（生物医学工程专业论文）典型超混沌系统控制与同步的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no ft y p i c a lh y p e r c h a o t i cs y s t e m s a b s t r a c t c h a o st h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fn o n l i n e a rs c i e n c ef i e l d ，t h es t u d yo fc h a o sh a s b e c o m ei n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t a st h es t u d yf u r t h e ri n d e p t h ，h i g h - d i m e n s i o n a lh y p e r c h a o t i c s y s t e mw a si n c r e a s i n g l ya t t r a c t e da t t e n t i o n i nt h i sp a p e r ，t h et h e o r e t i c a ld e r i v a t i o na n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o do fc o m b i n i n gs t u d yo fat y p i c a ls u p e r - c h a o t i cs y s t e mc o n t r o l a n ds y n c h r o n i z a t i o no fs e v e r a lw a y s ： f i r s t l y ，s t u d i e sc h a o ss y n c h r o n i z a t i o no ft h en e wh y p e r c h a o t i cc h e ns y s t e mv i aa c t i v e c o n t r 0 1 b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，aa c t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e dt os y n c h r o n i z e t w oi d e n t i c a ls y s t e m sa n dt w od i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m s c h a o ss y n c h r o n i z a t i o no ft w o i d e n t i c a lh y p e r c h a o t i cc h e ns y s t e m sa n dt w od i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m sh a v eb e e np r o v e d t h e o r e t i c a l l y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s e c o n d l y ，i n v e s t i g a t e st h es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nan o v e lh y p e r c h a o t i cs y s t e ma n d t h e h y p e r c h a o t i cc h e ns y s t e mw i t hm o r ef u l l yu n k n o w np a r a m e t e r s b a s e do nt h el y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y ，an e wa d a p t i v ec o n t r o l l e rw i t hp a r a m e t e r su p d a t el a wi s t od e s i g n e dt o s y n c h r o n i z e t h e s et w o h y p e r c h a o t i cs y s t e m sa s y m p t o t i c a l l y a n dg l o b a l l y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa lep r e s e n t e dt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e f i n a l l y ，f u r t h e ri n v e s t i g a t e st h ea d a p t i v e f u l ls t a t eh y b r i dp r o je c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ( f s h p s ) o f h y p e r - c h a o t i cs y s t e m “y q ys y s t e mw i t hf u l l yu n k n o w np a r a m e t e r s ，n a m e d b yt h ef i r s tl e t t e ro f f o u ra u t h o r s b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，a d a p t i v ec o n t r o l l e r s a n dp a r a m e t e r su p d a t el a w sc a nb ed e s i g n e df o ra c h i e v i n gt h ef s h p so ft h ec y q y h y p e r - c h a o t i cs y s t e m sw i t ht h e s a m ea n dd i f f e r e n ts t r u c t u r e s t w og r o u p sn u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa l ep r o v i d e dt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e ds c h e m e k e y w o r d s ：h y p e r - c h a o t i cs y s t e m s ；c h a o sc o n t r o l ；c h a o ss y n c h r o n i z a t j o n ；l y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 典型趣混；毡京兢拉割与同修的研览 善恳慈 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题 作者签名： 导师签名： 人连理工大学硕士学位论文 引言 混沌是当今前沿的研究课题，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反 映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辨证统一关系。混沌的发现被认为 是2 0 世纪物理学的三大成就之一l l 。3 。，今天，混沌理论与计算机科学理论相结合，使人 们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界的复杂性方面 发挥了巨大作用，成为世人瞩目的学术研究热点【4 刁j 。 1 9 8 9 年胡伯勒( a h u b l e r ) 首次提出了混沌是可以被控制的现象【8 】。第二年，奥特 ( e o t t ) 、格里波基( g g r e b o g i ) 和约克( j y o r k e ) 共同提出了控制混沌的思想，并 且他们根据混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道构成的这个基本性质，提出了一种参数 微扰法来控制混沌运动的办法，也就是现在称做o g y 的方法【9 】。2 0 世纪9 0 年代以来， 佩卡拉( l m p e c o r a ) 和卡罗尔( p l c a r r o l l ) 提出相同混沌子系统间，在不同的初始 条件下，通过某种驱动( 或耦合) ，仍然可以实现混沌轨道的同步化。根据这个研究他 们提出了一种简称为p 的同步方法l l 引，并在电子线路上首次观察到混沌同步的现象。 由于混沌同步在工程技术上的重要价值和较广阔的应用前景，它一直是非线性科学领域 的研究热点课题之一，这一方向迅速成了混沌研究领域的热剧d 4 1 。 在1 9 7 9 年，r 6 s s l e r 引入了超混沌的概念，并且给出了超混沌r 6 s s l e r 系统【l5 。因 为超混沌系统具有更多正的l y a p u n o v 指数，因此超混沌系统的行为比一般普通的混沌 系统具有更难把握的预测性，所以从超混沌的系统出现的那一刻起，就引起了人们广泛 而深入的关注。最近几年来，理论和实验中人们在这一领域都做了更加深入的研究。 本文首先研究了基于主动控制的超混沌c h e n 系统混沌同步问题。基于l y a p u n o v 稳 定性理论，设计了主动控制器，在理论上证明了超混沌c h e n 系统的自同步，超混沌c h e n 系统与超混沌r 6 s s l e r 系统的异结构同步，超混沌c h e n 系统和超混沌l o r e n z 系统的异 结构同步。紧接着对参数未知的一种新型超混沌系统的控制和同步的自适应方法做了研 究。设计了该新型超混沌系统与超混沌c h e n 系统自适应同步的控制器和参数更新规则， 在理论上证明了该新型超混沌系统与超混沌c h e n 系统的异结构同步。最后，进一步研 究了参数未知的超混沌系统一c y q y 系统的自适应全局混合映射同步( f s h p s ) 。设计 了c y q y 系统自同步和异结构同步的全局混合映射的自适应控制器和参数更新规则。 在理论上证明了c y q y 系统的全局混合映射自同步及c y q y 系统与超混沌c h e n 系统的 全局混合映射异结构同步。 本文一共分为七章：第一章简要介绍了混沌理论的起源和发展，并阐述了混沌控制、 混沌同步的基本情况。第二章介绍了本文所用到的控制理论的基本原理和同步方法。第 典型超混沌系统控制与同步研究 三章研究了基于主动控制的超混沌c h e n 系统的自同步和异结构同步。第四章研究了含 有未知参数的一种新型超混沌系统的自适应同步。第五章探讨了c y q y 超混沌系统的 自适应全局混合映射同步。最后给出了全文的结论。 大连理t 大学硕士学位论文 1 混沌理论概述 1 1混沌动力学的发展历史 混沌运动是指在确定性系统中局限于有限相空内间的貌似高度不稳定性的运动，是 在确定性系统中出现的无规则性和随机性。现如今，混沌理论的研究已成为各学科竞相 注意的一个学术热点【l 。1 引。 1 8 9 2 年，法国科学家p o i n c a r 6 意外发现，三体问题研究中的系统在某类鞍型不动点 附近具有不寻常的运动的时候是无法求出精确解的。他在1 9 0 3 出版的科学与方法 一书中就提出了p o i n c a r 6 猜想，p o i n c a r 6 被认为是混沌动力学这一领域的开拓者。 2 0 世纪的2 0 、3 0 年代，b i r k h o f f 建立起了动力系统理论的拓扑理论和遍历理论。 截至到2 0 世纪6 0 年代，k o l m o g o r o v ，a m o l d 及m o s e r 深入研究了h a m i l t o n 系统( 或 保守系统) 中的运动稳定性，得出了著名的k a m 定理，为揭示h a m i l t o n 系统中k a m 环面的破坏相关问题以及混沌运动本质夯实了重要基础。 1 9 6 3 年美国科学家l o r e n z 在美国大气科学杂志上发表一篇名为“确定性的非 周期流”的文章【l 酬。文章从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组用来描述天气的演 变情况，发现了天气演变对初值是有敏感依赖性的。l o r e n z 本人给出一个形象的比喻： “一个蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。这就是著 名的“蝴蝶效应 。l o r e n z 也因此成为“混沌学之父”。 1 9 6 4 年，h 6 n o n 等人发现了h 6 n o n 吸引子。r u e l l e 和t a k e n s 提出“奇怪吸引子” 的概念，同时将奇怪吸引子名词引入到耗散系统中，接着s m a l e 提出的马蹄变换，为2 0 世纪7 0 年代混沌理论的研究做了重要的数学理论准备。 1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 首次利用混沌吸引子的结论正式解释了湍流产生的机制 是什么。1 9 7 5 年，李天岩和y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，人们都把这看成是 对于混沌的第一次正式表述，“c h a o s ”一词也自此正式使用【1 7 j 。1 9 7 6 年，美国生态学 家m a y 在自然杂志上发表的论文中，首次揭示了描述动物种群繁衍的l o g i s t i c 映射 中通过倍周期分岔达到混沌的道路。在这个基础上，f e i g e n b a u m 于1 9 7 8 年发现了倍周 期分叉通向混沌的两个普适常数，并引入了重整化群思想，这一重大发现，具有里程碑 的意义【1 8 】。 在1 9 7 9 年，r 6 s s l e r 引入了超混沌的概念，并且给出了超混沌r 6 s s l e r 系统i i 副。因 为超混沌系统是具有更多正的l y a p u n o v 指数的，因此超混沌系统的行为比一般普通的 混沌系统更难以预测。这样，超对于混沌系统在保密通信中的研究就有更多的潜在的价 典型超混沌系统控制与同步研究 值。在混沌同步方面，人们针对超混沌系统在保密通信中的应用展开了深入的研究，提 出了很多有效的方法【1 9 。2 6 1 。 1 2 混沌的定义 迄今为止，混沌一词还没有一个公认的普遍适用的数学定义【2 1 。以下我们给出的是 两种影响比较广泛的定义。 1 2 1 l i - y o r k e 的混沌定义 李天岩和y o r k e 最先提出了混沌的定义。1 9 7 5 年他们在美国杂志数学月刊上发 表了题目为“周期3 蕴含混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为l i y o r k e 定义或l i y o r k e 定理【1 7 】。 对于一个能把区间 口，6 】映成自身的、连续的、单参数映射形如： f ：【a ，6 】只争【口，b 】，( x ，2 - ) 卜f ( x ，2 - ) ，x 足 这个也可写成点映射形式： x 。+ l = f ( x 。，2 - ) ，x 。 a ，b 】 定义1 1 对于连续的映射或者点映射f ： a ，6 】月一 a ，b 】，( x ，2 - ) i - - - ) f ( x ，2 - ) 称为是 混沌的，如果： ( 1 ) 存在一切周期的周期点； ( 2 ) 存在不可数子集sc a ，b 】，s 又不含周期点，能够使得下面式子满足 1 i m i n f l f ”( x ，2 - ) 一f ”( y ，2 - ) l = 0 ，x ，y s ，x y ，l l i m s u p l f ”( z ，2 - ) 一f ”( y ，2 - ) l 0 ，x ，y s ，x y l i m s u p i f ”( x ，名) 一f ”( p ，2 - ) i 0 ，x s ，p 为周期点 ，t 此定义中前两个极限用来说明了子集的点x s 是相当集中而又相当分散的；第三 个极限说明子集是不会趋近于任意点的。与此同时，l i y o r k e 还给出了l o g i s t i c 的映射 x 。+ l = 2 x 。( 1 一x 。) ，x 。【0 ，1 】，旯 0 , 4 】 在力= 3 5 7 时出现混沌的例子。 大连理工大学硕士学位论文 1 2 2d e v a n e y 的混沌定义 d e v a n e y 的混沌定义是另外一种影响比较广泛的混沌的数学定义，定义的出发点是 拓扑学的角度。 定义1 2 设度量空间y 的映射f ：v v 是混沌的，如果她能够满足： ( 1 ) 对初始值具有敏感依赖性。那么存在万 0 和任意的x v ，在x 的，领域内 存在y 和自然数刀，使得d ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 万。 ( 2 ) 具有拓扑传递性。即对y 上的任意对开集x 和l ，存在k 0 ，f 。( x ) n y 咖 ( 如一映射具有稠轨道，那么它肯定是拓扑传递的) 。 ( 3 )厂的周期点集必须在y 中稠密。 1 3 混沌运动的基本特征 1 9 7 5 年李天岩和约克在题目为周期3 蕴含着混沌的论文中，第一次提出了现在 在非线性理论中还普遍适用的混沌的概念，“混沌 就是“确定性系统中出现的随机 状态”( 1 9 8 6 年英国皇家学会举办的一次国际性专题学术会议上与会者达成的共识) 。 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，或者说除了平衡、周期和准周期以外的有限 定常运动。混沌运动有的特征如下： ( 1 ) 有界性。混沌有界，运动轨迹始终会局限在一个确定的区域。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的。 ( 3 ) 内随机性。这个性质指的是混沌运动是不可预测的。 ( 4 ) 分维性。分维性是指混沌运动状态具有多叶或者多层结构，而且叶层会越分 越细，外在表现就是无限层次的自相该性质似的结构。 ( 5 ) 标度性。指混沌运动是无序中的有序态。 ( 6 ) 普适性。该性质指的是不同系统在趋向混沌态时所表现出来的一些共同的特 征，不会随具体的系统方程或参数的改变而发生变化。 ( 7 ) 统计特征。比如正的l y a p u n o v 指数和功率谱等。l y a p u n o v 指数是人们用来 定量描述动力系统轨道局部稳定性的一种常用的方法。 上述性质说明了以下几个问题： ( 1 ) 混沌运动是决定性和随机性的对立统一，意思就是虽然它具有随机性但它又 不是真正的或者完全意义上的随机运动。混沌运动发生在确定性系统中，这一点跟完全 随机运动就有着本质的区别：混沌运动是服从确定的动力学规律的；混沌振荡虽具有随 机性并且不是规则运动，但是他的运动也不是完全杂乱无规的：虽然混沌运动在整个时 间进程中具有随机性，即在较长时间上说，人们不能对它的运动做出预言，或者说它不 典型超混沌系统控制与同步研究 服从因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是有可能的，或者说，因果律未 必被完全否定。所以说，混沌运动是决定性与随机性的对立统一。 ( 2 ) 对初始状态的敏感依赖。系统做通常规则运动时，无法避免的涨落或噪声干 扰所引起的初始条件的微小变化一般只能够引起运动状态的微小差别。即初始状态很接 近的情况下其轨道总是很接近，甚至很可能趋于一致。这样才能使人们对系统的运动作 出预言。混沌运动由于系统无法避免的涨落这个原因，初始条件的差别往往会使相邻轨 道按指数形式分开，洛伦茨对混沌运动对初始条件的敏感依赖性称为蝴蝶效应。蝴蝶效 应是区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。因为不但经典力学中常见的各种确定性 运动不具有混沌效应，即使貌似具有随机性的准周期运动也不具有蝴蝶效应，因为准周 期运动的初始条件的微小差别不会使两相邻轨道分道扬镳的。 ( 3 ) 只有非线性系统才可能做混沌运动。混沌的出现是由于系统有不止一个定点 和有不同的流域，当系统所处的条件合适时，它可以在这些不同的流域之间来回跳动， 这才可能出现混沌。不止一个定点或不止一个流域的出现正是非线性才有可能。 但是对于第三点来水非线性系统却不一定都能做混沌运动，必须还要满足一定的适 当条件：( 1 ) 只有三个或者三个以上变量的自治的非线性系统才有可能做混沌运动， 只有两个变量的自治系统不可能做混沌运动；( 2 ) 同一系统的运动性质( 是否做混沌 运动) 还与其所处条件( 也称为运动方程的参量取值) 密切相关。通俗点说就是同一个 系统，当它所处内在或外在条件不同的时候，既可以作混沌运动，也可能会作其他形式 的运动。 1 4 混沌系统的控制与同步 1 4 1混沌控制 在自然界中的场合，人们并不期望混沌现象的出现，例如在很多非常复杂的工业过 程中，系统的动态特性经常会显示出一些不可预测的扰动，人们逐渐认识到这是一种只 能控制而不能忽略的扰动现象【2 7 】，因而我们非常有必要来研究如何才能控制混沌。 一般说来，控制混沌是指通过施加一些控制手段来改变系统的混沌状态使它能够做 周期性的运动。控制混沌有几种含义：一是通过消除系统的混沌运动，无需考虑将得到 运动的具体形式；第二个是在相空间中将混沌轨道引入到事先确定的不动点或周期性轨 道的指定的小范围内；三是通过施加控制使得受控系统能够到达事先给定的一个周期性 动力学行为。 混沌控制的目标通常主要分为两大类。 大连理工大学硕士学位论文 第一类是说在混沌奇怪吸引子闭包区域范围内存在着无穷多个不稳定的周期轨道， 根据人们的意愿，施加控制的目标是在这些轨道中选择出一条能够满足要求的周期轨道 并且对这个轨道实现有效稳定的控制。这一类控制有个优点就是可以把系统从混沌状态 控制在任意制定的周期轨道上，这时还不改变系统的结构，因此他具有良好的轨道跟踪 能力和稳定的性质。但是缺点也比较明显：需要有一个目标函数或给定轨道，真正实现 起来会比较困难。 第二类控制就没有什么非常具体的控制目标了，只是通过一些合适的策略、方法及 途径，来有效抑制混沌行为，也就是使l y a p u n o v 指数下降达到消除混沌。这种控制方 法是通过系统的控制用以获得人们所需的新的动力学行为。这类控制的优点显而易见， 设计简单，不需特定轨道，易于实现。但是缺点也很明显，就是无法确保控制过程的稳 定。 根据实现原理，混沌控制又可以分成反馈控制和无反馈控制俩种。 反馈控制分为：参数微扰o g y 法；偶然正比技术法；正比变量脉冲反馈法；线性 和非线性反馈法；o g y 的各种改进的方法；直接反馈法；跟踪法；变量反馈法连续 变量反馈法等等。 无反馈控制分为：神经网络法、自适应控制法、外加强迫法、参数共振法、人工职 能法和混沌信号同步法等。 1 4 2 混沌同步 同步的定义是：至少在两个振动系统相位间出现协调一致的现象。例如：通过对人 体心肺功能的研究，科学家发现人的心跳和呼吸频率是在若干个有理的比例的同步( 锁 相) 之间变化，尽管它们的自然频率非常不同。 从总体上来讲，混沌同步，属于一种广义或者说特殊的混沌控制。所谓同步，指的 就是将系统驱动控制到人们要求的混沌轨道上去。 p e c o r a 和c a r r o l 在混沌同步方面的开创性工作拉开了研究混沌同步的序幕，极大的 推动了混沌同步的理论研究。在随后的十余年时间里，混沌同步的新的方法不断涌现， 混沌同步及其在保密通信等领域的应用研究己成为混沌和控制领域的研究热点【l 以引。下 面对一些典型的混沌同步方法和新进展做简要介绍。 ( 1 ) 驱动响应同步法。驱动响应混沌同步方法是p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年首 先提出的一种混沌同步方法【1 0 1 ，简称p c 同步法，是用一个混沌系统的输出信号作为另 一个的输入信号去驱动另一个混沌系统来实现这两个混沌系统的同步。 典型超混沌系统控制与同步研究 ( 2 ) 主动被动同步法【2 1 7 1 。在实际应用中，p c 同步法受到了特定分解的限制，于 是对此k o c a r e v 和p a r l i t z 就提出了改进的方法，即主动被动同步分解法【27 1 ，是通过把 耦合变量或驱动变量引入到复制系统，导出系统变量差的微分方程，得到总体系统的误 差动力学方程，再利用线性化稳定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法证明复制混沌系统 与原系统能够达到稳定的同步。 ( 3 ) 互耦合混沌同步法。k a p i t a n i a k 并i c h u a 对线性耦合情形作了分析，在理论上 证明了系统之间只有足够强的耦合，才能实现混沌同步1 2 引。 近年来，国内外学者又陆续地提出了一些其它的同步方法，如自适应同步方法、观 测器同步方法、脉冲同步方法等【l l ，1 2 j 。由于两个实际的混沌系统他们的参数不可能是完 全一致的，其结构也不一定会相同，因此对不完全相同或不同混沌系统的同步研究将具 有实际的重要意义。在这方面，已有一些初步的研究成果问世，但是对一般混沌、超混 沌系统同步的研究还在人们不断的探索之中。 1 5 本章小结 本章简要介绍了混沌理论的起源和发展，混沌的定义以及混沌运动的基本特征；并 阐述了混沌控制、混沌同步理论和方法的进展和现状。 大连理工大学硕士学位论文 2 原理及方法介绍 2 1 混沌控制理论 2 1 1 反馈控制原理 反馈控制就是从系统的输出中提取一些有用的信息用来作为控制系统的依据，使得 原系统成为闭环系统，通过对取得的反馈信息加以选择或者施加变换，使得我们要控制 的目标位置控制在闭环系统中并成为稳定点，从而最终达到提高系统动态性能和减小静 态误差的目的，这样就很好地实现了对原系统的控制。图2 1 表示的是一种传统反馈控制 系统。 根据以往实验数据和理论推导，反馈控制存在以下几个优点： ( 1 ) 可以用做对原系统方程中任意解的目标控制。 ( 2 ) 相对来说，这种控制器容易人们进行构造。 ( 3 ) 这种控制方法基本不受小参数变化的影响。 反馈控制缺点是：对于现存的很多系统变量相互耦合的实际系统来说，反馈控制在 设计上还是具有一定困难的。 图2 1 反馈控制原理 f i g 2 1 t h et h e o r yo ff e e d b a c kc o n t r o l 2 1 2 自适应控制原理 白适应控制器应当是一种能修正自己的特性以达到适应对象和扰动的目的。自适应 控制系统应具有如下功能： ( 1 ) 能够实现在线进行系统结构参数的辨识或者系统性能指标的度量，能够得出 系统当前状态的改变情况； ( 2 ) 按照参考的规律确定出当前的控制策略是什么： ( 3 ) 实现在线修改控制器的参数或者调配系统的输入参数。 典型超混沌系统控制与同步研究 由这些功能组成的理论性自适应控制系统如图2 2 所示，它是由性能指标( i n d e xo f p e r f o r m a n c e ，i p ) 的测量、性能指标的比较与决策、自适应机构，以及可调系统组成的。 自适应控制系统必须不断地测量系统的状态、性能或者参数，从而“认识”或“掌 握 系统当前的运行指标并且拿来跟期望的指标做比较，进而做出决策来改变控制器的 结构、参数或者根据自适应律来改变控制器，来保证系统能够在某种意义下的最优或次 最优状态运行。 图2 2自适应控制系统的原理 f i g 2 2 t h et h e o r yo fa d a p t i v ec o n t r o l 2 1 3 非反馈控制原理 非反馈控制的方法是在某一系统参数或状态变量上施加上一个简单的外部周期扰 动，使得统达到稳定态。具体到混沌系统来说，就是使得混沌系统进入到周期轨道，从 而达到控制混沌的目的。其实是一种开环控制。非反馈控制法有弱周期参数扰动法、弱 周期脉冲附加法、弱噪声信号附加法等 2 9 , 3 0 】。 2 2 混沌同步方法 2 2 1 反馈同步法 人们广义上将其看作是把被控混沌系统轨道按照目标混沌系统轨道来运动的控制 问题。通常被控系统也被称作响应系统，目标系统也就是驱动系统。求出驱动系统与响 应系统的误差信号，通过施加反馈控制的方法达到响应系统跟踪驱动系统，这样来实现 混沌系统的同步。 一般说来，在混沌同步中，用到的反馈方法可以分为参数反馈和状态变量反馈两种。 本论文只涉及混沌同步的状态反馈形式，故仅讨论状态反馈。基本原理如下： 大连理工大学硕士学位论文 设一个维自治非线性动力系统可以用下面的常微分方程组来表示 d = r ( u ，p ) ( 2 1 ) 上式中，u = ( 1 9 2 ) ，f = ( q - , 。甲：甲。) 1 为维矢量。 根据以往的研究结果，具有变量反馈的两个混沌系统实际上是耦合系统，在一定条 件下是可以达到同步状态的。在响应子系统方程中加一个反馈项 u = r ( u 7 ，p ) 一甲( u ，u ) ( 2 2 ) 上式中，甲，u ) 可以看作是一个向量函数，也可一看成是一个标量函数。选择合适的 甲( u ，u ) ，使得f 专0 0 时，甲( u 7 ，u ) j0 和u 专u ，即式( 2 2 ) 的解渐近跟踪式( 2 1 ) 的解，这种情况下我们就说驱动一响应系统实现了同步。 2 2 2 自适应同步法 自适应控制混沌运动的方法是说我们通过调整参数来控制系统达到所需要的运动 状态，用目标输出和实际输出之间的差值来调整参数，使系统从混沌运动状态转变为规 则运动状态的一种方法。 我们对如下的刀维自治系统： 戈= 八五砌 ( 2 3 ) 这里的x = ( 而，而9 o9 ) 是即维的状态变量，= ( 2 1 ，总，以) 是f 维的系统参数，厂是关 于x 、的，z 维函数向量，f ( x ，) = ( 石( x ，) z ( x ，) ) 。必须满足参数集“可以得到， 我们选择一条存在于系统中的不稳定的周期轨道o ( y ) ，将其作为期望的目标轨道，y 表 示目标轨道的变量。自适应控制的基本思想是对系统( 2 3 ) 引入一种控制机制，使得响 应系统的变量x 和目标系统的变量y 同步。则受控系统表示为 f 戈= f ( x ，) 卜如x , - y ，) , s g n 剩啦c “ q 4 这里肚是参数鸬对应目标轨道y 的值，且“是式( 2 4 ) 中第_ ，个子系统中的参数。研 究表明，函数h 和g 取下面的简单形式时，就可以使系统( 2 3 ) 达到目标混沌轨道 办x ，- y j ) , s g n 割镏n c 磬c ， 他5 ， 典型超混沌系统控制与同步研究 g ( h - z i ) = , u j 一鸬 ( 2 6 ) 2 2 3 全局同步法 由于全局同步方法在实际系统中构造简单，易于实现，因此它是混沌同步中最有效 的方法之一【3 l ，3 2 1 。 全局同步法可控制形如 戈= a x + g ( x ) + u ( 2 7 ) 的混沌系统有效地达到同步。式( 2 7 ) 中h r “是外部输入控制向量，x r ”是状态变 量，g ( x ) 是连续的非线性函数，a r ”r ”是常量矩阵。令贾是式( 2 7 ) 对应的响应 系统的状态变量，定义一个有界矩阵 h = g ( y c ) 一g ( x ) ( 2 8 ) 矩阵日的元素完全取决于x 和贾。根据单向线性耦合方法，驱动系统( 2 7 ) 的响应系 统可构造为 爻= , 4 2 + g ( 觉) + + 眉( 爻一x ) ( 2 9 ) 这里k = d i a g ( k ，k z ，k n ) ，忽r ( f - 1 ，2 ，n ) 是反馈增益，驱动系统( 2 7 ) 和响应 系统( 2 9 ) 均是有界的；而且，由于研究的是两个相同的耦合混沌系统是自同步的，并 且驱动系统( 2 7 ) 是有界的，故响应系统( 2 9 ) 也是有界的。定义误差e = 贾一x ，可 得误差系统 舌= ( 4 一k ) e + g ( 文) 一g ( x ) ( 2 1 0 ) 定理2 2 【3 l 】若令反馈增益矩阵置取值为 元f o 。若矿( p ) = 一e7 e ，则很容易知道矿( e ) 0 。这表明此时的误差系统全局渐 近稳定，也就是说驱动系统与响应系统达到了同步。所以说最关键的问题就是如何设计 合适的控制器u 来满足上述假设。 3 3 超混沌系统混沌同步 3 3 1自同步 令主系统为 从系统为 南= 口y l 一_ ) + w 1 只= 如一五z l + 纠 ( 3 5 ) 毫t = x i y 、一b z 。 嵋= mz l + 州 上式中的u = g 。，“：，甜，”。) 做为控制向量输入信号。这里的口，b ，c ，d ，都是未知的正常 数。从系统( 3 6 ) 通过主动控制器u 的作用去同步追踪主系统( 3 5 ) 。若令误差变量 e i = 屯一而、e 2 = y 2 一m 、吃= z 2 一毛和e 4 = 一m ，那么我们就可得到误差系统： a ( e 2 一e 1 ) + e 4 + “1 鼍1 托2 2 叫l 岛q l e l x l e l 棚2 ( 3 7 ) 一6 口3 + x l e 2 + y i e 2 + e l e2 + u 3 r e 4 + e 2 e 3 + y l p 3 + z l p 2 + u 4 m 一 。 棚彬柏仙 麓一 大连理工大学硕士学位论文 我们设计的主动控制器为 2 - a e 2 一e 4 材2 = z 1 e 1 一x l e i 一( c k ) e 2 一d e l 甜32 一毛乞一m q “4 = 一m 巳一z l 巳一( 厂一p ) 一e 2 e 3 ( 3 8 ) 这里的七，p 为正实数。 定理3 1 如果我们选取受控从系统( 3 6 ) 的控制器u 为式子( 3 8 ) ，那么从系统( 3 6 ) 和主系统( 3 5 ) 可以实现同步。 证明：设l y a p u n o v 函数为v = ( 巳2 + p 2 2 + 巳2 ) 2 则由式( 3 7 ) 可以得到： y = 台p t - 舌z p z + 蛹= p ，【口( p ：一q 弋p t + y 一) + e 2 ( d e ，+ c e 2 一q p ，一乙e 、一鼍q + 材z ) ( 3 9 ) + p 3 ( - b e 3 + 葺p 2 + m 乞+ e j e 2 + “3 ) + e 4 p p 4 + e 2 e 3 + m 巳+ z l e 2 + “4 ) 将式( 3 8 ) 代入式( 3 9 ) ，化简后可得 矿= 一a e l 2 一慨2 一b e 3 2 一p e 4 2 0 根据l a p u n o v 稳定性理论，误差系统( 3 7 ) 在原点渐进稳定，即主系统( 3 5 ) 和从系 统( 3 6 ) 达到了同步。 3 3 2 异结构同步 ( 1 )与超混沌r o s s l e r 系统 设系统( 3 5 ) 为主系统，从系统为超混沌r s s s l e r 系统【3 6 】： 统为 岛= 一y 2 一w 2 + 业2 而+ o 2 5 y 2 + 乞+ u 2 ( 3 1 0 ) z 2 = 0 0 5 2 2 0 5 w 2 + u 3 如= + 3 + 甜4 令误差变量为e l = x 2 - x 1 、乞= 儿一m 、e 3 = z 2 一z l 和e 4 = w 2 一，则可得到误差系 典型超混沌系统控制与同步研究 f 吾l = 一e 2 + p 4 2 w 2 + a x l 一( a + 1 ) y l + “l 黔：0 + 5 羞e 5 + e b = 0 2 5 5 ) z 瑞5 w ：冀y 1 + 纵强 l 吾3 = o 3 一o 4 + ( + o 1 一o 1 一五l + “3 、“11 【吾4 5 e r e 4 + e l w ，+ x 1 w 2 一y 1z 1 一r w l + 3 + u 4 我们设计的主动控制器为 f 甜l = 2 w 2 一a x i + ( 口+ 1 ) 乃一岛q 22 一毛一x i 毛+ ( d 1 ) 而+ ( c - 0 2 5 ) y l 一( 克2 + o 2 5 ) 9 2 ( 3 1 2 ) l “3 = 而m + o 5w l 一( 6 + 0 0 5 ) z l 一( 屯+ o 0 5 ) e 3 一e 2 【z 缸= - 3 + r w i + 朔毛一而一e l q 一e l w l 一屯白+ o 5 e 3 定理3 2 若选取受控从系统( 3 1 0 ) 的控制器u 为式子( 3 1 2 ) ，则从系统( 3 1 0 ) 与 主系统( 3 5 ) 可以实现同步。 证明：设l y a p u n o v 函数为v = ( p 1 2 + p 2 2 + e 3 2 ) 2 则由式( 3 1 1 ) 可得 矿= 岛巳+ e 2 e 2 + 岛匕+ e 4 e 4 = e l ( 一e 2 + p 4 2 w 2 + 晒- ( a + i ) y l + 确) + 乞 ( e l + 0 2 5 e 2 + e 3 一( c - 0 2 5 ) y i 一( d - 1 ) x 1 + 毛+ x iz 1 + “2 ) + e 3 ( 3 1 3 ) ( o 0 5 e 3 一o 5 e 4 + ( 6 + o 0 5 ) z 1 0 5 w ! 一一m + “3 ) + e 4 ( e l e 4 + e l w l + 五一y l z l 九嵋+ 3 + 弛) 将式( 3 1 2 ) 代入式( 3 1 3 ) ，化简后可得 矿= 一毛q 2 一屯p 2 2 一乜p ，2 一屯气2 0 根据l a p u n o v 稳定性理论，误差系统( 3 1 1 ) 在原点渐进稳定，即主系统( 3 5 ) 和 从系统( 3 1 0 ) 可达到同步。 ( 2 )与超混沌l o r e n z 系统 设主系统为式( 3 5 ) ，从系统为超混沌l o r e n z 系统【3 7 】： ix 22p x 2 + q y 2 + u 1 夕22 + 恍+ w 2 - - x 2 2 2 + u 2 ( 3 1 4 ) 1 2 2 = 力2 + x 2 y 2 + 甜3 【啦= 一红+ u 4 令误差变量为q = 屯一五、e 2 = y 2 一m 、和e 4 = 一，则可得到误差系统为 1 8 大连理- t 大学硕士学位论文 i 色= p e l + q e 2 + ( q a ) y j + ( p + a ) x l w i + “l 孳z 2 7 巴+ ? n e + ，、( m - d ) x i + ( n - c ) y - - e l e 3 - - e l z i _ 巳+ w 2 栅：( 3 1 5 ) i 岛= 力3 + ( 厂+ 6 ) z 1 + p l p 2 + e j y l + x l e 2 + “3 、。1 。 【e 42 一k x i 一乃z l r w l + “4 设计主动控制器为 定理3 3 若选取受控从系统( 3 1 4 ) 的控制器u 为式子( 3 1 6 ) ，则从系统( 3 1 4 ) 与 主系统( 3 5 ) 可以实现同步。 证明：设l y a p u n o v 函数为v = ( p 1 2 + p 2 2 + e 3 2 ) 2 则由式( 3 1 5 ) 可得 v = 岛q + 吞2 乞+ 岛白+ e 4 e 4 = e i ( p e l + q e 2 + ( q 一口) 乃+ ( p + 口) 五一+ u 1 ) + e 2 ( m e i + r t e 2 + ( m d ) x l + ( ，z c ) m q 巳一qz 1 一x l e 3 + + u 2 ) + 巳 ( 3 1 7 ) ( 毛+ ( + 6 ) 毛+ q p 2 + e l y l + 而p 2 + 鸭) + e 4 ( 一k x l y l z l 一，1 q + 扰4 ) 将式( 3 1 6 ) 代入式( 3 1 7 ) ，化简后可得 i j r = 一向口1 2 一如e 2 2 一岛p ，2 一心e 4 2 0 3 4 数值模拟实验及结果 3 4 1自同步数值模拟 采用o d e 4 5 算法去求解方程( 3 7 ) ，利用控制器( 3 8 ) ，模拟了主系统( 3 5 ) 与 从系统( 3 6 ) 的自同步过程( 如图3 2 所示) 。主系统( 3 5 ) 与从系统( 3 6 ) 的初始 点分别选取为：而( o ) = - 1 、m ( o ) = 1 、z i ( 0 ) = 1 和( 0 ) = 0 ，x 2 ( o ) = 0 7 、y 2 ( o ) = 0 5 、 z 2 ( 0 ) = 0 和( o ) = 1 。因此误差系统( 3 8 ) 的初始值为e i ( 0 )