（概率论与数理统计专业论文）对股指期权的研究.pdf

中文摘要 摘要 股票指数期权是以股票指数为标的的期权，由于股票指数能代表整个市场股票价 格变动的趋势和幅度，人们通过买卖股票指数期权对股票组合进行套期保值，以规避 系统风险。因此股指期权合约在发达国家得到迅速的发展。在我国，随着股指期货的 即将推出，股指期权的推出也势将必行。在这个环境下研究股指期权是非常有意义的 一件事情。 全文一共分为七个部分。 第一部分，回顾股指期权及其定价理论的发展历程，介绍股指期权所发挥的市场 功能以及在我国的发展意义；第二部分，介绍了期权的基础知识以及影响期权价值的 因素；第三章介绍了b l a d 【s c h o l e 8 期权定价模型；第四章介绍了股指期权的风险特性 及交易策略；第五章针对“波动率微笑，在g a r c h 模型的基础上，推导出新的期 权定价公式；第六章，在o u 过程中，y 的( r ，s ) 阶现实的双幂协变差过程y ( y ；r ，s ) 若其 极限存在，则为双幂协变差y ( y ；r ，s ) t ，我们证明了在以概率l 的意义下也成立，这对 如何进行波动率估计具有巨大的指导意义；文章的最后部分，对芝加哥期权交易所的 的s p5 0 0 股票指数进行参数估计和g a r c h 建模，运用新的定价模型进行期权定价。 文章的主要创新之处在于，运用新的方法进行b s 公式的推导，得出了一类模型的 封闭解；并且基于g a r c h 模型，得出新的期权定价模型，将其用于现实的期权定价 中；证明了在o u 过程中，y 的( r ，s ) 阶现实的双幂协变差过程y ( y ；r ，s ) 极限若存在，其 为双幂变差y ( y ；r ，s ) t ，并且在以概率1 的意义下也成立。 关键词：股票指数期权、套期保值、b l a c k _ s c h o h 模型、g a r c h 模型、s & p5 0 0 股票 指数、二项式变差、双幂协变差。 英文摘要 a b s t r a c t s t oc ：ki n d e xo p t i o ni 8t h eo p t i o nw h o s et a l r g e ti ss t oc _ ki n d e x p e o p l eb u yo rs e us t o c k 础叹o p t i o n sa n dh e d g et h es t o c kp o r t f o h 0 si no r d e rt oa y o i dt h es y s t e mr i s kb e c a _ u s et h e 8 t o c l 【i n d e xc a nr 印r e s e n tt h et r e n d 衄dm a g ：n i t u d eo ft h ew h o l es t o c km a r k e t t h es t o c k m e x o p t i o nh a s b e e nd e v e l o p e dq t l i c k i yi nt h ed e v e l o p e dc o u n t r i 鹤锄d 丽ub ei n 嘶t a b l y d e y e l o p e di i lc h i 舰而t ht h ep r e p 撕n g0 fs t o c ki n d e xf u t u r e i nt h i sc i r c u m s t 跚c e ，渺 缸c ho ns t o c ki n d e xo p t i o ni s 叫t em e a n i n 斟m t h i 8p a p e ri sd i 访d e di n t o 觥钮p 砒st o9 00 n i nt h ef i r s tp a r t ，w er e 讥e wt h ed e v e l o p i n gc o u r o fs t oc ! ki n d e ) 【o p t i o na n do p t i o n p r i c i n gt h e o r y a l s o ，w ei n t r o d u c e t h em 幽t 劬c t i o 璐p l a y e db ys t o c ki n d e xo p t i o 瑚a n d i f 眦r o d u c e di nc l l i n at h e y 丽1 lp l a yav e 巧i m p o r t a n tr o l ei nt h es t o c km 甜k e t ；i ns e c t i o n 掘r 0 ，w ei i l t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yo fo p t i o na n d 让l ef a c t o r s 胡b c t i n gt h eo p t i o np r i c e ；i n c ：h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c eb l a c k s c h 0 1 e sm o d e la n du s e an e w w a y t op r o v ei t ；i nc h 印t e r4 ，w e i n ：t r o d u c e 娃呛r i s kc h a a c t e r 8o fs t o c ki n d e xo p t i o 璐a n dm a n yd i f r e n tt r 8 d i n gs t r a t e 酉e s ； i nd l a p t e r5 ，b e c a u 8 eo f ”v o l a t i l i t ys m i l e t oc o n q u e rt h e 掘a d 、，a n t a g eo fb l a c l 【_ s c h o 妇 m o d e l ，w ei n f e rt h eo p t i o np r i c i gm o d e lb a s e d0 ng a r c hm o d e l ；i ne h 印t e r6 ，w ep r o y e t h a tt h eb i p 鸭rv 耵i a t i o np r o c e 鼹镐o fo r d e r ( r ，s ) o fy ，d e n o t e db yy ( y ；r ，s ) t ，i st h el i 瑚讹 丽t hp r o b a b i h t yo n e ，i fi te 】( i t sf o ra u 亡o ，o fy ( y ；r ，s ) i nt h el a s tp a r t ，w ea d o p ts p 5 0 0 0 p t i o ni i l d e = ki nc b o et ot e s 七t h ev 以i d i t yo ft h en e wm o d e l k e yw b r d s ： s t o c ki n d e xo p t i o n ， h e d g e m e n t ， b l a c k s c h o l e sm o d e l ，g a r c h m o d e l ，s p5 0 08 t o c k i n d e xo p t i o n ，q u a d r a t i cv a r i a t i o n ，b i p o w e rv a r i a t i o n 一v 1 一 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意。 作者签名： 马吼写 日期： 学位论文使用授权的说明 础占工 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学校论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保留的 学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 马眈自 ，、j 砌孑、易 导师签名：至至坚 日期：竺堕：5 ：兰 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀可匕 1 1 股票指数期权的产生和发展 虽然期权的发展是近些年的事情，但是它确实在很久之前就已经产生了，尽管 那些早期包含了期权因素的合约很难说是真正的期权。大量期权的初次使用应该是 在1 7 世纪的荷兰郁金香球茎交易的狂热时期，由于当时没有任何机制保障合约双方的 权益，在1 6 3 6 年郁金香狂热结束后，期权市场就宣告瓦解了。当时主要的违约类型是 当卖权的买方要将郁金香以履约的价格出售给卖权的卖方时，卖方拒绝交割，因为郁 金香的市价已经跌到了跌无可跌的低价位了。 1 8 、1 9 世纪，美国及欧洲相继出现了有组织的期权交易，标的物以农产品为主， 而且都是以场外市场的交易方式呈现。1 9 世纪，美国出现了以股票为标的物的期权交 易，然而当时的市场状况一片混乱。1 9 世纪6 0 年代，美式商品的买权及卖权开始在华 尔街场外交易市场交易。早期的期权市场没有相关的法律加以规范，市场交易者的形 用状况比较差，产生了许多诈骗及违约事件，期权被批评的一无是处，甚至与赌博划 上等号。 1 9 7 3 年4 月，芝加哥期货交易所( c b o t ) 会员成立了一个新的交易所一芝加哥期权 交易所( c b o e ) ，专门用来交易股票期权。1 9 7 3 年4 月2 6 日就有1 6 支股票看涨期权开始交 易。1 9 7 7 年引入看跌期权。c b o e 一个最重要的创新就是制定了标准履约价格和到期 日，这使得期权交易的流动性大增，从而推动了二级市场的发展。此后，c b o e 推出了 固定收益证券、货币、股指以及各种各样产品的期权，美国证券交易所( a m e x ) 和费城 证券交易所( p h l x ) 从1 9 7 5 年开始期权交易，太平洋证券交易所( p c x ) 从1 9 7 6 年开始期 权交易。到了2 0 世纪8 0 年代初期，期权交易规模越来越大，每日卖出的期权合约规定 的标的股票总数超过了纽约股票交易所的日交易量。 1 9 8 3 年3 月1 1 日，芝加哥期权交易所( c b o e ) 推出了其第一个股指期权合约一 c b o b l 0 0 指数期权，后来改名为s p 1 0 0 指数期权。1 9 8 3 年7 月1 日，又推出s p 5 0 0 指 数期权。纽约证券交易所和费城股票交易所分别于1 9 8 3 年及1 9 8 5 年推出纽约综合指数期 一】 1 2 股票指数期权的功能 权及价值链综合指数期权。 在欧洲市场，伦敦金融期货交易所( l i f f e ) 于1 9 8 4 年推出英国百种股指期权；法 国期权交易所于1 9 8 8 年推出c a c4 0 股指期权；德国期货交易所( d t b ) 则于1 9 9 0 年推出 了3 0 股指期权。 亚洲市场的指数期权，最早的是日本大阪证券交易所于1 9 8 9 年推出的日经2 2 5 股指 期权；中国的香港期货交易所于1 9 9 3 年推出恒生股指期权；韩国证券交易所在1 9 9 7 年推 出了闻名全球的k o s p i2 0 0 指数期权。此外，中国的台湾期货交易所于2 0 0 1 年正式推出 台湾证券交易所股票指数期权。 1 2 股票指数期权的功能 从整个资本市场来看，股指期权只要有价格发现、活跃股票市场、增强市场的流 动性与稳定性、促进资本形成、确保资本市场良性运行等功能。从投资者角度看，股 指期权具有以下基本功能： 1 2 1 风险管理 风险管理是股指期权最主要的经济功能。就期权买方而言，风险一次性锁定，但 收益却可能很大甚至是无限量的。相反，对于期权卖方，收益被一次性锁定，然而其 承担的损失却可能是很大甚至是无限量的。因此，股指期权买方可通过支付权利金买 入买权或卖权达到转移其持有的一篮子股票风险的功能。买入买权可转移股指可能上 涨的风险。买入卖权可以转移未来股指可能下跌的风险。 1 2 2 价格发现 股指期权具有价格发现的功能。由于股指期权是一种标准化合约，其内容包含着 在未来某一特定时点，或者某一短时期内可以用约定的价格来购买或出售约定指数给 交易对方，因此股指期权市场价格的形成是在一个近似于完全竞争的市场上。相关市 场的供求关系、宏观经济的变化趋势以及市场预期都会影响期权的价格，瞬时信息的 变化会较快地体现在价格上。因此，股指期权价格的形成有利于提高信息的透明度， 促进信息的传递。期权市场与现货市场具有高度相关性，从而提高了整个金融市场的 一2 一 第一章绪论 效率。 1 2 3 套利 股指期权具有套利功能。金融市场内存在大量具有内在联系的金融产品，在通常 情况下，相关产品的价格应该存在某种确定的数量关系，当某种产品的价格偏离这种 数量关系时，总可以低价买入某种产品，高价卖出相关产品，从而进行套利。比如， 当股指期权价格高于合理价格时，就可以卖出股指期权买权、买入相应指数的一篮子 股票之间进行套利。 1 2 4 投机功能 股指期权具有投机的功能。投机是指按照市场波动的方向进行交易，赚取潜在的 回报。当交易者确定市场的未来变化趋势时，可以通过股指期权进行投机。如果预期 指数会涨，就可以买入买权或卖出卖权：如果预期指数会跌，就可以买入卖权或卖出 买权，利用股指期权的杠杠效应获取高额利润。同时，风险的非对称性可以满足不同 风险类型爱好者的需求。 1 3 期权定价理论的发展 最早的期权定价模型的提出者可能要数l o u i sb a c h e l 盏。但其模型在长达半个世纪 之久并没有引起金融界的重视，直到1 9 5 6 年被k r u i z e n g a 再次发现，它在两个方面稍有 缺陷：一是布朗运动的运用允许股票价格为负，另一个是平均预期价格的变化为零的 假设。其后的一段时间内，期权定价理论的发展主要集中在经济计量模型，其代表 是k a s 8 0 u f ( 1 9 6 9 ) 的模型。 期权定价的主要发展开始于6 0 年代，1 9 6 1 年，s p r e l 【l e 假设了一个对数分布，这个 分布中的股票价格具有固定的均值q 与方差盯2 ，且该分布允许股票价格有正向漂移，它 的看涨期权公式为： c ：e a t s ( 坚堕兰厶竺! _ 牲) 一( 1 一丌) e ( 皇竖兰竺2 _ 掣) 、 d t 、 0 0 t 参数7 r 是市场“价格杠杆 的调节量。 1 3 期权定价理论的发展 1 9 6 4 年，b o n e 鼹也对股票收益假设了一个固定的对数分布，并用股票的预期收益 率q 来贴现最终期权的预期值，得到看涨期权价格为： c ：e 订s ( 垫! 塑2 兽茎鲨) 一e 一叮e ( ! 竺! 塑警二善鲨) o q t 。、 口q t 。 这公式形式与b s 公式完全相同，唯一的区别是它的用法，此处q 是股票的预期收益率 而不是无风险利率。 1 9 6 5 年，s 眦u e k n 意识到由于风险的不同，期权和股票的期望收益应该是不同 的，对应于股票的期望收益率a ，他给定期权的期望收益率为一个较高的常数口，提出 的欧式看涨期权的定价公式为： g “川妒删坐盟掣) - e _ 弦删坐盟掣) o j i 。o j i 。 1 9 6 9 年，s 锄u e l s d n 和m e r t o n 用资产组合选择的模型检验了期权定价理论。 1 9 7 3 年5 月，b l a c k 和s c h o l e 8 在美国政治经济学杂志( j o l l r n 越o fp o l i t i c a l le c o n o m y ) 上刊登了题目为“期权定价与公司债务( t h ep r i c i n g0 fo p t i o 璐a n dc o r p o r a t e l i 8 b i l i t i e s ) 的文章，文章在有效市场和股票价格对数正态分布假设下，运用连续交易保 值策略推出了著名的s 模型。 b 。s 期权定价方法的基本思想是：衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受 同一种不确定因素的影响，二者遵循相同的维纳过程，通过建立一个包含恰当的衍生 资产头寸和标的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产 头寸的盈亏可以相互抵消，由这样构成的资产组合为无风险的资产组合，在不存在风 险套利机会的情况下，该资产组合的收益率等于无风险利率，由此得到衍生资产价格 的s 偏微分方程。b s 公式出现后，随即引起大量的研究，尤其是在数学上对随机分 析、随机控制、非线性分析、偏微分方程、数值分析、数理统计等许多方面都带来了 极大的推动力，不仅如此，由于b s 理论是以套利理论为基础，表明了任何期权交易和 有关金融证券的结合都可获得无风险的回报，其方法是先利用期权和有关证券达到无 风险保值，然后再求期权价格或套期保值比率，因此b s 模型为投资者提供了一种精确 确定期权价格、控制投资风险的手段，对未来的风险提供了系统的、不依赖人们对风 一4 一 第一章绪论 险主观态度的估价方法，并且还为如何化解风险提供了完整的思路。 现在b s 期权定价公式，已经成为实业界评估期权价格最广泛使用的基准公式，此 后的研究基本上是在两个方向展开的，一个是对b s 模型的修正、扩展，另一个是对模 型的实证检验和应用研究。主要研究成果有：1 9 7 3 年，t h o r p e 检验了卖空限制条件， 同年m e r t 衄推广了股利和随机利率的模型：1 9 7 6 年，c 呶、瞰瑚和m e r t o n 考虑了股票 价格公式展开中不具有连续样本路径时的期权问题，同年，i n g e r s o u 和s c h d e s 考虑了 资本收益和股利的不同税率效果；r d b i 璐t e i n 和b r e n n a n 引入了投资者效用函数，得到 了离散时间交易& s 方程解；1 9 8 5 年，c 暇、i n g e r s o n 和胁s 考虑了利率期权，l e l a n d 考虑了交易成本；1 9 8 7 年，h u u 和w 1 1 i t e 考虑了随机波动；1 9 9 0 年，、i g g i 璐也考虑 了随机波动，同时加以实证检验；1 9 8 8 年，l o a 和m a c l l i i l l 哪通过实测数据分析发 现，股票的价格可能会出现间断的跳跃，股票的预期收益率往往是波动变化的，可 能是依赖时间和股票价格的函数。9 0 年代以来，很多学者对股票价格规律进行了 研究，如k 肌t 的i t o 过程和随机过程混合模型，m e r t o n 的随机利率模型，m 疵i n 的 半鞅模型，s c o t t 及h e r z e l 存在异常变动跳跃的模型，c h a n 的l e v y 过程模型，j e a n 的指 数l e v y 过程模型，j e a 小l u c 的标志点过程模型等等。 1 4 期权及股指期权在我国的发展及意义 由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，且表现出灵活性 和多样性特点，故近3 0 多年来，特别是9 0 年代以来，期权成为最有活力的衍生金融产 品，得到了迅速发展和广泛的应用。期权是一种重要的金融衍生产品，在市场经济 发达的国家，期权市场已是构成其证券市场的一个重要组成部分。近2 0 多年来，国际 金融界对期权理论的研究和应用投入了巨大的关注，特别是西方发达国家，期权理 论的发展日新月异，期权应用研究也紧随其后。由于对期权理论研究做出的突出贡 献，s c h o l e 8 和m e r t o n 因此获得了1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖。 由于历史、体制、学科建设等方面因素的影响制约，期权市场目前在我国仍然是 一个理论概念，但我国政府、金融学界和实务界已经越来越重视这一理论的研究和应 用。国务院曾多次指示要加快金融科学的设立，国家自然科学基金会对金融数学、金 融工程的研究项目支持力度也较大。1 9 9 6 年，国家自然科学基金委员会已将“金融数 一5 一 1 5 本文的基本工作 学、金融工程和金融管理 研究列为国家“九五 重大研究项目，国内现已有相当一 部分学者活跃在这一领域。迄今为止，我国尚未开展期权的实际交易，没有形成独立 完整的期权市场，但这并不意味着期权定价理论在我国没有用处。事实上，与公司财 务关系最密切的一些金融资产如股票、可转换债券及认股权证等，均隐含了期权的思 想在内。应用期权定价理论对这些金融资产进行定价，对我们准确把握公司价值，分 析公司的投资和融资问题，以及对公司进行资产重组、兼并和收购等均有重要的现实 意义。 随着我国经济市场化进程的发展和各方面条件的成熟，期权市场在我国的发育和 发展是我国市场体系，特别是金融市场发展与完善过程中的一项重要内容，加快国内 期权市场的发展是我国金融体制与国际金融市场接轨以及参与国际金融市场竞争等实 践活动的迫切需要。 1 5 本文的基本工作 文章主要做了如下工作：第一部分，介绍了期权的基础知识，b s 公式，以及 股指期权的风险特性和交易策略：第二部分，在基于g a r c h 模型的基础上，推导 出期权定价公式；第三部分，证明了在o - u 过程中，y 的( r ，s ) 阶现实的双幂协变差 过程y ( y ；r ，s ) 其极限若存在，其为双幂变差y ( y ；r ，3 ) t ，并且在以概率1 的意义下也 成立；第四部分，对芝加哥期权交易所所的s p xs p5 0 0 股票指数进行参数估计 和g a r c h 建模，运用新的定价模型进行期权定价。 一6 一 第二章期权的基础知识 第二章期权的基础知识 2 1 期权的基本知识和分类 2 1 1 定义 定义：期权( o p t i o n ) 就是指是一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定 数量的某种特定商品的权利，期权实际上是一种权利，是一种选择权，期权的持有者 多头可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权 利，也可以放弃该权利而期权的出卖者空头则只负有期权合约规定的义务。期权合约 中的价格被称为执行价格或敲定价格( e x e r c i s ep r i c e s t r i k ep r i c e ) ，合约中的日期为到 期日、执行日或期满日( e 印i r a t i o nd a t e ) 。 在期权交易中，买入期权，就是期权多头。买入看涨期权，就是看涨期权的多 头；买入看跌期权，就是看跌期权的多头。卖出期权，就是期权空头，卖出看涨期权 则是看涨期权的空头；卖出看跌期权，就是看跌期权的空头。 期权的买方获得这种权利是支付了一定的费用，而期权的卖方必须承担的义务是 因为他获得了一定的费用。这“一定的费用 就是期权的价格。期权的定价是指期权 价格的确定，期权价格是期权购买者为获得期权合约所赋予的权利而支付给期权出售 者的费用，反映出期权的买卖双方对这一权利做出的价值判断。它也是期权多头持有 者在期权交易中最大可能的损失。期权的价格决定于标的资产价格的变化。由于标的 资产是一种风险资产( 如股票) ，因此期权的定价变化是随机的。由此产生的期权的价格 变化亦必是随机的。但是一旦标的资产价格确定下来，那么作为它的衍生证券的价格 将随之确定。 2 1 2 分类 按期权的权利划分，期权可以分为看涨期权( c “o p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 两 种类型。 一7 一 2 1 期权的基本知识和分类 看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权 合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定 商品的权利，但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内， 应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。 看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权 合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定 商品的权利，但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内， 应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。 按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权等类型。美式期权是指在期权合 约规定的有效期内，任何时候都可以行使权利。欧式期权是指在期权合约规定的到期 日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自 动作废。 期权按期权的交割时间划分主要有欧式期权、百慕大混合式期权，其中百慕大混 合式期权是介于美式与欧式之间的一种期权，持有人有权在到期日之前的一个或者多 个日期行权( 即行权起始目行权截至日期权到期日) 。百慕大混合式期权的行权日 一般在到期日前的一个周内。 按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及货 币外汇期权等种类。 期权按执行价格与标的物的市场价格的关系可分为实值期权( i nt h en l o n e y ) 、平值 期权( a tt h em o n e y ) 和虚值期权( o u tt h em o n e y ) 。 当期权持有人执行期权能产生利润时，称此期权处于实值状态；当执行期权无利 可图时，期权处于虚值状态。如果标的资产现价大于看涨期权的执行价格，则该看涨 期权处于实值( 又称价内期权) 状态，因为这时以执行价格购买资产有利可图；如果标的 资产现价小于看涨期权的执行价格，则该看涨期权处于虚值( 又称价外期权) 状态，这时 没人会执行该期权对看跌期权。情况正好相反。如果标的资产现价大于看跌期权的执 行价格，则该看跌期权处于虚值( 又称价外期权) 状态，如果标的资产现价小于看跌期权 的执行价格，则该看跌期权处于实值( 又称价内期权) 状态。如果标的资产现价与期权执 行价格相等，则该期权为两平期权或等价期权。 一8 一 第二章期权的基础知识 设s 为基础资产的市场价格，x 为期权执行价格，这里不考虑手续费，如表2 1 ： 表2 1 看涨期权看跌期权 实值期权s x ( 价内) s x 时，期权将被执行，而当阳x 时，期权将被放弃相应的空头的价值为 多头的负数，即： 一m a x ( 岛一x ，o ) ，或m i n ( x 一，o ) 同理可得，欧式看跌多头的价值为： 而相应的空头的价值为： 因此，可得看涨期权的收益图2 1 ： 看跌期权的收益图2 2 ： m a x ( x 一踯，0 ) 一m a x ( x 一曲，o ) 2 1 4 影响期权价值的因素 一般来说，影响期权价值的因素有六种：标的资产的价格、执行价格、到期时 间、标的资产的波动率、无风险利率和期权有效期内预计发放的红利。这些因素对不 同种期权的影响有所不同。 ( 1 ) 标的资产的价格 标的资产的价格是影响期权价格的重要因素。因为期权的内在价值取决于标的资 产的市场价格与执行价格，例如看涨期权的内在价值是标的资产的价格与执行价格之 】0 一 第二章期权的基础知识 损益 权利费 损益 权利费 。 ， 磊 履约价格 圈2 1 看涨期权收益图 _ 二纛格一。：l ? 图2 - 2 看跌期权收益图 - 1 1 一 多头 价格 宰4 - 工j 多头 价格 空头 2 1 期权的基本知识和分类 差，标的资产的价格越高，期权的内在价值越大。因此，不难看出，看涨期权的价格 是标的资产价格的递增函数，而看跌期权的价格是资产当前价格的递减函数。 ( 2 ) 执行价格 从期权的内在价值公式容易看出：执行价格的上升有利于看跌期权内在价值的上 升，但不利于看涨期权内在价值的上升，从而引起看跌期权价格的上升和看涨期权价 格的下降；相反，执行价格的下降有利于看涨期权内在价值的上升，而不利于看跌期 权内在价值的上升，从而引起看涨期权价格的上升和看跌期权价格的下降通常情况 下，执行价格是不变的，期权的价格主要决定于标的资产的价格，这两个因素是影响 期权价格的内在因素，其他的是外在因素 ( 3 ) 到期期限 到期期限对期权价格的影响，不像标的资产的价格和执行价格对期权价格的影响 那样直观。但也不难理解，即使时间再长，欧式期权的内在价值也只取决于到期日标 的资产的价格与执行价格的对比状况，而美式期权却可以利用到期日前的好机会。因 此，到期期限对欧式期权价格和美式期权价格的影响不同。欧式期权受到期期限的影 响不是很明显，因为有效期长的期权的执行机会并不一定比有效期短的好。到期期限 的长短不同主要影响美式期权的价值。到期期限越长，美式期权可利用的机会越多， 时间价值越大，因而越值钱，即价格越高反之，期限越短，则价格越低。 当期权的有效期限增加时，美式看涨期权和看跌期权的价值都会增加。到期时间 对期权价值还必须考虑现值规律的影响。资金的时间价值规律对看涨期权和看跌期权 的影响是相反的。看涨期权购买者需要在到期日支付一个固定的价格，随着期权有效 期的延长，固定价格的现值是递减的，从而增加了看涨期权的价值；对于看跌期权而 言，在到期日以执行价格卖出标的资产的收益现值也随期权有效期延长而减小，但这 种减小使看跌期权的价值减小。 ( 4 ) 标的资产价格的波动率 期权的价格还受风险因素的影响，风险程度用标的资产价格的预期波动率表示， 标的资产价格波动幅度越大，期权的价格越高。这一点对看涨期权和看跌期权同样成 立。我们知道期权购买者的最大损失就是其购买期权所支付的价格，同时，标的资产 价格波动越大，期权持有者获得超额收益的可能性就越大。 一】2 一 第二章期权的基础知识 ( 5 ) 无风险利率 无风险利率并不直接影响期权的价格，当无风险利率增加时，会出现两种倾向： 一是标的资产价格的预期增长率倾向于增加；二是期权持有者收到的未来现金流的现 值倾向于减少。这两种倾向都会引起看跌期权的价格减少，而对于看涨期权来说，前 者增加看涨期权的价格，后者减少看涨期权的价格，但前者的影响起主导作用。因 此，无风险利率上升会导致看涨期权价格的上升，但却会降低看跌期权的价格。 ( 6 ) 期权有效期内预计发放的红利 股息因素一般适用于股票期权。在没有其它因素干扰的情况下，股票在除息日后 的价格将等于除息日前的价格减去红利，红利将降低股票价格。根据股票价格对期权 价格的影响，股票价格的降低将引起看涨期权价格下降和看跌期权价格上升，而且， 看涨期权持有人虽然有购买股票的权力，但在真正持有股票之前，并无资格参与红利 分配；而看跌期权持有人虽然可以卖掉股票，但在真正执行期权之前，并不失去参与 红利分配的资格可见，看涨期权的价格与预期红利的大小成反向变动，而看跌期权的 价值与预期红利的大小成正向变动。各因素的作用可以总结如下： 表2 2 变量欧式看涨期权 欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权 标标的资产价格 tlt上 执执行价格 上下上t 到期期限 7 7 + 波动率 下tt下 无风险利率t上 t 上 红利 上t上t 注：下、【、 ? 分别表示成正比、成反比和不确定关系。 一1 3 第三章b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 3 1 b s 公式 期权定价理论的最新革命始于1 9 7 3 年。这一年，美国金融学家f i s h e r b l a c k 和m y r o ns c h o l e s 发表了关于期权定价的经典论文t h ep r i c i n go fo p t i o 瑚 a j l dc o r p o r a t el i a b i h t i e 8 。在文中提出的模型称为b i a d c s d l o l 鹤期权定价公式， 简称& s 公式。b l a c k s c h o l e s 在推导b s 公式时，假设金融市场满足如下条件： 1 股票价格s 遵循如下随机过程： a s = 睁s m + o s d z 2 允许使用全部所得( p r o c e e d s ) 卖空衍生证券。 3 没有交易费用或税收。所有证券都是高度可分的。 4 在衍生证券的有效期内没有红利支付。 5 不存在无风险套利机会。 6 证券交易是连续的。 7 无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。 ( 孓1 ) 假设f 是依赖于s 的衍生产品证券的价格。变量卜定是s 和t 的某一函数。因此， 由( 3 - 1 ) 可得， d ，= ( 筹庐+ 笔+ 三筹灿+ 筹盯s a z p 2 ) 方程( 孓1 ) 和( 3 _ 2 ) 的离散形式为： s = p s + 盯s 名 一1 4 一 ( 3 3 ) 第三章b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 和 ，= ( 筹胪+ 蔷+ 丢嘉) 亡+ 筹口s z ( 孓4 ) 其中s 和亡是s 和，在短时间间隔孟后的变化量。可以看出，和s 遵循的w i e n e r 过 程相同。也就是说，方程( 孓3 ) 和( 3 - 4 ) 的名( = e 伛i ) 相同。所以，选择某种股票和衍生 产品的证券组合就可以消除w i e n e r 过程。 恰当的证券组合应该是： 1 ：衍生产品 + 裳：股票o a s “、 此证券组合的持有者卖出一份衍生产品，买入数量为+ 筹的股票。定义证券组合的 价值为。根据定义： = 一，+ 筹s 亡时间后证券组合的价值变化为： _ 划+ 筹s 将方程( 孓3 ) 和( 3 - 4 ) 代入方程( 孓6 ) ，得到： - ( - 筹一丢嘉参 洚5 ) ( 孓6 ) ( 3 - 7 ) 因为这个方程不含有名，经过亡后证券组合必定没有风险。假设证券组合的瞬时 收益率与其他短期的无风险证券收益率相同。如果该证券组合的收益率大，套利者就 可以通过卖出无风险证券然后用其收入购买该证券组合来获取无风险利益；如果该证 券组合的收益率小，套利者就可以通过卖出该证券组合购买无风险证券来获取无风险 利益。所以结果应该是： = r 亡 - 】5 一 3 。2 一类随机波动率模型的封闭解析解 其中r 为无风险利率。再由方程( 孓5 ) ( 孓7 ) 可以得到： 化简为： ( 筹+ 丢卷拶扯附一洳t 等郴筹+ 丢拶等叫 ( 孓8 ) 方程( 3 - 8 ) 是b l a c k s c h o l e s 微分方程。对应于所有的可用标的变量s 定义的不同衍 生证券，此方程有许多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条 件( b o u n d 哪c o n d i t i o 璐) 。这些边界条件确定了在s 和t 的可能取值的边界上衍生证券的 价值。对于欧式看涨期权，关键的边界情况为： ，= m 觚( s x ，0 ) 当亡= t 时 对于欧式看跌期权，边界条件为： ，= m a d c ( x so ) 当= t 时 3 2 一类随机波动率模型的封闭解析解 我们将股票& 服从几何布朗运动进行推广。在这里我们将标准布朗运动( s b m ) 认为 是股价随机过程的随机因子，这和b s 公式中将股价看成是几何布朗运动的想法没有什 么区别，只是s b m 拥有更好的性质更加方便我们的讨论。所以将我们所感兴趣的随机 变量，如波动率，期权价格等，看成是s b m 或是公司资产的函数。将股票看成是公司 资产( s b m ) 的期权，则股票期权实际上就成为基于公司资产( s b m ) 的复合期权。这个模 型下股票波动率是公司资产( s b m ) 的函数。若股票关于s b m 的函数有反函数，则股票 波动率就能表示成股价的函数。我们发现当股票波动率函数满足一个非线性偏微分方 程时，这个结论成立。从而我们可以最终得到期权的定价公式。 3 2 1 波动率的非线性偏微分方程 假设市场无套利，没有任何的交易费用，标的股价是一个从正值出发的一维扩韵 过程，市场风险中性漂移为r 一口，其中r20 是一常数无风险利率，q 是常数红利率，鲍 一1 6 第三章b 1 a c k - s c h o l e s 期权定价公式 对波动率o ( s ，) 是一个关于股票价格s ( o ，o o ) 和时间t ( 0 ，t ) 的正实函数，t 是某一较 远的水平时间点，其值大于我们所要定价的股票期权的最长到期时间。因为这个过程 仍有可能使得股价为零，令勺为股票第一次为零的时点。则7 - = t 八伯为一于有界停 时。 & ：t ( o ，7 ) ) 满足： d & = ( r g ) s d 亡+ n ( & ，亡) d 矾，t 【o ，叫 ( 孓9 ) 其中 o 的增函数。由( 3 - 1 5 ) ，相应的波动率函数为： 船。( 墨亡) = o ，t 【o ，卅， - 1 8 一 ( 孓2 0 ) 第三章b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 并且： 3 2 3 期权定价 熙。( s ，t ) = d ( 墨。) ，t 【0 ，列 ( 孓2 1 ) 糌。( 最) = p ( 最t ) ) ，s o ， o ，卵 ( 孓2 2 ) 在期权定价前，值得注意的是s b m 吼是一个在到期日t 支付_ 1 ( ) 的远期价 格，一1 ( ) 为庐( u ) 的反函数。这使得m 的漂移率为o ，波动率为1 。因此，u ( s ，亡) 是一 个在t 时刻支付_ 1 ( & ) 的布朗奇异期权在t 时刻的价格。 绝对波动率o ( & ，) 同样也可以看成是一个奇异期权的价格过程。由( 孓2 1 ) 可知该期 权的最终支付为p ( 鼠t )