（模式识别与智能系统专业论文）基于小波分析的图像处理在车牌识别中的应用.pdf

摘要 本文选用小波变换作为数学工具，利用小波的“显微镜”特性和类人视觉特点解 决车牌字符的分析和识别问题，提高车牌字符的识别能力，主要研究三个方面的问题： ( 1 ) 对字符图像的分割去噪进行研究，在现有区域去噪的基础上提出一种保持边 缘的去噪算法，使该算法在去噪的同时更能保持字符原有特征，实现传统算法的快速 改进。 ( 2 ) 通过对统计特征和结构特征优缺点的分析，利用小波二维图像分解具有的类 人视觉特性，构造出具有二者综合优势特点的小波网格特征向量。 ( 3 ) 通过对研究对象字符系统的属性分析，根据人们对字符的认知心理分析，构 造出具有仿人特点的多层多变量智能字符识别器模型。该模型可以克服单模型特征缺 乏的弊端，提高识别效率。 利用人工智能理论、计算机技术和数字信号处理技术，改善传统算法的实时性和 精确性，寻求稳定有代表性的字符特征，采用多层多变量等先进匹配方法，设计出满 足识别速度快、识别率高的字符识别系统。 关键词：车牌识别小波变换多尺度边缘检测网格特征提取 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mi su s e dt oi m p r o v et h er e c o g n i t i o na b i l i t yo f v e h i c l e sc h a r a c t e r s r e c o g n i t i o ns y s t e m ，b e c a u s e t h e ”m i c r o s c o p e ”f e a t u r e a n d s i m i l a r h u m a nv i s i o nf e a t u r ec a nb eu s e di nt h ei m a g ea n a l y z e t h r e ep r o b l e m sh a v eb e e n s o i v e di nt h i sa r t i c l e ( 1 ) i n v e s t i g a t es e g m e n t a t i o na n dd e n o i s i n go ft h ec h a r a c t e r s ad e n o i s i n gm e t h o do f k e e p i n ge d g eh a sb e e n b u i l to nt h eb a s i co fa r e ad e n o i s i n gi ne x i s t e n c e t h i sa r i t h m e t i cc a l l k e e pt h eo r i g i n a lf e a t u r eo ft h ec h a r a c t e ri nd e n o i s i n g , a n dt h e ni m p r o v et h e t r a d i t i o n a l m e t h o d ( 2 ) f r o mt h ea n a l y z eo ft h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fs t a t i s t i c f e a t u r ea n d f r a m ef e a t u r e ，w eh a sb u i l to u tg r i d d i n gf e a t u r eo fw a v e l e th a v i n gb o t ha d v a n t a g e su s i n g w a v e l e t2 - di m a g ed e c o m p o s ew h i c hh a ss p e c i a l i t yo fh u m a n v i s i o n ( 3 ) f r o mt h ea n a l y z eo fc h a r a c t e r ss y s t e m sa t t r i b u t ea n dt h ec o g n i z eo fh u m a ni n c h a r a c t e r sr e c o g n i t i o n ，a ni n t e l l i g e n tr e c o g n i t i o ns y s t e mm o d e lo fc h a r a c t e r sw i t hs p e c i a l t y o fm u l t i l a y e ra n dv a r i e t i e so fv a r i a b l e sh a sb e e nb u i l t t h i sm o d e lc a no v e r c o m et h ea b u s e t h a ts i n g l em o d e lf e m u r el a c k sa n di n e a s et h ee f f i c i e n c y w eh a v ei m p r o v e dt h er e a l t i m ea n da c c u r a c yo ft r a d i t i o n a lm e t h o d s ，f o u n dt h e r e p r e s e n t a t i o n a lc h a r a c t e rf e a t u r e ，a n dh a v ed e s i g n e dac h a r a c t e rr e c o g n i t i o ns y s t e mw i t h f a s tr e c o g n i z i n gs p e e da n dh i 曲r e c o g n i z i n gr a t e ，u s i n ga r t i f i c a li n t e l l i g e n tt h e o r y ， c o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g k e y w o r d s ：v e h i c l e sp l a t er e c o g n i t i o n m u l t i - r e s o l u t i o ne d g ed e t e c t i o n w a v e l e tt r a n s f o m s g r i d d i n gf e a t u r ee x t r a c t i o n 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，基于小波分析的图像处理在车牌 识别中的应用是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：! 錾型三一塑年立月幺日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：! 塾速塑! 年立月羔同 指导导师签名：4 舄k 睡_ 年毒月丘日 1 1 概述 第一章绪论 随着科学技术与经济的发展，人们对于交通状况的要求也越来越高，在交通硬件 取得了很大成就的同时，交通类软件的发展也引起了人们的广泛重视。针对此问题， 人们利用先进的科学技术，相继研制开发出各种用于交通道路的监视、管理系统。这 些系统一般都包括车辆检测装置，通过该装置可以对过往车辆实施监测，统计相关交 通数据，从而达到监控、管理和指挥交通的目的。车辆牌照识别技术是车辆检测系统 中的一个很重要的环节，在交通监视和控制中占有着重要的地位，有着多种应用，例 如自动收费系统、不停车缴费系统、失窃车辆的查寻系统、停车场车辆管理系统、特 殊部门车辆的出入控制系统等。基于图像和字符识别的车牌识别是计算机视觉和模式 识别在智能交通领域的重要应用，是实现智能交通运输系统的核心技术之一。 如今私有车辆越来越多，公路上的车辆超速、超载以及日常丢车的现象越来越严 重，据报载北京每天就有几十辆车报失；目前在高速公路的收费口，由于采用手工收 费的方式，速度较慢，经常造成车辆阻塞，有时排队等候的车辆长达数百米，大大降 低了高速公路的利用率。交通犯罪率的逐年攀升，也严重影响了社会的安定和人们的 日常生活，而城市尤其是大中城市的公路交通管理变得越来越复杂，智能交通管理系 统的设计和实旋因而受到人们和政府的重视。该系统可用于公路路口、停车场、高速 公路收费站、等场合，通过对所经过的车辆的自动跟踪识别，实现交通管理的智能化。 目前，世界各国都在进行适用于本国车辆牌照系统的研究，一些发达国家近年来 出现了很多这方面的理论研究成果和软件产品，我国在这方面的研究也具备了一定的 规模，由于多种原因，该技术还没有被广泛的掌握和应用，需要不断的完善。美、日、 韩等国现在已有了一些相应的系统问世，但这些系统无一例外的都是基于传感器的。 引进和使用这些系统不仅费用高而且由于各国的车牌和实际的交通环境不同，引进的 系统不能很好地满足我国城市的需求。 1 2 模式识别技术及其发展 1 2 1 模式识别的概念及组成 模式被理解成取自世界有限部分的单一样本的被测量值的综合；模式识别就是试 图确定一个样本的类别属性，即把某一样本归属于多个类型中的某一个类型。 模式识别技术是用计算机模拟人的各种识别能力，当前主要是对视觉和对听觉的 模拟。用计算机对图像进行识别和理解的工作就是对人视觉的模拟。目前，模式识别 技术作为人的能力的辅助和延伸，已经具有了相当重要的作用。模式识别是一种对模 式分类的技术，在本课题中主要是在数字图像处理的基础上，利用一种简单有效的模 式识别技术识别出特征点。 识别系统由两个连贯的环节组成：分析阶段和实现阶段。具体组成如图所示： 被识图像l 图像信息 - 1 获取 图像 预处理 图像特征 提取 图1 1模式识别系统的基本构成 图像分类l 识别结果输出 判别r 1 1 2 2 模式识别技术的发展 模式识别( p a t t e r nr e c o g n i t i o n ) 是人类的一项基本智能，在日常生活中，人们 经常在进行“模式识别”。随着2 0 世纪4 0 年代计算机的出现以及5 0 年代人工智能 的兴起，人们当然也希望能用计算机来代替或扩展人类的部分脑力劳动。( 计算机) 模 式识别在2 0 世纪6 0 年代初迅速发展并成为一门新学科。 模式识别主要应用在文字识别、语音识别、指纹识别、遥感、医学诊断等方面。 模式识别技术是人工智能的基础技术，2 1 世纪是智能化、信息化、计算化、网络化的 世纪，在这个以数字计算为特征的世纪里，作为人工智能技术基础学科的模式识别技 术，必将获得巨大的发展空间。在国际上，各大权威研究机构，各大公司都纷纷开始 将模式识别技术作为公司的战略研发重点加以重视。 1 3 车牌识别研究及应用 1 3 1 当前研究及商业前景 随着电子技术、计算机技术和自动控制技术的发展，智能交通系统应运而生，同 时也带动了车牌识别技术的发展。目前国内从事这方面研究的高等院校或科研机构比 较多，主要的有川大智胜、清华大学、汉王科技、亚洲视觉等。我国最早研究车牌识 别的是西安交通大学，它在中国公路交通的自动化方面起了非常重要的作用。 采用高性能的计算机处理，硬件和软件价格太高，系统不便于安装和维护，难以 在我国实际交通系统推广。改进算法能有效地提高车牌识别的处理速度，但在现有的 理论和技术条件下解决车牌识别过程中的处理速度这个瓶颈问题是十分困难的。我们 的研究旨在寻求一种既具有较快的识别速度，又具有较高的识别率的算法。 车辆监控和管理是一项全国性的大事，交通肇事是我们国家的社会不稳定因素之 一。为了保障公路交通的有序进行，国家每年要投入大量的人力物力财力。在我国加 入世晃贸易组织后，中国的汽车拥有量将在近几年内急剧上升。对车辆的安全监控与 科学化管理显得越来越重要。牌照是车辆的唯一身份标识，在车辆管理的实施过程中， 2 就正如人口的管理中我们每个人的身份证所具有的重要性，每辆汽车的车牌也起着关 键的作用。如果能够快速准确地将各种汽车的车牌号码提取出来，这将大大减少车辆 管理中人力和物力的投入，提高管理的效率。 1 3 2 基本原理 1 车牌识别的基本原理 目前，车牌识别功能的技术分为自j 接法和直接法两种。 ( 1 ) 间接法是将车牌的信息存储在i c 卡中。利用i c 卡技术进行汽车牌照的识别时， 是在每辆汽车上安装一个微型电子信号接收和发射装置即i c 卡，通过卡内存储的信 息辨识出汽车的车牌号码和其它相关内容。 ( 2 ) 直接法是基于图像的车牌识别技术，能够在无任何专用发送车牌信号的车载发射 设备的情况下，对运动状态车辆或静止状态车辆的车牌号码进行非接触性信息采集并 实时智能识别的系统。 与间接法识别系统相比，这种系统首先节省了设备安置及大量资金，从而提高了 经济效益。其次，由于采用了最先进的计算机应用技术，所以可以提高识别速度，较 好地解决实时性问题。再次，它是根据图像进行识别，所以可以通过人的参与可以解 决系统中的识别错误，而其他两种方法是人难以交互的。 鉴于上述原因，文中采用了基于图像的车牌字符识别技术，其识别过程如图1 2 所示： 图1 2 车牌识别过程 此种典型的汽车牌照别系统由图像采集部分、中央处理器、识别引擎组成，一般 还要连接相应的数据库以完成特定的功能。当系统发现有车时，发信号给图像采集系 统，所得图像即为软件的输入，识别结果应该是汽车牌照号码，再通过查询特定数据 库( 如被盗车辆，持有通行证车辆数据库) ，就可以完成特定的功能。 2 现行车牌的特点： 1 )除特种车辆外，都以各省、市、自治区简称丁f 头，共七位，规范且易辨认： 2 )用英文字母作为地、州、市级代号，例如“粤a ”为广东省广州市； 3 )后面五位数，既可用阿拉伯数字，又可用英文字母：例“粤h 口口口口口”； 4 )牌照的颜色主要分为黄底黑字、蓝底白字、黑底白字和白底黑字四种： 5 )牌照的大小为一矩形，其高度大约1 4 0 m m ，宽度大约4 4 0 m m ； 由上述的几个主要特征可知，车牌区域的纹理信息和颜色信息是十分丰富的。在 做定位这项工作时，可以充分利用这些信息。 3 1 4 数字图像处理系统 数字图像处理系统是执行处理图像、分析理解图像信息任务的计算机系统。尽管 图像处理技术应用的范围非常广泛，图像处理系统种类很多，但它们的基本组成是相 近的。典型的数字图像处理系统由输入输出设备、存储器、运算处理设备和图像处理 软件构成。如图1 3 所示。 图1 3 典型的数字图像处理系统框图 4 第二章小波分析的基本理论 小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语言分析等多领域的一种 数学工具，是继一百多年前的傅立叶( j o s e p hf o u r i e r ) 分析之后的一个重大突破，无 论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击，是国际科 技界和众多学术团体高度关注的前沿领域。 类似于f o u r i e r 分析，小波分析也包括两个重要方面：积分小波变换和小波级数。 小波分析是一个范围可变的窗口方法，小波分析可以用长的时间间隔来获得更精确的 低频信息，用短的时间间隔来获得高频信息。小波分析的主要优点之一就是提供局部 分析与细化的能力。小波分析可揭示其它信号分析方法所丢失的数据信息，如趋势、 断点、高阶导数不连续性、自相似性等。与传统的信号分析技术相比，小波分析还能 在没有明显损失的情况下，对信号进行压缩和消噪。 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技 术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方法相比， 产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和 广阔的应用前景。在不久的将来，小波分析必将在工程和科技各领域发挥更大的作用， 正因为如此，它也成为了广大科技人员、数学家们必须掌握的一种信号处理工具。 2 1 傅立叶变换到小波分析 2 1 1 傅立叶变换 傅立叶变换是信号处理，图像处理等领域里重要的应用工具之一。从实用的观点 看，当人们考虑傅立叶分析的时候，通常是指( 积分) 傅立叶变换和傅立叶级数1 。 定义2 1 函数，o ) 工2 伍) 的连续傅立叶变换定义为 f ( _ ) = p 。“，o 协 ( 2 1 ) 名 f ( z ) 的傅立叶逆变换定义为 ，( f ) ；i 一。r e “f ( p m ( 2 2 ) 为了计算傅立叶变换，需要用数值积分，即取f ( t ) 在r 上的离散点的值束计算这 个积分。在实际应用中，我们在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作， 对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都是有限长的。于是有了离散傅立叶 变换( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简称d f t ) 的定义。 5 定义2 2 给定实的或复的离散时间序列，o ，i ，a ，。设该序列绝对可和，即 满足 荟仆 称 j 忙) = f ( ) = 争k = 0 , 1 , a , n - 1 ( 2 3 ) 为序列 f n 离散傅立叶变换，称 一专薹z 忙k 矿2 m e 川玑 ( 2 4 ) 为序列 x ( k ) ) 的逆离散傅立叶变换( i d f t ) 。 当f ( t ) 是实轴上以2 石为周期的函数时，即f ( t ) e l 2 ( 0 ，2 玎) ，则f ( t ) 可以表示 成傅立叶级数的形式，即 ，o ) 一g e “ ( 2 5 ) 傅立叶是时域到频域相互转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把 f ( t ) 这个波形分解为许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以把对原函数的 研究转化为对其权系数，即对傅立叶变换f ( 甜) 的研究。 2 1 2 短时傅立叶变换 由于标准傅立叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域不存在这种能力， d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短时傅立叶变换( s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m1 。短时傅 立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个 时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式是m 1 ： s ( m ，r ) = f f ( t ) g ( 一百k 。“d t ( 2 6 ) 其中“ ”，表示复共扼，g o ) 是具有紧支集的函数，厂( f ) 是进入分卡厅的函数。在 这个变换中，e 起着频限的作用，g ( f ) 起着时限的作用。因此，g ( f ) 往往被称作为窗 口函数，s ，f ) 大致反映了厂o ) 在时刻t 时，频率为m 的“信号成分”的相对含量。 这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在p 一6 ，r + 6 】和b s ，m + s 】这一区域内 的状态，并把这一区域称之为窗口，6 和分别窗口的时宽和频宽，表示了时频分析 中的分辨率，窗宽越d , 贝t j 分辨率就越高。很显然，我们希望6 和都非常小，以便有 很好的时频分析效果，但海森堡( h e i s e n b e r g ) 测不准原理( u n c c n a i n t yp r i c i p l e ) 指出6 和 s 是相互制约的，两者不可能同时任意小( 事实上，如苫三且仅当g ( f ) = i e 砉高斯 函数时，等号成立) ，如图2 1 所示： 幅 度 时间 s t f t 一 图2 1 短时傅立叶变换时窗和频窗示意图 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有的局 部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g o ) 确定后，矩 形窗口的形状就固定了，f 和只能改变在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。 可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重 新选择窗函数g o ) 。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号尤可，但对于非平稳信 号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求较高的时间分辨率( 即6 要小) ， 而波形变化比较平稳的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率( 即要小) 。 短时傅立叶变换是不能兼顾两者的。 2 1 3 小波分析 小波分析是一种窗口大小固定但其形状可改变，时间和频率窗都可改变的时频局 部化分析方法。“。 设妒o ) 上2 伍) ( 2 陋) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ，其 傅立叶变换为参b ) 。当参) 满足允许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： q ；正等抓m ( 2 z ) 时，我们称妒o ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母函数妒( f ) 经伸缩和平 移后，就可以得到一个小波序列。 7 频率 对十连续的情况，小被序歹u 为： 州2 硝1 ( 半) a , b e r ；a 0 亿8 ， 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于离散的情况，小波序列为： 妒 ( f ) 2 一妒( 2 一，f k )j , k e z 对于任意的函数，( f ) 三2 伍) ，其连续小波函数为： w f ( a ，6 ) i ，矾产一f ，( f 如( 譬卜 ( 2 9 ) 其逆变函数为： ，( f ) 2 专舫如( 学) 出动 亿 小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶变换的时频窗口不一样。其窗口形状为两 个矩形陆一4 妒，b + 口妒】 ( 。一a 1 p ) a ，( + - c o o + 妒) 屈 ，窗口中心为p ，t 口) ， 时、频窗宽分别为口砂和a 掣j a 。这里 。y g a , o p i 参) 1 2 d 。其中b 仅仅影 响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口 的形状。 这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变 换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而 频率分辨率较低。这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。从总体上 来说，小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。 2 1 4 小波分析与傅立叶变换的比较 小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓。它自产生以来，就一直和傅立叶分析 密切相关。它的存在证明，小波基的构造和结果分析都依赖于傅立叶分析。为此，我 们对二者的主要不同点进行比较，以明确这一数学工具的重要性1 。 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限的信号，o ) 分解到以忙j t a 为正交基的空间上 去；小波分析的实质是把能量有限的信号，o ) 分解到以h ，- ，( j = 1 ，2 ，a ，l ，) 和旷，所构成 的空间上去。 2 ) 傅立叶变换用到的基本函数只有s i n ( h t ) ，c o s ( 面- t ) ，e x p ( i 五t ) ，具有唯一性；小 8 波分析用到的函数( 即小波函数) 则不具有唯性，同一个工程问题用不同的小波函数 进行分析有时得到的结果相差甚远。 3 ) 在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对那些频率成分比较简 单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各种频率成分的叠加和形式。在时 域中，短时傅立叶变换系数s ( 石，r ) 主要依赖于信号在p 一6 ，f + 6 片段中的情况，时 间宽度是2 6 ( 因为6 是由窗函数g o ) 唯一确定，所以2 6 是一个定值) 。在小波变换中， 变换系数职k ，6 ) 主要依赖于信号在【6 一口妒，b + 口妒】片段中的情况，时问宽度是 2 a a g , ，该时间宽度是随尺度a 变化的，所以小波变化具有时间局部分析能力。 4 ) 在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中的石的值越小。 5 ) 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立时变换的不同之处在于：对 短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率，无关；相反，小波带通滤 波器的带宽v 则正比于中心频率，即 q 。笪：c 这里c 为常数。亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等q 结构( q 为滤波器 的品质因数，且有q = 中心频率带宽) 。 2 2 多分辨率分析 2 2 1 一维多分辨率分析 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造出具有定衰减性的光滑函数，其二迸制伸缩与平 移构成l 2 伍) 的规范正交基，使小波得到真j 下地发展。1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小 波基时提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念，将此之前的所有 正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速 算法，即m a l l a t 算法。 关于多分辩分析的理解，我们在这里以个三层的分解进行说明，其小波分解树 如图2 2 所示： 9 图2 2 = 层多分辩分析树结构图 从图中可以明显看出，多分辩分析只是对低频部分进行进一步的分解，而高频部 分则不予以考虑。分解具有关系：s a 3 + d ，+ d ：+ d 1 。另外，这里是以一个层分解 进行说明的，如果要进行进一步分解，则可以把低频部分4 分解成次低频部分爿。和 次高频部分d 。，以下依此类推。 定义2 3 空间l 2 ( r ) 中的多分辨率分析是指l 2 ( r ) 中满足如下条件的一个空间序 列形 岜： ( 1 ) 单调性：c 巧+ l 对任意的，z 。 ( 2 ) 逼近性：i = 0 ，c l o s e y 卜一2 ( r ) 。 r e 一一_ ( 3 ) 伸缩性：f ( t ) e v j f ( 2 t ) e v j + 。 ( 4 ) 平移不变性：对任意七z ，有办( 2 叫2 t ) e v _ 4 丸( 2 训2 t - k ) s v _ ，。 ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在妒p ) ，使得彬( 2 叫2 一七) i 七z ) 构成的r i e s z 基。 设以一表示分析树分解中的低频部分爿j ，表示分解中的高频部分d ，则是 在+ 。中的正交补，即 显然 o = “ ，z ( 2 1 1 ) o o + 1 0 ao 。= 。 ( 2 1 2 ) 则多分辨率分析的子空间可以用有限个子空间来逼近，即有 = 嵋。啊一o o ；a 一o o 一。o ao o ( 2 1 3 ) 若令 代表分辨率为的2 7 函数，2 ) 的逼近( 即函数f 的低频部分或 l o “粗糙像”) ，而d 代表逼近的误差( 即函数，的高频部分或“细节”部分) ，则 矗= ，1 + 力_ 厂2 + d 2 + d l 兰a 厂+ d + d 一l + d 2 + a + d 2 + d 1 ( 2 1 4 ) ，l ，+ 噍 ( 2 1 5 ) 和分辨率2 一( 1 s ，s n ) t f 的高频部分( “细节”部分) 完全重构，这就是著名的m a l l a t l 2 ( r ) 的一个m r a 形 膨事实上刻画了两个函数：尺度函数妒0 ) 和小波函数 妒0 ) ，以及两个空间与( ，z ) 。从系统学的原理来解释，可将m r a 看作由四个 m r a st 却( x ) ，1 ；f 0 ) ；( ) 皿，( ) 膨 ( 2 1 6 ) p ) t o 砌( 缸一咒) 妒。) ：圭g ( 厅) 驴( h h ) 2 1 7 a c 一。c c “c a ( 2 1 8 ) f 妒 ( 工) ；2 ，2 伊( 2 7 工一七) 1 ；f ， o ) 一2 j7 2 妒( 2 ，茗一七) 1 】 爿；，一c ，o ) ，妒， o ) ) 一2 必f f ( x ) q o ( 2 7 x 一七) 出 ( 2 1 9 ) 则在尺度j ( 或2 ) 下的细节信号( d e t a i ls i g n a l ) d ，厂为： d ，； = 2 乃r ， 渺( 2 x - k ) d x ( 2 2 0 ) 从分辨率高到分辨率低的过程，具体的是将彳鼻。分解到爿；和d f ，亦即 r ；，。兰 七一2 以彳j 1 ， ( 2 2 1 ) l d j ，一乏g 一2 ，1 ) 4 鼻- ， 上式是一个递推公式，设原始信号f ( x ) v o ，即， ) 一名，则由上式知迭代次数为 一j js j ，也就是将a 0 1 分解为 a d _ f f ，( d ，) 。，。) ( 2 2 2 ) ，o ) = a 。o f - a s f + d ， ( 2 2 3 ) 由彳；，和d ，又可重构彳知，即为 4 鼻，。； 。一放m j ，+ ；g m 一欲) d ， 2 2 4 1 - - d m r a s = 和0 ) ，妒 ) ；( ) 皿，( ) 胆 2 - - d m r a s = 中o ) ，v o ) ；( 吩) 皿，( 2 ) 皿) ( 2 2 5 ) 吩= ( 2 2 6 ) 中 ，y ) = 妒o ) 妒( y ) ( 2 2 7 ) 由 上：l 中j ：o ，y ) 篁2 中( 2 工一七1 ，2 7 y 一七2 ) 一2 s 妒( 2 x k 1 ) 妒( 2 7 y 一豇2 ) ， 。，k 2 ) e z2 ) ( 2 2 8 ) 是嵋的一组规范正交基。 因为 囔。= 巧+ ，o + = ( o ) o ( o ) 一以o ) o 固) o ( o ) o 暇 ) 一呼o 【啦o ) o ( o ) o ( ) 】 ( 2 2 9 ) 一v ；囝w ； 其中 町一心 ) o ) o 孵 ) ( 2 3 0 ) 上式说明 妒1 0 ，y ) 一妒( x 渺( ) ，) 1 妒2 0 ，y ) = 妒 砌( ) ，) ( 2 3 1 ) 妒3 ，y ) = 妒 渺( y ) l 而妒缸，i e ；1 , 2 ，3 ； ，所) z2 ) 是町的一组规范正交基， 妒；如l e = 1 ，2 ，3 ：( j k ，m ) e z2 是l 2 僻2 ) 的一组规范正交基。 这样，式( 2 3 0 ) 完成了对式( 2 2 5 ) 即2 - 0m r a s 的构造。 2 2 4 二维m a i i a t 算法 记爿，d ，1 ，j d ，2 ，d ；是从三2 僻2 ) 分别到子空间( ) ，孵 ) ，( o ) 和 ( 形， ，) 的投影算子，则有 州力2 狰蛐 “圹渺，彬m “咖删 = 彳，+ d ；，+ d ；，+ d ；厂 ( 2 3 2 ) 其中 c ，+ l ， ：= a + l ，妒，+ 1 ( x ) 妒卜2 ：( y ) a ， ；a 川，+ - o + 。 1 3 因为 d j ，_ ；d ；，o ；d ；， 4 ，一c ，：中， 。： m i r a 2 一c 吼。( x ) 妒肌( y ) l m 2 d ；厂。d 厶，：妒；，。 e 2 1 ，2 ，3 m i r a 2 故将式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 代入式( 2 3 2 ) 得 a i n l ；a j d l l | d ：| d j 一c ，。，：妒。( x ) 9 ，：( y ) + d ；。一，：妒，( x 渺，： + d k 。：妒椭( x ) 妒肌( y ) + d k ，：妒椭( x 砂肌 “1 l p “ n 1 ，1 2 其系数由下面的迭代公式确定： c j ，月2 一 h 一2 m l h ：一2 c j + l 2 d 1 ，h 一2 = h k t - 2 m l g t 2 2 _ 2 c j + l 2 d 五m ；民一魄：一挑c + 蝻 ： d 厶m 一芝坼：，g 以“ ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 引入无穷矩阵，一饵枷。) ，h 。= 似。：) ，g ，一( g 枷。) ，g ct ( g k ，：) ，其中 月t 。；以一，g k 。一g t 一“f 标“r ”和“c ”分别表不对矩阵的行操作和列操作。于是 ( 2 3 5 ) 简化为： c 一日，h 。c ，+ 1 1 d j ：= h ，磐，( j = 0 , - l a , - j ) ( 2 3 6 ) d ；一g ，h 。c m l d ；= g ，g c c l 设f ( x ，y ) s 蜉，则由( 2 3 6 ) 经j 步( j o 为整数) 分解后有 m ，y ) = a o ，- j ，+ 善荟d ；，( 2 3 7 ) 对应于式( 2 3 2 ) 的重构算法为 c ；h ：h ：c ，+ 日j g ：d ；+ g ；h ：d ；+ g ：g ：d ；( ，一- j ，- j + 1 ，a ，一1 ) ( 2 3 8 ) 1 4 其中h + 和g + 分别是h 和g 的对偶算子( 在l 2 中) ，或被理解为h 和g 的共扼转置 矩阵。式( 2 3 2 ) 和式( 2 3 8 ) 就是我们常用的2 一dm a l l a t a l g o r i t h m 。 2 3 小波分析与信号、图像 小波分析之所以可以应用于图像，这是因为从数学的观点来看，信号与图像处理 可以统一看作是信号处理c - “。 目前，信号处理广泛应用于通信( 电话与电视，数据传输) 、卫星图像的发射与分 析、医学成像( b 超、c t 、核磁共振) 等。所有这些都涉及到复杂的时间序列的分析与 说明。在应用中，信号总是数字的序列，这些数值能够由测量得到，典型的方法是使 用一些记录的手段。总的来说，信号归根到底是时间的函数。信号处理的目的是准确 的分析，有效的编码，快速的传递，之后仔细的重构。 第三章图像的分割去噪 图像分割是依据图像的灰度、颜色或几何性质将图像中具有特殊含义的不同区域 区分开来，这些区域是互不相交的，每个区域都满足特定区域的一致性。比如对同一 物体的图像，一般需要将图像中属于该物体的像素从背景中分割出来，将属于不同物 体的像素点分离开。分割出来的区域应该同时满足“”： ( 1 ) 分割出来的图像区域的均匀性和连通性。 ( 2 ) 相邻分割区域之间针对选定的某种差异显著性。 ( 3 ) 分割区域边界应该规整，同时保证边缘的空间定位精度。 目前使用广泛的是大津法。传统的大津法是一种全局搜索定位的方法。利用阈值 点在候选波谷处的先验知识，变全局搜索为针对搜索，改进大津法的计算量可以大大 改善。 3 1 二进小波 我们在阈值自适应选取中采用二进小波变换，它是离散小波变换的一种。先将连 续小波离散化，再通过对参数的选取就可以得n - - 进小波变换的数学表示。 在连续小波中，考虑函数“4 1 ： 妒。( d ：l 口| - 1 ，：妒( 坐) ( 3 1 ) 这里，b e r ，a r + ，且a ，0 ，妒是容许的，在离散化中，总限制a 只取正值，这样 相容性条件就变为 巳一f 科威m ( 3 2 ) 通常，把连续小波变换中的尺度参数a 和平移参数b 的离散化分别取作a = a ；， b = k a o j b o ，这罩，z ，扩展步长o 1 是固定值，为方便起见，总是假定口o 1 ( 由 于m 可能取正也可取负，所以这个假定无关紧要) 。 为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性， 我们很自然地需要改变尺度参数a 和平移参数b 的大小，使小波变换具有“变焦距” 的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样 网格，即。= 2 ，b o - 1 ，每个网格点对应的尺度为2 7 ，而平移为2 j k 。由此得到的小 波 妒， o ) = 2 - j 2 妒( 2 一t - k ) 其中的j , k e z ( 3 3 ) 称为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) 。 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2 - j ，它对应为观 测到信号的某部分内容。如果想进一步观看到更小的细节，就需要增加放大倍数即减 小j 值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j 值。因此， 小波变换被称为数学显微镜。 定义3 1 设函数妒，。( t ) e l 2 俾) ，如果存在两个常数a 和b ，p r o a t b ( m 使 得稳定性条件几乎处处成立，即 a s 罗l 妒( 2 ) 1 2 b ( 3 4 ) 恕 则妒, 3 0 ) 为一个二进小波。若a = b ，则称为最稳定条件。而函数序列 ，厂 ) 一叫 做f 的二进小波变换，其中 ，似) 一c ，( f ) ，妒2 j 卜t 古j i ，o 砂( t i t - k ) d t ( 3 5 ) 上式的逆变换为 ，( f ) 一， ) t 妒2 1 p ) 2 形， ) l f ，2 1 ( 2 - j f 一七渺 ( 3 6 ) 二进小波变换不同于连续小波的离散小波，它仅仅是对尺度参数进行了离散化， 而对时间域上的平移参量保持连续变化。因此，二进小波不破坏信号在时间域上的平 移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。 3 2 多尺度边缘检测 多尺度边缘检测是在不同的尺度上先磨光原信号，再由磨光后的一阶或二阶导数 检测出原信号的剧变点“。 设o ( x 1 是磨光函数，满足 户( 石) 出= 1 ( 3 7 ) l i mo ( x 、= 0( 3 8 ) 一 例如可取0 为g u a s s 函数与规范b 样条函数等。设o ( x ) 二阶可导，定义 1 7 这时，由( 3 8 ) 得到 妒7 0 ) 一忑d 口( z )i “ 妒一嘉 p | ( x ) a x _ 0 ；0 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 所以妒7 ) 和妒”0 ) 是小波。 注意，g 卷积的定义： ，g ) = ( ，+ g ) ) 一f i ( u ) g ( x 一“) a u ( 3 1 1 ) 引入记号 删( 詈) f ( x ) 关于小波妒7 0 ) 和妒” ) 在s 上和位置x 上的规范小波定义为 f ，o ) 一，+ 妒，o ) l 皑，o ) ；f + 妒? o ) 而通常的积分小波变换定义为 似啪卜肌，制圳2 弘 ( 学产 其中 | l l 。：i n r ( 三生) 定义( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 可以互相转化。 由定义从( 3 1 3 ) 可以得到 w j f ( x ) ：，。o 孕) o ) ；，车( ，。吼) ( x ) o xa x 事实上 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) w j f ( x ) = ，i d2 0 , ) 。) 嘉( ，+ 以) ) ( 3 1 7 ) 肿警= ；弘s i d o , ( x 。- t 矽 = 量厂o ) 丢口( 孚矽= 丢j ，o 妒( 孚冲 = s 丢s 互，o 顾孚妙= s 丢( ，以) ， ) 0 2 ( x ) 丢”m 笔0 2 ，+ ， ) d x 。 j j l x 0x 1ix 2 - ， 一一 ， |f ， 八 图3 1 信号的局部值与零交叉检测 同样可以证明式( 3 1 7 ) 成立。由( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 看到，f ( x ) 关于妒7 ) 和妒”o ) 的 规范小波变换，变成了与光滑函数口。的卷积，关于s 的一二阶导数乘s 与s 2 。这样， 形， ) 的局部极值对应于皑厂o ) 的零交叉点和，+ o j o ) 的拐点。 由于尺度s 很大时，信号与占，o ) 的卷积消去了信号中较小的变化，所以仅能检 测出比较大的剧变点，这刚好就是对小波分解低频信号的检测。因此，对于不同大小 的s 值，可以得到不同尺度下的剧变点，这就是多尺度边缘检测，相当于小波分解后 1 q 对不l 司频带的信号进行检测。 检测零交叉点或局部极值点是类似的方法，但是求局部极值点有其优点。厂以o ) 的拐点是其一阶导数绝对值的最大值或最小值，+ 以o ) 的一阶导数最大值点是其剧 变点，而最小值点是其缓变点。用二阶导数来区分这两种类型的零交叉点是困难的。 但是用一阶导数，很容易通过检测l 叫， ) i 的局部最大求出剧变点及其( x ) 。在 图3 1 中，石：是i 忑d 疗：， ) i 的最大值点，而的最小值点，对应于原信号f ( x ) 的 剧变点与缓变点。x 0 ，x i 和工：都是箬巳， ) 的零交叉点。在图