（概率论与数理统计专业论文）copula回归函数和方向相依.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 在数理统计中相依性是一个重要研究内容，现在所用的相依测 度主要有p e a r s o n 相关系数，k e n d a llz ，s p e a r m a np ，但它们都是具 体的数值，不能清晰的描述随机变量之间的相依关系，比较粗糙， 故需要构造其他形式的相依测度。相依模型比如说回归分析中，我 们尝试建立随机变量间相依性的函数表达形式，以更清晰的描述随 机变量之间的相依关系。这种函数关系可以依赖于随机变量的边缘 行为或它们的联合行为，本文用一种方法把它们区分开来。本文的 第二部分主要介绍了通过c o p u l a 回归函数来研究变量之间的相依 性，并且通过一些例子展示了它的优越性。 在第三章中，在假设两个随机变量线性关系的前提下，得出这 样的一种结果：把相关系数与响应变量和解释变量的倾斜度联系起 来。进一步给出了相关系数与响应变量和解释变量的峰度系数之间 的关系。 在第四章节中通过c o p u l a 定义了二维回归集上的方向相依的概 念。在第三章的基础上通过使用c o p u l a 定义了两类方向相依：来自 边缘行为的方向相依和来自联合行为的方向相依，并且通过例子来 把它们区分开来。并且引进一种能够应用于两种方向相依的测度并 且仔细地研究了线性情况。并且将通过高阶中心矩给出相关函数的 一种新的表达式。 关键词：c o p u l a ；相依性；回归函数；方向相依 西南交通大学硕士研究生学位论文第h 页 a b s t ra c t d e p e d e n c ei sa ni m p o r t a n tp a r ti np r o b a b i l i t ya n ds t a t i t i c s n o w t h eu s e dm e a s u r ea r ep e a r s o nc o r a l a t i o nk e n d a l 王s z ，s p e a r m a n s p ， b u tt h e ya r ea l l n u m b e r s ，t h e y c a n tr e f l e c tt h e d e p e n d e n c er e l a t i o n b e t e e nt h e 。r a n d o mv a r i a b l e se x a c t l y ，i nd e p e n d e n c em o d e l i n gs u c ha s r e g r e s s i o n ，o n ea t t e m p t s t o p r o v i d e af u n c t i o n a lf o r mt h a tw i l l s u m m a r i z et h er e l a t i o n s h i pb e t e e nr e s p o n s ea n de x p l a n a t o r y t h et y p e o ff u n c t i o n a lr e l a t i o n s h i pc o u l dd e p e n do nt h em a r g i n a lb e o h a v i o r so r t h e i rj o i n tb e h a v i o r s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew i l ll o o ka taw a yo f s e p a r a t i n gt h e s eb e h a v i o r s 。w cw i l lr e f l e c tt h er e l a t i o nb yu s i n gc o p u l a r e g r e s s i o nf u n c t i o n s i n c h a p t e rt h r e e ，u n d e r t h e a s s u m p t i o n o fl i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t e e nt w ov a r i a b l e sw ep r o v i d ea l t e r n a t i v es i m p l em e t h o do fp r o v i n g t h ee x i s t i n gc o n n e c t i n gc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n tw i t ht h o s eo fs k e w n e s s o f r e s p o n s e a n d e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s 。f u r t h e rw eh a v eg i v e na r e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n ta n dc o e f f i c i e n to fk u r t o s i s o fr e s p o n s ea n de x p l a n a t o r yv a r i a b l e s i nc h a p t e rf o u r ，w ed e f i n ea n ds t u d yt h e c o n c e p to f d i r e c t i o n a l d e p e n d e n c ei nb i v a r i a t er e g r e s s i o ns e t t i n gb yu s i n gc o p u l a w ec o n s i d e r t w oc a s eo fd i r e c t i o n a l 磊e p e n d e 纛e e ：o 鑫eo r i g i n a t i n gf r o mm a r g i n a l sa n d t h e o t h e r o r i g i n a t i n g f r o m j o i n t b e h a v i o r o fv a r i a b l e s w ea l s o g e n e r a l i z e a n d c l a r i f y t h er e s u l t g i v e nb yc h a p t e r t h r e e 。w ea l s o i n t r o d u c eam e a s u r et h a tc a nb ee m p l o y e df o rb o t ht y p e so fd i r e c t i o n a l d e p e n d e n c ea n dp r o v i d e ad e t a i l el o o kf o rt h el i n e a r c a s e w c a l s o i n t r o d u c ea na d d i t i o n a lf a c eo ft o r t e la t i o n k e yw o r d s ： c o p u l a ，d e p e n d e n c e ，r e g r e s s i o nf u n c t i o n ，d i r e c t i o n a l d e p e n d e n c e 西南交通大学曲南父遗大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将 本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密吖，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“ ) 嚣专霈乒芦觋 矿，一1 日期：伊o c j j 训 指导老师签名：彳唧蕴 日期：咖厂、谚7 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研 究工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究 做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 在本文中，首先定义了c o p u l a 回归函数，对它的性质行了分析， 并对几种具体形式的c o p u la 回归函数进行了认真的研究，同时发现 了c o p u la 回归函数的系数与k e n d a l 1f 之间的关系。 2 利用c o p u la 工具对方向相依进行了推广，定义了两种不同类型 的方向相依，也给出了方向相依的一种测度，并且仔细研究了线性 情况。同时给出了p e a r s o n 相关系数的另一种表示形式。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 1 。_ l c o p u l a 的发展过程 在现实生活中，随机变量与其它变量之间几乎没有独立存在的 情况，往往是多个变量相依存在的，郎它们之间存在着某种相依关 系，因此需要通过某种途径来研究变量之间的相依关系。在数理统 计中相依性是一个研究的重要课题。 迄今为丘，已经有多静度量变量之闻耀依性的方法，其串有 p e a r s o n 相关系数，k e n d a llz ，s p e a r m a np 。p e a r s o n 相关系数度量的 是随机变量之间的线性关系，比如，如果隧机交量盖，y 之间的p e a r s o n 相关系数为腑，则勉的绝对值较大时，我们就认为随机变量并，y 之 间的线性相关性较好，p 群的绝对值较小时，我们就认为随机变量x ，y 之闻酌线性相关性较差，但是在实际生活孛，隧枫变量之闻鹃穗蔽 关系不总是线性的甚至线性关系很难遇到，或者说实际问题中的线 性关系是在去调节具有较小影响的随机变量后假设成立的。所以这 种描述随机变量之间的方法是不准确的。k e n d a l lf 是髓机变量之闻 相依性平均相依的度量；s p e a r m a np 度量的是与独立之间的距离。 近年来逐渐兴起的c o p u l a 溺数以及对它的研究是解决上述闯题 的有效尝试。 “c o p u l a 是一个拉丁语名词，意思为“连接，系，捆绑等含 义，它实质上就是连接联合分布丞数和边缘分布函数的函数。现在 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 国内的很多文献都称它为连接函数，在本文中仍采用原文“c o p u l a 来表示。 对这个问题的研究最早是在1 9 4 0 和1 9 4 1 年h o e f f d i n g 3 4 ，3 5 】发 现了“标准化函数 及其一些结论，1 9 5 1 年f r e c h e t 也取得了很多和 h o e f f d i n g 相同的结论，还发现了”f r e c h e t h o e f f d i n g 界”等重要的性 质1 9 5 9 年s k l a r 第一次把c o p u l a 这个定义引入到数学中来，最重要的 贡献为s k l a r 定理二十世纪七十年代后，c o p u l a 这个名词越来越被人 们所关注。n e l s e n 在1 9 9 9 年把c o p u l a 的定义以及重要的结论作了 系统的总结，从而使c o p u l a 这个概念得以进一步的推广。现在c o p u l a 被越来越多的领域引入和应用。 1 2 c o p u ia 的研究意义 c o p u l a 消除了边缘的影响，因此是研究变量之间相依性的重要工 具，统计工作者通过利用c o p u l a 已经给出了一些度量相依性的方法， 最令人关注的有k e n d a lsf ，s p e a r m a np ，p e a r s o n 相关系数。它们确 实在一定程度上会描述变量之间的相依性但是它们也有其不足的地 方，它们均为具体的数值，k e n d a lsf 描述的是变量之间的平均相依性， 而s p e a r m a np 描述的是变量之间真实的相依性和独立之间的平均距 离，所以就需要尝试寻找一种能够表现变量之间函数关系形式的相依 测度。 1 3 本文所做的工作 本文的主要部分在第二章和第四章，第二章给出了c o p u l a 回归 函数的定义，并对它的性质进行了研究，同时也对几种形式的c o p u l a 回归函数进行了较为深入的研究。第四章是利用c o p u l at 具对第三 章方向相依的推广，有其现实意义，同时也给出了p e a r s o n 相关系数 一种新的表达式。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 第二章c o p uia 回归函数的一些结果 在相依模型比如回归分析中，人们尝试建立响应变量和解释变 量之间的关系的函数形式。函数关系的类型可以依赖于变量的边缘 行为或它们的联合行为。在这章里将看到一种分离两种行为的方法。 由于c o p u l a 消除了一维边缘的影响，所以它将是这种方法的工具。 n e l s e n 在他的书里总结了c o p u l a 最近几年发展的成果，在他的书里 提供了在给定一维边缘和协方差矩阵的条件下构造多维c o p u l a 的方 法，提出的这种方法可以得到分布的线性回归族。在这一章主要介 绍一种用c o p u l a 的观点看待回归分析。为了达到目的，于是就研究 了c o p u l a 回归函数及其性质，并且讨论了它的优越性。下面首先给 出c o p u l a 回归函数的定义。 2 1c o pul a 回归函数的定义 定义2 1 ：设( 比，y ) 为边缘均服从【o ，1 上均匀分布的随机变量，其对应 的c o p u l a 为c ，称e cr l u 一“ 为给定u 关于y 的c o p u l a 回归函数，用 厂c ( “) 或e 圪 来表示。 假设x ，y 均为连续型随机变量，其边缘分布函数分别为g ，h ，联 合分布函数为f ，对应的c o p u l a 为c ，则u - g ( x ) gv 一日( y ) 均为 服从( o 1 ) 上均匀分布的随机变量，且其联合分布函数为c 。 下面几个式子将在本章中用到： ( 1 ) 给定u 一“关于v 的条件分布函数，记为e ( y ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 p ( y s y 卜h ) 1 a c ( f u , v ) = e ( v ) ( 2 ) 给定u 关于y 的c o p u l a 回归函数 e 圪】；r e ( “) a f 佗e ( v ) 。1 一上乞( v ) 咖 对应的方差 o v , - e v 2 一( e 圪) 2 一项e ( y ) ( 1 一v ) 咖一e ( o ) 咖) 2 2 2 c o p ul a 回归函数的一些性质 由c o p u l a 回归函数的定义，我们可以得到下面的结果： 定理2 2 1 ( 1 ) 如果c ( “，v ) 一口v ，则厂c ( 口) = 丢，。( 屹) = 壶。 ( 2 ) 如果c ( u ，y ) 一m i ( u ，y ) ，则r c ( “) = “，d ( 屹) = o 。 ( 3 ) 如果c ( u ，y ) ；m a x u + v - l o ) ，则r c ( u ) - l - u ，d ( ) 一0 。 由上面的结果可以得出：c o p u l a 回归函数并不是一个c o p u l a ，它 可能取值为常数，一次函数等。 定理2 2 2 ( 1 ) e 少】一f ：e ( 圪) 咖- z ，c ( “) d u = 丢 ( 2 ) p c 一3 1 一“j ：，c ( ) d 础) ( 3 ) 吨】| r c 小如+ ：掣。+ 掣。( 3 ) & 圪】| r c ( “) = 1 - 上v ) + ：掣( 。) 。+ 掣( l 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 这里巳。( v ) ；兰毛掣i 二，蚱是“和比。之间的一个内点。 证明( 1 ) 由e 矿 = e 丘( 圪) 易得。 也可以这样做，任何连续型随机变量的分布函数服从( o ，1 ) 上的 均匀分布，而服从( o ，1 ) 上的均匀分布的随机变量的数学期望为丢。 ( 2 ) e 圪 = ，c ( 比) ；1 一f e ( v ) d v 辛f e ( v ) 咖= ：1 一厂c ，( 比) 辛击f c ( “，v ) 咖z 1 一r c ( 比) 辛f c ( “，y ) 咖= f 1 一，c ( ) 】d 由于反1 1 项睇c ( h ) d v d u 一3 = 1 须阱 1 一，c ( ) 川如一3 j f m 1 一r c ( ) 川如= 警 j 互1 一正阱乏( ) d 卜警 净fm ，c ( ) 叫也= 警 辛雕- 3 1 _ 阱小) 叫如) ( 3 ) 由泰勒定理我们有 艮 咖曲心附：掣比。) ，+ 掣。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 蠊h 砜之间的一个内点心 圪。】_ 掣k 我们把剩余项写成如下的形式： 足以一( “一“，) “ 则我们可以这样计算 厶眈 = r c ( 比) ；1 一f e 。( y ) d v 一： j ! 三竺! ；：! ：2 兰：( “一“。) ，一j 兰圣；二! ! ! ( 比一h ，) 一 叫晰：掣。一掣“卜 这里c 。m 一掣k 。 2 3 c o p u la 回归函数的应用及优越性体现 定理2 3 1 若厂c ( “) = 七，则足= 丢，进一步可得既= o ，反之则不成立。 证明 由于r c ( 比) = 1 一f o c 1 y ) d v = 七 号f e ( y ) 咖一1 一k ， 即去f c ( ) 咖小七 f o o l y ) d vj ( 1 一七) “+ m 取“。0 ，可得m = 0 。 取“一1 ，可得k 一去。 由p c ；3 1 4 f j ：r c ( 缈) d 诎加) ，当七( 掰) - 三2 时，可得p c = 。 反之则不成立，例如对于c ( u ，y ) ；h y + 日m v ( 1 一“) ( 1 一v ) ( 醒一y ) ，8 - 1 ，1 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 计算可得& = o ，而厂c ( “) ；丢一旦1 2 缸一缸2 1 。 当0 乒0 时，七( “) 显然不为常数。这表现了取条件期望的优越性。 下面来研究一下几种具体形式的c o p u l a 回归函数。 2 3 2 线性c o p u l a 回归函数 首先通过两个c o p u l a 族来对线性c o p u l a 回归函数进行仔细的研 究。 1 c ( u ，y ) = h y + 觎v ( 1 一“) ( 1 一y ) ( 比一y ) ，口 - 1 1 ( f a r l i e - g u m b e l - m o r g e n s t e r n ，f g m ) 2 ：c ( u , v ) = 吼血n h ，y ) + ( 1 一o l 一以) m ，+ 吼m a x “+ v 一1 , 0 ) 色，0 2e o ，1 ，o l + 吼 o ，y = i n f g o ) ：，曰 0 6 = i n f g ) ：y e b ) o ，爿一 掰【o ，1 】：f o ) 存在 btv e 0 ，1 】：g ( v ) 存在 则通过计算我们得： 仫( “) 。1 一f q ( v ) d r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 一l l v + ，辑) 苫咖 t 三。境g ( y ) 咖 修正的奄( 留) 戌脚) 1 项确) 町1 k e n d a l f 雎一1 埙厂似) d 吐g ( v ) d r 。 定理2 3 7 ：r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a - f l o r e sc ( u ，y ) = “v + ， ) g p ) 具有线性c o p u 纽回赔函数的充分必要条件为，。) = 甑( 1 一越) 正o of ( u ) d u a 证明：假设此 c o p u l a族具有线性回归函数 ，c ( “) 一三1 一戌厂 ) l c 巾) 如卜- 1 州“ p c f 譬) 【l ，l 搿) 妇】- 1 - 一穗一触+ 兰，由前丽定理我凹有： 奄掰) 一半+ & 鼙 号名( 距) = 芝1 一怨脚) 【l 埴确) 巍卜半w 毒七( “) 了1 【1 项确) 町1 风p ) 辛& 厂。) 1 2 o ：i m ) 锄】- l 一如( 专一甜) 叫。) 【主须确) 町1z ( 吖”1 2 ( 扣江确) 巍 号， ) - 叫，( 醒) 出一酝z ，( 材) 如+ 惫 由于，( 1 ) = 0 婚七一0 a 酉菊交通大学硕士研究生学位论文第王3 页 因此厂。) _ 6 “o o ，- 赢一缸2 ，“巍口 另一方露，如果，4 ) - 6 u ( 1 一托壕，o 渺，刚 奄q ) ；三，( u o 如渺= 三1 _ ( 6 一1 2 u ) f o of ( u ) d u z g ( v ) a v 定理得证。 定理2 3 8 ：对于r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a f l o r e s 族 c v ) + m 卿l 川叫丢“一f 咖叫肛1 2 风。l f o 。f ( w ) d w 。 证明： ，c 。) 一三1 一，( u ) o g 沙。 吖”阢。，舱y 渺】 辛脚2 p 删胁渺卜肋) = ：删巍 下面我们利用条件0 ) f ( o ) 一f ( 1 ) = o 来确定k 。 嘲于 朐。p 删胁叫一小。 训0 ) 划o ) 咖) 咖】小o 。 毒七划0 ) 阢如沙】越 胁p k 国黔吖小。 一一 疋胁叫以 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 e y = z e k 咖一f o , c ( u ) a u r c o ) 一n o ( o ) t 丢 一即) 炒) 咖】一 心( 1 ) 胁p 沙 - 1 因此 垮删2 p 酬胁町1 州。，炒沙】- 1 j 川2 p 删州。，m 叫。1 j 川= p f 咖) 咖胁( y 涉 - 1 由于 既1 2 f o of ( u ) d u f o og ( y ) 咖 号上g ( v ) d v 2 p c 1 2 f o 。f ( u ) d u 。1 号厂 ) = 1 2 既4 睦“一f r c ( w 沙 f 厂1 1 1 ) 咖 j f 确) 妇北如。1 口“也一麒咖矽叫一厂 胁 定理得证。 利用上面定理就可以按下面；b - 式构造具有多项式形式回归函数 的c o d u 】a 。洗柽具有下而形式的一个甬麴 m 叫沁耖卟卢p 荟nq 鬲u i + 1 则这样定义的函数满足例1 中的第一和第二个条件。 定义下面形式的c o p u l a c ( “，v ) = “y + 丢“一荟n 口rj u + t + 1 1 j g ( v ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 当满足条件厂7 。) g ) = 巴一骞口】g 2 1 时，c ，v ) 是一个具 有多项式回归函数的c o p u l a 。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 6 页 _ l _ 一一一_ _ _ l _ - - - _ _ - - - - l _ _ _ _ _ _ 一 第三章回归线上的方向相依 3 1 引言 在这一章中，在假设两个随机变量线性相依关系的前提下，得 出这样的一种结果：可以把相关系数与响应变量和解释变量的偏度 系数联系起来。进一步给出了相关系数与响应变量和解释变量的峰 度系数之间的关系。 考虑两个随机变量x ，y 满足下面的关系： y 一口+ 卢x + ( 1 ) 这里的误差项占是一个与x 独立的随机变量，x ，y 的协方羞由下 式确定； c o y ( x ，y ) ；e ( x e x ) ( r e r ) 】 则其相关系数为腑一岩= 哮，o x 2 ) 听2 分别为随机变孰，y o y 0 v0 v 的方差。 d o d g e 和r o u s s o n ( 2 0 0 0 ) 在假设两个随机变量线性关系的前 提下给出了相关系数的新的表达式。 他们的文章里的主要结论是：在假设e 的分布是对称的前提下 p ：| f y 3 。且，h ，0 ( 2 ) 其中y z ，h 分别为随机变量x ，y 的偏度系数。偏度系数是如下 定义的： 驴叫n 肼必， h ；e ( y - e y ) a y ， 公式( 2 ) 是用来决定一条回归线的方向相依，本章将关注这个公式 并给出一种新的证明方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 _-_-_-_一一 3 2 一种新的证明方法 y e ( y ) i p x 一( 石) 】+ 卜( ) 为方便起见只写出有效用的项( 取期望后非零的项) ，仅考虑下 面三个方程： y - e ( y ) 】2 一夕2i x e ( x ) 】2 + 卜e ( s ) 】2 p e ( 】，) 】3 一卢3i x 一( x ) 3 + 卜e ( ) 3 y e ( 】，) 】4 一卢4 x 一( x ) 】4 + 6 i x 一多( x ) 】2 占一e ( f ) 2 + 一e ( s ) 】4 ( 3 ) 定理3 2 1 如果o r e 2 表示f 的方差，则 1 - 腑2 一善 证明在方程( 3 ) 的两边取期望，并用腑取代卢即可 定理3 2 2 如果心( ) 表示随机变量的- - o k 中心矩则 p ；。e y - e ( y ) 1 3 - f - e ，( 8 ) 3 ；兰盟 e f x 一( 彳) 1 3 m ( x ) 因此p 盯3 一且，h 茸0 。 证明由( 3 ) 的第二个方程两边取期望得 e r e ( y ) 3t 夕3 e x e ( x ) 】3 + e 卜( s ) 3 即心( y ) = 卢3 肛，( x ) + 心( ) 如果是服从对称分布的，则坞( 占) = 0 ，所以 e y _ ( 】，) 】3 ；f 1 3 ei x e ( 石) 】3 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 龇肛坠e xe = 描硎用一f x ) 1 。心【爿j 我们得 d 0 ；过 j d 盯。c o v ( x , y ) ，罗垒p 耵，一t 0 x o y0 y ( 4 ) 和定理3 2 1 ，3 2 2 一样我们可以把相关系数和峰度系数通过定理 3 2 3 联系起来 定理3 2 3 如果七( ) 表示峰度系数由下式定义： ，趔0 4 且棚删叫删小器一3 黼】 证明只需对( 3 ) 的第三个式子两端取期望即可。 3 方向相依 d o d g e 和r o u s s o n ( 2 0 0 0 ) 中关于判定一条回归线方向的讨论可 以通过( 4 ) 很容易的解释。我们可以将( 4 ) 变化为下面的形式 ( 腑2 ) 3 一等 ( 5 ) 由于方程( 5 ) 的左边通常小于等于1 ，它意味着7 ，y 2 s h 2 ，因此在这 种情况下我们称y 依赖于x ，我们可以类似的讨论x 依赖于y 的情 况。 蚕南交通大学硕士研究生学位论文第王9 页 第四章相关系数的另一种表示 4 1 引言 方向相依可以从不同的角度来定义和研究，d o d g e ，r o u s s o n ( 2 0 0 0 ) 和m u d d a p u r ( 2 0 0 3 ) 在一条回归线上研究了方向相依，他们的目标主 要是决定回归线魄方彝，酃：通过一条匿麴线是y 依赖于菇，还是x 依赖于y 。他们的研究表明在误差项满足分布对称的假设下在线性回 归方程中，p e a r s o n 相关系数腑满足下面的关系： p 胛3 = 且，h o y z 其中嘏，巍分戮为隧枫变量x ，y 的偏度系数。偏度系数是如下 定义的 e x e x ) 3 1x 。j 。，o ? e ( r 一斟、， | ! i y 。| ，匿? 其中2 ，听2 分别表示相应随机变量的方差。他们认为( 腑2 ) 3 一等可 | x 以通过如下方式判定相依的方向：由于方程的左边通常小于等于1 ， 因此在假定误差项是对称的前提下y 是线性依赖于x 的，他们也同样 给出了x 是线性依赖于y 的结论，在这个章节中通过c o p u l a 定义了 二维回归线的方向相依的概念。考虑了方向相依的两种情况：来自 边缘行为的方向相依和来自联合行为的方向相依，并显推广了上一 章节的结果。 在下面的部分将得出；理解相依结构的最好的方法是通过 c o p u l a 。我们知道c o p u l a 消除了边缘的影响，使摄清晰的观察变量 之间的相依结构。s k l a r ( 1 9 7 3 ) 说明了任何一个多元分布函数都能表示 为它的边缘的番数，比如最和弓遴过一个c o p u l a c ，帮 f ( x ，) ，) - c ( f , ( 工) ，s ( y ) ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 很显然，个二维c o p u l a 的边缘为两个服从l o ，1 l 上均匀分布的随机 变量。因此通过回织函数定义方向相依曼具有意义。也将强调相依 方向和方向相依的不同，第一个是边缘分布的性质，第二个是联合 分布帮c o p u l a 的性质。 为了表达的方便下面所有的例子都利用下面形式的c o p u l a ： c ( u ，矽) a 瓣y + ，0 涫妒。这样形式的c o p u l a 的特铡已4 经被 r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a f l o r e 等仔细的讨论过。 在这个章节的第二部分将介绍两类方向榴依，并且通过例子来 把它们区分开来。第三部分将弓 进一种能够应用于两种方向相依的 测度并且仔细地研究线性情况。在第四部分将通过高阶中心矩给出 相关函数的一种新的表达式。 4 ，2 两类方向相依 罄先我稍讨论r o d r i q u e z * l a l l e n a 和u b e n a f l o r e s 族 c ( u ，v ) i = u v + f ( u ) g ( v ) 在这个c o p u l a 族中 嚣罗眵一貉】- y 哆i ) = 三1 一& ，每) 【l ，歹越) 奴】1 嚣眇一叼 y u l v ( v ) 粥【l 须她) 咖r 其中p c 为k e n d a lf ，巍f , g 不相同时，这个c o p u l a 将不对称。 - e v l u ，球】和e u l v _ y 】将不相同，这将导致在回归函数中关予方向 相依的想法。所以可以考虑给定u 时关于v 的和给定矿时关于u 的相 依结构 定义2 1 随机变量对( u ，v ) 是以联合行为方向相依的， 如果 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 e z t u = “】和et u i v = y 】不同，即y 矿p ( w ) y v r ( w ) 由于他们的边缘分布相同，则他们回归函数的不同是由潜在的 相依结构造成的，而非边缘的影响。很显然研究方向相依的另一种 方法为通过条件c o p u l a ，在这种情况下称随机变量对( u ，矿) 是方向相 依的如果对于v i u u 和v l v a 1 ，的条件c o p u l a 的形式不同，即 g i ，( w ，z ) ，q p ( w ，z ) ，其中唧( “，y ) ；o c f ( u , v ) ，c u r ( “，y ) ；3 c f ( u , v ) 在下面的讨论中将在回归集中研究方向相依关系。注意到对于对称 c o p u l a 族j 即c ( u ， ，) = c ( ，u ) ，不可能讨论随机变量联合行为的方向相 依，而只能讨论其边缘行为的方向相依。 在这里应该注意到在c o p u l a 族中一维随机变量u ，y 的偏度系数 为零，这将使得上一章的方法对于c o p u l a 不再适用。事实第二章节 定义方向相依的方法是来自于随机变量的边缘行为。在这个章节工 作中将认真区分边缘行为的方向相依和联合行为的方向相依的不 同。 定义4 2 对于边缘行为的方向相依我们有下面的假设： ( 1 ) 乓，墨分别为x ，y 的分布函数。 ( 2 ) u = ，vi l l 弓具有c o p u l a c 。 ( 3 ) ) ，巾( w ) = h ( w ) 一y c ( w ) 。 如果条件( 1 ) - ( 3 ) 满足且) ，堆( z ) 如| y ( z ) ，这里 7 ，凇( 石) ；e c f i x = 工 = e 二1 ( ) ，c ( b ( z ) ) ) ) ，工| r ( z ) 一尾 x l r = y _ 最。1 ( ) ，c ( s ( y ) ) ) 则称随机变量对( x ，y ) 在边缘行为中是方向相依的。 下面是一个显然的结果： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 如果两个变量的边缘分布相同的，则不可能判定回归的方向。 下面举例来比较联合行为中的方向相依和边缘行为中的方向相 依的不同。对两种情况都假设随机变量对( x ，y ) 满足x 为区间 o ，1 上 的均匀分布，y 服从参数p ；2 的指数分布，即f y ( y ) 一1 一e - 2 y ，yzo 。第 一个例子为随机变量x ，y 以边缘行为和联合行为均为方向相依的，第 二个例子是随机变量x ，y 是以边缘行为方向相依的，而非联合行为方 向相依的，另外一个例子是随机变量x ，y 是以联合行为方向相依的而 非边缘行为方向相依的。这样的例子可以很容易的构造，首先我们 选择 y 巾( w ) p ( w ) 并选择边缘 b ，f y 使得 e d ( ) ，巾( 足( z ) ) ) 最1 ( ) ，u 旷( ( z ) ) ) 。 例1 f ( x ，y ) 一就之 ( 1 - e j y ) ( 以一0 一p 埘) 。f ( x ，y ) 一p p 却7 - 3 0 + 6 0 z + 6 0 e y ( 1 一及) + e 2 a y 1 2 扫( 1 一及) ) 】 例2 ) ，z 旷( y ) 一t 3 + 2 0 y 巾( 石) ；百6 - 5 0 + 三口e 一2 ，i y 一口e p ， 2 5 0 4 - 一z 3 a c ( “，y ) 目“v j 1 + a ( 1 一比) ( 1 一y 2 ) 】，日 。，三 怖( m ) = 了2 - 0 + 罢“ 狮( y ) = 半+ 罢v 2 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 ， ，y ) = 船。2 【1 一e ) c o x 一0 一p j ，o ，y ) = e - 2 l y 2 0 ( 1 一厶) y 1 0 ( 1 一及) ) 】 ，、 2 00 ) ，工ri y j2 百+ i 工 ( 石) 一t 3 + 0 一p c ( h ，v ) 一删【1 + o ( 1 一k ) ( 1 一y ) 】，8 【o ，1 】 怖( “) 一3 - _ _ 6 0 + 詈比 y u 眇( v ) 一3 - _ _ 6 _ 0 0 + 导v 3 。方向相依的研究 由于方向相依产生于边缘行为，联合行为，或两者都有，我们 把下面公式作为方向相依的一般测度： 以r ( ) 一 风工( ) 一 心( y ) 心( x ) ，以( 】，) 0 ，段( x ) 0 若以y ( ) 为正数，则以川( ) 可被看作为y 的k 阶中心矩的比率。 因此p x _ r ( 2 ) 可解释为随机变量的全方差的比率( 可以通过这对随机变 量的回归来解释) 。同样以川( 3 ) 可解释为随机变量的偏斜度的比率。 则有下面的定理： ( 1 ) p x r ( 1 ) ；所x ( 1 ) - o 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 ( 2 ) 假定) ，凇( 彳) ) ，x p ( y ) 为线性的，则以q 仁- p 盯2 所x 2 = p 玎2 】。 ( 3 ) 假定) ，审( x ) ) ，x p ( y ) 】为线性的，则 弘3 ( x ) ) i 腑3 砺。，* z 耐到 证明：( 1 ) 利用e 【e y l x 2 e y 即可。 对于联合行为中的方向相依( 对于我们来说是“真正 的方向 相依) ，我们需要考虑变换了的随机变量对( u y ) = ( 最( x ) ，f r ( y ) ) 。 有下面的结果：在假设回归函数为线性的前提下可以讨论边缘行为 的方向相依，这不是联合行为中的方向相依的情况。 定理3 1 ：假设c o p u l a 回归函数为线性的，则随机变量对( u ，y ) 不是 方向相依的，即 y 矿| 【，( w ) ；y u p ( 1 4 1 ) 证明：假设 y 矿i 【，( “) = q + 丢= e v - e er p 一“ 】；j ：y 巾( 砧) 也一q + 鲁 希磊一1 - 2 a 1 另一方面 怖( “) ；1 一j ：丝导螺；1 一去j ：c ( 如- q + 即 - o c ( 沙一比一掣一展争- 七 酉南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 f o c ( 鼍v ) d r * f o v d v = 三 号露差一爆+ 鲁 且m - 1 项暖c ( “，眺) 】咖一3 一l 一致 所以我们得y 巾( w ) - 生笋+ 既蹦a 类似的) ，i i ，( w ) m 兰笋+ v ，r f li l t ) ，巾( w ) - p ( w ) 。 例1 。考虑r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a f l o r e s 族 ，( 跗) ；再( 1 一“) ，g ( v ) = 再( 1 一y ) ， 改。孕 e r i u - u 狮华+ 巫3 嚣 狮，逝6 巫3 妒 所以征c o p u l a 刚_ ! 层函数为线性的静情况f ，姊w j 4 扩( 叫b 例2 下面我们看一族具有非线性 c o p u l a回1 罔函数的 r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a f l o r e s 族 考虑 ，( “) ；瓦( 1 - u ) 。，g ( v ) 一况( 1 一v ) ， 再百孑肛厕 暑【矿i 秽一嚣】一怖秘) m 吾兰生彳辫 神，等料 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 当口- 8 ，h ( 1 4 ) h ( w ) 。 对于联合行为中的方向相依p u r ( 甜+ 1 ) 一办州( 让+ 1 ) = o , k ；1 , 2 ， 因此我们将利用 肪y c 2 ，v a r 谚( 云y 丌v p ( u ) ) ；1 2 y 缸，( y 巾( u ) ) 。1 2 e ( y v l v 2 ( “) 一三) 1 2 e ( y v l u 2 ( h ) ) 一3 它是方差的l - t ；率可以通过u 向v 的c o p u l a 回归函数来解释。 例3 对于r o d r i q u e z l a l l e n a 和u b e n a f l o r e s 族 肪卅( 2 ) = 几2 赭，办一c ，( 2 ) - 风2 糟 下面考虑一族带参数的c o p u l a 族 c ( 比，y ) = “y 【1 十口( 1 一“1 ) ( 1 一y 7 ) ，口i 。，i i ；： 芫_ 万l ，a ，y 芑。 巾) ：而( 1 ) g ( v ) ，而( 1 ) ， 叩嘶小) 一错+ 嬲“ h = 掣等+ 渊y 7 3 0 a r & 。西确 虼厂 y 巾( u ) 】。j 龋，砌r y w ( y ) 】= j 编 k 揣衍耥硝，一戊2 描 下面将给上面引进的测度一种新的解释：v a ，f ) ，眺，( u ) ) 可以解释 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 为在u 向v 方向上c o p u l a 回归遨数和独立情况之间的期望平方距 离，因此耽，( ，y i 【，( u ) ) v a ，( ) ，u p ( y ) ) 意味着扩向y 的回归预测强度要比 v 向u 的回懿预测强度大。 4 。4 相关系数的另一种表示 引瑗4 。4 。1 假设y = 鞠z 害，这里艿为一个对称隧机变量且与x 独立， e ( y 盖) 一e ( y ) 。) = 磊k 段。，( s ) 弘，( y ) 乒= 1 ，2 ： e e ( y i x ) 一e ( y ) ) - 厨 ( e ( y i 胃) 一y ) + ( y e ( y ) ) 】2 ) 一三 s + y 一( y ) ) 】章 ? 毫e ( q ，i g l 7 【( y 一墨( y ) ) 】7 ) = 毫幺7 e l 。) 蠢【y 一互y )