（应用数学专业论文）无界域上一类非自治反应扩散系统的渐近行为的研究.pdf

a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rac l a s so f n o n a u t o n o m o u sr e a c t i o n - - d i f f u s i o ne q u a t i o n so n 一一。_ 一_ - 一 一 t h ew h o l es p a c e z h uk a i x u a n b s ( h u a i h u au n i v e r s i t y ) 2 0 0 2 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rx i ey o n g q i n m a r c h ，2 0 1 1 3洲2删5帅4 8删8 iily 魄妒露 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 辛协越 日期： 砌1 年f 月彳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密r - i ，在年解罾后试用本我权吊。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 霹蜘勉 日期：拟哪年巧y j 可日 导师虢许和歇 嗍加年岁月矽日 ，k 黟 k垂、心， 摘要 本文主要研究如下一类反应扩散方程在无界域上的解的渐近行为： 驴舭“八m - 夕o 。) 。k 队k ( 0 1 ) iu ( z ，r ) = 坼( z ) z r n ， 其中g l ( r ，l 2 ( 舯) ) ，让( z ，t ) 是未知函数，满足如下假设： f ( o ) = 0 ，7 ( s ) 一脚，( o 2 ) 口2 l s l p 一i s l 2 ，( s ) s a 1 i s i p + k x l s l 2 ，2 乜， ( 0 4 ) 其中伽，q l ，a 2 ，k 1 ，k 2 为正常数 对无界域上非自治反应扩散方程的解过程的渐近行为的研究主要存在两大困 难其一是由于无界域上s o b o l e v 紧嵌入的缺乏，我们不能直接利用有界域上证明紧 性的方法获得系统解过程族关于夕的一致紧性；其二是依赖于时间的外力项 g ( x ，t ) 仅假设是局部平移有界而不是平移紧，这样为我们证明一致吸引子的存在性 并获得其结构带来比较大的困难本文受文献【1 5 ，1 6 ，1 7 】的启发，提出了一类新的 非平移紧函数一广义绝对连续函数，并利用截断函数的方法克服了这两大困难，得 到了解决这类问题的一般方法 在第三章我们提出了一类应用更广泛的非平移紧函数一广义绝对连续函数，然 后讨论了该类函数的一些性质以及与其它函数类( 平移有界函数、平移紧函数、正规 函数等) 之间的关系 在第四章利用截断函数的方法并结合广义绝对连续函数的性质证明了系统的 解的一致渐近紧，从而得到了上述系统一致吸引子的存在性和结构 关键词：非自治反应扩散方程；一致吸引子：渐近紧；广义绝对连续；无界域 i i i a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nf o ra c l a s so fn o n - a u t o n o m o u s r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n so nt h ew h o l es p a c e ： uut。z-，丁a，u：+嘶a。uz+，(乱)。9(z，) ( z ，t ) r n 衅， z r n ， ( o 1 ) h e r eg l k ( r ，l 2 ( 黔) ) ，u ( z ，t ) i sa l lu n k n o w nf u n c t i o n ，fs a t i s f i e st h ef o l l o w i n g a s s u m p t i o n ： f ( 0 ) = 0 ，f 7s ) 一脚， 口2 1 s l p k 2 1 s 1 2 f ( s ) s q 1 1 8 1 p + k l i s l 2 ，2 p 乜， w h e r e 伽，o l l ，毗，k l ，k 2a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( o 4 ) f o rt h en o n a u t o n o m o u sr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n so nt h ew h o l es p a c e ，t h e r e a r et w om a i nd i f f i c u l t i e si nt h ep r o c e s so fp r o v i n gt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e s o l u t i o n o n ed i f f i c u l t yi st h es o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e mi si n v a l i do nt h ew h o l e s p a c e ，t h eo t h e rd i f f i c u l t yi st h et i m e - d e p e n d e n te x t e r n a lf o r c i n gg ( z ，t ) i so n l yl o c a l t r a n s l a t i o nb o u n d e db u tn o tt r a n s l a t i o nc o m p a c t ，w h i c hb r i n ga b o u tm o r ed i f f i c u l t i e sf o ru st ov e r i f yt h ee x i s t e n c eo fu n i f o r ma t t r a c t o ra n do b t a i ni t ss t r u c t u r e m o t i v a t e db yt h ei d e ao f 【1 5 ，1 6 ，1 7 ，w ew i l ld e f i n ean e wc l a s so ff u n c t i o n s - s p a c i a l a b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o n sa n dm a k eu s eo ft r u n c a t e df u n c t i o n st oo v e r c o m e t h ed i f f i c u l t i e s ，t h e nt h ee x i s t e n c ea n dt h es t r u c t u r eo ft h eu n i f o r ma t t r a c t o ra r e o b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，w ew i l ld e f i n ean e wc l a s so ff u n c t i o n s - s p a c i a la b s o l u t e l yc o n - t i n u o u sf u n c t i o n s ，w h i c ha r em o r eg e n e r a lt h a nt r a n s l a t i o n c o m p a c tf u n c t i o n s ，t h e n d i s c u s si t sp r o p e r t i e sa n dt h ea s s o c i a t i o n sw i t ho t h e rc l a s so ff u n c t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ew i l lm a k eu s eo ft r u n c a t e df u n c t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fs p a c i a la b s o l u t e l yc o n t i n u o u s1 ：u n c t i o n st op r o v et h eu n i f o r m l y ( w r t 仃1a s y m p t o t i c c o m p a c t n e s so ft h es o l u t i o n ，t h e nt h ee x i s t e n c ea n dt h es t r u c t u r eo ft h eu n i f o r m i i i a t t r a c t o ra r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：n o n - a u t o n o m o u sr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；u n i f o r ma t - t r a c t o r ；a s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s ；s p a c i a la b s o l u t e l yc o n t i n u o u s ；t h ew - h o l es p a c e i v 目录 摘要i a b s t r a c t i o i i i 第一章绪论 1 1 无穷维动力系统的发展概述1 1 2 问题研究背景与研究现状2 1 3 研究问题所涉及的理论、方法及其进展3 第二章预备知识 2 1 全局吸引子的相关概念及存在性判定定理6 2 2 一致吸引子的相关概念及存在性判定定理7 2 3 平移紧函数1 0 2 4 几类非平移紧函数1 2 2 4 1 正规( n o r m a l ) 函数1 2 2 4 2 条件( 驴) 函数和正规条件( 矿) 函数1 3 2 5 符号说明1 8 第三章一类新的非平移紧函数的研究 3 1 广义绝对连续函数1 9 第四章一致吸引子的存在性及其结构 4 1 解得存在唯一性2 3 4 2 有界吸收集的存在性2 4 4 3 渐近先验估计与一致吸引子的存在性2 8 参考文献3 3 致谢3 7 附录( 攻读学位期间发表论文目录) 3 9 i v 第一章绪论 uut。z-，ra，u：+，ba。uz+，(u)2夕(z， 曼：，r - 眠。 其中g 乙( r ，l 2 ( r n ) ) ，u ( z ，t ) 是未知函数，f 满足如下假设： f ( o ) = 0 ，f ，( s ) 一肋， q 2 1 8 1 p 一乜l s l 2 f ( s ) s q l i s i p + k x i s l 2 ，2 o 需要满足三个要素： ( 1 ) 半群 s ( t ) 。o 在x 中具有某种耗散性，如点耗散、有界耗散： 3 ( 2 ) 半群 s ( ) t 0 在x 中具有某种连续性，如强连续性、弱连续性、强弱连续 性、拟连续性： ( 3 ) 半群 s ( t ) ) t o 在x 中具有某种紧性，如一致紧、渐近紧、渐近光滑、u 一极 限紧 非自治系统比自治系统起步晚理论也不尽完善对应于( 1 5 ) 非自治的发展 方程总可以写成如下抽象形式 j 瓦o u 刊小) ， ( 1 8 ) l “l t - r = “r ( z ) ， 与半群的概念相对应的是过程，( 1 8 ) 的解可表示为 u ( t ) = u ( ，r ) u r ，v t 7 ，丁r ， 其中u ( t ，r ) ：h - - + h 这样双参数族( 非线性) 算子 u ( t ，r ) ，t l7 r 满足类 似于( 1 6 ) ，( 1 7 ) 的性质： ( t ，8 ) 0 ( 8 ，7 ) = 以( t ，7 - ) ，v t 8 r ，7 r ，( 1 9 ) ( 7 ，7 ) = i d ( 恒等算子) ，7 r ( 1 1 0 ) 并称为系统( 1 8 ) 的过程 全局吸引子的概念不能直接推广到非自治情形a h a r a u x ( 见文献 7 】) 于1 9 8 8 年首先提出了一致吸引子确的概念( 关于初值7 ) ，并具有如下性质： ( 1 ) 紧性：d o 在日中紧： ( 2 ) 吸引性：对任意的有界集b ，l i m h s u p r rd i s t ( u ( t ，r ) s ，d o ) = o ； ( 3 ) 最小性：确是满足( 1 ) ，( 2 ) 的最小集 相对应全局吸引子用最小性代替不变性事实上全局吸引子的不变性同时隐含 了最大性和最小性值得注意的是奶与初值r 无关 随后，a h a r a u x 系统地研究了一致吸引子的概念( 见文献 8 】) 适当定义的系 统( 1 8 ) 的吸引子同时应当是系统( 1 8 ) 中的时间依赖项a o ( x ，t ) 替代a o ( x ，t + ) ， v h 酞之后的每个新的系统的吸引子，而且应当是所有这样的系统的共同的吸引 子故考虑系统( 1 8 ) 的渐近行为时，通常考虑如下一族系统 丽o u 引水h 硎) ( 1 、上l 工， lu l ：r = 孔下( z ) f 跫 4 其中饨( c r o ) 是【仃( + h ) l h r 在某个拓扑空间中的闭包，称为咖在该空间中 的壳，通常作为系统的符号空间这样系统( 1 8 ) 的过程族即为w ( t ，7 ) ，t2r ，7 r ，仃咒( 印) 同时有了关于符号空间n ( o - o ) 的一致吸引子魂( 仰) 的概念： ( 1 ) 紧性：魂( 知) 在日中紧； ( 2 ) 吸引性：对任意的有界集b ，u m o os u 氕( 印) d i s t ( u ( t ，丁) b ，盈噍( 印) ) = o ； ( 3 ) 最小性：魂( 印) 是满足( 1 ) ，( 2 ) 的最小集 根据上面的知识，c h e p y z h o v v i s h i k ( 见文献【6 】) 于1 9 9 4 年全面地研究了几 乎周期和拟周期的系统，提出了上述符号空间的概念，并给出了研究非自治无穷维 动力系统的一般方法其关键思想是推广了有穷维动力系统中的方法，在扩展的相 空间上构造斜积流 s ( ) ( “，盯) = ( u o ( 六o ) u ，t ( t ) c r ) ，v ( u ，矿) h 咒( c r b ) ， 这里r ( ) 盯= a ( t + ) ， 丁( t ) 晓。构成了符号空间7 ( a o ) 上的半群或群 通过这一思想，自治系统中验证紧性的方法得以应用他们证明了一致吸引子 甄) 的存在性的一般结果由于一致吸引子矾) 是通过将斜积流的全局吸引 子投影到日得到的，所以运用这种方法通常要求印具有某种紧性以获得斜积流的 全局吸引子同时说明了如果。魂汹) 及姊存在，过程族( 亡，7 - ) ，仃饨( 印) 满足 ( h n ( a o ) ，h ) 连续时，砺与矾( 印) 相同这反映了不直接考虑系统( 1 8 ) 而直接 考虑系统( 1 1 1 ) 的合理性c h e p y z h o v v i s h i k 【6 】还研究了沿用过程、一致吸引 子和符号空间的概念但不构造斜积流，先讨论一致吸引子的存在性，然后在此基础 上讨论其结构 5 第二章预备知识 2 1全局吸引子的相关概念及存在性判定定理 下面我们给出无穷维动力系统全局吸引子的相关概念及证明其存在性的一些 判定定理这些概念和定理可参阅文献b a b i n v i s h i k 【l 】或t e m a m 【2 4 1 定义2 1 1 1 1 1 设 s ( ) o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 称cx 是_ 【s ( t ) ) o 的( x ，z ) 一全局吸引子，如果在x 中为不变闭集，在z 中紧，且按照z 的拓扑吸引x 中的有界集 定义2 1 2 1 1 】设_ 【s ( ) t o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间，称 b ocz 为( x ，z ) 一有界吸收集，如果满足对x 中的任意集合b ，存在t = r ( b ) ， 使得对v t t ，有s ( t ) bcb o 成立 定义2 1 3 1 2 4 1 定义集合b 的一致( 关于盯) u 1 i m i t 集为坼，( b ) = n s 下u 仃eu t 。v o ( t ，r ) b 由上述定义易得： y e ( b ) 兮存在序列 z n ) cb ， ，c ， 芒n ) c 鹏， 使得t n _ o 。且( t n ，t ) x n _ y ( n 一。) ( x ，z ) 一全局吸引子的连续性定义为 定义2 1 4 1 1 】设【s ( 亡) t o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 称 s ( ) 。2 0 为( x ，z ) 一连续，如果对x 中任意有界序列称为 z 竹 箍l ：z n 坚加 以及n 0 ，t n 一。o ， s ( n ) z n 黯1 在z 中有收敛子列 我们知道，证明全局吸引子存在的关键和难点是验证系统解半群具有某种紧性 下面我们给出本篇文章将要用到的验证紧性的一些方法 渐近紧【2 4 1 相空间x 中的任何有界点列 z n 黯l 及t n 一。c ，有 s ( n ) z n 黯l 在x 中相对紧( 即闭包含有收敛子列) 相对应的全局吸引子的存在性判定定理如下： 定理2 1 5 1 2 4 】设 s ( t ) 。 o 是完备度量空间x 上的连续半群，并且满足 ( 1 ) s ( t ) ) t o 在x 中有有界的点吸收集； 6 ( 2 ) s ( ) t o 在x 上渐近紧 则 s ( t ) t o 在x 中存在全局吸引子它也是全局吸引子存在的必要条件 上述紧性的验证常用到s o b o l e v 紧嵌入定理 u 极限紧删v s 0 ，相空间x 中的任何有界集b ，都存在依赖于8 和g 的 时间t = t ( s ，b ) ，使得当t t 时，有 k ( us ( 亡) b ) o i a 可被x 中有限个直径不大于6 的集合覆盖 如果a 为x 中非空无界集，则定义k ( a ) = o 。 相应的判定全局吸引子的存在性定理为： 定理2 1 6 1 1 8 】设 s ( ) t o 是完备度量空间x 上的连续半群，并且满足 ( 1 ) s ( t ) t 2 0 在x 中有有界的点吸收集； ( 2 ) s ( t ) t o 在x 上妒极限紧 则 s ( ) 】t 之。在x 中存在全局吸引子 2 2 一致吸引子的相关概念及存在性判定定理 下面我们给出无穷维动力系统一致吸引子的相关概念这些概念可以参阅文献 b a b i n v i s h i k 1 或t e m a n 2 4 定义2 2 1 1 , 2 4 集合b ocx 被称为是过程族 ( t ，r ) ，盯的一致( 关于 盯) 吸收集，如果对任意的7 r 和每一个b b ( x ) 都存在t o = t o ( r ，b ) 7 - 使得 u ( 幻) bc b o ，v t t o 仃e 定义2 2 2 1 , 2 4 集合ycx 被称为是过程族 ( ，7 - ) ，盯的一致( 关于 盯) 吸引集，如果对每一个固定的7 r 和每一个b 艿( x ) ， 1 i m ( s u pd i s t ( ( t ，r ) b ，y ) ) = 0 t o 。盯e 7 特别地如果一个闭的一致( 关于矿) 吸引集迭cx 包含在任意一个闭的 一致( 关于仃) 吸引集中( 最小性) ，那么。魂就称为是过程族 g ( t ，7 ) ) ，仃 的一致( 关于仃) 吸引子 假设i 设 r ( h ) l h o 为作用在上的算子族并且满足 ( 1 ) t ( h ) e = ，v h 酞+ ， ( 2 ) 平移不变性： 以( + h ，r + h ) = ( ) 矿( t ，7 ) ，比，t 7 - ，r r ，h 0 定义2 2 3 作用在x 上的过程 c 厂( t ，下) ) 的核咒由过程 u ( 亡，r ) ) 的所有有界完 全轨道组成： c = ( 札( ) l u ( t ，7 - ) 牡( 7 - ) = u ( o ，d i s t ( u ( t ) ，u ( o ) ) q ，v t 7 - ，7 - r ) ， 集合l c ( s ) = u ( s ) l ( ) c 称为在时刻= 8 ，s r 的核截片 定义2 2 4 设l 罂( r ；l 2 ( r n ) ) 表示乙( r ；2 ( r n ) ) 中的局部弱收敛意义下的 拓扑，称乙( r ；l 2 ( 舯) ) 中的序列 鲰) 弱收敛于g 当且仅当 i t 2 ， ( s ，z ) ( 鲰( z ，s ) 一夕( z ，s ) ) d x d s _ 0 ( 佗一0 0 ) ，t ld r 对任意【t l ，t 2 】cr 和任意v ( x ，s ) l 2 ( 1 ，t 2 ：l 2 ( r n ) ) 成立 定义2 2 5 如果对任意固定的t 丁，r r ，从x 到y 的映射( u ，盯) _ ( ，r ) u 是弱连续的，则称 ( ，7 ) 口是( xx ，y ) 一弱连续的 假设i i 设为弱紧集且 以( ，7 i ) ) 仃是( xx ，y ) 一弱连续的 引理2 2 6 【1 9 】设bc l 2 ( 酞n ) f ll p ( r n ) ( p 2 ) 且在l 2 ( r n ) 和驴( r n ) 中有界，如 果对任意的 0 ，存在一个依赖于e 的正常数m = m ( ) 使得 ( 1 ) b 在l 2 ( p ) 中有一个有穷( 3 m ) ( 2 - p ) 2 ( e 2 ) p 2 一网； ( 2 ) 对任意的u b ，有( 厶。( i 让l f ) l u l p ) 1 p o ，丁r 和任意有界子集bcl p ( i t 竹) ，存在正常数t = t ( b ，下) 和m = m ( ) 使得： m ( r 几( i 以( ，r ) u r i m ) ) ， v “r b ，t z 盯 8 引理2 2 8 【1 9 1 设x 和y 为两个b a n a c h 空间，其模分别记为0 1 i x 和”i | y ， b c 召( x ) 1 38 ( y ) 假设 z n ，fj 骂x 0 ， z n ) 尹乌y o ，z o ，蜘b ，则z o ：珈 引理2 2 9 【1 9 l 设 以( t ，7 ) 口e 为2 ( r n ) 上的过程族，则过程族 g ( t ，7 - ) 口e 存 在( l 2 ( 舻) ，l 2 ( 舯) ) 一一致( 关于仃) 吸引子当且仅当 ( 1 ) ( ，7 - ) ，e 存在( 2 ( 酞n ) ，2 ( r n ) ) 一有界一致( 关于) 吸收集b o ( c 2 ( r n ) ) ； ( 2 ) 对任意的 0 ，存在兄( 0 ) 和霉( o ) ，当正和r 忍时有 ， i g ( t ，r ) u r l 2 0 和有界集bcy ，当亡- 。时，k ( ( t ，7 - ) b i b ( o ，r ) ) - 0 其 中b ( o ，r ) = z r n ；i z i 兄，g ( t ，r ) b l m o ，兄) = u ( t ，7 ) 让r 1 日( o ，兄) ；坼b _ 类似于文献 1 9 】中定理2 1 6 ，可得下面结论 引理2 2 1 0 设 以( t ，丁) 仃e 为l 2 ( r - ) 和驴( 酞n ) 中的过程族，其中2 p 0 ，过程族 o 是一个弱连续半群如果作 用在x 上的过程 ( ，丁) ) 仃存在( x ，y ) 一一致( 关于盯) 吸引子吸引子 在y 中紧，且在y 的拓扑下吸引x 的有界子集，则能分解如下 = u k ( o ) ， f e 其e p i c 口是过程 u o ( t ，7 ) 的核，瓦仃( o ) 是t = o 时刻的核截片 2 3 平移紧函数 我们知道，过程族 ( ，7 - ) ) ，盯的紧的一致( 关于仃) 吸引子迭是通过 投影对应构造的斜积流的全局吸引子得到的而为了得到斜积流的全局吸引予通常 要求具有某种紧性，应用到我们的问题，对应要求函数类 夕( z ，t + ) i r 在适 当的拓扑下的紧性 本节我们将概括一类取值于b a n a c h 空间x 的函数的性质( 参阅文献f 3 ，6 1 ) 令e 是一个拓扑空间，妒( s ) e 是一个函数集合 妒( z ，h + s ) l h r 在e 中的 闭包称为妒( s ) 在e 中的壳( h u l l ) ，记作咒( 妒) 妒称为在e 中是平移紧的，如果它的壳 在e 中是紧的用l 乙( r ；x ) 表示在b o c h n e r 意义下的函数夕( s ) ，s r 取值于x 局 部2 一次可积函数空间，赋予局部二次平均收敛拓扑假设妒( s ) = 妒( ，8 ) 在( r ：x ) 中是平移有界的，即，妒( 8 ) ；( r ；x ) ，并赋予下面的范数： 兰2 ( r ：x ) 2s u pj , t + l 曼如 0 ，s u p 挺r “限d s 等价 于空间鹾( r ；x ) 中的范数 我们将记l ：( 酞：x ) 为在l 乙( r ：x ) 中所有的平移紧函数的集合，埋，钮( r ；x ) 为 在罂( r ：x ) 中所有的平移紧函数的集合 1 0 r- 引理2 3 1 集合c 乙( r ；x ) 在l k ( r ：x ) 中是准紧的当且仅当对每一个区 间段 l ，t 2 】cr ，集合【f l t 。1 在2 ( 【t l ，2 】；x ) 中是准紧的这里【扎。】表示集合 在i t l ，t 2 】上的限制 引理2 3 2 函数p ( s ) l c z ( r ；x ) 当且仅当 ( 1 ) 对任意的 r 集合【+ 妒( s ) d s l t r 在x 中是准紧的； ( 2 ) l i m l t l _ + o + 1i i 妒( s ) 一妒( s + 1 ) l l = x d s = 0 ， v t r 对任意的h 0 ，令 r v ( h ) = s u p p t + h ( s ) 限如 t r ，t 弓l 理2 3 3 令妒( s ) l ! ( r ；x ) 则： ( 1 ) 对任意的函数p l 咒( p ) ，妒埋( r ；x ) ，进一步，7 - t ( 吼) c 咒( 妒) ； ( 2 ) 集合咒( 妒) 在；( r ；x ) 是有界的，并且对所有的妒l 咒( 妒) ，。( 九) r h o ( h ) ； ( 3 ) 平移半群 r ( t ) t o 在咒( 妒) 上关于l 乙( r ：x ) 的拓扑是连续的； ( 4 ) t ( t ) 7 - l ( 妒) = 咒( 妒) ，当t 0 引理2 3 4 设x 是自反可分的b a n a c h 空间，函数妒定加( r ；x ) 当且仅当 妒鹾( r ：x ) 引理2 3 5 设函数妒埋，加( r ；x ) ，则： ( 1 ) 对任意的函数妒l 咒( p ) ，妒鹾加( r ；x ) ，进一步，饨( 妒1 ) c 咒( 妒) ； ( 2 ) 集合咒( 妒) 在l 2 ( r ；x ) 是有界的，并且对所有的妒1 咒( 妒) ，( ) ( ) ； ( 3 ) 平移半群 丁( t ) 】t o 在咒( 妒) 上关于l 罂( r ；x ) 的拓扑是连续的； ( 4 ) t ( t ) 7 - t ( _ 【p ) = 咒( 妒) ，当t 0 而且对于在通常拓扑下符号空间紧的情况，在【2 ，6 】中作者给出了如下一致吸 引子的存在性定理： 定理2 3 6 2 ，6 】设是一个紧的度量空间作用在空间上的过程族 ( t ，7 - ) ， 盯是一致( 关于盯) 渐近紧的且是( ，e ) 连续的如果假设，成立，那 么其对应的斜积流s ( t ) 在e 上有全局吸引子4 ，并且4 在e 上的投影迭是 过程族 以( ，7 - ) ) 盯的紧的一致( 关于盯) 吸引子 1 1 2 4几类非平移紧函数 2 4 1 正规函数( n o r m a l ) 我们回顾正规函数( n o r m a l ) 的定义及其性质，以便于本文的引用和讨论( 参阅文 献【1 5 ，4 8 1 ) 定义2 4 1 函数妒乞( r ；x ) 被称为是正规的( n o r m a l ) ，如果对任意的 0 ， 存在叼 0 ，使得 f t + r s u p ( s ) 限d s 0 ，存在x 的有限维子空间墨，使得 s u p i i ( ，一只竹) 夕( z ，s ) l l 曼d 8 0 ，存在伽，使得 t + 1 s t u d e r 上炉鲰。岫s 三 ( 2 1 ) - ，t q 由l 刍的定义可知，存在m n ，当m m 时，有 i t + 1 一 s u p til(，一pm)(s)限ds三，vtrjt ， q 1 3 其中p m 是x 到的有限维空间k 上的投影再由式( 2 1 ) ，i 】得 t t + l 忡一心) 夕( s ) 暇如 j t f t + l = i i ( ，一p m ) b ( s ) 一鲰。( s ) + g o ( s ) 1 1 支d s ，t , t - l - i t + l s2 i l ( ，一p m ) c g ( s ) 一g n 。( s ) ) l l 女d s + 2 l l ( j 一) ( s ) 1 1 支d s j t l ，t , t + l, t + l 2 i i ( g ( 8 ) 一g o ( s ) ) 1 1 2 x d s + 2 i i ( 一岛) ( s ) i i 曼如， v t r j j t 由定义可知- 9 l 蚕( r ；x ) 引理2 4 9 磋( r ：x ) cl 各( 酞：x ) 证明 设9 ( z ，t ) 埋( r ：x ) ，可知 夕( s + t ) l t r 【o ，1 】( 这里【夕( s + t ) l t r e o ，l 】 表示【9 ( s4 - t ) l t r 在区间【o ，1 】上的限制) 在l 2 ( o ，1 ；x ) 中是相对紧的因此，存 在有限多个元素 g c s - i - 屯) ) 墨1 ，使得对任意的 0 和r ，存在i ，1 i n 满 足 1 厶i i g ( s + ) 一g ( s 帕) l l 女d s 蠢 ( 2 2 ) ，o 工v 另外，对任意的夕l 2 ( o ，1 ；x ) ，可选取函数矽c 1 ( o ，1 】；x ) ，使得 ，工 一 li砂(s+岛)一夕(s+岛)ll曼ds南，vtrj (23)0 工u 又因为对任意固定的s r ，砂( z ，8 ) x ，都存在充分大的m ，使得 i i ( r p m ) 妒( s + 岛) 1 1 2 孟， ( 2 4 ) 其中p m 是x 到x 的有限维子空间上的投影 因此 ， ， 11(j0 一尸仇) 妒( s + 训支d s 孟工u 由式( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，可得 , t + l, 1 眦一p m ) g ( s ) 1 1 2 x d s = i | ( ，一p m ) 9 ( s - 4 - t ) 1 1 2 x d s j tj 0 ，1，上 2 l i ( ，一p m ) a ( s + t ) 一( i p m ) 9 ( s - 4 - t , ) l l 女d s - 4 - 2 i i ( t 一) 9 ( 84 - t , ) 1 1 支d s j 0 j 0 ，i 工 2 i i ( ，一p m ) g ( s + t ) 一( ，一p m ) 9 ( s + t , ) 1 1 2 x d s + j 0 ，l，工 4 i i ( ，一) 夕( s + t ) 一( ，一p m ) v ( s + t , ) 1 1 2 x d s - 4 - 4 i i ( i p m ) 矽( s + t i ) l l 曼d s ， 耽r j 0 j 0 1 4 因此由定义可知夕鹾。( r ；x ) 一 l。 - 注记2 4 1 0 存在函数属于醇限：x ) 丽不属于磋( r ：x ) 例2 4 1 0 令x = l 2 ( r n ) ，构造下面的函数 其中n ( z ) l 2 (