控制系统的频率特性.ppt

控制工程基础,第6章控制系统的频率特性,本章主要内容：（1）研究控制系统的频率特性及其表示方法，即研究控制系统的频率响应。（2）频率特性的极坐标图（Nyquist图）。（3）频率特性的对数坐标图（Bode图）。,6.1频率特性的基本概念,时域瞬态响应法是分析控制系统的直接方法。时域瞬态响应法的优点：直观。时域瞬态响应法的缺点：分析高阶系统非常繁琐。频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。应用频率特性研究控制系统的经典方法称为频域分析法。频率特性分析法（频域法）是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广泛采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方法。不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便和直观。,时域,系统常用的数学模型,频率特性的特点,（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性。,注意：稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,引例：如图所示的阻容滤波RC电路，求其频率特性。已知该系统的传递函数为,设输入信号为正弦信号,其拉普拉斯变换为,6.1.1引例,则系统输出信号的拉普拉斯变换为,作拉普拉斯反变换，得系统的输出信号为,RC电路的传递函数：,将s=j代入G(s)，可得,式中：,系统输出信号的稳态分量为,式中:X输入信号的振幅;,输入信号的角频率。,一般线性定常系统,设输入信号为正弦函数,即:,x(t)=Xsint,其拉氏变换为：,一般情况下,传递函数可以写成如下形式:,6.1.2频率特性的定义,系统的输出为,稳定系统,待定系数,稳态输出,式中的待定系数可按求留数的方法求得：,G(j)是一个复数,它可以表示为:,式中:,将待定系数代入式中,有:,式中:稳态输出的幅值,是的函数。,线性定常系统对正弦输入信号Xsint的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号。其特点是：,振幅Y和相位都是输入信号频率的函数。对于确定的值,振幅Y和相位都是常量。,输入、输出关系用函数图和向量图表示如下:,频率特性的定义,幅频特性,相频特性,频率特性,频率特性的求取方法,（1）根据定义求取已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。,（2）根据传递函数求取已知系统的传递函数，即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。,频率特性等于系统输出和输入的傅里叶变换之比。,频率特性的实验求取,（3）通过实验方法测量,6.1.3频率特性的性质,（1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。,（2）频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。,（3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A()和相位移()随之改变。这是系统中的储能元件引起的。,系统模型之间的关系,6.1.4频率特性的表示方法,(1)频率特性的数学表达式,（直角坐标表示法）,（极坐标表示法）,(2)频率特性的几何表示法,对数频率特性曲线：Bode图，对数坐标图,横坐标为频率，采用对数分度。分作两张图，纵坐标分别为幅值和相位，采用线性分度。幅值的单位采用分贝（dB）来表示。相位的单位采用度或弧度来表示。,幅相频率特性曲线：Nyquist图，极坐标图,对数幅相特性曲线：Nichols图，对数幅相图，复合坐标图,横坐标为实频特性。纵坐标为虚频特性。,横坐标为相频特性，采用度或弧度来表示。纵坐标为幅频特性，采用分贝（dB）来表示。,例：一般系统的传递函数和频率特性,由上式可知，一般系统的频率特性是由典型环节的频率特性组合而成。,幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,控制工程基础,第6章控制系统的频率特性6.2频率特性的极坐标图（Nyquist图）,极坐标图（PolarPlots）当从0变化时，根据频率特性的极坐标公式G(j)=A()()，可以计算出每一个值所对应的幅值A()和相位()，将其画在极坐标平面图上，就得到频率特性的极坐标图（Nyquist图）。,RC网络的极坐标图,6.2.1极坐标图概述,极坐标图（Nyquist图）是反映频率特性的几何表示。当从0逐渐增长至+时，频率特性G(j)作为一个矢量，其矢量端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。,乃奎斯特（H.Nyquist)18891976美国Bell实验室著名科学家,极坐标图也称为奈奎斯特图（NyquistPlots）或奈奎斯特曲线，也称为幅相频率特性曲线。,6.2.2典型环节的极坐标图,如果系统如右图所示,则系统开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为,将其分子、分母分解因式，则常见有以下七种典型环节：,（1）比例环节,比例环节的极坐标图,所有元部件和系统都包含这种环节，如减速器、放大器、液压放大器等。,K=1;G=tf(K,1);nyquist(G,*);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：,（2）积分环节,积分环节的极坐标图,积分环节的极坐标图为负虚轴。频率从0时，特性曲线由虚轴的-趋向原点。,G(j0)=-90G(j+)=0-90,G=tf(0,1,1,0);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制积分环节的极坐标图：,（3）微分环节,微分环节的极坐标图,微分环节的极坐标图为正虚轴。频率从0时，特性曲线由虚轴的原点趋向+。,G(j0)=090G(j+)=+90,G=tf(1,0,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制微分环节的极坐标图：,（4）一阶惯性环节,一阶惯性环节的极坐标图,一阶惯性环节的实频特性与虚频特性满足下列圆的方程，圆心在（0.5，0），半径为0.5：,G(j0)=10G(j1/T)=0.707-45G(j+)=0-90,一阶惯性环节频率特性的极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：,整理得：,一阶惯性环节的极坐标图,T=1;G=tf(0,1,T,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制一阶惯性环节的极坐标图：,一阶惯性环节G(j),0,ReG(j),ImG(j),1,=0,=,（5）一阶微分环节,一阶微分环节的极坐标图,tau=1;G=tf(tau,1,0,1);nyquist(G);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制一阶微分环节的极坐标图：,（6）二阶振荡环节,传递函数,频率特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,相频特性,相位角0-180，表示与负虚轴有交点。,G(j0)=10G(j+)=0-180,二阶振荡环节的极坐标图,令U()=0，或令()=-90，可得与负虚轴的交点为：,由图可见，无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。,当过阻尼时，阻尼系数越大，其图形越接近圆。,T=1;Zeta1=0.3;G1=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta1*T,1);Zeta2=0.4;G2=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta2*T,1);Zeta3=0.5;G3=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta3*T,1);Zeta4=0.6;G4=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta4*T,1);Zeta5=0.7;G5=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta5*T,1);Zeta6=0.8;G6=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta6*T,1);Zeta7=0.9;G7=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta7*T,1);Zeta8=1.0;G8=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta8*T,1);Zeta9=2.0;G9=tf(0,0,1,T*T,2*Zeta9*T,1);nyquist(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);axis(-2,2,-2,2);,采用MATLAB绘制二阶振荡环节的极坐标图：,下面讨论二阶振荡环节的幅频特性可能出现的极值问题：,二阶振荡环节的传递函数,二阶振荡环节的幅频特性,令,得,化简后为,当,时，即将=r代入上式，,可以解得二阶振荡环节的幅频特性出现极值时的频率值r。,所以,因为,此频率值r才是非负数。将此出现极值时的频率值r代入二阶振荡环节的幅频特性表达式，可得幅频特性的极值Mr为,此时要求,，即当,时，,又因为A(0)=1，A(+)=0，所以Mr是极大值。,因为,所以,定义：将使得二阶振荡环节的幅频特性出现极大值Mr时的频率值r称为谐振频率，并将此极大值Mr称为谐振峰值。谐振（resonance）也称为共振。,讨论：（1）随着阻尼比减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率r趋近于无阻尼自然振荡固有频率n。（2）当阻尼比=0时，r=n，Mr，此时二阶振荡环节处于等幅振荡状态，为临界稳定状态。（3）谐振峰值Mr越大，表示系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量%也越大。,0,ReG(j),ImG(j),1,A,B,A点：谐振点,B点：与负虚轴的交点,二阶振荡环节G(j),二阶振荡环节的谐振峰值Mr与阻尼比的关系：,二阶振荡环节的幅频特性,二阶振荡环节的幅频特性,定义：控制系统的频域指标（1）谐振峰值Mr：是闭环系统幅频特性的最大值Mmax。出现谐振峰值，表明阻尼比m时，当时，乃氏图曲线终止于坐标原点处。例如：一阶惯性环节和二阶振荡环节。当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，即n=m时，当时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。见下面的例题。结论：高频段的频率特性与n-m有关。,例：绘制频率特性的Nyquist图（考虑m=n）,tau1=1;T1=2;num1=tau1,1;den1=T1,1;g1=tf(num1,den1);tau2=3;T2=1;num2=tau2,1;den2=T2,1;g2=tf(num2,den2);nyquist(g1,g2);,（3）Nyquist图的负频段令从增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到+得出的乃氏图以实轴对称的。采用MATLAB绘制乃氏图，可以显示范围：0，,系统1为最小相位系统，系统2为非最小相位系统。,两个系统的幅频特性相同：,两个系统的相频特性不同：,系统1和系统2的幅频特性,系统1的相频特性,系统2的相频特性,T1=10;T2=1;g1=tf(T1,1,T2,1);g2=tf(-T1,1,T2,1);w=logspace(-2,1,100);bode(g1,g2,w);grid;,采用MATLAB绘制频率特性的Bode图：,控制工程基础,第6章控制系统的频率特性6.5传递函数的实验确定方法,由稳态的输入、输出信号的幅值比和相位差绘制出被测对象的对数幅频特性曲线（Bode图），再得渐近对数幅频曲线。对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。注意：求得的传递函数的对数相频特性曲线与实验曲线应当基本一致，两条曲线在低频和高频段应严格相符。,由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。传递函数的频域实验方法：,根据渐近对数幅频曲线确定传递函数的方法，即由Bode图求取传递函数的一般规则：（1）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。即由低频段的斜率(-20)dB/dec来确定包含积分环节的个数。如果低频段斜率为(-20)dB/dec，则系统的开环传递函数含有个积分环节，系统为型系统。（2）开环增益K的确定。由低频段在=1处的幅频高度L()=20lgK来求得比例环节的增益K值。也可以由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线的交点频率来求得比例环节的增益K。设与零分贝线的交点频率为，当=1时，K=；当=2时，K=*。具体方法为：由=1作垂线，此垂线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值L()=20lgK(dB)，由此求出开环增益K值。低频段斜率为-20dB/dec时，此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于开环增益K值。当低频段斜率为-40dB/dec时，此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于开环增益K值的平方根。,（3）在频率从低频向高频逐渐增加的过程中，当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。斜率每增加一个-20dB/dec时，在此转折频率处即包含一个一阶惯性环节。斜率每增加一个+20dB/dec时，在此转折频率处即包含一个一阶微分环节。斜率每增加一个-40dB/dec时，在此转折频率处即包含一个二阶振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比。或者包含两个一阶惯性环节。斜率每增加一个+40dB/dec时，在此转折频率处即包含一个二阶微分环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比。或者包含两个一阶微分环节。,0型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如图所示。,0型系统的特点低频段斜率为0dB/dec；低频段的幅值为L()=20lgK。,0型系统对数频率特性低频段示意图,I型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如图所示。,I型系统对数频率特性低频段示意图,I型系统特点,低频段斜率为-20dB/dec；位置由下式确定,当时，,低频渐近线（或其延长线）与0分贝线的交点为,当时，,型系统,开环频率特性有如下形式：,其对数幅频特性的低频部分如图所示。,型系统对数频率特性低频段示意图,型系统特点,低频段斜率为-40dB/dec；位置由下式确定,当时，,低频渐近线（或其延长线）与0分贝线的交点为,当时，,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,解：1）由于低频段斜率为-20dB/dec，所以有一个积分环节,2）在=1处，L()=15dB=20lgK，可得K=5.6,3）在=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/2+1),4）在=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1),例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。,解：1）由于低频段斜率为-40dB/dec，所以有两个积分环节，=2,3）在=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/30+1),2）在=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1),4）在=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有一阶惯性环节1/(s/50+1),5）低频段延长线与零分贝线的交点频率=2，因为=2，所以K=22=4,习题：P.226：6-9,控制工程基础,第6章控制系统的频率特性6.6闭环系统的开环频率特性,6.6.1开环传递函数与开环频率特性的定义,根据系统的开环频率特性来分析和设计系统，是工程设计中常用的方法。对于单位反馈系统，其闭环传递函数为,对于非单位反馈系统，其闭环传递函数为,处理方法：可以将非单位反馈系统转化为两个环节的串联形式来处理:（1）其中一个环节是以非单位反馈系统的开环传递函数G(s)H(s)为前向通道传递函数的单位反馈环节；（2）另外一个环节是非单位反馈系统的反馈通道传递函数的倒数。,6.6.2根据开环频率特性近似分析闭环频率特性,根据系统的开环频率特性来分析和设计系统，是工程设计中常用的方法。在进一步分析和设计系统时，经常需要用到系统的闭环频率特性。下面介绍如何利用系统的开环频率特性来近似分析系统的闭环频率特性。,例：采用MATLAB分别绘制单位反馈控制系统的开环频率特性和闭环频率特性的Bode图。,MATLAB程序：num=1;den1=1,0;den2=1,1;den=conv(den1,den2);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);w=logspace(-3,3,100);bode(openloop,closedloop,r,w);grid;颜色说明：openloop：蓝色closedloop：红色,例：采用MATLAB分别绘制单位反馈控制系统的开环频率特性和闭环频率特性的Nyquist图。,MATLAB程序：num=1;T1=1;T2=0.5;den1=1,0;den2=T1,1;den3=T2,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);w=0,logspace(-2,2,500);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);quotient=openloop/(1+openloop);%比值nyquist(openloop,closedloop,r+,quotient,k.,w);axis(-22-22);,MATLAB程序：num=3;den1=1,0;den2=0.05,1;den3=0.2,1;den=conv(conv(den1,den2),den3);w=0,logspace(-2,2,100);openloop=tf(num,den);closedloop=feedback(openloop,1);figure(1);nyquist(openloop,closedloop,r,w);axis(-1.51.5-1.51.5);grid;figure(2);bode(openloop,closedloop,r,w);grid;,例：采用MATLAB分别绘制单位反馈控制系统的开环频率特性和闭环频率特性的Nyquist图和Bode图。,定性讨论：对于一般的实用系统，其开环频率特性G(j)具有低通滤波的性质，即有（1）在低频段，一般有|G(j)|1，即L()0（假设系统开环积分环节的个数v1，低频段斜率-20dB/dec），故闭环频率特性可近似为,此式说明，在低频段，闭环系统的幅频特性近似等于1，即输出信号与输入信号近似相等，即输出信号可以复现输入信号。（2）在高频段，一般有|G(j)|1，即L()0，故闭环频率特性可近似为,此式说明，在高频段，闭环系统的幅频特性与开环