（计算数学专业论文）二维半线性发展方程的一类线性化交替方向隐格式.pdf

二维半线性发展方程的一类线性化交替方向隐格式 摘要 偏微分方程数值解在计算数学的研究领域占有重要地位，有限差分是主要 方法之一对于半线性发展方程，一种离散方法是使用显式差分格式，计算量小， 但条件稳定；另一种方法是使用隐式差分格式，无条件稳定，但在每一个时间层 都要解方程组，当处理高维问题的时候，计算量就会变得非常大 本文考虑二维半线性发展方程的一类线性化交替方向隐式差分方法首先 基于c r a l l l 【- n i c o l s o n 差分离散思想，将半线性方程离散化，然后通过添加扰动项 进行算子分解并充分利用非线性源项的导数信息建立在时间和空间方向均具有 二阶精度的一类线性化二层无条件稳定的隐式差分格式 本文第二节针对半线性反应扩散方程提出了一类线性化二层 p e a c e l l l 趾一r a c h f o r d 交替方向差分方法，该方法充分利用了p r 格式的特点，具有 格式简洁、易于使用等优点利用离散能量方法证明了格式在空间和时间方向按 照离散亭范数均具有二阶精度数值例子验证了理论分析的正确性和格式的有 效性 第三节给出了粘性波动方程的p r 交替方向差分方法粘性波动方程是一类 特殊的半线性双曲型方程，首先通过变量替换将方程从形式上降阶，然后使用 p r 离散思想将方程离散导出计算格式证明了格式按照离散口范数和离散日1 范数在时间和空间方向二阶收敛，实际计算表明该格式计算效果良好 关键词：半线性反应扩散方程，粘性波动方程，隐式差分方法，交替方向方 法，收敛性，误差估计 l i n e a r i z e da l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p i i c i td i f f e r e n c es c h e m e s f o rt w o d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a re v o i u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t t h es t i l d yo fn u m 舐c a ls o l u t i o n so fp a n i a ld i 腩r e r l t i a le q u a t i o n sp l a y sm i m p o r t a n tm l ei nc o n l p u t a t i o n a lm 甜l e i i l a t i c s f i i l i t ed i f 酗饥c ei so n eo ft h em a i n m e t h o d s f o rt h es e i l l i l i n e a re v o l 们o ne q u a t i o n s ，o n ed i s c r e t i z i n g 印p r o a c hi st ou s e a i le x p l i c i td i 彘n c es c h e m ew h i c hi se 嬲yt ob ec o m p u t e d ，b u tc 0 n d i t i o n a l l ys t a b l e t h eo t h e ro n ei st 1 1 ei m p l i c i ts c h e m ew h i c hi su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，b u ta te a c ht i m e 1 e v e l ，w ei n u s ts o l v cl i n e a rs y s t 锄s w h 即w ed e a lw i t hh i 曲d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ， t h ec o m p u t a t i o n a lc o s tb e c o m e sv e r yl a r g e i i lt h i sp a p w ec o n s 咖c tl i n e 撕z e da l t e m a t i n gd i r e c t i o ni r n p l i c i td i f 】衙e n c e m e t h o d sf o r 僦o d i m e l l s i o n a ls 锄i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o i l s f i r s t ，b 嬲e do n l e c r 孤k - n i c 0 1 s o nd i 脑e n c ed i s 删i z i n gi d w ed i s c 硎z et h es 锄“n e a re q u a t i o n s b ya d d i n gs o m ep 劬b i n gt e n i l sa n dm a l ( i n g 如1 1u s e o ft h ed 嘶v a t i v ei n f o r m a t i o no f t l l es e i i l i l i n e a rs o u 】汜e t e n n ， w ec o n s t m c tac l a s so fl i n e 砌z e d觚ol e v e l u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ei m p l i d td i 侬耥c es c h e m ep o s s e s s i n gs e c o n do r d e ra c c u r a c y b o t l li nt e l 】叩o r a la l l ds p a t i a l 曲佻t i o n s hs e c t i o n2 ，w ep f o p o s ead 弱so fl i n e a f i z e dt 、7 l ，ol e v e lp e a c e m 姐- r a c h f o r dt y p e a l t e n l a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i 仃盯e l l c es c h 锄ef o rs e i i l i l i n e a rr e a c t i o n d i 髓s i o n e q u a t i o i l s b ym a k i i l g 向1 1u s eo ft h ep - rm e t t l o d ，t h es c h 锄eh a st h ea d v a l l t a g c so f c o n c i s ef o m 锄de a s yt ou s c t h i ss e c t i o na l s op r o v e st l l a tt h es c h e m eh 嬲s e c o i l d o r d e ra c c l l r a c yw i t hr e s p e c tt od i s c r e t e 口n o n nb o t hi i ls p a c ea i l dt i m ed i r e c t i o l l sb y u s i n gd i s c r e t ee i l e r g ym e t h o d n u m e r i c a le x a m p l e si l l u s 缸a t et h ec o r r e c t n e s so ft l l e t l l e o r e t i c a la i l a l y s i sa 1 1 dt h ee 仃e c t i v e l l e s so ft h es c h e m e t h es e c t i o n3 ，w ep r e s t sap rt y p ea l t 锄a t i n gd i r e c t i o nd i f l 研e i l c es c h e m ef o r 们s c o u sw a v ee q u a t i o n s ，w h i c ha r eas p e c i a lc l a s so fs e m i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s f i r s t ，w er e d u c et h eo r d e ro ft l l ee q u a t i o n sb yr e p l a c e m e n to fv 撕a b l e ，m e i lb yl l s i n g p rd i s c r e t i z i n gi d e a w ed 甜v et 1 1 ec o m p m a t i o n a ls c h e m e 1 l l i ss e c t i o na l s op r 0 v 鹤 m a tt h es c h e m eh a ss e c o n do r d e ra c c u r a c yw i t hr e s p e c tt od i s c r e t ern o n n 觚d d i s c r e t e 日1n o 彻b o 廿li ns p a t i a la l l dt e l l l p o r a ld i r e c t i o n s n u m e r i c a le x a n l p l e ss h o w m a tm es c h 锄ei se f f e c t i v e 1 ( e yw o r d s ：s c i 】【l i l i n e a rr e a c t i o n d i f m s i o ne q u a t i o n s ，v i s c o u sw a v ee q u a t i o n s ， i l l l p l i c i td i 仃醯e n c es c h e m e ，a l t e m a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d ，c o n v e 略e n c e ，e r r o re s t i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得鑫壅竖基盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：拯勉 导师签名：日 期：埋丝：2 1 引言 本文详细地研究二维半线性反应扩散方程和粘性波动方程的一类线性化交替 方向隐式差分格式二维半线性反应扩散方程在化学反应和扩散、神经网络传导、 生物竞争等方面有广泛应用【l 】二维半线性粘性波动方程在阻尼声波和微尺度热传 导等方面应用广泛【2 】研究这些问题的数值方法具有重要意义 对线性抛物型方程，丰要数值方法有传统的有限差分方法和有限元方法，如古 典显式差分格式和隐式差分格式等古典显式格式比隐式c _ n 格式【3 】计算量小，但 格式是条件稳定的，并且在时间方向仅有一阶精度对于高维抛物型方程，通常采 用交替方向方法求解早在1 9 5 5 年，p e a c 锄a n 和r a c h f o r d 就提出了二阶收敛的交替 方向差分格式【8 1 ，将高维差分格式转化成一系列一维问题，然后通过求解三对角方 程组，使得计算工作量大大减少交替方向格式在建立时通过引入新的过渡层，逼 近精度关于时间步长和空间步长均是二阶由于交替方向方法稳定性好，易于编程 实现，几十年来备受科学与工程计算工作者的青睐二维情形丰要有h 格式， d o u 出a s 格式及局部一维( l o d ) 格式f 2 5 针，其中d o u 酉a s 格式及l o d 格式适用于三维 或更高维问题j i md o u 百a sj l 和s e o n 舀a i 飚m 等在文献 2 】中构造了三层交替方向 格式，该格式将扰动项提高到了关于时间的三阶精度，从而在很大程度上消除了扰 动项的影响至于差分格式的理论分析，起初对于稳定性和收敛性的研究采用 f o 嘶e r 分析的方法，但f o 面e r 分析方法不适合变系数问题，借鉴偏微分方程理论中 的能量方法【6 1 ，l e e s 【7 】最早引入能量估计方法研究差分格式的性质程爱杰【1 4 1 、孙志 忠【6 】在交替方向理论分析中使用了能量估计方法，有效地解决了传统f o 嘶c r 方法中 无法处理的问题 对于半线性反应扩散问题，通常使用迭代方法【9 1 或预测一校正方法【1 0 ，1 1 1 求解， 计算工作量都比较大也可以利用外推方法将格式线性化，构造三层线性化交替方 向格式，此时要求两层初值由于在许多反应扩散问题中，反应项厂一般是光滑函 数，因此，可以将厂直接作线性化处理，构造二阶收敛的线性化二层交替方向隐式 差分格式 最近，吴宏伟充分利用非线性源项的导数信息【1 5 1 6 ，1 7 1 给出了类线性化的二层 尢条件穗定的隐式差分格式，得剑j 比较好的计算效果二维半线性反应扩敌万程 一般形式为 詈一d 黟割洲厶川啦吣筑 “( x ，y ，o ) = 矽( x ，夕) ，( 五y ) 五， “( z ，y ，f ) = 口( 工，y ，f ) ，( x ，y ) r ，0 o ，且 为常数 本文第三节前半部分给出了上述方程的c 砌【l l 【一n i c o l s o n 方法及收敛性分析，后 半部分算法思想基于【8 】，其特点是对计算格式通过添加扰动项充分利用p e a c 锄觚 - r a c h f o r d 交替方向格式的特点进行分解，计算量少且计算稳定 类似于【1 3 ，1 9 】，当d 一彳b o 时，引入 ，= 彳甜+ 观及p = b d ，则上述方程等 价于 v f 一班 ，一( 1 一么户) 幽= 厂( “) ，( 五j ，) q ，f ( o ，r 】 眈f + 彳 = ， 甜( 五y ，f ) = ，( 弘f ) = o ，( x ，y ) a 【k f ( o ，丁】 ”( x ，y ，o ) = “。( 五y ) ， ，( x ，y ，o ) = 么“。( y ) + d o ( 五少) ，( j ，j ，) q 本文第三节主要针对以上问题，提出一类线性化二层h 己交替方向隐式差分 格式 蔫一志厂慨归 = 吾+ 孵m p ) 苁删嘶烤一鼎厂奶枷厂峨) 孵书纠志影p = 争磁+ ( 1 ，纠志+ 志厂慨归+ ( 1 _ 纠志彩嘭 + 阻) 罴批) 焉谚一罴厂删蟛+ 厂峨) 该格式的收敛阶为o ( f 2 + 2 ) ，数值算例验证了理论分析的正确性和格式的有效性 4 2 二维半线性抛物方程的一类线性化交替方向隐格式 2 1 卜r 交替方向隐式差分格式的建立 考虑下面的半线性抛物方程初边值问题 争( 等+ 雾一吐小q 肚斛， ， “( 工，y ，0 ) = 痧( x ，少) ，( x ，j ，) q ， ( 2 2 ) “( x ，j ，f ) = 口( j c ，y ，f ) ，( 五y ) r ，0 o 为常数，q = ( 0 ，1 ) 2 ，r 为q 的边界，且当( 五y ) r 时有口j ，0 ) = 矽( x ，y ) 由非线性抛物型方程理论【2 1 1 知道，当厂( ”) ，矿( z ，y ) 及边界函数满足适当条件时， 定解问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 存在唯一古典解 假设 ( h 1 ) 问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 存在唯一光滑解”c 4 3 ( q ，) ( q r = q 【o ，丁】， 即“缸，y 方向四阶可导，在f 方向三阶可导) ，而且存在常数c o o ，使得 m a x l 雾l ，l 嘉l ，孥l ，l 睾l ，剖，矧叫g 斯朋惦蹦西巾用， c 2 4 ， ( h 2 ) 厂( “) 二阶可导，且存在常数g 0 及k o ，使得当l s 峰c o + k 时有 l i l 觚 l 厂( 圳，l 厂7 ( s ) | ，i 厂( s ) | ) c i ( 2 5 ) 取空间步长 ：! ，时间步长r ：三，其中聊，刀为正整数记 ，挖聆 f、 薯= 访，o f s m ；乃= 乃，o 肌；厶= 破，o 后刀，q = ! 而，乃) l o f ，l j ， q ，= 敝io 后以) ，7 = ( o ，) ，( 坍，) lo ，_ ，1 ) u ( f ，o ) ，( f ，m ) l1 fs 小一1 此夕卜， 记+ = 寺( 气+ o 。) ，露+ = 厂b ( 薯，乃，气+ ) j 称( 薯，乃，) 为结点设1 ，= 如l o f ，_ ，m o 七刀 为q ，= q q ，上的网格函数，引进如下记号： 噶世= 三心+ 瞄+ 1 l4 呓q = 心”呓l吱喽扣= 去他，一噶) l 噶= 丢b 扣一瓯哇扣)呓h = 寺眈+ ，一瞄l蟛噶= 寺b 吃+ ；一t 吃一) 记最= p i 彩= ，o f ，1 ) 且当( f ，) 尉，嘞= o j 为q 上的网格函数 设以w & ，定义内积和范数 ( v ，w ) = 2 嘞， f ，歹= l 后了：= = 广一 刚l = ( 瓯i 坞，j i l 2 ， yf = o ，= l r = j 一 0 瓯= 1 ( 疋l 砖，+ ) 2 j i l 2 y ，之o = 历i ， i i 叫i2 蕃丢( _ ，p ) 2 办2 yf = i = 0 忙厄再丽， 2 。嚣甄m 我们构造初边值问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的差分格式定义q 。q 。上的网格函数 疗= “：io f ，z ，o | i ，1 ) ，其中“；= ”( ，乃，气) ，类似c r a n k n i c o l s o n 格式 的建立，在点( t ，乃，+ ) 处考虑微分方程( 2 1 ) ，有 掣一j f 掣+ 掣1 = 厂c ”c 毛，巧，气+ ；) ， c 2 6 ， 西 i 缸2 砂2i 一一“厂斛 由t a y l o r 展开式，有 掣却； 西 9虬塑竖：墅：垒：! 1 2 4西3 + d ( r 4 ) ， 掣劬； 掣+ d ( n ， 掣锄 掣圳n ， 掣= 吾l 掣+ 旦掣l 一手掣+ 。c f 4 ， 苏2 2l苏2 。 苏2 l 8缸2 国2 一r7 嘶 掣 r 2a 4 z f ( j c f ，乃，气+ ) 8苏2 a f 2 + 0 ( 办4 + 办2 f 2 + f 4 ) 掣= 彩“；+ ，一篙掣一詈掣+ 。c 办4 + 而2 f 2 + f 4 ， 印( 叫) = 巾嵯州) 4 + 妄掣小，冬) ) + 氧掣卜似计瓤；) 乎 将以上式子代入( 2 6 ) ，得 谚“d k “删+ ) = 厂如) + 三厂协谚“冉啦 ( 2 7 ) 其中露+ 5 为截断误差，由以上各式导出，关于办，f 均有二阶精度，简记为 筋+ = d ( f 2 + 五2 ) 用( ，表示“的差分近似解，在( 2 7 ) 式中舍去截断误差磁”，得( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的c r a n k n i c o l s o n 型二阶线性化差分格式为 4 u 一d k u + 影瑶+ ；) = 厂) + 三厂慨) 4 蟛+ ，l “聊_ l 。j | 疗一l 叼= ( 再，乃) ， u ；= 仅b i ，y j ，t k 、) ， 1 f ，”一l ( 2 8 ) ( 2 9 ) o ，) 厂，0 后，1 ( 2 1 0 ) 差分格式( 2 8 ) 等号左右两边分别加上扰动项孚彩瞄+ 1 和譬蟛叼，做算子 分解，得 ( ，一譬霹) ( ，一譬) 瞄制= ( ，+ 譬) ( ，+ 譬彩) 叼+ f ( 厂c 叼，+ 三八叼，谚瞄+ 5 ) 对式( 2 1 1 ) 米用p r 父替万同隐格式l 砌洲口刀一只口c 蜘耐，1 9 5 5 j 分解， 变量玩，可得 ( ，一譬 玩= ( j + 譬彩) 瞄+ 主( c 瞄，+ 三八瞄，谚喏+ 5 ) ( ，一譬蟛 瞄+ 1 = ( ，+ 譬) 玩+ 主( 厂c 嗡，+ 三八嗡，4 嘭+ 圭) 上面两式相减，得 玩：吾+ t + 嗡) 一譬彩4 啡”，1 “聊一l ， ( 2 11 ) 引进过渡层 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 即玩为圭眈+ l + 瞄) 的二阶扰动项在( 2 1 2 ) 右端项中，将蟛+ 1 用2 玩一嘭替换， 得( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的线性化二层p r 型交替方向格式为 ( ，一譬) 玩= ( ，+ 譬彩 喏+ 主( 厂( 瞄) + 八瞄) ( 玩一蟛) ) ( 2 4 ) 7 ( ，一譬影炒= 2 玩一( ，+ 譬嘭 叼 在( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 中，( n 警谚只需计算一次， 2 2 差分格式解的存在性和收敛性 ( 2 1 5 ) 从而可以有效地减少计算量 引理2 1 嘲( 离散g r o n w a l l 弓l 理) 设妒，妒，z 是关于扣”f ，力= 0 ，1 ，2 ，m 七 的非负函数，z 是非降的，若九+ 级矶十k f 丸， j | = o ，1 ，2 ，m ，则 ，h = l 争+ 9 tsz k e 凡1 设缈s ，则有 一艺 z q ，僻q ，) ：艺窆 ：仅哆砖，户：慨酬2一 2 q ，僻q ，) = 2 蛾哆吩，厂= 0 正叫j 2 f ，= i，卸产t 一艺矗z 传q ，) ：窆艺矗：b 哆+ ；) z = 慨叫1 2一j i l 2 q ，僻q ，) = | 1 1 2 慨哆+ 厂= i l 叫r f ，= l f = lj = o 引理2 3 【2 7 】 设国= 惦 为q q ，上的网格函数且在q 。的边界上为零，则有 一萋办2 妊蝣圭5 ) = 去( 岐矿1 1 2 投。， 一萋 2 傍毋毋) = 扣刮h 纠) 定理2 1 当乏i 厂缸) 降l 时，差分格式( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 是唯一可解的 证明令，= 窘，直接计算可得，当三i 厂7 ) i l 时，( 2 1 4 ) 的系数矩阵不可 约对角占优，格式( 2 1 4 ) 解存在唯一格式( 2 1 5 ) 的系数矩阵总是不可约对角占 优的，其解也存在唯一 定理2 2 设协( 五，乃，) io f ，朋；o 豇n j 为定解问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解， 妙；l o s f ，肌，o 后刀) 为差分格式( 2 1 2 ) 一( 2 1 3 ) 的解，记噶= 掰( 薯，j ，气) 一瞄， 则对任意的步长比，存在与死f 无关的正常数c ，使得 燃川i o 为常数且d 一删0 ，q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，i 为q 的边界 本节假设： ( h 1 ) 存在常数c 0 0 ，使得 ，m 孕蛋c o ， ( x ，y j n 。 。踹阱c o m a xi o i s o ( 训阚f 咖f ” ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( h 2 ) 问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 存在唯一光滑解“c 4 3 ( q r ) ，而且存在常数c 0 o ，使得 m a x | 剖，j 刮，l 剁，f 簧i ，| 烈，l 豢| ，| 剖卜“w 力q 3 5 ， ( h 3 ) 厂 ) 二阶可导，且存在常数c l 0 及x 0 ，使得当ls 匿c o + k 时有 m a x i 厂( j ) i ，i 厂7 ( 驯，i 厂”( s ) | c 1 ( 3 6 ) 取空间步长 ：上，时间步长f ：三，其中，1 刀为正整数记 ，栉刀 ，、 薯= 访，o f ，纷；乃= 乃，o ，纷；气= 破，o5 后疗，q = ! 誓，乃) l o f ，聊j ， q ，= tjo 七刀) ，7 = ( o ，力，( 7 ，l ，) jo 所) u ( f ，o ) ，o ，朋) jl j ，刀一1 ) ， q 。，= q 。q ，此外，记+ = 丢( 厶+ f m ) ，露峙= 厂g ( 而，乃，气+ ) ) ：幻+ ) 称( 五，乃，气) 为结点设，= io f ，l ，o 后刀 为q 打上的网格函数，我们构造初边值问题 ( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的差分格式定义q ，上的网格函数【，= 艟lo f ，所，o j | 刀) ， 其中砧= “( 薯，y ，气) 对于微分方程( 3 1 ) 一( 3 3 ) ， 引入v = 彳“+ d “， f u p ，一( 1 一以p ) “= 厂( “) t 眺+ 4 “= v 及p = b | d ，奄 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 对上述方程，使用c r a n k n i c 0 1 s o n 思想建立差分格式，用u ，矿分别表示“， ，的差分 近似解，在点( t ，y j ，f 。+ ；) 处离散( 3 7 ) 一( 3 8 ) 得 嘭“一嘭 一p 僻+ 蟛) 华一( 1 嘶牌卅华= 厂) v 慨) 华 d 堕：i 二噬+ 彳 f 哼1 + 唔一嗲_ + 嘭 22 3 2c r a n k nic ois o n 差分格式解的收敛性分析 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 定理3 1 设缸( 薯，少，气) ，v ( 薯，少，气) i o s f ，_ ，s 朋；o 后玎j 为定解问题( 3 7 ) ， ( 3 8 ) 的解，秒；，嘭io f ，聊，o j | 刀j 为差分格式( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 的解，记 菇= “( ，乃，靠) 一嗡，菇= ，( ，儿，气) 一嘭，o z ，m ，o 后阼，则对任意的步 长办，f ，存在与| j l ，f 无关的正常数c ，使得 物1 1 2 + d ( 1 一么p ) | 善。| 2 c g 2 + 五2 y 证明格式( 3 9 ) 一( 3 1 0 ) 的误差方程为 华一船影) 华批蚓华 坼妒删+ m ) 华峨) 华p 组 d 型二笠+ 彳堂盟+ ：坚盟 f2 v 2 其中嘭+ 5 = d ( f 2 + j i l 2 ) ，露砖= d ( f 2 ) 1 4 ( 3 1 2 ) 将( 3 1 1 ) 式两端同乘以 坼+ 1 + 磋 2 k 2 并注意( 3 1 2 ) 式，然后对f ，_ ，分别从l 到朋一1 求和，从左向右记所得各项分别为，l ，厶，厶，利用引理2 2 和c a u c h y s c h w a r z 不 等式【8 】有 ，”一l = 厶 j = l 嘭”7 ：孵“+ 彬 + 文 叫华i i 厶= 2 彬+ 刁； 2 ：p 旷圭1 2 ， li - + 彩 ( 一秘彳p 魍+ ( 一( 1 一彳p 牌+ 】 f = i 五2 = 主【_ ( 0 7 7 。+ 9 2 一l l 刁0 2 ) ， 磁+ 1 菇+ 1 + 2 + 7 7 ； 2 卜噼刽1 2 + l | 华j 1 2 声k + l j ：k b 扩i ，扩 一黔讹+ 霹 ( 华i d 堂 一( 1 一彳夕肥+ 霹】竿ld 卫 i t j 。i 一 八 一秘张+ 亏 ( 华p 一秘张+ 烈华弘2 f ，= i、 一 ， 兰! 鱼主曼重尘 ( 1 i 疋善+ 10 2 一i l t 孝8 2 ) + ( 8 孝 由中值定理j r 4 = 一考： l + 专； 2 卜 芎+ 考； 2 + 1 h 俐1 2 ) + + k 2 ) ( 华弘 艺驴g ；) 一厂( 喏) 磅+ z ：艺厂，( 嘭) 菇噶+ | j l ：，记肘。：m a x l 厂， ) l ， f ；l 由柯西一施瓦兹不等式，有 f ，= l ，4 m 黝彬5 吩6 砷q i l 2 + 酬善1 1 2 ， 1 5 僻 州泸 p l i 魍 d 4一 ：， 川州 一 4 2 扎卜 v 0 人 菇一 +一2 一 再出峙忙挣q l 。，可得 i 厶 胪，1 2 + c 。州1 2 记m ：= m a x i 厂。 ) i ，m ，= m a ) 【，并对l 添加必要的交错项，得 厶= 三茎c 厂) ”一“；) 一厂7 畋) 盼1 一“；) + ，7 蛾) ”一“；) 一厂蛾) 眈”一叼耽+ 2 所以 吲 ) 一7 峨) 】盼一“；) + 厂7 峨) 瞄一劈黼+ 办2 钞一姥) 仗，乃，以垮+ 矿，峨) 4 菇+ k + l j l l z ， 谢：m3 2黔咿p 2 l ，j = i + 等窆矽 2 葛r 9 一圳硎矗2 c 2 川1 2 + 隅旷5 1 2 + 等( 妙1 卜州2 ) + 6 阢阿畸1 2 以：+ 幺扩，1 2 + c 2 m 1 2( 妙例2 ) ， 私刊辨2 c 3 2 y + 6 腭旷 1 1 2 鹏护1 2 + c 3 ( 2 “户， 由分步求和公式得 由( 3 1 1 ) 及，厶，厶，厶的估计式，有 剀刑| 2 _ l i 巧1 1 2 ) + 矿5 | 2 + d ( 1 一彳p ) 2 f 伊。”1 2 + c i 酬2 + p 也+ _ 扩1 2 + ( 悟+ 1 l ：一陟l ；) + 4 ( 1 一么p ) i c 2 m 、 2( 炉1 1 1 2 + | 川2 ) ( 华弘+ 鹏垆脚y 1 6 2 圩妒，u、 ， 矿也 州州 1 2 = 州例 1 2 = 水， + 魍 p 4 一 q 州渊 + 纠m 埘计+ 5 | ：+ 挚( 妙1 h 2 ) 吲h p ) i 华一“啦 取毛+ 岛+ 岛+ & 1 并取岛4 ，得 剀矿1 1 1 2 _ l 2 ) + 芈笋( 妙滞仆挚咿+ 1 h 2 ) + g ( “计 上式两端同乘以2 f ，并对尼求和，注意到孝。= o 和7 7 。= o ，且桫i j o ，使得 l 一0 2 + 。( 1 一彳p ) i 孝i ：k 薯眵7 l ：f + c ( r 2 + 办2 尸 进一步由离散g r o n w a l l 引理，得 i b 4 2 + d ( 1 4 夕) l 善l ：c ( f 2 + 办2 ) 产 其中c 与， ) 等有关定理证毕 3 3p _ _ r 交替方向隐式差分格式的建立 在3 2 节，我们对于方程( 3 7 ) ，( 3 8 ) 建立了一种c r a n k n i c 0 1 s o n 形式的差 分格式( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) ，该格式需使用迭代方法求解本节我们进一步给出( 3 7 ) ， ( 3 8 ) 的交替方向计算格式 用u ，矿分别表示”，的差分近似解，在点( 毛，乃，+ ) 处按照p r 交替方向隐式 差分格式离散思想，则方程( 3 7 ) ，( 3 8 ) 可分别离散为 互之善一p 伍嘭+ ；+ 嘭) 一( 1 一和魉嗡+ ，+ 嗡) ：厂眈+ s ) ， ( 3 3 ) 互 堕兰壁一p 伍嘭+ 圭+ 霹嘭+ - ) 一( 1 一和魉嘭+ ，+ 彩嗡+ 一) ：厂慨+ s ) ，( 3 - 4 ) i 。三笠+ 么u 爹+ s ：嘭+ t ，。三掣+ 彳瞄+ t ：嘭+ t ( 3 - 5 ) 22 由( 3 1 3 ) 减去( 3 1 4 ) 得 嘭+ ；= 圭眙+ l + 嘭) 一等影谚嘭 由( 3 1 5 ) 得 喏+ = 圭( 瞄+ l + 彤) 由( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) 及( 3 1 7 ) 得 矿一y ： f 4 影4 呓 ( 3 1 6 ) 一p 幢+ 彭) 华一( 1 砷炳+ 彭) 华 ( 3 1 7 ) + 字删+ 华g 谚= 盼) ( 3 1 8 ) 由( 3 1 5 ) ，再由( 3 1 6 ) 式，舍去关于f 2 的二阶扰动项，得 瑶“= 志咿+ 嘭) + 嬲瞄 进而可以推出 ( 3 1 9 ) 嘭+ = 芴毛嘭峙十羔 ( 3 2 0 ) 离散妣+ ) ：厂慨) + 厂慨蚍t 叱) ( 3 2 1 ) 将( 3 1 9 ) 一( 3 2 1 ) 代入( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 得到求解( 3 7 ) ，( 3 8 ) 的p r 格式 筹一志慨) p = 曙+ 群防+ ( 1 一和) 云+ ( 1 一和烤一矗笔慨) 陋+ 睡) ( 3 2 2 ) 詈：孵书纠志咖+ 1 = l 詈+ 磁+ ( 1 一彳p ) 五去j + 五云云厂7 惦) l 嘭+ 1 + ( 1 一彳p ) 五六i 移嘭 + f ( 1 却) 罴批) 器施厂帅删( 3 2 3 ) 1 8 - 3 4 卜r 交替方向隐式差分格式解的存在性和收敛性 定理3 2 当i 厂铷) i 型芝掣时，差分格式( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 是唯一可解的 证明直接计算可得，当i 厂鼽) | 0 ，满足 州1 2 + d ( - 嘶) 蝌+ 字黔矿1 1 2 + 掣 k 弥赁f + c ( “j i l z ) 2 进一步由离散g r o n w a l l 引理，得 恢粥0 2 圳( ，嘶) 阱+ 字m 巧1 1 2 + 华m 孝1 1 2 k ( “ 2 ) 2 其中k 与，”， ) 等有关定理证毕 注：本节格式( 3 1 3 ) 一( 3 1 5 ) 及( 3 2 2 ) 一( 3 2 3 ) 对于d 一彳曰 0 仍成立仍令 ，= 眈。+ 彳“，将( 3 1 ) 变形为 u m 。 ，一 幺= 厂( 甜) ( 3 2 6 ) 其中m 。= l 彳，m 玉= ( 仙一d ) 彳由( 3 2 6 ) 出发进行格式构造和理论分析即可 一2 2 ， k ， l “+ pg + l 2 咿胆 + 2 i 3 5 数值实验 为了便于比较数值结果及检验以上格式的有效性，在( 3 1 ) 一( 3 3 ) 中令 q 叫o ，1 】 o ，l 】，设( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的精确解为“= e x p ( 一f ) s i n 石o + y ) ， 由( 3 8 ) 得y = ( 4 一d ) ”，( 甜) = ( 2 万2 p 一1 ) ( 4 一d ) 甜+ 2 万2 ( 1 一么p ) ”， 其中p = b f d 令f = 而，取不同的彳，e d 利用d o u 9 1 a s 交替方向差分格式【3 0 3 1 1 ( 记d o u g f d ) 及p r 交替方向差分格式( 记p r f d ) 分别计算，计算到r = 5 ，所得甜，的最大相对误 差砌，r v 如表3 1 3 3 所示，其中尺“= 峄警i 嘭一嘭l i 蝣i ，r v 类似定义对 于d o u g l a s 格式，采用线性外插方法处理右端项 表3 1 ：当彳= 刀2 ，b = 2 ，d = 3 万2 时计算误差结果 矗= o 0 5j i ，= 0 0 2办= o 0 l d o u g