lt h a tt h ef u n d a m e n t a ls o l i t o n ss u p p o r t e db yt h em o d e la r e d y n a m i c a l l ys t a b l ei nt h e i re n t i r ee x i s t e n c ed o m a i n t h eo r d e ro fl a t t i c ed e t e r m i n e st h e s h a p eo fs o l i t o nw h i l et h ea m p l i t u d eo fs o l i t o nd e p e n d so nt h el a t t i c em o d u l a t i o nd e p t h t h i sm o d e lp r o v i d e sm o r ef r e e d o md e g r e e s ，s u c ha st h eo r d e ro fl a t t i c e so rt h el a t t i c e m o d u l a t i o nd e p t he t c t h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no ft h es c h e m ei sa l s op r o p o s e d f u r t h e r m o r e ，i ns h a r pc o n t r a s tt ot h eh o m o g e n e o u sw a v e g u i d e sw h e r eh i g h e r - o r d e r s o l i t o n sa r ea l w a y su n s t a b l e ，t h eb e s s e ll a t t i c e sw i t ha ni n t e r f a c es u p p o r tb r a n c h e so f h i g h e r - o r d e rs t r u c t u r e sb i f u r c a t i n gf r o mt h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a rm o d e s t h el e f ta n d r i g h tp a r t so ft h em u l t i p e a k e ds o l i t o n sa r eo u t - o fp h a s ew h i c hw i l ld e g e n e r a t et o t w o 。p e a k e d o r o n e 。p e a k e dp r o f i l ed i s t r i b u t i o n sw i t ht h ei n c r e m e n to fp r o p a g a t i o n c o n s t a n t o n ec a ni m p r o v et h es t a b i l i t ya r e a so fh i g h e r - o r d e rs o l i t o n sb yi n c r e a s i n gt h e i i l a t t i c ed e p t ho r s e l e c t i n gh i g h e r - o r d e rl a t t i c e s w ea l s of i n dt h a ts u c has c h e m ew i t h d e f o c u s i n g s a t u r a b l ek e r rn o n l i n e a r i t ys u p p o r ts t a b l e m u l t i p e a k e ds o l i t o n sw h o s e s t a b i l i t yp r o p e r t i e sa r eu n d e rs t u d y k e yw o r d s ：s u r f a c es o l i t o mb e s s e ll a t t i c e ；h i g h e r - o r d e r i l l 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做 的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 作者虢杨自矽 噍学j 月步 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者签名：杨叻移导师签名：董毛诺日期釉产夕月哆日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均己明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、 年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。 论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：彻眩而 指导 教师：苇- - 音彳l 勺 1 1 光孤子研究历史及发展 1 绪论 “孤子”一词英文名为s o l i t o n ，其历史可以追溯到十九世纪三十年代。1 8 3 4 年 苏格兰造船工程师罗素( j s r u s e s l l ) 在河流中偶然发现了一种自然现象：在一条很 窄的河道中，迅速拉一条船前进，在船突然停下时，在船头形成的一个孤立的水波 迅速离开船头，以每小时1 4 1 5 k m 的速度前进，而波的形状不变，前进了2 - - - 3 k m 才消失o 。他认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳定解，并称这个波为孤立波， 但当时他未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，进而引起了物理学界激烈 的争论。直到6 0 年后的1 8 9 5 年，荷兰科学家k o r t w e e g 和d e e s 研究了浅水波的 运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波方程k d v 方程， 这一争论才告一段落。 进入2 0 世纪后，孤子的概念和理论引起了许多物理学家的兴趣。1 9 6 5 年 z a b u s k y 和k r u s k a l 将孤立波命名为孤立子或孤子( s o l i t o n ) 啦! ，此后，孤立子这一全 新的概念得到了极其广泛的应用，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体 力学到晶格理论、非线性光学、等离子体物理、固体物理、凝聚态物理、超导物理、 弹性力学、统计力学、声子、位错、工程学、材料科学、气象学、海洋学、高分子 理论、分子生物学等等，并于1 9 7 7 年由弗里德伯格和李政道推广到了量子领域。 那么，究竟什么是“孤子”呢，通常我们把非线性演化方程的局部行波解，称 为“孤立波”，所谓“局部的”，是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定 常数的情况。我们把这些稳定的孤立波，即通过相互碰撞后的、不会消失而且形状 和速度也不会改变或者只有微弱的改变( 就像常见的两个粒子的碰撞一样) 的孤立 波称为“孤立子”。但物理学所定义的孤子与此数学上所定义的孤子有所不同，因 为数学所研究的孤子是非线性方程的完全可积解，其在碰撞过程中也是完全弹性 的；而物理学所研究的非线性方程往往都是不可积的，进而所求得的孤子解也不一 定是完全弹性的。因此，在物理学领域，我们常把孤子定义为非线性方程的个有 1 1 绪论 限能量的不弥散的解。 在光学中，就本身性质而言，具有一定时间宽度的光脉冲在线性色散介质中传 播时，通常会被展宽；同样，局限在一定空间区域的窄光束在介质中传播时由于衍 射作用，也将被展宽。如果介质的非线性效应刚好抵消上述展宽效应，则介质中就 会有时间光孤子或空间光孤子形成。时间光孤子概念由h a s e g a w a 等人n 3 于1 9 7 3 年 首次提出，m o l l e n a u e r 等人h 1 于1 9 8 0 年首次在实验中观测到了时间光孤子。目前， 对时间光孤子的研究已日趋完善，正向实用化方向发展侣吖3 。由于篇幅关系，本文只 对空间光孤子展开叙述。 空间光学孤子的研究是从1 9 6 4 年c h i a o 等人首次预言光束能在非线性介质中 自陷哺3 开始的，它在4 0 多年来引起了广泛的研究兴趣。空间光孤子在2 0 世纪6 0 年 代提出后，由于一直未发现合适的非线性材料而一度停滞不前。9 0 年代之后，由于 新材料和新现象的发现，空间光孤子的研究取得了长足的进步，开始出现了前所未 有的研究热潮，很快人们发现，比起时间光孤子，空间光孤子有着更加丰富的物理 内容。大致可以从以下几个方面比较：首先，空间光孤子可以在更高的维度空间中 出现，如( 2 + 1 ) d ，( 3 + 1 ) d 1 等，而时间光孤子只有一个维度即时间t ，所以时间孤 子总是( 1 + 1 ) d 的；其次，空间光孤子可以被更多类型的非线性效应所支持。如 二次非线性z 【2 1 ，光折变非线性，液晶的重新定向非线性、竞争非线性等等，而时 间光孤子一般只涉及一个k e r r 非线性；第三，空间光孤子可以出现在更多的物理系 统中。如离散系统、周期系统、大块介质、谐振腔等，而时间光孤子一般只出现在 光纤中；最后，空间光孤子具有更为丰富的动力学行为，如，碰撞过程中会发生合 二为一、一分为二、内模震荡、孤子团簇等等有趣的非线性现象，而时间孤子的碰 撞是弹性的。 国内对光学孤子的研究已有数十年的历史，很多学者对光纤系统中的时间孤子 研究方面做出了大量重要工作。然而同样由于实验条件限制以及其它原因，国内很 少开展高维时空光孤子物理方面的研究工作，特别是对新兴的空间孤子研究发展趋 势方面的工作少之又少，比如非线性光学格子孤子的研究。目前国内对空间孤子方 ( n + 1 ) d 表示：一个纵向维度( 如，z 轴或t 轴) ，r 1 个横向维度( 如，x , y 方向) 。 2 1 绪论 面的研究主要集中在光折变晶体中。在此研究领域活跃的单位和研究所有：中山大 学超快速激光光谱学国家重点实验室、清华大学物理系、南开大学物理系、南京大 学通讯工程系和西安电子科大等。而中国科技大学物理系李永平教授领导的小组在 空间孤子领域多个方面开展了卓有成效的研究工作。 1 2 光学格子孤子与表面波孤子简介及研究进展 1 2 1 光学格子孤子 将周期性光强调制引入到孤子研究以后，由于介质受周期性光强分布的调制， 折射率会发生周期性变化，从而形成光学格子。光学格子分为狭义格子和广义格子。 狭义的格子就是通常所说的作为折射率调制的周期性无衍射光束；而广义的格子泛 指所有可以作为折射率调制的无衍射光束，比如马苏里格子、抛物线格子阳10 1 。这 样的光学格子存在布洛赫( b l o c h ) 带结构，孤子只存在于能带的带隙中。这些丰富又 复杂的非线性现象使得光学格子孤子成为非线性光学的一个重要课题。2 0 0 3 年，二 维格子孤子产生与传输实验的成功n ，为渴望揭示高维格子孤子诸多奇妙特性的科 研工作者铺平了道路。非线性光格子孤子是具有离散特性的空间孤子。当衍射效应、 光学格子势阱以及非线性效应这三者达到平衡时可产生所谓格子孤子n 2 1 3 1 。在光波 导阵列中，作为离散非线性薛定谔方程的解，d n c h r i s t o d o u l i d e s 等首先从理论上 预测了格子孤子的存在n 屯1 引。随后实验上观测到了这类自捕获光n 6 1 。 非线性格子孤子可应用于全光交换、光开关、光信号逻辑处理和计算、孤子感 应波导等多个领域的研究和各种光器件的开发。利用非线性格子孤子的碰撞特性， 格子孤子在精确的光处理和控制方面具有的很好的应用前景，可用于阵列光网络的 路由选择和按时选通等。结合光折变材料的使用，可以在低功率条件下研制光逻辑 门，进行光逻辑运算。矢量孤子或复合格子孤子可以通过相互碰撞实现能量转移。 此外，光学格子孤子在生物物理、玻色一爱因斯坦凝聚和固体物理等许多科学领域 也逐渐取得了广泛的应用。材料和制造工艺的成熟发展为光学格子孤子的进一步实 验观察与研究提供了条件。非线性光学格子孤子在未来的光通信系统和光交换网络 中具有很大的潜在运用优势，对于高速率远距离大容量的全光通信技术的研究和孤 3 1 绪论 子通信技术的商用化具有无可替代的重要性。非线性光学格子孤子物理特性与动态 特性方面的研究还有更多更精彩的内容有待我们去理解和发掘。 国外学者对光学格子孤子的研究是从2 0 0 3 年兴起，特别最近以色列以y a r o n s i l b e r b e r g 教授为首的超快光学小组，他们在离散空间孤子、自聚焦和光子弹等方 向的研究一直处于领先地位，近年来在p h y s r e v l e t t 、o p t e x p r e s s 、o p t l e t t 等 权威刊物上发表了数十篇有影响力的文章， l 侧。澳大利亚国立大学物理科学与工 程研究院非线性物理研究中心，以首席教授k i v s h a ry us 为核心借助多年来对孤子 研究的积累和数学理论上的优势，对光学格子孤子的形成机制和物理性质进行了大 量的研究，包括光学格子中多种孤子的理论模型以及传输特性幢，光格子中的布洛 赫振荡乜2 】，周期势中的非线性物质波啦3 3 等。最近，美国普林斯顿大学电子工程系的 j a s o nwf l e i s c h e r 教授和佛罗里达州立大学光学院的dnc h r i s t o d o u l i d e s 教授等人 报道了在实验上观察到在两维格子中存在的格子孤子。这种两维格子由光学诱导方 法产生，就是在光折变材料中施加一对或多对平面波，并使它们之间发生干涉来产 生两维格子。这一结果为在光学格子和光子晶体中实现多种非线性局域化现象铺平 了道路，近年来在n a t u r e 等杂志上的关于非线性光格子孤子、波导格子中的离散光 特性等文章在非线性光学孤子领域的引用率之高无人能及口。1 7 。2 引，同时他们和y a r o n s i l b e r b e r g 教授等团队也展开了广泛的合作。美国佛蒙特州大学的jy a n g 等人心6 1 对 两维光学格子中的多种类型孤子，如基态孤子、偶( 四) 极孤子、中心在格点上和格 点间的涡流孤子做了系统的数值和实验研究，发现这几种孤子都存在着在稳定的参 数区域。西班牙i c f o 非线性光学中心的t o m e rl 教授的科研小组，他们更多地致 力于非线性光学格子孤子的传输与控制特性方面的研究，研究了各种不同格子中的 各类光学孤子以及它们的传输特性与影响因素瞳7 删，为光学格子孤子在光控制技术 与光器件研制等方面的发展奠定了坚实的理论基础。 1 2 2 表面波孤子、 表面波是指沿介质表面( 界面) 传播的波，当介质具有非线性时，非线性可能 会捕获界面处表面波，使波不再扩散，从而形成表面波孤子。光学表面波孤子的动 力学属性研究在国际上刚刚兴起，在光学检测、光学转换器、探测界面物理特性等 4 1 绪论 方面有着潜在的应用价值。 光学表面波是1 9 9 5 年g o l o m b m c 在光折变晶体的非线性界面处第一次被观测 到0 j 。m a r k r i s k g 和s u n t s o v s 等人分别在2 0 0 5 年和2 0 0 6 年报道了标量表面波孤 子( 波导阵列和均匀介质之间的界面处) 口“3 引。2 0 0 6 年k a r t a s h o v y v 等人理论上 预测在周期介质的界面处支持表面波带隙孤子口3 1 。同年，r o s b e r g c r 等人在实验 上观测到这种孤子钔。除此之外，稳定的矢量离散表面波孤子、混合带隙表面波孤 子相继被报道过旧和3 ”。2 0 0 6 年s i v i l o g l o u g a 等人旧鄙在实验上观测到二次非线性介 质中的离散表面波孤子。2 0 0 6 年k a r t a s h o v y v 报道了在克尔非线性介质中嵌入两 个周期格子的界面处存在多极模表面波孤子。挎1 。并且还报道了在不同调制深度下的 两个光学格子之间的界面处，可以捕获稳定的表面涡流孤子h0 | 。2 0 0 6 年m o t z e k k 报道了在非线性晶体格子中存在多色表面波孤子h 。 对应于大块介质与光学格子孤子的各种属性以及光学表面波孤子的研究现状， 我们认为表面波孤子有更为丰富的研究内容。 1 3 本文的主要研究内容及结构安排 第一章简要介绍了光孤子的研究历史和发展以及与本文相关的两种孤子一光 学格子孤子和表面波孤子的概念及研究现状。 第二章讨论了本文相关的基本理论及研究方法。首先从麦克斯韦方程组出发推 导出空间孤子传输所遵循的非线性薛定谔方程。其次介绍了典型的用于数值求解非 线性薛定谔方程的几种研究方法，最后简要探讨了孤子的稳定性。 第三章对自散焦介质中一维复合贝塞尔格子支持下的表面波孤子的存在区域 以及动力学行为进行了研究。改变贝塞尔格子的阶数会改变孤子的形状以及孤子能 量的分布。当其他参数一定时，贝塞尔格子的调制深度决定孤子的振幅。所有稳态 解在其整个存在区域内都是动力学稳定的。我们提出了一种实验上可以实现的模型 方案。本章的理论结果丰富了表面波孤子的概念，提供了不同的方法来控制改变孤 予的形状。这些结果同样可以扩展到自陷于一维贝塞尔格子中的玻色一爱因斯坦凝 聚物的相互作用的情况中。 第四章主要讨论由界面分隔的自散焦k e r r 非线性介质中高阶表面波孤子的存 5 1 绪论 在性、稳定性与传播行为。通过增加格子的调制深度或者选择更高阶格子调制可以 增强高阶孤子的稳定性。此外，我们发现在饱和自散焦非线性介质中支持稳定的多 峰孤子。 第五章简要总结一下本论文的研究内容，并对今后进一步的研究方向做一展 望。 6 2 1 引言 2 基本理论及研究方法 空间光孤子在物理上的描述是光的衍射效应和介质的非线性效应相平衡的结 果，在数学上，它的动力学行为则由非线性薛定谔方程( n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n - n l s ) 描述。n l s 方程是物理领域孤子研究的最基本的方程之一。本论文 的研究内容均是基于非线性薛定谔方程这一理论模型展开的。 从数学角度来讲，孤子是非线性可积的特定微分方程的解。孤子的传输动力学 行为服从非线性薛定谔方程。因此寻找方程的解( 包括数值解和精确解) 是解决孤子 传输的首要任务。本章首先由麦克斯韦方程组出发推导出光学格子孤子传输所遵循 的非线性薛定谔方程。其次概述了求解非线性薛定谔方程的几种基本的解析和数值 方法，其中详细描述了本文所涉及的牛顿迭代法和分步傅立叶算法。 2 2 非线性薛定谔方程 非线性薛定谔方程是一种广泛应用的非线性偏微分方程，除了用它来描述光脉 冲在色散与非线性介质中传输外，还可以用它来讨论单色波的一维自调制、非线性 光学的自陷现象、固体中的热脉冲传输、等粒子体中l a n g m u i 波、超导体电子在电 磁场中的运动以及激光束中原子的玻色爱因斯坦凝聚效应等。 空间孤子光波和所有的电磁现象一样，在介质中传播时，其传输服从麦克斯韦 方程组。我们首先从麦克斯韦方程组出发。在各向同性无源非共振非线性电介质中 的麦克斯韦方程组及介质性质方程的标准形式为： v e ：一望 西 v 膏：望 8 t 7 ( 2 1 ) 2 基本理论及研究方法 v d = 0 v 一b ：o ( 2 2 ) d = e e 吾= “，a 在这里只考虑单色谐振的电磁波的传播，则有旦a t = 一泐，国为电磁波的圆频率，f 为 介质的介电常数。对方程组( 2 1 ) 中第一式两边同时取旋度，并利用( 2 2 ) 式，则有： v ( v 置) = c 0 2 ，z o 西 ( 2 3 ) 方程( 2 3 ) 左边等于v ( v 盖) 一v 2 五，于是( 2 3 ) 变为： v 2 + k 2 0 n 2 舌= v ( v 丘、 ( 2 4 ) 其中k o = o ) c ，玎= 以西为介质的折射率，c 为真空光速。再由麦克斯韦方程组的 第三式加之介质性质方程的第一式，可得： v d = v ( e ) = ( v s ) e + 刃e = 0 ( 2 5 ) 若在一个波长范围内e ( x ，y ，z ) 的变化很小( 慢变振幅近似) ，相应介质折射率的变化 起伏很小，则有v 0 成立，因此( 2 5 ) 式就变为v 亏= 0 ，而( 2 4 ) 式变为 v 2 + k 2 0 n 2 豆= 0 。若光束是线偏振的，即电场e 只有一个分量( 如x 或y ，根据傍 轴近似，在本论文中我们统一将方向z 设为光束的传播轴) ，那么方程( 2 4 ) 中不含 其它的电场分量，我们略去电场的矢量符号，并将( 2 4 ) 统一写成： v 2 + 瑶行2 e = 0 ( 2 6 ) 即标量亥姆霍兹方程。 一般情况下，介质的折射率门可以写成介质的背景折射率和各种原因引起的 微扰之和，如折射率的调制、非线性的影响等。 船= + a n v ( x ，y ) + 瓯( ，) ( 2 7 ) 这里只考虑了折射率在横向上的调制，a n 为调制深度，瓦( ，) 为光强引起的非 线性介质的折射率的改变，：e 1 2 为光强。且有门 r 0 , 皖( ，) g t o 。电场e 可以写 2 基本理论及研究方法 成振幅包络和相位因子的乘积形式： e ( x ，y ，z ) = a ( x ，y ，z ) e x p ( i k z ) ( 2 8 ) k = 将方程( 2 7 ) 和( 2 8 ) 代入方程( 2 6 ) ，略去微扰的两阶小量可得： 2 拦+ v j 彳+ 粤+ 2 k 2 a n v ( w ) 么+ 2 堕盟彳：o o z 1 o z 2 v i = 导号 在煅振幅近似下，幽o z 2 0