（概率论与数理统计专业论文）幂级数分布的统计推断.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文首先给出了幂级数分布的定义，说明了我们常见的一些分布是幂级数分 布。给出了该分布的一些特征：矩母函数、信息函数以及其充分完全统计量。最后 给出了r 1 个谢样本下充分统计量的分布以及基于该统计量的分布而得到参数的最 小方差无偏估计。 关键词：幂级数分布；最小方差无偏估计；矩母函数；信息函数 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s a b s t r a c t t h i sa r t i d eh a si n t r o d u c e dt h ep o w e rs e r i e sd i s t r i b u t i o nd e f i n i t i o n ，e x p l a i n e do u r s o m ec o m m o nd i s t r i b u t i o n sa l et h ep o w e ts e r i e sd i s t r i b u t i o n s t h e nw eg i v es o m e c h a l a c t e d s t i c so ft h i sd i s t r i b u t i o n ：m o m e mg e n e r a t i n gf i i n c t i o n i n f o r m a t i o nf u n c t i o na s w e l la si t ss u f f i c i e n ta n dc o m p l e t es t a t i s t i c f i n a l l yw eg i v et h ed i s t r i b u t i o no ft h e s u f f i c i e n ta n dc o m p l e t es t a t i s t i cu n d e rni i ds a m p l ea sw e l la sb a s e do nt h i ss t a t i s t i c d i s t r i b u t i o nw eg e tt h es m a l l e s tv a r i a n c eu n b i a s s e de s t i m a t eo ft h ep a l a m e t e r k e y w o r d s ：p o w e rs e r i e sd i s t r i b u t i o n ；u m v e ；m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n ； i n f o r m a t i o nf i l n c t i o n i l 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：焉夏雹 1 日期：矽严石月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：奔莹夏作者签名：前参磐 日期硐年6 月，日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞埕窒卮滥卮；旦圭生；旦二生；旦三生筮血! 作者张前呈复 帆冲6 月岁日 导师签名 ：盼嘞 日期：印年say 日 ，阳日| |影r 陬h 名 融 一 娩皇 f # 狮嘲 硕士学位论文 m a s t er ，st h e s i s 引言及定义 我们知道，指数分布族是数理统计中一个十分重要的分布族，因为该分布族不 仅有良好的统计性质( 包含了许多常见的分布、充分完全统计量等) ，还有良好的 分析性质。许多统计问题在该分布族都能得到较为满意的解决。本文针对离散分布 的情形，类似地有幂级数分布族，其一般定义如下： 定义r 1 i设随机变量z 具有分布： p 叫一酱，扣毗， ( 1 1 ) 其中口，o ，口 ) 芑o ，c ( 日) t 妒。，则称x 具有幂级数分布a 由这个定义可知，幂级数分布包含了我们常见的一些离散分布：几何分布、二 项分布、泊松分布、负二项分布以及截尾泊松分布。下面我们逐一说明。 ( 1 ) 设x 服从几何分布，记为：x g ( p ) ，其概率分布为： p ( x 一工) = o - p ) 3 p ，工= o ，1 ，0 p 1 对此，我们取0 = 1 - p ，c ( o ) = ( 1 - o ) - 1 , a ( x ) = 1 ( 2 ) 设x 服从二项分布，记为：x b ( k ，p ) ，其概率分布为： p ( x 。工) 。f 七1 ( 1 一p ) 。一p ， ，工；o ，1 ，七o p 1 对此，我竹，取8 ：詈，c 。口，；。+ 疗，t ，席。，： ( ! ) z l 。 七 日 i 一0其它 ( 3 ) 设x 服从泊松分布，记为：x p ) ，其概率分布为： p ( x = x ) 一! _ p 一2 ， 工= o ，1 ， 对此，我们取0 = a ，c p ) = p 8 ，口( x ) = ( 4 ) 设x 服从负二项分布，记为：x n b ( s ，p ) ，其概率分布为： p ( x ；x ) = f 3 + ：一1 1 ( 一p ) 。p ，z 一。，- o p l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对此，我f 门取0 = l - p , c ( 一) = ( 1 一日) 一j ，n o ) 。( 5 + 工x 一1 ) ( 5 ) 设x 服从截尾泊松分布，其概率分布为： p 一工) = 瓦1i 2 舻1 ，2 ， 对此，我们取疗一 ，c p ) 一矿一1 ，a 。) = 刍 由于幂级数分布包含了我们常见的上述一些分布，因此关于他们的统计推断都 可以在该分布族下统一进行。 2 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 二矩母函数及分布的均值和方差 矩母函数刻画了随机变量的许多特征，是研究它们特性的重要工具。它的定义 如下： 定义2 t 2 1随机变量x 的矩母函数定义为随机变量p “的期望，记为m ， ) ，即： m ， ) ；e e “一p “d f ( x ) ，其中f o ) 为x 的分布函数。 当矩母函数存在时它唯一的确定了x 的分布，通过m 。 ) 可以求出x 的各阶矩， 即有e x “= m p ( o ) ，有关矩母函数的其它性质参见文献 2 。 对于幂级数分布，我们有 性质 设x 服从幂级数分布，则它的矩母函数为：肘， ) = 鬻 帅州= 鬻，洲轧e l ( 埘二( 0 ) 却器， e x 2 以( 0 ) 一盟篱塑，从而v a r ( x ) = 盟酱塑一卜鬻) 。 c ( p )c ( p )ic ( 口) j 将上面的性质具体应用到各个分布有： ( 1 ) x g ( p ) ，m z ) = 而p ，e x = 而0 = 了1 - p ，砌r ( x ) 一丽0 7 1 - p ( 2 ) j 口 ，p ) ，膨， ) ；( g + p 矿) “，e l ( = 1 k y + 口_ o 兽印，砌，( 丑) = 丽k o = 咖 ( 3 ) x p ( a ) ，m j ( “) ；e 1 ，一”，e x 一0 ；a ，v a r ( x ) = 0 一a c a ，z n b ( s , p ) , m x ，一1 - ( 1 p p ) e ) ， e x 百s o 掣，；丽s o p= 芋p 1 一目 、7 ( 1 一口) 2 。 ( 5 ) 截尾泊松分布，m 。) = 乏 ，e x 一万o e 8 ；兰胸c 耻背 硕士学住论文 m a s t er ，s t h e s i s 三最小方差无偏估计 设墨，以为来自分布( 1 1 ) 的谢样本，则由因子分解定理易知，丁2 善墨为 该分布的充分统计量，关于t 的完全性，有下面的结果： 引理t ：y x ，的分布是幂级数分布： 何 肿：n ；兰g ! 型 、7 【c p ) r 其中a ( t ，1 ) 是【c p ) r 的幂级数展开式中0 的系数。 利用该引理中r 的分布立知z 是完全的。另外，由该引理关于参数矿( ，1 ) 的 最小方差无偏估计( u m v e ) 有下面的定理。 定理设墨，以为来自分布( 1 1 )u c t 样本，则参数日7 ( r 芑1 ) 唯一的u m 陋为 叫杂 若t = o ，r 一1 若t r 证明设6 ( f ) 为0 ( r 1 ) 明一个尢偏估计，利用引埋及t 明元仝任利尢倔佰计 的定义有： 砉蚴肌垆即砉m 箫圳 从而6 ( f p o ，n ) 一口7 【c ( 疗) r = 疗7 爿o ，珂) ze a ( t - r , n ) o 。 台6者dr r r 0 若t = o ，一1 比较等式两边的系数，有6 p ) 。 兰壁二! ! 堕若r ：， ，又显然v a 。6 0 ) i 爿( f ，1 ) 有限，所以此u m v e 是唯一的。 特别，= 1 ，则参数p 的啪为6 ( f ) = 锗，具体应用到各分布有： 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c - ，几何分布由a o ，n 妒。= o 一日，一 羹( 咒+ ，t 一1 户，得爿o ，n ，。( h + ，t 一1 ) ，于 是 ( 2 ) 二啪一卜罔斋腼 项分布由耋爿 m p = ( 1 + 8 ，“= 羹( 警户， 孝一嘲2 臀。南 p 的啪为p ；三 得a ( t ，h ) ：f 疵1 ，于是 t ， ( 3 ) 泊松分布由耄爿o ，珂矽t m e n om 羹争，得爿o ，胛) = 万n t ，于是口。a 的啪 舡高争i t c a ，负二项分布 由羹一以n 矽= ( 1 一p ，一2 羹( 邶乞一1 户7 ， 舭川2 一。) ，于是口的一枷) =，邶+ t 一1 【 r j 而p 的( n 邪西为西；堡兰一 1 ，坫+ t 一1 ( 5 ) 截尾泊松分布由 蓑爿p ，玎矽= 。8 1 ) “= 砉( ：) 。8 ) “。( 一1 ) f = 专m 毒f k ”t1 ) 坠r 盟! 口7 ( 一1 ) f 2 非c 刮学 ；薹s n ，争 。 ! ，从 一，v 、 n s + t 一1 硕士学位论文 m a s t er ，st h e s i s 其嘶问5 扣学2 磊n - 1c 州学为第二类s t i r l i n g 数， 得讹咖蹦”) 并，于是嘣的啪为互= 等f ，利用第二类s t j r l i n g 数的性质i s s ( f ，n ) = s o 一1 ，行一1 ) + ，l s ( f 一1 九) ，上式可化为互互l 甩0 一寄) 对一般凸损失函数，由r 的完全性和6 ( f ) 的无偏性，也可z 1 0 6 ( f ) 是风险最小 的无偏估计。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 四信息函数 本小节给出幂级数分布参数口的信息函数，从而得剑估计的f 界。 由信息函数的定义： 即郴c o l o g 。p 口( x ；o ) 卜e 阱一8 器旷扣c 净等+ 器- ( 器) 对于具体每个分布，我们不一一写出详细的过程，而以二项分布为例得到其参数p 的信息函数。 利用上面，p ) 的表达式，对于二项分布有： 邢，= 丽k ( k - 1 ) + 志_ ( 南) = 华 利用公式：日= _ i l o ) ， ，( p ) 一j p ) ) o ) 】2 于是厂协叫( 南) l ；华，南一志 我们将每个分布的信息函数碉i 表如下： 分布参数信息函数u m i e 的方若卜| 界 1 g ( p )p 正面7 2 e 0 - 1 , n - 1 ；n ；p ) p “一p 2 k 旦坚= 旦! b ，p ) p p ( 1 - p ) k 1 p ( a ) a a a s n b o ，p ) p 正面矿 2 ( n s l ，n s l ；n s ；p ) p ”一p 2 ， 一0 1 一a 一1 ) 截尾泊松 a z ( e 2 一n 2 上表中：e q - l , n 一1 ；n ；p ) 为超几何 肭，炜”蜊一耄糕 7 函数，其一般定义为川： ，而( 口) t a ( a + 1 ) ( n + t 一1 ) 。其中 l ，n ，；6 i ，为参数，位于分母中的参数不能为零或负整数，而分子中某参