（光学专业论文）三维光波导传输及增益特性的bpm法计算.pdf

摘要 本文采用m a t l a b 语言编写和调试了利用三维有限差分束传播法求解条形波 导中场分布的计算程序，并进行了实际计算。该程序既可以计算均匀折射率分布 三维光波导，也可以对任意非均匀折射率分布光波导中光场的传输情况进行计 算实际结果表明程序编写合理，计算结果准确。在此基础上，利用复数原子极 化搴与铒离子粒子数分布的关系，及其对波导场解的影响，完成了求解掺铒波导 堆盏特性的计算程序。通过具体的计算，得到了合理的计算结果，充分说明了程 序豹正确性。利用这一程序论文分析了掺铒波导放大器参数对其增益特性的影 哺论文工作为三维光波导传输和增益特性的计算分析及优化设计奠定了基础。 关键词：光波导光波导放大器有限差分光束传播法 a b s t r a c t m c o m p u t a t i o n a lp r o g r a m , w h i c hi su s e dt oc a c u l a t et h eo p t i cf i e l d r e c t a n g l e w a v e g u i d eb yt h r e ed i m e n s i o nf d - b p m ，i sp r o g r a m m e da n dd e b u g g e di nm a t l a b ， a n dw eu s ei tt od os o m ea c t u a l l yc a l c u l a t i o mt m sp r o g r a mc a nc a l c u l a t et h e p r o p a g a t i o no ft h eo p t i cf i e l di nb o t ho fh o m o g e n e o u sa n di n h o m o g e n e o n sr e f r a c t i v e i n d e xw a v e g u i d e s t h ee a l c u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ep r o g r a mi sl o g i c a la n dt h er e s u l t s a g ea c c u r a t ef r o m b u s e do nt h e p r o g r a m , t h ep r o g r a m t oc a l c u l a t et h e g a i n e t e r i s t i co fe r - d o p e dw a v e g u i d ei sf i n i s h e db yu s i n gt h er e t a t i o n s h i pb e t w e e n c o m p l e xa t o m i cp o l a r i z a b i l i t ya n dt h ed i s t r i b u t i n go fe ri o n s a n dt h ee 任b c t so nt h e s o l u t i o no f t h ef i e l di nt h ew a v e g u i d ec a u s e db yc o m p l e xa t o m i cp o l a r i z a b i l i t y b yt h e c a l c u l a t i o na n dt h e1 0 9 i c a lr e s u l t sw eh a v eg o t , t h ep r o g r a mi sp r o v e da d e q u a t e l yt ob e c o r r e c t w eu s et h i sp r o g r a mt oa n a l y z et h ep a r a m e t e r s e f f e c t so nt h eg a i n c h a r a c t e r i s d c s o e d w a 1 1 艟w o r ki nt h i st h e s i ss e t t l e dt h eb a s i so fo p t i m i z i n ga n d c a l c u l a f i n g l ya n a l y z i n go ft h ep r o p a g a t i o n a n dt h eg a i nc h a r a c t e r i s t i co ft h r e e d i m e n s i o n a lo p t i c a lw a v e g u i d e s k e yw o r d s ：o p t i c a lw a v e g u i d eo p t i c a lw a v e g u i d ea m p l i f i e r f d - b p m 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士( 或博士) 学位论文，论文题 目是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 1 作者签名： 澹篁 2 q q ! 年量月兰坠日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、 博士学位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：生丞堡2 q q ! 年l 月上盟同 艚翩虢氡杠年土月盟日 第一章引言 1 1 光波导数值求解方法简介 近几年，随着光纤通信及光信号处理的发展，光集成技术越来越受 到人们的关注。集成光波导的理论分析对平板均匀介质波导以及一些折 射率特殊分布( 如：c o s h 。分布、抛物线分布、指数分布等) 的渐变波 导，才可得到解析解【l 】。而对于一些复杂分布，理论分析十分困难，甚 至无能为力。 6 0 年代末研究者们开始用数值方法分析集成光波导【2 j 。近2 0 年来， 出现了多种数值分析方法，主要有：模匹配法( m o d e m a t c h i n g m e t h o d ) 、 耦合模理论( c o u p l e m o d et h e o r y ) 、有限差分法( f i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o d ) 、有效折射率法( e f f e c t i v ei n d e xm e t h o d ，e i m ) ， 有限元法( f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ，f e m ) 、光束传输法( b e a m p r o p a g a t i o n m e t h o d ，b p m ) 等。下面对一些主要的方法给出简要介绍。 1 ，模匹配法。数值模式匹配法是w c c h e w 等提出和发展起来的 解析数值计算方法。其突出特点在于能容易地模拟二维非均匀复杂边 界，并且计算量非常小。数值模式匹配法求解二维非均匀问题的核心是 对一个方向用数值模去匹配边界，在另外一个方向用解析模求解。在数 值计算中，数值模式匹配法仅需作一维数值模拟，而且当基函数选择得 当时，甚至可无需任何数值积分便可得到复杂边值问题的电磁场解。数 值模式匹配法所展示出的高效计算能力，使得它一经提出后便得到了充 分的利用和迅速的发展。就目前来说，数值模式匹配法主要应用于模拟 非均匀介质填充波导问题。 2 、有限差分法。有限差分法是用差分方程替代波动方程的一种数 学方法。将二维光波导分成有限的差分网格，用差分近似获得差分方程， 从而得到离散场的数值解。结合光束传输法就构成有限差分光束传输 法，这也是本文用来计算三维光波导中光场分布的数值方法。 3 、耦合模理论。在众多的电磁场理论求解方法中，耦合模理论被 认为是兼有数学运算和物理概念明确之优点。它在微波技术、光波导传 输、非线性光学等领域有着广泛的应用。可以用耦合模理论求解的问题 不外乎两类：一是波导沿纵向存在不舰则形变、有缺陷或周期性的形变， 二是两个或者多个平行放置波导之间沿纵向的功率转换。然而在第一类 问题中非微扰波导模的传播常数和模场以及在第二类问题中每个波导 单独存在时的模的传播常数和模场被认为是已知的，它们通过求解本征 值问题得到。 4 、有效折射率法。在各种分析光波导模式传播特性的数值计算方 法中，有效折射率法是一种广泛应用的数值方法，它用一个近似碍到的 有效折射率去替代波导中复杂的折射率分布，来计算波导中模式的传播 特性。这种方法源于分析矩形光波导，尽管在某些特殊情况下e l m 的 使用受到限制，但由于该方法简便和有效，而广泛用于分析各种重要的 非矩形光波导结构。然而对于较复杂的波导截面或折射率分布，用e l m 很难得到解析解，需结合其它的数值方法。 5 、有限元法。f e m 是广泛应用于求解几乎是任意截面或折射率分 布的介质光波导模式传播特性的数值计算方法，由于它具有很高的精度 和很强的适应性而作为各种近似计算的基准。用f e m 求解介质光波导 中光场所满足的波动方程时，通常选用大量的三角元或矩形元，计算机 需具有大量的数据存储能力和较快的运算速度，而且计算过程十分繁 琐，因此在实际集成光学器件设计中，f e m 的使用受到限制。 6 、光束传输法。光束传输法的基本思想是沿着光束在波导中的传 播方向取- - d , 段步长，由给定的初始光场和波导条件来求解下- - d , 步长 的光场，再用该步得到的光场作为初始条件计算下一步长后的光场分 布，依此逐步循环到波导末尾，从而得到整个波导中光场的分布情况。 由于光束传输法简单方便、计算速度快、准确性高，因此，现在的光波 导数值分析中，b p m 是主要方法之一。 1 2 光波导放大器的发展及应用 未来通信将是全光通信己成为共识，与电通信的发展相似，光通信 将向小型化、集成化方向发展。光波导放大器是继掺铒光纤放大器 ( e d f a ) 、半导体光放大器( s o a ) 研制成功以来又一种具有发展前途 的光放大器。光波导放大器制造成本低、单位长度增益高、结构紧凑、 尺寸小巧，很适合于有限空间内的灵活应用；另外，光波导放大器功能 集成、简便经济，它能够非常容易地与任何损耗器件集成在一起，如隔 离器、相位阵列波导、分插复甩器、调制器、光开关、光交叉连接器等， 从而为集成光路引进多种有源元# 。凭借这些优势，光波导放大器将在 光通信领域发挥越来越大的作用，图1 1 为光波导放大器示意图。 2 放大光落号输出 信号输入 无掺杂基片 图1 1 光波导放大器结构示意图 片 首例掺稀土元素的有源光波导( 平面光波导) 器件是在1 9 7 2 年用溅 射技术制作的掺钕激光器。之后约二十年内，这一领域内无多大进展。 1 9 9 0 年掺稀土元素集成光波导放大器( 尤其是掺铒( e r ) 光波导放大器) 和 激光器的开发取得了很大的进展【3 】。1 9 9 1 年1 月，日本的k i t a g a w a 等 人首次在硅衬底上用火焰水解沉积法制作出掺铒平板波导激光器，同年 1 1 月加拿大的h o n k a n e n 等人用离子交换法获得了掺铒磷酸盐单模玻璃 光波导放大器1 4 j ，在1 5 5 i t m 波长附近单位长度的增益为2 d b c m ；1 9 9 8 年，法国的b a r b i e r 等人制作了8 6 c m 长的掺e r y b 的玻璃光波导放大器， 净增益为2 7 d b l 副；2 0 0 0 年2 月，韩国的c h o i 等人制作了掺e r a 1 的玻 璃光波导放大器，在2 0 m w 的泵浦( 泵浦波长9 8 0 n m ) 功率下获得了5 d b 的增益1 6 l 。美国的k i g r e 公司已研制出新一代单位长度增益高的掺铒磷 酸盐玻璃m m 2 ，并已拉制出相应的光纤【7 】a 下表为不同波导材料和制 作工艺研究进展。 表1 1 光波导放大器的材料以及工艺进展 材料制作工艺e r 3 + 浓度 增益( d b c m ) p h o s p h o s i l i c a t e p e c v d 0 4 8 w t 0 6 7 p 2 0 5 ：s i 0 2f h d 6 妻 o 7 7 、v t o 6 8 a l 2 0 3i o n i m p l a m 1 5 10 2 6 i o n s m 3 0 7 5 y 2 0 3 ， s p u t t e r i n g 0 3 4 w t 1 3 a 1 2 0 3 ：p 2 0 5 ：s 1 0 2s o l g e l 1 1 7 w t 1 3 5 s i l i c a t e i o n e x c h a n g e 0 2 5 w t 2 3 s i l i c a t e s o l - - g l e 0 2 5 w t 1 2 p h o s p h a t ei o n e x c h a n g e 2 w t 3 3 p h o s p h a t e s p u t t e r i n g 1 6 5 w t 4 1 s o d a 1 i m e s p u t t e r i n g 2 0 10 2 6 i o n s m 34 2 在器件集成制作方面，由于技术要求较高，目前能推出商用化 e d w a 产品的主要还是集中在以下几家公司。法国t e e m 光子公司于 1 9 9 8 年末首先发布采用非刻蚀或沉积的离子交换法，在玻璃薄片而不 是在硅片上制作波导，具有非常低的偏振和损耗特性【8 】。随后，美国 n o r t h s t a r 光子公司及j d s u 也采用了此技术1 9 】。t e e m 的e d w a 具有低 功耗、高性能及低成本，适于接入网及城域网应用，尺寸为 8 l m m x 3 5 m m x l 2 m m ，仅有半张信用卡大小。该公司在0 f c 2 0 0 2 上展 出的c 带f 1 5 2 8 n m 1 5 6 2 n m ) 功放e d w a 集成了一个9 8 0 r i m 的非制冷泵 源，提供增益平坦性能，输出功率可从l o 到1 5 d b m ，可支持一到几个 信道的d w d m 城域网系统【”1 。丹麦n k t 集成公司推出的c 带2 0 d b 高增益e d w a ，采用了9 8 0 n m 1 0 0 m w 泵源，噪声指数小于4 5 d b ，并 可单片集成多个放大器。 美国m o l e c u l a r 光电子公司( m o e c ) 在o f c 2 0 0 2 上展出了其大功率 的w a v e d a e m o n t m 系列掺铒波导放大器增益模块j 。在1 5 2 8 1 5 6 0 n m 范围内，小信号增益大于1 3 d b ，最大饱和输出功率大于2 0 d b m ，噪声 指数小于5 d b ，尺寸为3 7 r a m 1 0 2 m i n x l 3 m m 。2 0 0 2 年9 月，t e e m 光子 公司和n k t 集成公司同时发布采用p e c v d 制造技术，基于m u l t i s o u r c e a g r e e m e n t ( m s a ) 发展的4 端口全集成e d w a ，尺寸为 1 1 0 m m x 9 5 m m x l 2 m m ，4 端口的增益可分别控制，每端口可达1 0 d b m 的输出。此外n k t 公司还可提供4 及8 端口可以分别控制的e d 、a ， 且采用的是非致冷的9 8 0 n m 泵源，其可靠性测试通过了t e l c o r d i a g r - 1 3 1 2 标准。 美国w a v e g u i d e 公司推出的1 5 2 8 1 5 6 5 n m 范围的e d w a ，在输入 光功率为3 0 d b m 时，也能获得1 2 d b 的增益，其偏振相关增益小于 o 2 d b t l2 1 。体积大小为4 0 m m x l 4 0 m m x l o m m 。 2 0 0 0 年底成立的美国i n p l a n e 光子公司在o f c 2 0 0 3 上宣布推出两种 新的城域网e d w a 放大器产品 1 3 】。其中g e m a 2 0 0 0 产品采用泵浦光 共享的方式，集成了4 个e d w a ，每个放大器可以独立地控制光增益大 小，在9 m m x 2 5 m m 大小的p l c 平面光波回路) 芯片上集成了包括分 路器、波分复用器、可变光衰减器、泵浦光带阻滤波器及光监控抽头等 3 2 种功能光路【1 4 】。而另一种w a 2 0 0 0 产品则采用了集成化的隔离器、 w d m 耦合器、泵浦光带阻滤波器，是目前全球体积最小的e d w a 产品， 尺寸大小仅为5 0 r a m x l o m m x 6 m m 。 此外，t e e m 光子公司在今年1 季度发布的称为p m m e t r o e d w a s c 的偏振光保持e d w a ，尺寸极小( 8 1 3 5 x 1 2 m m ) ，并采用非制冷泵源， 可作为城域网单信道功放和前放并可放置于相干光检测器前以改善信 号质量。图1 2 是美国i n p l a n e 光子公司在0 f c 2 0 0 3 上宣布的新城域网 4 e d w a 放大器产品。 圈1 2 e d w a 阵列p l c 在系统实验方面，1 9 9 7 年2 月美国的d e l a v a u x 等人完成了用于 1 0 g b s 光纤传输系统中的集成玻璃光波导放大器实验，结果很成功， 其误码率小于1 0 “2 。2 0 0 1 年3 月，美国a t & t 公司的i a n n o n e 等人和 法国t e e mp h o t o n i c s 公司的b a r b i e r 等人进行了四节点1 6 0 k mw d m 环 形网络级连e d w a 系统( 4 x 2 5 g b s ) 实验，取得了十分满意的效果，并 预言e d w a 将在城域网中发挥巨大的作用。 ，在国内，大连理工大学的巢明等人在国家自然科学基金的资助下进 行了有关掺铒a 1 2 0 3 光波导放大器的理论研究【1 5 】。北京理工大学的陈淑 芬等人进行了有关掺铒铌酸锂光波导放大器的理论研究【i ”。中国科学院 上海光机所的柳祝平等人进行了有关掺铒磷酸盐材料方面的研究 1 8 】。电 子科技大学昂纳光通信光电研发中心进行了掺铒和e r 3 + 厂y b ”共掺磷酸 盐光波导放大器的理论与实验研究【1 9 】。 随着光通信的发展，以及掺铒光波导放大器在波分复用等技术中的 广泛应用，寻找简便、准确的理论计算工具对复杂e d w a 进行优化设 计就显得尤为重要。 1 3 本文的研究内容 由于三维光波导中光场分布复杂，不能得到传输方程的解析解，因 此就需要我们运用数值方法求得萁数值解。为了解决光在传输过程中的 损耗，人们设计了掺稀土离子光波导放大器，铒离子是最普遍的掺杂粒 子，为了对掺铒光波导放大器进行优化设计，我们要研究光在e d w a 中的传输情况，分析掺铒光波导放大器的各参数对其增益的影响。 本文将利用有限差分光束传输法，对二维及三维波导中的光场进行 数值分析、利用m a r l a b 语言编程计算，得到三维光波导在不同折射率 分布的情况下光场的分布情况。计算掺铒光波导放大器中的光场分布情 况，比较在不同掺铒浓度、波导长度及泵浦功率的情况下，掺铒光波导 放大器的增益。 第二章光在波导中的传输及掺铒波导放大器的工作 原理 光波是以电磁波的形式传播的，如果我们想将光波束缚在某一范围 内，使其定向定量地传播，这需要使用光波导。光波导可以是真空的， 也可以是某种媒质，在实际情况下，真空是很难实现的，因此，光波导 就得用某种媒质制作，这就避免不了在光的传输过程中要有损耗。为了 使光波能够无损耗地传输，人们设计出了波导放大器来补偿光在传输过 程中的损耗。 2 1 光在波导中的传输 2 1 1 光的电磁波理论 光是一种电磁波，因此，光在介质中传播应满足介质中的m a x w e l l 方程组。m a x w e l l 方程组的形式为 v x 巨：一旦曼 a t v 。豆：旦旦+ i a 。 v d = p v b = 0 ( 2 1 ) 其中：了表示电流密度矢量；p 是电荷密度。在无源场的情况下，j = o ， p = o 。对于均匀的、各向同性的介质，百= , u o , u h ，一d = f 巨，是介质 的磁导率，占是介电常数。如果分质是一种j 磁介质，t = 1 因此，当 光在内部没有场源的、均匀的、各向浔眭的介质中传播时，m a x w e l l 方 程可简化为 6 v ) ( e ：一脶罢、 乳百= 岛占百0 el v e = 0 i v 百：0 j 利用矢量运算公式，可得 v x v x 巨= v ( v 豆) 一v 2 巨 由( 2 2 ) 式可得出 v v x 巨- v x ( 一胁争 ，o ( v x h ) 2 一硒石厂 a 2 巨 一, u o e o 占可 ( 2 2 ) ( 2 3 ) v e = 0 代入矢量运算公式( 2 3 ) 式，得 v 2 巨一u 0 6 0 8 a 2 ：= o ( 2 4 ) 解此波动方程，得一简谐波形式的特解 e = e oc o s ( c o t k r ) ( 2 5 ) 写成复数形式的表达式为 u - - e o oe x p i ( c o t - 东r ) j ( 2 6 ) 式中，表示光波的频率；正称为波矢，它的方向代表了由( 2 4 ) 式所 表示的平面波的传播方向，正的数值满足 k 2 = u o s o , c 0 2 ( 2 7 ) 其中：6 = n 2 ，n 是介质的折射率；硒岛= ，c 是真空中的光速。对 光波的磁场h ，用同样的方法得 h = h o e x p i ( c a t - k r ) 】 将方程式( 2 6 ) 和( 2 8 ) 表示的平面波代入m a x e l l 方程组后， 等式 ；i c a ，。；彳 于是，波动方程( 2 4 ) 可简化为 v 2 百+ i 2 面；0 对磁场有同样结果 ( 2 8 ) 得出恒 ( 2 9 ) v 2 h + 七2 t r = 0 ( 2 1 0 ) ( 2 9 ) 式、( 2 1 0 ) 式称为h e l m h o t z 方程。这是讨论光在介质中传播的基 本方程。在直角坐标系( x ，y ，z ) 中，云和百的x , y , z 分量均满足h e l m h o t z 方程的标量形式 v 2 妒+ 1 , 0 2 n 2 妒= 0( 2 1 1 ) 而在柱坐标系里，只有e ，和才满足上述标量方程，横向电磁场分量 e 、易和4 、以不满足( 2 1 1 ) 式。 光在有限大小的介质中传播，或在一个由折射率不同的几种介质所 组成的物质中传播时( 即光在波导中传播的情况) ，必须考虑不同介质 组成的界面处电磁场应满足的边值关系 ! 鬯( b i 一一b ：) 2 01 一一 i 二 2 一粤卸 ( 2 1 2 ) 疗“( 蜀一e 2 ) 2 0l 品( 耳，一万：) = 0j 上式中的品表示界面的法线方向。 h e l m _ h o t z 方程( 2 1 1 ) 式和边值关系( 2 1 2 ) 式以及m a x e w e l l 方程组( 2 1 ) 式是研究光波导理论的基本出发点。 2 1 2 光在平板波导中的传播 ( 1 ) h e l m h o t z 方程的解 一列平面电磁波总可以看成是任意两列振动方向互相垂直的波的 叠加。所以，在波导中，我们把沿波导方向传播的波分解为振动方向互 相垂直的两列波，分别加以研究。 在如图2 1 所示的平板波导中，波导厚度为d ，光波沿z 方向传播。 用e 。，e ，t 和日。，皿分别表示电场和磁场在坐标x , y , z 方向的分量。 我们把光场分解为电场垂直于x 方向和磁场垂直于x 方向两种模式，分 别称为t e 模和t m 模。 y ，l ， d _l 图2 1 平板波导示意图 仅就t e 模而言，因为平板波导在y 方向无限延展，电磁场在y 方 向应该是均匀分布的，所以 堡：o 勿 即e 仅仅是x 和z 的函数，所以波导中的t e 模可表示为 面( x ，j ，z ，) = e a x ，z ) e x p ( i r - o t ) 如果构成波导的介质是均匀的、各向同性的，列出t e 模的h e l m h o t z 方程的分量表达式得 9 x 一 上 等+ 等搿毛；。 a 昆2 用分离变量法解上述方程，得 z 。+ 矗2 z = 0 x 。+ ( t 2 一口2 ) x = 0 解( 2 1 4 ) 式，得 z = c e x p ( i p z ) + d e x p ( 一妒z ) ( 2 t 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 等式右边第一项表示向z 方向传播的波；第二项表示向z 方向传播的波， 根据所设的传播方向，我们取 z = d e x p ( 一i p z ) 解方程( 2 1 5 ) 式时，因为在x 方向折射率随坐标而变，在z 0 的衬底 层中折射率为嘎；而在0 d1 x + k ；x = o ，0 x dl ( 2 1 6 ) x 一刃= o ，石 dl x = c o s ( k i z 一纯) ，0 0 内的场分布。 3 2 二维光波导有限差分束传播法求解 二维情况下的方程 罢= 去( 窘+ 仁2 茸h 良 2 i l 缸2 、7 j 为简单起见记作： ：= 爿( 工，z ) u 材+ b ( x ，z ) u 其中a ( x ，z ) = i 2 k ，b ( x ，z ) = 贴一云2 ) 2 云。 可简化为 2 i k ，u ：+ u 。+ ( 后2 一j i ；) 甜= 0 为了求得式( 3 6 ) 的差分格式，计为 u ：= a ( x ，z ) u 。+ b ( x ，z ) u ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中：a = i 2 七，b = f ( 七2 一k ；) 2 ，。对u 在x 方向进行离散化处理，用 j 代表石方向离散点，用，代表z 方向离散点，则记u x = u ( x 。z ，) 。 x ，= a + j d x ，j = 0 ，为节点数，d r = ( b 一口) 为横向步长， ( d ，6 ) 为横向计算窗口范围：z ，= ，d z ，= o ，1 ，出为纵向步长。采用 绝对稳定的类c r a n k n i e h o l s o n 隐式格式，它是无条件稳定的，适用于 初边值问题或者满足周期条件的问题，其主要优点是纵向步长可以取得 较大，这对于某些长达数厘米的传播过程减少了运算量。 在点r + l 2 ) 处用差分代替微分，令： u ；号( ”，一“：) z a u 搿一1 2 ( u 三- l 一2 u ：+ “0 i ) a x 2 + 爿一2 “：“+ “州r = 1 ) 缸2 ) 形“门 b “哼1 2 ( u ；+ “，) 彰“2 ( 3 8 ) 令h = a z ，p = z k v 2 ，可以得到： a l “，r 一+ l l + 6 ，“：“+ c ，“，r + + i l = d ， 。 s = 1 , 2 ，n - 1 1 9 a ，= c ，= 一例，“ b ，= 2 ( 1 + p a t l7 2 ) 一h b f “7 2 t = 【2 ( 1 一卢+ 1 n ) + _ j t 口_ 2 】甜；+ ，“2 ( “二- l + 甜二i ) ( 3 9 ) ( 3 9 ) 式就是二维绝对稳定的类c r a n k - n i c h o l s o n 隐式格式。( 3 9 ) 式可以 用以下的矩阵来表示： a u = d ( 3 1 0 ) 其中：u = k ，q 甜。】r ，d = ，d j ，z “r ，丁代表矩阵转置 u ou ，d o ，d 。由边界条件给定，另外 f a l f _ j l q ，= 缸i = ， ( 3 1 1 ) 1 0其它 由( 3 1 0 ) 式表达的差分矩阵方程正好可以用追赶法求解，只要知道了u 7 以及边界条件“；”，“j “，就可以求得差分方程的解u ”1 。这样在给定初 始场及边界条件的情况下，就可以从r 步得到什l 步的解，这样就可以 一步一步地求出整个波导中的传播场。 我们编写了二维f d b p m 法计算程序，并且对二维波导中的光场 进行了模拟计算。 图3 2 所示为波导条厚为8 j x m ，输入为全窗口的高斯光束时在 z = 4 0 0 i u n 和z = 8 0 0 p 。m 处的输出光场。输入高斯光束的表达式为 e - e x p ( 一毒) 五 从图中可以看出，输入光场被很好地束缚在波导中，并向前稳定传 输。由于输入光场与导波模场分布相近，所以光场很快趋于稳定。图中 z = 4 0 0 肛m 处的光场与随后z = 8 0 0 r t m 处的光场没有显著的不同。此外， 由于光波输入波导后，场强分布改变不大，所以即使在波导的起始端附 近，也可以采用比较大的纵向步长来计算。图3 2 中的两条曲线都是采 用的a r = 1 岬的计算步长，与计算中曾尝试的o 5 岬的纵向步长的计算 结果基本一致。 该计算结果描述的场分布与我们熟知的实际二维波导的场解情况 符合。表明该计算程序能很好地模拟二维波导中光场的传输情况。 图3 2 二维波导输出场分布( 波导芯层厚为8 | t r n 。输入光场为高斯分布) 3 3 三维光波导的有限差分束传播法求解 为了求得( 3 5 ) 式的差分格式，将( 3 5 ) 式改写为： “：= a c x ，y ，z ) c u 。+ u 。) + b ( x ，y ，z ) u( 3 1 2 ) 其中：a = i k ，b = f ( j i 2 一砖) 2 k ，。对u 在z ，y 方向进行离散化处理， 用坍代表工方向离散点，用片代表y 方向离散点，用，代表z 方向离散 点，则记u m 7 月= u ( x 。，y 。，z r ) 。靠= a 。+ m d x ，小= o ，以，以为x 方 向的总节点数，d x = p 。a ) ，。为x 方向的总节点数，x 痧= ( 6 ，一a y ) n y 为x 方向步长，一( a x 以) 为x 方向计算窗口范围： n = ，+ 玎 ，玎= o ，为方, aa y n y y 向的总节点数， ，b y ) 为y 方 向计算窗口范围；z ，= r d z ，r = 0 , 1 ，d z 为纵向步长。 ( 3 1 2 ) 式类似于二维热扩散方程，通常的隐式差分格式尽管容易 写出，却因为所得到的矩阵方程求解困难而难于实现。但是交替方向隐 式格式( p - r 格式) 的每一个纵向步( z ，寸z 。) 分成两小步完成 ( ：，一= ，2 一zr + i ) ，每一小步仅对一个横向空间方向( x 或y ) 采用隐 2 1 式，这样每一小步得到的矩阵方程均是易于求解的三对角形，即用二次 追赶法就可以完成一个纵向步的计算。定义算子： 彰2 “ r = “：山- 2 u ；+ ”：山 影“：，= “：川一2 “知+ “：川 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 用差分格式替代的微分方程如下； 鲁= 吾( 取r + ，l ”叫2 吐) + 扛r + ，l ，2 ( 吐。m r + ，l ，2 ) ( 3 1 5 ) = 吾( 彰r + 1 1 2 + 万；“嚣) + 1 r + ，l ，2 ( r + 。l 峨r + ，l ，2 ) ( 3 1 6 ) 值得注意的是( 3 1 2 ) 式中b ( x ，y , z ) u 项的离散，从，到，+ 1 这步中只用 曰= _ ：! ”来代替b ( x ，y ，z ) ，是因为关于稳定性的分析表明非此式不能保证 格式的无条件稳定。对于折射率不随z 轴变化的问题，这当然不影响解 的精度，而对于折射率随z 轴变化的问题，它限制了步长不能取得太大。 在f 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 式中，每半步均可用效率极高的追赶法求解一个三对角 方程，这样在给定初始值与边界条件的时候，就可以一步一步地求得传 播场。而无条件稳定的隐式格式，又可以使步长取得比较大。 计算时，我们用二维矩阵u ( 珊，”) 表示垂直于传播方向的光场，其中 行小( 1 s 埘s 。，。为沿x 方向的剖分区间数量) 代表沿x 方向的 剖分点，列珂( 1 行n 。，n ，为沿y 方向的剖分区间数量) 代表沿y 方向的剖分点。横截面上的剖分点与光场矩阵的对应关系如图3 3 所示。 第一行 第二行 第三行 第n x 1 行 第n x 行 第n x + l 行 第第第 列捌列 第第第 z z 2 翕列翥 图3 3 横截面上的剖分点与光场矩阵的对应关系 三维波导的束传播法计算涉及在x 和y 方向分别进行隐式差分的 过程，所以计算程序相对二维情况要复杂。计算时，将沿z 向计算的每 一步分为两小步，每- d , 步分别对工和y 方向取隐式。当对x 方向取隐 式时，对确定的羟值，列出由不同掰点上的方程组成的方程组 甜1 _ “2 m 甜舭_ u n x j = d ( 3 1 7 ) 并求解。按此方法依次求出不同聆列上各m 点的值。下- - d , 步，要对y 方