（机械设计及理论专业论文）平面柔性机械设计方法.pdf

挚姐帮7 9 平面柔性机械设计方法的研究 机械设计及理论专业 研究生：王鹰宇指导教师：姚进 柔性机械是利用构成机械的零部件的弹性变形来实现设计功能的一类机 械。其特点是在柔性机械中存在较少的或者不存在刚性副和刚体。相应的设计 理念及方法与传统的刚性机械设计方法有很大不同，至今未形成系统完整的设 计方法。由于柔性机械具有许多刚性机械不具备的特性，它们在航空航天、微 电子、生物医学等等领域获得广泛应用。因此，近年来在国际上，柔性机械设 计方法的研究已经成为机械设计理论领域的研究发展热点之一。然而，国内在 此方面起步较晚。本论文将系统地研究柔性机械的设计方法，完成的主要工作 以及取得的成果如下： 论文在总结现有的柔性机械设计理论和方法基础之上，从梁的大变形方程 表达式着手，分析了梁的大变形过程与结果。推导得n t 基于数值方法的大变 形结果计算表达式。建立了一系列的用于描述和设计柔性机械的简化数学模型 伪刚体法。针对载荷的不同情况，计算出在具体设计中需要的各项参数， 并结合实例给出了分析计算过程及结果。 在以上基础上，应用虚功原理，推导出柔性机械稳态的条件。提出了含有 一个特征铰链和两个特征铰链的四连杆柔性机械、特征铰链位置不同的曲柄滑 块柔性机械的双稳态分析过程。对于用于改变柔性机械稳态位置所施加力的确 定进行了详细的分析，并结合实例对载荷作用过程进行了计算。进一步提出了 多稳态柔性机械设计方法，给出了两类不同型的柔性机械联结设计得到多稳态 机械的设计方法和实例。提出了多稳态间转换所需力的计算方法。 在有限单元法及拓扑优化设计方法的思想指导下，建立了针对平面分布式 柔性机械拓扑结构生成方法，和以刚度最大化为目标函数的优化设计模型。并 应用m 虹l a b 实现了各种不同约束条件下的刚度最大化构架生成的程序和计 算结果。论文还研究了柔度最大化的柔性机械的设计方法，编制了拓扑结构优 化程序，解决了柔性机械单输入单输出设计问题。 关键词：柔性机械机械稳态拓扑优化伪刚体法 乞。：d 二 v r e s e a r c ho n d e s i g n o fp l a n e c o m p l i a n t m e c h a n i s m s m a j o r ：m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y g r a d u a t e s t u d e n t ：w a n gy m g - y us u p e r v i s o r ：y a oj i n c o m p l i a n tm e c h a n i s n l s ( c m ) c a n b ed e 肋e da sm e c h a n i s m st h a tg a i ns o m e o ra l lo ft h e i rm o t i o nd u et ot h er e l a t i v ef l e x i b j l i t yo ft h e i rm e m b e r s c mc o n t a i n l i t t l eo rn o n eo f r i g i d - b o d yc o u n t e r p a r t s s o ，t h ed e s i g nm e t h o do fc m i s g r e a t l y d i f f e r e n tf r o mt h a to f t r a d i t i o n a lr i 百d b o d ym e c h a n i s m sa n dt h e d e s i g nm e t h o d o l o g y f o rc mh a sn o tb e e ne s t a b l i s h e ds y s t e m i c a l l yt i l ln o w b e c a u s eo f m a n ye x c e l l e n e e s o fc mw h i c ht h et r a d i t i o n a lr i g i d - l x ) c l ym e c h a n i s m sd on o th a v e , t h e yh a v eb e e n u s e d w i d e l y i nt h ef i e l do fa v i a t i o n ，s p a c e f l i g h t , m e m s ( m i c r oe l e c t r o n i c m e c h a n i s m s s y s t e m ) ，b i o l o g i c a lm e d i c i n e a n ds oo n f o rt h e s er e l s o r l s ，t h er e s e a r c h o nc m d e s i g nh a sb e c o m eo n eo fh o t s p o t si nt h ef i e l do f m e c h a n i c a ld e s i g na n d t h e o r yr e c e n t l y c md e s i g n i sr e s e a r c h e di nt h i sp a p e r s y s t e m i e a l l ma n d m a i nw o r k a n dr e s u l t sa r es h o w nb e l o w b a s e do 1t h ew o r kd o n eb e f o r e , t h ep a p e rs u m m a r i z e st h ed e s i g nm e t h o da n d t h e o r y f o rc m d e s i g n l a r g e d e f l e c t i o nf u n c t i o no f b c a r na n d a n a l y s i sa l ei n t r o d u c e d ， a n dt h ed e f l e c t i o nr e s u l tc a nb eo b t a i n e db yt h en u m e r i c a lm e t h o d s f o re n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n , as e r i e so fs i m p l i f i c a t i o no f m a t h e m a t i cm o d ei sp r e s e n t e d ，i v h i c hi s c a l l e da s p s e u d o - d g i d - b o d ym e t h o d , a n dg a l l b ea p p l i e de a s i l y f o rt h em o r e , a c c o r d i n gt od i f f e r e n tl o a dp a r a m e t e r , ap r o c e s so f t h ep a r a m e t e rd e t e r m i n a t i o no f c o m p l i a n t m e d u m i s m si sp r o p o s e d af e we x a m p l e s a r es h o w n t h e n , t h ep r i n c i p l eo f v i r t u a lw o r k i su s e dt od e r i v a t et h ee q u i l i b r i u mc o n d i t i o n o fc m f o l l o w i n gt h ec o n d i t i o n s ，t w os t a b l ee q u i l i b r i u mp o s i t i o n sf o rc o m p l i a n t f o u r b a rm e c h a n i s m sw i t ho n eo rt w oc h a r a c t e d s t i ep i v o t s a l ef o u n dw i t hu o f t h e e n e r g yf u n c t i o n t h e n , t h e e f f e c to f f o r c e0 1 1c h a n g i n gs t a b l ee q u i l i b r i u ms i t u a t i o no f f o u r - b a r c o m p l i a n tm e c h a n i s m s i sd i s c u s s e d a tt h es a m et i m e ，m u l t i - s t a b i l i t y c o m p l i a n tm e c h a n i s m sa r ed i s c u s s e d t h e yc a nb es t r u c t u r e d b yc o n n e c t i n gt w o s i m p l ec o m p l i a n t f o u r - b a rm e c h a n i s m si ns e r i e s am e t h o dt oc o m p u t ef o r c e r e q u i r e d t o c h a n g e t h e e q u i l i b r i u mp o s i t i o n o fc o m p l i a n tm u l t i s t a b l em e c h a n i s m si s p r e s e n t e d a l s o w i t ht h ed i r e c t i o no ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n dt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n ，w e b u i l tu pt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fo p t i m u md e s i g no fd i s t r i b u t e dc o m p l i a n c e m e c h a n i s m s ，w h i c hi sa i m e da tm a x i m u mr i g i d i t y t h e n ，w i t ht h el a n g u a g eo f m a t l a b ，w ed e v e l o pap r o g r a m t os o l v et h ep r o b l e mo f m a x i m i z a f i o no f r i g i df o r c md e s i g n w ea l s o s t u d y t h em e t h o dt o d e s i g nc o m p l i a n t m e c h a n i s m sb y m a x i m i z a t i o nc o m p l i a n t d e s i g no fc o m p l i a n tm e c h a n i s m sw i t hs i n g l ei n p u ta n d s i n g l eo u t p u t i sa c c o m p l i s h e d k e y w o r d s ：c o m p l i a n t m e c h a n i s m s ；s t a b i l i t y o f m e c h a n i s m s ；t o p o l o g i c o p t i m i z a t i o n ；p s e u d o - r i g i d - b o d y m e t h o d 一婴型奎兰堡主兰堡堡塞 1 绪论 1 1 课题意义及目的 柔性机械是利用构成机械的零部件的弹性变形来实现设计功能的一类机 械。由于柔性机械相对于刚性机械的一些优点，使得柔性机械在微机电领域、 航空航天领域、生物医学等领域不断的取代刚性机械，得到广泛的应用，并且 产生了巨大的经济效益“”。关于“柔性机械设计方法”方面的研究，国外已经 发展二十余年了。“，在此方面已经有了一定的技术与知识积累，然而国内在此 方面起步较晚。柔性机械设计方法本身还不完善，主要是它与传统刚性机械在 设计理念，方法有较大不同”1 ，无论国内国外，都继续在这一领域给予关注和 重视。因此，在这方面进行深入学习与研究是十分必要的。 论文在总结现有的柔性机械设计理论和方法基础之上，推导得到了基于数 值方法的大变形结果计算表达式。在此基础之上建立了一系列的用于描述和设 计柔性机械的简化数学模型以用于系统的分析及设计柔性机械。应用虚功原 理，根据表征系统总能量的能量关系式和表征系统所受扭矩的能量微分式，步 提出如何设计多稳态柔性机械。在有限单元法及拓扑优化设计方法的思想指导 下，建立了针对平面分布式柔性机械拓扑结构生成问题，和以刚度最大化为目 标函数的优化设计模型以实现了各种不同约束条件下的刚度最大化构架的生 成。解决了柔性机械单输入单输出设计问题。 1 2 柔性机械及研究动态 1 2 1 柔性机械的结构与特点 柔性机械的提法是相对于传统的刚性机械。然而无论是传统的刚性机械还 是现代柔性机械，都是用于传递或者转化运动，力或者能量。 四川大学硕士学位论文 传统的刚性机械是将刚性构件通过刚性副链接起来的，在输入端施加驱 动，使得剐性机械在驱动的作用下进行事先设定好的功能，在输出端得到既定 的输出，包括力输出、机构运动轨迹、位移函数输出等。对于传递力的机械， 要求输入输出能量尽量相同，也就是机械效率尽量高：对于轨迹和位移输出， 要尽量得到要求的精度，减小偏差。刚性机械运动副是存在间隙的，运动时产 生磨损，间隙增大，影响了机械运动的精确度1 另外一个影响精度的重要因素 是构成机械构件的材料变形问题。由于材料的受力变形( 一般是在弹性变形范 围内) 。使得刚性机械在运动过程中产生变形。整个机械系统储存了内能，使 得力、能量等输入不能完全进行传递与转化，同时影响了机械的运动精确度。 因此在改善刚性机械运动性能方面有三个措施：合理设计，在设计阶段使得刚 性机械在理论上实现设计最优化；在刚性机械运动过程中，注意改善运动副的 润滑状况；尽量提高机械构件的刚度和强度，降低构件的弹性变形。综上所述， 弹性变形在传统刚性机械设计中视为有害因素”1 。 相对与传统刚性机械，柔性机械恰恰相反，它正是利用机械系统中构件的 材料弹性变形来实现机械的设计功能。完全柔性机械中不存在运动接触副，机 械在外形上实际上是总体的一块，它相对于刚性机械具有独特的性能。因此， 柔性机械可以代替刚性机械而应用于许多特殊的工况环境中。柔性机械的优点 大体可以归纳为两类：( 1 ) 降低了成本。其中包括减小了零件数量、减少了零 部件装配时间、降低了制造难度。( 2 ) 提高了机械性能。其中包括提高了精度、 提高了可靠度、降低了磨损、减小了重量、降低了维护费用“”。 相对于完成相同功能的刚性机械，柔性机械只需要采用非常少的零件数 目，有时甚至只是整体块，这样就明显降低了制造成本。在微机电领域中使 用的微机械，如果采用刚性机械，由于存在刚性链接副，使得制造难度和成本 非常高且不易实现，即使加工出零件后，装配难度与成本也很高；而采用柔性 机械，可以运用腐蚀加工的方法一次成形，不仅提高了9 h i 精度，还节省了加 工，装配成本和时间。 在柔性机械中存在非常少的运动副，对于全柔性机械甚至没有可移动副。 这样就减少了磨损，并且避免了润滑这个优点使得对于哪些投入使用后不易 触及的机械以及不利于润滑剂存在的环境非常可贵，并且由于减少或者避免了 2 四川大学硕士学位论文 可移动副的间隙，使得机械运动更为精确，在机械高频运动中，避免了冲击载 荷对链接处的破坏以及噪音的形成。 另外柔性机械是靠构件的弹性变形实现机械运动的，各构件在变形中都储 存了内能，这样就降低了机械的机械效率。但是加以适当设计，可以将此变为 可利用的回程反力，或者籍此得到双稳态机械，在微机电领域中有广泛的应用 7 柔性机械相对于刚性机械的优点非常突出，但也存在一些挑战。相对与刚 性机械设计的成熟理论体系，柔性机械的设计方法未成系统，设计方法复杂， 设计难度大。设计过程中要综合运用机构分析与综合方法及柔性体变形理论， 并且其中许多柔性构件的变形为非线性大变形问题，相对于线弹性小变形理论 来说复杂的多，应用也困难。柔性机械往往应用在高频循环载荷工况中，机械 中弹性铰链如果设计不合理产生了应力集中，这样就大大降低了机械的使用效 率。柔性铰链处一般尺寸较小，限制了柔性机械的总体承载能力。另外柔性铰 链并不具有刚性铰链的某些功能，如周转性，使得柔性机械在某些方面不能取 代刚性机械。柔性机械的机械构件在长期承受稳定力的工况中，会发生应力屈 服与松懈现象，对于此类问题的设计也是一个难点。 1 2 2 柔性机械设计发展的动态 作为新型的机械，柔性机械的理论与研究仍然在不断的进行之中。柔性机 械的设计方法分为两种：伪刚体法和拓扑优化法。 m i d h a 和他的同事最早在1 9 8 6 年应用伪刚体法设计得到非完全柔性机械和 完全柔性机械嘲。他们以传统的刚体机构理论为理论基础设计得到柔性机械。 他们的做法是首先应用刚性机构的理论设计得到机械的拓扑结构和尺寸，然后 应用具有柔性的柔性铰链对设计得到的刚性机构进行改造，使得刚性机械转化 为柔性机械。在1 9 9 4 年，l a r r y h o w e i i 对这一理论进行了发展，在前人的 基础之上提出了柔性机械综合方法，使得伪刚体法设计柔性机械精确度提高。 拓扑优化方法运用于柔性机械设计始于1 9 8 8 年，m a r t i np h i l i pb e n d s o e ， n o b o r uk i k u c h i 的杰出工作“1 。拓扑优化的设计思路与伪刚体法设计柔性机械 的思路完全不同。它的数学模型描述的是设计区域的约束，例如体积约束，边 四川大学硕士学位论文 界条件约束等等。然后应用优化理论进行求解，在设计完成的同时才得到柔性 机械的拓扑结构。m a r t i np h i l i pb e n d s 。e ，n o b o r uk i k u c h i 首先提出了均质 法的设计思想。均质法是将材料进行微观结构设计，微观结构的参数可调，这 样就可以根据具体的约束进行参数调节，进行材料的取舍，形成拓扑结构。随 后，m a r t i np h i l i pb e n d s o e 发表的一系列论文。1 继续对此种方法及它的改进 算法进行讨论。1 9 9 3 年a n a n t h a s u r e s h 的工作也使得此方法更加可靠、实用。 但此法的缺点是算法复杂，计算效率低。s i g m u n d 和l a r s e n 在1 9 9 5 年发展了 这一方法“3 ，他们在原有的方法基础之上，对材料的多种微观结构形式及特性 给予关注，使得设计得到的算法收敛性更加可靠，但由此产生的程序编制复杂 性提高，柔性机械的加工难度提高。 1 3 研究主要内容 根据柔性机械的使用要求、应用领域以及其它的约束要求产生了两种类型 的柔性机械：局部柔性机械；分布式柔性机械“1 。 局部柔性机械是一种快速设计方法得到的柔性机械d ”。此种柔性机械采 用刚性机械的设计方法得到柔性机械的大致拓扑机构，然后应用大变形理论， 柔性铰链设计理论，对于刚性铰链进行改造，用柔性铰链和柔性机械构件代替 刚性机械中相应部分。 分布式柔性机械将伪刚体柔性机械的局部弹性变形转化为基于全体机械 构件的分布变形，分布式柔性机械由此得名。 本文的论述结构如下： 第一章：概述柔性机械的含义、柔性机械的结构与特点、国内外对于柔性 机械的研究动态与发展。 第二章：建立了一系列的用于描述和设计柔性机械的简化数学模型以及系 统的分析了应用伪刚体法设计柔性机械的过程。针对载荷的不同情况，计算出 在具体设计中需要的各项参数，并结合实例给出了分析计算过程及结果a 第三章：应用虚功原理，根据表征系统总能量的能量关系式和表征系统所 受扭矩的能量微分式，讨论了含有一个特征铰链和两个特征铰链的四连杆柔性 机械、特征铰链位置不同的曲柄滑块柔性机械的双稳态分析过程。给出了柔性 4 四川大学硕士学位论文 机械稳态的条件，进一步提出了多稳态柔性机械设计方法。给出了两类不同型 的柔性机械联结设计得到多稳态机械的设计方法和实例。提出了多稳态间转换 所需力的计算方法。 第四章：论述了优化方法以及有限元法在分布式柔性机械设计中的应用。 建立了优化模型，将设计区域离散化。计算得到了单元模型并生成了设计区域 的总体刚度矩阵。 第五章：应用m a t l a b 实现了各种不同约束条件下的刚度最大化构架生成 的程序和计算结果。论文还研究了柔度最大化的柔性机械的设计方法，编制了 拓扑结构优化程序，解决了柔性机械单输入单输出设计问题。 第六章：对整篇论文所论述的内容进行了总结。对论文所解决问题的领域 以及其它柔性机械机械分析与设计方面的问题进行了阐述。 四川大学硕士学位论文 2 柔性机械设计的伪刚体法 伪刚体法设计柔性机械是先得到机械的拓扑结构，再进行机械零部件的柔 性化“。伪刚体法设计机械分为基于线弹性小变形理论和非线性弹性大变形 理论的两类问题，下面分别给予介绍。 2 1 材料弹性小变形范围内的柔性机械设计 在实际应用中存在这么一类机械，它们的变形是在材料的线弹性小变形范 围内，因此对于此类柔性机械往往只关心在完成机械功能前提下的应力失效问 题。此类机械的理论分析简单，此处仅仅做简单阐述。 伯努力一尤拉公式揭示了变形梁的弯矩与挠度的关系“： m ：凹, t a 。 ( 2 一】) 其中m 是弯矩，霉为梁的挠度曲率，e 为材料的杨氏模量，为梁的截面惯 性矩。梁上不同点的曲率皇里可以如下表示： d 2 y d 8丽 凼) 2 r 式中y 是x 的函数，表征的是梁的变形曲线。( 毫) 2 在线弹性小变形情况下非 常小，因此可以忽略不计，这样就导出了经典的力矩变形公式： m 硼冬 6 一一 些型盔兰堡主堂壁堡壅 在此类机械中，很多应力问题都可以简化成悬臂梁的弯曲变形问题。如图 2 1 所示的悬臂梁： x f 是作用的垂直力的大小，三是悬臂梁的长度，e 是梁材料的杨氏模量，是 梁截面的惯性矩。粱在，作用变形后的转角为0 ；霉，梁上x 点处的力矩为 m = f ( l 一曲，因此( 2 - 1 ) 式可以写成： f ( l 一曲；日掣 为了求出力f 与x 的关系，将上式整理成如下形式： d o = 二f 三一x ) a x e 、 两边积分得到： p = 吉弘一x ) 出 =x一2)+ct0 l - ( z x e 2 = 一) + ， 对于积分常数c l 应用边界条件z ：0 , 0 ：0 ，可以得到c i = o 。将0 ；竿代 a x 入上式后整理，两边进行积分，可以得到下式： y = 翳f xc 2 三一功出= 芝f 日( l x 2 = 手) + q 对于积分常数c 应用边界条件x = 0 , 0 = 0 ，得到c 2 = 0 ，因此得到下式： 7 四川大学硕士学位论文 y = 竺( 3 三一x ) 6 e l ， 、， 上式是悬臂梁的挠度曲线方程。显然，在x 兰l 时，j ，值最大，一般将最 大值表示为6 ： 艿= 面f l 2 陟班篙= 等 ( 2 _ 2 ) 对于悬臂梁，最大的应力发生在x = 0 处的上表面，计算公式由材料力学 得到为： 盯：丝( 一z - ；n 5 )盯= olj 式中y 为梁截面上的点到中性面的距离。 对于基于材料线弹性小变形理论进行设计的柔性机械，根据需要的功能得 到机械的结构，实现设计要求，然后只需要进行强度校核就行了。下面列举一 例，简单描述一下此类问题的设计。 一个弹性卡口的结构如图2 2 所示，卡口端必须在竖直方向变形2 m m ，这样 与其相配合的零件才能套入其中，卡口壁可以看成是一个悬臂梁模型，横向长 度l = 9 m m ，纵向长度为6 = 6 r a m ，厚度h = 2 m m ，所用的材料的杨氏模拟为 e = 1 3 1 0 9 p a ，现在要校核柔性机械的强度是否足够。 这个例子以及其它大部分的伪刚体柔性机构设计中，变形量已经设定，但 是作用力并不知道。从柔性机械的机构上分析，最大应力发生在梁的固支处。 m 一= 兕 m m “是力矩，f 是施加在梁端部的未知力。由( 2 2 ) 式得到： 所以： 再根据( 2 - 3 ) 式，得到： 万：丝 3 e l m 。= 等 盯。= 竿= 警 8 ( 2 - 4 ) 四川大学硕士学位论文 图2 2 弹簧卡i s l 结构 将各项数据代入上式，最后得到盯一= 9 6 m p a 。 由( 2 4 ) 式可知，最大应力不是梁宽度6 的函数，它只影响施加在梁端部 的f 。由此可以得到在保证应力强度不变的情况下通过增大宽度的方法增大作 用力。 值得注意的是通过减小梁的厚度，最大应力也减小了。对于大部分柔性机 械，输入力是特定的，最大应力可以通过增大结构的截面转动惯量的方法减小。 柔性机械一般都有作为输入的位移边界条件，增加刚度可以减小应力，从而满 足期望的位移边界条件。 2 2 材料弹性大变形范围内的乘性机械设计 本节内容是后文的柔性大变形伪刚体机械的设计的理论基础。上节中论述 的是材料弹性小变形情况的柔性机械设计，在使用尤拉公式时，将分母中一阶 导数的平方忽略。然而在大变形问题中，这个导数的平方是不能忽略的，因此 大变形与小变形的重要区别在此，也是界定大变形的依据a 9 燮兰堕主兰篁笙奎 2 2 1 粱的大变形理论概述 通常来说，柔性机城的机械构件要承受大变形，其中有许多是几何非线性 的，因此在对于这类机械进行设计分折时不能运用经典的材料弹性变形理论， 而要进行特殊的考虑”1 。 大变形与小变形的区别可以从伯努力一尤拉公式中的应用细节中体现出 来。在弹性小变形理论中，由于认为梁构件的变形非常小，因此变形曲率近似 等于变形曲线的二次微分，也就是 警= c 象；参 其中常数c 近似等于l ： c = 上1 丁 在大变形分析中， 度变形角的增大， 表2 l 给出了随着梁变形的增大，挠 从表中所列数据可以看到，在变形非常小的情况下，c 的值菲常接近于l ， 随着变形的增大，c 的值变小了。因此，对于粱的大交形处理要比线弹性小变 形复杂的多。 表2 一lc 随粱变形的变化值 l立 口( 。) c f出 o o l0 60 9 9 9 9 【 o 0 5 2 9 0 。9 9 6 3 io i 05 70 9 8 5 2 1 0 四川大学硕士学位论文 0 2 51 4 0o 9 1 3 1 o 5 02 6 6o 7 1 5 5 1 o o4 5 00 3 5 3 6 2 0 06 3 40 0 8 9 4 在柔性大变形伪刚体机械的结构中，主要构件可以归结为大变形梁的分析。 由于各种各样的设计要求和性能需要，使得机械构件所受到的边界条件各不相 同，但可以归结为以下两类： 第一类：在悬臂梁的自由端有力作用引起的梁的大变形。 第二类：在悬臂梁的自由端有力矩的作用引起的梁的大变形。 2 2 2 椭圆积分方法 现今关于在复杂边界条件下的梁，板壳的大变形理论虽然已经成熟，但是 由于解析解的得到比较困难，因此采用数值方法求解。实际问题分析中，通常 采用椭圆积分数值方法对其进行近似求解“2 ”1 。这一节论述本论文要用到的椭 圆积分方法中的两种形式。 椭圆积分定义的第一种形式f ，j ) 如下： ，七) = r 示霭d o 而( 2 - 5 ) 式中庐称为幅度，七称为系数。 椭圆积分定义的第二种形式e ，l i ) 如下： e ，k ) ：c 正丽口 ( 2 6 ) 式( 2 5 ) ，( 2 6 ) 通常分别称为第一类非完全椭圆积分和第二类非完全椭圆积 分形式 。完全椭圆积分是非完全椭圆积分的特殊形式，此时= 鲁，第一类 完全椭圆积分与第二类完全椭圆积分简写为f ( 三，七) = f ) ，e ( 三，七 2 e ) 。 四川大学硕士学位论文 求解应用椭圆积分的方程式的方法可以简单归纳如下： ( 1 ) 、推导描述系统的方程式：此步骤中包括不能用通常方法进行积分的 积分项。 ( 2 ) 、对那些不能采用通常积分方法进行积分的积分项进行数学处理，使 它们可以应用椭圆积分方法进行计算。 ( 3 ) 、在工程与物理椭圆积分表中选用椭圆积分的可用形式进行计算 或利用数学软件进行计算。 2 2 3 自由端受力作用的悬臂梁大变形 如图2 3 所示，一个平直的悬臂梁自由端受水平和垂直方向的力后产生的 大变形结果。以为粱变形后，梁自由端的水平位移，占，为梁变形后，梁自由端 的竖直方向的位移，巩为梁变形后，粱自由端的角挠度。 这是受力最一般的情况，因为任意方向大小的力都可以在水平和竖直方向 进行分解。为了在推导计算式中减少变量的个数，将竖直方向的力的大小定义 为p ，水平方向的力的大小定义为竖直方向力大小的玎倍，即舻。梁变形后， 四川大学硕士学位论文 梁上各点的力矩为： m = p q x ) + n p ( b y ) ( 2 7 ) 如图2 3 所示，a 为梁大变形后自由端与固支端的水平距离，b 为梁大变形后 自由端与固支端的垂直距离。应用伯努力一尤拉公式，曲率芷可以写为： r ：塑：丝 d se l 将( 2 7 ) 代入上式，得到： 茁= 警= 去 ( 口一x ) + 胛( 6 训 在上式中含有x ，y ，为了得到有关各点的三角函数信息，对上式进行二 次微分得到： 一d t 。：宴；上f - 一d x 一拧尘1 d sd s t e l d sd s ) 由于d x ，砂和d s 都是微量，因此：拿：c o s 口，掣= s i n 6 ，代入上式，得到： a sa s i d x ：粤：昙( - c 。s 口圳i 1 1 口) ( 2 - 8 ) d sd s ie l 、 。 一d2口d r 枷、dr d 口、d o d t rdf 芷21 向 孑2 i i i j 2 历恼j 西。面壮丽【t j 结合( 2 - 8 ) 式得到： 警= 杀f 譬 = 去( _ c 。s 0 - n s i n s )i 2 历l 百j - 面o 对上式两边口进行积分一次得到： ：土g c o s 口一s i n p ) + c 1 2e 1 、 1 应用梁自由端口：o o 和x - - - - o 的边界条件对积分常数c l 进行处理，得到： 四川大学碗士学位论文 c l2 亩( 由n o o - n c o s o o ) 最后得到的茁的表达式为： 芷：i d o = , 。i i ；- - ：- ；- ( s i n g - n c o s 8 0 - s i n 8 + n c o s o )扣i 2 y 也 为了简化计算式的描述形式，对上式的某些常数项进行合并 ，p f 2 旷5 面 a = 8 h n c 、0 8 吼 ( 2 9 ) = r c o s 蛾一办) 其中：可= 再i ，蛾= a r c t a i l 去，由此得到( 2 一l o ) 式： 芷：罂：4 芝a 4 z - s i n o + n e o s o 肛i 2 。 对( 2 - 1 0 ) 式的微分进行整理积分： 竽肚r 而萧d o 1do 拈疆 n c o s o 式( 2 1 1 ) 为可进行椭圆积分的形式，最后得到口的表达式如下： 盯= 矿( ，) 一f 驴，) 】 v n y s i n 鬻 ，= 等 式( 2 1 2 ) 隐含着最终自由端角变形与力的关系。加果已知梁的几何参数( 三， j ) ，杨氏模量e ，力载荷方向系数九，就可以通过设定吼求出需要用的力的大 ) ) ) ) ) 坞 n 化 埘 一 一 1 l l 沿 四川大学硕士学位论文 小。因为在上述推导中式( 2 9 ) 给出了通过最终变形角铱定义的参数五，结合 通过已知的求出的蟹代入( 2 - t 3 ) 式，同时代入( 2 - 1 4 ) 式求出t ，将f 和y 代 入( 2 - 1 2 ) 式求解出口，而口2 = 堡e ，可以求出力竖直方向你的大小p ，方向 因子n 为已知条件，从而得到载荷力。 梁变形后，在求出满足自由端角变形风和满足力方向因子盯的力后，还要 确认自由端的最终位置，这个位置通过参数口，b 进行描述。 对曲率。：皇里可以有如下的变换形式： 珊 茁：塑：塑垒：塑s i n 口 d s 曲d s曲 将上式代入式( 2 - 8 ) 整理微分项并进行积分，得到如下积分式 胁篆f 0 雨器 进行椭圆积分，得到如下关于b 的结果： 导：b 7 【f o ) 一f 驴，f ) + 2 ( e d ，f ) 一e ( r ) ) 】+ 一i i 石i 韧c o s y ( 2 1 5 ) a t 一2 上式表征的是梁大变形后自由端位置相对于未变形时的垂直位移挠度。 同理，对于求解口，可以将对曲率k ：_ d o 有如下形式的变换： 芷：塑：塑壹：塑啪。0 芷= 一一2 _ - o u 5 凼出魄匆 最后得到梁大变形后自由端与固支端的水平长度： 导：b - 聊p ( f ) 一f ，) + 2 仁驴，f ) 一层( f ) ) 】+ n 岳i 可i 韧c 。s y j ( 2 一1 6 ) a r l2 四川大学硕士学位论文 2 2 4 自由端受力矩作用的悬臂梁大变形 如图2 4 所不，一个平直的悬臂梁自由端受力矩m 作用后产生的大变形结 果。对于此种情况的数学描述与在悬臂梁的自由端有力作用引起的梁的大变形 那样的第一类情况类似，对于图2 4 中的o o 、口、b 的推导计算如下所示： 伯努力一尤拉公式写成： 塑：m o d se l 对上式的微商进行移项整理，两边积分得到如下的积分式： a e - 避d s 这样积分后得到： 吼= 等 如同第一类边界条件情况下的推导过程，伯努力一尤拉公式可以进行如下的变 换： 一m o d o ：塑尘：塑s i n 0 e 1d s 方d sd y 将微商进行移项整理，添加积分号得到： 胁等如凼 积分后得到6 的计算表达式：6 ；等( - c 。s 岛+ 1 ) ，十分有趣的是，如果在两边 同时除以梁的长度，得到： 导：景( - c 。s o o + 1 ) ， m o ，、 7 四j i l 大学硕士学位论文 丫 图2 4 悬臂梁端部受弯矩变形 对照吼= 等，可以将上式简化成( 2 - 1 7 ) 式： b ：1 - c o s 口o ， 吼 伯努力一尤拉公式可以进行如下的变换： 一m o ：塑：塑一d x d o c o s 口 e i出西c d s出 将微商进行移项整理，添加积分号得到： r 出= 面e 卜伽 ( 2 - 1 7 ) 积分后得到口的计算表达式：a = 面e s i n 口，在两边同时除以梁的长度工，得至i j ： 四j i i 大学硕士学位论文 旦：旦s i n 0 ， m 。， 对照岛= 百m o l ，可以将上式简化成( 2 - 1 8 ) 式： 2 2 5 伪刚体法分析设计柔性机械 口 s i n 目 ， 瓯 ( 2 1 8 ) 在2 2 3 节中，对于平直的悬臂梁自由端受水平和垂直方向的力后产生的 大变形结果进行了详细的推导分析，注意到( 2 - 9 ) 式阐述的五= s i n o o n c o s 口0 不 是e 、，、，的函数，只是 的函数；对于表征载荷函数中的口是e 、i 、，的函 数；口的表达式为口= p o ) 一，f ) 】，结合式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) ，得出口是 n 的函数。由此可以得出一个很有用的结论：对于一个指定的 ，任何悬臂梁 的变形规律( 孚，亨j 都是一样的。此种情况下对于不同e 、八，参数的梁，只是 变形量大小的问题，通过盯2 = 告2 l - 计算相应的力。对于不同的玎，( 孚专) 之间变形量大小的问题，通过盯2 。百计算相应的力。对于不同的玎，【孚号之间 的关系通过式( 2 - 1 5 ) 和( 2 - 1 6 ) 计算，结果如图2 5 所示。图中曲线上的点 代表不同载荷时的自由端位置。从图2 5 中可以看出： ( 1 ) 、在梁自由端变形的初始阶段( o o s 等s o 5 ) ，虽然玎不相同，但是变 化的规律一致； ( 2 ) 、自由端变形的轨迹近似于一个圆，圆心在梁变形前的某点上。 由此可以对自由端变形轨迹进行参数化构建，以来变形的梁上某点作为铰 链，铰链到自由端的部分可以看成是不发生变形的刚性构件，如此可以应用刚 四川大学硕士学位论文 性机构的理论对柔性机械的构件进行分析”- “”1 。这就是伪刚体柔性机械的名称 意义。 彳 号 图2 5 受不同力时的梁端变形轨迹图 梁自由端变形轨迹 p 粱未变形时位置 图2 6 a 悬臂梁自由端受力变形图 1 9 四川大学硕士学位论文 此处铰链的作用与刚体机械中的铰链的作用是相同的，但是它并不是实际 存在的，只是用来进行分析计算，因而对于此种铰链赋予一个名称一特征铰 链，由此引出特征铰链的概念。相应的用于分析计算的刚性构件称为特征杆， 特征杆的长度称为特征半径，旋转角称为特征转角o 。示意如图2 6 a j b 所示， 对于特征铰链如图中所示，以此种形式与刚性铰链进行区别。 如图2 6 b 所示，对于特征半径的选取是通过定义一个系数f 1 ，使得特 征半径长度为f ，。f 系数的选取首先要使得以ff 为特征半径的特征杆旋转圆 周与实际自由端变形轨迹之间的误差在容许范围以内，然后在误差容许范围内 。 图2 6 b 悬臂梁自由端受力伪刚体模型 使得特征转角9 最大化。这样可以使得梁的大变形程度最大化。由此伪刚体 柔性机械设计问题的关键在于：分析得到系数f ，使得特征转角 最大化。 由图2 6 b 可以得到 的计算表达式： 2 0 四川i 大学硕士学位论文 。- a r c t a n 雨尚 “一一i 上式中a ，b 分别由式( 2 - 1 6 ) 与( 2 - 1 5 ) 计算得到，因此 的值由f 唯一确 定。根据。的取值要求，也就是要进行如下式的误差分析： g ( 。) = 詈s l e r 坑r o r j 。 o 。 。一 其中丁e r r o r 称为相对误差率，p 肿r ，皖如图2 7 所示。 ( ? 一fj “一c o s o x c 伪刚体模 值计算结果 ( ，0 ) 图2 7 伪刚体与位置计算误差示意一 图中的坑为通过椭圆积分方法计算得到的挠度近似值，以为应用特征铰链的伪 刚体法计算得到的位移值。由图2 7 中的关系可以得到t ，疋的计算式如下： 6 e ：、匝丽巧 驴肜矿磊可巧面可 四川大学硕士学位论文 特征杆自由端的坐标为i f t o - - c o s o ) ，f l s i n ，由此通过两点间的距离公式 得到e r r o r 的表达式为： e 舢，= 、陌矿历耳忑玎f f 丽 最后得到误差表达式( 2 - 1 8 ) ： 竺：煎堕堑豳 疋 孵i m x 2 , - j , 2 ( 2 1 9 ) 对上式进行分析，上式是用来求取表征特征半径的系数f 的，( 2 1 9 ) 式左边 的误差最大值是指定的实数，对于固定的珂，梁的大变形结果导，了b 是可以 通过( 2 - 1 5 ) ，( 2 - 1 6 ) 计算得到的，也是已知条件，因此( 2 1 9 ) 式实际上是 0关于 亭 和 岛 的 函 数式。 对于这样的 函数优化问题是非常容易解决的，理论上得到暑= o ，塑0 0 = o 的相应f 值以 及0 的值就可以了。然而( 2 - 1 9 ) 式复杂，因此只能得到数值解。下列的程序 框图2 8 给出了一部分计算步骤。 之所以称为一部分计算步骤是因为，从计算流程看，在未进入迭代计算前， 先将巩赋值未零，这样在今后的迭代计算过程中，对于取定的一，f 和，计 算出相应的o o ，。，且变形结果的误差保证在f 了e r r o r 以内。f 值是事先给 o ，m 践 定的，不是优化计算得到的，计算得到的0 值是在此f 下可以达到的最大值， 而对于给定的n ，f 在 o ，l 】域中取什么样的值可以使得在给定的误差范围内。 四川大学硕士学位论文 取值最大，并没有得到体现，因此上述计算流程只是整个计算过程中的一部分。 对于f 值的优化，可以看成是一个一维参数优化问题。这里采用黄金分割 法进行搜值。 图2 8 确定 。的一维优化过程 黄金分割法应用于此问题可以简单描述为在初始区间【o ，l 】内，对于 璺塑奎兰堡主兰壁笙塞 0 5 4 - l ，则0 i g o 5 ，这样将区间分为l o , fj ，0 一f ， l ，b4 三个区间1 。 个判定过程决定是从右边压缩得到新的区间【0 ，f | ，或是从左边压缩得到新的 区间n 一6i i ，然后将新的子区问按前面同样的比例再分成三部分。这个比例取 0 6 1 8 黄金分割率。结合图2 8 计算流程得到对应于每一步迭代所取的f 所得 到的o