（光学专业论文）飞秒光孤子在单模光纤中的定时抖动：微扰模型.pdf

摘要 孤子概念是一种非常复杂的数学构造，它基于一类完全可积的偏微分方程，既能通过 p a i n l e v 6 可积性检测，又可用逆散射变换方法( i s t ) 求解。一日前，在物理、化学、和生物 等领域中，人们都发现过大量的孤子现象，它们传播相当稳定，既不发散，也不破裂。在 光纤中，孤子不仅具有基础理论研究价值，r 而且在光纤通讯领域中也有重要的应用。 众所周知，除了光纤损耗或消散，定时抖动是限制孤子总传输距离的关键因素。最近， 为了求出定时抖动的准确解析式，人们已提出和发展许多非常重要的模型；如绝热微扰理 论、矩值方法。本质上，这些模型都是基于对著名的非线性s c h r l k l i n g e r 。方程( n l s - ) 的 小微扰，它们可以在许多应用领域中非常准确地探讨孤子噪声或定时抖动现象。但是j 在 亚皮秒、飞秒区，由于需要考虑一些高阶效应，如三阶色散( t o d ) 、自陡、和自频移( s f s ) ， 这类微扰模型在高效、精确描述孤子的噪声行为中显示出孑一定的局限性i 因此，我们提出了一个扩展的孤子微扰模型，r 该模型是基于对高阶非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程( h o n l s ) 的微扰。由于它的微扰项只涉及到孤子本身所固有的噪声， 与高阶效应没有直接关系，因此相比之下，该模型具有较大的可操作性和准确性。同时， 根据该模型，一我们导出了孤子参数的演化方程，并分别给出亮、暗孤子定时抖动的最终 解析式。为进一步验证模型的正确性我们对模型的基础方程进行直接的数值模拟。为 增加模拟运算的正确性和高效性，我们把孤予噪声的统计特性与著名的分步f o u r i e r 方 法相结合，提出了统计分步f o u r i e r 。方法。数值运算表明，该模型非常适合描述亚皮秒、 皮秒区孤子的定时抖动行为。并且指出，暗孤子定时抖动大约为亮孤子的l 2 - 倍，且 r a m a n 抖动常常大于g o r d o n - h a m 效应。t 可以预测，这些亮、暗孤子演化方程在光纤 通讯中将会有广泛的应用，其影响可堪比以前所采用的微扰模型。 关键词：定时抖动扩展孤子微扰模型高阶非线性s c b r b d i n g e r 方程 统计分步f o u r i e r 方法 a b s 仃a c t t h es o l i t o nc o n c e p ti sas o p h i s t i c a t e dm a t h e m a t i c a lc o n s t r u c tb a s e do nt h ec o m p l e t e i n t e g r a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc a l lp a s st h ep a i r d e v 6 t e s ta n dc a nb es o l v e dv i at h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ( i s 即n u m e r o u s 。e x a m p l e so f s o l i t o n sh a v eb e e nf o u n di nv a r i o u sp h y s i c a l ，、c h e m i c a la n db i o l o g i c a le n v i r o n m e n t s ，a l l p r o p a g a t i n gw i t h o u t 叩r e a d i n go u to rb r e a k i n gu p i nt h ec o n t e x to fo p t i c a lf i b e r s ，s o l i t o n sa r e n o to n l yo ff u n d a m e n t a li n t e r e s tb u ta l s oh a st h ep o t e n t i a la p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do fo p t i c a l f i b e rc o m m u n i c a t i o n s a s 遮w e l lk n o w n ，印a 】：_ cf r o m , t h eo p t i c a ll o s s e so rd i s s i p a t i o n ，。| t i m i n gj i t t e ri st h ek e y f a c t o rw h i c hl i m i t st h et o t a lt r a n s m i s s i o nd i s t a n c eo ft h es 0 1 i t o i 3l i n k r e c e n t l y , t of i n dt h e a n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf u rt i m i n gj i t t e r , m a n ym o d e l ss u c ha ：st h ea d i a b a t i cp e r t u r b a t i o nt h e o r y a n dm o m e n tm e t h o dh a v eb e e np r o p o s e da n dd e v e l o p e d i ne s s e n c e ，t h e ya r ea l lb a s e do nt h e s m a l lp e r t u r b a t i o n st ot h ew e l l a n a l y z e dn l se q u a t i o n ，w h i c hc a nb eu s e dt oe l u c i d a t e 谢t i l s u f f i c i e n ta c c u r a c ys o m ep h e n o m e n o l o g i c a le f f e c t s ，e g ，s o l i t o nn o i s e so rt i m i n gj i t t e r i n s u b p i c o s e c o n d f e m t o s c c o n dr e g i m e ；h o w e v e r , t h e s em o d e l sf a i lt oac e r t a i n e x t e n ti nt h e e f f i c i e n ta n da c c u r a t ed e s c f i ，t i o no ft h e s en o i s ee f f e c t sb e c a u s eo ft h ei n t r o d u c t i o no fa n u m b e ro f h i g h e r - o r d e re f f e c t ss u c ha st h et h i r d - o r d e rd i s p e r s i o n ( t o d ) ，s e l f - s t e e p e n i n g ，a n d s e l f - f r e q u e n c ys h i f t ( s f s ) t h u sw ew i l lp r o p o s ea ne x t e n d e ds o l i t o np e r t u r b a f i o nm o d e lw h i c h i n s t e a do n l yc o n s i d e r t h ei n t r i n s i cn o i s e sp e r t u r b a t i o n st ot h eh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r ( h o n l s ) e q u a t i o n ，a n dp r e s e n tt h ee v o l u t i o ne q u a t i o n sf o rt h es o l i t o np a r a m e t e r sa n dt h er e s u l t a n t e x p r e s s i o n sf o rt i m i n g j i t t e rw i t ht h i sm o d e l ，f o rb o t hb r i g h ta n dd a r ks o l i t o n s ，r e s p e c t i v e l y a t t h es a m et i m e ，t h i sm o d e lh a sb e e nf u r t h e rt e s t e dt ob ec o r r e c ti ns u b p i e o s e c o n d f e r n t o s e c o n d v r e g i m ew i t hd i r e c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa g a i n s ta n a l y t i c a lp r e d i c t i o n sf o rt i m i n gj i t t e r , b y u s eo f t h es t o c h a s t i cs p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d i ti ss h o w nt h a tt h e t o t a l j i t t e rf o rd a r ks o l i t o n s i s n e a r l y1 4 2 o ft h a tf o rb r i g h ts o l i t o n sa n dt h er a m a nj i t t e r a l w a y sd o m 血a t e sm e g o r d o n h a n so n ei nf e m t o s e c o n dr e g i m e a se x p e c t e d ，f o rb o t hb r i g h ta n dd a r ks o l i t o n s t h e s ee q u a t i o n so f m o t i o nw o u l dh a v em o r ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n st h a nt h o s eo b t a i n e d b yu s e o f t h ew e l l - k n o w np e r t u r b a t i o nt h e o r ya b o u tt h en l s e q u a t i o n k e y w o r d s ：t i m i n gj i t t e r e x t e n d e ds o l i t o np e r t u r b a t i o nm o d e l h i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s t o c h a s t i cs p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d v i 独创性声明v ， 本人声明所呈交的学位论文是玻脊入在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 。学位论丈作者签茗y 傣世华 日期：2 0 0 3 珲l i 再l 自 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部问或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容 一一一 t ，j ： 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描窨复制手段保存和汇 编本学位论文。 本论文属于保密口，在 不保密口。 ( 请在以占方框内打：一”) 学位论文作者签名：t 繇世华 日期：2 0 0 3 年1 1 月1 0 日 i l i 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：是度芳 日期：2 0 0 3 年1 1 月1 0 日 1 绪论 孤子概念是一种非常复杂的数学构造，它基于一类完全可积的偏微分方程，既能通 过p a i n l e v 可积性检测，又可用逆散射变换方法( i s t ) 求解“1 。最早于1 8 8 4 年，j o h n s c o t t - r u s s e l l 发现具有某种特性的水波能传播很长距离而不破裂，后来被称之为孤子”1 。 自此，在物理、化学、和生物等领域中，人们都发现过大量的孤子现象。“，它们传播相 当稳定，既不发散，也不破裂。特别是1 9 7 3 年，h e s e g a w a 和t a p p e r t 两人从理论上预 测光纤上也可以产生孤子“1 。时经7 年，m o l l e n a u e r ，s t o l e n 和g o r d o n 在实践上也观 察到光纤中的孤子现象。这些开创性的理论和实践从此拉开了光孤子在光纤通讯中广 泛应用的序幕。 物理上，有两种不同的机理可以解释光脉冲的孤子特性。一种是h e s e g a w a 和 t a p p e r t 所提出的群速色散( g v d ) 与k e r r 非线性的平衡理论，它可用著名的非线性 s c h r t i d i n g e r 方程所描述”1 。一般而言，任何短脉冲都有一定的频宽，脉冲越短，其频 谱越宽。在物理介质中，脉冲的传播速度又是与其频率密切有关的，这种效应称之为群 速色散。因此，脉冲的不同频谱部分都会表现为不同的传播速度，从而导致脉冲变宽。 但是在非线性介质中，脉冲的传播速度又与脉冲的振幅或强度有关。如果这两种效应刚 好抵消，就会产生大家所熟悉的时间孤子( t e m p o r a ls o l i t o n s ) 。空间孤子( s p a t i a ls o l i t o n s ) 也可以归结到这一机制的范畴之内”3 。它们的产生是由于光束的空间衍射( d i f f r a c t i o n ) 与非线性介质的白焦( s e l f - f o c u s i n g ) 相平衡。另一个机理起源于m c c a l l 和h a h n 两人 的理论研究i 它与共振介质中的自感应透明( s i t ) 现象密切有关，一般可用 m a x w e l l - b l o c h 方程所描述”1 。四波混频或谐波也可以产生这类孤子。1 。最近，电磁感应 透明( e i t ) 中的孤子现象也被多次报道”4 。由于我们主要是探讨飞秒孤子在单模光 纤中的定时抖动行为，因此第二物理机制不属于本文的研究范畴。 在上世纪七、八十年代，非线性s c h r s d i n g e r 方程被进行广泛而深入的研究，它 可用多种方法来分析，如p a i n l e v 6 分析、h i r o t a 直接方法、a b l o w i t 舡k a u p - n e w e l l s e g u r ( a k n s ) 方法、逆散射变换( i s t ) 、d a r b o u x - b a c k l u n d 变换、和守恒规律。通 过这些方法，人们可以求出该方程的一阶、甚至高阶亮、暗孤子解，并能探讨这些孤子 的相互作用行为。除此之外，大量的相关现象，如s i m u l t o n s 、b r e a t h e r s 、光学e c h o e s 、 n u t a f i o n ，也被详细地探讨过。如果不仅要考虑二阶群速色散( g 、，d ) 和自相位调制 ( s p m ) ，还要考虑光纤中的三阶色散( t o d ) 、自陡“2 1 和自频移( s f s ) “3 ，那么常 规的n l s 方程就不再适用于这种情况，因此人们必须对n l s 方程进行扩展或改造，这 就形成人们过去研究非常多的广义或高阶n l s 方程。”“，该方程适合描述亚皮秒、飞秒 区的孤子行为。这类广义n l s 方程一般是不可积的，因此除了少数几种情况外，很难 有大家熟悉的孤子或孤立波解，求解时都是把它对n l s 方程进行微扰。”1 。 研究非线性s c h r i i d i n g e r 方程的正则量子化也具有同等重要的意义。在过去的1 5 年，人们已经从理论上预测、实验上观察到光孤子的诸多量子特性，如正交相压缩 ( q u a d r a t u r e - p h a s e s q u e e z e d ) 。、振幅压缩( a m p l i t u d e - s q u e e z e d ) 。“、光子数压缩。8 。2 、 动量压缩。“、以及孤子的非破坏测量( q n d ) 。1 。删等。真正的量子孤子与经典图景中的 孤子是不同的，这反映在量子孤子在传播过程中会遭受到相扩散和波包发散。实际上， 量子孤子是由许多不同动量本征态和光子数的孤子所叠加而成，每一个分量孤子都有不 同的相速和群速，因此会导致量子孤子的传播发散性。所有这些量子现象都可以用量子 非线性s c h r a d i n g e r 方程进行理论诠释。如果进一步考虑孤子的高阶效应，我们必须用 相应的高阶或广义量子非线性s c h r o d i n g e r 方程对孤子的量子行为进行探讨。不过， 相对而言，由于问题的复杂性，人们在这方面所做的工作依然有限。在本文中，我们尝 试对单模光纤中飞秒孤子传播进行正则量子化，并给出广义量子非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程和统计关联式，为研究孤子的定时抖动或噪声打下坚实的理论基础。 众所周知，除了光纤损耗或消散，定时抖动是限制孤子总传输距离的关键因素”。 最近，为了求出定时抖动的准确解析式，人们已提出和发展许多非常重要的模型，如线 性化微扰。、绝热微扰理论”、和矩值方法( m o m e n tm e t h o d ) “等。本质上，这些模型 都是基于对著名的非线性s c h r t i d i n g e r 方程( n l s ) 的小微扰，它们可以在许多应用领 2 域中非常准确地探讨孤子噪声或定时抖动现象。但是，在亚皮秒、飞秒区，由于需要考 虑一些高阶效应，这类微扰模型在高效、精确描述孤子的噪声行为中显示出了一定的局 限性。 因此，我们提出了一个扩展的孤子微扰模型“2 “3 ，该模型是基于对高阶非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程( h o n l s ) 的微扰。由于它的微扰项只涉及到孤子本身所固有的噪声， 与高阶效应没有直接关系，因此相比之下，该模型具有较大的可操作性和准确性。同时， 根据该模型，我们导出了孤子参数的演化方程，并分别给出亮、暗孤子定时抖动的最终 解析式。为进一步验证模型的正确性，我们对模型的基础方程进行直接的数值模拟“5 ”。 为增加模拟运算的正确性和高效性，我们把孤子噪声的统计特性与著名的分步f o u r i e r 方法相结合，提出表发展了统计分步f o u r i e r 方法“”。数值运算表明，该模型非常适 合描述亚皮秒、皮秒区孤子的定时抖动行为。并且指出，暗孤子定时抖动大约为亮孤子 的1 2 倍mr ，且r a m a n 抖动常常大于g o r d o n h a u s 效应“。可以预测，这些亮、暗 孤子演化方程在光纤通讯中将会有广泛的应用，其影响可堪比以前所采用的微扰模型。 本文分为八部分，结构如下：第二部分为基本知识和概念；第三部分主要是探讨单 摸光纤中飞秒孤子传播的量子理论，并给出广义量子非线性s c h r 6 d i n g e r 方程和统计关 联式；第四部分主要是把广义量子非线性s c h r t m i n g e r 方程转化为截断式的w i g n e r 统 计偏微分方程，并给出该方程在一定近似条件下的亮、暗孤子或孤立波解，最后对这类 亮、暗孤子的稳定性进行直接的数值模拟：第五部分我们提出了一个扩展的孤子微扰模 型，利用该模型，我们给出亮、暗孤子参数的演化方程及其定时抖动的最终解析式；第 六部分我们重点介绍统计分步f o u r i e r 方法：第七部分为分析与讨论，指出该模型的优 选性和不足之处；最后一部分是总结，并对今后该领域提出了展望和预测。 ( 备注：本部分中的黑体楷体字为本人的主要工作。) 2 基本知识和概念n n 本文涉及到的知识和概念非常之多，其中一些重要的概念和理论知识如下。 2 1 光纤损耗 光纤的一个重要参量是光信号在光纤内传输时功率的损耗。若只是入射光纤的功 率，则传输功率 弓= p o e x p ( 一班) ， ( 2 一1 ) 式中，口是衰减系数，通常称为光纤损耗，三是光纤的长度。习惯上将光纤的损耗通过 下式用d b k m 来表示 口d 日= 一1 0 1 9 ( p r p o ) 三= 4 3 4 3 a 。( 2 - 2 ) 从单模光纤的损耗谱可知，波长为1 5 5f 肌的损耗最低，约为0 2 d b k m 。一般情况下， 波长越短，损耗越大。 2 2 光纤色散 当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率国有关， 这种特性称为色散，它表明折射率n ( c o ) 对频率的依赖关系。一般说来，色散的起源与介 质通过束缚电子吸收电磁辐射的特征共振频率有关，远离介质共振频率时，折射率符合 s e l l m e i e r 方程： 识班+ 荟m 寿2 ， c z 吲 式中，c o ，表示共振频率，b 为，阶共振强度。对于石英光纤，这些参数为：m = 3 ， b 1 = o 6 9 6 1 6 6 3 ，b 2 = 0 4 0 7 9 4 2 6 ，b 3 = o 8 9 7 4 7 9 4 ， 2 1 = 0 0 6 8 4 0 4 3t a n ， 4 如= o 1 1 6 2 4 1 4 肿和如= 9 8 9 6 1 6 1 a n ，这里 = 2 庀c c o ，c 为真空光速。 由于不同的频率分量对应于不同的脉冲传输速度，因而色散在短脉冲传输中起关键 作用。甚至当非线性效应不明显时，由色散引起的脉冲变宽也是对光通讯系统非常有害 的。在数学上，光纤的色散效应可以表示为 ( 国) = 咒( c o ) c o = 风+ f l l ( c o 一曲。) + c p 2 ( c o 一。) 2 + ， ( 2 4 ) 式中，成= 一“f l d c o “) 。：。，m = 0 ，1 ，2 ，3 ，。参量届、卢：和折射率n 有关，其关系 可表示为 届= 1 v g = 仰+ c o d n d 叻c - 见= ( 2 d n d o , + c o d 2 n d c 0 2 ) c ，( 2 - - 5 ) 式中，v 。是群速度，：表示群速色散( g v d ) 参量。值得注意的是，卢：在波长1 2 7 a n 附近趋于零，对更长的波长则变为负值。卢：= 0 处的波长称为零色散波长如。根据色 散参量声：的符号，可以划分为正常色散区( 及 o ) 和反常色散区 ： o ) 。在正常色散 区，红光分量较蓝光分量传输得快，反常色散区刚好相反。仅当脉冲所有的频谱分量同 时到达时，脉冲宽度才能保持不变。不同频谱分量在传输过程中的任何延迟都将导致脉 冲变宽。 2 3 啁瞅 群速色散或自相位调制( s p m ) 所致的频谱变宽都是脉冲的相位篮，r ) 与时间f 有 关而引起的，可以这样理解，瞬时变化的相位说明光脉冲的中心频率脚与两侧有不同 的瞬时光频率，其差值砌为：面= 一a 0 r 。8 c o 的时间依赖关系可被看为频率啁啾 ( c h i r p ) 。注意这里的f 和r 为传播参照系中的位移和时间，与普通参照系的关系为 f = z l 。，f = ( t z v ；) t o ，l 。为色散长度五为脉冲半宽度【其与常用的半极大全 宽度砟。关系为砖。= 瓦= 2 i n ( 1 + 习t ow 1 7 6 3 t o 】。如果酗与时间的关系是线性的，我 们可称之为线性啁啾；若是非线性关系，则称为非线性啁啾。此外，脉冲频谱的真实形 状s ( o j ) 可用下式得到： s ( 国) = 矿( o ，f ) e x p 坪i ( 彳，f ) + j ( 功一。) f d f1 2 ( 2 6 ) 式中，妒( o ，f ) 是指初始脉冲波形( 在f = 0 处) 。相对于群速色散和自相位调制，它们能 产生对称的频谱，一些高阶效应如三阶色散( t o d ) 、自陡、和自频移( f s f ) 则产生 不对称的频谱。 2 4 亮孤子( 基态) 在反常色散区，非线性s c h r 6 d i n g e r 方程可表示为 ，杀y 畦导y w 2 卿， c z 吲 式中，参量n 定义为n 2 = 卵气露i ：i ，y = n ：。c a 。为非线性系数。在逆散射变换方 法中，一阶孤子( n = 1 ) 对应于单个本征值的情形，之所以称为基态孤子，是因为其 形状在传播过程中不变。基态解的基本形式为 p ( f ，f ) = r s e c h 叩( v f 。+ 西) 】e x p 【i ( 刁2 5 2 ) f 2 一f t 行+ f 疵】， ( 2 8 ) 式中，参量r 、d 、0 和丸是表示孤子特性的四个参数，即依次为孤子振幅、频率、位 置与相位。值得注意的是，参量d 也可表示孤子离开载波频率。的频移，利用载频部分 e x p - i a j 。胡，新频率变为t o ：= 。+ a t o ，频移也从初始值k 变为孤子速度。通过选取 适当的载频，频移量占可从方程( 2 8 ) 中消去。同时，传输基态孤子所需的峰值功率 变为只= l ：i 埘。 2 5 暗孤子 早在1 9 7 3 年就发现了暗孤子，从此就引起相当的关注。这种孤子的强度轮廓是在均 匀背景上的一个下陷，所以就用暗孤子来描述这种形状。在正常色散区，非线性 6 s c h r 6 d i n g e r 方程可表示为 z 壶矿一圭等川卯妒观 c z 吲 运用逆散射方法，可得该方程的暗孤子通解： y ( f ，f ) 爿妒( f ，f ) ie x p f 妒( f ，f ) 】， l y ( f ，r ) 卜刁 i b 2c o s h 一2 咖( r 一) 】”， 船) = l r 2 ( 3 - b 2 ) + r 雨删a n l b t 厨a n h ( r b r ) j ，( 2 - - 1 0 ) 式中，参量叩和f ；分别代表孤子振幅和下陷位置，参量b 描述下陷深度( 1 b 峰1 ) 。i b 1 时的孤子为黑孤子，而l b l 1 时的暗孤子则称为灰孤子。相对亮孤子而言，暗孤子是带 啁啾的，这可从方程( 2 - - 1 0 ) 很容易看出。 暗孤子现在依然是一个令人感兴趣的课题。数值模拟表明，在有噪声的情况下，它 比亮孤子更稳定，并在有光纤损耗时发散更慢。暗孤子受外界影响，如定时抖动，受激 r a m a n 散射，要比亮孤子小。这些特性表明，它对光通讯系统具有潜在的应用价值。 2 6 光孤子的稳定性 术语“孤子”是1 9 6 5 年提出来的，目的是为了反映这些孤立波的粒子性的本性，即 在相互碰撞后不受影响，具有很强的抗干扰性。但是如果入射脉冲形状不是s e e h 形， 或者入射功率r 不符合上面提到的条件，或者所发的脉冲是带啁瞅的，这些脉冲到底能 不能转化为孤子。答案是肯定的。一般上，发射基态孤子( n = 1 ) 所需入射脉冲的精 确形状并不起决定作用，而且值在o 5 n 1 5 范围内，基态孤子都能形成，即使入 射脉冲的宽度和峰值功率在很宽的范围内改变，也不妨碍孤子形成。正是这种对入射参 数的精确值相对不灵敏，使得孤子的实际应用成为可能。但必须注意到，当入射参数严 重偏离其理想值时，是要付出代价的。当入射脉冲演变成基态孤子时，一部分脉冲能量 将成为色散波而流失掉，这样的色散波不仅带来能量损耗，而且还影响孤子通信系统的 7 性能；另外，它还会干扰孤子自身并改变其特性。 2 7 定时抖动( t i m i n gj i t t e r ) 一个孤子通讯系统，只有当所有的孤子在接收端都落在指定的比特槽内才能可靠地 工作。有若干种物理机制会导致孤子偏离初始的比特中心位置。在这些机制中，放大自 发辐射( a s e ) 致定时抖动常常是主要的。这种抖动的起源可以通过方程( 2 8 ) 来理 解，其中孤子频率的改变量占将影响孤子在光纤中的传输速度。如果子因放大器噪声而 波动，孤子在光纤中的传输时间也随机变化。孤子到达时间的a s e 致波动被称为 g o r d o n - h a u s 定时抖动。“。由于相邻两孤子问相互作用强烈依赖于它们的间隔和相对相 位，且两者都因放大器噪声而波动，所以互作用很大程度上改变着定时抖动。当输入相 位差很大而接近刀时，相位的随机化将导致定时抖动的减小。其他的定时抖动可参考文 献 3 8 , 5 1 1 。 3 单模光纤中飞秒孤子传播的量子理论 在这一部分中，我们将根据d r u m m o n d 、c a r t e r 等人所提供的思想。6 1 ”。5 ”，推导出 非线性单模光纤中飞秒孤子传播的h e i s e n b e r g 运动方程，即广义量子非线性s c h r 6 - d i n g e r 方程。为简单起见，我们只列出主要的推导过程，更详细的过程可参考文献 5 3 5 5 。 如果只考虑最高三阶的群速色散和最高一阶的k e r r 非线性色散，则系统的总 h a m i l t o n i a n 可写成疗= ，膏；，( 江，r ，口，g ) ，其中膏，、膏，、疗。和力。分别表示f i b e r - o p t i ch a m i l t o n i a n 、r a m a nh a m i l t o n i a n 、吸收h a m i l t o n i a n 和增益h a m i l t o n i a n 。在相 互作用图景下，总相互作用h a m i l t o n i a n f m 。可进一步写成 h m = 日二+ 日二t + 日鑫+ 鑫，( 3 - - 1 ) 其中，疗：，( f = 厂，r ，口，g ) 表示相应的四个组成h a m i l t o n i a n 。 3 1f i b e r - o p t i ch a m i l t o n i a n 和相关h e i s e n b e r g 方程 通过选择合适、正确的正则对易式 西j ( x ) ，丑( x ) 】= f 砝( x x ) ，其中祛( x x ) = d m 万3 ( x x ) + a ，a 1 4 a 1x x 旷“，我们可以直接写出n o r m a l l yo r d e r 的f i b e r - o p t i c h a m i l t o n i a n 为4 彤= j d k m o ( k ) a + ( k ) a ( k ) - p 3 x 矧：弘， ( 。_ 2 ) 其中x = ( r ，z ) ，z 为纵向坐标，r 为横向坐标。 这里v = 国；= 【矗砒 表示群速，( 七) 表示波矢为k 的模频率，其色散关系可写 为国( i ) = + ：【d “c o d k ” 。( 七一k 。) “m ! 。相似地，k e r r 非线性极化率z 3 ( x ，i ) 是 关于空间位置x 和波矢七的慢变函数，其随波矢变化的一阶色散关系为 z ”( x , k ) = z p ( x , k o ) + ( k 一七o ) 觑”( x ，k o ) o k 。和通常情况一样，6 ( o o ) 表不在载汲频翠 c o 。处的模平均介质极化率，a ( 尼) 表示湮灭算符，可定义为 a ( 七) ，a + ( 七) 】= j ( 七一k ) a 除 此之外，我们假设线性极化率z 1 ( 七) 不随空间变化。 相应地，电位移算符西( x ) 和光子密度算符乒( f ，z ) 可以定义为 d ( x ) ：f 酬塑堕掣塑卜( 枷( r ) e x p ( m c ， ( 3 _ 3 ) o 珥石j 乒也z ) 2 去肛( 啪x p f ( 肛纰一( 础) 卅抄】，( 3 - - 4 ) 式中i d 2 r l u ( r ) 1 2 = 1 ，【z ) ，5 ；+ ( f ，z ) = 占( z - z ) ，和日c 表示h e r m i t e e o n j u g a t e 。把 方程( 3 - - 3 ) 和( 3 - - 4 ) 代入方程( 3 - - 2 ) ，并利用上面的色散关系，我们可以得到在 旋波和慢变包络近似下的f i b e r - o p t i ch a m i i t o n i a n ： 膏，= 肛国。；+ ( f ，z ) 地z ) 一壳i e z t 参飞，z ) 珈，z ) + 争m ) 导妣h ( f ，z ) 导加) 】( 3 - - 5 ) 一盎肛协沁) 心力玩z ) 咄谚飞z ) 知飞z ) 地z ) 】 。 式中， 删= 等p 2 诎蛐圳u ( r ”， 心) = 等p2 r 掣圳4 。 因此，在相互作用图景下，我们可以很容易地写出该f i b e r - o p t i ch a m i l t o n i a n 作用 下的h e i s e n b e r g 运动方程： ( v 鲁+ 珈力2 z 警参2 + i ( 2 ) 0 可0 3p 7 - 引。， + 拓他) 加，z ) ；2 ) + 3 心) 熹加，z ) 2 ) o 3 2r a m a n 效应o t ”1 ” 忽略导波声致的b r i l l o u i n 散射，仅考虑光场与高频光学声子的相互作用，我们可写 出r a m a n 相互作用h a m i l t o n i a n 为 瓯= 肛肛+ ( f ，z ) 舭z ) 胄( q ，z ) 【占( q ，z ) + 占+ ( n ，z ) 】 一0 + aj d z 肛岛+ ( q ，z m z ) ， ( 3 7 ) 式中，r ( q ，z ) 是实的、与频率有关的声模对辐射场的耦合系数，占+ ( q ，z ) 和占( q ，z ) 分别 表示声子产生与湮灭算符，并符合对易式 6 ( q ，z ) ，占+ ( q ，z ) = 占( q q ) 占( z z ) 。由于 r a m a n 极化子( p o l a r i t o n ) 不是完全局域的，因此我们对系数月( q ，z ) 采取高频截断策略， 以保证在光子的散射长度范围内算符 ；( f ，z ) 是慢变函数。根据实验数据，在高频段，我 们可以选择r 2 ( q ，z ) = 1 2 x ( z ) c o t h ( ；r t 月n ) ，这样r a m a n 响应函数g ( f ，z ) 可表示为“_ “3 g ( f ，z ) ：j 2 胄：，z ) s i n ( q f ) d n * 2 每堕e x p ( f 五) ， a sf 斗。， ( 3 8 ) 式中，z7 ( z ) 表示有效的r a m a n 非线性极化率，可定义为z ( z ) = i d 2 r z ( x ，k o ) i u ( r ) 1 4 ， 疋为r a m a n 响应时间。 经过仔细计算，我们可写出r a m a n 相互作用h a m i l t o n i a n 下的额外h e i s e n b e r g 方 程为 式中 扣啦腕h 防姒彤u 一哪c 卅吨小啦， 。，吲 = f 【z 7 ( z ) ( 1 一瓦a a ) 乒+ ( f ，z ) ( f ，z ) + f 7 ( f ，z ) o ，z ) ， p ，( f ，z ) ：一j d q 尺( q ，z ) $ ( t oq ，z ) e x p 一i q 。- t o ) + h c 。( 3 - - 1 0 ) 量子统计算符f 7 ( r ，z ) 和它的h e r m i t ec o n j u g a t e 均表示乘数式量子噪声项，并有以 下的频域关联： ( r ( 蛳) f 7 ( 国7 ，z ) ) = 2 艘2 ( 舭) m 国) + 。( 一c o ) 8 ( z - z ) 6 ( c o 刊) ，( 3 - - 1 1 ) 式中，o ( c o ) 是阶段函数，n t h ) = e x p ( h c o k t ) 一1 r ，f ( c o ，：) 表示p 7 0 ，z ) 的f o u r i e r 变换。 3 3 库( r e s e r v o i r ) 吸收与增益 如果把光子吸收库建模为谐振子连续谱，并在共振频率c o 处与辐射模耦合，则吸收 h a m i l t o n i a n 在相互作用图景下可表示为1 岔品= 仁p ( 啦) a + ( c o ，z ) a ( c o ，z ) + 日c 】 + a 肛j - d c o ( c o - c o 。) a + ( c o ，z ) 五( 国，z ) ， 一0 ( 3 1 2 ) 兵中，a ( c o ，z ) 表不光子外厍与辐射模的复耦合系数，0 9 。是载波频率，a ，z ) 和a + ( c o ，z ) 分别表示库湮灭和产生算符，符合对易式：陋 ，z ) ，a + ( c o7 ，z ) - 艿( z z ) 8 ( c o c o ) 。 同样，我们可导出可加的h e i s e n b e r g 运动方程 扣啦埔小一p 俄z 卅w 力，( 3 - - 1 3 ) 式中 小，z ) = o ( t ) f d o i a ( c o ，z ) 1 2e x p 一i ( c o 一。) f | ， ( 3 1 4 ) f 4 0 ，：) = 一i r d c o a + ( c o ，z ) e x p - ( c o - c o 。) o 一) 】a o 。，z ) 。 对于空间均匀的平谱外库，我们可以近似方程( 3 1 4 ) 为简单的m a r k o v 情形，即 ) ，。o ，z ) = y 。s ( t ) ，。为常数。因此相应的频域关联为 ( f 4 + ( ，z ) f 4 ( 7 ，z ) ) = o ， ( f 8 ( 翻，z ) f - 一( 国7 ，z ) ) = 2 y 4 占仁一z ) 巧( 国一) ， ( 3 1 6 ) 这罩的 4 + 沏，z ) 是相应的f 8 + ( f ，z ) 的f o u r i e r 变换，并且，对于高频区，( c o 。) “0 。 类似地，在相互作用图景下，忽略饱和、色散等非线性效应，增益相互作用 h a m i l t o n i a n 可写为 疗盅：壳了出- l ( f ，z ) 彦+ ( ，z ) g ( 国，z ) + h c 】+ ( 曲一国。) 疗= ( ，z ) 2 。 ( 3 1 7 ) 同理，g ( 国，z ) 是增益热库对辐射场的复耦合系数，矛+ ( c o ，z ) 表示二能级激光跃迁的上升 和下降p a u l i 算符，其等时间对易式为p + ( f ，织z ) ，疗一( f ，z ) = 疗。( c o ，z ) 8 ( z z + ) 6 一) 。因此该h a m i l t o n i a n 的h e i s e n b e r g 运动方程为 扣啦埔弘p w 力虮z ) + 盹办( 3 - - 1 8 ) 式中 ，。( f ，z ) = e ( t ) f d c o i g ( c o ，z ) 1 2e x p 一i ( c o 一。m ( 3 1 9 ) f 5 0 ，z ) = 一f r d c 酊( c o ，z ) e x p 一i ( c o 一国。) ( f 一“) 】子一o 。，卯，：) 。( 3 - - 2 0 ) 在m a r k o v 近似下，y 。( f ，z ) = ，6 占( f ) ，统计项有以下的频域关联： ( ( 国，z ) f 8 ( c o ，2 ) ) = 2 7 6 万( z - - z ) 6 ( c o - c o ) ( p 8 ( 舭) ( ，z ) ) = 3 4 广义量子n l s 方程 ( 3 2 1 ) 至此，在m a r k o v 近似下，根据方程( 3 6 ) 、( 3 9 ) 、( 3 1 3 ) 和( 3 1 8 ) ，我们 很容易求出飞秒脉冲算符；o ，z ) 在传播参照系下的总h e i s e n b e r g 运动方程： 昙驴= 导州卅2 警1 。导驴一p 昙( 卿2 ) 一啦昙( 矿+ 驴) 沙一膨+ 矛m 驴+ f ， 彳 式中，矿= 拆瓦万表示无量纲的光场振幅，f = p z l v ) l