（理论物理专业论文）金融物理中争当少数者博弈模型研究.pdf

2 0 0 4 年中国科学技术犬学博士学位论文 摘要 本文针对近年兴起的经济物理或金融物理领域中的争当少数者博弈模型做 了一些探索研究工作 争当少数者博弈模型是由物理学者提出的一个高度简化的描述某种经济现 象的一个多经纪人归纳博弈模型模型的基本规则虽然简单，但它是个很典型 的自适应复杂系统，反映了许多社会与生态系统中多个体竞争两处相同有限资 源并且少数方受益的现象 本文首先研究了争当少数者博弈模型的经纪人子策略替换与通过遗传算法 的进化过程，发现随着进化过程，系统功能可以得到明显改善，且经纪人策略 趋向于在相同长度策略空间中形成均匀弥散分布，而在不葡长度策略空间中则 趋向集中于小m 区域 进一步，本文考察了模型在不同截断值与报酬函数条件下的演化情况，并在 模型在相同长度策略空间中的演化过程中发现了经纪人策略在策略空间中分稚 状况的另一种类型的自组织有序生成现象，即趋向形成局域集中分布 接着，本文研究了在随机k a u f f m a n 网络中的局域信息争当少数者博弈模型 的演化性质以及混合局域信息与公共信息经纪人的模型的性质 然后，本文在争当少数者博弈模型向金融市场接近方面做了点初步的探索 最后，本文对物理学者可能对经济学做出怎样的贡献做了点展望 4 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i ss o m e e x p l o r e a n dr e s e a r c hw o r ka r ed o n ea b o u t m i n o r i t yg a m em o d e li ne c o n o p h y s i c so rf i n a n c i a lp h y s i c sf i e l da r i s e ni n r e c e n ty e a r s m i n o r i t yg a m em o d e li sah i g h l ys i m p l i f i e dm a n ya g e n ti n d u c e dg a m e m o d e lw h i c hc a r lb eu s e dt od e s c r i b es o m ee c o n o m i cp h e n o m e n o np r o p o s e db y s o m ep h y s i c i s t s t h er u l eo fb a s i cm o d e li s s i m p l e ，b u ti ti sat y p i c a l c o m p e xa d a p t i v es y s t e m ，r e f l e c t i n gp h e n o m e n o nt h a tm a n ya g e n t sc o m p e t e f o rt w os a m el i m i t e dr e s o u r c ea n dm i n o r i t ys i d e g e t sb e n e f i ti nm a n ys o c i a l a n db i o l o g i c a l s y s t e m t h i s t h e s i s s t u d ye v o l u t i o np r o c e s so fm i n o r i t y g a m em o d e l v i a s u b s t r a t e g ys u b s t i t u t i o no fa g e n t sa n dg e n e t i ca l g o r i t h mf i r s t i tis f o u n ds y s t e mf u n c t l o nc a ng e te v i d e n t i m p r o v e m e n ta l o n gw i t he v o l u t i o n p r o c e s s a n d a g e n ts t r a t e g y w i l l t e n dt of o r mu n i f o r m d i s p e r s i o n d i s t r i b u t i o ni ns a m e1 e n g t hs t r a t e g y s p a c e ，t e n dt of o c u so ns m a l lmr e g i o n i nv a r i a b l e l e n g t hs t r a t e g ys p a c e f u r t h e r ，t h i st h e s i ss t u d ye v o l u t i o ns i t u a t i o no fm 。d e l u n d e r d i f f e r e n tc u t o f fa n d p a y o f ff u n c t i o nc o n d i t i o n s ，a n df i n da n o t h e r s e l f o r g a n i z e do r d e rp a t t e r nf o r m a t i o np h e n o m e n o no fa g e n ts t r a t e g yi n s a m e l e n g t hs t r a t e g ys p a c e ，t h a ti s ，t e n dt of o r ml o c a l r e g i o nf o c u s d i s t r i b u t i o n f o l l o w i n g ，t h i st h e s i ss t u d ye v o l u t i o np r o p e r t yo fl o c a lm i n o r i t y g a m em o d e li nr a n d o mk a u f f m a nn e t w o r ka n dp r o p e r t yo fm o d e lw i t hm i x e d l o c a li n f o r m a t i o na n dp u b l i ci n f o r m a t i o na g e n t s t h e n ，t h i st h e s i sm a k es o m ee l e m e n t a r ye x p l o r ea b o u tf r o m m i n o r i t y g a m et of i n a n c i a lm a r k e t f i n a l l y ，t h i st h e s i sm a k eab i to u t i o o ka b o u tw h a tp h y s i c i s tc a n c o n t r i b u t et oe c o n o m i c s 5 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章金融物理中争当少数者博弈模型研究概述 1 1 引言 经济系统是千百万经济主体( 它们可以是银行、厂商、投资人和消费者) 组 成的复杂系统每个经济主体通过对其他主体和系统整体的了解( 般是不全面 的) 、预测( 通常是不准确的) 和判断( 往往是不完全理性的) ，作出购销和信贷 决策，提出报价和出价，采取相应的市场行为所有主体行为的总和决定了当前 时刻系统整体的态势各主体根据当前的整体态势采取新的应对措施，构成了下 一时刻系统的态势经济主体行为的不断调节与系统整体态势的持续变化这种 互动式的无休止的循环反复，使系统( 通过各种商品和股市、汇市的价格、收益 等可观测的经济参数展现) 处于有机关联、相互依存和永恒变化的非平衡过程。 如何描述经济系统的状态和变化过程? 各个参数间有何依赖关系? 不同系统是否 具有某些普遍的和特有的性质? 是否遵循某种机制或规律? 这些都是经济学系统 研究中关心的问题 近年来，由大量的，存在强相互作用的组分组成的，远离平衡的复杂系统研 究中发展起来的复杂性理论取得了很大的进展，由于经济系统与其他复杂系统 具有相同或十分相似的性质，人们自然想到应用处理复杂系统的理论和方法对 经济系统进行分析，开展某些经济学问题的研究，从而导致了经济物理学的诞生， 1 9 9 5 年，s t a n l e y 等人类比生物物理学、地球物理学和天体物理学的提法，第 一次使用经济物理学( e c o n o p h y s i c s ) 一词为这一新的交叉学科命名实际上，物 理学家研究经济或金融问题的历史还可以追溯得更远早在1 9 0 0 年，法国 b a c h e l i e r 提出了第个关于收益的随机过程的模型由独立的、全同的、遵 从g a u s s 分布的随机变量描述的无关联随机行走模型1 9 3 6 年，意大利物理学 家m a j o r a n a 就指出了物理学与社会科学所遵循的统计规律的类似性，但他们的 观点并未引起人们的重视m a n d e l b r o t 在2 0 世纪6 0 年代分析了股市和期货市场 的价格走势，发现并不遵循g a u s s 分布，指出分布的“胖尾”现象和不同时问标 度下的稳定函数形式，与l e v y 稳定分布相符之后，用统计物理学的概念和方法 研究经济或金融问题的工作逐渐增加但是，经济物理学或金融物理形成了一门 分支学科而迅速发展并取得重要进展，从而引起了人们广泛重视，则是近十余年 的事 从上世纪九十年代起，欧美等国就有不少物理学博士被银行，证券公司和各 种金融企业雇佣而从事金融方面的工作起初，他们只是对有关的金融数据作些 定量分析，后来，他们可以凭借他们的数学物理专业知识提供关于市场未来走向 的重要咨询意见，甚至参与重大的投资决策最近几年来，一种相反的趋势出现， 有越来越多的物理学家对于金融和经济学的研究表现出浓烈的兴趣他们把统 计物理和非线性动力学中最新发展的一些概念，方法和理论带入到经济学研究的 领域中来尽管物理学家的工作尚未对主流的经济学研究产生大的冲击，但物理 学家撰写的关于金融的研究论文已经相当频繁地出现在物理学期刊里，还有一 些文章发表在重要的科学杂志如s c i e n c e 和n a t u r e 上，有时还甚至出现在专门的 经济学杂志中欧美国家几乎有3 0 的物理学博士生以金融和经济学问题作为他 6 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 们的研究论题越来越多的物理学家发现金融和经济也是他们可以施展本领的一 个英雄用武之地例如，他们认为有可能使用统计物理学的工具来描写金融市场中 经纪人之间既有竞争又互相适应的集体行为 物理学家进入经济学研究领域的这一发展，目前并不为所有的经济学家所 接受有一些经济学家对此趋势抱有明显的怀疑态度的确，经济学和金融学， 同物理学一样，是扎根于其本专业的深厚基础知识之上的，要掌握这些专门知识 必须花数年以上的时间而刚刚进入这一领域的大多数物理学家，对于金融和经 济学文献相当不熟悉物理学家与经济学家的观点和解决问题的方法有很大的 区别模拟物理世界和模拟社会世界所提出的问题也彼此不同在物理学中行 之有效的方法是否在经济学中也行之有效并不清楚许多经济学家认为物理学 家进入他们的世界只不过反映了物理学家的骄傲狂妄和大胆冒险精神而已，不 能说毫无道理两个团体之间的文化隔阂难于逾越，物理学家和经济学家之间存在 着认识论上的难于跨越的鸿沟1 1 1 尽管尚未完全获得主流经济学家的认可，金融物理在最近的几年内仍然蓬 勃发展，其标志之是最近几年来举行的多次金融物理专题国际学术讨论会题 为”物理学在金融分析中的应用”的国际学术讨论会已经开过两届第一届于 1 9 9 9 年7 月在爱尔兰都柏林三叶学院( t r i n i t yc o l l e g e ) 召开，第二届于2 0 0 0 年7 月在比利时列日大学召开2 0 0 0 年4 月在德国的巴德洪那夫物理中心的第2 2 9 次 w e h 学术专题讨论会的题目是”物理学观点的经济动力学”2 0 0 0 年11 月在日本 东京举行了经济物理专题国际学术讨论会此外，在我们国内也举办了多次有关经 济物理的学术会议例如，2 0 0 0 年8 月由中科院理论物理研究所，应用数学所系统 科学所，科技政策与管理科学所在北京中国高科技中心联合举办经济物理高级研 讨班；2 0 0 0 年9 月在中国合肥中国科学技术大学举行了首届复杂性科学与经济物 理学国际高级研讨会；2 0 0 1 年8 月在中国桂林广西师范大学举办了第二届复杂性 科学与经济物理学国际高级研讨会以及2 0 0 3 年8 月在中国扬州大学举办的第 一届海峡两岸统计物理会议等 综合这些金融物理专题讨论会的研究报告和最近几年来越来越频繁地发表 于物理学和经济学刊物的科研论文，物理学家采用了许多经济学家陌生的概念和 方法，如：关联与自关联，标度率，自组织临界性，相变，自适应性，混沌，分形，渗流，神经 网络，重整化群，自旋玻璃模型，量子场论方法等等物理学家对于经济学和金融问 题研究的主要工作和成果可分为如下四类：价格的经验统计规律性，价格涨落的随 机过程模型，价格形成和市场演化的经纪人相互作用模型；期权定价、风险控制与 投资组合形成等实际应用 2 这些工作和成果充分表明，物理学家从事金融和经 济问题研究所做的工作的确是有价值的，有意义的这当然不是说经济学家应该离 开他们的领地而让物理学家来取代但是，物理学家的工作的确证明了：他们至少 可以对经济数据的分析和金融市场的动力学模型的构造做出一些贡献物理学家 的工作中有许多新鲜思想是在经济学中找不到或尚未被充分表达的，这些思想将 导致新的有趣的工作，可以期望在以后几年会有迅速的进展当然这有待于物理学 家努力掌握相关经济学知识，较好地理解经济学家们已做过的大量工作而不必 去重新挖掘发现物理学家和经济学家将逐步达成这样的共识：他们应该携手合作 取长补短，在一起工作物理学家和经济学家之间已经有了若干良好合作、并且可 以预期这样的合作会越来越多 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 金融物理中争当少数者博弈模型研究概述 传统的博弈论模型【3 假设经纪人是完全理性的，他可以通过严密的逻辑推 理或者演绎的方法求解其在当前局势下的优势策略但在现实中，也存在许多经 纪人并非完全理性的情况，他们有时只是采取简单的积累，归纳，比较的方法来 决定其当时的决策，于是，通过归纳法来构造经纪人博弈模型成为一条崭新的研 究思路 物理学家喜欢和善于考虑有大量经纪人的博弈，即一个统计系统，希望建立一 个新颖的简化的物理学模型来模拟或解释金融市场或经济系统中经纪人互相竞 争而又互相调节适应的集体现象w b a r t h u r 提出的e 1f a r o l 酒吧模型【4 在这个 方向上迈出了先驱性的一步，假定n 个经纪人在某个周末独立考虑是否要去一 个酒吧，仅当去酒吧的人数不多于酒吧座位总数的一定比例时赴酒吧者才会感 到惬意每经纪人根据其个人的选择规则和过去酒吧是否拥挤的记录，独立地作出 是否去酒吧的选择这种博弈模型建立在经纪人归纳决策基础上，与传统的经纪 人演绎决策博弈模型大不相同，被认为是在复杂策略场合下，能够描述真实经纪 人如何行动如何相互竞争而又彼此适应的一个更合乎实际的模型 d c h a l l e t 和y c z h a n g 更进一步把e lf a r o l 酒吧模型改造正规化成争当少数 者博弈模型【5 7 】这个模型更进一步抓住了大量经济，生态系统中少数方获益的 本质特征。以更加简明的规则方式构造出一个高度简化的物理学上的复杂自适 应系统。尽管这个模型非常简单，但它可以用来研究金融市场或相关系统的内部 动力学该模型除市场经纪人的交易活动信息外，暂时没有考虑其他外部信息个 体经纪人决策没有采纳任何已有理论，他们采用一些特定的个人准则，从自己的经 验中学习归纳，并相信价格的历史中包含全部有用的信息争当少数者博弈模型己 成为金融物理中的一个重要模型、关于这个模型如今已经涌现了大量的理论研 究工作 1 2 1 基本的争当少数者博弈模型 d c h a l l e t 和y c z h a n g 提出的争当少数者博弈模型假设有n ( 奇数) 个经纪人 在某时步必须选择a 方或b 方( 如表示股票的买卖或开车选择道路a 或道路b 等) ，当每个人独立地作出选择后，进入少数者方的人获胜( 供大干求时，买方获利 供不应求时，卖方获利) 每个经纪人依据过去记录的公共信息作出决定假定记录 仅包含a 方或b 方是否为获胜方，而不告知实际的参与人数这一系统的公共信息 ( 即取胜方的记录) 可以用二进制序列表示，当a 方为或胜方时用”1 ”表示，否则 用0 表示还进一步假定每个经纪人的记忆容量有限并且相同，只能记住最近 m 次的获胜方记录，并依赖他们作出当前时刻的决定个记忆容量为m 的策略是 在给定某种获胜方记录( m 比特历史) 下对下一时刻获胜方的预测 经纪人根据策 略的预测选择去a 方或b 方对给定m ，有2 ”种不同的历史，2 ”种不同的策略( 见 表1 1 ) ，这是一个快速增长的数目，如相应于m = 2 ，3 ，4 ，5 ，总策略数是 1 6 ，2 5 6 ，6 5 5 3 6 ，6 5 5 3 6 2 3 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 历史策略l策略2 0 0 0ol 0 0 1ll 0 1 0l0 0 1 10o 1 0 0oo 1 0 111 1 1 00 1 1 1 1l0 表1 1 争当少数者博弈模型( m = 3 ) 的两个策略的示例 博弈开始时，每人随机地从这22 个策略中抽出s 个( 允许相同) 作为自己的策 略每过一时刻，每人对作出正确预测获胜方的策略加虚分，否则扣一分这样 各人每次决策时，就依据这些策略的虚分，选择虚分最高者进行决策( 如有多个相 同虚分最高策略，则从中任选一个进行决策) 经纪人共同享有的信息，即i n 位的二 进制获胜方历史记录则去掉左边一位，而在右端加上一位当前时刻的获胜方记录 争当少数者博弈有两种极端情况：一是仅一个经纪人在少数方，其余1 ) 个经纪人在多数方；二是( n 一1 ) 2 个经纪人在少数方，另外( n + 1 ) 2 个经纪人多数方 其中第一种情况造成资源的巨大浪费( 因为本来可以有更多一些人加入获胜方而 不损害他人) ，第二种情况属于理想情况，整个系统理想合作与协调，全社会受益最 大一艘清况下介于两种极端之间通过数值模拟发现，加入某一方( 如a 方) 的实际 人数在总人数n 的5 0 左右波动波动大则资源浪费大；换言之，j 、的波动意味着 更充分地利用现有资源，一般来说，这需要配合和协作擞值模拟发现，记忆容量m 在某个区域范围内时，系统波动减少，即经纪人相互之间适应性更好令人惊奇的 是，虽然按模型的定义每个经纪人都是自私的，他们每人决不为他人的利益着想。 然而他们却能在某种程度上相互协调使社会资源达到某种优化的配置 9 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 z 一 臼 图1 1基本争当少数者搏弈的约化方差与记忆容量关系图计 算方差时先让模型运行1 0 0 0 0 时步，然后统计1 0 0 0 0 时步，并对3 2 次独 立初始位型求平均 r s a v i t 等人研究了基本争当少数者博弈模型某方人数变化方差与记忆容量 m 的变化关系 8 】数值模拟显示( 图1 1 ) ，随着m 的改变系统方差不是单调变化， 系统在小m 和大m 时的行为大不相同，从而提出了从有效相到非有效相转变的可 能性”有效词是取自”有效市场假说”理论 9 】：市场有效时信息不能被用来在市 场上获利当m 较小时，系统处于有效相，经纪人的自适应性差，导致较大的方差： 当i t i 较大时，系统处于非有效相，经纪人可以协调他们的行为使得方差较小，m 很 大时，方差接近每个经纪入随机作出选择时的值在某个m 。值处( 2 x2 n zn x s ) ， 方差最小( 即系统协作性最好) 他们把有效相和非有效相的出现归因于周期2 动 力学过程 t o ，1 1 】与经纪人之问协作效应d 2 的竞争。m 较小，周期2 动力学过程 占主要地位，如；当第一次出现某历史时，经纪人选择的结果相当于各人随机 作出决定，使得少数方的人数接近总人数的5 0 ，雨当该历史第二次出现时，经 纪人会出现一种群集行为，许多经纪人采用与该历史第一次出现时的取胜方相同 的决定，使得该历史第一次出现时的失败方成为少数方，导致少数方的人数很少， 造成大的标准偏差，以后遇到该历史时，上述情况交替出现；当卅m 。时，嵌入 的周期2 动力学不明显，经纪人之间协作效应占主要地位，使得标准偏差可以小 于经纪人随机作出选择时的值同时指出，历史记录中存在有助预测少数方的信 息，不过当m 较小( 曼4 ) 时，该信息隐藏在长度大于m 的二进制历史序列中，经 纪人无法获取，对记忆容量为脚的经纪人来说，任何历史下任一给定方取胜的 几率都是5 0 ，这时“策略是有效的”， l o 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 即相应于m s 4 的策略，少数方的历史中没有包含任何有助于预测下一时步取胜 方的信息。肌较大时，任何长度k ( k 2 m ) 的二进制历史序列中都隐藏了信息， 且可以被经纪人利用，使得经纪人的平均表现比每个经纪人随机作出选择时的表 现好。随着m 继续增大，历史数也增加，经纪人越来越难从某个特定历史中提 取有用的信息，从而方差逐渐接近每个经纪人随机作出选择时的值。数值模拟结 果还证实了在近似下，盯2 仅仅是变量2 ”的函数， 1 2 2 关于争当少数者博弈模型中历史记忆相关性的讨论 a c a v a g n a 在基本争当少数者博弈模型中，用随机产生的历史取代真实历d 史( t ) ( 即取胜方记录构成的历史) 计算了去某方( 如a 方) 人数的标准偏 差盯【1 3 ，发现与真实历史t ( t ) 下得到的标准偏差盯相同。从而得出结论：基本 m g 的性质不在于经纪入对真实历史的记忆，而在于他们共同享有相同的信息， 不管这些信息是真实的还是虚假的。按照此结论，经纪人不可能根据过去的真实 历史预测将来。这就引起了争当少数者博弈模型中历史记忆究竟是否相关的争 论。 c y l e e 【1 4 通过分析少数者博弈模型中策略选择数据和取胜方时间序列的 频率，证明了在m 较小( 系统处于对称状态) 时，如果采用随机历史，则周期2 过程消失，即合作行为与记忆无关。 图1 2 ：每轮博弈中每个经纪人的平均成功率与m = 3 经纪人的人数 之间关系。其中水平虚线表示每人随机选择去a 方或者b 方时的值。 n f j o h n s o n ，e m h u i 等人研究了所谓合金少数者博弈模型 1 5 ，即两种不同 记忆容量的经纪人参加的少数者博弈( 3 个m = 3 的经纪入和6 个m = 6 的经纪 人，n a + n 。= n = 1 0 1 ，f 2 ) 。对“真实”历史，m = 3 和m = 6 的经纪人分别记忆 最近3 比特和6 比特的获胜方时间序列。而对“随机”历史，随机产生6 比特的 字符串并提供给m = 6 的经纪人，该字符串的后3 位提供给m = 3 的经纪 每斡霞宙毒千经凳鬯五需功率 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 人。模拟结果显示，对真实历史”，每个经纪人在每一轮博弈的平均得分在某 种组合( ，3 5 ，。6 5 ) 下，可以达到极大值。同时对任种经纪人而言，平 均获利都超过他们在纯社群中的获利( 仅有m = 3 的经纪人时，成功率0 3 3 ；仅 有m = 6 的经纪人时，成功率0 4 2 ) 。而且记忆容量大的经纪人可以利用记忆容量 小的经纪人引入的隐藏着的信息，得到超过5 0 的平均成功率( 图2 2 ) 。这种情 况在“随机”历史下不可能出现。虽然在策略空间足够大时某些经纪人的成功率 超过5 0 ，但每个经纪人在每一轮博弈的平均成功率仍小于5 0 。m = 3 的经纪 人 在“真实”历史时的表现与在“随机”历史时的表现差不多；但对m t 6 的 经纪人在“真实”历史时的表现的总是比在“随机”历史时的表现好。换言之， 记忆容量大的经纪人可以有计划地从博弈中受益。对真实历史时间序列，m = 6 的经纪人的平均成功率的提高及系统平均得分所出现的峰值来源于历史空间与 策略空间的相互作用。 n f j o h n s o n , e m h u i 等人还研究了具有任意截止值l 的争当少数者博弈模 型 1 6 1 ，当去a 方的人数l 时，表示去酒吧的人数不拥挤，去a 方的经纪人获 胜，反之，去a 方的人数l ，表示去酒吧的人数拥挤，不去a 方的经纪人获胜。 该模型界于d c h a l l c t 、y c z h a n g 的争当少数者博弈模型和a r t h t l r 的“酒吧模型” 之间。卜2 时，呈现d c h a u e t 、y c z h a n g 的争当少数者博弈模型的主要特征。 对 ，- 1 0 1 ，l = 4 8 时去a 方的平均人数低于l = 5 0 时去a 方的平均人数。随着l 的 进一步减少，去a 方人数的平均标准偏差叮和去a 方的平均人数曲线会逐渐形 成两个分支，一个分支的盯较大，类似争当少数者博弈模型；另一个分支的盯较 小。对给定的m ，o - 较大的那个分支较宽，盯较小的那个分支较窄。但用随机历 史替代真实历史，不会出现两个分支的情况。首先盯较大的那个分支的平均标准 偏差盯和去a 方的平均人数与随机历史下的结果不同，而且对随机历史盯较小 的那个分支不会出现。 d c h a l l e t 和m m a r s i l i 通过考虑d eb r u u n 图的扩散，详细研究了基本争当 少数者博弈模型中的历史动力学 1 7 1 ，发现当m 较小时，系统处于对称状态，用 随机产生的历史替代真实历史所得的结果相同，这时，a c a v a g n a 的断言是正确 的。随着m 的增大，系统逐渐进入非对称状态，从真实历史所得的o - 2 n ( 或 标准偏差盯) 和衡量非对称的参量都低于随机历史所得的结果，即这时用随机产 生的历史替代真实历史所得的结果大不相同。 因此，历史动力学，在争当少数者博弈模型中不能认为无关，即使对于标准 的争当少数者博弈模型，它也是相关的。它在少数方时间序列中引入了隐藏的相 关性。对于争当少数者博弈或争当少数者博弈的各种推广和变化模型，历史不仅 有关，而且很重要。 1 2 3 争当少数者博弈模型的人群与反人群理论 在基本m g 中，策略总数v = 22 ”是一个随m 的增加急剧增大的数字，为此， d c h a l l e t 和y c z h a n g 引入了约化策略空间概念 6 。在约化策略空间中，一共 有2 “个反相关策略对 r ，页 ，每个反相关策略对包含两个反相关策略，它们在 任何给定的历史下作出的选择完全相反，即有最大的h a m m i n g 距离 1 2 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 d 。= 2 ”。其中，策略s 与策略t 的h a m m i n g 距离定义为 2 “ 赤i s ( i ) 一“i ) i ( 1 1 ) - l j ( f ) 、玎f ) 分别为策略s 和策略t 在历史i 下对少数方的预测。而不同反相关策略 对之间的策略又是不相关的( 它们之间的h a m m i n g 距离= d 2 ) ，如m = 2 的 四个反相关策略对为 o o o o ，1 1 1 1 ， 0 0 1 1 ，1 l o o ， 0 1 0 1 ，1 0 1 0 ， 1 0 0 1 ，o l l o 。 约化策略空间的策略总数为2 箩，比原来策略空间中的策略总数v - - - 22 4 要小得 多。数值计算表明，采用约化策略空间并不明显改变m g 的动力学行为，这给 数值模拟和理论分析带来很大方便。 n f j o h n s o n ，m h a r t 和p m h u i 等人在约化策略空间基础上提出了m g 的一 致行动人群与一致行动反人群理论【1 8 - - 2 0 。考虑约化策略空间中的一个反相关 策略对 r ，r ) ，2 。个经纪人使用策略r ，他们在任何时步作出相同的决定，如 同统一行动的“人群”；另有n i 个经纪人使用策略尺，他们的决定与n 。的相反， 如同n 。的“反人群”，每一组“人群”和“反人群”独立地对系统偏差作出贡献。 当每一组“人群”与“反人群”数目接近时，系统标准偏差较小；反之系统标准 偏差较大。m 较小时，许多经纪人可以拥有相同的高分的策略，而使用高分策略 的反相关策略的人很少，导致了较大的系统标准偏差；增大m ，当约化策略空间 中的策略数与所有经纪人使用的策略之和接近( 2 x 2 n x s ) 时，某个策略被多 个经纪人拥有的几率很小，有些经纪人被迫采用表现较差的策略，一致行动人群 与一致行动反人群有效地竞争，每一组“人群”与“反人群”数目接近，使系统 标准偏差最小。r a 很大时，约化策略空间中的策略只有一小部分被经纪入使用， 这些策略之间大都不相关，所以系统标准偏差接近每人随机选择去a 方或b 方 时的值。随着每个经纪人的策略数s 的增加，越来越多的经纪人并不总是使用差 的策略，盯的最小值消失。m h a r t 等人 1 9 ，2 1 1 给出了m g 的一致行动人群与反 一致行动人群模型的理论描述，利用无规行走理论，可以得到 叮= 【丢l g a ( r ，i ) q ( 1 ，2 ) 用公式( 1 2 ) 直接统计n 。和所计算的系统标准偏差，与数值模拟结果符合 得很好。他们还在较小和较大 b 的情况下给出了盯的解析表达式，计算结果与 数值模拟结果符合较好。并用该理论解释了t m g 中m 较小、r 较大时盯低于每 人随机作出选择时值的原因。p j e f f e r i e s 等入1 2 2 1 用该理论研究了m g 经纪人和 t m g 经纪人参与的少数者博弈模型，即个经纪人中有q 个经纪人( 称为t m g 经纪人) 以几率粤采用自己的最差策略，反之以几率( 1 p ) 采用自己的最佳策 略。省下的( 1 - q ) n 个经纪人( 称为m g 经纪人) 以几率1 选择自己的最佳策 略( 即t 9 = o ，与m g 的规则一样) 。他们给出了该模型的定量解析理论，发现在 “拥挤”区域( 肼较小时) ，不管如何改变“温度”控制参数，标准偏差仍然高 于经纪人随机选择时的值，定量理论与数值模拟结果符合很好。 m h a r t 与n f j o h n s o n 还专门写了篇文章【2 3 】讨论争当少数者博弈模型的 人群反人群理论，以之定量地准确解释了模型的一些时间平均行为文章还讨 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 论了将人群反人群理论推广应用于分析更广泛种类复杂系统的可能性 1 2 4 争当少数者博弈模型理论分析概述 e m o r o 今年在网上发表了一篇关于争当少数者博弈模型的介绍性理论综述 的预印本文献2 4 ，该文章准备发表在a d v a n c e s i nc o n d e n s e dm a t t e ra n d s t a t i s t i c a l p h y s i c s 上文章认为争当少数者博弈模型是描述多经纪人在理想情形 下通过适应性竞争有限资源的集体行为的简化模型，概括了统计力学界对理解该 模型行为与推导模型动力学方程所做的努力，并对某些结果从统计力学无序系统 的观点做了解释 i 黜藿_ 妒。k 、 q 图1 3争当少数者博弈模型相变示意图 d c h a l l e t 与m m a r s i l i 在1 9 9 9 年的一篇文章【2 5 】中将争当少数者博弈模型描 述成不同类经纪人相互作用的自旋玻璃系统，展示了系统在对称相与对称破缺相 之间的相变在自旋形式中出现了一个”自发磁化”的结果 d c h a l l e t ，m m a r s i l i 与r z e c c h i n a 随后进一步对争当少数者博弈模型做了统 计力学分析 2 6 】： 经纪人获得报酬为： “? ( 5 ，s 一) = _ a 。uo ( a ”) 4 “= 口i ，= q ”+ 彰s ， 式中口f ，是第j 经纪人第s 策略在历史条件下的行为决策 经纪人选择策略概率为： ；r c s , i ( f ) = p r o b s ，( f ) = j = c e 呱1 策略虚分更新规则： u “( f + 1 ) = u 。( f ) 一a i g ( a “) p 1 4 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 幅 。 帖 。蝣 ， 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 系统方差 盯2 = 可 = 孑+ 留+ 2 砀，】+ 劢， t f j h a m i l t o n 量 d 。m ，, = - - 2 r ( 一确【两+ 砑，】 d f_ 。 h = = 盯2 一掌。2 l l 一川。2 ) i ( 1 7 ) ( 1 ，8 ) ( 1 9 ) 推导过程用到了无序自旋系统与r e p l i c a 技术 r d h u l s t 与g j r o d g e r s 研究了争当少数者博弈模型经纪人选用活跃策略的 动力学过程【2 7 】，并进而推导了模型在有效相中某方人数变化的方差 a d m a r t i n o 运用平均场理论研究了包含不同交易时间尺度经纪人的争当少 数者博弈模型的动力学过程 28 】他分析了经纪人决策过程是决定性的与带有不 同有限学习率的随机推广的不同情形下系统稳态的宏观性质，并计算了相应的 相图，讨论了规则与随机交易者的不同角色与各自对系统整体效率造成的影响 i c a r i d i 与h c e v a 在另一篇平均场逼近研究争当少数者博弈模型的文章 2 9 1 中，使用了两个假设：一是用全体可能策略代替分布于博弈经纪人中的策略：二 是认为周期2 动力学过程有效基于这两个假设，文章引入了系统的不同状态， 并用系综平均代替时间平均，得到了一些与数值模拟符合较好的理论结果 m a r d e c a r a 与f g u i n e a 研究了争当少数者博弈模型中一定数量的经纪人 采取固定行为时对模型动力学过程的影响 3 0 】，文章研究了固定行为经纪人与一 般决策经纪人之间的相互影响，发现固定行为经纪人的存在会造成系统大的波 动 a d em a r t i n o ，i g i a r d i n a 与g m o s e a i 研究了带有随机外部信息的混合多 数者少数者搏弈模型的统计力学性质【3 1 】模型由两类不同的适应性经纪人组 成一类是”基本价值者”( 争当少数者博弈经纪人) ，另一类是”趋势跟随者”( 争当 多数者经纪人) 文章考察了模型的宏观渐变性质发现随着”趋势跟随者”比例的 增加，在其超过1 2 后，系统的整体波动会出现灾变性的增加文章的理论分析用 到了r e p l i c a 理论与生成函数技术 a c c c o o l e n 给出了一个争当少数者博弈模型的非平衡统计力学分析f 3 2 ， 其中使用了生成函数技术k y m w o n g ，s w l i m ，z g a o 在争当少数者博弈模型 当中引入”分歧”的概念【3 3 】，即经纪人的不同策略可以具有不同的初始虚分，文章 分析了新模型的动力学机制，得到了些新的标度关系 e j e f f e r i e s ，m l h a r t ，与n f j o h n s o n 分析了争当少数者博弈模型的决定性动 力学 3 4 1 分析通过将策略分数与公共信息映射成方程，策略分数映射包含回复 力与随机项，其振幅依赖于博弈的熄灭无序文章做了近似的解析分析并讨论了” 市场影响”的效果，同时还讨论了对干扰与不同初始条件的的反应 m m a r s i l i ，m p i a i 提出的色少数者博弈模型 3 5 】假设经纪人交易或者金融市 场基础性事件存在一个广泛分布的频率研究发现在广泛分布时间尺度下模型仍 存在有效市场与无效市场之间的相变，推导了临界阈值与时间尺度分布的关系，以 及市场有效性与频率的函数关系在无效市场中研究发现投机机会大小与事件频 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 率成反比例关系文章还讨论了其他一些市场现象 j a f h e i m e l ，a c c c o o l e n 研究了带有随机外部信息的批少数者博奔模型， 并对其动力学过程做了生成函数分析 3 6 文章设定a = p n 作为模型的控制 参数，式中p 是外部信息可能价值的数量，是经纪人数研究发现控制参数达到 某一闽值口，时，系统开始出现反常反应，或者说发生了相变 k h h o ，f k c h o w , h f c h a u 采用修改的经济学中的g i n i 指数调查了争当少 数者博弈模型中经纪人的财富不平等性 3 7 1 文章发现经纪人达到最佳合作时财 富不平等性显得强烈，得出模型系统合作来自剥削的结论 k k i m ，s m y o o n ，m - k y u m 将争当少数者博弈模型应用到了病人选择是否 前往看病的事例上 3 8 】在引入分数方程与标度效用之后，文章对特殊策略做了 模型的动力学行为讨论 1 2 5 争当少数者博弈模型的推广策略 m h a r t ，p j e f f e r i e s ，n f j o h n s o n 讨论了争当少数者博弈模型中推广的策略 3 9 他们认为争当少数者博弈模型经纪人策略可能形成人群与反人群效应，从 而降低系统波动，这在下面还会有所述及 a c a v a g n a 等人首先将基本争当少数者博弈推广到连续形式，并对“最佳策 略规则”( 经纪人总是采用虚分最高的策略) 进行修改，引入了所谓“热少数者 博弈模型”( t h e r m a lm i n o r i t yg a m e ) j 4 0 - 4 2 具体做法是，把一个策略定义为实空 间吼。中的一个矢量r ，且| | rl l = d 。因此每个策略可认为是策略空间f ( 球 面) 中的一个点，公共的信息为q ( r ) ( 吼。中的一个单位矢量) 。f 时步，每个经 纪人通过一个与参数丁( “温度”) 有关的指数几率权重在他的s 个策略中挑选一 个策略r ，作出相应该策略的报价包( f ) = r ( f ) 1 l ( f ) ，现在6 j ( f ) 是一个连续变量。 6 j ( r ) 0 表示买：b l ( f ) o ，要求买入的量比要求卖 出的量多，从而要求卖( 6 ，( f ) ( o ) 的人获利，即卖方胜。策略r 的虚分更新规 则定义为 p ( r ，t + 1 ) = p ( r ，f ) 一a ( t ) b ( r ) n ，( 1 9 ) 其中p ( r ，) 是，时步策略r 的得分，这样得分或失分正比于报价。如果选定策略r 的报价与总报价a ( t ) 的符号相反( 或相同) ，则经纪人加分( 或减分) 。参数丁是 经纪人判断能力的量度。数值模拟结果发现，仃是策略空间约化维数d = d i n 和 温度r 的函数。7 = - 0 相应于每个经纪人选择虚分最高的策略，即基本m g 情形； 而t = m 相应于每个经纪人都是随机选择。在t = - 0 与t = o 。之间存在一个系统 方差低于每个经纪人随机选择时方差值的区域。由此推断，即使对于基本争当少 数者博弈模型，只要经纪人在选择策略时允许有一定的偏差 1 6 中国科学技术大学博士学位论文 而不总是使用最佳策略，就可以明显降低方差使之低于每人随机作出选择时的方 差值。j r g a r r a h a n 等人和d ，s h e r r i n g t o n 等人研究了t m g 的连续时间动力学 f 4 3 , 4 4 1 ，发现描述t m g 的微观动力学方程化为具有非平凡随机扩散相互作用无 规系统的随机微分方程，t m g 模型的宏观性质明显依赖于初始条件。 e b u r g o s 等人通过一个消费函数研究了热少数者博弈模型的集体行为【4 5 】， 定义了决定性的同步的动力学文章通过l a n g e v i n 逼近定义了温度，证实消费函 数相当于多经纪人系统的内在能量而温度相当于内在参数 e j e f f r i e s 等人研究了混合热少数者博弈经纪入与基本少数者博弈经纪入的 模型 4 6 1 发现当热少数者博弈经纪人所占浓度低于一个插界值时，系统波动大 于每人随机决策时的值。而与温度无关 s c b e n j a m i n 与r m h a y d e n 首次将量子信息引入了争当少数者博弈模型 4 7 1 ， 发现多经纪人之间的量子纠缠可以导致新类型的合作行为中国科大的居琛勇， 李卉也做了些关于”量子m i n o r i t yg a m e ”的工作 4 8 他们在尝试将争当少数者博 弈模型量子化的过程中，首先对基本争当少数者博弈模型的规则做了点修改，即 把每时刻给所有策略加减虚分改成只给当前使用的策略加减虚分在此基础上，他 们在模型的经纪人中引入部分量子选手出于