（生物医学工程专业论文）基于DBPPOCS的兴趣区重建及体密度动态监控研究.pdf

上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t f b pi so n eo ft h em o s tw i d e s p r e a dc ti m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sa t p r e s e n t b u tt h i sa l g o r i t h mh a sas h o r t c o m i n gt h a tt h er e c o v e r yo fa ni m a g ea ta n y f i x e dp o i n tr e q u i r e st h ek n o w l e d g eo fa l lt h em e a s u r e do b j e c tf a u l tp r o j e c t i o n s t h i s m e a n s ，e v e l li fo n l yas m a l lp a r to ft h em e a s u r e do b j e c tn e e db eo b s e r v e d ，t h ew h o l e o b j e c tm u s tb es c a n n e de n t i r e l y u n f o r t u n a t e l y , i nal o to fs i t u a t i o n s ，e s p e c i a l l yi n c l i n i c ，t h ed o c t o r sa r ei n t e r e s t e do n l yi nar e l a t i v e l ys m a l lr o ic o n t a i n i n gh e a r t ， b r e a s to rs o m es p e c i f i co r g a n c u r r e n tc ts y s t e m sa r eu n a b l et op r o p e r l yh a n d l et h e e x a c tr e c o n s t r u c t i o no fr o i ，e s p e c i a l l yt h es o c a l l e di n t e r i o rp r o b l e m a sar e s u l t , t h e yr e q u i r ee x p o s i n gx - r a y st ot h ew h o l es e c t i o nc o n t a i n i n gt h er o i i nf a c t ，t h i s w i l li n c r e a s et h ex r a yr a d i a t i o nd o s ei nc ti m a g i n g r o ir e c o n s t r u c t i o ni nt h i s p a p e rw i l lh e l pr e d u c e t h er a d i a t i o nd o s e a n dm o r e o v e r , v o l u m ed e n s i t yc h a n g i n gi sa ni m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h e r e c o m t r u c t e do b j e c ti n f o r m a t i o n a tp r e s e n t ，t h em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o do f m o n i t o r i n gv o l u m ed e n s i t yi sb a s e do ni m a g er e c o n s t r u c t i o n f i r s t ，u s i n gc o n e - b e a m p r o j e c t i o n s ，w ec a l la c h i e v ed i r e c tv o l u m er e c o n s t r u c t i o n t h e nw ec o m p u t et h e v o l u m ed e n s i t yt h r o u g ht h ei n t e g r a t i o no ft h eo b je c td e n s i t yf u n c t i o na te a c hp o i l l t t h i sm e t h o di sc o m p l e xa n dt i m ec o n s u m i n g ，i ti sd i f f i c u l tt oa c h i e v et h er e a l - t i m e d y n a m i c a lm o n i t o r i n go fv o l u m ed e n s i t y i nt h i sp a p e rw ep r o p o s et h ed y n a m i c a l m o n i t o r i n ga l g o r t h mo fv o l u m ed e n s i t yb a s e do nc o n e - b e a mp r o j e c t i o n s ，a n dm a k e t h es i t u a t i o ni nab e t t e rw a y m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h ea u t h o r ，sr e s e a r c hi nt h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) s t u d yt h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so ft h ec o m p l e t ec o n d i t i o n so f r o ia c c u r a t e r e c o n s t r u c t i o n f i r s t , w ei n t r o d u c et h eb o t h e n d sk n o w nc o n d i t i o na n dt h e t w o s t e ph i l b e r tt r a n s f o r mr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d a n dt h e np r e s e n tt h es i n g l e - e n dk n o w nc o n d i t i o na n dt h em i d d l e - p a r tk n o w nc o n d i t i o nf o rr o ia c c u r a t e 上海大学硕上学位论文 r e c o n s t r u c t i o na n dd b p - p o c sr e 虻o n s t r u c t i o nm e t h o d f i n a l l y , a n a l y s et h e r o ir e c o n s t r u c t i o ni m a g e st h r o u g hs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t su s i n gt h e s et h r e e a c c u r a t er e c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n s ( 2 ) f o c u so na p p l i c a t i o no fd b p - p o c sr e c o n s t r u c t i o nm e t h o di nt h ei n t e r i o r p r o b l e m v e r i f yt h eu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo fr o ir e c o n s t r u c t i o nt h r o u g h s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t su s i n gt w ou n i q u e n e s st h e o r e m so ft h ei n t e r i o rp r o b l e m a n dt h e nd e s i g nt h em e d i c a lb o n e - n a i lm o d e l ，c o m p a r et h ei n t e r i o r r e c o n s t r u c t i o nr e s u l t sb yd b p p o c sm e t h o dw i t hs i m u l a t i o ni m a g e su s i n g f b p ，a n dp r o v et h a td b p - p o c sh a sg r e a ti m p r o v e m e n ti nt h ei m a g eq u a l i t y o fi n t e r i o rr e c o n s t r u c t i o n ( 3 ) p r o p o s et h ed y n a m i c a lm o n i t o r i n ga l g o r t h mo fv o l u m ed e n s i t yb a s e do n c o n e - b e a mp r o j e c t i o n s ，w h i c hd o e s n tu s ci m a g er e c o n s t r u c t i o n t h e o r ya n d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o dh a sb e t t e rr e a l - t i m ep e r f o r m a n c e a n da c c u r a c y , w h i c hc r nb eu s e di na p p l i c a t i o n so fi n d u s t r i a ln o nd e s t r u c t i v e t e s t i n g k e y w o r d s ：r o ir e c o n s t r u c t i o n , t u n c a t e dh i l b e r tt r a n s f o r m ，d b p - p o c sm e t h o d ， v o l u m ed e n s i t y i i i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 一飙葶7 本论文使用授权说明 7 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) ：嘶 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 自从1 9 7 3 年引入c t 【1 1 以来，c t 已使放射成像界发生了革命性的变换，并 成为现代放射科的基础设备。与x - c t 发展密切相关，人们一直大力研究性能 更好的系统结构和更先进的图像重建算法为生物医学应用服务。伴随着生物医 学工程领域降低辐射剂量、小动物成像和工业领域大物体检测中检测器尺寸限 制的迫切需求，r o i 重建和迭代重建算法的研究成为c t 开发研究中重要的研 究课题之一。 1 1r o i 重建的背景和意义 哥伦比亚大学医学物理学家戴维布里诺和埃里克豪发表在新英格兰 医学杂志上的一篇研究报剖2 1 称：自1 9 8 0 年以来，美国人暴露在辐射下的几 率增加了两倍，主要原因就是医疗检查中c t 扫描的普遍使用。现在美国人日 常生活中受到的辐射有一半是来自医疗检查。报告认为，对成年人来说，一次 c t 扫描可能引发癌变的风险很小，但多次进行类似的放射性检查可能引发的公 共健康危机却是令人担忧的。 c t 扫描快捷、无痛并能提供细节清晰的三维图像，而且价格相对便宜。医 生经常以此诊断外伤、肾结石、阑尾炎等病痛。但c t 扫描存在辐射危险。一 次胸部c t 扫描的辐射剂量为1 0 到1 5 m s v ( 毫希沃特) ，普通x 光胸透的辐射剂 量是o 0 1 到o 1 5m s v ，乳腺x 射线检查是3m s v ，辐射在人体内会残留终生。 而我国放射卫生防护基本标准中，规定放射性工作人员受到全身均匀照射 时的年辐射剂量不应超过5 0 m s v ，公众中个人受到的年辐射剂量应低于 5 m s v 。 另外，美国医学会杂志【3 】刊载的一项研究也认为，应用6 4 层c t 检查 心脏或其周边大血管能增加病人患癌症的风险。该风险对于乳腺癌或肺癌病人， 尤其是年轻女性患者更明显。研究人员举例说，一名2 0 岁的女性患者接受一次 心脏和主动脉6 4 层c t 扫描，患癌的比率为1 ：1 1 4 ；倘若是一名8 0 岁的患者， 该比率会缩小至1 ：3 0 0 0 。 上海大学硕士学位论文 中华医学会放射医学与防护学会曾公布过一组数据：我国每年约有2 5 亿 人次接受x 射线检查。若按1 5 0 万的胸部摄影致癌风险概率计算，则有5 0 0 人 将因x 射线检查导致癌症。同时，我们早已成为c t 应用大国，c t 拥有量次此 于日本和美国。一次c t 检查的辐射量远远大于普通x 线检查，是拍一次胸片 的4 0 0 6 0 0 倍。c t 检查致癌的风险概率也远远大于普通拍片检查。 由于辐射的危害程度与辐射剂量线性相关，因此，低辐射剂量的c t 对人 们的健康应相当有利。利用算法优化可以降低辐射剂量，然而该方向一直较少 被研究讨论，r o i 重建可以大幅减少辐射剂量，减少c t 扫描可能引发的患癌 风险；同时缩短病灶区域投影数据采集时间，为医生提供快速而又准确的病灶 部位图像，这是一个急需深入研究的课题。 另一方面，适合于小动物扫描的微型c t 研究也存在同样的需求，尤其是 实验用基因鼠的研究。当前几乎所有的人类疾病都可以在相应的小动物模型上 研究。这些小动物研究首先需要获取高空间对比度和高时间分辨率的图像，而 微型c t 是广泛采用的最有价值的图像工具。目前，辐射剂量的增加是阻碍微 型c t 在这一领域应用的主要因素。例如：为了评价心脏和肺，需要描述肺轮 廓、肺片、分叶部分、导气管、血管、以及心室、心肌层；然而，即使是最好 的微型c t ，也不能满足我们的需求，这不仅涉及辐射剂量，还有较低的数据采 集速度。r o i 重建可以有效解决微型c t 的辐射剂量和数据采集速度问题。 在工业无损检测领域，由于物体实际尺寸、形状影响以及x 射线扫描方式、 检测器尺寸的限制，许多情况下，只能获取被扫描物体局部区域的投影数据。 r o i 重建可以用来精确重建局部区域的腐蚀或缺陷；同时可以减少采集投影数 据量，增加检测的实时性。 1 2r o i 重建研究现状 人们很长时间以前，就已经意识到利用最少的投影数据实现图像精确重建 的重要性。最初的标志性成就是著名的扇形束短扫描公式4 1 。扇形束精确重建 的完全性条件为：以扇形束扫描的断层c t ，在物体的某断层具有紧支集的条件 下，如果通过该支集中任何一点的投影线都与扇项轨迹至少有一个交点，则理 2 。海 9 砸 位论z 沦上u r 以获得该断层的精确重建。r o i 重建研究可分为两个力向：扫描轨迹和 算法改进。 国 ( | 生l11 扇形求短扫描# j 超短扫描 f 1 1 i 描轨迹方向 n o o 于2 0 0 2 年提出了超短扇形束扫描1 重建图像的概念。如图1 _ 1 所示 假定物体位于半径为心圆区域，扇形束扫描轨迹是半径为r 的圆。扇形束最大 扇形角是，检测器u 以获取整个物体的投影数据。( a ) 为传统的扇形束短扫 描，扫描范围为z + 2 ，此时可重建整个物体。0 ) 和0 ) 连续扫捕范旧小十 口+ 2 ，此时可重建物体的深色区域。( d ) 为三个8 0 0 等i 口j 距扫描此时可重建 物体中心三角r o i 。 短扣描符合扇形束精确重建的完全性条件，在扇形束超短扫描时，r o i 精 确_ 苣建的完全性条件为：如果通过r o i 及其邻近区域的每条投影线都弓扇顶轨 迹至少有一个交点，则r o i 可以获得精确重建。 在2 0 0 4 年，c l a c k d o y l e 7 瞧出f 叮实现截断数据时r o i 重建的虚拟扇形柬法。 如图12 所示，虚线同表示扫描视野( f i e l do f v i e w ，f o v ) ，可获得完全投影数据。 ( a 1 是圆轨迹半径r - 1 0 0 c m 时的扇形束扫描，可获得非截断投影数据的扫描视角 范围小满足短扣描的条件。f b ) 是圆轨迹半径r = 1 25 c m 时的虚拟扇形束扫描， 可获得非截断投影数据的扫描视角范围：0 2 0 0 0 ，满足短扫描的条件，可对 f o v 区域内进行精确重建。扇形束圆轨迹fj 描半径越小，扇形角就越大，因而， 可获得完全投影数据的扫描视角区域就越大：选取适合的虚拟扇形束扫描半径， 就呵以使完全投影数掘的 1 描视角区域满足扇形束短扫捕要求，进而实现虚拟 扇形束r o i 重建。 r i 学他论 f a l 扇形柬扫描巾) 虚拟墒形束 刚i2 虚拟扇形束r o i 晕娃示意图 f 2 】算法改进方向 k a t s e v i c h 于2 0 0 2 年在f b p 框架内提出了种新的螺旋锥形粜c t 重建算 法，算法中引入了p l 线的概念吼z o u 和p a n l 9 1 基丁k a t s e v i c h 算法提出的种 新的螺旋锥形束c t 重建算法，即反投影滤波( b a c k p r o j e c t i o nf i l t r a t i o n ，b p f ) 算 法，随后，n o o 和pa i l 相继将其推广到：维情况，提出了两步h i l b e r t 变换 法，n o o 指卅利用b p f 方法进行r o i 精确重建的完争性条件，即两端已知重建 的完全性条件。此后，d e n s e 和y e 对r o i 精确重建的完全性条件深入研究， 分别于2 0 0 6 年和2 0 0 7 年得出单端己知重建的完全件条什和中问己簧审建的 完全性条件 。r o i 精确重建的完全性条件研究取得了新的进展。 1 3 本文章节安排 木文的主要研究内容足d b p p o c s 方法在r o i 精确匿建中的应用以及基于 锥形束投影数据的体密度动态监控。文章的章节安排如下： 第一章为绪论，详细阐述r o i 重建研究的背景和意义，i f = 且较系统地介绍 r o i 重建的研究现状。 第二章介绍r o i 重建的基本理论。首先给出r o i 重建和不完伞数据条件的 定义；然后对h i l b e r t 变换做了较全面的分析，特别阐述了截断h i l b e r t 变换的 准确古义。虽后讨论p o c s 理论及其实现方法。 第j 章深入探讨r o i 重建的完仓性条件及其重建方法的发展过程。包括： 两端已知重建的完全性条件和两步h i l b e r t 变换法、单端已知重建的完全性条件 雅翳 d 懑蕊 ， 上海大学硕士学位论文 与中间已知重建的完全性条件和d b p p o c s 重建法。然后通过实验仿真在三种 条件下实现r o i 重建，并对重建图像质量进行分析和讨论。 第四章研究的是d b p p o c s 法在内部问题的应用。该章可分为三个部分， 第一部分介绍内部问题的定义。第二部分对内部问题唯一性的两个定理进行实 验仿真，验证d b p p o c s 重建结果的唯一性和稳定性。第三部分设计医学领域 的骨钉模型，并分别采用d b p p o c s 和f b p 对骨钉模型进行内部重建，为 d b p p o c s 重建算法在内部问题中的实用化作了初步尝试。 第五章讨论基于锥形束投影的体密度动态监控方法。 第六章对论文进行总结，并对今后工作做了展望。 5 第二章r o i 重建的理论基础 图像重建的输入量是投影数据。对于一个待重建物体，如何在不破坏物体 整体性前提f 获取物体内部的生理、功能或结构罔像是图像重建研究的主要内 容。由】+ 物体实际尺寸、形状影响以及射线扫描方式、检测器尺寸的限制， 或青出于降低辐射剂量的目的，如果研究人员只能或只想获得待重建物体局部 感兴趣区域的投影数据，则需要对兴趣区进行r 0 1 重建，目前r o i 重建方法主 要包括两步h i l b e r t 娈换法和d b p p o c s 法。本章介绍r o 重建的衅基本理 论。 2 1r o i 重建的定义 兴趣区是指人们最关注的区域，如人体某器官或物体的关键部位，即物体 的局部区域。奉文把利用只通过兴趣区或稍大卜兴趣区的局部投影数据重建兴 趣区图像的方法称为若趣区零建。 如图21 f a ) ，要想获得整个物体的重建图像，只要获取物体重建所需的符合 完拿性条件的投影数据进行全局重建即可。如果只需得至r j r o i 的图像，也可以利 用全部的投影数据重建r o i 图像。但如果u r 以利用局部扫描的投影数据束重建 r o i ，直口图21 ( b ) ，不仅可以减少x 射线的辐射剂量，而且可以降低采集投影数据 营。 绷 圈2 1 局部巫建的定义 上海大学硕士学位论文 在二维情况下，兴趣区重建的数学定义为：给定函数( i ) ，孑r 2 ， i = ( 五，而) 。设口 0 ，已知函数厂( i ) 沿经过以原点为圆心，以口为半径的圆内 若干直线的线积分值，计算满足条件j 鬲口的厂( i ) 的值。这里以原点为 圆心，以口为半径的圆区域就是需要重建的r o i 。 2 2 投影数据完备性 2 2 1 完全数据条件 完全数据条件是指c t 扫描可以获取待重建物体的所有投影数据，然后对 整个物体进行精确重建。完全数据条件可归结为：x 射线束和探测器只有覆盖 整个物体，才能获得精确重建。 平行束扫描的完全数据条件是由f b p 公式决定的【1 4 1 。 加，= 去叫掣龃， 亿， 其中p ( ，) 为平行束投影数据，夕( ，p ) 为重建图像，是f ( x a ，而) 的极坐标表示。 从( 2 1 ) 式可以得出结论：在保证每个视角下平行x 射线覆盖整个待重建物体断 面的条件下，要获得视角 o ，万】的所有投影数据才可以进行精确重建。 在断层c t 中，x 射线扇形束扫描要比平行束扫描快得多，且实现便利， 因此在商用c t 中基本采用扇形束圆扫描结构。扇形束精确重建的完全性条件 为：对以扇形束扫描的断层c t ，在物体的某断层具有紧支集的条件下，如果通 过该支集中任何一点的投影线都与扇顶轨迹至少有一个交点，则理论上可以获 得该断层的精确重建。 2 2 2 不完全数据条件 不完全数据条件是指由于物体尺寸、形状影响以及x 射线扫描方式、检测 器尺寸的限制，无法获取精确重建整个待重建物体所需的全部投影数据刀；当 7 蜥 学碗学位论i 然，由于降低辐射剂量，医学领域中人为引起的截断数据也称为不完全数据。 不完全数据条件主要包括超短扫描、有限角问题1 和内部问题。通常呵采用虚 拟扇形束、两步h i l b e r t 变换法、d b p - p o c s 等力法实现r o i 重建。 图2 2 给出四种投影数捌截断模型，虚线圆区域为f o v ，a 区域可精确重 建，b 区域为投影数据截断区域。 图2 2 投影数据截断模型 ( a ) 、m ) 显示检测器尺寸不够或位置放笸小当而引起的数据截断；( c ) 、( d ) 显示物体形 状限制c t 扫描路径而引起的数据截断。 2 3h i l b e r t 变换 2 3 1h i l h e r t 变换定义 给定函数，( f ) 的希尔怕特( h i l b e r t ) 变换m ”1 定义为： ( 咧f ) _ 磐= 一鬲1 s 川。 ( 22 ) f 一月 h i l b e a 变换可以理解为函数f i t ) 与( v z f ) 之间的卷积，定义f ( o o ) 为( f ) 的傅立叶变换而( 一l 口f ) 的傅立叶- 变换为s g n ( o ) ，囡此雨数( 彬w ) 的傅立叶 变换为 ， ( 可) ( f ) - js g n ( o ) ) ( ) ( 23 ) 奠中 f1 0 ， 1落 上海大学硕士学位论文 2 3 2 有限h i l b e r t 变换 在大多数应用中，h i l b e r t 变换是在一个有限区间内进行的。假设函数f ( t ) 有界，t 【一1 ，1 】，当t 叫一l ，1 】时，( f ) = 0 ，此时函数( f ) 的h i l b e r t 焚抉为 ( 咧垆i 1p 让f 。等凼 ( 2 5 ) 其中p v 表示柯西主值定义下的积分。如果已知( f ) 的h i l b e r t 变换，在区间 卜1 ，1 上的h i l b e r t 反变换夕( f ) 为2 0 1 胁1 1 ( f 。届訾) ， 其中c 是一个任意常数。适当的选择常数c 以便消除在石：1 处的奇异性。 2 3 3 截断h i l b e r t 变换 假设待重建物体( f ) 的紧支集为f - 1 ，1 】，且有- 1 口 6 c 1 d ，如果 函数厂( f ) 的h i l b e r t 变换积分区间的一端或两端位于物体紧支集内，则称为截断 h i l b e r t 变换 1 2 , 1 3 。截断h i l b e r t 变换在物体重建领域定义，与重建物体紧支集有 关。 截断h i l b e r t 变换的积分区间可分两类情况，第一类是积分区间单端位于物 体紧支集内，如图2 3 所示。在待重建直线厶上，h i l b e r t 积分区间 6 ，d 】的一个 端点d 位于紧支集之外，区间【6 ，d 】可获得完全投影数据，区间【1 ，d 】位于物体紧 支集之外，f ( t ) = 0 。此时截断h i l b e r t 变换公式为 g ( f ) = ( 巧) ( f ) = ；1p mrf h ( j 2 凼 ( 2 7 ) 9 阿2 3 第一粪h i l b e r t 变换示意| 芏f 幽2 , 4 第二娄截断i i i l b e r t 变换不意图 第二娄足区问两端都位于紧支集内，如图2 4 所示。在待重建直线l 上， h i l b e r t 积分区间 口，c 的两个端点都位丁二紧支集内，i x _ _ l h l h c 】可获得完全投影数 据，区问峨c 】内物体函数，( f ) 已知。此时截断h i l b e r t 变换公式为 g ( f ) ：( 彤) ( f ) ：上 r 盟d s( 28 ) 7 - 一f 一3 - 截断h i l b e r t 反变换，这罩定义为：沿着部分覆盖物体紧支集即有一个或两 个端点位于紧支集内的线段，进行h i l b e r t 变换，根据这些已知信息，求取物体 函数，( r ) 的过程。截断h i l b e r t 反变换可通过p o c s 迭代法实现。 2 4p o c s 迭代法 2 4 11 迭代重建算法 虽然第一台c t 扫描装置用的是代数迭代重建技术( a r t ) ，但f b p 算法 h 快就成为c t 重建的余标准。几年以后，统计迭代重建成功地引入到发射断 层成像，这是由于根据低信噪比的发射数据集利用f b p 蓖建得到的图像质最极 差。过去十年删由十计算能力的不断增强，统计迭代重建已成为c t 的研究热 点2 啦3 i ，其重点是研究噪声消除以及伪影抑制。有望使图像质量得到大幅度提 高。 在某些重要的场合，当数据不完全、不一致或有噪声时，迭代重建相对于 解析重建有明显的优势。叩使在解析重建效果很好的场合，也没有什么证据表 明迭代重建的性能比它更差。内此，专家预测计算方法与硬件的快速发展将使 上海大学硕士学位论文 解析重建向统计重建转移或者至少说导致解析法和迭代法的融合。不过，由于 高昂的计算开销和鲁棒性提高等问题导致这一发展将呈渐进方式。 2 4 2p o c s 理论 p o c s 最早由b r e g r n a n 和g u b i n 2 4 】等提出，其应用十分广泛。y o u l aa n d w e b b t 2 习首先将其应用于图像处理领域，该方法最早用于图像重建时被称为代数 重建。 为了方便读者，这里仅介绍p o c s 的基础理论。凸集是指集合中两点之间 的任意点仍然属于该集合的闭集合；若五，x 2 c 且他+ ( 1 一兄) 屯c ，其中 名( 0 , 1 ) ，则c 为凸集。对于h i l b e r t 空间中的若干凸集q c ，如果存在公 共点f n ：。q ， 则这一公共点f 就可以通过p o c s 方法求得。 若从的任一点向凸集q 进行投影的算子为只，则厂在q 上之投影可表示 为曰厂。连续地向所有个凸集进行投影就成为昂昂一。日厂。显然，对于给定 的初始值厂o 就可以进行迭代厂“1 = 晶昂一l p i f 仆。更一般地，可以有 ，川= 巧蜀一l 五n ，其中乃= 1 + 五f ( 尸j 一1 ) ，0 a ， 2 为松弛因子2 6 1 。 2 4 3p o c s 实现 截断h i l b e r t 变换至少积分区间的一端位于物体紧支集内，因此截断h i l b e r t 反变换不能采用有限h i l b e r t 反变换公式实现；p o c s 迭代法可以有效解决截断 h i l b e r t 反变换问题。以下将以第二类截断h i l b e r t 变换为例，介绍p o c s 迭代法 的具体实现步骤，第一类实现方式与此类似，不做重复说明。图2 5 为第二类 截断h i l b e r t 变换线段示意图，在待重建直线上，物体紧支集为区间人= 卜1 ，1 ， 人抒= 【口，c 】为获得完全投影数据区间，利用d b p 法可求取h i l b e r t 图像g ( t ) ：区 间人k = 【口，b 】内物体函数f ( t ) 已知。 上海大学硕士学位论文 图2 5 第二类截断h i l b e r t 变换线段示意图 设x2 人，定义空间昂( x ) ，内积和模如下定义 脚矿二璺o m o 沙( f ) ， i iflj 多 肪 ( 2 9 ) u ，正) 矿= i ，砌5 ( f ) 石( ，) 矿( f ) ， = ( 厂，力矿 ， 、 r e ( t ) = 4 1 一t 2 参照凸集投影理论，设( 聊( f ) 表示儿) 乓( 尺) 的h i l b e r t 变换，那么p o c s 方法的目的是找到厂o ) 岛( 固属于以下五个凸集【1 2 ，1 3 2 7 1 c j = 厂( f ) 岛( r ) i ( 月i ( f ) ) = g o ) ，t 人) c 2 = ( f ) 昂( 尺) i 厂( f ) = 0 ，f 薯a ) g = 矿( f ) 岛( r ) i f ( t ) = p ( f ) ，f a x )( 2 1 0 ) q = 矿o ) 岛( 足) 呱a r t f ( t ) = 卵 c 5 = 厂( f ) 易( 尺) i 厂( f ) 0 ，t e x ) 这里( f ) = p ( f ) ，t 人| r 。a a 量表示紧支集人内不包含已知区间a 石部分。 可以找出厂( f ) 属于c = n 5 i 。q 交集的迭代公式如下 f o ：任意初值。f = 忍只弓昱曰卜1 k = 1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 其中k 表示迭代次数，毋表示凸集q 的投影算子。对于每一个i ，只的详细描 述如下【2 8 , 2 9 1 1 2 上海大学硕士学位论文 ( 1 ) 投影算子墨实现 ( 聊= ( 砉而1 f 。甜( f ，) ) + ( h + x m h x f ) ( f ) 地) = ( 以力= 丢p 仉f 出专( s ) f ( t ) = ( 峨 ) ( f ) = i 1 谚1 西p f ，凼o ) 矿。) m ：( 胁m ：p t e a h 【，l t 薯a ( 2 ) 投影算子罡实现 = 鬈= ( 3 ) 投影算子b 实现： 垆j 尸o ) 陡 【， f 仨a r 1 4 投影算子只实现 ( p 4 f ) ( t ) =巾，+ 纠骞磐5 ， (f)t叠aa置 掣= 万c a 一【。出厂妒( f ) c 是已知的，等于沿h i l b c r t 滤波方向的投影数据( 除以万) 。 ( 5 ) 投影算子只实现 ( 袱) = p 儿冀一譬： ( 2 1 6 ) l 0 f ( t ) r ，因此需采用有限区间的h i l b e r t 反变换，经有限h i l b e r t 反变换后 得到重建图像为 厂( i ) = f ( t f l + s f l 上) = 丽- 1( r 丽辫扒q ) o - 其中，厶为沿p 方向的射线与待重建物体紧支集的交点，e 为修正待重建物体 边界奇异点的常数【3 7 1 ，常量c 必须用到物体以外的值，这里通过人为将物体以 外各个方向s 范围内增加零值，得到略微大于物体的区域以满足条件。 c ，= 一昙r 邝 ，) 西= 一昙e 邝 ，) 凼= 专( 加) ( 3 8 ) 1 6 上海大学硕士学位论文 其中p ( 矽，) 为沿o 方向且过待重建点i 的射线投影。 现以等距扇形束两步h i l b e r t 变换法为例进行讨论。如图3 4 所示，设r 为 扫描半径，d 为源点到探测器平面中心的距离，定义等距扇形束投影为p ( 孝，u ) ， f 是扇形束扫描视角，材表示等距检测器位置。平行束投影与扇形束投影的关 系为p ( ，) = p ( 孝，u ) ，这里 = + a r c t a n ( u d ) ，= r o u “2 + d 2 ( 3 9 ) 不难推出孝= 一锄砌n ( ，霹一r 2 ) ， = r d 碍一，2 ( 3 1 0 ) 代入( 3 4 ) 式得 蜥) = 等。吣+ 一丢卅) 旦d uj t 尘4 b 忑+ p 候小。彬 p ( 螽，u i ) p ( 色，“；) 。忙一训忙一驯 而 勰 、 、 叭j 一 珍 d - 、 i ( 3 1 1 ) 图3 4 等距扇形束各参数关系 其中善= 一批n ( r 妒) 为扫描视角，“= 叫耵为投影在探测器上 的位置，丁为待重建点i 在扇形束中心线上的投影，即 t = ( 碍一i 哥) 民= r + 而s i n # - x , c o s # 1 7 上海大学硕士学位论文 “= o ( x i c o s 孝 + x ss m 孝) r + x as i n 善- x 2 c o s 孝 式( 3 1 1 ) 的后半部分为修正参数，哥为扫描源点矢量，肛一训表示源点到待重建 点i 的距离，磊= o - a r c s i n ( r r o ) 为过待重建点i 射线某一方向所在扇形束的视 角，彘= 7 r + 2 0 - 者i 为该射线另一方向所在扇形束的视角，臼为h i l b e r t 滤波方 向，如图3 5 所示。 3 1 3 实验仿真 ln 2 ， 卜训 隰 、 卜卜。妻蔓必? ；j 山镶“”。( 勺如 、。 土 。 图3 5 反投影各修正参数关系 本文所有实验都采用s h e p p - l o g a n t 3 1 1 ( 附录a a 1 ) 头部模型进行仿真。采用 m a t l a b 编程，运行环境为c p u 赛扬2 8 g h z 、内存5 1 2 m 的个人计算机。重建图 像显示尺寸为1 2 8 x 1 2 8 像素。为了评价重建图像质量，选择原图像和重建图像 中直线所经过的像素点，分线比较其密度值。本文阐述方法可应用于二维、三 维c t 重建，但为了清晰明了，仅讨论二维情况。 参数选择如下：等距扇形束全扫描，扫描半径为r - - - 2 ，x 射线源到检测器 的距离为i ) - - - 4 。【o ，2 万】范围内取3 0 0 个投影视角，每个视角取2 0 0 个投影值。 h i l b e r t 变换采用频域处理( 附录b 离散h i l b e r t 变换的实现) 。h i l b e r t 滤波方向采 用0 = 0 ，常量q = 一一1f 厂( s ，“) 出= 一土p ( 善，“) 。 * i 论女 a ) 原图像f o ) b p fr o i 重建( c ) f b p r o i 歪建 ( d ) x = 00 4 重建结果分线比较 幽3 6r = 08 时b p f 与f b p 删端己知重建结果比较 圈36 为分别采用b p f 和f b p 对可获得完全投影数据区域为r = 0 8 的圆形 r o i 重建结果比较。( a ) 为s h e p p - l o g a n 原图像。( b ) 和( c ) 分别给卅b p f 和f b p 方法对圆形区域的重建图。( d 1 显示在00 4 处与原图像的分线比较。b p f 法 r o i 重建的平均相对误差是01 7 0 9 ；f b p 法r o 重建的_ f 均相对误差足o2 5 6 8 。 当，= 08 时，b p f 法的程序运行时间为4 4 1s ，f b p 法的 l 序运行时怕j 为2 0o s 。 从重建结果可以看出，用f b p 算法萝建出来的r o i 保持了原来图像的轮廓， 电就足说能够恢复原图像的高频信息，尽管其重建的相对平均谋差不大，但重 建图像叶_ 大部分区域的灰度值发生了很犬的畸变，冈此整个重建尉像显得很模 糊。b p f 法却得到了比较清晰的琶建图像。从重建结果及分线圈可以看出，b p f 算法在重建罔像的中心部分产生的误差较小，包含较丰富的高频信息，目9 图像 轮廓更清晰。 海 学坝 j 位论女 a ) l q p fr o t 重建 m ) f b pr o i 重建 ( c ) x = 00 4 重建结粜分线比较 图37 刚05 时b p f 与f b p 两端未知歪建结果比较 图3 7 为分别采用b p f 和f b p 对可获得完全投影数据区域为r = 0 5 的圆形 r o i 重建结果比较。( a ) 和m ) 分别给出b p f 和f b p 方法r o i 重建图。( c ) 显示在 x = 00 4 处与原图像的分线比较。b p f 法r o i 重建的平均相对误差足08 7 0 4 ： f b p 法r o i 重建的平均相对误差是o8 4 2 3 。当r = 0 5 时，程序运行时间为4 29 s ， f b p 法的程序运行时矧为1 2o s 。 分析以上重建结果可以看出，当08 时满足两端已知秉建的完全性条 件，从分线罔和重建结果图像来看，b p f 法r o i 重建的效果比较理想，与f b p 重建结果相比，尤其在重建图像的中心区域基本能与原图像相吻合。当，= 05 时，不满足两端已知重建的完全性条件，从分线图和重建结果图像束看，b p f 法和f b p 法r o i 重建的效果都不理想，图像有严重的伪影和低频噪声，这时 r o i 重建需采用后续章节介绍的d b p ，p o c s 法实现r o i 精确重建。 上海大学硕士学位论文 3 2 单端已知重建 3 2 1 单端已知重建的完全性条件 两端已知重建的完全性条件为：如果h i l b e r t 滤波所沿直线与厂( i ) 紧支集的 交点完全包含于f o v 内，则f o v 内任意点j 可精确重建厂( 孑) 。本节将扩展该 完全性条件中线段0 必须完全覆盖物体( i ) 紧支集这一限制条件，现在条件变 为线段0 只是部分覆盖物体厂( i ) 紧支集，一个端点位于物体紧支集之外。 图3 8 单端己知重建的完全性条件司重建区域 物体函数厂( i ) 在点i = j i d 处可精确重建的条件为 存在单位向量元= ( s i i l 丸，c o s 九) 及线段0c l 满足以下两个条件，其中直 线平行于向量元且过点i = 磊。 ( 1 ) 线段，包含点j i d 并沿直线l ，一个端点在厂( j ) 紧支集内，另一端点在 紧支集外。即厂( i ) = 0 ，i 0 。 ( 2 ) 对每一个i ， 纯，九+ 万】，线积分p ( ，) 在，= 元厅( ) ， 厅( 矽) = ( c o s # ，s i n # ) 的邻域中已知。 单端已知重建的完全性条件可重建r o i 区域的示意图如图3 8 所示。有限 h i l b a t 反变换不能应用于这种情况，因为其需要线段，包含沿l 方向的物体 2 l 上海大学硕士学位论文 厂( i ) 紧支集。这里称为截断h i l b e r t 反