（金融学专业论文）基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用.pdf

基于效用函数的歇式期权定价和在中国应用 摘要 本文旨在讨论基于效用函数的欧式期权定价、性质和在中国的若干应用。 本文分五个部分。第一部分是文献综述，叙述了期权定价的历史。第二部分 是数学准备和b l a c k s c h o l e s 公式的三种推导。数学准备罗列了随机过程的三大 支柱：i t 6 公式、g i l s o n o v 定理和f c y n m a n - k a c 公式；三种推导详细介绍了偏微 分方程方法、鞅方法和倒向随机微分方程方法。第三部分是基于效用的欧式期权 定价，论述了主要假设、定价机制；证明了正则性，j e n s e y 性，有界性，渐近性 和平价关系成立的充分必要条件。第四部分继续讨论定价的性质，以数据图表比 较的方式，做了比较静态分析。第五部分举了在中国可以应用的三个小例子：国 债定价，封闭基金折价之谜的解释，新股定价。 本文的特色之处在于数理气息浓厚。这不光体现在第二部分详细推导出了 b l a c k - s c h o l s 公式的三种方法，还体现在第三部分用数学方法证明了新定价的若 干性质。这生动体现了数学和金融的紧密关系。 本文在人们提出的效用函数u o ) ：旦兰二基础上，首次引入随机贴现，导 a 出了新欧式期权定价公式及其性质。我们发现新的定价可以与b l a c k s c h o l e s 公 式统一起来( 定理i 和定理4 ) ，这意味我们给出了b l a c k - s c h o l s 公式的第四种推 导方式。我们还对b l a c k - s c h o l e s 公式和我们的定价作了比较( 第四部分) 。在应 用中我们用新定价解释了封闭基金折价之谜。 关键诃期权定价效用随机贴现 分类号f 8 2 1 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 a b s t r a c t 硒i sp a p e r m a i n l yd i s c u s s e se u r o p eo p t i o n 面c i n gb a s e do nu t i l i t yf u n c t i o n , i t s p r o p e r t i e sa n d s o m e a p p l i c a t i o n si nc h i n e s e m a r k e t s t h e r ea r ef i v ep a n si nt h i sp a p e r ：皿1 ef l r s tp a r ti sh i s t o r i c a ld o c u m e n t s i t sa l l a b o u tt h eh i s t o r yo f o p t i o np r i c i n g n es e c o n dp a r t i sm a t h e m a t i c p r e p a r i n ga n d t h r e e m e t h o d so fb l a c k s c h o l e se q u a t i o n i nm a t h e m a t i cp r e p a r i n g ，w el i s tt h r e ep i l l a r so f s t o c h a s t i ca n a l y s i s ：i t 6l e m m a , c r i s o n o v 也e e r ya n df e y n m a n k a ce q u a t i o n i nt h r e e m e t h o d so fb l a c k s c h o l e se q u a t i o n , w ei n l r o d u c ei nd e t a i ls u c ht h r e em e t h o d s ：p d e m e t h o 正m a r t i n g a l em e t h o da n db s d e m e t h o d 啊1 et h i r dp a r ti st h ee u r o p eo p t i o n 脚c i n g b a s e d0 1 1 u t i l i t y f u n c t i o n w ed i s c u s sm a i nh y p o t h e s i z e sa n d p r i c i n g m e c h a n i s m w ea l s op r o v et h er e g u a f i o n , 1 e n s e y ，b o u n d a r y ，a p p r o x i m a t i o na n dt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp u t c a l lp a r i t y n ef o r t hp a r ti sp r o p e r t i e so f p r i c i n g kd i s c u s st h es e n s i t i v i t ya n a l y s i sw i t hd a t aa n df i g u r e s n e 丘蚀p a r ti s s o m ea p p f i c a f i o n si nc h i n e s em a r k e t s w et a k et h r e ee x a l n p l e s ：b o n d 面c i n g ， e x p l a n a t i o n o f c l o s ef u n d s p r i c ed i s c o u n tp u z z l e a n dn e w s t o c k p r i c i n g t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h i sp a p e ri sf u l lo fm a t h e m a t i c s i ns e c o n dp a r tw e g i v e i n d e t a i la l lp r o c e d u r eo ft h r e em e t h o d sa n di nt h i r dp a r tw ep r o v es o m ep r o p e r t i e si n m a t h e m a t i c s i tr e f l e c t sc l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm a t h e m a t i ca n d f i n a n c e t h i sp a p e rh a sf o u rc r e a t i v i t i e s f i r s t l yw eb r e a ko u tt h ef r a m eo fa r b i l r a g ef r e e a n dg e tn e wp r i c i n gr u l ew i t hu t i l i t yf u n c t i o na n ds t o c h a s t i cd i s c o u n t s e c o n d l yw e f i n d0 1 1 1 p r i c i n gc a nu n i o nb l a c k - s c h o l e se q u a t i o n ( t h e o r y1a n dt h e o r y4 1 t h i sm e a n s w ef m d 血ef o r t hm e t h o do fb l a c k - s c h o l e se q u a t i o n t h i r d l yw ec o m p a r et h et w o d i f f e r e n tp r i c i n g s ( t h ef o r t hp a n ) a tl a s tw ee x p l a i nt h ec l o s ef u n d sp r i c ed i s c o u n t p u z z l e w i 血o u r p f i c m g k e yw o r d ：o p t i o np n c m g ，u t i l i t y ，s t o c h a s t i cd i s c o u n t 3 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 第一章文献综述及其本文的立题意义 期权定价理论是资本市场定价理论的最高形式，也是金融数学的核心内容。 其中以b l a c k - s c h o l e s 模型最为著名，两位学者为此拿到了1 9 9 7 年的诺贝尔经济 学奖。本章介绍一下期权定价理论的历史。 期权定价理论的渊源可以追溯到1 9 0 0 年。当时，法国学者b a e h e l i e r 完成了 有关投机理论的博士论文，第一次提出了用b r o w n 运动来描述股价。这比爱因 斯坦提出b r o w n 运动早了5 年。 在四十年代和五十年代初，伊藤清( i t 6 ) 提出了n 6 公式，为金融学找到了 良好的数学工具。现在，i t 6 公式极其广泛地应用在期权定价理论领域。 1 9 6 5 年，保罗萨缪尔森发表了股权证合理定价理论。 在五十年代后期和整个六十年代，m a r k o w i t z ，m o d i g l i a n i ，m m e r ，s h a r p ， l i n t n e r ，f a m a 和萨缪尔森都作了大量开拓性的工作。 六十年代末以及七十年代初，金融学模型变得曰益复杂，内容涉及到定价和 最优决策的短时性和不确定因素。大量的数学被引入到了金融学之中。 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 基于无套利推理，从构造一个对冲交易策略出发， 导出了著名的期权定价公式。同年，m e r t o n 对b l a c k 和s c h o l e s 的定价模型做了 完善和多方面的推广。他们三人的工作被誉为“华尔街的第二次革命”。 b l a c k - s c h o l e s - m e r t o n 的工作具有里程碑的意义。在他们之后，期权定价的 思想无套利推导一直没有被突破，成了金融学中的金科玉律。 1 9 7 7 年，罗尔给出了一个美式期权的解析式模型，实现了欧式到美式的突破。 八十年代和九十年代，期权定价理论按三个方向展开：定价技术在非金融期 权产品的推广和应用；对定价公式的实证检验；放宽假设条件以及加强应用的理 论基础。其中有代表性的是鲁宾斯坦( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) ，波义耳( 1 9 8 6 ) ，卡特森( 1 9 9 7 ) 。 一、b l a c k - s c h o l e s 以前的期权模型1 最早的期权定价模型可能是b a e h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 提出的。假定股票价格运动过 程是没有漂移、每时间单位方差o2 的绝对布朗运动，他认为到期日看涨期权的 期望应该是 c s ( 。s 础- x 卜睇 + 棚睇) 5 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 式中，中( - ) 和中( ) 是标准累积正态分布和正态分布密度函数。 该模型有两个缺点；1 ) 应用绝对布朗运动时，股票价格可以出现负值 与有限责任矛盾。2 ) 忽略了现金的正数时间价值、期权和标的资产的不同风险 特征，以及风险的厌恶程度。 期权定价的重大发展始于6 0 年代。1 9 6 1 年斯普林科( s p r e n l d e ) 提出设想 股票价格服从对数正态分布，其均值和方差均为常数，并考虑到股价的正漂移 其看涨期权公式可写成： 咖p 掣 参数调整”杠杆”的市场价格。 该模型的缺陷是没有对期望值折现，以确定期权值。 波尼斯考察了风险溢价的重要性。假定投资者不计较风险，并按n 折现期权 的期末期望值。得到表达式： ，。岍，+ ( 口+ 料 c = 肿i b 二- 锄p 字 如果使a - - r ，那么就会得到b l a c k s c h o l e s 公式 1 9 6 5 年，萨缪尔森意识到，在一般情况下期权和股票的预期收益率会因风险 特征不同而存在差别。它的欧式看涨期权模型为 细p可肛# 尝 如果令q = b 和昼= r ，则可推导出b l a c k s c h o l e s 公式a 二、b l a c k s c h o l e s 公式 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 在无套利推导的基础上导出了一个偏微分方程， 求解这个偏微分方程得到欧式看涨期权公式为 6 分一 学 降 基于效用函数的敢式掰权定价和在中国应用 c 一产牲一8 ，”x 函! 学 关于具体的推导，本文在第二章将详细介绍。这里从略。 从此，期权定价理论的基本框架己经确定。 三、期权定价理论的进一步发展 继b l a c k s c h o l e s 之后，期权定价理论先后推广至美式期权，奇异期权的定价； 同时二叉树方法的引入，发展了期权定价的数值方法；最后发展了利率期权。 1 、美式期权定价理论 美式期权与欧式期权的差别在于期权执行时间不固定，可以自由选择，这给 定价带来了复杂性。 罗尔( 1 9 7 7 ) ，盖斯克( 1 9 7 9 ) 分别独立讨论了美式期权的解析式模型。 韦利( 1 9 8 1 ) 讨论了支付红利股票看涨期权定价模型。 1 9 8 7 年，巴罗西，阿德西和韦利用二次近似方法讨论了美式期权定价。 1 9 9 3 年，比贾桑德和斯腾斯兰德讨论了美式资产互换期权近似方法。 2 、奇异期权定价理论 奇异期权与般期权相比在于未定权益表达式更加复杂，这对求解带来了麻 烦。这领域建树颇多的是鲁宾斯坦。 1 9 8 5 年，雷纳，鲁宾斯坦讨论了缺口期权，现金或零收益期权。1 9 9 0 年， 鲁宾斯坦考虑了远期定价公式。1 9 9 1 年，鲁宾斯坦考虑了复合期权和任意期权 定价。同年，又与雷纳合作，鲁宾斯坦考虑了标准障碍期权。 差价期权是1 9 9 5 年柯克的工作。而伯明于1 9 9 6 年考虑了回望障碍期权。 3 、数值方法 数值方法是考虑方便地计算期权值，这对于没有解析表达式的期权定价尤为 重要。 1 9 7 9 年，考柯斯、罗斯等2 提出了用二叉树近似描述股价运动的方法，开创 了数值方法的先河。 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 1 9 8 6 年，波义耳提出了三叉树定价法。后来，波义耳又提出了隐式树模型。 二叉树方法由于其简单有效，尤其受实际工作者的推崇。 4 、利率期权 利率是市场中的一个核心变量，以它为标的物的期权形式有许多。故此，利 率期权被单独拿出来考虑。 1 9 8 6 年赫尔、怀特、托伊等提出了单因子期限结构模型。 1 9 8 7 年斯卡法和斯瓦茨讨论了债券期权。 1 9 9 3 年布拉特顿和伊本提出了凸性调整法。 1 9 9 7 年卡特森、桑德曼提出了闭仓式对数正态收益模型。 四、放宽假设条件 至今仍在讨论的研究问题是，不存在动态组合战略的情况下定价公式的有效 性。完全复制的现实性以及不完善的程度是问题的关键。连续交易只是理想条件， 因而在离散交易情况下，复制至多是逼进。考柯斯、罗斯和默顿( 1 9 7 6 ) 放宽连 续样本路径假设，采用阶跃和扩散过程分析期权定价，以捕捉标的资产返回过程 的非局部位移，排除了严格无套利推论。 对定价公式的基本框架进行了扩展和补充的重要学者有：默顿( 1 9 7 4 ，1 9 9 2 ) ， 布莱克( 1 9 7 5 ，1 9 7 6 ) ，考柯斯和罗斯( 1 9 7 6 ) ，迈克帕金森( 1 9 7 6 ) ，斯科尔 斯( 1 9 7 6 ) ，奥尔德里奇玮萨切克，道格拉斯布里顿和罗伯特痢茨伯格( 1 9 7 8 ) ， 威廉马格里布( 1 9 7 8 ) 等。 对基本定价模型的修正表明，即使放宽模型的假设条件，定价公式仍然有效。 索普( 1 9 7 3 ) 研究了卖空约束条件。里兰( 1 9 8 5 ) 考虑了交易成本。英格索尔和 斯科尔研究了不同的资本收益税率和红利税产生的影响。 五、本文的立题意义 在综述前人主要文献的基础上，我们引申出了本文的立题意义：继续前人的 工作。本文详细推导了偏微分方程方法、鞅方法和倒向随机微分方程方法，说明 了它们应用上的局限性。 本文旨在讨论基于效用函数的欧式期权定价、性质和在中国的若干应用。具 体内容见后几章。本文的主要工作是：在人们提出的效用函数u ( x ) ：1 - e - 4 口 础上，首次引入随机贴现，导出了新欧式期权定价公式及其性质。我们发现新的 g 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 定价可以与b l a c k s c h o l e s 公式统一起来，这意味我们给出了b l a c k - s c h o l s 公式 的第四种推导方式。我们还对b l a c k s c h o l e s 公式和我们的定价作了比较( 第四 部分) 。在应用中我们用新定价解释了封闭基金折价之谜。 第二章数学准备和b l a c k - s c h o l e s 公式的三种推导 一、引言 数学无疑对金融学的帮助很大。由于数学的介入，对于金融学的数量化和严 格化有了一个质的提高。许多以前只能用文字表述的金融学思想可以用数学模型 予以表达。用数学模型表述金融学思想的好处在于传播和解释时不会失真，这正 好弥补了文字这种表述形式的缺憾，因为文字在跨文化、跨语种传播中常常会被 曲解、误解。 正是借助于数学之功，许多经济学家获得了诺贝尔经济学奖。从统计上看， 获奖的成果中运用数学的占9 0 以上。像1 9 9 0 年得主m a r k o w i t z 当年在论文答 辩时，评委之的萨缪尔森就因为这个成果太数学化而差点投否决票。而如今， 数学化的观念日益渗透，人们已分不清一篇好的金融学论文与一篇数学论文有什 么区别。如今的华尔街更对数学背景的博士求贤若渴。 尽管数学极其有用，但其分支实在庞大。一个极有天赋的人穷其一生也无法 学完数学这一古老而富有生机学科的所有分支，更何况我们这些还要花时间去学 金融的凡夫俗子。因此一个闯题极其自然地摆在面前：在金融定价方面，有没有 一个“压缩版”的数学，只要对这个“压缩版”掌握并且灵活运用，就可以提供 一个必需的动力支持金融定价的研究? 这个问题的回答是肯定的。它们是随机分析的三大支柱：h 6 公式，c h l s o n o v 定理和f e y m n a n - k a c 公式。 二、随机分析的三大支柱3 n 6 公式、c _ i l i s o n o v 定理和f e y m a n - k a c 公式是随机分析的三大支柱。n 6 公 式是全微分求导法则在随机下的推广。c y h s o n o v 定理提供了鞅变换的法则。 f e y m n a n - - k a c 公式建立了一类偏微分方程解与随机微分方程解( 鞅) 之间的一 座桥梁。 1 、i t 8 公式随机情形的全微分求导法则4 在微积分中，有一个确定条件下的全微分求导法则： d f ( t ，x ) = f , d t + f , d x 它的数学意义是：一个函数地x ) 的全微分等于它的偏导数组合。 9 基于效甩函数的欧式期权定价和在中国应用 但如果x 是随机的，这个等式就要发生变化。我们以d x = a x d t + a x d w ( t ) 为例， a 是漂移系数，g 是扩散系数( 又称波动率) ，w ( t ) 是标准的一维b r o w n 运动。 此时，全微分求导法则为： a f ( t ，x ) = f t d t + f ；d x + i f ( d x ) 2 = f i 出+ f x d x + 三f 二盯2 x 2 出 需要注意的是：第二等式的推导我们用了b r o w n 运动的性质( d w ) 2 = d t ；同时 略去了比d t 更高阶的项。 i t 5 公式一个较为实用的证明是用t a y l o r 展开，限于篇幅，不予讨论。其实， 从t a y l o r 展开的观点看，原先确定性下求导法则所忽略的高阶项中在随机情形下 会产生一个低阶项，必须将这一低阶项找回。这就是我们所看到的圭k o - 2 x 2 d t a 以上是一维条件下的i t 6 公式，在实际运用中，我们需要知道多维情形下的 i t 6 公式是怎么样的。所幸多维情形的思想和形式类同于二维情形，下以二维为 例。只要掌握了二维，多维情形同理可推。设 f d x = a x d t + 盯l x d w l ( t ) a y = b x d t + o - 2 y d w 2 ( t ) 【e ( d w l d w ：) = 肿 其中a ，b 是漂移系数，01 、02 为波动率，w l ( t ) 和w 2 ( t ) 是标准的b r o w n 运动， 相关系数为p 。 其全微分求导法则为： d f ( t , x ，y ) = f , d t + f x d x + f y d y + 去( f x x l 】【2 + 2 0 d x d y + f d y 2 ) ：f t d t + f , a x + q a y + 三( f 二。，2 x d t + 2 p g x y a + f 0 2y 2 a t ) 注意到第二个等式中用到了e ( a w l d w 2 产pd t ，d w l 2 = d t ，d w 2 2 = d t ；并略去了高阶 项。 2 、g i l s o n o v 定理b r a w n 运动鞅变换法则5 每一个特定的b r o w n 运动其实是有一特定的概率测度相对应。例如：w ( t ) 是p 概率下的b r o w n 运动。现在我们关心：w ( t ) 的一个平移w ；( t ) = w ( t ) - j ：o ( s ) d s ， 它作为一个b r o w n 运动的对应概率测度q 是怎样的? c r i r s o n o v 定理回答了这一 1 0 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 问题。记 则新概率测度o 为 z ( w 】t ) 2 e x 小d w ( s ) 一扣职s ) d s ) q ( a ) = e 【i a z ( w ，0 】 = ，a z ( w ，t ) p ( d w ) 其中a 表示事件。有时，t k 把z ( w ，t ) 记成等， r a d o n n i k o d y m 导数。 特别的，当e ( s ) = 生兰时， 器叫w 加叫一等毛譬t ) 其中w ( t ) n ( o ，f ) 。这对b s 公式推导很重要。 注意到此时e z ( w ，t ) 】= 1 ，所以z ( w t ) 是鞅( 指数鞅) ，这就是鞅变换法则的 由来。 3 、f e y n m a a - k a c 公式一类扩散型偏微分方程与鞅之间的桥粱6 设美是随机微分方程戢= 冉，；渊) d s + 丘找) d 最的解，c ( x ) ，c o - o o ， ( 粕( x ) ) i 孵d = z ( x ) ( x ) 7 。 那么满足终值条件u ( t ，x ) = f ( x ) 的偏微分方程 鲁+ 圭扣硝鑫+ 轨c x 忡。 在o t t 上的解为 u ( t ，x ) ：e ( je bc 最灿g ( s ，袅1 e j ) + e - 口c 最m f 碟) i 最，s t ) f c y n m a n - k a c 公式把一个线性偏微分方程终值问题的解，表达为一个随机微 分方程的解的函数的条件期望。这个公式在期权的定价中起重要作用。 让我们看一个简单的一维情形。设s ( t ) = s ( o ) + 只rs ( s ) d s + 丘os ( s ) d w ( s ) 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 满足终值条件u ( t ，s ( t ) ) = f ( s c r ) ) 的偏微分方程 在o t t 的解为 窑甲12 s 2 筹+ r s 塞一r u = 。 u ( t ，x ) = e ( e 1 。f ( s ( t ) ) 1w ( t ) ) 注意到此时s ( t ) 中的漂移系数是r ，而不是u 。 证明( 一维下的f e y m n a n - k a c 公式) ： 由于a v = 虮u t ) - 罟m 嗉a u + 三睾( 酊 = x r + 三睾以2 m 亲x 嘲2 嘧+ 瓦玎+ i 爵旷r ) 出+ 夏x 咖 ：娑x o d w + r - v d t ( 代入方程) 魄 所以， e - , t t ( t ，u o ：v ( t ，u ；) + p e o - t ) 掣x ，幽。 d x 注意到：v ( t ，u t ) = f ( u t ) 两边求期望得 e r e - “m l r ) j u ：= x 】= v 心x ) + 0 证毕。 注意：最后求期望时，需要用到技术条件： fj e i 强娑j 2d s o 时；财富x 增长，效用u ( x ) l g 增长；但增长得越来越慢。绝大多数 2 1 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 人属于这种情形，称为风险回避的理性决策者。当a = 0 时：财富增长，效用增长 但增长得速度不变，这称为风险中性决策者。 我们将在后面看到，这个效用函数的好处在于避免了财富初值的讨论。 人们总是追求自身效用的最大化( 亚当- 斯密理性人的自私性) 。这是经济 学中最原始最根本的假设前提。这个原理可引出选择原理；当市场出现多个选择， 人们在自愿平等的情形下总是作对自身效用大的选择。注：这里必须是自愿平等 的前提。 如果是随机情形，人们作对自身期望效用大的选择；如果是未来才能实现的 情形，要增加个随机贴现过程。本文仅对欧式未定权益( 实现时间是确定的) 作讨论。 三、定价机制 让我们从最微观的层次出发。不妨设市场有一个卖者( s e l l o r ) ，他具有( 2 2 ) 形式的效用函数，系数为a 。在t = 0 时刻，他拥有。元和欧式未定权益x t ( 在 t 实现) 。例如当这个未定权益是欧式看涨期权时，x t = ( s ( d - 】+ ，其中s ( t ) 是基 础资产( 股票) 在t 时的价格，k 是敲定价格。在0 时刻，这个卖者可以有两个 选择：维持原状，这时他的状态为拥有u 。元和未定权益x t ；以p 元卖掉未定权 益x t ，这时的状态仅拥有m 。+ p 元。如果他选择后者，则意昧着在t = 0 时刻，后 一种选择对他带来的效用大于或等于前一种选择对他带来的效用，即 u ( ( ) 。+ p ) e 【u ( 。+ x t n t ) 】 ( 2 3 ) 这是选择原理的表达式。其中n t 是随机贴现因子，表达式是由( 2 1 ) 决定， n 剐( t ) 。未定权益x t 随机贴现到0 时刻的原因是决策是在0 时刻作出的。代 入u ( x ) 的表达式得 p l 1 n e 【8 屿坼】 一a 特别的，当a - - 0 时，上式退化成p 目蜀r 】。 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 相当于给卖者出价提供了个下界。注意。并没有在( 2 4 ) 中出现。 同样的分析考虑一个买者( b u y e r ) ，他具有( 2 2 ) 形式的效用函数，系数为 b 。面临选择为：维持原状态或购买。运用选择原理 e 【u ( 。- p + x t n t ) 】u ( o ) 其中n t 同前。代入效用函数得 ( 2 5 ) 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 尸粤1 n e 8 岫* 】 一o ( 2 6 ) 当b = o 时，上式退化成p e a x 】 上 。箬赢 一 上瓜 = e 中 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 代入x 2 x 1 套h ，稍加计算得 q = 三1 n 研e 硒* 】e x t n t 同理证p e 【x 1 小h 】证毕。 定理2 的证明中主要用到了j e n s e y 不等式，所以称之为j e n s e y 性。从不等式 可以看出，我们的定价p 、q 围绕着价值e x t n t 在上下运动。在经济学中的价值 定理是这样表述的：价格是有价值决定的，但价格围绕着价值上下波动。这个定 理给出了极佳的解释。在以后，如果市场供大于求，价格低于价值，就用p 定价： 反之，供小于求，价格高于价值，则用q 定价。 定理3 ( 有界性) i n 矗 一一 s u p q e e “】 ：e 1 1 - - o x + a + 丝娑+ a 】 ：1 一a e 工】+ a + 二掌e 一) + a 幻嚣弘硅l 制收敛定理) = 1 一a e x 】+ o ( a ) l n ( 1 一a e x 】+ o ( a ) ) = - a e x 】+ o ( a ) 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 关于a 取极限，并代入x = x r n t 得 l i m p = 目玛坼】 口冲+ 对q 同理可证。 定理4 渐进性质考察了当a 趋向于0 的情形。从等式可以看出；当a = 0 时，p 与q 就等于e x t n t 。再结合定理1 的正则性。我们发现b l a c k - s c h o l e s 公式其实 是我们定价模型的一个特例( a o 情形) 。这意味这我们给出了b l a c k - s c h o l s 公式 的第四种推导方式。 定理5 ( 平价关系成立的充分必要条件) 名“+ 足i 一”= 0 。+ s 甘口= 0 证明：”仁”易 ”j - - 以p ：l l n 日8 一嘶崎】为例 一a 平价关系成立，即 一三l n 可8 一n 【s ( r 卜e 1 竹卜上l n 研8 一( ( r ) r * 】：s k e - * aa 注意到左式应与a ，u 无关。反证法：a 0 当s - k e 盯为零时，左边得 e e 一4 忙( t ) - k r 坼】= 研g - a k - s ( r ) r n r 】 令p - - - - t ，左边积分收敛毒存在m 0 ，有 。( 1 ) + e 8 一陋，善_ p c r , ：t 诱1 i e 善印= e 一7 等m r 了茜p 蔷方 当。一+ 一，左端趋于l ，右端趋于j ：e w 了刍g 芬砂。两边关于a 求导， 左边恒为0 ；而右边不恒为0 ，矛盾 当s - k e r t 不为零时， 令k ，s 同步一+ 一，左式一o ，矛盾 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 若对q ：1 1 n 研g 邪吲+ 】相同思路可证。 a 定理5 回答了平价关系成立的充分必要条件；给出了一个a = o 的深亥0 刻画。 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 第四章比较静态分析：两个数值例子 比较静态分析是经济学中的术语，相当于工程中的灵敏度分析。它表示当其 它变量固定，而只考虑其中一个变量改变时，对我们关心的函数值的影响，如果 仅考虑微小变化，就是一阶微分。在数学上其实就是偏导数。例如，f ( x ，x 2 ) 是我们所关心的函数，固定x 2 ，任x l 改变，我们希望看f ( x l ，x 2 ) 变动情况， 即望竖：圣! 的情况。在经济学中，尤其关心曼兰堡：墨! 的正负号，因为这意 础lc w l 味着正效应或负效应。 从定价机制中，我们推导出了公式p = 土- a 加e k 一嘶r 】和q 。! a 抽e k 嘶r 】。 以p 为例，我们不妨将它看成是a 、o - 、u 、r 、s 、k 、t 的函数，即p = p ( a 、仃、 、r 、s 、k 、t ) 。比较静态分析即分析掣。 d 我们发现，尽管可以写出篓垃的表达式，但很难直接判断其正负号( 个别 d 除外) 。因此，我们用了一种折中的办法：通过数值例子模拟的办法近似代替分 析。 一、p 的比较静态分析 对p = p ( a ，盯，x ，s ，k ，t ) 而言，我们以a = 5 ，r = 0 0 2 ，= o 0 6 ， 盯= 0 5 ，t = 0 2 5 ，s = i o ，k = i o 为基点，仅考虑一个元素变化时p 的变化关系。 在图中，我们同时与b l a c k - s c h o l e s 定价的结果对比。 表一：p ( b s ) 关于a 的比较静态分析 i a i 543 210 ，1o 0 1o 0 0 l lpl 0 1 1 6 90 1 4 2 80 1 8 3 30 2 5 5 2 0 4 1 6 10 8 9 7 91 0 0 5 51 0 1 7 3 lb s 1 0 1 7 4 1 0 1 7 41 0 1 7 41 0 1 7 4 1 0 1 7 41 0 1 7 41 0 1 7 41 0 1 7 4 图4 - 1p ( b s ) 关于a 的比较静态分析 从图我们发现，b - s 定价与a 无 关，因为它根本不含a ；p 与a 成单调 下降的趋势；在a = 0 处，两者定价相同。 这启发我们罢 l 不大可能，因为历史 上还没有出现过哪个国家发展地如此 迅速。一般o r 0 3 。 从表四中可看出，当r 从0 变到o 】 时，p 根本没变。这说明定价与利率相 关度不大，不敏感。这似乎与常理相悖， 因为在美国的成熟市场上，r 变化一点 对市场变化很大。 图4 - 5 p ( b s ) 关于r 的比较静态分析 我们的解释是，图是解释p 与r 的静态关系。实际现实中，r 一变，会引发 基础价格s 的变化。即s 会变，会变，o - 会变。这样p 会有至少四个因素影 基于效用函致的欧式期权定价和在中国应用 响，即罢、罢、罢、罢。四个因素的叠加会使p 变化很大，但等本身影 c j r 0 b d h d o 。 0 r 响很少。 表五：p ( b s ) 关于s 的比较静态分析 s88 58 899 29 ，59 8 p0 0 3 2 50 0 4 8 00 0 5 9 2 0 0 6 7 30 0 6 7 10 0 9 0 30 ，1 0 5 9 b s0 2 3 4 40 3 6 7 60 4 6 7 l0 5 4 2 00 6 2 3 60 7 5 8 80 9 0 9 l s1 01 0 31 0 6l i1 21 3 p0 1 1 6 90 1 3 4 60 1 5 3 4o 1 8 0 20 2 5 5 20 3 4 0 l b s1 0 1 7 41 1 9 1 71 3 7 9 41 6 4 9 22 4 0 7 03 2 5 6 0 图4 - 6 p ( b s ) 关于s 的比较静态分析 图表明善 o 时，但斜率较b s , j 、- 表六：p ( b s ) 关于k 的比较静态分析 k1 021 088 599 5 p1 7 3 9 6 78 2 2 3 37 0 5 2 95 8 7 6 7 0 2 9 1 30 2 3 3 4o 1 8 6 30 1 4 8 0 b s溢出溢出溢出9 9 0 0 5 * 2 2 5 7 71 8 8 6 41 5 5 5 11 2 6 5 5 k9 81 01 0 21 0 5 1 l p0 1 2 8 6o 1 1 6 90 1 0 6 30 0 9 2 00 0 7 1 9 b - s1 1 1 1 81 0 1 7 40 9 2 9 4 0 8 0 8 70 6 3 6 0 基于效用函数的欧式期权定价和在中国应用 图4 7p ( b s ) 关于k 的比较静态分析 注意9 9 0 0 5 * 是用k - - o 1 代替。图表明芸旭 表七：p ( b s ) 关于t 的比较静态分析 t0 0 1o 0 20 0 3o 0 8o 2o 2 5o 2 8 p0 0 8 7 80 0 9 8 40 1 0 3 7o 1 1 2 7o 1 1 6 6o 1 1 6 9o 1 1 6 9 b s0 2 0 0 40 2 8 4 00 3 4 8 30 5 7 1 30 9 0 8 51 0 1 7 41 0 7 7 6 t0 3o 3 2o 3 50 40 s0 7 51 po 1 1 7 00 1 1 7 0o 1 1 6 90 1 1 6 8o 1 1 6 3o 1 1 4 90 1 1 3 2 b s1 1 1 6 11 1 5 3 21 2 0 6 91 ，2 9 1 61 4 4 6 51 7 7 6 82 0 5 5 1 t31 03 0 p0 ，1 3 3 20 0 8 1 40 0 5 2 9 b s3 ，5 5 0 96 1 3 0 48 7 5 2 9 图4 - 8p ( b s ) 关于t 的比较静态分析图4 - 9 p 关于t 的比较静态分析 二图表明：当t 不断变化时，p 先高后低。这与b - s 定价中与t 单调上升的 观念相悖。 这同时也启发我们美式定价的思路：等= 。时的p 的最大值即美式期权的定 3 3 基