（应用数学专业论文）线性奇异系统的几类综合问题.pdf

线性奇异系统的几类综合问题 张竹青 摘要随着现代控制理论的研究日趋深入，以及它向其他学科如航空，航天， 能源，网络，电力，石油，化工和通讯等应用领域的渗透，人们发现了类更具广 泛形式的动力系统，这就是奇异系统奇异系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形 成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支，它的模型存在于社会生产的 诸多领域因此，对奇异系统理论的研究具有深远的实际意义 奇异系统与常规系统相互对应，既存在内在的联系又有本质的区别但是到目 前为止，奇异系统的研究思路大多是参照已有的常规系统理论向奇异系统推广和 移植，其研究方法主要是状态空间方法，频率域方法和几何方法本文用状态空 阀方法研究了奇异系统的极点配置问题；用频率域方法研究了奇异系统传递硝数 在虚轴二次型意义上的比较理论：用几何方法研究了奇异系统的干扰解耦问题 本文得到的主要结论有： f 1 )联合微分和比例输出反馈对奇异系统的极点配置通过对奇异系统的系数矩 阵作一种特殊的正交变换，给出了联合微分和比例输出反馈使变换后的奇异 系统正则、无脉冲模且可极点配鼍的条件，并进一步研究了联合输出和状态反 馈极点配置即证明了存在微分和比例输出反馈( g ，f ) 使奇异系统正则，无脉 冲模且可对n 1 个极点配置的充要条件是( i ) e 3 3 = 0 ，e 5 5 = 0 ，a 3 3 和a 5 5 非奇 异；( i i ) r a n k 。= n 2 + r a n k m ；( i i i ) m + p 一1 n 1 得到了在条件( i ) ( i i ) 成立 时，存在联合输出和状态反馈可对奇异系统”1 + n 2 + n 4 个极点进行配置 ( 2 )奇异系统的传递函数在虚轴二次型意义上的比较理论推广了常规系统的有 界实引理，即根据常规系统的传递函数二次型意义上的比较理论，给出了奇异 系统的传递函数在虚轴上的比较理论，并由其推出了奇异系统的有界实引理 所得的主要结论有：设系统( e ，a ，b ，e ，d ) 在c 0 上无极点，且r 0 ，c o 表 0 ，8 c o ( i i i ) 8 c 时，方程乃( s ) = t 3 ( s ) 口( s ) t 2 ( s ) 有一有理函数解印( s ) ，使得当 8 c o 时，i i q ( s ) i i 0 ，则下列命题等价： ( i ) 霉( s ) t 2 ( s ) 矸( 8 ) n ( s ) ，8 c o ( i i ) d e t ( 鼠。( s ) ) = 0 在虚轴无根 ( i i i ) 8 c 时，方程墨( s ) = q ( s ) 乃( s ) 有一有理函数解q ( s ) ，使得当8 c o 时， i q ( s ) l l 0 f o ra l l8 c o ( i i ) t h ee q u a t i o nd e t ( 日( s ) ) = 0h a sn ov a l u e so nc o ( i i i ) t h ee q u a t i o n 置( s ) 一t 3 ( 3 ) q ( s ) 乃( s ) f o ra l ls c ，h a sar a t i o n a ls o l o - t i o nqs u c ht h a ti i q c s ) l i 0 ，t h e n t h e f o l l o w - i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) 巧( s ) 孔( s ) 日( s 珥( s ) ，8 c o ( i i ) t h ee q u a t i o nd e t ( k ( s ) ) = 0h a sn ov a l u e so nc o ( i i i ) t h ee q u a t i o n 正( s ) = 0 ( s ) t 2 ( s ) f o ra l ls c ，h a sar a t i o n a ls o l u t i o nq s u c ht h a ti i q ( 8 ) 0 lf o ra l ls c o ，f u r t h e r m o r er a n k t 2 ( s ) im 2f o ra j l s c o ； t h e nt h eb o u n d e dr e a ll e m m ai ns i n g u l a rs y s t e m si so b t a i n e d ：l e t ( e ，a ，b ，c ) b es t a b l e ，a n de ，a ，b ，ca r ec o m p l e xm a t r i xa n dc o n s i d e rt h et r a n s f e rm a t r i x g ( s ) ：= c ( s e a ) 一1 丑，t h e n | | g i | 。 1h o l d si fa n do n l yi ft h ed e t e r m i n a t i o n i s e + a 啻亩+i i o + os 啻+ 一a + 1 = o h a sn ov a l u e si nt h ei m a g i n a r ya x i s ( 3 ) g e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o ni ns i n g u l a rs y s t e m w es t u d i e st h ep r o b l e mo fa c h i e v i n gt h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o ni nal i n e a rt i m e i n v a r i a n ts i n g u l a rs y s t e r n s ： 篡三二$ + b u + s d ，z ( 。) = z 。 l e tx 0i naa l p i n es u b s p a c eo f 矸+ 露i f ： ( 口) 口n k e r e = o ； ( b ) d i m ( e t ；n i m b ) d i m u 咒：a u i m b ( 1 ) t h e nt h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o np r o b l e mf o rs i n g u l a rs y s t e m s ( 1 ) i ss o l v a b l ev i a s t a t ef e e d b a c ki fa n do n l yi fi r e s + i m b k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ；p o l ep l a c e m e n tb yo u t p u tf e e d b a c k ；t h eb o u n d e d r e a ll e m m a ；d i s t u r b a n c er e j e c t i o n i v 学位论文独创性声明 y7 2 8 5 9 5 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书面使用过的材料对本文的研究做出重娶贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名；i 签生生盘 日期： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：丕丛生盔 系统控制理论和实践被认为是2 0 世纪对人类生产活动和社会生活产生重大 影响的科学领域之一，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和成熟的分 支随着现代控制理论的研究日趋深入，以及它向其他学科如航空，航天，能源， 网络，电力，石油，化工和通讯等应用领域的渗透，人们发现了一类更具广泛形式 的动力系统，这就是线性奇异系统( 又称广义系统，微分代数系统。广义状态空 间系统) 奇异系统理论是h h r o s e n b r a c k 在讨论复杂的电网络系统中首先提出 的，并于2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立 分支 奇异系统与常规系统相互对应，既存在内在的联系又有本质的区别奇异系统 与常规系统的联系在于：若奇异系统模型中状态的导数项的系数矩阵为非奇异矩 阵，则奇异系统成为常规系统考虑线性时不变的情形，奇异系统与常规系统的区 别主要体现在阻下几个方面( 1 ) 奇异系统的状态响应中不仅禽有常规系统所具有 的指数解，而且含有常规系统的状态响应中所不出现的脉冲解和静态解，咀及输 入的导数项( 2 ) 常规系统的动态阶等于系统的维数，而奇异系统的动态阶仅仅为 状态的导数项的系数矩阵的秩f 3 ) 常规系统的传递函数为真有理分式矩阵。而奇 异系统的传递函数通常还含有多项式部分( 4 ) 常规系统的齐次初值问题的解存在 且唯一，但对于奇异系统，齐次初值问题可能是不相容的f 5 ) 奇异系统具有动态 特性和静态特性，而常规系统没有静态特性( 6 ) 奇异系统的极点除了有穷极点外 还有常规系统所不具有的无穷极点( 7 ) 在系统的结构参数扰动下，奇异系统通常 不再具有结构稳定性 但是到目前为止，奇异系统的研究思路大多是参照已有的常规系统理论向奇 异系统推广和移植，其研究方法主要是状态空间方法，频率域方法和几何方法本 文用状态空间方法研究了奇异系统的极点配置问题；用频率域方法研究了奇异系 统的传递函数在虚轴二次型意义上的比较理论；用几何方法研究了奇异系统的干 扰解耦问题 文献【1 ，2 1 研究了通过输出反馈使奇异系统正则，文献【3 ，4 】给出了通过输出 反馈使奇异系统正则，无脉冲模的条件对完全能控，能观的常规系统，输出反馈 能对全部极点配置的条件为输入输出维数之和大于状态维数与1 的和，因此可以 考虑输出反馈使奇异系统满足正则性条件消除脉冲模，且可同时对极点配置，本 文通过对奇异系统的系数矩阵作正交变换，给出了由微分和比例输出反馈使奇异 系统正则、无脉冲模且可极点配置的条件，并进一步研究了联合输出和状念反馈 极点配置有界实引理不仅在线性系统理论中是一个经典的结果，而且还足许多 控制理论结论的重要引理，尤其是在巩。控制理论的研究中，有着重要的理论意 义有关 k 控制详见文献【量- 2 0 有界实引理被文献【2 1 ，2 2 】推广为常规系统的 传递函数在虚轴二次型意义的比较理论，在此基础上，本文给出了奇异系统的传 递函数在虚轴二次型意义的比较理论，并从此结论推出了奇异系统的有界实引理 现实的系统中干扰输入是常常存在的，干扰解耦问题即通过反馈控制使输出不受 干扰的影响用状态空间法研究奇异系统的干扰解耦已经得到较好的结论，但在 状态空闰法中有大量繁杂的矩阵推演计算文献f 2 3 1 中用几何方法对常规系统的 干扰解耦问题做了详细的论述，基于文献【2 3 】的思想，本文首先介绍了( e ，a ，b ) 不变子空间的概念，然后从儿何理论的角度研究了奇异系统干扰解耦问题 本文的结构安排如下： 第一章，线性奇异系统的输出反馈极点配置首先给出了奇异系统正则，无脉 冲模，稳定的定义，然后介绍了常规线性系统输出反馈和状态反馈极点配置的结 论，最后给出采用联合微分比例输出反馈和状态反馈对奇异系统有穷极点配置的 结论 第二章连续时间奇异系统的有界实引理首先介绍了常规系统有界实引理 及传递函数在二次型意义下的比较，然后将此结论推广，给出了奇异系统传递函 数在二次型意义下的比较，最后给出了奇异系统的有界实引理 第三章，线性奇异系统的干扰鳃韫首先介绍了( a ，b ) 不变子空间的概念及 常规系统干扰解耦问题的充要条件，然后引入了，a ，b ) 不变子空间，最后给出 了奇异系统干扰解耦问题的几何刻划 2 第一章线性奇异系统的输出反馈极点配置 1 0 引言 奇异系统的极点配置问题，即以受控奇异系统为对象，以一组期望的闭环系 统特征值作为性能指标的反馈控制问题奇异系统的有穷极点完全决定了奇异系 统的渐近稳定性，同时也决定着奇异系统运动的快慢，所以有穷极点的配置是十 分必要的本章主要讨论奇异系统的有穷极点配置问题 1 1 预备知识 考虑线性时不变奇异系统： ( 1 1 1 ) l y = g z 、 其中e ，a 舻x n 为系统矩阵，b r n x m 为输入矩阵，c r p “为输出矩 阵，x ( t ) r n ，u ( ) 舻，( t ) r p 分别为系统的状态，可控输入和可测输出- 假 设e 是奇异的，其秩满足0 r a n k e n 系统( 1 1 1 ) 常记为旧，a ，b ，e ) 定义【2 4 】 1 奇异系统( 1 1 1 ) 是正则的，如果存在s c ，使d e t ( s e a ) 0 2 奇异系统( 1 1 1 ) 是无脉冲模的，如果系统( 1 1 1 ) 是正则的，而且d e g ( d e t ( s e a ) ) = r a n k e 3 奇异系统( 1 1 1 ) 是稳定的，如果它是正则的，且所有的有限极点包含在复平 面的左半平砸中， 对正则矩阵对( e ，a ) ，存在非奇异矩阵x ，y r n x n 2 4 】，使： x e y = j o o x a y = j0 0j 其中j 是一若当形矩阵，其对角元为矩阵柬的有限特征值，n 足一幂零阵，我 们将定义矩阵束( e ，a ) 的指标为幂零阵n 的幂零指数，即满足n ”1 0 ，”= 0 的整数”：若e 非奇异，则我们定义( e ，a ) 的指标为0 3 下面给出一些引理 引理如果e 、a 舻“，b 时“，g 孵“，则存在正交矩阵q ，p r n ，使得： q e p = 0 a p = e l l 00 e 1 4e 1 5 e 2 1e 2 2 0 e 2 4 e 2 5 e 3 1 e 3 2e 3 3 如e 3 5 000e e 4 5 000 0 b 5 a 1 l 00 a 1 4a 1 5 a 2 la 2 2 0 a 2 4a 2 5 a 3 1a 3 2a 3 3a 3 4a 3 5 000 a “a 4 5 0000 a 5 5 q b = 一h 。凸。口。 ， 其中，a 玎e 舯t 。，区1 r “- 。”，c u p 。n j ，i ，j = 1 ，一，5 ，e 2 2 和非奇 异，磁，e 5 5 ，4 品，a 5 5 是上三角阵，且e 3 3 ，a 5 5 的对角元都为0 ，此外对v ( o ，卢) c 2 7 。 a e 五一卢a 矗g 矗】 c ，。z ， ia 碍一卢锥碍i ( 1 1 - 2 ) 4 且 岛 岛 o o 是行满秩的 r a n k a 蜀1 一p a l l 0 q 易1 一z a 2 1n j 2 一卢a 2 2 o o b l l b 2 1 a e 1 一? a 3 1o j 2 一, g a a 2d 岛3 一，a 3b 3 l 在引理( 1 1 1 ) 的条件下，进一步可得以下命题 命题1 1 1 七 髓， t r a n k e 1 1 00 b n 岛1e 2 2 0 b ：i 毋1e 3 2e a 3b 1 蜀1 q 1 = n l + n 2 + n 3 ( 1 1 3 ) = n l + 佗2 + n 3 引理i q如果e ，a r “”，b r “。”，c r p “，r 是一给定的整数，存在反 馈矩阵f g r ”。p ，使矩阵束( e - i - b c c ，a + b f c ) 是正则的，指标至多为1 ， 且r a n k ( e + b g c ) = r 的充要条件是下列条件成立 r a n k e 3 3 = 0 ，岛5 = 0 ，a 3 3 和a 5 非奇异，( 11 4 ) r n 佗七 e 口 + r n n 七 e a e g n 2 + r a n k r a n k 5 最1 肠4e 1 5 0 墨4 毋5 g 1 la 4g 1 5 eb co ( 1 1 5 ) r s l 2 1 + n 2 + n 4 ( 1 1 6 ) 注1 ：矩阵束指标至多为1 ，即矩阵束所对应的奇异系统无脉冲模。其成立的 充要条件是r a n k ( e + b g c ) = d e g ( d e t d 、( e 十b g c ) 一( a + b f c ) ) 考虑线性时不变的连续时间系统： 主( t ) = a z ( 。) + 口t ( ) ( 1 1 7 ) ( t ) = c x ( t ) + d u ( t ) 其中：x 为n 维状态，u 维p 维输入，y 为口维输出，称n n 阵a 为系统矩 阵，n p 阵b 为输入矩阵，q xn 阵c 为输出矩阵，口p 阵d 为传输矩阵，为 了表达上的简单起见，系统( 1 ，1 7 ) 常记为( a ，b ，c ，d ) 定义【2 5 1 ( i ) 考虑系统( 1 1 7 ) ，若r a n k s i a ，b 】= n ，v s c ，则此系统是能控的， ( i i ) 考虑系统( 1 1 7 ) ， r a n k 。，三a = n ，v s c ，则此系统是能观测的 引理1 2 5 1对常规系统： f 奎：血+ 孰 ( 1 1 8 ) l 口一 采用输出反馈对m i n ( n o ，m o + p o 1 ) 个极点配置的充要条件是系统( 1 ，1 8 ) 完全 可控，可观测其中a r n o x f l 0 ，台p 。x f r l 0 ，0 印x m 引理删若系统( 1 , 1 8 ) 完全能控，则可采用状态反馈配置全部极点， 不失一般性，定理证明中的系统系数矩阵e ，a ，b ，c 均取为引理( 1 1 1 ) 正交 变换后的形式 1 2 线性奇异系统的极点配置 若系统指标大于1 ，则在状态响应中，必然会出现输出的导数项，这就需要 有较好的光滑性，否则在状态响应中会出现脉冲项为了保证每个光滑的输入都 能得到较好的状态响应，有必要给出系统正则且无脉冲模的条件，同时对一正则 的系统，常常希望系统有较稳定的解而奇异系统的有穷极点完全决定了奇异系 统的渐近稳定性下面通过微分比例输出反馈来配置奇异系统的有穷极点 定理1 2 1对奇异系统f 1 1 1 ) ，存在微分比例输出反馈u = f y c y + ， 6 使闭环系统正则，无脉冲模，且可对n 1 个极点配置的充要条件是( 1 ，1 4 ) ( 1 1 5 ) 及 m + p 一1 2 1( 1 2 1 ) 成立 证明充分性： 由引理( 1 1 2 ) ，在条件( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 成立的情况下，取r = n 1 + 他+ n 4 ，则 必存在( g ，n ) ，使闭环系统正则，无脉冲模且r a n k ( e + b g c ) = 礼1 + n 2 + n 4 = r a n k ( e 1 l + b n g c , 1 ) + r a n k e 2 2 + r a n k e 4 4 ，故r a n k ( e n + b n g c n ) = n 1 下面我们来看一下闭环系统的极点情况 a e t c ( e + b g e ) 一( a + b f l c 孔= d e t ( f + b i l g c n ) 一( i l + 日n n c n ) do a ( e * 4 + 丑1 1 g c i , l ) 一( l + 日i l n c 4 ) ( e 1 6 + 口g o l 5 ) 一( 1 5 + b c 1 5 c 胁i + 日2 l g c n ) 一( ，i + 舶l f l o l i ) 马2 一 j 0 ( p 2 + d 4 1 g c ) 一i j + 日2 l g 1 ja ( e j 5 + 勘i g c * 5 ) 一( 2 5 + b ，ln c l 5 m e a t + 口3 1 g c n ) 一( 3 l4 - 旦5 1 n a u ) a e 3 2 一 3 2 轴一 3a ( e s 4 + b 3 1 g c l 4 ) 一 3 + 口孙，l c l 4 a ( e a 54 - 舶1 g c l 5 ) 一( 5 5 十b 3 1 n c l 5 一d e t a ( e n + b n g c n ) - ( a n + b n f l c n ) d e t ( a e 2 2 - a 2 2 ) d e t ( a e a a a 3 3 ) d e t ( a e a 4 一 a 4 4 ) d e t ( a e s 5 一a 5 5 ) = d e t d ( e l l + b n g c l l ) 一( a n + b n f , c n ) 】d e t ( a e j 2 一a 2 2 ) d e t ( 一a a a ) d e t ( a e 4 4 - a 4 a ) d e t ( 一a 5 5 ) 考虑下列系统 ( e n + b i i g c n ) = ( a l l + b 1 1f l q l ) 计脚 ( 1 删 2 c i i x 由晶l + b l i g c , l 非奇异，则系统( 1 2 2 ) 为一常规线性系统可写为 士= ( e n + b r i g q l ) 一1 ( a l l - b n f l c n ) z + ( e 1 i + b 1 l g 时1 即( 1 删 y = 岛1 0 r n 础( a i - p ( 最l + 局1 g a l ) 一1 ( a n + b nf l a 】) 7 轧“ 一 一乳 一 0 坫o o 0 0 o o 1j 日 广q g日+ l蜀 ，【 = r a n k = r a n k o ( e l l + b i i g c l l ) a e l l 一3 a nb 1 1 3 ( a l l + b nf l c l l ) 卜 ( a 一卢( e l l + b i i g c l l ) 一1 ( a 1 14 - b l lf 1 c 1 1 ) g 1 1 d ( e n + b l i g c n ) 一3 ( a l l + b l l f l c l l ) o e l l d a l l g 1 = n 1 故系统( 1 2 西是能控能观咐由引理( 1 1 3 ) ，当条件( 1 2 1 ) 满足时，存在输出反 馈阵f 2 使系统( 1 2 3 ) 可配置n - 个极点选f = f l + f 2 ，则系统 ( e l l + b n g c x l ) ， ( 钆+ 日n f , c 1 i ) j 可配置n ，个极点即系统( 1 1 1 ) 采用反馈( g ，f ) 可配置竹1 个极点 充分性得证 将以上证明过程逆推可以得到必要性的证明 具体到( g ，f ) 的算法，可参考文献 1 ，2 ，4 中的步骤 由定理f 1 2 1 ) 易得以下推论 推论1 2 1对单输入单输出奇异系统，在定理( 1 2 1 ) 成立的条件下，微分 比例联合输出反馈至多可配置1 个极点 推论1 2 2在定理( 1 2 1 ) 条件成立的情况下，若 口( e 2 2 ，a 2 2 ) cc 一，盯( 乳，a 4 4 ) cc 一 则存在微分比例联合输出反馈使奇异系统( 1 1 1 ) 稳定 从以上结果可以看出，输出反馈极点配置需较强的条件，并且可配置的极点 个数也较少，下面讨论联合输出和状态极点配黄的情况 定理1 2 2对奇异系统( 1 1 1 ) ，在条件( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 成立的情况下，可以采 用联合状态反馈和微分比例输出反馈使闭环系统正则，无脉冲模，且使其极点集 为给定的对称集a ，其中a 中有n l + n 2 + n 4 个元素 8 证明 由引理( 11 2 ) ，在条件( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 成立的情况下，存在微分比例联 合输出反馈( g ，f 1 ) ，使矩阵束( e + b g c ，a + b 只g ) 正则，无脉冲模且r a n k ( e + b g c ) = 扎l + 礼2 + 7 1 4 其中： e + b g c = a + b f l c = e 1 l + b 1 l g c l l 00e 1 4 + b 1 1 g a 4e 1 5 + b n g c l 5 玩l + 岛1 g c l le 2 2 0 e 2 4 + 岛l g g 4 易5 + 岛l g g 5 髓l + 岛1 g a l 如2 岛3 岛4 + 岛1 g q 4e 3 5 + 岛1 g c l 5 0 0 00 0o 乩 0 e 4 5 e 5 5 a 1 1 + b 1 lf l a l ooa 1 4 + b nf 1 c 1 4a 1 5 + b nf 1 g 1 5 4 2 l + 岛lf l a la 2 2 0a 2 4 + 岛lf 1 c a 4 如5 + 口2 lf 1 a 5 a 3 l + 玩lf 1 0 1a 3 2a 3 3a 3 4 + b 3 lf 1 a 4 凡5 + b 3 1 f 1 a 5 0 0 存在非奇异矩阵q ，p r “使： p ( e + b g c ) q = 00 0o 也4 o e 1 1 十口1 1 g q l 000 0 9 如2 000 0 e 4 4 00 000 0 0oo 0 a 4 5 a 5 5 p ( a + b f l c ) q = 考察系统 p b = b 1 l 一 岛1 0 岛l 0 e l l + 口l l g c l l 00 0 o 舾岛。 l j 岛2 0 0 e 4 4 o a 。1 圣， j r 其中；旷z ：l 氟 i 岔2 l a l l + b 1 1f 1 e 1 1 0 a 1 4 00 a 2 1 0 0 0 a 2 2a 2 4 00 0 a 4 4 00 00 a 3 3 0 000 a 5 5 c q ：岛。oq 。o 搿l = a 1 l + b 1 1f l g l 0a 1 4 a 2 l 0 士1 1 匪”i + “2 + “，童2 碾一3 + “5 r a n k p ( e + b g c ) q r a n k ( e + b g c ) a 2 2a 2 4 0 a 4 4 童l + b 1 1 一 b 2 l 0 ( 1 2 4 ) = r a n k 尻1 + b g c i l 00 0 o e 2 2 0 0 如 故系统( 1 2 4 ) 为一常规线性系统且对任意的 c ， r a n k = n l + n 2 + n 4 0 a 1 4 0 a e m a 2 2- a 2 4 b 2 1 0a e d 4 一a 40 故系统( 1 2 4 ) 为完全能控的，由引理( 1 1 4 ) ，存在状态反馈钍= 宝l ，使闭 环系统的极点集为预先给定的对称集a ，其中a 有n 1 + n 2 + n 4 个元素故取反馈 u ；f y - g 。+ k 。 q l z + ” 可使闭环系统的极点集为a 定理证明中取： q = 其中 p = 0 0 厶： 厶。0 0 p 1 4p 1 5 一雪1 5 a 矗 p 2 1 厶。0p 2 4 易5 一岛5 月吾 000 kp 4 5 一b 4 5 a 毒 马1p 3 2 厶。p 3 4p 3 5 一b s s a i 0000 厶。 o 0 0 一( e 1 1 + b l l g c l l ) 一1 岛5 0 一a 吾a 3 1a 刻l l s 2 一a 矗( a 3 4 一e 3 2 e 才a 2 4 ) 厶 0 o 0 0 氏 0 1 l 0 o e - e 0 e ；2 日5 厶。 qh b pa ，l l 一如o d gg8+b a 2 1 = a 2 1 + 岛l r a l 一( 赐l + 岛1 g a l ) ( e l l 十b l l g c l l ) 。( a l l + b 1 1 日q 1 ) ， a 1 4 = a 1 4 + b l lf l c l 4 一( 尻4 + b n g c l 4 ) e 矗a 4 4 ， a u = a u + b nf 1 c 1 4 一( e 2 4 + b 2 1 g c l 4 ) e 才t 4 4 一( e 2 l + b 2 i g c , i ) ( e h + b , , g c n ) - 1 a 1 4 + b nf 1 c 1 4 一( e 1 4 + b i i g c , 4 ) e 五i a 4 4 ， b 2 1 = p 2 1 b l i + 8 2 1 ， b 3 1 = p 3 1 8 , 1 + p s 2 8 2 1 + b 3 1 c 1 5 = 一c 1 1 ( e l l + b , 1 g c l l ) 一1 e 1 5 一c 1 4 e 拳晶5 + a 5 ， b l = 一( e 2 1 + b 2 i g c l l ) ( e l l + b r i g a l ) ， b 1 = 一( 岛1 + b s l g 凸1 ) ( 刀1 l + b n g c l l ) 。+ e z 2 e 云l ( e 2 1 + b 2 1 g c l l ) ( 硒l + b l l g c l l ) ， p 3 2 = 一踢2 硪， e 1 5 = e , 5 + b i t g a 5 一( e 1 4 + b n g c , 4 ) 最嚣2 k ， 岛5 = e 2 5 + b 2 i g c l s 一( 如4 + b 2 1 g c l 4 ) e h l e 4 s 一( e 2 1 + b 2 1 g c l l ) ( e 1 l + b n g c l l ) 一1 e , s + b i i g c l 5 一( e 1 4 + b i i g c l 4 ) e a i e 】， p 1 4 = 一( e 1 4 + b l l g c l 4 ) 玩 ， p 2 4 = 一( 易4 + b 2 1 g c l ) e 1 1 ， 户h = 一( e 3 4 + b 3 1 g c l 4 ) e 岔+ 2 e 岔( 易4 十b 2 1 g c n ) j 材， 尸1 5 = 一( a 1 b + b l i f i c l 5 ) a 拳+ ( e 1 4 + b n g 0 1 4 ) e 五l a 4 5 a 1 ， p 2 5 = 一( a 2 5 + 岛1 f l 凸5 ) a 暑+ ( 岛4 + b 2 1 g g l 4 ) e 嚣a 4 5 a ；+ ( e ：i + 8 2 2 g c n ) ( e l i + b r i g c l l ) 一1 【- ( a i s + b l lf 1 a 5 ) 看+ ( 日4 + b 1 1 g g l 4 ) z 写a 4 5 a 毒】， p 3 5 = 一( a 3 5 + 岛l f l a 5 ) a 寻+ ( e h + b 3 l g a 4 ) e 嚣山5 a 矗+ ( 玛1 + 岛1 g g l l ) ( 历1 + b l l g c l l ) _ 1 【- ( a 1 5 + b 1 1 只g 5 ) a 毒+ ( 置4 + b 1 1 g g 4 ) 2 琵- 1 4 5 5 5 - 1 】一2 k z 讶【一( a 2 5 + b 2 1f 1 白5 ) a 看十( 岛4 + 岛l g c i ) 硪a 4 5 a 毒+ ( 易l + 岛l g q l ) ( e 1 1 + b l l g q l ) - 1 【- ( a l s + b 1 1f 1 a 5 ) j 4 看+ ( e 1 4 + b , i g c l 4 ) e o a “a 矗】， p 4 5 = 一 5 a 矗， a 3 1 = a 3 1 + b a lf 1 a l 一( 晶l + 岛1 g c l l ) ( e l l + b 1 1 g g l l ) _ 1 ( a n + b 儿e l a l ) 一 局2 e 署【a 2 1 + 疡lf 1 a l 一( e 2 1 + b 2 l g a l ) ( 蜀l + b i , g c l l ) _ 1 ( a l l + 曰1 1f l a l ) 1 ， a s 2 = a s 2 一e 啦j f 暑a 2 2 ， a 3 4 = a a 4 + b 3 1f l c l 4 ( 晶4 + b 3 l g a 4 ) e i l 也4 一( 玛l + 玩1 g 白1 ) ( e n 十 b 1 l c c , 1 ) 一1 a 1 4 + b 1 lf 1 a 4 一( e 1 4 + b u g a 4 ) 髓 a 4 4 】， 雷1 5 = 一( a 1 1 + b 1 1f l q l ) ( 蜀l + b l l g a l ) _ 1 雪1 5 一a 1 4 后曩e 4 5 ， 岛5 = 一屯l ( 易1 + b i l g a l ) 一1 届5 一a 2 2 蹭如一彻- d 4 - 4 1 局5 ， 豆3 5 = 一a 3 l ( e 1 1 + b 1 1 g c i l ) 一l 雷1 5 一a 2 2 e 署e 2 5 一( 如4 一e 3 2 e 2 1 2 4 耐e 帖) ， 1 2 雷4 5 = 一a 4 4 1 e 4 5 命题得证 推论1 2 3 奇异系统( 1 1 1 ) 若满足条件( 1 1 4 ) ( 1 1 ，5 ) ，则必存在微分比例 联合状态反馈，使闭环系统正则无脉冲模，且可对m + 礼2 + n 4 个极点任意配置 1 3 小结 本章首先给出了奇异系统正则，无脉冲模，稳定的定义：然后介绍了常规线性 系统输出反馈和状态反馈极点配置的结论；最后给出采用联合微分比例输出反馈 和状态反馈对奇异系统有穷极点配置的结论 1 3 第二章连续时间奇异系统的有界实引理 2 0 引言 有界实引理是控制理论研究中的一著名的定理，不只因为它本身的重要性，而 且它是许多经典结论中的引理，尤其被应用在近年来得到广泛发展的正k 控制问 题中，由于有界实引理可以决定传递函数的如范数，因此，它在如控制的研 究中起着重要的作用本章将有界实引理推广，用于研究奇异系统的传递函数在 虚轴二次型意义的比较，并且给出了奇异系统的有界实引理 2 1预备知识 对于多输入多输出线性时不变系统( 1 1 7 ) ，传递函数矩阵t ( s ) 的基于系数矩 阵a ，b ，g d 的基本关系式为； t ( s ) = c ( s i a ) 一1 b + d ( 2 1 1 ) 定义【2 8 】 考虑系统( 1 1 7 ) ，其传递函数t ( s ) = c ( s i a ) 以b + d ，t ( s ) 的 如范数定义成： f i t ( s ) i i 。= s u p a 。( 丁0 ) ) u 即系统频率响应的最大奇异值的峰值 定义【2 5 】称连续时间线性时不变自治系统； 圣= a x + b u ，x ( o ) = x o ，t 2 0 ( 2 1 2 ) 是内部稳定即渐近稳定的，若矩阵指数函数e m 满足关系式： l i r ae m = 0 - 命题1 2 对n 维连续时间线性时不变自治系统( 2 1 2 ) ，系统是内部稳定即渐 近稳定的充分必要条件为，系统矩阵a 所有特征值 ( a ) ，t = l ，2 ，n 均具有 负实部，即成立： r e 九( a ) 0 ，i = 1 2 ：，n 1 4 下面首先介绍常规线性系统的有界实引理及其推广形式 定理考虑系统： f 士= a z + b t 0 定理【2 7 1针对系统( 2 1 4 ) ，下述条件等价： ( i ) a 是渐近稳定的和i i c ( s s a ) s l l 。 0 使得 a t p + p a + p b b l p + c t c 0 且a + b 曰了1 p 渐近稳定 由以上有界实引理的两种形式可以判断出有界实引理对于正k 控制的研究是 很有帮助的，对于文献 2 7 l 中的有界实引理形式。即定理( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，已有 一些学者把它推广到了奇异系统中，这一章主要是针对有界实引理的第一种形式 作出相应的推广 以下是有关奇异系统的一些知识 1 7 本章主要考察奇异系统： ( 2 1 5 ) 其中e ，a c “。“，b c “。p ，c c q 。“，d c q 。p ，z c ”，u c p ，y c q ，且 r a n k e 0 是x 的奇异值r a n k x = r x + = v + 厶一1 0 ，。( 。一，) o ( m - y - )