（模式识别与智能系统专业论文）小波域统计图像建模与图像降噪.pdf

摘要 捅妥 由于图像获得方式的限制或在传输过程中受到的干扰，观测到的图像通常 被各种各样的噪声所污染。这种带噪图像不仅不利于观测，而且很难对其进一 步处理。图像降噪的主要目的是在保留图像原有重要信息( 如边缘等) 的前提 下降低或消除噪声，获得高质量的为人类视觉所接受的图像，从而为下。步的 图像处理奠定基础。 小波变换是近十几年来发展起来的一种新的信号处理工具，由于其特有的 多分辨率分析特性与良好的时频局部分析特性，使其被广泛应用于信号和图像 处理领域。基于小波域的各种统计图像模型在图像处理领域中充当了一个重要 角色。以小波域统计图像模型为未知图像的先验模型并应用到圈像降噪中，获 得了很好的效果，在图像降噪方面表现出了明显的优势。 小波域隐马尔可夫树( h m t ) 模型可以很好地刻画尺度间小波系数的相关 性，但模型参数的训练过程复杂，计算量大。针对这个缺点，本文提出了一种 不经训练的h m t 模型参数快速估计方法。该算法首先用一种自适应闽值将每 个子带小波系数分成两类，然后对每类分别进行统计，这种统计是局部的，因 而有很好的局部自适应性，最后模型参数可以利用这些局部的统计特性来描 述。将本文估计出的参数模型运用到图像降噪中，实验结果表明这种快速估计 的h m t 参数模型不仅可以大大提高计算速度，降低计算复杂度，而且从峰值信 噪比( p s n r ) 和视觉效果上都不逊于传统的经迭代e m 算法训练的h m t 模型降 噪算法。 针对传统小波在图像降噪方面的不足，本文提出了一种基于二元树复小波 变换( d t c w t ) 的局部高斯混合模型( l g m m ) 图像降噪算法。在复小波域 卜对观测图像进行一种基于高斯混合模型的后验概率分类，并在每类小波系 数的局部邻域估计出l g m m 的参数，这种参数估计是局部自适应的，然后用这 种l g m m 对各个子带系数进行贝叶斯框架下的最大后验概率( m a p ) 估计，从 而达到降低噪声的目的。由d t c w t 具有近似的平移不变性和良好的方向选择 性，因而在降噪的同时可以很好地消除主要边缘处的“振铃”效应。实验结果 表明这种算法无论从峰值信噪比还是从主观视觉效果上都要优于一些传统的小 波域降噪算法。 针对单j ，j 、波域模型在图像降噪中效果并不理想的缺点，本文提出了一。种 基于分类的小波域混合模型降噪算法。该算法通过一种自适应阈值分类，把小 小波域统计图像建模与图像降噪 波系数分为两类：“大”的( 重要的) 和“小”的( 不重要的) 。根据不同类 小波系数的统计特性分别用不同的模型进行降噪，最后用“c y c l e s p i n n i n g ”方 法抑制降噪过程中可能存在的“振铃”和“锯齿”等失真。实验结果表明了该 算法的有效性。 关键词：图像降噪，小波变换，二元树复小波变换，隐马尔可夫树模型，局部 高斯混合模型，双变量收缩模型，自适应阈值分类，最大后验概率估计 i i a b s n a c t a b s t r a c t d u et ot h ei m p e r f 色c t i o no fi m a g ea c q u i s i t i o ns y s t e m sa i l d 缸锄s m i s s i o nc h a n n e l s ， i m a g e sa r eo n e nd e 伊a d e db yn o i s e t h ep r e s 锄c eo fn o i s ej sv i s u a l l y 籼o y i n g 柚d m a k e si tm o r ed j 儡c u l t l yt op e r f o r n lt a s k ss u c ha si m a g es e g m e n t a t i o n ，o b j e c tr e c o g n i t i o n t h eg o a lo f 曲a g ed e n o i s i n gi st or c m o v et l l en o i s ew h i l er e t a i n i n ga sm u c ha s p o s s i b l et h ei m p o r t a i l tf e a t u r e s ( e d g e s ) a i l do b t a i na c c 印t a b l ei m a g e f b rv i s i o n n l ew a v e l e tt m s f o m ( w t ) h a se m e 玛e da sa ne x c i t i n gn e wt o o lf o rs t a t i s t i c a l s i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n 晷t h e 、v to fi m a g ec a np r o v i d eac o m p a c t ，j o i n ts p a a l f r e q u e n c ya n dm u l t i s c a l er e p r e s e n t a t i o n ，w h i c hi s 印p l i e dav a r i e t yo f i m a g ep m c e s s i n g 矗e l d s t a t i s t i c a li m a g em o d e l sa c ta si m p o n a n tr o l ei ni m a g ep m c e s s i n g6 e l d w a v e l e t d o m a i ni m a g em o d e li st a k e na st h ep d o rm o d c lo fn a t u f a l 砷a g e s ，a n di sa p p l i e df b r i m a g ed e n o i s i n g a i m o u 曲h i d d e nm a r k o vt r e e ( h m t ) m o d e lc a p t u r e si n t m s c a l ea l l di n t e r s c a l e d e p e n d e n c i e so fw a v e l e tc o e 葡c i e n t s ，m o d e lp a 删m t e rt r a i n i n gi sc o m p l e xa n dc o m - p u t a t i o n a lc x p e n s i v e t bs o l v et h i sp m b l e m ，w ep r o p o s eaf a s tp a r 啪e t e re s t i n l a t i o n a l g o r i t h mw h i c ht r a i n i n gi sn o tn e e d e d f i r s t l me a c hs u b b a n d c o e 疗j c i e n t sa r ec l a s s i 矗e d b ys p a t i a l l ya d a p t i v et h r e s h o l d s e c o n d l y ，l o c a ls t a t i s t i c a lf e a t u r e so fd i 舵r e n tc l a s s e s a r ec o m p u t e dr e s p e c t i v e l y ，a l l dh m tm o d e lp a r a i l l e t e r sc a nb ee s t i m a t e db yl o c a ls t a t i s t i c a lf 宅a t u r e s f i n a l l y an o n t m i n i n gh m ti su s e dt oi m a g ed c n o i s i n g e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tt h ep r 叩o s e df a s tp 猢e t e re s 石m a t i o na l g o r i t l l mc a nn o to n l yr e d u c ec o m p u t a t i o n a le x p e n s i v ea n da c c e l e r a t ec o m p u t a t i o n ，b u ta l s oi m p r 0 v ed e n o i s i n g p e r f 研m a n c eo f p s n ra n dh u m a i lv i s i o no v e ro 山e rm e t h o d s i n 山i sp 印e r a i la l g o r i t h mb a s e do nl 0 c a lg a u s s i a nm i x t u r em o d e l ( l g m m ) o f d u a l 一1 h ec o m p l e xw a v e l e tt 啪s f o r h l ( d t c w t ) i sp r o p o s e df o ri m a g ed e n o i s i n g a c l a s s m c a t i o ni sp e r f b 加e db a s e do np o s t e r i o rp r o b a b i l i t yo fg a u s s l a nm i x t l l r em o d e l ( g m m ) ，w i t l ld i f 凳r e n tc l a s sm a t c h i n gd i f 琵r e n tg a u s s i a nm o d e lt h e ns u b b a l l dc o e 佑一 c i e n t sa r ee s t i m a t e db yu s m gm a x i m u map o s t e f i o r i ( m a p ) e s t i m a t o r a sa p p r o x l m a t e s h mi n v a “锄c ea i l dg o o dd i r e c t i o n a l i t yo f d t c wt ，i tc a nr e m o v e “r i n g i n g ”o f t h e e d g er c g i o n e x p e r i m e n t a lr c s u l t ss h o w a ni m p r o v e dd e n o i s i n gp e r f o n n a n c eo fp s n r a n dh u m a nv i s i o nt h a no t h e rm e t h o d s b vu s i n ga d a p t j v et h r e s h 0 1 dc l a s s i 忾c a t i o n ，w a v e l e tc o e 衔c i e n t sa r eg m u p e di n t o i i i 小波域统计图像建模与图像降噪 t w oc a t e g o r i e s ：l a r g e ( s i g n 访c a n t ) c o e 佑c i e n t sa r l ds m a l l ( i n s i g n 访c a l l t ) c o e 街c i e n t s t h el a f g ec o e 伍c i e n t sa r ed e n o i s e db yb i v 撕a t es h i i 击( a g em o d e lw i t hi m e r s c a l ed e p e n d e n 喵锄dt l l e 咖a uc o e 街c i e m sa r cd c n o i s e db yz e r o - m e a ng a u s s i 锄m o d e l 丽t hh i 曲 l o c a lc 呲l a t i o n “c y c e l s p i i l l l m g ”t e c h n i q u ei su s e dt 0s u p p s sm ea n i f a c t sm a t m a y e x i s ti nt l l ed e n o i s e di n l a g e s e x p e r i m c n t a lr e s u l t ss h o wt 1 1 a to i l rm e t l l o di m p m v e s s i g n 讯c a n t l yi nt h ep s n ra n d 吼l b j e c t i v ev i s l l a le 彘c to f t i l ed e n o i s e di m a g e s k e yw b r d s ：h n a g ed e n o i s i n g ，w a v e l e tt r 柏s f o 皿，d t c w t ，h m tm o d e l ，l g m m ， b i v 撕a t es 1 1 1 【a g em o d e l ，a d 印t i v et h r e s h o l dc l a s s 谕c a t i o n ，m a pe s t i m a t i o n l v 丰要符号对照表 d t c w t d w t e q e m g g d g l d g m m g s m h m m h m t i i d l g m m m a p m d l m l m m s e m r a m s e p d f p s n r s n r t i 主要符号对照表 二元树复小波变换( d u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s 加n ) 离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a j l s f o i i l l ) 估计量化( e s t i m a t i o no u a n t i z a t i o n ) 期望最大( e x p e c t a t i o nm a x i m i z a t i o n ) 广义高斯分布( g e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i t i u t i o n ) 广义拉普拉斯分布( g e n e m l i z e dl a p l a c i a nd i s 晒b u t i o n ) 高斯混合模型( g a u s s i a nm i x t i l r em o d e l ) 高斯尺度混合模型( g a u s s i a l ls c a i em i x t u r e ) 隐马尔可夫模型( h i d d e nm a r k o vm o d e l ) 隐马尔可夫树模型( h i d d e nm a r l vt r e em o d e l ) 独立同分布( i n d e p e n d e n tl d e m i c a l l yd i s t r j b u t i o n ) 局部高斯混合模型( l o c a lg a u s s i a nm i x t u r em o d e l ) 最大后验概率( m a x i m u map o s t 丽o r ) 最小描述长度( m i n i m u md e s c r i p n o nl e n g t h ) 极大似然( m a x i m u ml i k e l i h 0 0 d ) 最小均方差( m i n i m u mm e a ns q u a r e de n d r ) 多分辨率分析( m u l d f e s o l u t i o a n a l y s i s ) 均方误差( m e a ns q u a r e de r r o r ) 概率密度函数( p r o b i b i l t yd e n s 崎f u n c t i o n ) 峰值信嗓比( p e a ks i g n a ln o i s er a t i o ) 信噪比( s i 印a ln o i s er a t i o ) 平移不变( t a n s l a t i o ni n v 撕a n t ) 一l x 独创性声明 本人声明所递交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确地说明并表示了谢意。 签名：壁堑堕日期：兰塑至、! 垒 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国科学院自动化研究所有关保留、使用学位论文的规定 即：中国科学院自动化研究所有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和 借阅；可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：荡老幺导师签名 擗慨勤 第，章引言 1 1 研究目的和意义 第一章引言 在图像的采集、获取、编码和传输过程中，所有的图像均不同程度地被可 见或不可见的噪声所“污染”。噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感 器对所接收图像源信息进行理解或分析的各种因素。噪声源包括电子噪声、光 予噪声、斑点噪声和量化噪声等。如果信噪比( s i 助a ln o i s er a t i o ，s n r ) 低于 一定水平，噪声逐渐变成可见的颗粒形状，就会导致图像质量的下降，而且噪 声也可能掩盖图像的重要细节。一般的噪声是不可测的随机信号，它只能用概 率统计的方法去认识。噪声刘图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采 集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。特别是图像的输入、采集的噪声 是个十分关键的问题，若输入不良，伴有较大噪声，必然影响到处理过程和输 出结果。因此一个良好的剀像处理系统不论是模拟处理还是计算机处理无不把 前一级的降噪作为主攻目标。图像降噪的主要目的是在保留图像原有重要信息 ( 边缘等) 的前提下降低或消除噪声，_ 向获得高质量的为人类视觉所接受的图 像，从而为下步的图像处理奠定基础。 1 2 研究内容和方法 奉论文的研究内容主要有两个方面：小波域图像建模与图像降噪。在图像 模型已知的情况下就可以准确的从噪声图像估计m 原始图像，因此，图像建模 是图像降噪的基础，模型的准确性将直接关系到图像降噪效果的好坏。 1 2 1 图像建模 图像建模就是要抓住图像的重要特征，利用某种数学或其他表达式来解决 各种图像的处理问题。图像建模是用一种数学的解析式来表达图像的特征或基 本属性，或者说图像模型表现了人对图像特征的某种抽象认识。数学模型是对 复杂现象和过程的简化描述，能够为问题的分析和数值处理提供基础的框架。 图像模型一般可以分为两类：确定性模型和统计( 随机) 模型。确定性模型就 是给出一些输入的条件下可以预测单一的输出，而统计模型把图像当作是某种 概率模型的实现，可以通过比较他们的可能性及概率来预测可能的输出。这两 小波域统计图像建模与图像降噪 类模型对于图像特征的刻画各有特点，可以应用在不同的图像处理问题中。但 是由于确定性模型的局限性( 不能准确刻画图像的特征) ，因此目前利用统计 图像模型来进行图像处理的较多。 正确的图像模型可以作为先验知识或约束用于图像重建、图像复原、纹理 生成、图像编码、图像分割、特征提取、图像知识识别和其他的图像处理任 务。例如，对于图像降噪问题，如果一副被某种噪声退化的图像，我们基于原 图像的模型能从噪声图像中恢复出原图像；对于分类问题，如果通过一个可以 很好的描述不同纹理的纹理模型就能够给出纹理区域的前提下识别出各种纹 理；对于自动目标识别问题( a t r ) ，一个准确的可以刻画背景、簇和目标的 模型可以帮助我们很好完成目标识别工作；对于图像压缩问题，如果借助于准 确的图像模型，我们可以设计出有效的预测方案去编码图像数据。显然，对不 同的应用我们可能要关心的图像特征不同，因而需要不同的图像模型。因而， 在很多图像处理应用中图像模型都充当了一个重要的角色。 1 2 - 2 图像降噪 如图1 1 所示，如果一幅原始图像，k 卅被噪声n i ，卅所污染，可以得到一幅 观测图像g p ，j l ： 外，j 】= 外，j 】+ n p ，j 】 降噪的日标是从观测到的含噪声图像9 【i ，卅中获得对原始图像，【，纠的一个 估计，p ，小从而使均方误差t m e a ns q u a r e de o r ，m s e ) ： m s e ( ，) = 击( 外，力一，k ，舻 ( 1 2 ) 一f j = j 达到最小。式中2 为图像象素总数。 那么如何从噪声图像中估计出原始图像呢? 目前，解决这类问题的方法很 多，大致可以归纳为两大类：空间域的方法和频率域的方法。空间域的方法是 直接对图像中的象素进行处理，基本上以灰度映射变换为基础；而频率域方法 是运用各种变换技术把图像变换到更加易于处理的频率域巾进行处理，然后再 反变换得到我们所期望的图像。由于频率域方法相对于空间域方法，在计算上 简单，更加容易抓住图像的本质特征，因而更具优势。本文主要是在小波变换 2 第一章引言 图1 1图像退化模型 域中研究图像的建模与图像的降噪，这得益于图像的小波变换具有时频局部 性、能量聚集性、近似解相关性以及多分辨率的特性，能更简单地表示出图像 的本质特性。 1 3 论文安排 本文主要研究了小波域的统计图像建模及其在图像降噪中的应用，研究的 重点在于小波域统计模犁的局部自适应性与准确性，以及如何减少统计模型在 图像降噪中的复杂性。针对传统抽取小波的一些固有缺点，本文也研究了种 复小波变换二元树复小波变换，这种复小波变换可以克服传统抽取小波的 一些缺点，在图像降噪中得到了很好的效果。 本文的内容安排如下： 第二章，首先介绍了小波变换的基本理论，分析了小波变换的多种特性， 并引出了一些在图像处理中比较常用的小波域统计模型；然后分类详细介绍了 各种小波域图像降噪算法；最后介绍了各种小波域统计图像模型在图像降噪中 的应用及几种衡量图像降噪的指标。 第三章，首先介绍了隐马尔可夫模型( h i d d e nm a r k o vm o d e l ，h m m ) 的 基本概念和理论：然后介绍了小波域的h m m ，即隐马尔可夫树( h m t ) 模 型的理论；最后介绍了目前在h m t 模型参数估计的改进方法。针对目前小波 域h m t 模型参数估计的过程复杂，计算量大的缺点，奉章提 i _ l 了一种h m t 模型 参数快速估训方法，大大节省了参数训练所需的时间，为其今后该模型的广泛 应用提供了基础。 第四章，针对传统抽取小波不具有平移不变性等缺点，引申出了一种新的 具有平移不变性、多方向选择性和容易实现的复小波变换二元树复小波变 3 小波域统计图像建模与图像降噪 换。本章首先介绍了二元树复小波的基本理论，并分析了它的一些基本性质； 然后引入了一种具有局部自适应的局部高斯混合模型( l g m m ) ；最后是实验 结果分析。 第五章，由不同类小波系数具有不同的特性，引出了用不同模型来分别刻 画不同类的小波系数。本章介绍了刻画不同类小波系数的两种不同的模型，并 以此为基础分别对不同类的小波系数进行降噪，最后比较了作者提出的算法与 其它降噪算法的优劣。 第六章，总结与展望。总结了本文的研究成果和所做的工作，并对进一步 的工作方向进行了展望。 4 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 通常，现实中的图像都是带有噪声的，所以为了后续更高层次的处理，很 有必要对图像进行降噪。本章主要讨论现有的小波域图像统计模型及图像降噪 算法。首先给出了小波变换的定义，并分析了自然图像小波变换的基本性质； 接着对现有的各种小波域统计模型进行了简要的总结和对比，给出了图像降噪 问题的小波域描述方法；最后对现有的各种小波域图像降噪算法进行了简要的 分析，并重点介绍了几种典型的小波域图像降噪算法。 2 1 小波变换 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o m ，w t ) 是二十世纪8 0 年代发展起来的应用数 学分支。虽然在此之前已有一些学者做过一些零散的工作，但是理论上构成 较系统的构架则主要是法国数学家m e y e r ，地质物理学家m o r l e t 和理论物理学 家g r o s s m a i l 的贡献。而将这一理论引入到工程应用，特别是信号处理领域则主 要归功于硒位学者d a u b e c h i e s 和m a l l a t 。近十年来，小波变换已成为统计信号和 图像处理的新的有力工具。小波变换己成功应用于自然信号处理的诸多领域， 如信号估计、检测、分类、压缩、台成以及预测和滤波等等。 2 1 1 小波变换定义 设，( t ) 是平方可积函数( 即，( t ) l 2 ( 瓞) ) ，妒( t ) 是被称为基本小波或母小 波( m o t h e rw a v e l e t ) 的函数。则： 击e m ( 字) 出训( c ) 川啪 ( 2 ) 称为，( t ) 的小波变换。式中n 0 是尺度因子，r 反映位移其值可正可负。符 号( 。、协代表内积，它的含义是( 上标* 表示取菇轭) ： z ( ) + ( t ) 疵 ( 2 2 ) 妒。，( t ) = 击吵( 等) 是基本小波的位移与尺度伸缩a 小波理论的基本出发点是将信号分解成不同尺度( 或分辨率) 下的分量组 合。这种分解的优点是使得信号在不同尺度下的分量可以分离匕上便进行单独的 5 小波域统计图像建模与图像降噪 研究。信号的全局特征可以在较粗的尺度下观察，而信号的局部特征或奇异点 可以在较细的尺度下进行分析。 规范正交小波基可以在连续时间域构造，也可以从离散时间域的滤波器出 发构造。d a u b e c h i e s 首先发现，在一定的正规性条件( r e g u l 耐t yc o n d i t i o n s ) 下，离散滤波器或q m f ( q u a d r a t u 坤m i 啪rf i l t e r b a l l l ( s ) 通过叠代运算后将收敛 于连续的小波函数 1 】。这是一个非常实用的小波分解策略，因为我们可以通 过f i r ( f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ) 滤波器来实现它。文献【l 】同时揭示了使用f i r 滤波器实现正交规范小波基与理想重建的子带编码策略之间的等价性。此 后，c o h e n 、d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u ( c d f ) 给出了构造有限支撑域的双正交小 波的系统方法 2 。 m a l l a t 和m e r y e r 合作提出的多分辨率分析( m u l t i 啪s 0 1 u t i o na 】1 a l y - s i s ，m r a ) 框架，并给出了小波构造的一般方法【3 ，4 】。 2 1 2 一维信号的正交小波多分辨率分析 令l 2 ( r ) 为一维可积函数，( ”所组成的向量空间。存在一个嵌套的子空间系 列k ，j z 和一尺度函数曲( ) ，满足： ( 1 ) ， 并且n 。z = o ) ，弼= l 2 ( 妁： ( 2 ) ，( t ) k # = 飑) k + 1 ( 3 ) ，( t ) k ，0 一) ； ( 4 ) 砂 一) ) 是的规范正交基。 以上条件要求咖( t ) 的平移伸缩集 也，( t ) = 2 一，2 咖( 2 一t 一) ，女z ) 为空 间k 的规范正交基，且： 咖删= ( ) 奶吐k ( t ) ( 2 3 ) k 其中 o ( k ) ) 为一组系数( 低通滤波器) ，由f 式给山： o ( 女) = ( 咖，o ( t ) ，九一，k ( t ) ) = ( 西1 ，o ( t ) ，女( t ) ) ( 2 4 ) 对于函数，( t ) l 2 ( 酞) ，它在子空问u 上的投影厶( t ) 是在尺度j 上对它的逼 一6 一 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 近，随葡的减小，这种逼近越来越精确。其两相邻逼近之间的差卯( t ) = 厶一t ( ) 一南( ) 是位于小波子空间、上的细节信号。事实上，子空间k t 可以正 交分解为： k 一，= k o ( 2 5 ) 其中是由基 奶，k ，女z ) 张成的空间且 咖m 女z ) 是的规范正交 基，妒( t ) 为对应于( t ) 的小波函数。式( 2 5 ) 表明，对于任意的 【，有： 且l 2 ( 瓞) 可以正交分解为： b = ( o 墨j + ，) o 屹 l 2 ( r ) = ( 名一。) o 圪 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 因此任意，( t ) 工2 畔) 可以分解为尺度l 上的逼近信号以及尺度和更小尺度上 的细节信号之和。 由( 25 ) 式，妒( t ) 必须满足： 奶删= ，( ) 奶吐k ( t ) k 其中 ，( ) ) 为一组系数( 高通滤波器) ，由下式给出 ( 2 8 ) 。( k ) = ( 咖，o ( t ) ，如吐 ( t ) ) = ( 砂，o ( t ) ，她k ( t ) ) ( 2 9 ) 由( 2 7 ) 式，对任意，( t ) l 2 ( 震) 可以作如下分解 弛) 一啡慨( t ) + d 弘奶，女( t ) ( 2 1 0 ) k zj 5 j 女z 其中a ，= ，( ”移j ，k ( t ) 疵，d j ，k = ，( t ) 奶* ( ) d 亡。 令i ( r 1 ) = z ( 一n ) ，进一步的推导可以得到： 。( n 一2 ) n 一= + 丽( 2 ) ( 2 - 1 1 ) 一7 一 小波域统计图像建模与图像降噪 奶+ ，k = 1 一2 ) q ，。= + 石( 2 k ) n j ，i = 。( 一2 n ) + l 。+ 危l ( ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 综上所述对信号，( t ) = 。o o ，。庐o n ) ，其正交小波分解和重建的滤 波器组的实现如图2 1 所示。其中，对唧+ 1 的分解和重建可以迭代进行，此时对 应着树结构的子带分解，这种分解形式称为m a l l a t 分解。 图2 1正交小波分解和重建的滤波器组的实现 2 1 3 二维信号的小波多分辨率分析 一维信号的多分辨率模型可以推广到二维图像信号的情况。这里只考 虑l 。( r z ) 的可分多分辨率分析【3 】。给定驴( 豫) 的多分辨率分析( 嘭1 ) ，。z ，一个嵌 套的二维子空间系列( 吩2 ) ，；z 构成2 ( r 2 ) 的多分辨率逼近，其中： 蟛”= w ” w ” 表示两个一维向量空间的张量积( 1 h s o r p r o d u c t ) 。并且二维尺度函数 ( 2 1 4 ) 币s ) = 氟) 咖( s ) ( 2 1 5 ) 其中咖0 ) 是相应的一维多分辨率分析( 嘭1 ) ，e z 的尺度函数。函数族 西j ，k 1 ( t ，s ) = 咖， ( ) 也，l ( s ) ，j ，女，f z ( 2 1 6 ) 是w 2 的规范正交基。二维小波空间叫2 由三个分别刻画水平、垂直及对角方 一8 一 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 i 皿“( t ，s ) = 妒( t ) ( s ) 妒( t ，s ) = 曲( ) 妒( s ) i 皿。( t ，s ) = 妒o ) 妒( s ) 1 喇2 的规范正交基为 解 式中 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 与一维情况类似，对于任意二维信号，( ，s ) l 2 ( r 2 ) ，可以将其作如下分 弛，s ) = 啡，z 中圳( t ，s ) 十略皿( t ，s ) + k ，f zj 茎j ，l z 。吣( t ，s ) + 州平( t ，s ) ( 2 1 9 ) j 曼j k ，2 z，蔓j k ，2 z 与维情况类似，二维信号的小波分解和重建也可以通过滤波器 组来实现。对张量积小波来说，二维尺度函数垂( ，s ) 以及与二维小波函 数皿“( t ，s ) 、”( t ，s ) 和妒( ，s ) 相对应的二维滤波器可通过相应的一维滤波 器 o 和 1 张成。 2 1 4 小波变换与予带变换的区别 小波变换虽然是子带变换的特例，但小波变换的数学机理却与子带变换的 一9 一 z七 、p 扣0九如如 曲0 0“屯屯屯 = | l | | 曲曲曲o o 。贴。仆o=鼍 l l 皿皿 ，i，、l 幽如如如如出出出 、) s s s s i ，l j j j j k k b b 正e二口di e垂e|圣 s s s s；t ，；，l ， 盯仃仃盯 | | = | | | | j j j j k * k 略略嚷 ，l_jcl_-l_i、 小波域统计图像建模与图像降噪 数学机理大不相同。小波变换分析的本质上是连续信号，而子带变换更多的用 于分析离散信号。小波变换更多的是从空间域来分析信号的时频特性，而子带 变换更多的是从频域来分析信号的特性。 当应用小波变换时，我们接收的输入实际上是更小尺度的尺度函数的系 数，而不是某个函数的采样值。与子带变换的框架不同，小波框架隐含着指定 了一个连续信号，而我们的初始输入正是这一连续信号与更小尺度的尺度函数 的卷积系数。连续函数的引入使得我们可以使用强大的数学分析工具来分析信 号或指导滤波器的设计过程。在连续函数的框架内，我们可以刻画出那些用少 量小波系数就可以精确表示的函数类型，也可以解决象基函数光滑性的刻画这 一类问题。通过对这些问题的考虑，可以得到小波滤波器以及子带滤波器的新 的设计准则。 小波变换区别于子带变换的另一特点是它能同时刻画信号的时域和频域特 性，而子带变换刻画的是信号的频域特性。小波变换系数反映了信号在某一时 刻或某一位置的时频特性。这一时频局部特性在一些基于小波变换的图像压缩 系统中被证明是非常有价值的。 2 2 自然图像小波变换的基本性质 在进行基于小波域的图像处理时，我们并不直接处理图像本身而是通过对 图像小波变换的处理间接地达到处理图像的目的。应用小波分析的目的在于从 小波系数推测信号的局部频率，或者利用系数的稀疏性来压缩信号，而这种推 测精度的高低、对被推测信号的实用范围，在本质上依赖于信号分解后小波系 数的性质。 文献 5 】将小波变换的特点分为了三类：主要特点( p r i m a r yp r o p e n i e s ) 、 次要特点( s e c o n d a r yp r o p e n i e s ) 以及由前两类特点引申出来的第三类特点 ( t e n i a r yp m p e r t i e s ) 。这些特点对于各种小波域的图像处理应用( 如压缩、去 噪、复原等) 具有重要的指导意义，是所有基于小波域图像处理算法的基础。 小波变换的主要特性( p r i m a r yp r o p e n i e s ) ： p 1 局部性( l o c a l i t y ) ：在时域和频域巾每个小波系数都可表示图像的局部 内容，每个小波函数都同时具有空域和频域的局部性，表示的只是图像在 某一位置和某一频率附近的内容，因而它是局部的。时频局部性是小波变 换晟重要的性质。 l o 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 p 2 多分辨率性( m u l t i q _ e s o l u t i o n ) ：小波变换在各个尺度上都可表示图像内 容，因而可以通过小波函数的伸缩对图像进行多尺度分析。 p 3 边缘检测性( e 以ed e t e c t i o n ) ：小波变换可以作为局部边缘检测器，也 即小波是一种局部边缘检测算子，图像中的边缘由相应位置的较大的小波 系数来表示。小波变换具有检测图像水平、竖直和对角方向边缘的能力。 p 4 能量聚集性( e n e 增yc o m p a c t i o n ) ：真实图像的小波变换系数矩阵倾向于 稀疏矩阵。时频局部性使小波变换能够匹配高频瞬态信号和边缘，而多分 辨率特性又使得小波变换能够匹配变化缓慢的谐波信号，二者的结合使得 小波变换具有匹配各种信号的能力。由于只有在小波函数支撑内存在边缘 才会出现大的小波系数，而自然图像往往可以看成分片平滑的，边缘只构 成图像非常小的一部分。因此自然图像往往可以由有限的、较为显著的小 波函数和尺度函数来近似，这也即小波变换的压缩特性。 p 5 解相关性( d e c o r r l a t i o n ) ：真实图像的小波变换系数间是近似于解相关 的，即小波系数间的依赖性在尺度内和尺度间都是局部的。 f a ) 原始图像( b ) 三级小波分解( c ) 四叉树结构 图2 2 图像小波分解 性质p 1 和p 2 使自然图像的小波系数可以在水平、竖直和对焦三个方向表示 图像的边缘，其中每个子带都是一个四叉树的结构，如图2 2 示。性质p 4 表明了 自然图像的大部分小波系数都足小的，而少部分的小波系数集中了图像的主要 信息。正是因为小波变换具有这些基本性质，自然图像经小波变换后比图像本 身具有更为简单的结构，其统计特性也更容易刻画。 小波变换的次要特性( s e c o n d a r yp r o p e n i e s ) ： 小波域统计图像建模与图像降噪 s l 聚类性( c l u s t c r ) ：如果某一个小波系数是“大或小的，则其附近 的小波系数很可能也是“大”或“小”的。 s 2 保持性( p e r s i s t e n c y ) ：“大”或“小”的小波系数具有尺度间传递的性 质，即如果在某一尺度上有一小波系数是“大”或“小”的，则在其相邻 尺度同一位置上的小波系数往往也是“大”或“小”的。 小波变换的第三个特性( t e n i a r yp r o p e n i e s ) t l 尺度问呈指数退化( e x p o n e n t i a ld e c a ya c r o s ss c a l e ) 关系：自然图像小波 系数的幅值随尺度的减小呈指数衰减关系。 t 2 在细尺度有强的保持性( s 咖n g e r p e r s i s t e n c ea tf i n es c a l e s ) ：小波系数幅 值“大”或“小”的状态的保持性随尺度减小呈指数增强关系。 从上面小波变换的三大类统计特性，引出了很多基于小波域的各种建模方 法和图像处理算法，这些小波域的方法将大大减少直接对图像建模时的计算量 和复杂度，在图像处理方面得到了广泛廊用。实践中，信号估计和降噪通常仅 利用了小波系数的非高斯分布特性而很少考虑小波系数问的统计依赖性。这样 做主要是出于简单性方面的考虑，并非小波系数间的依赖性不存在。 2 3 自然图像的小波域统计模型 自然图像是多种多样的，其统计特性也是非常复杂的。为简 单形象地说明这一问题，我们以l e n a 、b o a t 、b a r b a r a 和c 柚e m 四幅标准 的测试图像为例。原始图像分别如图2 3 ( a ) 、2 4 ( a ) 、2 5 ( a ) 和2 6 ( a ) 所示。 图2 3 ( b ) 、2 4 ( b ) 、2 5 ( b ) 和2 6 ( b ) 分别为这些图像在空间域的统计直方图。由 此可以看出，自然图像在空间域的边缘分布并不具有某种特定的形式，因而我 们也不太可能利用某种形式的分布作为自然图像在空间域的边缘分布的模型。 图2 3 ( c ) 、2 4 ( c 1 、2 5 ( c ) 和2 “c ) 分别为四幅图像的三级小波分解示意图，而 图2 3 ( d d 、2 4 ( d f ) 、2 5 ( d f ) 和2 6 ( d f ) 分别为四幅图像小波变换在水平、 竖直和对角方向子带系数直方图。町以看出：虽然自然图像在空问域具有千差 万别的统计特性，但经小波变换后，各子带小波系数的统计特性却具有极强的 规律性和相似性。实际上对于绝大多数的自然图像，这种规律性都是存在的， 主要表现为：子带小波系数的直方图在零点处具有较大的“峰”而在远离零点 1 2 第二章小波域统计图像模型与图像降噪算法综述 ( a ) 原始图像k n a ( c ) l e n a 图像的三级小波分解 ( b ) 空问域的统计直方图 jl m 00 ( d ) 最细尺度水平方向子带直方图 ll jl 1 o1 1 2 口 ( e ) 最细尺度竖直方向了带直方图( f ) 最细尺度对角方向了带直方图 图2 3 l e n a 图像在空间域和小波域的统计直方图 1 3 小波域统计图像建模与图像降噪 ( a ) 原始图像b o a t ( b ) 空间域的统计直方图 ji ( c ) b o a t 图像的三级小波分解 ( d ) 最细尺度水平方向予带直方图 j【jl 一1 一 _ 劬0鄙 伯0 - 町 锄0卸 ( e ) 最细尺度竖直方向了带南方图( n 晟细尺度对角方向子带直方图 图2 4b o a t 图像存空间域和小波域