（机械设计及理论专业论文）机床主轴动态特性及铣削稳定性研究.pdf

s t u d y o nt h ed y n a m i cc h a r a c t e r sa n d s t a b i l i t yo ft h em a c h i n e t o o ls p i n d l e - - b e a r i n gs y s t e m ( d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no fs h a n g h a i j i a ot o n gu n i v e r s i t y ) p h dc a n d i d a t e ： s h a n g h a ng a o s u p e r v i s o r：p r o f g u a n gm e n g m a j o r：m e c h a n i c a ld e s i g n & t h e o r y t h es t a t ek e yl a bo fm e c h a n i c a ls y s t e ma n dv i b r a t i o n s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y m a y2 0 0 9 69眦0 6洲3舢8_啪y 一 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已经在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者繇民螽电 嗍沙1 年铲月j 芍- n 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部本或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权曼毯酶学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保裔西 ( 请在以上方框内打“”) ， 学位论文作者签名矗翘 日期2 泸7 年亏月争日 指导教师签名! 参垒 醐刚歹刖邓 上海交通大学博士学位论文答辩决议书 所在 姓名高尚晗学号 0 0 5 0 2 0 2 11 3机械设计及理论 学科 答辩答辩 指导教师孟光 2 0 0 9 0 5 一0 9机械大楼主楼8 0 1 会议室 日期地点 论文题目机床主轴动态特性及铣削稳定性研究 投票表决结果：s s s ( 同意票数实到委员数应到委员数) 答辩结论：由通过 口未通过 评语和决议： 高尚晗同学的博士学位论文在国家9 7 3 重大项目的支持下，对机床主轴的动 态特性及其对铣削稳定性的影响进行了系统的理论分析与实验研究，研究成果具 有重要的理论意义和工程应用价值。论文的主要创新点有： 1 、通过引入h e r t z 接触模型，发现主轴一滚动轴承碰撞系统中的主要分岔形 式有：擦边分岔、倍化分岔和环面倍化分岔。 2 、轴承预紧力变化导致系统刚度特性发生变化，轴承预紧及温升对机床主 轴临界铣削深度的影响与其对第一阶固有频率的影响类似。 3 、对预紧力较大的主轴铣削系统，在进行临界铣削深度研究时，非线性角 接触球轴承的刚度可以采用试验方法确定一个恒定的刚度值来代替。 论文结构合理，论述清晰，理论和数据分析严密，结论可靠。论文的综合水 平反映出作者已经掌握了本专业坚实的理论基础和专业知识，具备了较强的独立 从事科研工作的能力。论文答辩思路清晰，回答问题准确。答辩委员会经过讨论， 全票通过论文答辩，建议授予工学博士学位。 2 0 0 9 年5 月9 日 职务姓名职称单位 签名 主席沈荣瀛 教授上海交通大学 1 备鞫赢 答 委员王宇晗研究员( 自然科学)上海交通大学 磷献、 辩 委 委员 李鸿光 教授上海交通大学 删鳓壹 贝 厶 委员李爱平教授同济大学机械工程学院 槐香 石 成 1 d 筇嘞扯 贝 委员恽伟君研究员( 自然科学)振动与冲击编辑部 签 名 委员 委员 秘书 董兴建 助理研究员( 自然科学)上海交通大学 萋抒丈 爿 卜海交通大学博十学位论文 摘要 机床主轴动态特性及铣削稳定性研究 摘要 高速主轴作为数控铣床一个非常重要的运动构件，直接参与机床切削加工，其 动态特性对切削稳定性和；o n - r 精度有很大的影响。因此，对主轴系统的动力学特性 进行分析与评价，以及研究主轴、轴承特性对系统铣削稳定性的影响具有重要的理 论和实际意义。本论文在国家9 7 3 计划“数字化制造基础研究”的支持下，开展了 如下研究并取得以下成果： 考虑滚动轴承滚子和套圈的非光滑、非线性接触力，本论文建立了主轴滚动轴 承系统的非线性动力学方程。通过对系统方程的研究，在带有3 2 次方刚度非线性项 主轴轴承系统中发现了1 3 、1 2 、2 3 、及1 倍频处存在的共振。当主轴轴心轨迹以 很低的速度与非连续边界相接触时，擦边分岔将会出现。发生在主轴滚动轴承系统 中的擦边分岔将系统的动态响应从拟周期运动转迁为混沌、从倍周期运动转迁为周 期运动、从周期运动转迁为拟周期运动。碰撞系统中另两种典型的将振动响应演变 为混沌的分岔形式：倍化分岔及环面倍化分岔，同样在主轴滚动轴承动态系统中发 现。此外，还发现当存在于轴承内圈和滚子之间的间隙过大时，运动中会引起轴承 相互作用的刚体之间发生脱离接触的现象，导致轴承刚度变小，进而导致系统响应 呈现软刚度特性。当轴承间隙减小到一定程度后，其轴承滚子与内圈的接触状态会 得到很大的改善，避免了之前的脱离接触现象发生，轴承刚度变大，此时系统的运 动响应呈现硬刚度特性。系统转动频率的增大能提高非平衡力，非平衡力同样能改 善轴承非连续的接触状态，并将系统的非线性动态特性从软刚度特性转变为硬刚度 特性。若带间隙的主轴滚动轴承系统在轴端受外力作用时，发现对动态响应而言， 恒定外力和主轴转子的非平衡力能提高其稳定性、非连续的外力则使得系统稳定性 有所降低。 从主轴系统动态响应的研究中发现，轴承参数与系统的动态稳定性之间存在着 非常紧密的联系。因此，研究轴承参数在主轴滚动轴承铣削系统颤振模型中的作用 是非常有必要的。该铣削系统稳定性模型包含有主轴转子，滚动轴承、以及刀具和 工具之间的动态铣削力。采用半解析法研究轴承预紧力及温升作用下铣削系统稳定 性问题可发现，轴承预紧力的增加可提高机床主轴的临界铣削深度。且轴承预紧值 上海交通大学博i ：学位论文 摘要 对系统临界铣削深度的影响与对第一阶固有频率的影响相类似：适当增加预紧能显 著提高主轴临界铣削深度。当预紧达到一特定值后，再增加预紧也不能显著提高主 轴系统的临界铣削深度。但当轴承预紧力增加得很大后，更高的预紧会降低系统的 临界铣削深度。该研究结果可用来对主轴轴承系统进行优化，选择恰当的轴承预紧 力，确保系统临界铣削深度达到最大，并防止由于预紧过大而引起的过度摩擦、发 热而导致轴承的过早失效。温升对定位预紧式系统铣削稳定性的影响不能忽略。在 轴承初始预紧非常小的情况下，温升会大幅度提高系统的临界铣削深度，当轴承预 紧力比较大时，铣削系统的稳定性受热效应的影响变小。在随着主轴转速的提高而 提高的温升作用下，铣削系统的最低临界铣削深度同样也随着转速的提高而提高， 即临界铣削深度呈上升的趋势。 采用半解析法对主轴一轴承铣削系统稳定性进行研究时，通常将轴承刚度作为一 个恒定的值来考虑。但在实际的铣削加工过程中，轴承支撑为h e r t z 非线性的接触力。 这样复杂的非线性刚度能否用恒定的刚度值来取代进行系统铣削稳定性分析，是研 究者所必须要面对的问题。本论文首先对铁木辛柯梁有限元系统模型进行模态缩减， 得到的缩减模型对铣削稳定性的计算结果与原模型几乎一致。随即采用该模态缩减 模型对轴承滚子h e r t z 非线性接触刚度作用下系统的稳定性进行数值研究，并与轴承 刚度取为恒定的系统模型进行计算结果对比。从对比结果可以看出，由于h e r t z 非线 性接触力的作用，系统在稳定铣削条件下的刚度变化曲线是非常复杂的，但是h e r t z 非线性接触刚度作用下的相轨迹图和临界铣削深度图与恒定刚度系统模型的非常相 似。说明对于特定的主轴铣削系统而言，非线性角接触球轴承的刚度可以采用理论 计算或试验方法确定一个恒定的刚度值来表示，这样可以大大简化铣削系统稳定性 研究的计算过程，同时也能保证一定的计算精度。同时还发现，当主轴转子非平衡 力考虑在铣削系统模型中时，会改变轴承h e r t z 非线性接触刚度，从而改变系统临界 铣削深度值。 关键词：主轴， i s t u d yo nt h ed y n a m i c c h a r a c t e r sa n d s t a b i l i t yo f t h em a c h i n e t o o ls p i n d l e b e a r i n gs y s t e m a b s t r a c t s p i n d l es y s t e mi so n eo f t h em o s ti m p o r t a n tc o m p o n e n t si n t h em a c h i n et 0 0 1 i td i r e c t l y p a r t i c i p a t e si nt h ec u t t i n gp r o c e s s ，a n di t sd y n a m i c c h a r a c t e r sh a v eg r e a ti n f l u e n c e so nt h e c u t t i n gs t a b i l i t ya n dp r e c i s i o n i t i st h e r e f o r ev e r yi m p o r t a n tt oa n a l y z et h ed y n a m i c c h a r a c t e r so ft h es p i n d l es y s t e m ，a n ds t u d yt h ee f f e c to ft h es p i n d l er o t o ra n db e a r i n g c h a r a c t e r i s t i c so nt h ec u t t i n gs t a b i l i t y t h i st h e s i si ss u p p o r t e db y9 7 3g r a n t a n dt h em a i n r e s e a r c hc o n t e n t sa n dr e s u l t sa r ed e s c r i b e da sf o l l o w s ： c o n s i d e r i n gt h en o n - s m o o t ha n dn o n l i n e a rc o n t a c tf o r c e sb e t w e e n t h eb e a r i n gb a l l sa n d r a c e w a y s ，t h et h e s i sp r e s e n tas e to fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h es t u d yo f n o n l i n e a rd y n a m i cr e s p o n s e so ft h es p i n d l e b e a t i n gs y s t e m n u m e r i c a ir e s u l t ss h o wt h a t t h er e s o n a n c e sa tt h eo n e t h i r d o n e h a l f , t w o - t h i r da n do n eo ft h en a t u r a lf r e q u e n c ya r e f o u n di nt h es p i n d l e b e a r i n gs y s t e mw i t l l3 2s t i f f n e s sn o n l i n e a r i t y a st h ea x i a lt r a j e c t o r y o fs p i n d l er o t o rt o u c h e st h ed i s c o n t i n u o u sb o u n d a r yw i t hal o ws p e e d g r a z i n gb i f u r c a t i o n o c c u r s t h es o l u t i o n so ft h i ss y s t e me v o l v ef r o mq u a s i - p e r i o d i ct oc h a o t i co r b i t ，f r o m p e r i o dd o u b l e do r b i t t op e r i o d i co r b i t ，a n df r o mp e r i o d i co r b i tt oq u a s i - p e r i o d i co r b i t t h r o u g hg r a z i n gb i f u r c a t i o n s t h er o u t e st oc h a o st h r o u g h ap e r i o dd o u b l i n gp r o c e s sa n da t o r id o u b l i n gp r o c e s sw h i c hu s u a l l yo c c u ri na ni m p a c ts y s t e ma r ea l s oo b s e r v e di nt h i s s p i n d l e b e a r i n gs y s t e m a tah i g hb e a r i n gc l e a r a n c e ，t h el o s so fc o n t a c tb e t w e e nt h eb a l l a n dr a c e w a yo fb e a r i n gi su n a v o i d a b l y t h es e p a r a t i o n sb e t w e e nt h er a c e w a yo ft h e b e a r i n ga n dt h eb a l l sd e c r e a s et h es t i f f n e s s o ft h eb e a r i n g d u et ot h el o s so fc o n t a c t b e t w e e nt h eb e a r i n gb a l l sa n dr a c e s ，t h eb e n d i n go ft h ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u r v e si st ot h e l e f t ，w h i c hi ss i m i l a rt ot h ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u r v e so fas y s t e mw i t has o f ts p r i n g w i t h t h ed e c r e a s eo ft h eb e a r i n gc l e a r a n c et oac e r t a i nv a l u e ，t h i sp h e n o m e n o no fl o s s c o n t a c t i n gv a n i s h e s ，a n dt h e s t i f f n e s so ft h eb e a r i n gi n c r e a s e s t h eb e n d i n go ft h e f r e q u e n c yr e s p o n s ec u r v e ss w i t c ht ot h er i g h t ，w h i c hi ss i m i l a rt ot h ef r e q u e n c yr e s p o n s e i i i 。 c h i v e so fas y s t e mw i t hah a r ds p r i n g t h ei n c r e a s i n go fr o t a t i o n a lf r e q u e n c yc o u l da l s o s t r e n g t ht h eu n b a l a n c ef o r c ee n o u g h t op r o o ft h ef u l lc o n t a c tb e t w e e nt h eb a l l sa n dr a c e s o fb e a r i n g r i g h tb e n d i n go ft h ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u l v e sa tt h er e s o n a n c er a n g ea l s o h a p p e n s w i t he x t e r n a lf o r c e sa c t i n go n t h es p i n d l et i p ，d y n a m i cr e s p o n s e so fs p i n d l e - b a l l b e a r i n gs y s t e mw i t hc l e a r a n c ea r es t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h ec o n s t a n te x t e r n a lf o r c ea n d u n b a l a n c eo ft h es p i n d l er o t o rh a v es o m ep o s i t i v ei n f l u e n c e so nt h ed y n a m i cs t a b i l i t yo f t h es p i n d l e b e a r i n gs y s t e mw i t hc l e a r a n c e t h ed i s c o n t i n u o u se x t e r n a l f o r c eh a sm e o p p o s i t ee f f e c t f r o mt h ed y n a m i cr e s p o n s eo ft h es p i n d l es y s t e m ，t h eb e a r i n gp a r a m e t e r sa r ef o u n d h a v ec l o s er e l a t i o n s h i pw i t ht h ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m t or e s e a r c ht h ei n f l u e n c e o fb e a r i n gp a r a m e t e r so nt h em i l l i n gc h a t t e rm o d e lo ft h es p i n d l e b a l lb e a r i n gs y s t e mi s d e f i n i t e l yn e c e s s a r y t h ep r e s e n t e dm i l l i n gc h a t t e rm o d e lc o n s i s t so far o t a t i n g s h a f t ， a n g u l a rc o n t a c tb a l lb e a r i n g s ，a n dt h ed y n a m i cc u t t i n gf o r c e sb e t w e e n t h ec u t t i n gt o o la n d w o r k p i e c e t h es e m i a n a l y t i c a lm e t h o d i sa d o p t e dt oa n a l y z et h em i l l i n gs t a b i l i t yo nt h e e f f e c t so ft h eb e a r i n gp r e l o a da n dt e m p e r a t u r er i s i n g t h ei n c r e a s i n go ft h eb e a t i n g p r e l o a dw i l li n c r e a s et h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t ho f t h em i l l i n gs y s t e m t h eb e a r i n gp r e l o a d i sl o w e r , t h eh i g h e rt h ee f f e c to ft h ei n c r e a s i n gp r e l o a dd o e so nt h ei n c r e a s eo ft h ec r i t i c a l c u t t i n gd e p t h i ft h eb e a t i n gp r e l o a dr e a c h e st oa c e r t a i nv a l u e ，t h ec r i t i c a lc u r i n gd e p t hi s a f f e c t e db yt h ei n c r e a s i n gb e a r i n gp r e l o a di nal e s ss i g n i f i c a n tw a y a n da st h eb e a r i n g p r e l o a di sl a r g e rt h a ns o m ec e r t a i nv a l u e ，t h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t hw i l lr e d u c e t h i s c a l c u l a t i n gr e s u l tc a nb eu s e dt of m dt h eo p t i m u mb e a r i n gp r e l o a df o ras p i n d l e - b e a r i n g s y s t e m t h i so p t i m u mb e a r i n gp r e l o a dw i l le n s u r e t h eb e t t e rm i l l i n gs t a b i l i t ya n da v o i dt h e b r e a k i n gd o w no f t h eb e a r i n gd u et ot h es e r i o u sf r i c t i o na n dh e a tg e n e r a t i o na sa r e s u l to f t h ee x c e s s i v eb e a r i n gp r e l o a d t h ei n f l u e n c eo fb e a r i n gt e m p e r a t u r er i s i n go nt h eh i g h s p e e dm a c h i n i n gp r o c e s s i n gc a n n o tb en e g l e c t e df o rt h el o c kr i n gp r e l o a db e a r i n g ，i n w h i c ht h et e m p e r a t u r er i s i n gh a v eg r e a ti n f l u e n c eo nt h eb e a r i n gp r e l o a d ，a n dt h e na f f e c t s t h es t a b i l i t yo ft h em a c h i n i n gp r o c e s s i n g a st h eb e a r i n gi n i t i a lp r e l o a di sv e r yl o w , t h e t e m p e r a t u r er i s i n gi n c r e a s e st h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t ho ft h em i l l i n gs y s t e mr e m a r k a b l y , a n da st h eb e a r i n gi n i t i a lp r e l o a di sr e l a t i v e l yl a r g e ，t h es t a b i l i t yo ft h em i l l i n gs y s t e mi s a f f e c t e db yt h et e m p e r a t u r er i s i n gl e s s i ft h eb e a r i n gt e m p e r a t u r er i s i n gi n c r e a s e sw i t ht h e s p i n d l er o t a t i o n a ls p e e d ，s od o e st h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t h 一i v 上海交通大学博卜学位论文 a b s t r a c t t h eb e a r i n gs t i f f n e s si su s u a l l yc o n s i d e r e dc o n s t a n ti ns t u d y i n gt h em i l l i n gs t a b i l i t yo f t h es p i n d l e b e a r i n gs y s t e m 、析mt h es e m i a n a l y t i cm e t h o d b u ti nt h ep r a c t i c a lm i l l i n g p r o c e s s ，t h eb e a r i n gs u p p o r t st h es p i n d l eb yt h eh e r t zn o n l i n e a rc o n t a c tf o r c e w h e t h e rt h e c o m p l e xn o n l i n e a rs t i f f n e s sc a nb er e p l a c e db yas i m p l ec o n s t a n ts t i f f n e s sv a l u et os t u d y t h em i l l i n gs t a b i l i t yi sa ni m p o r t a n tq u e s t i o nt h er e s e a r c h e r sm u s tc o n f r o n t t h et h e s i s s i m p l i f i e st h et i m o s h e n k ob e a mf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n so ft h es p i n d l e b e a r i n gt h r o u g h t h em o d a lr e d u c t i o nm e t h o d t h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t hl o b eo ft h em o d a lr e d u c t i o nm o d e l i sc a l c u l a t e ds i m i l a rt ot l l a to ft h eo r i g i n a lm o d e l t h em o d a lr e d u c t i o nm o d e lc r n t h e r e f o r eb ea p p l i e dt on u m e r i c a l l ys t u d yt h em i l l i n gs t a b i l i t yo fs p i n d l e - b e a t i n gs y s t e m o nt h ei n f l u e n c eo ft h en o n l i n e a rb e a r i n gh e r t zc o n t a c t i n gs t i f f n e s s i t s r e s u l t sa r e c o m p a r e d 、析t ht h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t hl o b so fs p i n d l eb e a r i n gm i l l i n gs y s t e m 、析m c o n s t a n tb e a r i n gs t i f f n e s s d u et ot h eh e r t zn o n l i n e a rc o n t a c tf o r c e ，t h es t i f f n e s sc u r v e so f t h eb e a r i n gv a r i e sc o m p l e x l yu n d e rt h es t a b l em i l l i n gc o n d i t i o n b u tt h ep h a s et r a j e c t o r y a n dt h ec r i t i c a lm i l l i n gd e p t hl o b e sa l ev e r ys i m i l a r 、) l ，i t l lt h o s eo ft h es p i n d l es y s t e mw i t h c o n s t a n tb e a r i n gs t i f f n e s s t h er e s u l t si n d i c a t e st h a t ，f o rac e r t a i nm i l l i n gs p i n d l e - b e a r i n g s y s t e m ，t h es t i f f n e s so fn o n l i n e a ra n g u l a rc o n t a c tb a l lb e a r i n gc a l lb er e p l a c e db ya c o n s t a n tv a l u ed e t e r m i n e db yc a l c u l a t i o no r e x p e r i m e n t ，w h i c h c a l l s i m p l i f yt h e c o m p u t i n gp r o c e s s ，a n dc a ng u a r a n t e eac e r t a i nc a l c u l a t i n gp r e c i s i o na l s o t h eu n b a l a n c e f o r c ew i l lc h a n g et h en o n l i n e a rh e r t zb e a r i n gc o n t a c tf o r c e i tc o n s e q u e n t l ya l t e r st h e s t i f f n e s so ft h es y s t e m ，a n dc a na l s os h i f tt h ec r i t i c a lc u t t i n gd e p t ho ft h es y s t e m k e y w o r d s ：s p i n d l e ，b e a r i n g ，h e r t zc o n t a c t ，b i f u r c a t i o n ，m i l l i n g ，s t a b i l i t y , m o d a l r e d u c t i o n 一v 一 上海交通大学博士学位论文目录 目录 摘要i a b s t r a c t 目录 i 主要符号说明 v 第一章绪论 l 1 1 研究目的与意义0 0 0 00 0 1 1 2 国内外对主轴动态特性的研究现状 1 1 2 1 机床主轴系统动态特性的理论和实验研究 2 1 2 1 1 轴承建模 2 1 2 1 2 主轴系统建模 4 1 2 1 3 实验研究 6 1 2 2 机床主轴动态特性的研究方法 7 l - 2 3 影响主轴动态特性的因素 9 1 2 3 1 轴承预紧 9 1 2 3 2 轴承类型及安装 1 0 1 2 3 3 其他影响因素 1 1 1 3 不足之处 1 1 1 3 1 主轴非线性分岔、混沌 1 2 1 3 2 主轴动态特性对铣削稳定性的影响1 3 1 4 论文的主要工作 1 3 第二章主轴一滚动轴承系统分岔及混沌 1 6 2 1 弓i 言1 6 2 2 主轴一滚动轴承系统模型 1 6 2 2 1h e r t z 接触力模型 1 7 2 2 2 无量纲化微分方程 2 0 2 3 数值模拟结果及讨论 2 1 2 3 1 系统分岔 2 2 一 ：海交通大学博士学位论文目录 2 。3 2 擦边分岔2 7 2 3 3 系统动态响应转迁为混沌的方式 2 9 2 3 3 1 经由倍化分岔转迁为混沌 3 0 2 3 3 2 经由环面倍化分岔转迁为混沌 3 3 2 3 3 3 经由擦边分岔转迁为混沌3 4 2 4 本章小结 3 5 第三章主轴动态系统中的软硬刚度及非线性稳定性 3 7 3 1 引言 3 7 3 2 系统方程3 8 3 3 数值计算3 9 3 3 1 系统共振 3 9 3 3 2 主轴系统软硬刚度特性 4 1 3 4 解析研究4 5 3 4 1 系统简化4 6 3 4 2 解析研究方法4 7 3 4 3 解析解 5 0 3 4 3 1 与数值解相对比5 0 3 4 3 2 轴承接触刚度的影响5 3 3 。4 3 3 主轴转子离心力的影响 5 4 3 5 本章小结5 5 第四章外力对主轴系统动态特性的影响5 7 4 1 前言 5 7 4 2 系统动态模型 5 8 4 2 1 主轴模型 5 8 4 2 2 轴承刚度6 0 4 2 3 外力6 1 4 2 4 系统微分方程无量纲化 6 4 4 3 计算结果及讨论6 4 4 3 1 轴承间隙的影响6 5 4 3 2 频数比的影响6 9 一n 一 上