（应用数学专业论文）一类余维3的鞍焦点异宿环分支.pdf

摘要 动力系统的同宿异宿轨线的研究有着重要的意义近年来，对同宿异宿轨的分支 问题的研究蓬勃发展，并且获得了很多精彩的结果( 见参考文献) 其中有关舍鞍焦 点的非线性动力系统的同宿异宿轨线的研究更是许多数学工作者的兴趣所在( 见文 献 1 6 】) 除了著名的关于流体力学的l o r e n z 寿统外，在其它许多不同的自然科学领 域都会碰到含有鞍一焦点的奇怪吸引子文 2 作者发现含鞍一焦点的同宿环邻域有极 其复杂的轨线结构文f 5 】作者得到在合鞍一焦点( 在其中心流形上是细焦点) 的同宿环 的邻域内，通有形式的参数扰动下，分支产生出周期轨线，同宿轨线和异宿轨线，且有 马蹄构造文 4 】作者研究了含两个鞍一焦点的异宿环的扰动分支，异宿环邻域内轨线 极其复杂，用两参数不能得到该系统的完整描述 本文研究余维3 的三维系统墨扛) ，舍有两个鞍一焦点0 1 和c k ，有一条连接这两个 平衡点的非粗糙异宿轨线r o ，另外，关于平衡点0 1 有两维稳定流形w 5 ( 0 1 ) ，0 2 点有两 维中心流形( 0 2 ) 且0 2 点在其上为不稳定细焦点系统蜀( z ) 有横截异宿轨线f o w 5 ( 0 1 ) nw 。( 0 2 ) 本文证明了在异宿环z = 0 lu0 2uf ouf o 的邻域内有可数无 穷奈周期轨线和异宿轨线在非粗糙异宿轨线r o c z 裂时产生同宿轨分支，并且求出 了相应的螺线状分支曲线，进一步得出了同宿于0 1 点的同宿环与同宿于0 2 点的同宿 环共存的参数值在3 参数扰动动下r 0 破裂和0 2 点产生h o p f 分支，此时在的邻域 内对应于不同的参数值分别有一务含d l 点同宿环，可数无数多条同宿于从d 2 点分支 出的闭轨凰的同宿轨线和一条或无穷多条( 可数或构成连续统的) 分别连接d 1 和0 2 、 d i 和风、d 2 和风的异宿轨线等等，给出了相应的锥状体区域、锥面状和螺面状分支 曲面 关键词： 异宿环，同宿环，极限环，分支曲面h 叩盼支 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ec o d i m e n s i o n3b i f u r c a t i o n sa s s o c i a t e dw i t hah e t e r o c l i n i cl o o pf o r m e dw i t ht w os a d d l e l o c i ( a m o n gw h i c h ，o n ei saw e a k s a d d l e f o c u s ) a n dt w oh e t e r o c l i n i c t h ee x i s t e n c eo fc o u n t a b l yi n f i n i t e o r b i t si sg i v e nf o rt h eu n p e r t u r b e d o r b i t sc o n n e c t i n gt h e ma r es t u d i e d 1 - p e r i o d i co r b i t sa n d1 ；一h e t e r o c l i n i c s y s t e mi ns o m en e i g h b o r h o o do ft h e h e t e r o c l i n i cl o o pf m e a n w h i l e ，c o m p l i c a t e db i f u r c a t i o np a t t e r n su n d e r t h eg e n e r i c3 - p a r a m t e rp e r t u r b a t i o n sa r ea l s oe s t a b l i s h e d ，s u c h3 8t h e h o p fb i f u r c a t i o n ，1 - h o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，1 - h e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，1 ；一 h e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o na n dc o e x i s t e n c eo fd i f i e r e n tk i n d so fb i f u r c a t i o n a l o r b i t s ，e t c ，a n dt h en u m b e r so ft h ep r o d u c e dh o m o c l i n i co rh e t e r o c l i n i c o r b i t sc a nb eo n e ，d e n u m e r a b l e ，c o n t i n u u m ，e t c k e y w o r d s ：h e t e r o c l i n i cl o o p ；h o m o c l i n i co r b i t ；p e r i o d i co r b i t ；l i m i t c y c l e ；b i f u r c a t i o ns u r f a c e ；h o p fb i f u r c a t i o n 硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位 备注 刘永明教授华东师范大学 林武忠教授华东师范大学 考压 傅显隆副教授华东师范大学 毕平讲师华东师范大学 秘书 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 储弥呼煎i 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：留乍舞心辛 日期： 丛丘巧 导师繇讳百乡 日期：旦 r 第一章引言及本文假设 在非线性动力系统中会存在结构复杂的同宿轨线，且该轨线有着重要意义这一 点早已由h p o i n c a r f i 所指如目前，人们对平面奇异轨道的研究获得了丰富的结果， 对二维系统同宿异宿环的分支现象的研究已相当深入同样在高维非线性动力系统 中也会存在同宿异宿轨线，因此难度更大的高维系统的同宿异宿环分支问题逐渐成 为当今许多微分方程领域的数学工作者的研究重点其中文 1 3 署n 1 4 的作者创造运 用了一种新方法，能够有效地研究一类高维同宿异宿环分支问题该方法利用了来扰 动系统关于同宿轨线、异宿轨线的线性变分方程的适当的基本解组，在同宿环、异宿 环的管状邻域内建立新的局部坐标系，巧妙地构造了p o i n c a r 6 映射，从而得到后继函 数文f 7 ， 1 5 】和【1 6 的作者运用此方法，并加以简化和完善进而研究了一系列的高维 同宿异宿环分支问题文 1 8 2 0 】的作者也运用此方法分别来研究高余维的连接非主 特征方向的同宿环分支，即所谓的轨道翻转的同宿环分支和发生倾斜翻转的同宿分 支问题作者们先构造了p o i n c a r 6 映射求出后继函数，继而得到分支方程，通过对分 支方程解的研究获得产生多种分支轨道的条件 有关鞍焦点同宿环和异宿环分支问题的研究也极具理论和实际意义文献f 1 】至f 5 】 正是研究了此类问题n a m a g n i t s k i i i l | 等证明了著名的l o r e n z 系统存在鞍一结点同 宿环，鞍一焦点同宿环和鞍焦点异宿环l o r e n z 系统有非平凡的吸引子，同宿异宿轨 的分支研究有助于探讨奇怪吸引子的结构除了流体力学系统外，在自然科学的许多 不同领域都会碰到含有鞍一焦点的奇怪吸引子 由文献【2 l 知，在3 维相空间中含双曲鞍焦点0 的同宿环r 的邻域内有极复杂的轨 线结构特别指出若0 点的3 个特征指数a l ，a 2 沁的实部均不为零且a l + a 2 + a 3 0 ，u 1 = 一q i 7 1 0 2 点的特征指数是f p 3 士 她，加) ，讹 0 ，u 2 o 充分小， 另一方面，菪局部地拉直不变流形，对时间进行适当的标度变换，并由规范型理论 经适当变换，再运用柱坐标表示，则在鞍焦点0 。小邻域内可以将系统改写为如下 形式( 文献1 3 5 】) ： p = n z k p 2 + 1 + p 2 + i 吼( p z ，妒) ， 毒= 1 2 z + z ( g l p 2 + + 9 p 2 ) + 凰( 户，：，p ) ，( 2 4 ) = 0 2 2 + b i p 2 + 6 p 弘+ ( p ，2 妒) ， 第二章p o i n c a r 4 映射 5 其中风= 0 ( 2 ) ，0 k = o ( 2 k + 1 ) ，h k = o ( 2 k + 2 ) ，h k ( p ，0 ，妒) = 0 ，r k c 3 2 ，e ，h k c ”2 ，“ 0 符号0 ( n ) 表示关于p ，z 在原点处的阶数为n 设6 l ，d ，廊和d 2 充分小，使得有如下表达式： 6 l ( 1 一m 6 p ) d ( 1 + 兰m 女d 2 2 ) 缩2 ( 2 5 ) ww 在d 2 小邻域内作两个横截面s 0 2 ，霹如下： 如：= 五曲：妒= o ，占1spsd 2 ，川sd 2 ) t ( 2 6 ) 研：= ( p ，z ，妒) ：i p i 0 ， 其中轨线从( p 0 2 ，z 0 2 ，0 ) 出发与横截面锷首次相交于点( p 2 ，d 2 ，妒2 ) ，所经历的时间设为t ( t 0 ，则有如下关系式： t = ( 百+ 0 ( ) ) l n ( d 2 z 面1 ) ， p 2 = p 0 2 1 2 p 銎( 百1 m + o ( ) ) l n ( d 2 z 看) 】“”， ( 2 7 ) p 2 = ( 。1 0 3 2 十o ( 镌) ) l n ( d 2 2 看) 在( 2 7 ) 中用妒2 表示却2 和t ，得到如下关系式： p 22 酬l 一2 硼( 岖1 m k + o ( d 挑2 _ l ”， f 2 8 1 z 0 2 ：d 2 e p 2 ( 1 ；1 u 2 + 。( 。l ” 、7 系统弱( z ) 的异宿环f = o ud 2 uf o u f o 被且卵，删，2 ，m 0 1 分成四段，在每段 的小邻域内由轨线所诱导的映射为：t o 。：s o ，一研，丑：s 一翼，磁1 ：s o 一 岛2 ，正：岛2 一岛1 设兔上的直角坐标为( q ：，：) 其中仉= 胁一醯矗= 。m ，i = l ，2 记o - 0 = ，l 1 2 ，其中 = 矗f0 0 表达式( 2 3 ) 和( 2 8 ) 中的第一个方程分别表示在s ? 和$ 上的无限缠 绕原点的螺线对田和鳄面上的坐标作旋转和伸缩变换螺线不变( 除了方程的某些 系数乘上了正的因子之外) 对簧，霹面上的坐标作旋转和伸缩变换，设在新的坐标 下( 2 ，i i ) 式中的矩阵d ( p ) 变成对角矩阵： d ( p ) ：| 岛 t0 p l 0 ，岛 0 由假设b ) 知当“= ( o ，0 ，o ) 7 时，e ( “) = ( 0 o ) 7 因此我们可以假设e ( p ) = ( 肛l ，肛2 ) 7 再对s i 上的坐标进行如下变换： f ? 1 ：e ( p ) + d ( “) 玎z f 观1 y 2 2 i 定义五在新坐标下成为线性的 f 。2 ) ：( ) + d ( 卢) f 。11 y 2 9 1 ( 2 1 2 ) t d 岛 第二章p o i n c a r 6 映射 当芦= 0 时有如下豹极坐标表示 p 2 ：p 。c b c o s 2 t 1 + f i gs i n 2 t 1 7 ( 2 1 3 ) 妒2 ：2 丌m + f 盯c t a n ( 赛：妒1 ) 。唧1 o ， ( 2 1 4 ) l 7 r + a r c t a ( 鲁t a n 妒l ) c o s 妒l 支下面考察在参 数p 扰动下系统五( z ) 的同宿轨和异宿轨的生成和变化情况此时在0 2 点的小邻域 内的规范型如下： 芦= p 3 p + m l p 3 + p 3 r 1 ( nz ，妒) ， 三= 量z + z g l p 2 + h 1 ( p ，z ，妒) ， 【421 ) 驴= “2 + 6 l p 2 + e l ( p ，z ，) ， 其中r l = d ( 2 ) ，e l = 0 ( 3 ) ，日1 = d ( 4 ) ，h l ( p ，0 ，妒) = 0 ，r k c 卜5 ，e 1 ，h l c 卜4 ，m l 0 肛3 的取值有三种情况： 1 ) 肛3 = 0 这种情况在第41 节中已讨论过 2 ) p 3 0 此时0 2 的中心流形i 矿( 。2 ) 变成不稳定流形，0 2 点在中心流形w 。( 0 2 ) 上仍为不稳定点文献f 4 j 恰好研究的是这种情况 3 ) p 3 0 此时参数的变动导致在0 2 点的中心流形w 。( 0 2 ) 一卜产生闭轨 蔓望主墨堕垄l 兰2 墼旦塑星塑坌塞：1 2 下面我们仅考虑情况3 ) ( 即p 3 0 ) 选取充分小的正数p ；2 ，4 2 ，明”口3 ，使关系 式2 p g 2 d 2 m 饥i m l ，1 ) ，风 m l ( p 鑫2 ) 2 成立由于h i ( p ，0 ，妒) 0 ，即局部地。( 0 2 ) 已拉直为z 一平面，故当z ：o 时，系统( 4 2 1 ) 的轨线属于z y 平面此时经过点( p 0 2 ，0 ，0 ) 的轨线的方程为： 西1 + 嚣z ( 老+ r ，a 。l ，e 一2 ”。， z ；0 ，( 4 2 2 ) 妒一( 吨+ 0 ( 镌) ) t 由h o p f 分支定理知，当0 - p 3 0 ， 其中轨线从( p 0 2 ，z 0 2 ，0 ) 出发与翘面首次相交于点( p 2 ，d 2 ，妒2 ) ，所经历的时间记为t ( t 0 ，可以得如下关系式： t = ( 筲1 + o ( ) ) l n ( d 嵋i ) ) ， 麦+ 等2 ( 老+ 等) e 。2 “3 7 2 e 2 p a ( t - - t ) r t ( p ( 力，z ( r ) ，妒( r ) ) d r ， ( 4 2 3 ) p 2 = ( 百1 0 d 2 + o ( ) ) l n ( d 2 。o - 2 1 ) 用妒2 表示z 0 2 $ r t 得 麦+ 等= ( 壶+ 等) e 一7 2 譬e 2 p a ( r - t ) r ( p ( r ) ，。( r ) ，妒( r ) ) 打， 铂2 = d 2 e m i ( - y f l w 2 + 。( 嘏) ) ，( 4 2 4 ) t = ( 。i 1 十d ( 遥) ) 妒2 记矗( p 如，妒2 ) ：= 一2 fe 2 p 3 ( 7 一 月l ( p ( r ) 。( r ) ，妒( r ) ) d 因为r l 关于p ，；在原点 的阶数为2 ，故r l = d ( 遽) 所以任取t ( 一。，o l ，都有元= o ( d j ) p 3 再将p 0 2 = 店2 + 2 ( i ，) ，z 0 2 = 2 代入( 4 , 24 ) 式： 碡1 + 嚣= ( 石磊干磊素瓣+ 等) e 一2 p 3 呵1 + 。延 9 2 + 詹( p j 2 + 口2 ( l ， 2 ，肛) ，d 2 ，妒2 ) ， 已= d e e 一! ( 1 i 1 2 + 。( 囝) ( 42 5 ) 蔓婴至墨篓垄l 生墼塑塑墨窒坌塞：1 3 由上式及曲 o 知当：仇_ + o 。( 等价地，砌_ + o ) 时，壶_ 一警以下记蜀= ( nz ，妒) ip = 、而若简，z = d 2 ) 一w ( 丑i ) n 础- 定理4 3 当乒3 充分小，0 - t s 口3 时，系统五。( z ) 在r o 邻域内存在一条连接 平衡点d l 和闭轨道凰的异宿轨道，且在参数芦空阃上： 8 ) 存在锥体状区域d l ，当t d 1 时，系统j ( ) 在r o 的邻域内存在一条连接平衡 点d l 和0 2 异宿轨道，且在邻域u ( ) 内存在可数个单参数族的连接平衡点0 2 和闭轨 道凰的1 一异宿轨道 b ) 存在一个锥面状分支曲面d 2 ，当p d 2 时，系统五( z ) 在r o 的邻域内存在一条 连接平衡点0 1 和闭轨道丑j 的异宿轨道，存在可数无穷多条同宿于闭轨道f 如的1 一同宿 轨道，同时在邻域矿( f ) 内还有可数个单参数族的连接平衡点0 2 和闭轨道凰的1 - 异 宿轨道，以及可数无穷多条连接平衡点0 1 和闭轨递z b 的1 ；一异宿轨道 c ) 存在一个螺面状分支曲面d 3 ，当p d 3 时，系统( z ) 有条同宿于平衡点0 1 的l - 同宿轨和可数无穷多条连接平衡点o l 和闭轨道h o 蚯j 1 一异宿轨道 d ) 存在一个螺面状分支曲面d 4 ，当弘d 4 时，系统扎( z ) 在邻域v ( ) 内至少存 在一个单参数族的连接平衡点0 2 和闭轨f b 的1 一异宿轨道 证明：设是横截面霹上以皿为边且包含鸩。点的开区域在参数空间定义区 域d 1 = pl 丑( o ，0 ) = ( p l ，“2 ) ，0 - - # 3 皿3 ) ，则由0 1 和 吃。( f 毛) 的稳定性，异宿 轨r o 的横截性以及横截相交的结构稳定性易知当弘d 时，系统x ；有一条连接o - 点 和0 2 点的异宿轨和一条邻近r o 的连接d l 点和闭轨f 毛的异宿轨道 定义锥面状分支曲面d 2 = pl 五( 0 ，0 ) = ( p l ，m ) 凰，0 一p 3 风) 则 当肛d 2 时，系统j 乞在r o 的邻域内存在一条连接平衡点0 l 和闭轨f 如的异宿轨道 设曲线f 3 是晶2 。( 巧1 ( 8 ( 0 1 ) ns 0 1 ) ns 0 2 ) 的像，则1 3c 罡此时l = 0 ，故p 0 2 = p 古2 + 0 2 ( o ，已，p ) ，代入( 4 2 5 ) 式得1 3 的表达式： ，去+ 等= ( 面五五i i ：石两f + r 瑚n 1 ) e 一2 邶。f 1 + 酬。1 1 9 2 - i - 袁( p ；2 + g 2 ( o ， 2 ，) ，d 2 ，妒2 ) ， 2 = d 2 e 一2 ( 百“2 + o ( 鳓 ( 4 2 6 1 由上式知：妒2 一+ 。o ( 等价地，2 一o ) 时，西1 _ 一学t 即p 2 _ 、而翻所以 当p 很小时，1 3 是罡上无限环绕闭轨1 的螺线 定义螺面状分支曲面d 3 = i 五( 0 ，0 ) = ( “- ，卢2 ) 1 3 0 一p 3 风) 显见 蔓婴童墨堕墨生塑旦童量塑坌塞：1 4 当肛d s 时，系统有一条连接d l 点的l 同宿轨道再把( 芦1 ，阮) 点写成极坐标形式， p l = r c o s 妒，m = r s i n b 在( 4 2 6 ) 式中将已代入第一个方程，则分支曲面d 3 满足如 下关系式： d s ：去+ 等= ( 志+ 等) e - 2 k 1 + 0 ( 固坤+ 袁( ( a 2 ，) 易见d 3 是一个渐近于d 2 的螺面 设曲线z 4 是1 0 ( t d w ”( h o ) n s 0 2 ) n s 0 1 ) 的像在四平面上，z t 是缠绕并趋于 卵点 的螺线此时= 0 ，伽l = 扁+ a , f f , ，0 ，p ) 类似于( 3 3 ) 式，曲线2 4 有如下表达式： z 4 ：9 l2 ( p g l + ? 1 ( l ，o ，p ) ) 。一”1 9 1 7 “1 ( 1 + ) ( 1 ( l ，o ，妒1 ，p ) ) ，( 4 2 8 ) 4 。、l ：d t e - p , u - ( 14 - ) ( 2 ( o ，妒l ，弘) ) 。4 。 定义分支曲面d 4 = 芦f 玎一1c o ，0 ) z 4 ，0 一芦3 忍) ，则曲面d 4 满足如下关系 式： r = ( 戍1 + o l ( l ，0 ，p ) ) e 一9 1 。1 ( 1 + x 1 ( 1 ，0 ，妒1 ，芦) ) 、p c o s 2 妒l 十雠s i n 2 妒l ，( 4 2 9 ) 其中1 和妒l 是妒的函数，关系式直下： i = d i e 一9 “。1 ( 1 + ) ( 2 ( o ，妒1 ，p ) ) ， 妒l ：( 2 。一1 ) ”+ f8 r c 8 “( 爱”妒) 。“妒2o ， l7 r + a r c t a n ( 安t a n ) c o s 支和马蹄，数学年f 4 ，1 5 a ( 1 9 9 4 ) ，6 7 1 6 8 0 f 6 jj k h a e ，o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n e wy o r k ，1 9 8 0 7 y lj i n ，a n ddm z h u ，d e g e n e r a t e dh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n sw i t hh i g h e rd i m e n s i o n s ， c h i n a n n o fm a t h ( 2 ) 2 1 b ( 2 0 0 0 ) ，2 0 1 - 2 1 0 8 】l u o d i n g j u n ，w a n g x i a n ，z h u d e m i n ga n dh a n m a o a n ，b i f u r c a t i o nt h e o r ya n dm e t h - o d so fd y n a m i c a ls y s t e m s ，a d v a n c e ds e r i e si nd y n a m i c a ls y s t e m ，w o r l ds c i e n t i f i c1 5 ， s i n g a p o r e ，1 9 9 7 9 】刘兴波，朱德明，金银来，同宿流形中的奇异轨道，高校应用数学学报a 辑1 8 ( 2 ) 2 0 0 3 ，1 3 9 - 1 4 8 1 0 】d m z h u ，h o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nw i t hc o d i m e n s i o n3 ，c h i n a n n m a t h 1 5 b ( 2 ) ( 1 9 9 4 ) ， 2 0 5 2 1 6 1 1 】z h ud b l ，t h r e ek i n d so fh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nw i t hc o d i m e n s i o n2 ，j e a s tc h i n a n o r m a lu n i v e r s i t y , n a t s c i 3 ( 1 9 9 5 ) ，1 - 1 2 1 2 】d m z h ua n dz h x i a ，b i f u r c a t i o no fh e t e r o c l i n i cl o o p s ，s c i e n c e i nc h i n a ，s e r a 4 1 ( 8 ) ( 1 9 9 8 ) ，8 3 7 - 8 4 8 1 3 】d m z h u ，p r o b l e mi nh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nw i t hh i g h e rd i m e n s i o n s ，a c t am a t hs i n i c a ， e n 9 1 s e r 1 4 ( 3 ) ( 1 9 9 8 ) ，3 4 1 3 5 2 14 jq p t i a na n ddm z h u ，b i f u r c a t i o no fn o n t w i s t e dh e t e r o c l i n i cl o o p ，s i e n c ei nc h i n a ， s e r a4 3 ( 8 ) ( 2 0 0 0 ) ，8 1 8 8 2 8 1 5 】y l j i na n dd m z h u ，d e g e n e r a t e dh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n sw i t hh i g h e rd i m e n s i o n s ， c h i na n no fm a t h 2 1 b ( 2 ) ( 2 0 0 0 ) ，2 0 1 2 1 0 1 6 】y l j i na n ddmz h u b i f u r c a t i o no fr o u g hh e t e r o c l i n i cl o o pw i t ht w os a d d l ep o i n t s ， s c i e n c ei nc h i n a ，s e ra ，4 6 ( 4 ) ( 2 0 0 3 ) 4 5 9 4 6 8 参考文献 f 17 】朱德明，韩茂安，快变量空问中的同宿轨道分支，数学年 u2 3 a ( 4 ) ( 2 0 0 2 ) ，4 2 9 - 4 3 8 1 8 】t s z h a n ga n dd 腻z h u ，c o d i m e n s i o n3h o m o c l i n i cb i f u r c a t i o no fo r b i tf l i pw i t h r e s o n a n te i g e n v a l u e sc o r r e s p o n d i n gt ot h et a