（概率论与数理统计专业论文）极值指数估计量和尾端点估计量的收敛性.pdf

独创性声明 y9 0 17 52 学位论文题目：拯值指数焦盐量塑屋端壶估让量的噬敛性 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：曾青松签字日期：辽o o 年月? 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 导师签名： 签字日期： 工作单位： 三燃重筐。 通讯地址：重塞牵五趔丞鳃毖盔翟鹭 而1c 碍 即o 年年月3 日 电话：( 婴2 碰碰了 邮编：竺! 芏丝1 2 其中 摘要 本文第一部分提出了一类新的极值指数估计量 韫= 瓦篇+ 试景 低景= 示1 饕1l o gx 一i + 1 一l o gx n m ，n 试篡= 鬲1 銎11 。gx m n 一- x x n _ 一m _ “l , n 证明了诙估计量的相合性以及渐近分布并对新的估计量和矩型估计量 进行了模拟比较分析 本文第二部分推广了尾端点的估计量，得到了一种新的尾端点估计 量； x n - - x n _ k l + 而l , nr - - x 广n _ k 2 + l , n + 矗一k 。+ l ，。 证明了 笠二! ： x n k 1 + l ，n k k 2 + l n 的强相合性和弱相合性，给出了其强收敛速度。证明了 f 瓦羔轰丽 的渐近分布 关键词：矩型估计量，正规变化函数。强弱相合性，强收敛速度，渐 近正态性 1 o m 一几 一 = m 且 an e wc l a s so fe s t i m a t o ra n dc o n v e r g e n c e p r o p - e r t yo ft h ee n d p o i n te s t i m a t o r s m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s t u t o r ，p r o f ，p e n gz u o x i a n g s p e c i a l i t y ；p r o b a b i l i t y a u t h o r ：z e n gq i n g s o n g a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，an e wc l a s so fe s t i m a t o rf o rt h ee x t r e m ev a j u e i n d e xi sp r o p o s e d ，d e n o t e db y 锶： 儡= 瓴基+ 锭。h w h e r e 长景= 击墨ll o gx , 。一t + 1 。一l o gx n 一。 长景= 1 。笔。1 0 9 意与兰 w i t h m = ( 扎) 一o o ，竺一0 t h ec o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h i sk i n de x t r e m ev a l u ei n d e x e s t i m a t o r s r ep r o v e d w ea n a l y z en e we s t i m a t o ra n dm e o m e n te s t i m a t o rb ys i r e - u l a t i o n i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，ip r o p o s ean e wk i n do fe n d p o i n te s t i m a t o r a st h ee x t r e m ev a l u ei n d e xi sn e g a t i v e ： 一x n - k l + 瓦l , n - - r x 广n - k 2 - k l , n + 焉h 扎。 t h ew e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c yo f 一矿 ) 0 一k 1 + 1 ，”一五i k ? + 1 n i sp r o v e d ，a n dt h es t r o n gc o n v e r g e n c er a t ei sd e r i v e d a s y m p t o t i cp r o p e r t yo f 护丽熹乏历 i sp r o v e d k e y w o r d s ：m o m e n te s t i m a t i o n ，r e g u l a rv a r y i n gf u n c t i o n ，w e a ka n ds t r o n gc o n ， v e r g e n c e ，s t r o n gc o n v e r g e n c er a t e ，a s y m p t o t i cn o r m a l i t y 第一章引言和预备知识 1 1 前言 设 墨，n 1 ) 为独立同分布序列，公共分布函数为f ( x ) x 。sx 2 ，墨 。为x l 恐s 的顺序统计量若存在a 。 0 ，b 。r ，7 r ，对非退 化分布函数q ( o ) ，使得 y 一 尸( ! 兰：二竺) = f “( 口。z + b 。) _ + g 7 ( z ) ( n _ + 。)( 1 1 ) 其中g ，( z ) 为广义极值分布函数此时称分布函数f ( x ) 属于吸引场q 0 ) ，y 称 为极值指数，记为f d ( q ) 极值理论在研究分布函数的尾部行为时，具有有效的同时也是相当稳健的结 构极值理论的应用范围很广，从环境科学，工程学到金融，保险，以及风险管 理等等比如在保险数学中有关大额索赔的问题，这些大额索赔都是由自然界的 一些极端现象如洪水，飓风等引起的。而利用极值理论就可从统计的角度估计与 预测这些事件的发生的可能性大小；在水文学中对洪水的最高洪峰、最大流量及 其最长持续时间的研究；在气象学中对暴风速度和极端温度的研究等等，都与极 值理论的研究密切相关 1 2 文献综述 当分布函数未知时，对极值指数，y 的估计和极值分布吸引场中分布的尾部估 计( 大分位数的估计，尾端点的估计) ，构成了极值理论的重要组成部分对极值 指数7 已提出了各种各样的估计量，如h i l ( 1 9 7 5 ) 、p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) 、d eh a a n 和r e s n i c k ( 1 9 8 0 ) 、h a l l ( 1 9 8 2 ) 、m a s o n ( 1 9 8 2 ) 、d a v i s 和r e s n i c k ( 1 9 8 4 ) 、h a l l 和w e l s h ( 1 9 8 5 ) 、j o h a ns e g e r s ( 2 0 0 3 ) 当1 0 时，h i u ( 1 9 7 5 ) 提出了h i l l 型估计量； ， m 破曼= 去( 1 0 9 墨- i + - ，。一l o g 一n ) ( 1 2 ) 。i = l 其中 仇= m ( n ) 一o 。，竺一o 一。o ) ( 1 3 ) n 文献 4 j 、 9 】分别在一定条件下证明了诂h 的相合性及渐近正态性彭亮，祁 永成( 1 9 9 7 ) 在二阶正规变化条件下，证明了h i l l 估计量的渐近分布只能是正态 的，并且给出了渐近正态的充要条件 4 其中 且 d e k k e r s ，e i n m a t f l 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 提出了对7 r 都适用的矩型估计量 n ：= 谨+ 筲 伽峨，轷- 牡等) 。 ( 14 ) 讨为h i l l 型估计量谨袅当( 1 3 ) 成立时，d e k k e r s ，e i n m a h l 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 证明了 铸二m a x ( 0 ，7 ) = ：矿 访二m i n ( o ，1 ) = ：7 一 彭作祥( 1 9 9 8 ) 提出了1 0 时的h i l l 型估计量 晰 - h = 示1 善m ，。s 瓦x n j n - 瓦x n _ 蒜i n 并证明了证曼的强弱相台性对于，y 0 易证甓曼二0 ，则当( 1 3 ) 成立时 对于7 r 有锶一7 一 本文用，- k - 。h 替换了矩估计量中的面这一部分，给出了下面的估计量 = 矗景+ 瓦景 并在二阶正规变化条件下证明了估计量的渐近性质 当，y 0 时，彭作祥( 2 0 0 1 ) 给出了负极值指数的p i a c k a n d s 估计量 嘶= 南1 0 8 瓦x ni n - - 瓦x n 二- 丽k l + l , n ( 1 5 ) 其中 船= 也( n ) h 也一o 。，瓮竽一。鲁一d , 0 d = l ，2 ( 1 6 ) 并证明了上述估计量的强弱相合性和渐近性质，给出了强收敛速度 当，y 0 时，存在6 ( t ) ，k ( 。) ( z ) 不衡为矿的常数倍，使得对任意的 石 0 ，满足 。u ( t z ) ) 一一) 南一脚) ， 。- - - , 。o ) ( 1 1 0 ) ( i i i ) 当7 = 0 时，存在o ( ) ，6 ( ) ，( z ) k ( z ) 不恒为l o g x 的常数倍，使得对 任意的z 0 ，满足 掣一 o g x 丽1 一嘲( t - - - o o ) ( 1 1 1 ) 其中南 搿一l 一0 由文献 4 】，上述三种情况必存在p 墨0 ，使得 ( 。) ：一兰兰，m ) f r p 7 当，y 0 时，令v ( t ) = u ( o o ) 一u ( t ) 7 第二章一类新的矩型估计量 d e k k e r s e i n m a h l 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 提出了对7 r 都适用的矩型估计量， 本文用负极值指数的h i l l 型估计量黑替换了矩估计量中的话这一部分，给 出了一类新的矩型估计量 是。= 黑+ h - - 。h 其中筏景为h i l l 型估计量并在二阶正规变化条件下证明了该估计量的渐近性 质 2 1 引理 引理2 1 对k ：k ( n ) 满足0 0 ，0 1 ，l 0 证明t 因 r ：去喜- 昭等兰去喜椎州r 去馨k 8 而 l o g y i 一日( z ) = 1 一e 一。 0 ) 由大数定律及中心极限定理知 饰( 击善r n1 0 9 老薏- 1 ) 三( 0 ，) 吼同理可得关于品的渐近分布见文献i n 引理2 则 2 2 结论 定理2 1 假定7 0 时对分布函数f 有( 13 ) 、( 19 ) 式成立，则 倒当7 一l 2 ，而b ( n m ) 一。时，而一z ( 莨景一7 ) 三q ，圳当7 。一l 2 ，而w m ) 一。时 而( 锚一- y ) - l ，y 一1 q 一南s ，越砂当一1 2 7 0 证明t 由( 1 9 ) 有 等划埘了x p - 1 6 ( 班( 1 + o p ( 1 ) ) - 。s 采掣鹅 故 。s ( 一鹈) ( ，一采) 。1 ( 槎端) 乩s ( 槎端一丧) ( t 一硭高) 。1 = l o g ( 老兰) ，+ ( 意等) ，垡毒盘6 ( k 一，。) ( 1 + d p ( 1 ) ) 一( 硅舞) ，一( 意杀) ， - 1 6 ( k 一。，。) ( 1 + 唧( 1 ) ) ) 一1 0 9 l 一( 老舞) ，一( 芒等) ，k 警进6 ( k 一。，。) ( 1 + 唧( 1 ) ) ) 9 销= 去三。1 0 9 ( 老舞) 1 1 + 鳖6 ( 碥一- ，。) ( 1 + 唧( 1 ) ) 一 ，h 一n 、9 ， rh 、91 ( 热) 1 一( 热) 1 选6 ( 碥一，n ) ( 1 + 0 p ( 1 ) ) 一l o g 1 一( 老点) ，一( 老等) ，生萼趣6 ( 碥一) ( 1 - 1 - o p ( 1 ) ) 】 = 7 击墨。1 。g ( 老羔) + 去垩。【堡学b ( 碥一。，。) ( 1 + o p ( 1 ) ) 一 rh n、9 ， ( 妄嗉) 1 一( 曩) 1 韭盖尹6 ( k 一- 胂+ 唧( 1 ) ) 】 一【( 老舞) ，一( 老未) ，垡每止6 ( k 一。) ( 1 + o p ( 1 ) ) l ( 1 + ( 1 ) ) = 7 + 一y 高+ 彬s n 去罂。( 訾) 一7 一m r s + r - 由引理( 2 1 ) 易证7s0 ， 亍元月l _ 十0 ；- 1 2 7 i 2 时， 而 t h 。一，y ) 三n ( o ，霹) ( i i ) 当i ，y i t 2 ，7 0 时， 而( 错刊三 焉以0 ”v 2 ， 【南s ，一1 2 1 0 时， 锶= 筏景+ k 景 ，y - 1 1 2 ， 一1 2 ，y 0 锯= ：二翥, - i -7 0 豢1 2【7 一击m 1 - s 0 p ( 嘉) ， 1 ，样车容量为i 0 0 0 ，实验次数为1 0 0 0 1 4 山苫岢3卫，e丽 注t 1 = 0 ，样本容量为1 0 0 0 ，实验次数为1 0 0 0 1 5 山 = 可 伺 了 e 丽 注一1 = - i ，i o ，i l 上均匀分布，样本容量为1 0 0 0 ，实验次效为1 0 0 0 图2 7 注， 7 = i ，标准正态分布，样本容量为1 0 0 0 ，试验次数为5 0 0 0 图28 ： 注- 1 ；一1 ，【o ，1 】上的均匀分布样本容量为1 0 0 0 ，试验次效为5 0 0 0 第三章一类分布的尾端点估计量的收敛性 当，y 0 时，z = s u p x ：f ( x ) 1 为分布f ( x ) 的上尾端点，d e k k e r s 和d eh a a n ( 1 9 8 9 ) 给出了f ( x ) 上尾端点的估计量并证明了表达式 一 ；一十+ 、2 i 塑告一 n - k + in 一 n 一2 k + 1 n 是渐近正态的本文推广了上尾端点估计量，给出上尾端点的估计量为 皋。 一矗一 l + 1 n 一一b + 1 一iy 。；，l2 2 萧z 了2 2 + 如“i “n 其中n d 为( 1 , 5 ) 中的负极指数估计量，即 其中 d = l o g 瓦z n i n - - j x 忑n - k l + l , n h 叫帅 k 2 - - - + ( x 3 ，半一。鲁一d , 0 d 1 ，z 竹席1 3 1 引理 引理3 1 设7 0 时，( 1 1 ) ，( 1 6 ) 式成立，则讯。d 二7 引理3 2 - 漫7 0 时( 1 1 ) ，( 1 6 ) 式成立，且堂l o 业g l o g n 三o 。，则n d 当7 引理3 3 记q n = 压 晶_ h 十l l n 一晶一1 ，n l o g d ，脚= 瓦瓦e e n 而, n i 且 设0 一l v ( o ，i d 一1 1 ) ，t p ( t t ) = e x p ( 一t - 1 ) 相互独立，则0 。，p 。独立且在 一o o ，生笋一0 时分别收敛于q 和t 证明：由文献【5 】引理2 1 可得0 。三q ，由文献 1 3 1 引理6 ( i i ) 知p 。三t 引理3 4 设( 1 1 ) ，( 3 2 ) 式成立，当t 0 0 时 等一一叫加) ) i 训 ( 3 1 ) 其中正规变化函数p ( ) 满足l i m t 。a 。p ( t ) = 0 ，p ( 薏) = o ( k 1 7 2 ) ，鲁l0 ，l o g h l o g n t o 。，且瓶( 鲁一d ) 一0 则 l 错p ，一 7 0 ， 旷( n ，d - 7 ) 三 垡静t - 1 2 _ 丽1 函q ，y = - _ ，1 ( 3 2 ) 【矗丢q ， ，y _ - 1 1 7 其中驴= 七。m i n ( , - 7 ) ，t 与q 独立而且令= 护 并蓦； ；i 暑爱瑚 那么n _ 0 ( 3 时，有 。 乏兰芝尝；。一；一。，t 一。肛，i 亏墨； 。 3 2 结论 吖 ( 3 3 ) 定理3 1 设h = h ( 竹) ，k l a k 2 + o 。，型磐一0 ，鲁，d ，0 0 和充分大的n 有 c ，叫( 一e e - k 2 + l , ) 中 萜ve e - - 鞘k 2 + l 邓刊( 端) 1 押 由文献 1 4 1 引理3 2 知。旆e e n - - k 2 + l , 骂d 则哥宝兰蔫鸯马d 一所以风马0 定理3 2 设7 0 时。 3 1 式成立，且裂t0 0 ，型掣l0 ， ( 忐) 1 2 ( 鲁一d ) 一0 ，当一 ，y 0 时，l i m n 4 0 0s u p 面豇面焉番1 呵丽 ，2 + 1 a ，0 1o so 。，则有 其中 i 。m s 。u p ) 刮瓦意杀而卜脚，蚰s 聊，驴f 舅 证明：因为 ； ，y 0 1 = 一j 1 7 一i 1 瓦意毛而i j 南一南h 南+ 瓦x n 。- k 。l + l , n - z 。而 当一 ，y o 时，由文献 1 5 1 定理j 有 l i 。r a s u p ( i o g l o g n ) o o。i 矗石一南in i ” i m s u p ) 刮高赢l n 一 l 、一 i = l i m s u p ( i o g l o g ) ；器舞一7 1 o o 盟蒜等产型 1 罂挈( 赤) 刘南+ 瓦x n - 。e i + 一i “, n - - x 而 l imsup，刮高u*群bn-kl+l n = l i m s u p 。) 5 ( 1 一一) 一2 j 涮葛端一 其官两种情形娄似可证 定理3 3 在引理3 2 的条件下，有 ( 3 4 ) f 群q 7 一 旷瓦二 晶” - ，y 1 f u n c t i o nr = p t n d ( n ) x = r a n d ( n ，1 ) ； r _ ( 1 一z ) ( 一1 ) ； 参考文献 1 d a v i sr a n dr e s a l c ks1 t a l le s t i m a t e sm o t i v a t e db ye x t r e m ev a l u et h e o r y i j a n n s t a t i s t ，1 9 8 4 ，1 2 ：1 4 6 7 - 1 4 8 7 f 2 ld eh a a nl e x t r e mv a l u es t a t i s t i c s i n ：g a l a m b o s s ，e ta l ，e d s ，e x t r e m ev a l u et h e o r ya n d a p p l i c a t i o n n e t h e r l a n d s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 4 9 3 - 1 2 2 【3 】d eh a a ala n dr e , n i c ksi as i m p l ea s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h ei n d e xo fas t a b l e d i s t r i b u t i o n j ，r o y s t a t i s t s o c s e r b ，1 9 8 0 ，4 2 ：8 3 - 8 7 【4 】d eh a a nl ，s t a t m i i l l e ru g e n e r a l i z e dr e g u l a rv a r i a t i o no fs e c o n do r d e r a u s t r a lm a t h s o c 1 9 9 6 ，6 1 ：3 8 1 3 9 5 【5 】5 d e k k e r sa l m ，d eh a l o nt h ee s t i m a t i o no ft h ee x t r e m e - v a l u ei n d e xa n d l a r g eq u a n t i l ee s t i m a t i o n j a n ns t a t i s t ，1 9 8 9 ，1 7 ：1 7 9 5 - 1 8 3 2 【6 】h a l l p o n s o m es i m p l e e s t i m a t e so f a ne x p o n e n to f r e g u l a rv a r i a t i o n j r o y s t a t i s t s o c s e r b ，1 9 8 2 ，4 2 ：3 7 - 4 2 ( 7 】h a l lp a n dw e l s ha h a d a p t i v ee s t i m a t eo fp a r a m e t e r so fr e g u l a rv a r i a t i o n j a n n s t a t i s t ，1 9 8 5 ，1 3 ：3 3 1 3 4 1 【8 】h i l lbm as i m p l eg e n e r a la p p r o a c ht oi n f e r e n c ea b o u tt h et a i lo fad i s t r i b u t i o n j a n ns t a t i s t i c s ，1 9 7 5 ，3 ：1 1 6 3 - 1 1 7 4 【9 】j o h ns e g e r s ，g e n e r a l i z e dp i c k a n d se s t i m a t o r sf o rt h ee x t r e m ev a l u ei n d e x j s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e ，2 0 0 5 ，2 ：3 8 1 3 9 6 【1 0 】m a s o ndm l a w so fl a r g en u m b e r s f o rs u l n so fe x t r e m e 州u e s j a n n p r o b a b ，1 9 8 2 ，1 0 ：7 5 4 - 7 6 4 【1 1jp e n gz u o x i a n g ，sn a d a r a j a h t h ep i c k a n d s e s t i m a t o ro ft h en e g a t i v ee x t r e m e - v a l u ei n d e x j 北京大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 1 ，3 7 ：1 2 - 1 9 【1 2 lp i c k a n d sj s t a t i s t i c a li n f e r e n c eu s i n ge x t r e m eo r d e rs t a t i c t i c s j a n ns t a t i s t ， 1 9 7 5 ，3 ：1 1 9 - 1 3 1 f 1 3 】q iy c ，c h e n gs h ，c o n v e r g e n c eo fp i c k a n d s - t y p ee s t i m a t o r j c h i n e