（理论物理专业论文）非线性相干态新进展.pdf

摘要 本论文讨论了韭垡丝担王查和广义正规乘积内的积分技术及 其应用将非线性相干态的概念推广到翌堡情形我们得到了一些有 意义的结果同时讨论了双模情形下的 墨匡堑查以及型丝查它 们在物理学中潜在的应用也被提及 1 v a b s t r a c t t h i st h e s i sd i s c u s s e s t h en o n l i n e a rc o h e r e n ts t a t e ，g e n e r a l i z e d i w o pt e c h n i q u ea n dt h e i ra p p l i c a t i o ni np h y s i c s w h e nw ee x 。 t e n dt h ec o n c e p to fn o n l i n e a rc o h e r e n ts t a t e t ot w o m o d ec a s e ， w eg e ts o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s w ea l s od i s c u s st h eg e n e r a l i z e d s a u e e z e ds t a t ea n de n t a n g l e m e n ts t a t e t h e i rp o t e n t i a la p p l i c a - t i o n si np h y s i c sa r em e n t i o n e d v 致谢 首先感谢我的导师范洪义教授在我硕士学习期间，范老师的悉心指导和 做人风范上的潜移默化，不仅让我学到了许多精微的物理学知识，更重要的 是，这种学者风范的熏陶，将对我以后的人生有着非常重要的意义此刻我想 到的是当年范仲淹写给严子陵的一句诗：“云山苍苍，江水泱泱，先生之风， 山高水长” 在此一并感谢在科大七年中一直给我关怀和指导的所有正直严谨的老师 们 其次要感谢同实验室的师兄刘乃乐博士，他无私的指导和关怀使我获益 非浅最后，一并感谢同实验室的余贵川和汪辉同学，和他们的讨论与合作令 人愉快 序言 本论文由三章构成，第一章讲述了在单模情况下的非线性相于态及广义 i w o p 技术第二章讲述了在双模情形下的非线性相干态和纠缠态第三章 讨论了双模情形下的广义压缩态 第一章第一节是非线性相干态的一些文献综述第一章第二节中，我们利 用广义i w o p 技术构造了非线性相干态的超完备性，其中k e t 和b r a 是非厄 密共轭的作为一个应用，我们得到了对于非线性玻色算符的单模压缩变换 第一章第三节中，我们在平移非线性f o c k 态d y ( a ) i n ) ，和，( ( n ld i l ( a ) 的 基础上，构造了非线性平移f o c k 态它们构成了超完备性关系，这点可以用 广义的i w o p 技术来证明在非线性平移f 0 c k 态和非线性w i g n e r 算符之间 的关系也建立了起来从纯数学观点来看，光加相干态到n l d f s 的方法也被 提出第一章第四节中，我们构造了w i g n e r 函数和对应与非线性相干态的场 强相关算符的w i g n e r 分布函数尤其是，我们得到广义w i g n e r 函数的非线 性相干态表象这些都是在广义i w o p 技术的运用下完成的，上述讨论深化 了量子物理中的w i g n e r 函数理论第一章第五节中，我们利用非线性相干态 的完备性关系得到了一些非线性玻色算符的广义p 一表象 第二章第一节，我们建立了概念上重要和有物理应用前景的n e s 表象 我们看到对于这样的n e s ，我们能构造k e t b r a 不互为厄密共轭的完备性关 系用这样的方法，d i r a c 的表象理论和纠缠态都拓宽到了一个关于非线性 算符的新领域第二章第二节中，基于双模非线性相干态，我们导出在非线性 情况下的广义的b b d r 荷守恒相干态，一种新的非线性纠缠态i 叩) ，。和它的 衍生态它们的完备性关系可以用广义i w o p 技术证明同时得到一个1 q ) ，。 表象下的新的双模压缩算符，反过来导出了非线性负二项式态 第三章中，我们利用纠缠态表象( 町i 引入了广义压缩算符利用在( q i 基 上的w i g n e r 算符和双模压缩算符，双模压缩粒子数态和广义压缩真空态的 w i g n e r 函数可以很方便地导出它们的形式比以往文献中报道的要简洁因 此这一章的工作就是提供了一种计算广义压缩态的新的方法 第一章非线性相干态及广义i w o p 技术 1 1 文献综述 1 1 1引言 非经典光场态在量子光学中具有基础性的重要意义这些光场的性质来 源于电磁场的量子化特性近年来在量子光学的基础研究方面，采用不同的物 理实验方案例如共振发光，四波混频，俘获粒子的质心运动以及腔场操作，已 经在实验上实现了非经典态的演示因此，引进一系列的非经典态并且研究 它们的性质是相当有意义的一件事情而在这些背景下，相干态( c o h e r e n t s t a t e s ，c s s ) 的概念扮演了很重要的一个角色新的概念例如非线性相干态 和相位空间干涉都是从这个概念中衍生出来 1 1 2普通相干态 从量子谐振子的研究申衍生出来的一个非常重要的概念就是相干乏孓c s sj 的概念，这个概念是薛定锷( 1 首先提出，作为经典粒子在方型势场中的动力 学波包近似这些态在物理学中的许多分支都有非常重要的应用 2 ，3 】 1 1 2 1 谐振子相干态 谐振子在经典和量子物理中都是一个被研究得相当透彻的系统在量子 力学中，谐振子的描述可以简洁地用产生和湮灭算子来表达这些算子是在分 解谐振子哈密顿量中自然引进的 疗= i 1p 2 + 童2 ) ( 1 1 ) 其中童，痧分别是坐标和动量算符这里为简化起见，将危= 1 质量和频率都 取自然单位为1 瞄，纠= i 算符满足对易关系于是定义非厄密算符 4 - 等 ( 1 2 ) 以及它的共轭算符 a f = 髻 ( 1 3 ) 2 2 0 0 年中圈科学技术大学硕士学位论文 3 满足如下对易关系 a a t = i ，因此谐振子哈密顿量可以写成如下形式 1 h = a a t 一妄( 1 4 ) 疗的本征态可以写成粒子数态f n ) ，n = 1 ，2 ，3 a ，a 作用在态l n ) 上有如下关 系 aj n ) = v 丽i n 一1 ) ，j + i 扎) = 、伍+ 1i n4 - 1 ) ( 1 5 ) 同时算符aj 0 ) = 0 算子a ，a t 分别是粒子数态的湮灭和产生算子在谐振子 势阱中，要得到一个经典粒子的动力学近似波包就等于要得到湮灭算子的本 征态il d ) = o l n ) 4 1 这些本征态就是谐振子的相干态在粒子数态中相干 态的归一化展开式为 毗一( 一譬) 薹舞，一 ( 1 6 ) 在( 1 6 ) 式中的相干态可以通过平移幺正算符d ( q ) = e x p 0 二一o 二) 作用 在1 0 ) 上得到 5 q ) = e x p ( n a 一q a ) i o ) ( 1 7 ) 坐标算符的测不准性可以定义成 ( z ) = ( 圣2 ) 一( z ) 2( 1 8 ) 动量算符的测不准性可以类似定义对于谐振子相干态来说，童，西的测不准 性都等于在h 单位下乘积( , 4 z ) ( p ) = i 1 ，这是所有态中满足任何海森堡 测不准关系的最小值，因此，这样的态也可以称为最小测不准态因此，相干 态可以从三个方面来定义( 1 ) 代数上定义：a 的本征态，( 2 ) 群论定义： 幺正变形真空态( 见( 1 7 ) ) 式，( 3 ) 最小测不准态，对于简单谐振子的情 况，上述三种定义是等价的 1 1 2 2 相干态在h i l b e r t 空问中的性质 相干态的一些重要性质【5 】可以罗列如下：1 相干态的非正交性，例如 两个相干态f 血) ，f 所，有 i ( 口l q ) f 2 = e x p ( i a 一卢1 2 ) ( 1 9 ) 2 0 0 1 年中田科学技术大学硕4 - 学位论文 4 一 2 相干态最重要的性质：超完备性( o v e r c o m p | e t e n e s s ) ， ，些l q ) ( a l = l ( 1 1 0 ) 积分号如2 代表d ( r e a ) d ( ，m o ) 并且积分区域是整个复平面3 任意一个 密度算符p 都能在相干态投影下表示成 p = 譬尸( 邺) ( 。i ( 1 1 1 ) 这个表达式给出了在相干态基下的对角表象函数p ( o c ，。+ ) 称为g l a u b e r s u d a r s h a n 或者p 函数( 6 j 4 作为对角表象的一个结果，正规排序( 湮灭 算符都排在产生算符的右边) 的算符o ( a ，5 t ) 期望值为 ( d ) = 等脚) d ( 叩+ ) ( 1 1 2 ) 5 相干态的粒子数分布为 ) 1 2 = e x p ( 一坩) 等 ( 11 3 ) 这是平均值值和起伏量都为 f 2 泊松分布 1 1 2 3 相干态表象的应用 相干态的对角表象( 1 1 1 ) 在计算很多物理性质的时候都有很大的用处 例如：1 算符( 童) 2 = ( 量一( z ) ) 2 的期望值，在写成正规乘积后，可以表示 成 1，1 ( ( 宝) 2 ) = ；+ d a 2 p ( q ，n + ) ( i q l 2 一( q ) 一( o + ) ) ( 1 1 4 ) ， 、 这里圣= ( a + a + ) 以如果( 圣) 2 的值小于1 2 ，这就意味着p ( ，q + ) 在 复平面上并不是正定的对于这样的态来说，p 函数不再是一个有意义的密 度矩阵函数如果x 的不确定性小于1 2 ( 在单位下) ，我们称这个态在x 上是 压缩的同样的讨论对p 也成立2 对于泊松分布来说，平均值等于它的起 伏量如果一个分布的起伏量小于( 或大于) 它的平均值，这个分布就称为亚 泊松( 或超泊松) 分布一个态的粒子数分布满足亚泊松统计意味着相应的p 函数是非正定的【7 】3 使p 表象为非正的态的另外的一些性质是震荡的粒 子数分布，例如在有限值n 的分布消失【8 】压缩，亚泊松统计和震荡粒子数 分布被成为非经典性质，因为拥有这些性质的态对应的p 函数不再具有经典 的概率密度分布的意义一个态如果具有上述的性质，就被称为非经典态 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 1 1 2 4 电磁场的相干态 在量子化电磁场的过程中，我们可以引入和通常产生湮灭算符满足相同 的对易关系的算子作为量子化的结果，电磁场中的每一个模都能看成是互相 独立的谐振子个任意场中能同时存在许多模，它的哈密顿量可以写成 疗= 百1 ( a 。吐+ 碟i 。) ( 1 1 5 ) 。n = o 求和中的每一项都对应着场中的一个模算符i 。和a ：，满足l a 。，i ：，| = 如、n ， 这里a 。和醍分别是对应着第n 模的产生和湮灭算符，是这个模的频率。 在电磁场的领域中，相干态最先是由g l a u b e r 【9 ，1 0 】引进作为湮灭算符乱的 本征态这些相干态具有所有谐振子相干态在h i l b e r t 空间中的性质尤其是 对角表象建立了经典和量子理论中关于光子计数分布的形式上的对应f 6 1 在 经典辐射理论中，在时间间隔t 内的m 计数的几率为 p ( m ，丁) = o 。了( 7 i t ) me x p ( - ，z 7 m ( 1 1 6 ) 在上式中 y 是依赖于仪器灵敏度、入射辐射光谱性质等因素的因子，i 是入 射辐射的强度在量子理论中，计数分布的形式为 跏，耻( ：掣唧- v 6 t a t ) ：) _ 这里符号：表示算符是正规形式排列的p ( m ，t ) 的定义隐含了光子的 测量是基于光子的吸收运用对角表象，表达式可以写成 p ( m ，丁) ：镪唧( 叩 血f 2 ) d 2 n ( 1 1 8 ) 因此，我们可以看到，量子理论下光子计数分布方程( 1 1 8 ) 和经典的基于分 析信号表象下的方程( 1 1 6 ) 在结构上和相似 1 1 3 非线性相干态 其他类型的相干态可以从对基本对易关系【a ，a 】= 1 的变形中得到一个 被广泛研究的体系就是q 一变形振子，其基本对易关系满足h s t q h t h = g ， 其中宄是粒子数算符，满足h a 】= 一a 和降，a i 】= h t 这种关系之所以被 2 0 0 1 年中嗣科学技术大学硕士学位论文 6 称为变形的是因为当q = l 时，它回到通常的对易关系在谐振子相干态的领 域，这种q - 变形算符是通过变形s u ( 2 ) 代数的形式引进的 1 1 ，1 2 】 对于变形的理解，相当于引入非线性 1 3 定义两个新的算符 a = ，( f i ) a ，a + = & t f ( 矗) ( 1 1 9 ) 算符值函数，( 允) 就是变形函数如果让，( 矗) = 藤其中参数) 、为实 数如果日= e 1 ，那么( 1 1 9 ) 满足对易关系 a a t g a t a = q 一矿6( 1 2 0 ) 从a 到a 的变换是非经典的，因为i a ，a + l 1 为了说明上述变换的物理意义，我们可以先从经典系统看起经典谐振子通常 用它的复位相口= ( z + i p ) 2 及其复共轭o + 来描述它们关于q 和p 的泊 松括号为 q ，n ) = 一i 为了描述一个振子系统的动力学，或者其他系统， 需要确定在适当变量下的哈密顿量以及这些变量之间的泊松括号非谐振子 系统必须用不同的哈密顿量来描述等效的，如果我们要保留谐振子哈密顿量 的形式，我们也可以采用非经典的变换来改变这些变量之间的泊松括号 q 一变形很重要的一个性质就是：如果变形函数是粒子数算符的函数，那么它 的频率是能量相关的非线性性取决于函数f ( 矗) 的具体形式如果用b 来 标注任意变形的a 算符，一振子系统的哈密顿量可以写成 日，= 互1 豆雪t + 豆t 西 ( 1 2 1 ) 下标，表示算符是，一变形的因为，一变形函数是粒子数的函数，所以这个 哈密顿量的本征态就是通常振子的本征态经典情况下能量相关的频率在量 子情况下就可以视为n 的非线性函数的本征态 虽然作为一种基本对易关系的数学推广，q 变形振子在很多现实的物理体系 中都有的应用，例如多原子分子和物质一辐射相互作用在多原子分子的原子 之间的势能存在着非谐项因为变形振子可以解释成为非谐振子f 1 4 1 ，因此 它们可以作为多原子分子振动的模型【1 ，】 隶属于q 一变形振子的物理模型能够预言一些和非变形振子不同的结果，这使 得能够用实验来验证变形代数在物理上是否适当这些研究可以应用在确定 电子一光子散射的散射系数上【1 6 】，干涉变形效应上【1 7 】等等实验上更容易 2 0 ( 1 1 年中嗣科学技术大掌硕士学位论文 7 验证的q - 变形结果已经在双能级原子和电磁场相互作用的框架内建议出来 这种相互作用已经被j a y n e s 和c u m m i n g s 【1 8 1 的模型描述，其中原子被处理 成偶极子，电磁场被处理成一个振子这个模型的一个推广考虑到了在场和原 子之间的强度相关的耦合 1 9 】非线性相互作用模型的q 模拟预言了“复原 和塌缩”现象，这种现象在定量上不同于非变形模型 2 0 】随着q 的增高， 复原时间会原来越短，这种效应可以从实验上加以验证 一个频率依赖于能量的非线性振子给出了引入变形湮灭算符的物理动机这 些体系的相干态在文献f 2 t i 中，定义为算符占的本征态，这些态表示成为 i o z ，) ，满足 b j a ，f ) = n o ，) ( 1 2 2 ) 这些本征态被成为非线性相干态( n l c s ) 在粒子数表象下展开为 。 f 口，) = c n ( 1 2 3 ) 这里 c n =忑丽印 ( 12 4 ) 其中( ，( n ) ) ! = f ( 0 ) ，( 1 ) f ( 2 ) f ( n ) 将态j n ，) 归化就可得到i c o 的 值 c 。j 2 荟二 i a l 2 “ 【( ，( n ) ) ! 】2 ( 1 2 5 ) 常数c o 应该满足0 j c oj 。o ，这意味着 j 血i = ( 2 1 5 ) 类似于方程( 26 ) ， 。) ) ，只有当求和 i n lf 2 l + i z l 如i i i ，( 圳n !( 2 1 6 ) n = li m = ol 收敛时才有物理上的意义这很容易来证明j z ) ) ，满足方程 病。呲2 。，- ( 2 1 7 ) 。0 0 t 年 中国翌竺垫查奎兰翌主堂竺堡奎 兰 在态1 z ) ，和( i z ，) ) ，) 一( o l e x p f + ，( j ) v ) 。】之间的内积为 ，( ( 纠办- ( o 细州帅】e x p 而与卜= 唧一，( 2 1 8 ) 这意味着n l c s 并不是一个正交态于是n l c s 的完备性关系为 j 乎e 硝l z ) ss ( ( 引= ，譬e x p 一衍+ 南n 】 f 2 1 9 1 ：e x p 一? 行b a + ，( ) 叫：e x p z + ，( ) 。】， 。 这里e i = 1 2 是一个为使积分收敛的积分项从式( 2 1 9 ) 中我们看到e x p $ ( n _ 1 ) a + 】 是在：e x p 【- - 川- - l 一- ，a t ，、n ) ：的左边，同时e x p z ，( ) a j 是在它的右边因 此三个指数项恰好处在广义正规乘积下并且能在：，内组合成一个指数项 ，4 a 2 - 2 e i ”ii z ，州z i = ，譬：e x p - h 2 + 南+ 一万忐可口+ ，( ) v ) n + z + ，( ) ： 这个公式只对那些定义良好的算符函数，( ) 成立方程( 2 2 0 ) 就是非线性 相干态的超完备性它的复共轭是 r 譬e 咔瑚，( 扣1 ( 2 2 1 ) 值得注意的是在方程( 2 2 0 ) 中左矢和右矢并不是厄密共轭，必须强调的是在 标记：0 。算符7 者玎o 和f ( n ) a ，对易，这意味着当积分在d 2 z 上进行的时候 在：内它们都可以看成c 数积分参数然而，我们必须注意到虽然( 2 2 0 ) ( 和( 2 2 1 ) ) 的积分值给出了恒量，必须要留心分解式：e x p - j z l + f ( n 7 - 1 ) a t i 雨b a t f ( n ) a + z + ，( ) n e 中k e t - b r a 投影的物理意义这是因为并不是所 有的n l c s ，如( 2 5 ) 和( 21 5 ) 定义的那样，是可以归一化的一些n l c s 仅 仅在有限的z 上有意义( 参照收敛条件( 2 6 ) 和( 2 1 6 ) ) 例如，当f ( n ) = ( + 1 ) - 1 2 ，满足方程( + 1 ) “n l n ) = q i n ) 的n l c s 是 和 。) = e x p p 佤+ ， ( 2 2 2 ) 似唧p 志n _ 封譬 。s ， 2 0 0 1 年中墨科学技术大掌硕士学位论文 1 3 数学上，他们构成了超完备性关系 ，争e 小1 2l n ) ( q f = ，争e x p 一衅+ 口河口】：e x p 【- 何n i 赤o 】：e x p n 洳n 】 ( 2 2 4 ) = ，争：e x p 一坩+ o 何一一面o 南n + o l * 赤o e = 1 注意到当| n 1 ，因为, - 5 的存在，右矢态e x p o 8 o ) = 登q n l n ) 不能被 归一化，因此做如下的恒等分解这并不明智 知 n 册一佤+ 丽1 。十n 丽1 刁。0 = 叠争矽m j 譬 ( 2 2 6 ) 0 0， 因为对于川 1 来说，发散的求和o ”h ) 和在d 2 0 上的积分运算的次 序不能慰易，所以当我们利用式子 譬e 州。一( 。+ ) “= 如川 ( 22 7 ) 去进行如下在( 2 2 4 ) 左边的积分时，可能导致混乱 a a a e _ l c , l a 黑争f m f 学呻熹塾川帅h 州粥， 作为一个超完备关系( 2 2 0 ) 的应用我们可以导出一个新的算符公式 e n l ( 蛳1 2 e 计旆一r = ，譬e a ri z ) ，( ( 小“2 = ，譬。oe x p 一f zj 2 + a z 2 _ = t y z 吨+ 南。一万 可“f ( n ) a + z + ，( ) n j ： = 忐e x p f 盯( 7 厅面a t j2 i ( 1 4 a o ) e x p 一。h i ( 1 4 a a ) 1 e x p a ，( ) 口】2 ( 1 4 a a ) ) ( 2 2 9 ) 当，( ) = l ，方程( 2 2 9 ) 回到 黧ii赢exp)aat2(i-2(卜4aa)exp l n ( 1 4 a a e x p k a 14 圳 ( 2 3 。) j d t 口 一 ) j2 ( 一4 a 口) 、。7 2 0 0 1 年中田科学技术大学硕士学位论文 1 4 1 2 4 非线性玻色算符的压缩 我们构造如下积分型的k e t b r a 投影算符并且利用广义i w o p 技术去进 行积分， u ：矿一t 2i s i ，孚i s 。一r 矿) ，( ( 。i = s ”。1 2i s l f y 。譬：e x p 一i s l 2 i z l 2 + s z 7 巧击可n t + z i f ( n ) n 一7 万斋面o 】+ r 8 2 2 + r 矿。“一7 i 寻萄f u r ) 4 ： = e x p 卜虿rk - - a 叫- _ a t 】2 ) e x p 一( n + n + 1 2 ) 1 时】e x p 告i f ( n ) n n 这里我们让s 和r 满足关系 川2 一j r l 2 = 1 ， 并且运用算符恒等式 e d = = ：e x p ( e 。_ 1 ) 。) ：= 2 ：e x p ( e 2 1 ) j i j i ：可。，( ) 。) ：- ( 2 3 2 ) u 是一个幺正算符( 注意到方程( 2 3 1 ) 中8 - 1 2h 的存在) u t u = u u t = i ，( 2 3 3 ) 同时u 产生了对于非线性玻色算符的幺正变换 我们称u 为广义单模压缩算符我们很感兴趣的观察到在公式( 2 3 1 ) 的右边 的那些算符满足如下关系 卜m 2 ，( 志n 评。a t a + l 2 ) ，旧s j ， m 2 小w c w ， ( 志。t ) 2 叫一( 志a t ) 2 ， ( 2 3 6 ) 这意味着他们构成s u ( 1 ，1 ) 李代数总的来说，我们利用广义i w o p 技术构 造了非线性相干态的超完备性，其中k e t 和b r a 是非厄密共轭的作为一个应 用，我们得到了对于非线性玻色算符的单模压缩变换 弘 一离 紧 炒棚 鬻 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 1 3 非线性平移f o c k 态表象 1 3 1导盲 对应着通常相干态的非线性相干态的形式为 恸i = e x p ( 一譬+ 。而与n f l 0 1 ) ( 3 - ) 在通常的f o c k 态l 孔) 基础上，存在着所谓的平移f o c k 态 d ( 。) i n ) 2 而1 ( n 一z ) “f z ) = ( 3 2 ) 【5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 】，那么什么是非线性相干态对应的非线性平移f o c k 态 ( n l d f s ) 呢? 为了解答这个问题，我们首先引入非线性平移算符，考虑到( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我们将之定义为 蹦加e x p ( 。币! 习a t - z * 删) 。) ( 3 3 ) ( 注意到d s ( z ) 是非幺正的) 第二我们应该弄清楚什么是对应着al n ) = 元f 礼一1 ) 的非线性f o c k 态l n ) ，满足f ( n ) a 【凡) ，= v 伤j n 1 ) ，? 因为d ，( o ) 是非 幺正的，因此我们必须通过围道积分的方法来表示非线性f o c k 态，然后构造 n l d f s 我们还将建立n l d f s 和广义w i g n e r 算符在非线性条件下的关系 草略的讨论n l d f s 的物理产生，同时n l d f s 在非线性采样密度矩阵中潜在 的应用也将被提及 1 3 2非线性f o c k 态和非线性平移f o c k 态 我们利用非线性相干态( n l c s ) 和围道积分方法引入非线性f o c k ( n l f s ) 态这点是受了通常f o c k 态有如下积分表象的启发： f 6 1 j n ) = 丛2 ，r iz 万d z i i z ) ， n ) 2 一面万) ， ( 3 4 ) 或 ( n = 红而z n 删薹= 上2 7 r i z m + t n m ， ( 3 5 ) 2 0 0 年 中目科兰苎查查兰里主兰竺堡兰 ! ! 一 记号f 。意味着一个封闭的，反时针的，包含零点。= 0 的积分围道 肛) 是 一个没有归一化的相干态i i z ) = e ”i o ) 我们将n l f s 定义为 l n ) 三镖克南忱二雾旁嚣詈。焘t n f - l ( n - 1 ) a t f - , 1 ) a m f 。6 = 赤【( 一 m n a = 口( 一1 ) ，n a = a t ( + 1 ) ， ( 。) “，( + 1 ) ，( + n ) = f ( n ) a t “， 方程( 3 6 ) 变为 ，= 去厂( o ) ，_ i ( n _ 1 ) ( n + ) 印) = 夏一 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 将，( h i 作为n ) ；的厄密共轭是一个平凡的引入然而，类似于方程( 3 7 ) 我 们定义态矢i 几) ，的对偶态为 ，( ( 叫= 正d 。舞( o le 嚣= 。上2 7 r i z m + tm 一1 ) “ f 3 1 0 ) = 彘( o l ( ，( ) o “= n ；n - o i 州) ( n l _ 、 特殊的，有t o ) ，= i o ) ，( ( o j = ( 0 1 必须强调，f ( n ) a 和，一1 ( 一1 ) a + 满足 n ，志。+ = 1 - 川 并且i n ) ，a n df ( ( n 1 不互为厄密共轭然而，他们张成了完备关系 三j “) f f ( ( 训 = o ca 。! n 1 ) f = l ( o ) 厢i n ) ( n 邶) 巾) 啊( 3 1 2 ) = 墨o i n ) ( 训= 1 并且满足正交关系 ，( ( nj ，= 晶，n ( 3 1 3 ) 。0 0 t 年 中i 科兰苎查查竺里主兰竺堡奎 坚 一一 注意到n l f s 和它的对偶态的升降算符分别为 ，( ) 咖) ，= 而l 扎- m ，高与川n ) ，= 而 ( 3 1 4 ) 州n is - l ( 一1 ) n t = 厄( ( n i ，( ( 札i ，( ) 。= 而可，( ( n h ( 3 1 5 ) 并且有 厂1 ( 一1 ) a + f ( n ) a i n ) ，= n i n ) ，= 咒l 扎) ，一 ( 31 6 ) 在n l f s 和n l c s 之间的内积为 ，( ( 小) s - 杀 ( 3 1 7 ) 一n n 一1 巾i 办2 南盟，- 2 。) ( 3 1 8 ) 将非线性平移算符d ( z ) 作用到n l f s 上，利用对易关系， 。，( z ) 7 i j 了! ：可n d i l ( 。) = 7 i j i ! 可n t 一。+ d l ( z ) f ( n ) a d f l ( z ) = f ( n ) a 一。， ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 我们可以得到非线性平移f o c k 态( n l d f s ) k 凡，= d ，= 南 志a t - - z * 卜，z ， 另一方面，将d j l ( z ) 作用到s ( ( n l 上，我们能得到i z , 扎) ，的对偶态 ，( ( z ，n = ，( ( 孔l 。j 1 ( z ) = 而1 州z ii f ( n ) a z 】n ( 3 2 2 ) 当扎= 0 ，i z ，n ) ，变成( 3 1 ) 中的n l c sf 。) ，让我们举一个重要的n l c s 的例子：在式( 3 1 ) 中让，( ) = 1 一。+ m ，我们有 z ) f , m = e x p ( 而z n 。) = 薹砉( 志列) “1 0 ) ，( 3 。) 2 0 0 1 年中田科学技术大学硕- 4 - 学位论文 1 8 一 一一 注意到当n m ，其中的每项中都会有一个系数。m 一。，相比来说，封些 托 ，。1 9 ) 如果我们检测到原子是在基态，i g ，那么输出的场 就是态( n _ - - 戋m a t z ) f z ) ，。当相互作用是一个多光子的过程，( 忐o t z ) 一 ( 忐“t 一。) “，输出的光场就将处于这样一个态中 。 ( 志扎。+ ) “( 口悱) 现在我们证明态( 忐n 一z ) “( o ) “j ：) 就是一个被式( 3 2 1 ) 定义的n l d f s 注意到( 口) ”i 。) 能被写成为( 见( 3 2 3 ) 和( 3 2 6 ) ) ( 口t ) “i 。) 一e x p ( 隔z nn t ) f o ) ， ( 3 4 4 ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 2 同时让在式( 3 2 1 ) 中的，( ) 取为，( ) = 1 一芹哥，币 面= _ _ y 一- - - 。，那么 ( g n - 志_ a t - z * ) “( 。t ) ”恸一( n g m a t - z * ) “唧( 篙小) 这正是( 3 2 1 ) 中的相干态 一个非线性平移f o c k 态的潜在应用是：按照最近r i c h t e r 【5 7 】的一篇文献， 通常的平移f o c k 态能被用来从正交分布中得到密度矩阵的直接表样，换句话 说，在平移f o c k 态的基中，密度矩阵的元素能直接从测量的正交分布中表样 得到这些表样函数正好是在零拍层析照相法中广为人知的成比例和位移模 式函数并且需要在光子数基下重建密度矩阵的基元因此我们的非线性平移 f o c k 态可以被用来做一些非线性密度矩阵的表样 总结来说，在平移非线性f o c k 态d ( a ) j 凡) ，和，( ( 圳d 7 1 ( o ) 的基础上， 我们构造了非线性平移f o c k 态它们构成了超完备性关系，这点可以用广义 的i w o p 技术来证明对于与通常的平移f o c k 态，b r a 和k e t 并不是互为 厄密共轭在非线性平移f 0 c k 态和非线性w i g n e r 算符之间的关系也建立了 起来从纯数学观点来看，光加相干态到n l d f s 的方法也被提出 2 0 0 1 年中置科学技术大学硕士学位论文 2 3 1 4 广义w i g n e r 分布函数及其非线性相干态表象 1 4 1 导言 w i g n e r 函数理论 6 9 ，7 0 j 在量子力学和量子统计物理关于算符期望值的 计算中扮演了一个非常重要的角色 w ( z , p ) = t r 州删= 去( z + ；怫p 一；) e - i p v d v ， ( a - 1 ) 这里p 是一个密度算符，l z ) 是坐标算符的本征态x ，( x ，p ) 是w i g n e r 算 符，在坐标表象下它取形式 郇，p ) 去仆一；) ( 外； e - z p v d ” ( 4 。) w i g n e r 分布有物理上的意义，因为其边缘分布给出了粒子在动量空间中的分 布几率 p ( p ) = ( z ，p ) d x ，( 4 3 ) 和坐标空间中的分布几率 p ( x ) = w ( z ，p ) d p ( 4 4 ) 然而，w i g n e r 算符是w e y l 规则的积分核，它给出了从一个经典函数矗( z ，p ) 到它的量子对应算符之间的量子化方案 h ( x ，p ) = d x d p a ( z ，p ) ( t p ) ( 4 5 ) 这里p 是动量算符当我们计算在密度矩阵p 中h ( x ，p ) 的系综平均值时， 上述方程给出 t r i p h ( x ，尸) j = 出印 l ( l p ) h ( x ，p ) ( 4 6 j 这就是所谓的w i g n e r 理论，它阐述了一个算符的系综平均值能用它的经典 w e y l 对应和相空间中的w i g n e r 分布来计算值得注意的是，让q = ( z + i p ) 以 a = ( x 十i p ) 2 ，w i g n e r 算符就有它的相干态表象f 7 1 郇 p ) _ + ( 邺忙箬引a - z l e w 。 ( 4 7 ) 2 0 0 ，年 中国科学竺查查兰里主兰竺堡奎 兰 一 一 这里i 。) ：d ( z ) 1 0 是通常的相干态，d ( z ) = e x p ( z n 一z + n ) 【l o 】j 。) 的集合 张成了超完备性关系 厂丝i z ( z l = 1 ( 4 8 ) 如前几节所述，非线性相干态( n l c s ) f 7 2 ，7 3 ，7 4 在这几年得到了广泛的关 注单模的n l c si z ) ，定义为f ( n ) a ，的本征态 ，( ) 。旧，= 础) ，= e x p ( 一譬+ 。而与。) 1 0 ) ， ( 4 9 ) 不久以前，一种n c l s 通过作为俘获离子的中心质量静止态而达到了物理上 的实现【7 5 】一个问题自然产生，对应于通常的w i g n e r 算符a ( o ，q ) 在相干 态表象中( 4 7 ) 和w e y l 规则( 4 5 ) ，什么是场强有关的算符f ( n ) a 和币南o + 的w i g n e r 算符和w e y l 规则? 什么是对应的能够显示统计性质的w i g n e r 定 理? 1