（机械设计及理论专业论文）波纹管非线性振动问题研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文简述了线性和非线性有限元分析的理论和方法，对旦形蘧垫爹进行了韭生 性振动问题的研究，用v i s u a lc + + 实现了用有限元分析波纹管振动的前置处理程序。 在振动理论的基础上，得到了波纹管非线性振动的振频和振型，并与相应的实验结 果进行对比，验证了计算的准确性：同时计算了波纹管在受到正，余弦激励时的响应， 找出了应力分布规律和最大应力点位置。根据有限元理论，提出了多层波纹管振动 有限元分析的模型，并利用有限元分析程序a p o l a n s 对其进行了振动分析，得到 了多层波纹管的振频、振型，在国内首次用数值计算的方法较为精确的描述了多层 波纹管的振动特性。此外，对充满液体的波纹管的振动特性做了分析并与充满空气 的波纹管的振动特性做了比较。 关键词： 波纹管，非线性，有限元，振弹响黟 垫塾堡! ! 堡：垡堡垫塑堕堑壅 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，t h et h e o r i e so f1 i n e a ra n dn o n l i n e a rf i n it ee l e m e n l a n a l y s i s ( f e a ) a r eb r i e f l ye x p l a i n e d b yw h i c ht h en o n l j n e a rv i b r a t i o no f u - s h a p eb e l l o w na r es t u d i e d ap r e p r o c e s sp r o g r a mt oa n a l y s ev i b r a t i o no f l - s h a p eb e l l o w sw a sd e v e l o p e dw i t hv i s u a lc + 十l a n g u a g e b a s e do nt h ev i b r a t i o n t h e o r y t h er e s u l co fn o n l i n e a rv i b r a t i o na n a l y s i s 一t h ef r e q u e n c ya n dm o d e l o fb e l l o w sa r e g a i n e d w h e nc o m p a r e dw i t ht h ee x p e r i m e n t ，t h ev e r a c i t yi s p e r f e c t o nt h eo t h e rs i d e ，t h er e s p o n s eo fb e l l o w sw h i c his i n s p i r e dw i t h s i n eo rc o s i n ew a v ei sc o m p u t e d ，t h el a wo fs t r e n g t ha n dt h e1 0 c a t i o no ft h e m a xs t r e s si so h t a i n e d d u et ot h en o n l i n e a rf i n i r e - e l e m e n t m e t h o dt h e o r y ， av i b r a t i o nm o d e lo ff i n i t e e l e m e n t a n a l y s i sf o rm u l t i l a y e r b e l l o w s is p r o v t d e d w i t h t h e a n a i y t i c a lp r o g r a mo ff i n i t ee l e m e n t ( a p o l a n s ) t h e vi b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fm u l t i l a y e r b e l l o w si sa c c u r a t e l yd e s c r i e d w h i c h i st h ef i r s t t i m ei nt h i sf i e l d a t l a s t ，w ea n a l y s e t h ev i b r a t i o n c h a r a c t e r i s t i eo fb e l l o w sf u l lo f1 i q u i d ( w a t e r ) a n d c o m p a r ew i t ht h eb e l l o w s c h a r a c t e r i s t i cf u o fa i r 2 南京航空航灭大学硕士学位论文 第一章绪论 l 。l 波纹管定义及其应用 波纹管是有彩个横向波纹的圆柿形薄擘折皱壳体。波纹管接管蹙的层数，可分 为单屡波纹管和多层波纹管；按波纹分布的形式可分为环形波纹管和螺旋形波纹 管；按波纹外内径的比值，可分为深波纹管和浅波纹管。按照加t t 艺方法- 可分 为液压成型波纹管、焊接波纹管、沉积波纹管等： 液压波纹管又称无缝波纹管，是采用液体压力使圆柱形管坯在直径方向变形， 同时加辅向力使成型模具压紧， 人而得到环形波纹。把有某种型面的薄膜片内外边 缘相覃交替焊在一起制成的波纹管叫焊接波纹管。波纹管的外径为内径15 倍以上 的叫深波纹管，反之叫浅波纹管。波纹管的工作长度大于外径15 倍以上的叫长波 纹管，反之叫短波纹管。 本文的主要研究对象是波纹管的振动问题，振动波纹管南于其良好的的隔振、 减振和储藏能量等的功能。在仪表、石油化工、电力能源、航空宇航、造船、轻工 等部门得到广泛利用。由于其工作可靠，性能良好，结构紧凑等多种优点，还在不 断的扩大它的应用领域。 1 2 波纹管的应用现状 我国于本世纪五十年代开始研制波纹管，最早适用于仪器仪表行业和航天事业。 八十年代初，我国引进了数卜套石油、化工、钢铁、冶金、电力、热力等工程项目， 随之配套了大量的波纹管产品。具体说来由以下儿种情况： 1 用作仪表中的弹性敏感元件。此时波纹管基本上是把压力变为位移输出 或者把压力变为集中力输出。 2 作密封隔离元件，它可以隔离不同的介质而保证有良好的密封性能。 3密封系统中作液体的温度压力补偿器： 4 用做管道的挠性膨胀节祁挠性密封连接； 5用作金属软管，可以传输液体，存软管外加网套，可以承受较高的压力。 6可以作联轴器。 从那个时候起，波纹管膨胀节开始被更多的人了解、熟悉、掌握并逐步在工业 各部门推广使用。目前，我国波纹管膨胀节工业已经发展成为一个新兴的行、忆随 着我国圜民经济的高速发展，特别是城建、油、气、煤、热、通风空调等管道量的 迅猛增加，需求量逐年e j ：t - ，波纹管膨胀节的作用和重要性也越来越大，社会效益 和经济效益也越来越离。 1 3 振动波纹管的失效形式和课题的提出 1994 年中圜石油设备工业m 会进行了一次固内膨胀节失效问题的调查具 波纹蕾非线性振动问题研究 体的分析了四卜起失效事件，从失效类型 u 失效原因两方面进行分类统计。从统计 的数字可以看出我国当前在波纹管设计方而存在的问题相当多。究其原因，是因为 我国在这方面的研究不够完善，波纹管的设汁规定也主要是参照前苏联和美国膨胀 节制造商协会e j 、c a ( e x p a n s i o nj o i n tm a n u f a c l u r ea s s o cj a t i o n ) 标准，这与国 情在客观上存在一定的差距。从力学角度来看，波纹管的计算分析比材料力学或者 一般的弹性力学问题要复杂的多，大多数工程技术人员对波纹管方面的系统理论不 太熟悉，因此在具体的工程设计和应用过程中存在很多问题。比如，如果设计人员 对波纹管的自由频率不了解的话，那么在设计时就容易出现波纹管振动频率和系统 的固有频率接近的情况，即容易发生共振，这是非常危险的。因此振动波纹管如何 避免共振问题和振动波纹管使用寿命问题越来越显得突出，本课题正是基于这种状 况提出的。 1 4 论文的内容及安排 论文安排的顺序实际上就是论文研究的顺序。在论文中首先对波纹管研究的现 状和分析方法进行了说明，在第三章对有限元的基础理论进行了一般的了解，着重 对非线性理论作了较多的阐述。第四章对振动问题的提出和解法作了详尽的说明， 尤其对于非线陛计算的有限元程序( a p o l a n s i n f e a g s ) 中使用的算法作了较大篇幅 的阐述，对于承受多种复合载荷作用的波纹管( 包括不加载荷时) 的固有频率、振 型以及响应问题进行分析：对装载流体的振动波纹管的的固有频率、振型以及响应 问题进行分析，尤其对于多层波纹管的非线性特性分析提出了自己的见解。论文的 第五章对有限元程序给出了一些使用经验的比较，重点对自己在( a p o 。a n s i n f e a g s ) 基础上开发的波纹管分析专用的前置程序作了介绍，并对将来有限元程序可能遇到 的问题提出了一些看法。论文的最后给出了研究的结论和展望。 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章研究方法的选择 2 1 波纹管的结构 波纹管膨胀节是一种能够自由伸缩的弹性元件，其良好的补偿变形的能力以强 减振和隔振能力已经被工程界所公认。就波形而言，以u 形波纹管膨胀节应用最为广 泛。波纹管就结构形式而言，有万能式、压力平衡式、铰链式以及万向结头式膨胀节。 下图给出了单层无缝u 形波纹管的基本结构和参数示意简图。 波纹管膨胀节对位移的补偿形式有三种基本形式：一、轴向位移补偿；二、横向 位移补偿：三、角向位移补偿。波纹管在具体结构中对位移的补偿通常是这三种基本 形式的不同组合，因此常常承受多种复合载荷的作用。此外，波纹管在管路系统中承 受较大的内压，工作环境恶劣，温度变化范围较大，常有腐蚀性介质。如果设计不当 而造成在工作中失效，使设备损坏，甚至造成人员伤亡，将造成重大经济损失。 2 2 研究方法的选择 从二十世纪五十年代到今天，美国、英国、前苏联、日本等国家一直在进行波纹 管膨胀节的研究工作，发表了许多介绍膨胀节理论研究以及实验方法的文章，也推荐 了一些设计和计算的公式。波纹管膨胀节看起来结构比较简单，但从力学分析的角度 来看，它是由两个半环壳和环板组合而成，解析起来有一定的困难，这也是多年来人 们对它进行各种研究的主要原因之一。从八十年代开始，波纹管在我国各个工业领域 逐步推广使用，我国也有不少科研院所投入到波纹管膨胀节的理论基础研究中来，为 工程设计部门提供了符合我国国情的设计方法和设计准则，不断的形成一些标准，并 进行修正。但是由于我国从事波纹管膨胀节的研究时间比较短，还主要是参照前苏联 波纹管非线性振动问题研究 或者美国的计算方法和设计规范，对国内外一些常用的公式进行分析对比之后加以推 荐使用。目前波纹管的联系研究方法主要有以下三种： 一、解析分析法 解析分析法主要是从波纹管膨胀节的几何形状出发，考虑到膨胀节实际上是由两 个半环壳和环板组合而成，为了精确的求解膨胀节在外力作用下的应力分布，它需要 从壳体及环板的微分方程出发，通过解析的方法寻求解答。然而这种求解方法比较困 难和复杂，具体解法也是比较繁琐不易掌握，因此这种方法的使用性就比较差，使用 的范围也受到一定限制。 二、工程近似法 工程近似法就是为了适应工程设计的需要，用材料力学的方法对于波纹管进行 定的简化，然后推出比较简单的设计和计算公式，在工程设计中加以应用，其中对我 国有较大影响是：前苏联维赫曼公式和美国的膨胀节制造者协会( e j m a ) 标准公式。 但是由于国情的差别和计算模型有一定的差距，所以采用各种公式计算就存在较大的 误差，使用的范围也必然受到限制。 三、数值分析法。 数值方法就是当直接寻求微分方程的解法较为困难时，而采用有限差分法或者有 限元方法就可以得到较为满意的数值结果。有限元方法是一种适用范围较广并且行之 有效的数值计算方法。对于结构形状复杂，载荷情况也复杂的零部件也能进行分析， 这是其他经典方法所不能做到的。到了二十世纪后期随着电子计算机的高速发展有限 单元法在我国也得到了长足的进步。有限元方法首先是将波纹管“离散化”，分成为若 干个单元，认为单元之间只在节点上相互联系；按照静力等效原则将作用于各个单元 的外力简化到节点上：根据弹性力学的基本方程和能量原理建立起以节点位移为基本 未知量的代数方程组，通过求解节点位移进而求出应变和应力。正是考虑到有限元方 法能够解决复杂的边界条件、非线性问题、动力学问题，在分析波纹管膨胀节的材料、 几何非线性特性时有其他分析方法所无法相比的优点，通过应用优秀的有限元分析软 件可以详尽的了解波纹管膨胀节的应力状况，并可以进行动态模拟。 由于本文主要是研究波纹管的振动问题，包括波纹管的振频、振型以及动应力响 应问题，实际上是求解一个动力问题，即求解特征值问题。在计算波纹管的振频、振 型时，由于实际应用只需要求解波纹管的前几阶振频，在数学上也就是计算几个特定 的根及其相应的矢量而不要求解其它的根，因此迭代法恰好可以满足要求并且具有稳 定的数值，在a p o l a n s 中主要是应用了子空间迭代法和行列式搜索法，这两种方法是 当今有限元程序中求解大型方程组特征值必不可少的方法，详细的算法的计算步骤见 第四章。在计算动力响应问题时，求解动力响应平衡方程时有两类方法直接积分 法和模态叠加法。直接积分法不对方程作任何形式的变动，直接用数值的方法一步步 积分方程；模态叠加法先对方程做变换，使基底降低，或和使矩阵带宽减小，再进 南京航空航天大学硕士学位论文 行求解。直接积分法又可分为显式差分和隐式差分两大类，a p o l a n s 中的中心差分法 属于前者，而w l 西o n 一日方法及n e w m a r k 法属于后者。中心差分法由于不需要对方程 进行求解，是由前一时刻的已知平衡条件，求解增量后的各个参数的解，因此具有计 算时间短的优点，但是缺点是不够稳定，即如果差分步长选择不当会造成解的结果发 散。所以在本文中使用a p o l a n s 的算例计算时都用的是隐式差分法，隐式差分法则必 须求解方程，故而求解工作量大，消耗的机时多，但它是无条件稳定的。对 聊西o ”一目方法及n e w m a r k 法的详细解法见第四章。本课题正是在a p o l a n s 程序的基 础上完成的。 波纹管非线性振动问题研究 第三章有限元基础理论 3 1 线性有限元理论 在圆体力学中，无论是线性问题还是非线性闽题，都有三个基本控制方程，它们 是本构方程、几何运动方程与平衡方程。在非线性问题控制方程推导过程中，平衡 方程的使用与线性问题没有本质的区别；当对另外两个方程却采用完全不同的理论， 从而建立了各类非线性问题的方程。 3 1 1 本构方程 本构方程主要描述了结构材料的应力一应变，弹性模量与温度、 名的虎克定律仅考虑应力与应变两个参数且认为它们是线性关系， 参数之间为非线性关系，则属于材料非线性范畴。 对各项同性材料而言，胡克定律的形式为： o l = c 占) 其中： 盯) = 盯；盯y 盯：, g - 驯r 声z - 。 s ) = 。占。占：y 。y 。y 。 。 弹性矩阵 c 】为： 阱百e 万( 1 面- a ) j 3 1 2 几何方程 口 1 一a l 一“ 1 称 oo 0 o 1 2 , a 2 ( 1 一) o 0 0 1 2 “ 2 ( 1 一) 时间的关系。著 否则，即认为各 0 o 0 0 0 1 2 2 2 ( 1 一) ( 3 一l 一1 ) ( 3 - 1 - 2 ) 几何运动方程是描述结构的位移函数与应变函数之间关系的方程。在经典弹性理 论与塑性理论中均假定结构的位移、转动与应变是很小的，而且在结构变形时载荷 方向不变，从而得到了线性的几何运动方程。 上忡。 对 【 南京航空航天大学硕士学位论文 小变形情况下的几何关系( 位移应变关系) 为 斟等+ 等 = m ， t 。， 3 1 3 平衡方程 弹性体在任一点沿坐标轴x 、y 、z 方向的平衡方称为 其中x 、y 、z 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。 3 1 4 虚功原理、总位能原理与位移模型有限元方程 以位移为有限元控制方程的基本未知数这种数学模型称为位移模型，这时有限元 法的主流，至今仍然处于统治地位。虚功原理是固体力学中求平衡方程的基本原理? 一，对位移模型而言，虚功原理演变为总位能原理：在一个物体上，满足位移协调 以及位移与运动边界条件的所有位移形式中，满足平衡方程的位移形式使总位能取 最小值。一个变形体得总位能为： 万= u w( 3 - l 一4 ) 式中u 是变形能，w 是外力功，可以理解为物体变形能扣除外力功，即为物体总 位能。按变分原理： 衍= 万u 一万w = 0( 3 - l 一5 ) 注意按照变分运算规则在式( 3 - 卜5 ) 取变分时，仅对位移取变分，而力与应力均不 变。上式中： 6 u = l 仃口d 如 ( 3 一卜6 ) 6 w = i v f dj “+ i s f d 6 “ 有限元法与经典李兹法的一个重要区别是，它不寻求在结构整个域上连续的位移函 数，而是寻找各个子域( 元素) 以内，近似满足域内及域界连续的位移函数，将物 体假想分成为一个个互不相重叠的元素( 例如三角形、四边形、六面体、杆元、梁 7 c 0 o l l = 一一 t + ， 心 篮岔 钒i 啦石 + + 笠方 笪砂 笠彦 + + 卜 奴i 笠出 丸百 波纹管非线性振动问题研究 元等) ，对每个单元，设节点位移未知量为 q ) ，在梁、板、壳元中还对应节点的转 动，而在元素内部和边界上假设满足位移协调条件的插值函数n ，于是元素内位移u 可以表示为： “) = 】 q ) ( 3 一l 一7 ) 将式( 3 - 卜7 ) 代入式( 3 - 卜3 ) 可以得到应变和节点的位移关系： s ) = n 】 q = b 】 q ( 3 一l 一8 ) 式中 】矩阵为式( 3 1 3 ) 中微分算子所组成的矩阵。考虑到胡克定律，即式( 3 - 1 - 1 ) ， 将式( 3 一l 一8 ) 代入式( 3 - 卜6 ) ，则式( 3 一卜5 ) 的最终形式为： 丘 q = ， + r 】 ( 3 一卜9 ) 其中： k = 【b 】7 c 】【b 咖 f 】= n 】7 f l d v i t 卜上 n j 7 t d s ( 3 1 一1 0 ) ( 3 1 1 1 ) 注意到在这些式子中积分仅对每一个元素域，这样在实际计算中对各个元素计 算时，可以用元素自身的坐标系，然后转换成总体坐标系在进行叠加，式中 f 和 t 均分别为作用于节点下当量体力与表面力。如果再考虑变形能和外力功时，将初应 力、集中力甚至结构处以运动状态时的惯性力均计算在内时，可以按照达朗贝尔h 理把惯性力作为体力的一部分，而元素内加速度的插值函数也按照式( 3 - 1 - 7 ) 中的 同一 n ，用西” 表示节点加速度矢量，则式( 3 - 1 - 9 ) 可写成： 【埘】 q ” + k 】 g ) = r ) ( 3 - 1 1 3 ) 式中： m _ l p i n 7 n l d v 实际中，结构振动时总是存在阻尼的，一般用速度阻尼相关阻尼力，也把 它视为体力的一部分，同样认为阻尼力在元素内部均按同一插值函数，用矧) 表示 节点速度矢量，则式( 3 - 卜1 3 ) 进一步写成： m 】 g ” + c 】( q ) + ( k 】 0 ，则继续塑性加载。 口。口 b ) 若f ：o ，翌_ 0 ；若 a 为半正定，则丑= 0 ： 对于广义特征值问题式( 4 - 2 - 2 7 ) ，当总刚度矩阵为正定时，按式( 7 - 1 3 3 a ) 化为 标准特征值，此是由于采用旯= ；式，故采用记号： 。 ，l，i i i 2 万。；2 石：q 22 石l 。 t i 当总刚度矩阵为半正定时，则可得质量矩阵为正定的，按式( 7 - 1 3 3 b ) 化为标准特 征值，此是采用a = 出2 式，故采用记号： ? = ：0 9 ；= 兄2 ；0 9 ：= 由此可见，广义特征值问题的n 个特征值顺序排列成： 国。2 ：一1 国2 2 ? 0 南京航空航天大学硕士学位论文 而珊，：，。，为别成为第一、第二、第n 阶的固有振型。若写成矩阵的形式，分 别为： q 2 ： 缈： 0 0 二 国： 。： 妒。1 ： 庐：。i f 庐。： 朋j 任意一个特征向量。，均能显示出对应频率0 9 ，的振型。任意一阶频率国。及其特征 向量，都分别满足方程( 4 2 2 8 ) 或( 4 2 2 7 ) 。而：即嘲也满足方程( 4 2 2 7 ) 其中a 是任意常数。因此，伽i 任为特征向量。这就是说，在每一个振型妒，中，各节 点的振幅是相对的，其绝对值可以乘以任意常数。即式( 4 2 3 8 ) 只能确定振型的 形状而不能确定其幅值，故需要进行特征向量的正则化，即规定特征向量应满足： 参! m 争j = 1锭m 牵? = 醭 这是对特征向量各元素应除以? 掰，( f - 1 , 2 ，h ) 。这样的特征向量称为正则化 特征向量，其振形成为正则化振型。可以证明振型正则化后，所有不同阶的特征向 量以 m 和 k 矩阵为权正交，这一特性称为振型的正交性 4 3 特征值问题求解 求解广义特征值问题有两种途径一一直接法和变化为标准型后求解。直接解法 有：广义雅可比法、子空间迭代法、共轭斜量法等，标准型特征值解法较多，常用 的有：雅可比法、豪斯霍尔德法以及逆迭代法和同时迭代法等。这些解法中，大致 可以分为两大类：即先求特征值的方法和先求特征向量方法。 4 3 1 广义雅可比法 广义雅可比法是数值计算方法中标准雅可比求解格式的一种自然推广，即当 m 是单 位矩阵时，此广义解法就简化为问题k = 埘的求解格式。它是一种变换方法，基 本思想是经过一系列的旋转变幻，也就是说寻找一系列的变换矩阵，使得 k 和 m “ 乱 谚 ， ， | i 国 波纹管非线性振动问题研究 逐渐成为对角矩阵。 广义雅可比法所用的变换矩阵为 尸( 。) = 1 口 -_- ，1 ( 4 3 1 ) 式中，a 和y 是待定常数，是根据变换k 。和m 。中的非对角线元素七口“1 和 m 。“1 必须为零的要求来确定。其中上角坐标( k ) 表示所考虑的是第k 次迭代a 进 行p ( ) 7 足( 。_ 尸( 和p ( f m 尸相乘并利用“和m j ( k + 1 ) 必须为零的条件，得到i 1 列关于口和，的方程： a k i 2 + ( 1 + 掣) 尼口。+ 加= 0、 口州“+ ( 1 + 叫) 巩口。+ y m = 0 j 求解式( 4 - 3 2 ) ，得到： 石，( 。1 a = ! 一： z 式中，i 。“，石。及x 分别由下式求得 甜”= 女。m 口”一, k ) k 石= 七2 m f ”一m j 。) k 口 = j i f 。川“一七。川 z ：譬槲”) 厚五百 式中，s i g n ( k ) 表示只取( i ”) 的符号。 在式( 4 - 3 2 ) 中，如果条件 ，：五翌( 4 - 3 - 3 ) v = 一 x ( 4 - 2 4 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 翁= 筹= k q ( k ) ( 4 - 3 - 5 ) m “( ) 册( )m f ( ) 姚舸以用和一筹作为解。 上述关于口和y 关系式主要是对 m 是正定的、满的或带状的质量矩阵情况推导 。：科藏。斌胪* 一义雅 可比法确实是可行的。此法大量用于一致质量理想化的情况。 4 3 2 向量迭代法 在有限元法求解振动问题时，由于自由度比较多，同时也由于工程上往往只要 求最低频率或前n 阶频率，因此，采用向量迭代法较多。 k $ = x m 牵 ( 4 - 3 6 ) 目的是通过直接的运算来满足方程( 4 3 7 ) 。先假设一个向量p 是五，并假设旯= 1 。 于是方程( 4 3 6 ) 的右段为：置= i x 。由于墨是一个任意假定的向量，一般 不满足： 解1 = r l ， 如果满足的话，则x 就是一个特征向量。因此，就象对静态问题一样来分析。将上 式写成： 删2 = 置：置x l 式中工：是对应于外载荷置的位移解。由于知道是使用迭代法求解特征向量，因此 可以直观的认为j 可能是比五更好的特征向量的近似值。通过反复迭代就能得到 一个越来越好的近似特征向量。这个过程就是逆迭代法的基础。 1 逆迭代法 逆迭代法是求解特征向量和特征值得很有效的方法，它已经使用在各种重要的 2 5 波纹管非线性振动问题研究 迭代过程中，如行列式搜索和子空间迭代中。 这里假设矩阵 k 是正定矩阵，而 m 可以是对角矩阵( 对角线上可以是零元素) 或带状矩阵。如果 k 仅仅是半正定，则在迭代前应采用移位( 原点平移的逆迭 代法) 。首先考虑逆迭代法的基本方程，在求解时假设初始迭代向量为z ( ”，一 般取全1 的单元列阵，并用带括号的上角标表示迭代步数，如z ( 1 表示第r i 步的迭代向量，则式( 4 - 3 - 6 ) 可以写成： 足 x ( r ) ：脚( r - 1 1 ( 4 3 7 ) 若以叉4 谱1 x ( 一，则上式可以写成： 几 置万“：倒( r - ”( 4 3 8 ) 只要初始迭代向量。1 不与主振型办正交，即x ( 。) 7 聊i 毒0 ，则当r _ 。o 时， ( ，专声l 。对于i 应进行规格化，n o ： ( 4 3 9 ) 如果不按上式进行规格化，势必将使i 7 逐渐放大( 或缩小) ，就不容易收敛于 。 2 正向迭代法 正向迭代法与逆向迭代法是相互补充的。这个方法得到对应于最大特征值 的特征向量。在正向迭代法中，假设 k 是正定的，这里假设 m 是正定的。如 果 m 不是正定的，也必须采用移位。 选定个初始迭代向量z ( o ) ，按r = 1 , 2 ，进行下列计算： mi ”：k x ( r - 1 ) 纛 = r 石 南京航空航天大学硕士学位论文 式中只要x o 与丸一。不是 m 正交的，则当r 斗c o 时，有 z 7 寸。一 这里需注意，它与逆迭代法唯一的差别在于不是求解式( 4 - 3 - 1 2 ) 而是求解式 ( 4 - 3 一l o ) 来得到一个改进的特征向量。这里不是对矩阵 k 而是对 m 进行三 角分解。 4 3 3 子空间迭代法 子空间迭代法是把高阶的问题归结为解子空间的特征值的问题。在逆迭代法中， 每次只能计算一个频率和一个相应的振型。如能同时对m 个迭代向量进行迭代， 就可以一次求出所需的若干个的特征对，从而形成子空间迭代法。这种方法对大型 结构只要求少数特征对是一个很有效的方法，可以把它看成瑞利一里兹法的反复应 用。可以证明求解特征值问题与求解瑞利商的极值问题是等价的。采用瑞利商计算 特征值不仅简单，而且容易得到较准确的最小特征值，这是因为比较容易猜中最低 阶的振型。但对高阶特征值，由于振型猜不准就不容易求到好的特征值的近似值， 因而采用瑞利一里兹法。 用瑞利一里兹法可以将n 阶的特征值问题，即式( 4 2 2 7 ) 降为一个p 阶特征 值问题来解。把式( 4 2 2 7 ) 的前p 个特征向量识，：，妒所构成的空间记为e ，空 间( p 0 ) ( 4 5 2 ) 对方程( 4 5 一1 ) 求解，得到不同时间的位移向量、速度向量和加速度向量，这就是 求解动力响应问题。求解动力响应问题，一般有两种方法，一种是振动叠加法( 分 解法) 。由于振型的正交性，可以把求解问题式( 4 5 1 ) 变换成一组独立的微分方 程，即每一个自由度有一个方程，解出这些方程之后，把这些结果叠加而得方程 ( 4 5 1 ) 的解。另一种是直接积分法( 逐步积分法) 。它是在一系列的对间步长出 3 5 波纹管非线性振动问题研究 对上述方程进行数值积分，在每一步长上对上述方程进行数值积分，在每步长上 计算位移、速度和加速度。 直接积分法是根据动力学方程由t 时刻的状态向量5 ( 0 ，6 p ) 和6 ”( f ) 计算h 出 时刻的状态向量8 ( t + a t ) ，护( f + ，) 和扩o + f ) 。它不仅适用于以原始坐标表示的方 程，也适用于以主振型表示的非耦合方程。这种方法的基本思路是将本来要在任何 时刻都以满足的动力学方程的位移向量，代之以只要在时间离散点上满足动力学方 程，而在一个时间间隔内，对位移、速度和加速度的关系则采用某种假设。由于所 取的假设不同而又有不同的直接积分法。在有限元动态分析中最常用的有中心差分 法，纽马克法、威尔逊法和豪伯特法。 4 4 1 中心差分法 中心差分法的差分格式为： r ) = 。寿【雠m 卜2 瓶) + 瓯a 。 】 ( 4 5 3 ) u 2 击【- 4 一m + 瓯m ) 】( 4 - 5 - 4 ) 此时上述两式在时刻t 上满足平衡方程( 动力方程) ，即： 【 彳 占”) + 【c 】 占。) + 【k 】( 占，) = f ) ( 4 5 5 ) 将式( 4 5 3 ) 和式( 4 - 5 4 ) 戴如上时，得到： ( 古 删+ 击 如瓯。) ： 毋豳一古旧) 蛾 一( 古叫卜击【c 】) ) ( 4 _ 5 嘞 从该式可以解出瓶+ 。 。从上述过程可以看出( 4 + 。 的解答是基于时间f 的运动方程 ( 4 - 5 3 ) 式，因此这种积分过程就称为显式积分方法。中心差分法逐步求解运动方 程的算法步骤归结如下： 1 初始计算 1 ) 形成刚度矩阵 k ，质量矩阵 m 和阻尼矩阵 c 。 2 ) 给定民，民，氏”。 3 ) 给定时间步长血，a t o ，并计算积分常数白。古，c - 2 击，c ：= 2 c o ， 1 吒2 一。 c ， 南京航空航天大学硕士学位论文 4 ) 计算4 一m = 民一出5 0 + c 3 6 ”o 5 ) 形成有效质量矩阵f 凹 - c o 掰】+ q m 6 ) 三角分解 m = l c f f 2 对每一时间步长 1 ) 计算时间r 的有效载荷 ( f 。 = f 一( 足卜c 2 【肘1 ) j 。) 一( c o 幻一q c 】) 占。一。) 2 ) 求解时间t + f 的位移 l c l 7 万。) = f ) 3 ) 计算时间r 的速度和加速度 置“= c o ( 4 m 一2 6 , + 最+ ) 嗔= c l ( 一t m + 6r + f ) 从式( 4 5 5 ) 可以看出显式算法的好处是，如果质量矩阵是对角阵，阻尼可以忽略， 或者阻尼也是对角阵，则求解运动方程式不需要进行矩阵的求尼，仅需要进行矩阵 乘法运算以获得方程右端的有效载荷，然后得到位移的各个分量。显式算法的上述 优点在非线性分析是更有意义。因为非线性分析中，每个增量布的刚度矩阵是被修 改了的。这时采用显示积分法，避免了矩阵求逆的运算，计算上的好处更加明显。 4 5 2 纽马克法( n e v n r a r k ) n e ，n r a r k 积分方法实质上是线性加速度法的一种推广。它采用下列假设： j ，+ a 。= 占，。+ ( 1 一z ) 占。”+ x 6 ”。， a t ( 4 5 6 ) 艿，+ 。= 占。+ 占。r + c 圭一口，j ”，+ 口艿，+ 。， r 2 ( 4 - 5 - 7 ) 其中口和z 是按积分精度和稳定性而定的参数。当口= 0 5 和z = 1 6 时，式( 4 - 5 6 ) 、 ( 4 - 5 7 ) 相当于线性加速度法，因为这时它们可以从下面时间间隔a t 内线性假设 的加速度表达式的积分得到 万，+ 。= j ，+ ( 5 ，+ ，- 6 ”，) y f ( 4 5 8 ) 式中0 - y _ a t 。n e m m r k 方法原来是从常平均加速度法这样一种无条件稳定积分 方案而提出的，那时口= 0 5 和z = 1 4 。a t 内的加速度为： 波纹管非线性振动问题研究 占”，+ ，= ( 占”，+ 万“，+ 。) ( 4 5 9 ) 和中心差分法不同，n e w a r k 方法中时间f + a t 的位移解答4 + 是通过满足f + a t 的 运动方程： j ；i z 】 占”，+ 。) + c 占。+ 血) + 【石】 4 + 由) = e + 出) ( 4 5 1 0 ) 而得到的。为此首先从式( 4 5 - 7 ) 解得 8 1 t + a t = 万1 ( “扩一击e 一( 专_ 1 ) ，( 4 奇 将上式代入式( 4 5 6 ) ，在一起代入式( 4 5 1 0 ) ，则可以得到瓯，玩，t “计算 6 ，+ 。的公式 ( + 古m + ，卜哦川肘】l 击x a t 瓯+ 移。+ ( 去寸。 唯，( 影+ ( 引虻+ ( 专斗。 ( 4 - 1 - 1 2 ) n e w m a r k 方法逐步求解运动方程的算法步骤如下： 1 初始计算 i ) 形成刚度矩阵 k ，质量矩阵 m 和阻尼矩阵 c 。 2 ) 给定8 0 ，民，8 0 “。 3 ) 选择时间步长出，参数z 和a ，并计算积分常数 口o 5 0 ， z 2 0 2 5 ( 0 ，5 + 口) 1 2 万 口 c ，= 一， 魈f l c ，= 一， z & 厶：土一1 ， 3 2 z c s ：a _ t ( 一c z 一2 ) ，c 6 ；a t ( 1 a t ( 1 - a ) ，c 7 ：融f。s 2 了i 一2 气。 ，。，2 融 4 ) 形成有效刚度矩阵 置 k 】+ c o 【m + c 1 【c 】 5 ) 三角分解盒：l c l r 2 对每一时间步长 1 ) 计算时间t + a t 的有效载荷 “：旦一1 z 南京航空航天大学硕士学位论文 f ：+ 由) = ( f + 址) - 【 彳】( c o ( t ) + c 2 万，) + c 3 子“， ) + 【c 】( c l 4 + c 4 占，) + c 5 艿”，) ) 2 ) 求解时间t + 出的位移 l c l l 占， = f ，) 3 ) 计算时间，的速度和加速度 玩+ ”= c o ( 瓯+ m 一疋) 一c 2 艿，一c3 占”。 6 f + = 艿f + c 8 j ”r + c 7 艿”l + 掣 4 5 3 计算方法的比较 中心差分法比较适合用于波传播问题的求解。因为当介质的边界或内界的某个 小的区域受到初始扰动后，是逐步向介质的内部或周围传播的。另一方面，研究波 传播的过程需要采用小的时间步长，这正是中心差分法时间步长需受临界步长限制 所要求的。还有中心差分法是有条件稳定的算法，常常要求时间步长过小，除非为 题本身需要很小的时间步长，否则实际使用中受到限制。所以对于结构动力学问题， 中心差分法就不太适合了。因为结构的动力响应中通常低频成分是主要的，从计算 精度考虑，允许采用较大的时间步长，因此对于结构动力学问题通常采用的是无条 件稳定的隐式算法。 从n e w m a r k 方法循环求解方程式( 4 一卜1 2 ) 可见，有效刚度矩阵【k 】中包含了 k ， 而在一般情况下 k 总是非对角矩阵，因此在求解4 。时，有效刚度矩阵皤】的求逆 时必须的( 当然，在线性分析时只需分解一次) 。这是由于在导出式( 4 1 - 1 2 ) 时。利 用了t 十时刻的运动方程，这种算法称为隐式算法。可以证明，当口o 5 ， z o 2 5 ( 0 5 + 口) 2 时，n e w r a a r k 方法时无条件稳定的，即时间步长的大小不影响解的 稳定性。这时时间步长的选择主要靠解的精度而定，或者说是可根据结构响应有主 要贡献的若干基本振型的周期来确定，所以无条件稳定的隐式算法以有效刚度矩阵 【k 的求逆为代价换得了比有条件稳定的显示算法可以采用大的多的时间步长。而 且采用较大的步长还可以滤掉高阶不精确特征解对系统响应的影响。 振型叠加法也是一种比较有效的方法，其要点是在积分运动方程之前，利用系 统自由振动的固有振型将方程组转换为r 1 个相互不耦合得方程，对这种方程可以解 析或数值地进行积分，对于每个方程还可以采用各自不同的步长，即对于低阶振型 可采用较大的时间步长，因此当实际分析的时间较长，同时只需要少数较低阶振型 的结果时，采用振型叠加法是有利的。但由于它必须求解特征值问题，当自由度数 目比较多时，求解特征值是不容易的，需要花费很大的计算量。此外，振型叠加法 3 9 波纹管非线性振动问题研究 只适用于线性问题，对于象波纹管这样非线性系统必须采用直接积分法而不能采用 振型叠加法。 4 5 3 动力响应时的动应力问题 对波纹管的动力响应问题的模型，主要是从波纹管得受载情况来考虑。即是计 算波纹管在一端固定、另一湍自由，并在自由端加载角向或轴向的周期性激振时的 位移和动应力情况。 典型算例： 波纹管物理条件为一端固定，一端自由，在自由端沿轴向拉伸2 毫米，并受到 角速度为l o o z ，相位角为零的轴向正弦激励，求解在这种条件下的结构响应。波纹 管的几何尺寸如下； 外径( d )内径( d )厚度波峰理论波谷理波数层数最大 m 皿衄( t )半径( r 1 )论半径当量 m珊( r 1 )应力 珊m p a 3 3 8 43 0 1 50 4 54 04 07l1 0 4 通过有限元程序计算，并用编好的程序对输出文件进行处理之后( 详细结果见 附表一) 。从数据中可以看出，由于波纹管是对称结构受到对称载荷，因此首先各点 的应力分布也表现为是对称的。其次在这种情况下，波纹管的最大应力点处在位置 1 2 ，即靠近波纹管固定端的第一个与第二个波之间一波谷处。 第三，波纹管出现最大应力点的时间是当波纹管首次被控伸到最大位移时，在本次 计算中就是在总共1 2 个加载步的第三步时出现。 南京航空航天大学硕士学位论文 第五章有限元程序介绍 5 1 概述 有限元程序的开发是有限元研究的一个很重要的部分，它是理论与方法的载体， 是理论用于实践必不可少的桥梁，是有限元学术与实际应用水平的代表。五十年代 中期到六十年代末，有限元方法出现并迅猛发展，他们在工程上的应用多以专用的程 序面目出现，为了求解某一个或者某一类结构编制一个程序。随着各项技术的进步 与经验的积累，自六十年代末、七十年代初大型通用有限元程序出现了，以他们的 功能强、用户使用方便，计算结果可靠、效率高而逐渐形成了新的技术商品，成为 结构工程强有力而不可缺少的分析工具。专用程序仅用于一些特殊的、大型通用程 序未涉及到的课题。即使针对这样一些课题，通常也是在通用程序基础上增添相应 的模块，利用通用程序有的通用功能，如前处理、单元阵的形成、总刚度与质量阵 的形成、应力计算、应力输出、图形显示等作为开发平台，避免低水平上的重复， 提高效率。 5 2 几种有限元程序的比较 由于结构分析的有限元程序在各个工程领域有着如此重要的以，引起了各国的 重视，相继开发了很多通用程序系统。目前在市场上占有较大份额的主要是由美国 开发的几个大型程序，这不仅因为在理论与方法研究上美国处于领先的地位，这时 的是在计算机的软硬件随行，对程序开发的巨大投资及商业活动方面美国更胜一筹。 a n s y s 程序被公认为最早具有良好的程序用户界面的系统，它的绘图与图 形功能包括：未变形结构、局部结构、局部区放大、隐线与隐面消除、投影图、透 视图、二维与三维应力、温度、变形的等值线以及云图、三维动态显示、历程曲线 ( 一点应力、应变、温度随时间变化) 显示、任选结构中一条线，显示沿此线上的 应力、应变、温度分布曲线、固定列表输出、用户选择输出等等用起来十分方便。 但是该程序的最主要的缺点就是一不能参数化建模，这一点对于专用的程序设计和 分析来说是非常不方便的，虽然它与世界上著名的c a d 程序有相应的接口，但是在 使用起来需要不断深入学习和研究。 a p o l a n s i n f e a g a s 程序是原航空部6 3 1 研究所联合开发的，全名是a n a l y s i s p r o g r a mo fl i n e rs t r u c t u r e - - 一i n t e r a c t i v ef i n i t ee l e m e n tg r a p h i ca n a l y s i ss y s t e m ，其 主要特点是：在a d i n a 的基础上增加了一个前置处理程序和图形界面的后置处理 程序。程序和图形功能都比上一个版本有了较大的进步，目前可以在w i n d o w s 9 5 9 8 的平台上运行( 前一个版本是纯d o s 版本) ，程序的核心部分的非线性处理模块具 有非常高的水准，对于一般结构的非线性问题都可以给出比较精确的结果，对于解 决类似波纹管这种非线性问题特别突出的情况该程序有着无法替代的优势，这正是 选择该程序模块作为内核的主要因素。后置处理模块可以动态仿真模拟结构的各阶 4 l 波纹管非线性振动问题研究 振频、模态，位移、应力的云图显示，局部结构放大等，使用户可以