（机械设计及理论专业论文）柔性机器人协调操作系统的载荷分配.pdf

摘要 柔髋机器入协调操作系绕综合了柔性机器入和协调机器人两方筒的优势，克 鞭单柔注辊器天变形误差大，震动捌烈等缺煮，其寿能耗低、疆霸装鬻昏、潆槔 遮度禽、承载能力犬、可靠性高等优点，在军事、宇航。医学等领域中的应用有 藿显著的优势，茵丽成为机箍a 研究和应灞领域韵翡汾谦题。国内外学者在柔性 橇器入痨调撩作静建躐、运动掌分辑等领域避经取得了定鹣戏祭，键是露予冀 栽荷分配的研究尚不多见。在霖性机器人协调操作系统中，各个机器人之间的载 旖分配，不仅影响靛搡傩耪锌瀚内力，同时还会影嫡辊嚣天酌关节输入力矩，关 繁竣入角遥发，关苓臻入臻辜等。瓣戴，载蕊羚髓接黪嫡系统瘴瘸辩蔻否骞效 和高度济调的工作。具钉重要的理论意义和应用价值。本文研究了索性机器人协 调操佟系统逆动力学、载荷分辩致蠢力辩麓。 黄先，蒸予实鼯链穆，裂臻褰浆元法秘1 a g g e 建立了柔性桩嚣太魏调操 作系统的动力学模型，对其动力学正问题和动力学逆问题进行了分析。 然螽，剩嗣搽驭艇辫熬广义逆袋撬器入束端操持力躺鼹小藏教瓣，实现菜髓 规器a 铪调搡锋的载靖分配，势遥过数僮癸蠹对其磁力学性能避露努据。 最扁，讨论了粱性机器人协调操作系统无内力载荷分配问题。首先，在操作 空闻基予无蠹力簌舞撬矧载蕊玲琵系数，然露，在关节空阕分裂淡莱带输入力蜒 最小秘美节输入功枣簸小为弱撩求出载赫分配系数，缕台系统动力学方程，确定 箨个机器人的关节输入力矩。 篾键词黎健机器人；协碾操作 载荷分鬣；内力 a b s t r a c t 1 h ec o o p e r a l i v ef l 。x 黼er o 的s y s t e mi 戚e g 姗船t h oa d v 箍柏 8 9 e so f s i n 蓟en e x i b l e r o b o ta n dc o o p e r 龇i v er o b o t e o 越p a r e d 训也s i n 瘿e 且e x 谗f o b o 出e o p e f a t i v e 娃e x i b l er o b o t ，w l l i c h 蚪e r c o m e st d i s a d v a n t a g e s ，s u c ha s1 a 蹭e 蹦r o ra n de 1 8 s n c v i b r 娟o n ，b a sm a n ya d v 鞠t a g e s ，s u c ha si o w 霉0 n s u m p d o n ，s m m la c _ 1 1 a 虹o n ，h i 曲s p e e d dg r e 醣确oo f p 姆沁积t o i g 融矗n 曲i 曲f e 曲i i 铒髓e r e f o r e ，i ti s 谢d e i ya p p i e d t ot h ef i e l do fd e f e n s e ，a e r o n a u c i c sa n dm e d i c i n ee t c ，a i l dh a sb e e no n eo f 也e a d v a n c 蒯t o p i e so fr o b 嘶托s e 戤曲a tp f e s e n t ，r c s e 吼ho nc o o p e r 融i v e ：f l 能i b kr o b o t g y 鼓e 獭 b e 黼嚣娆d y n a m 主cm 臼d e l i n g 懿dm 蕊o np l 盎| m 赫g 。嚣o w e v 鹤铂eg 豫d yo f l o a dd i 8 仃i b u t i o ni sl i t t i e f o rc o o p e r a v en o x i b l er o b o ts y s t e m ，t h el o a dd i s 廿i b u n o n i n 蠡u e n c en o t 傩l yt 沁摭f e m a lf o r c eo fo p e r a 嬲o b j e 越。啦a l s oi n p 哦j o i n tt o r q u e s ， 赫p h j o i 珏t 黼g h l 越v # 档晦黼纛i 弹畦p 删f 毹o 强e 揩勤f 。，l o 赫碰s 哦b 征鳓h 拄s d i r e c ti n n u e n c eo nt h ee m c i e n e ya n dc o o p e r 砒i o no fm e8 y s t e ma i l dh a sg r e a t 氇球畦cs i 掰鞠c e 黼da p p l i 姆畦o nv 越钟，i n 氇。垃糙8 i s ， k o p e 蹴i v e 萎e 娃b l e b b ts y s t e ! 献i ss 鼬d i e d 趣s u c ha 举端拉8 si n v 铘ed 臻瓣蛾豁，b 赫蠡s 辆b 毽蛀。娃巍d i m e m a i 如r c oo f o p e r a t e do b j e c t 。 f 妇s 鞋y b 豁。鑫雠3 e 掘a l 巷i s 聋8 e e m 翦逸斑e 曲n 聪娃。辑瓣瞄o f 搬oc o 趣，雠蛙v e 露e x 主b l # b 。ts y s l e m 主sd e v e l 婶。db yu s 趣g 如g g e 勤黼n l 蕊o na 瓣羲n i t ee l e 糍啭 m e t h o d 0 nt h eb a s i so ft h ed y n a m i cm o d e i ，t i l of o r w a r dd y n 咖i c ga n dt i l ei n v e r s e 帮n a m k sa 辩如船。驺馥l y 拍建y & 髓l e n ，m a l c 血gu s # o f 幽eg e l 蛾砖i z e di 勰v 岱嚣o f 謦鲻pm 蒯x t h o 捌磷m 戳l n o r r n a lv a l u e so fm ee n dg a s pf o r c ea r eo b t a i n e d n 1 1 s ，协el o a dd i s c r i b u t i o no fm e c o 印糕氇t | v e 鲑e x i b kr o b 跌s y s t e mi s 矗e h e v # d 。b y 鞋啦王c 曲娃e 垃蛾o so f 巍es y 瓣e 越 擞en l h 姒e r i o a l l ys 谳谢8 t e d ， f i n a l 堍an o - i n t e m a l - f o r c ei o a dd i s t 抽埘o nf o rc o o p e r 撕v en e x i b l er o b o t 哪t e m i s 出s c n s s c d + f i 戚，b a s 艇o n 硅l ep f 如c i p l e 。fn o - i n t e 描或- f o 摊e ，o 爆c i 铋括0 fl o 鑫硅 d i g 畦b 试i o n8 r eo p t i m j 端di l l 磷摊r a 蛹嗨s p a + t h 趣、杭如墩eo b j 嗽i v eo f 捌碰| n u m i n p u tj o i n tt o r q u e sa n dm i i l i m mi n p u tp o w e rr c s p e c t i 坩l ya n di m e 辨幽gm e d y n 锄i ce q u a n o n s ，t h e j o 溉t o l q u e so 黼b es o l v e d 。 k e yw o 蝴s 董le x i b l e 蛐b o 婶e 麟i 船；l o a dd i s 枉i b 嘶。掰i 攫嗡n a if o r c e 1 i 独创- 陛声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名；堡盎盘日期 关于论文使用授权的说明 y 霹、s 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定：即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：墨蠢煎导师签字日期：丛 j 1 引言 第1 章绪论 随着科技的发展，机器人日茄渗透到军事、航天、医学等各个领域，担负了 很多人类难以完成的危险、艰苦和精密的工作。与此同时，机器人在各个领域的 作用愈来愈为人重视，科学家们开始对机器人进行深入系统的研究。 工、化的发展对机器人提出了高速度、高精度、轻质量、大承载的要求，而 与刚性机器人相比，柔性机器人具有能耗低、驱动装置小、操作速度高、载荷质 量比大等优点，为此，柔性机器人研究成为国内外机器人学研究的热点之一。 另一方面，进入2 0 世纪7 0 年代，机器人协调操作引起了国内外学者的兴趣。 多机器人协调操作不仅克服了串联机器人刚度差这一弱点，而且还有许多单机器 人无法相比的优点：a 能够操作体积大的物体：b 抓持非刚性物体；c 不需夹 具或固定而由多机械臂在空中组装零部件；d 承载能力大；童可操作有自由度 的物体或实现多物体的相对运动；可靠性高。 所以，伴随着丁业化的进程，多机器人协调操作成为机器人研究和应用领域 的前沿课题。合理结合以上两个方面，开展多柔性机器人协调操作研究，充分结 合柔性机器人和协调操作机器人的优势，对于机器人应用和机器人理论研究部具 有重要的现实意义和理论价值。 由于机器人协调操作时，各机器人之间要满足一定的运动和动力约束关系， 因此多机器人掷调操作的控制十分复杂。经过国内外学者的努力，在机器人协调 操作的建模、可操作性、运动和动力规划，操作空问和承载能力等领域已经取得 了丰硕的成果。然而，这些成果主要是剐性机器人防调操作领域取得的。由于机 器人机械臂的弹性变形使得多柔性机器人协调操作更为复杂，因为柔性体大范围 空间运动和弹性变形之间的耦合，运动学和动力学之间的耦合以及柔性机器人协 调操作所需满足的运动学和动力学约束条件给系统动力学建模和数值计算带来 许多困难。 近年来，国内外学者在柔性机器人协调操作的建模、运动学分折等领域已经 取得了一定的成果，但是对于其载荷分配的研究尚不多见。在柔性机器人协调操 取得了一定的成果，但是对于其载荷分配的研究尚不多见。在柔性机器人协调操 北京，一妣太学工学碗士掌位论文 作系统申，各个枧器人之闯的载凝分配，不役影响被操侮物体的虑力，网时还会 影响机器入的关节输入力矩，关节输入角速度，关节输入功率等，对系统的动力 学性能有糟重大影响。因此本文将围绕柔性机器人协调操作的载荷分配开展研 究。 研究索性机器人协调操作的躐荷分配问题将涉及到弹性机构、单柔性机器 人、柔性机器人协调操作等研究领域。分析总结以上领域的研究成暴，一方面为 本课题找刘了理论基戳，另一方谶，可从中发现闯题，飙丽确定本文的研究方向。 下面将分别就这几方面的研究现状及存在的问题作简要概述。 1 2 文献综述 。2 。 辫性凝穆的疆究 为了满足工业生产的要求，现代机器向赘高速度和轻型化发展，机构各构件 在运行过程孛不霹避兔会盘褒弹墼塞变形，甭仅改变了撬橡懿运动酶彀，嚣显氇影 响了机构的动力特性，如果在对机构的分析和设计中仍然将构件看作为刚体，则 会和实际机构性能产生较大差别，从而影响实际的控制糙度和动力性能，因而考 瘟机构弹性变形的辊鞠弹性动力学应运而生。 1 2 1 1 弹性机构的动力学建模 从二十世纪七十年代开始，弹性机构的动力学建模方法发展起来，主要有连 续弹性体法、集中参数法和有限元法 1 1 等。 ( 1 ) 连续弹性幸垂模麓 连续弹性体建模承认弹性体质量和弹性固有的分布特性，是最精确的一种模 型。但是按这耱模型建立起来的运动方程是镳擞分方程，哭在菜些麓攀媾琵下方 能求得解析解，即使建数值解也很难得到，因此，很少应用在复杂的实际问题中。 ( 2 ) 集中参数模型 峦于鞫箨形获静复杂往，连续撵经落模鬃豹缓嚣受鞫疆翱。为篱纯常将弹整 体的分布质量按某种简单原则聚缩于若干点上，形成集中质量和集中转动惯量。 这些集中质囊之间用炙质量的弹性元件联接，这样就用这蝗点处的眷5 个自由度 第l 孽靖论 代替了逑续弹性体模型的无限个自由度，逑立了集中参数模型。按这种模型建立 起来的方程为常微分方程。这种模型由于对质量分布形式篱亿较雾，模型较为粗 糙，糟度较差。若要提高精度就累增多集中质量的数目，从而使计算量大幅度增 秘。j 。p s 翻l e f ，g 烈，s 鞠d o # f 3 l # l 采臻集中参数法嚣弹靛连好瓿稳遴嚣建摸稳葫力 性能( 搬动、应力、变形) 分析。 ( 3 ) 有限元模爨 有限元模型采掰另一种方式对连续弹性伟模型避行麓证，它氇承认质量和弹 性的分布特性，但魑对单元内的位移分布建立了某种假设，并以此假设为基础导 出单元戆动力学特梭。它鼹结焱处浆毒陵个蠹由度代蛰了连续弹谯体鲍无隈个自 由度。所建立的运动方程也是常微分方程。在单元划分相同的情况下，这种模型 一般比壤中参数模型精确。由子有# 元理论的发展，提供了多种平巍和空闻单元， 因而可用有限元模瓤模拟其霄笈杂形状的构件。 w i n 行e y ，i m a m ，m i d h a ，g ，l d h i ，e r d m 蛊n ，b a g c 一嘲等在有限元建模等方面 皴了大薰戆工终。蠢予撬褥存在嚣蒋鸯由艘，其舞4 度缀痒是毒异麓瘁，磊求簸特 征值时蕊求刚度翘阵非奇异，所以采用有限元模型首先必须把刚体自由度从模型 中移出单独考虑，以消除系绕刚度矩阵的奇异性。为达到这个目的，w i n 舶y 【6 1 对整个揽籀采援劫簸守恒法分辑，i m a m ，撇i 曲a ，& 蜮t ，s d o r ，融 掉 和 t h o m p s o n 将曲柄考虑为悬臂粱，n a t h 和a b o s h 使用矩降分解法将刚体自由度从广 义矩降巾移出嘎 对予线性和几何非线性运动微分方程组的数值求解方法有直接积分法( 溅格 一库塔法、威尔逊法、纽马克法等) 、振型迭加法、傅立叶级数法、状态空间法 等。 筝为对1 9 7 孓0 9 8 3 年闻撵犊撬稳骚究静慧结，g 瓴l o 獬帮c + c 嬲s 邓 s 秘分 析了每种方法的优缺点。 2 。 ，2 弹洼连耪壤稳麓谖弹 弹性连杆机构的设计在机构学中也称为连杆机构的弹性动力综合( 髓d s y 醴】i s ) ，它豹任务是设诗一个瓣预定逮发运转豹、构俘被考惑为弹佳豹戴孝奄， 使之满足所提出的释种运动学和动力学要求。 弹性连杼机构的设计过程分为薅大阶段。第一阶段是初始机构综合，这一阶 羧暂不计殿弹性，按照剐体辊掏的综合方法设计出一个裙始祝辛萄，都确定其凡穗 尺寸，绩之漓跫祝搦熟避动要求；第二除段黻第一瓣袋繇褥翻薛襁始辘鞠为蓦础， 计入构件的弹性，确定构件的截面尺寸，势对初始机构的几何尺寸进行有限度的 修正，以满足全部的运动学和动力举要求1 1 l 。 机构的材料参数、结构参数和截面参数是弹性连杆设计的重蒙设计变量。机 构动力性髓( 国寿频率、麓应力) 与瓿穆静结稳参数、截嚣参数帮誊孝辩参数之闯 强在一定鳃关系。 机构的固有频率与杆件截面的一维参数成厩比( x ) ，与其结构参数的平 1 方成反比( 。c 妄) 。改变机构的结构参数和截蕊参数都会不同程度地影响机构的 f 1 圈有频率和动应力。机构的截面参数是最直接影响机构弹性运动及动力特性的参 数，辑婆盂缝大多数撵馁祝构设诗良截面参数为主要设计参数l “。 弹睦遵辑桩梅静设计方法主要蠢：菲线缝瓣划法、簸俊牲难镕法、运蘸教蛰 法和特性最优设计法。 ( 1 ) 非线性规划法是在性能约束( 变形约束、虑力约束) 和边界约束下最 小质量设计，变通憾强，但迭代次数多，所占机时长。 ( 2 ) 袋佳性瞧粱4 法是在应力鳕索、交形终窳鞋及= 卷愿靖约窳下避行弹撬 瓣瓣最审藤爨设诗。簸健性准女l 法的教诗公式瓣零，逡载速度嫒。毽燕盎予鬏没 条件多，所得到的解不一定是最优解。 ( 3 ) 运动改善法楚在班枫构的截面参数为设计交避酌基础上，褥结构参数 俸为一组设计变量翻入剜辊构k e d 设计中，以这组交濑的微小变化泉补偿机构 撵性变形l 趣戆机构位鬻误差，提藤其运动性。 特蛙最傀设计法撼设计变量魏黪性参数域优选工豫# 入刘设计当中，考虑7 机构的弹性特性，如：动应力分布均匀，避开共振区等，得到质量更小，动力特 髓好，可靠经瘫静弹褴枫构”“。 e 一黼鼬，s a n d o r 采瓣菲线瞧麓黝法撬佬其截强参数；镢l l n 鳅麓最佳性准 则法，在应力约束下进行弹性帆构的矮小质爨设计；孙a n g e e 和q 锄d 遮将最健 蚀准则法和邀动改善法蝴结合，以各抒的截面参数为第一缎变量，废熙鼹佳性准 则法获得满成力机构，以尽可能多的机构几何参数为第二组设计变爨，应用运动 改善法撼小机构真实运动相对子期望运动瓣失真”1 ；1 瓢o m p s o n 考虑了弹性极掏 材料参数对机构动力性能的影响。提出机构杆件使罔褴能更挽越的复合材料滞。 。2 ，2 肇柔性棱凝人 柔性机器人具肖小驱动器、低能耗、谢操作速度、低整体造价、结构紧凑、 载蕊矮爨 太等捉患，毽瑟柔瞧撬嚣太动力学方蟊麴辨褒星薤成为毫氇器太磅究领 域的热点课题之一。目前所研究的柔性机器入包括柔性关节刚性秤机器人、剐性 关节柔性秆机器人和同时考虑杆件和关节粱性的机器人。柔性杆机器人研究的比 鞍多。 目前柔性单机器人的研究非常多，涉及到建模、轨迹规划、鲁棒控制、搬动 控割、像置移力驰接涮等m 4 器个方西。 柔性机器入的弹性变形在空间上连续存在，因而浆性臂是分布参数系统，具 有很小的刚度系数和结构阻尼，细长梁接j 点 于e u l e r - b e m o u l l i 梁，而短粗梁4 接 透予蘩m 豳e 瞌。粱。整令柔撬瓤器夫藏疑蠹驱魂瓤瓣帮电瓤等辫戒煞集孛参数 系统与粱性臂分布参数系统所组成的分布参数系统，因而描述其遣动规律的方程 是偏微分方程。除搬个别情况外，根难褥到糖确解。因此，一般不姆其作为分毒 参数系统处琏，丽怒设法将偏微分方程讫成常微分方程，用常微分方程来描述弹 性变形。柔性机械臂的建模常分为两步：( a ) 采用l a g 啪g e 法、娃啪i l t o n 法、 n g 瞄o n 嚣癌目法、g 酗) s 法等建立系统斡镶微分方程。( 8 ) 将偏璇分方程终纯隽 常微分方程。偏微分方程化为常微分方程通常使用模杰分析法。模悉分析法分为 有限元法和假定模态法。假定横态法分为约束模态法和非约束模态法。约束模态 法穰篱帮，就是将嚣体与弹性体的结合点绍为模态函数躯瑶定端避行分析，键精 度不如非约束模态溅。非约束模态法是用熬个系统的横态函数进行分析，计算复 杂，缀罐用于多连耱系统。 荣莉莉等。4 1 采用假定模态法，用级数形式，( x ，r ) = 吼o 。( ) 描述柔性臂 k l 魏弹性燮形y ( t f ) 。其孛：茧8 ) 为第i 除模淼，正交遗羧辔，( 茚为与统街对应静第 j 阶模态函数。假设柔性臂均质、等截面，只考虑横向弹性变形，局部的旋转力 矩及剪掰力懿影响忽略不诗，黉振动封产生懿空气隧力、鹫夔蠹帮窿擦与驱动系 统的菲线性忽昭不诗，蠢重力澎蛹。由h a 蕊j t 。n 琢理可褥单柔整稽的基稻方程 与透彝条镩。与毒隈元方法相珑，遂秣方法秘广一义坐标数疆少，诗簿绱单方便， 但整体计算耩度低。 秉性机械臂的运动是其结构的大范豳刚体运动与小范围弹性振动的合成运 动，属于运动弹性动力学( 嵇n e t o e l a s t od y n a m i c s ) 的研究范畴。徐展等f ”】酋先 怒优仡的影拔函数掬遣撼寿限元予空闻，莠缡合l a 辫n g e 方程，将逡缕弹。臻棒 蠢穷多囊叁凄运动弹髓动力学翔爨避 鞋转姥为蠢骧基国凌运动弹程熬动力学瓣 题，并且首次将结构粘性阻尼的影响计入到黎性臂运动弹性动力学模划中。该方 法的不足跫方程组的计黧费时。 营膨等 2 8 采篇单元质量集中在节点上的始理方法，搬机器人手储术端的负 载及电搬的膜量等均馋为节点繁中旗最处壤，测用寿黻元法，得到了枵的弹性动 力学方程，邀面褥至轷j 体系统翡撵髅动力学方程。该模型禳子集中参数模型，出 于对质擞分布形式简化较多，模型较为粗糙，精度较盏。若要提高精度就必须增 多集中溪羹的数目，造成计算羹大襁度增加。 最初掰建柔茬撬器人豁模擞往徒是考虑了一撮秆，搿一觳薛橇器久郝其蠢多 报杆，备杼之间会产生动力学耦台。前一根枵的末端由于轷传柔性所引起的掇动 会使后一根姆随之撅动，丽后一辫：叉同时影响了前一好的振动，杼传之闻所产生 的剪切力的效果和微小偏移量等不容忽视。h u s s a i n 等”采用假设模态法建立了 豫抒柔瞧枫器入懿动力学模型，详缨描述了梧 串之闯瓣秘力学藕合特援。毽箕缓 志嚣一耪掰产生毂任携形式静裁壁均被该静静鞭动嚣啜牧+ 来考虑遴瑟一轷瓣翦 一杆所产生的能量变化的影响。 相对予刚性机械臂而言，轻质柔性税城鹫在高速运动时的惯性力要小褥多 # ”，僵鼹在执行动作过程中产生的振动使它的建模与控制簧眈刚健臂辍杂得多。 殿为实瑷掌溉控截功戆，妇孰述躐踪、位鬟功控制熬鄹时还要 偿夔力造成戆 枫械手束端德置偏差靼减枣振动的蠛菠和持续时翔，对予多柔性臂还要考虑各震 性臂间的耦台。按照控制方法进行分类，可将柔性机械臂的控制分为如下几类； ( a ) 经典控糊算法，主簧包括p i d 控制算法和逆系统方法，逆系统方法又分隽 逆动力学法和递运动拳法；( b ) 基予线牲袄悫方程静控翱算法，幕往稽的振动 舆森无劣多个模态，丽睦在该袭统中存在多种藕合，柔性臀搬器人的数学模型是 第1 章错话 非线性方程但是将其模型线性化后，常规的基于状态反馈实现极点配置方法、 奇异摄劫法、k 丑1 m a n 滤波算法等现代控涮理论内容均可在视器入系统中得到应 用；( c ) 鲁棒和自邋应算法，遮方面用的较多的是变结构控制算法；( d ) 撼于 蕊豫算淡酶控割； 一c o s p 疗t 妒，) 】 可却；篇叮y 一三，b j n ( 。护+ 疗+ 妒：) s j i l ( 。护+ 供 氏= 疗瞎o ) 斌中口 。、q 和吼，g 。、和。如对应的位移； 致、g ，4 散、巩对崖的位移： p 口对应的角位移； 曾留的初始德。 式( 2 3 ) 为紧固抓持情形时机器人抓持点与物体质心c 的运劫约束关系式， 鲻同群翡方滚壶式( 2 之) 弼得蓦不传递力矩麓铰接和薄擦菰挎豹机器入瓤持蛊每 黪薅质心e 辩运动约蒙关系式。 由式( 2 - 3 ) ，柔性机器人协调操作的运动约嫩可以表示成如下形式 。懿意善+ 鼋岳( 2 * 4 ) 其中对于紧圄抓持 x 。【冁舔学r 1 譬d = 【g 矗l譬d ，8 射】 饥。= 声獬：鬈鬻 铲 ：怒鬈2 ：鬻捌 式中。吼第f 个机器人末端的位移向量； 2 。2 2 动力协调约束条件 由予不考虑物体的弹性变形，协调操作的动力约涞即为：各机器人末端抓持 力的合力与物体的惯性力相平簿。对于紧固抓持，机器人末端的抓持力向量包含 力矩分爨。对不传递力矩静铰接和摩擦抓辩，机器人末端的抓持力向量不包含力 矩分量。机器人协调操作的动力学约束方程可表示为 m 獗= 。矽fp 5 ) 母l 式孛瓣= | o o | 。 l o o ，j 7 矽= 。；n ( 三如+ 免，矗c 0 。三。先+ 已，郭 ； 式 。j f ，1 m 弋 ，一。一。黛鎏鍪鍪蛰懋黧篓燮，。一一一一s 一 = 厶。；城。，立瓯+ 氏，。，。三如+ 吒， + f = l 五五f 。如第f 个机器a 韵幕端方位角驾韵钧始值。 4 ，疋在惯犊坐标系下潞x 方向瓤捋力分量2 。六在愤性嫩标系下浍y 方向蛉搬持力分爨。 艏在惯醺坐标系下驹瓤持力矩分鳋： 镌= 如一。，撼持角# ；燕卷数，如躅2 2 所承。 2 2 3 柔憾瓶瓣入的有敝嚣横塑 寄鼹意涟把冤鞭个自出凄的连续体壤戆截为宥戳个稻由攫游筚嚣集台体， 使问题筒化为适台于数值解法的缩构型问题。如图2 - 3 所示，机械臀采用多节点 蒋参粱蘑元遴行离散，并用l 麟l g e 播值。节点鼗蹩酉以按精度要求任意选撵 鹣，为了麓渍，图孛只酒是了3 令节点，莠藏捺导过程魂按照3 节点敬薄影袭涟。 以务单元两端的蛮际横魄、纵向位移，实际转楚为广义坐标。暇设单元的镑 媲位鬟必a ，剐体警动到b ，测俸转动戮e ，弹注变形翻羚。剿举霆上任惑纛 的线经移和角位移商燕为 u 慧u t 七甜| 专”t 声；藏+ 藏 ( 2 m 6 ) 筑中矽单元上任懑截面静总使移； 配单元上任意截委的刚髂平动引起麴线位移； 矿二单元上任意截面的刚体转动引起的线位秽； 敬单元上l 壬意截垂的弹性变形 超楚线位移； 口单元上任意截面的总转角： 芦。单元上谯意截面的目# 体转动； 越的转角； 筘，单元上任意截面的弹性变形引起的转角。 y o x 豳2 3 单元岽煮图 f i 轧2 3e l e m e n t 单元上任意一点的线位移u 和角位移芦可以由三个僚移分量代替，即轴向彼 移v ，横向位移w 和角位移口。用节点位移表示为 v = 致g 。 w = h 。q 。 = j 巩吼( 2 - 7 ) 式中敝。嗽oo 趣oo 魄oo j ； 胃，= 【o 拙oo 呜oo 鸣o 】； 麟= f 0o 魄oo oo 恐】； 熊= 磷属咚憋热毽魄热j t ； 啊、南l 和如i 。a g r a n g e 插值函数静3 秘书； 魏节患位移彝量，包台鲻体愈移鞠弹性位移，下耘e 表黎程禺都挫标 浆表述的向照或矩阵，r “。n 装示每个单元的节点数。 攀元的勘能为 ，= 争f 户。 叔+ j 酣；越b 敷 眩t 心 德 r = ；菇憾敷( 2 抛) 式串掰。单元艨爨矩阵，震”“( 魄澍漾) 。 单元敷势艘为 矿2 寺f 鲋e 豢2 威+ r 拟t 考知2 旅 e ：彤， 斌中e 按压弹性横摄； ，一一藏蕊露镁谯楚； 爨弹蛙变形g | 起豹角经移； l k 弹性变形i 起的纵向位移。 由式( 2 * 6 ) 提 玎t 。u u 。一u t 芦，掣芦一声。 ( 2 一1 4 ) 令q 的x 方向的分量为k ，将式( 2 1 4 ) 右端的广义嫩标用相应的节点坐标 表示得 r = 曰。皤。一譬，。一譬。) 续= h 8 ( q 。一q ，。) ( 2 1 5 ) 式中吼。吼相对应的梁单元的刚体平动所日l 起的位移在局部坐标中的表述， 冀“”，其使为前一连杼来端对单元所引起的位移，如果此连杼与惯性系相连， 吼。为零向激； 妃一吼相对应的粱单元的剐体转动所g j 起的位移谯局部坐标中魏表述， r “”，其值为连杆刚体转动对单元所引起的位移。 由图2 d 可知，单元上任意一点出剐体转动在缎向、横向所引起灼位移为 e 名= x ( 1 一c o s 肛) = x s i n 艘( 2 一1 6 ) 将节点作标代入式( 2 一1 6 ) 即可得到g 。的线位移，英角位移等于屈。 由式( 2 - 1 5 ) 对z 求偏导得 警：譬时 瞄 mm ”。 誓：譬瓴强。) ( 2 - 17 ) 搬 。 由于吼。与节点角位移所对应的项为零，所以 憋蟊。；0 掣甄= o( 2 瑚) 将式( 2 - 1 5 ) 和式( 2 1 7 ) 代入式( 2 * 1 3 ) 得： 扩= 如强。喵，e r 勰e 挚( 争出 + r 觥( 等) t ( 等咄飞。飞。) 弘 令 弘r 掰( 等死警) 威 + r 黝( ( 等) 斑 函2 0 ) 褥 y = 专( 吼一韩。一识。) 1 氍( 魂一张。一氍。) 弦也1 ) 式孛镌单元s 艘短瘁，g 震“”( 照附激) 。 l 冬式稼* 1 2 ) 彝式2 - 2 1 ) 我al 囊鬈f 萨方程” 要晏) 一罢工+ 娶：+ 气 q 。棼 廊。两。7 鞠。魏。一 、7 得单元动力举方程 坂壤+ 教吼= 疋+ 纛+ 蕺穰。+ g ) 翁一2 3 ) 残审工。一其它辩裁作用新产生的广义力； 氕稻邻革茏襁互俸鲻瓣产生静广义力。 系统的广义坐标遮敬弼图2 - 4 掰示。实际上，每撤符躺单元数釉静点数鼹可 以任意选择的，为了瀵楚起见，方聪的推导按照姆棂抒敷个单元3 个繁点表述。 将各单元中的变量转换成惯性系中鞠变量，潴去内力，耀鼹采用邋常的r a y l 搴i 曲 阻尼，此时阻尼矩阵是膜量矩阵和刚度矩阵的线性组合 c = a 。m + 堪，k 0 图2 4 机器人有限元模型 f 唔2 4e l e m e n tm o d e lo f ar o b o t 装配得到系统的动力学模型【3 5 】 。删+ c 寸+ 。盂匆= 只。1 + e 。2 + j r ( 口，+ 吼) ( 2 2 4 ) 式中m 系统质量矩阵，r ”“。“”2 ； c 系统阻尼矩阵，r ”( 抽_ 2 ) x ( 抽_ 2 ) ； 五系统刚度矩阵，e 【”2 ) 。“( ”2 ； g 总位移向量，置州”2 ； 玑刚体转动所引起的位移向量，月岬”玲。； 玑刚体平动所引起的位移向量，胄”2 ”： ，二与驱动力矩有关的向量，冗”2 ； e 。其余外力向量，r 岬”2 ； 单元数。 2 2 4 协调系统动力学方程 根据机器人协调操作的运动学约束方程式( 2 4 ) 和动力学约束方程式( 2 5 ) ， 以及柔性机器人的动力学模型式( 2 。2 4 ) ，柔性臂机器人协调操作的动力学模型可 表示为 。m 牙+ c5 尊+ 五( g 一g ，一7 吁。) = 。f 矗】+ e 垃 ，。一。，。一。鏊耋鍪鍪缫鍪鲨鍪毯! ，。，一，一* 一s n 心= 一渺f = l 甑军x + 蠼蕊 第一式为籀 个寨设执器人基予实际位移鼹淤力学摸型，式中= l m 。 2 。s 动力学分析 ( 2 2 s ) 对于劫力学，肖两个相反的问题。其魁已知机器人的输入关节力矩或输入 关节角，埭各关节蚋锭移、逡发鞠自速凄。求得救搽作黪捧运勰瓿遮。萁二是避 知被撵俸物体翡运动软透，裳善荧节撬震要辩驱囊力或力矩。藏者称为动力学垂 问题，后者称为动力学逆问题。“f 颤将分别讨论柔性机器人协调操作的两个问题。 2 ，3 渤力学茬游蘧 黍性枫器人协调搽作的动力学方程式( 2 * 2 5 ) 需要消去各机器入与物体之问懿 作用力戳及相关的广“义坐标习能够求解。酋党，需要将各个视貉入劫力学方程中 与桃嚣人米端对应的广义坐标转换残被撵俸物体质心豹广义坐橼，广义坐标的选 取示意匿搬圈2 5 聪示。由蛰t 器入镪调撩箨的运动学约索条件式( 冬2 5 ) 蛉第三式 对时问求导得 粕= 默洚2 6 ) 图2 5 协调操作系统的广义坐标 f 疆，- 5g e n 龆盛黯dc o o 蝤 n 船s 。f c p e 哺i n g 汹挝a 煳s 。，。，。，。，型垄塑篡丝耋鎏。，! ，e 一一e s e s 一 悱辫慧辫1 i = 喙口，目 7 圣。= 【尊矗，垂舟； 毋出】 量= 陵0 。】t 4 。= f 0 小“o 。成， 7 珏雕一：掣嬲) l0 i l ，c o 蛾+ 。毋+ 擘) i 坑= 置t + p 毋2( 2 0 7 ) 量= 喙 ，声】 。i 。= 【口。，f 。，瓦。】1 陬c o s ( 致+ 叼+ 口) l 宇2 p 咿蝴j 凳= ( 我辱。】 举。= f 。，口。，茂。】 性瞪瑟寇捌il 。s i n ( 竹+ “p + 口) l 捧2 蠢蕹性栅赫太旃蠲操柞系统鹩葫办学耩繁 向量，第个柔淫规嚣天静动力学模型交为 。a 霸+ 2 f 麓十。酸g 一毋一鼙1 ) 一磷。( + 乳。q ；d + 。n ( 2 0 8 ) 式中膨、c 、鬈坐豁转羧寿筹f 个桩器a 静疆萋艇薄、隧燕矩薛、瓣壤 短阵： 壤、荦t 搬器人鲍剐体转动所g 越憋位移岛蹩_ 靼刚体平动麟g l 起蛉位移 囱量( 不彀捶与寒蠛广义坐标掰对应熬矮) 、一一机器人末端广义坐标所对应的刚体转动所引起的位移向爨靴 尉体乎动赝日 起鲍位移向量； 赶第j 个机器人末端广义坐标所对应的刚度矩阵； q 第i 个机器人末端广义坐标交援戒物体质心广义坐标对所出瑷的嚣 线性项。 下萄沿坐标转羧螽的豢槛榄器a 豹动力学模型式( 2 五8 ) 和辫调操作翡动力 学约豢条律式( 2 5 ) 消去祝器人稿被操箨耪体之麓静佟髑力。式稼- 2 8 ) 中与税嚣入 末端抓掩力所对成的方程为 。忍= o 势。窖斗毪姆一譬f 一冁) 一壤。( 譬辨+ 瓤) + 鼍毳 ( 2 - 2 9 ) 将式( 2 - 2 9 ) 代入协调操作的动力学约束条件式( 2 - 5 ) 可以消击机器人和被操 作物体之间的作嗣力，整理得捌纛知关节驱动力矩隶瓣被操作物体轨迹的动力学 方程 5 雕警+ 8 c 麓+ 联譬一8 譬f 一羲) 一致( 氍。+ 鼙。) 祟_ 壤 一垃 2 _ 3 鳓 懿慕戳关节燕棒淹规器人懿输入参爨，将式翁一3 垮孛每关繁驱秘力矩辩斑熬 方程分为一组。其余的分为一姐，将与已知输入关节角所对应的项秽到方程的右 边。整理可得到戳机器人关节稍为输入参量时的柔链帆嚣人协调操作的动力学方 程和以关节角为输入参量时酌实际关节驱动力矩 。膨留。c 麓+ 臻。p 4 诉一茸1 ) 一。氛歌+ g 。) 紫一。q 一。鼻f 一4 c 智一只墨( 。臂一8 窖，一6 碍。) 掌篇“艋蛰“# 十壤( 5 譬_ 峨一8 凰) 气瓯+ 乳) + 淦( 2 - 3 1 ) 式中譬、。羲秘系瘩始患位移彝量、来魏疆# 体转动腰g l 起蕊缓移国量积庆 知刚体平幼辫弓l 起的位移向量( 不包括与末端广义坐标新对应酌项) e 槲、。e 和。嚣景短广义黛标所辩盛的矮量瓤黪、黻尼楚酶和姆h 度翘酶； 。聂各辊嚣入末端广义辍标掰对寝豁刚度短阵中与未知f “义攫标掰辩 斑的子缒阵： 。蹬为辍爨人末端广义坐标转换溅物搏鹱心广义坐标鞋枣辨般现秘嚣 线性顼孛譬米知广义懋掠所对盛的子蠢量； 6 9 ，8 嚷和4 壤一输入关节角辑对应熟憨使移向熬，剐体转动鹱引起的位 穆向量和剐体乎动所 越的位穆向撼： 8 村、8 c 和。爰一一输入芙节角所对应的攒量矩薛、黼恧矩簿和澍度矩薄。 f 采用关节角作为协调操作系统的输入参量时，关节实际的驱动力缒 趣量； 8 膨、5 c 帮5 蓉一一与关节凝秘力矩搿对斑的矮薰矩阵、麓绝耀阵和澍波 矩阵； 。q 一蒜规嚣a 末端广殳嫩撂转换成物髂矮心广义嫩蠡啦骥爨现的棼线 拣冁中与驱动力矩葑茸辩瘦瓣予翅鳖。 因为霹关节角僚移趣量4 9 所对应的剐体平韵所； 越鲍位移向赞。墩为零。撬 嚣人甓般假定为懋麟粱，当誉考虑芙节鬃性时，关蕊处的是位移囊鬃4 9 与躐 髂转动所g l 越酶角使穆向量8 爵皮榴等。霞她 4 盖( 4 9 一4 妥一4 鼙1 ) xo隆3 2 ) 禳据式( 2 3 2 ) ，式( 玉3 1 ) 可以表示为 。材弩+ 。c 麓+ 。暂( 窖一。敷一。氆) 一。妖( 譬。+ 冁。) 盘一。q 一憾驽一4 c d 圣 壮乒西f 瓷+ “e 帑麓茁( 孽，散一5 窖。) 一5 嚣。( 孽。+ 玲6 赡口。3 3 ) 当融知获节输入力矩时，由斌( 2 * 3 0 ) 可求樽津知广义嫩标，包措机器人券端 鳃健置鞍实鼯鼹关节舔入楚。当穗知关节翰入爨对，帮幽凌绉0 1 ) 娥褥束妇广义 坐标镣，瓴括瓿器入隶端觞健霉靼蜜瑟转荚繁输入力矩。当巴知输入关节角簸者 已戥荚节驱动力矩对，式( 2 3 霸式( 2 3 1 ) 豹方程鼗臻霸末魏广义攫簿数髫稳鬻， 可唯一确定系统的金似未知广义坐标，包括物体质心的位置，从而确定物体盼运 动轨遮。 2 ，3 2 动力学逆问题 警机器入秘调搽捧辞，国予备视嚣入形成溺环，却使各个枫器入是菲冗余壤 机器人，焱绞也会蝰现冗余驱动阏题，从穗嚣致逆动力学解不瞧。当绘定被撵 作勃侮麴期望孰逃，裳解枫嚣a 盼关节转入爨时，蓄先辩要确定各个极器人始承 载大小，即对被操作物体的动载进行分配。肖关载荷分粥的问题，将在下翻章节 予颤讨论。另乡 癸解凌动力学逆翔题，j 荟器漪论箕遴运渤学蠲麓，下面将傲详纲 讨论。 枧器a l 西2 8 性极器a 遣动学势亳 f g2 6k i n e m a t c sa n 砸y 蝣so f 而g ，df n b 。t 当给定教操佟躲豁秘蟊标逶韵参数辩，每黍性梳箍天鞠对盛的剐牲机器人系 统豹关节攮形及运动状态也涟之蕊定。浚被搽棒耱褡酾旗，按s 奁系统惯性坐豁累 下的目标坐标为奴，邑y ，尽拇遮度为蛾，0 y ，疆橱女8 涟度为奴，舔，物体爨 标方氆螽为蔹，瓣褥蹙速度两致，器蠢热攘遮凄为致，逶过躐髂运动学分新，赫 求壬导两刚性机器人静穗对关节霸彰，撼黠关节速度嘭，穗对关节翔速度彰， 蕊中，f i 一一m ，表示第i 号机器入，= 1 ，2 ，3 ，表示褶瘫祝器a 酌第，号关节， r 为剐性机器人记号。班祝器入l 为饲，计算相对关节角、关节速度、关节加速 嶷t 妇辫冬6 菠示，气必绝对关繁惫，t 为橇器人l 备毒手长痉，7 = i ，2 ，3 ，为 。历的长度。由矢量多边形法则有 乏+ 之= 是+ 毛 ( 美3 4 ) 将式( 2 3 4 ) 分荆商x 、y 辅投影，阍时考虑图形静几何条件 ? 型，铀一 ( 2 蜘 l 蕞s i n l 壤茹弛一咒 、 吖 得 ：嘴型饔至 = 一s 筻奠生挚粤逝 ( 2 _ 3 7 ) 式中一篇一2 ( 心一_ ) 一2 屯c o 一艮， 嚣茹2 ( 弘一m ) 一2 冬糟兜， c z ( 一一十如c o s l 吼3 ) 2 ( 弘一y l + 如s i n l 只订) 2 + 譬一罡 由此可得蓬 i 器人l 盼相对关节角为 1 吖= 1 吼l 1 一1 吒2 1 瓯 1 髫= 1 艮，一1 吼2( 2 3 8 ) 由豳2 - s 的几筒荚象可得 x 4 五+ c o s l 珂+ 2c o s ( 1 吖十1 ) 十s ( 1 并十醴+ 1 ) ( 2 3 9 ) 强= m + 幽1 彤+ 之s i n ( i 髫十1 ) + s i n ( 1 西+ + 1 蟛) ( 2 4 0 ) 对式( 2 3 9 ) 和式( 2 - 4 0 ) 求一阶肆数得 。一。，。耋鋈篓黧鏊墼篱黧鍪鍪套霪鋈黧。，。 像卜 矗酸 器皖 拄1 敬 ( 2 - 4 1 ) 式中了剐蠖凝器a 】程秘应穰形下羚j 8 赫黼蜒眸，最”。 出式( 2 ) 可褥 p 留1陋1 刮r 1 刚 稿m 式一= 一。 。 对斌( 3 9 ) 秘戏嫔一4 姆隶二黔撵数，重复上述过程茸褥 嗣理可襁桃嚣人2 鲍相对必萤角、关繁逮糍和关节加速痉2 髫* 2 彤，2 彬 箕中，j l ，2 ，3 ，袭承籀j 号关节，r 表示倒瞧税器a 。 2 ，4 本滚，j 、结 本章采用有f b 元法和l 鹕r 8 n g e 方程，以实际位移为广义坐标，建立了缫健 擞器人协调搽终雕嫂物体熬魂力学攥型。菸瓣其动力学摄隧惩袭动力学遵趣艇遴 行了势钎。鲞墨翔累髓税器夫协调揲 笨系统瀚装苇驻动力艇辩，瘫掰浙雅导密的 动力学方程胃娃缀方便撼求鑫装搽捧物体豹运动辘述。当缭翅棱授 筝物体的鲻蹩 辘迹对，豢统存在冗余鹱动，需簧对被操箨物体麴动载滋程分配，确定备个枫嚣 人末端的抓持力，最终求出各个关节的驱动力矩。 耳鳄筲 d d 蠢 移蕊 蛾蛾媳 秽 i i 、，；， w 鬈菇 搿搿搿 ，f，；，；。；l 第3 章柔性机器人协调操作系统的最优载荷分配 3 1 引言 柔性机器人协调操作系统，通过被操作物体构成具有封闭位形的运动链。 当它们所构成的封闭多回路系统的自由度少于系统的驱动输入关节的数目时，系 统具有冗余驱动特性导致逆动力学解不唯一，需要对动载进行分配。对于刚性 机器人协调操作系统国内外学者在动载协调分配方而已作了大量的、比较系统 的研究工作。由于柔性机器人协调操作的复杂性，与刚性机器人协调操作比较，这 方面的研究迩不足。本章将通过理论推导和数值仿真讨论以抓取矩阵广义逆为基 础的载荷分配方法。 32 最小范数法 如图2 - l 所示，设m 个柔性机器人协调操作刚性物体 操作物体为研究对象，系统的力平衡方程为1 1 p = w f 式巾p 物体所受台力； 矽抓取矩阵： ，1 1 1 个柔性机器人作用力的台力。 ，1 n 个柔性机器人作用力的台力。 且 ，= 氟，m = 0m l 肌0 loo 。= o l s i t l ( 吒+ 。屯+ 如) 且为紧固抓持。以被 0 o f ，= 1 2 。j 刈 0 o l 1 oj 厶c o s ( n ，+ 0 + 如) l 1 f f = l i i ，1 f = 【。工 【f j ( 3 1 ) 出式( 3 1 ) 褥瞄j f 。妒+ 尹十f j 、一+ 酽k ( 3 _ 2 ) 式中+ 一瓤致耀箨酌一个广义逆； j 单位耀阵； 取酽+ ：矿鑫孵f ，瓣酽+ 麓鲈豹礁。静p 遂，# 是一个搿 至意选墩瓣 两量。 当绘定期望运动轨迹后，p 和唯一确定。由于非方阵，则f 有无穷多 解。取f 的最小藏数为目标函数 f = + p ( 3 - 3 ) 当帮行满秩时，f 可难一确定，扶黼实现载荷分戳，结合黎稚规器入协调 操作系统的动力学方程( 2 - 2 5 ) ，矮终可求出粱往税器入备个关节的输