（机械设计及理论专业论文）考虑齿啮合刚度的轧机主传动系统动力学特性研究.pdf

l-_，l_11 、 ad i s s e r t a t i o ni nm e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y 删嬲 r e s e a r c ho nd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fr o l l i n g m a i nd r i v es y s t e mb y t a k i n gi n t oa c c o u n t o f t h e r o l l i n gm i l lg e a rm e s h i n g s t i f f n e s s b yl ih u a i z h i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h e nl i a n g y u n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 上 j 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 = 匕 思。 学位论文作者签名：套- 胁莨 日期： a 瑚i t o 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文摘要 考虑齿轮啮合刚度的轧机主传动系统 动力学特性研究 摘要 轧钢机主传动系统按设计技术指标可靠运行是轧机设计制造的关键问题之一。随着 生产率不断提高及轧制强化，轧钢机主传动系统的负载加重，对轧机传动系统提出了高 精度和高动态性能的技术要求。轧机传动的扭振不仅影响轧件的表面质量，而且降低了 传动系统的疲劳寿命，直接威胁着设备的安全。 轧机主传动系统振动以扭转振动为主要特征，在建立轧机扭转动力学模型，一般采 用集中参数法按轴盘系统处理。在处理包含齿轮传动的轧机主传动系统的动力模型中， 通常忽略齿轮的啮合刚度，本文以某钢铁公司f 2 带钢轧机主传动系统考虑齿轮啮合刚 度建立扭转振动模型来研究。 在本文的研究中，首先，建立考虑齿轮啮合刚度和忽略齿轮啮合刚度的f 2 带钢轧 机主传动两类动力学模型，利用矩阵迭代法求出轧机的固有频率及主振型，对比两类模 型下的扭振固有频率。 其次，利用m a t l a b 软件中的龙格库塔数值计算技术，求解两种轧机动力学模型 的咬入过程中轴段上的动态扭矩响应，对比分析轧机上主轴、联接轴的力矩数据结果， 从而分析齿轮啮合刚度对轧机振动的影响。 通过对数据的对比分析可知，考虑减速机齿轮的啮合刚度时轧机主传动系统的一阶 固有频率降低，并出现数值较大的最高阶固有频率，同时减速机齿轮的啮合刚度将会小 幅度降低轧机主传动系统的前几阶固有频率数值。在轧制力矩不变的情况下，轧机主传 动系统的轴段扭矩随着咬入时间的增加而降低。考虑减速机齿轮的啮合刚度后，轧机主 传动系统轴段的动态力矩值将会有所增大。 关键词：轧机；主传动系统；扭振；固有频率；齿轮啮合刚度；动态响应 i i 鼋 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c h0 m a i nd r i v e r o l l i a bs t r a c t t r a n s m i s s i o ns y s t e mo ft h er o l l i n gm i l lc a nb eo p e r a t e ds a f e l yb a s e do nt h eg u i d el i n ei s o n eo ft h ek e yi s s u e s w i t l lc o n t i n u o u s l yi m p r o v ep r o d u c t i v i t ya n ds t r e n g t h e nr o l l i n g t h e r o l l i n gm i l l st r a n s m i s s i o ns y s t e mi n c r e a s e dt h el o a d ，s ot h et r a n s m i s s i o ns y s t e mo ft h er o l l i n g m i l lm u s th a v eh i g h - p r e c i s i o na n dd y n a m i cp e r f o r m a n c eo ft h et e c h n i c a lr e q u i r e m e n t s t h e t o r s i o n a lv i b r a t i o no ft h er o l l i n gm i l la f f e c t sn o to n l yt h es u r f a c eq u a l i t yo ft h ew o r k p i e c e ，b u t a l s or e d u c e st h ef a t i g u el i f eo ft h et r a n s m i s s i o ns y s t e m ，t h r e a tt ot h es a f e t yo ft h ee q u i p m e n t d i r e c t l y 1 1 1 et o r s i o n a lv i b r a t i o ni st h em a i nf e a t u r eo ft h ev i b r a t i o no ft h er o l l i n gm i l l t h e e s t a b l i s h m e n to fr e v e r s i n gk i n e t i cm o d e lo ft h er o l l i n gm i l l ，t h eg e n e r a lu s et h em e t h o do ft h e c e n t r a l i z e dp a r a m e t e r so np r o c e s s i n gb y a x i ss y s t e m g e a ri n c l u d e di nt h ed e a lw i t ht h em i l l s m a i nd r i v es y s t e md y n a m i cm o d e l ，o f t e no v e r l o o k e dg e a rm e s h i n gs t i f f n e s s ，i nt h ep a p e r , g e a r sm e s h i n gs t i f f n e s so ft h ef 2 - r o l l i n gm i l lm a i nt r a n s m i s s i o ni nas t e e lc o m p a n yi ss t u d i e d b yt h ee s t a b l i s h m e n to ft o r s i o n a lv i b r a t i o nm o d e l i nt h i ss t u d y , f i r s to fa l l ，e s t a b l i s ht w om a i nt r a n s m i s s i o nd y n a m i c sm o d e la sc o n s i d e r g e a rm e s h i n g s t i f f n e s sa n dr i g i d i t ya n dn e g l e c tg e a r sm e s h i n gs t i f f n e s s ，t h en a t u r a lf r e q u e n c y a n dv i b r a t i o nm o d eu s i n gm a t r i xi t e r a t i v em e t h o d ，c o m p a r e dw i t ht w oc l a s sm o d e lo f t o r s i o n a lv i b r a t i o n s e c o n d l y , t h eu s eo fl o n g a c o u l t h a r dn u m e r i c a lt e c h n i q u e si nt h em a t l a bs o f t w a r e ， c a l c u l a t ed y n a m i ct o r q u er e s p o n s ef o rt h ec e n t r a la x i so ft h em e s h i n gp r o c e s so ft h ed y n a m i c m o d e lo ft w oc l a s sr o l l i n gm i l l ，c o m p a r a t i v ea n a l y s i so nt h es p i n d l eo fr o l l i n gm i l l ，c o n n e c t t h es h a f tt o r q u ed a t ar e s u l t s ，a n a l y z et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t i f f n e s so fg e a r sa n d v i b r a t i o no ft h er o l l i n gm i l l t h r o u g hc o m p a r a t i v ea n a l y s i so ft h ed a t a ，w ec a ns e et h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h em a i n d r i v es y s t e mi sl o w e rw h e nc o n s i d e rt h eg e a rm e s h i n gs t i f f n e s s ，a n dt h e r ea r em a n y h i g h e s t r a n kn a t u r a lf r e q u e n c y , w h i l eg e a rm e s h i n gs t i f f n e s sr e d u c e rm i l lm a i nd r i v es y s t e m n a t u r a lf r e q u e n c yn u m e r i c a li nt h ef i r s tf e wr a n k i nt h es a m em i l l f o r c e ，t h et r a n s m i s s i o n t o r q u ew i t ht h et i m ei n c r e a s et oc h a n g ei n t ol o w e r c o n s i d e rt h em e s h i n gg e a rs t i f f n e s s t h e i i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t m i l ld y n a m i ct o r q u ev a l u e so ft h em a i nt r a n s m i s s i o ns h a f tw o u l db ei n c r e a s e d k e y w o r d s ：r o l l i n gm i l l ；m a i nd r i v es y s t e m ；t o r s i o n a lv i b r a t i o n ；i n h e r e n tf r e q u e n c y ；g e a r m e s h i n gs t i f f n e s s ；d y n a m i cr e s p o n s e 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i r a b s t r a c t i i i 第一章绪论1 1 1 轧机系统振动的类型2 1 2 轧机主传动系统振动的研究现状2 1 3 本课题的选题背景、研究内容及方法5 第二章轧机主传动系统振动的理论研究7 2 1 齿轮啮合刚度的计算方法7 2 2 齿轮系统扭转型分析模型9 2 2 1 齿轮副扭转振动分析模型9 2 2 2 齿轮一转子系统扭转振动分析模型1 0 2 3 经典的模态理论“1 2 2 3 1 固有模态参数与轧机系统动态响应1 5 2 3 2 轧机在正常运转咬钢过程中轧制力矩激起的扭振响应1 6 2 4 本章小结1 8 ，第三章轧机主传动系统扭振模型的建立1 9 3 1 轧机主传动装置1 9 3 2 轧机主传动系统力学模型2 0 3 2 1 忽略齿轮啮合刚度的力学模型2 0 3 2 2 考虑齿轮啮合刚度的力学模型2 2 3 3 模型参数计算2 2 东北大学硕士学位论文 目录 3 3 1 转动惯量2 3 3 3 2 扭转刚度2 5 3 4 轧机主传动系统的数学模型”2 7 3 5 本章小结一3 0 第四章轧机主传动系统扭振的频率、主振型3 1 4 1 忽略齿轮啮合刚度的轧机动力学模型频率、振型计算3 1 4 1 1 直串力学模型31 4 1 2 分支力学模型3 3 4 2 考虑齿轮啮合刚度的轧机动力学模型频率、振型计算3 5 4 2 1 直串力学模型“3 5 4 2 1 分支力学模型3 7 4 3 不同模型的结果数据对比3 9 4 5 本章小结“4 2 第五章轧机主传动系统的动态响应4 3 5 1 轧制力矩计算4 3 5 2 两种模型的外激载荷矩阵4 4 5 3 咬入过程的动态响应计算4 5 5 4 不同模型数据结果分析5 6 5 4 本章小结5 8 第六章结论与展望5 9 参考文献6 1 致谢6 5 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论弟一早珀下匕 轧钢机主传动系统按设计技术指标可靠运行是轧机设计制造的关键问题之一。 从最初蒸汽机作为轧钢机动力源算起，轧钢工业已经经历了百余年的发展历史。由 于钢材与铝材、塑料、玻璃等原材料之间、轧钢企业之间的竞争的推动以及先进科 学技术和管理技术的应用，使得轧钢工艺、设备和生产经营管理不断变化和进步。 现代轧钢工业逐步向大型化、连续化、高速化和自动化方向发展，随着轧件重量、 轧制速度的不断增加和产品质量要求的不断提高，设备与载荷、设备与产品质量的 矛盾同益突出。 轧机主传动系统的安全系数尽管取得很大，仍然发生不少用静态理论分析无法 解释的设备事故。国内外的一些大企业的轧机也相继出现严重的安全事故，给生产 带了重大的影响。1 9 8 8 年和1 9 8 9 年中国包头钢铁公司初轧厂和鞍山钢铁公司第二 初轧厂相继从德国西门子公司引进了交变频同步机调速系统，改造了11 5 0 m m 主轧 机原来的直流驱动系统。新系统投入运行后在增产、节电、维护等方面取得显著成 效。但是投产以后相继在上辊轴系都发生重大的破坏事故。上世纪7 0 年代武汉钢铁 公司从原西德引进了1 7 0 0m m 冷连轧机组，但在运转过程中轧机主传动系统的弧形 接轴发生强烈的振动，接轴上的润滑集油盒由于振动而迅速损坏，频繁检修，尤以 第五机架为重，不仅增加维修费用和检修时间，而且对设备的安全生产构成威胁。 美国伯利恒钢铁公司1 3 7 1 m m ( 5 4 时) 初轧机主电机马达升高片产生振动断裂事故， 最后不得不被迫停产换电机；联合钢铁公司7 6 8 m m ( 4 6 时) 板坯轧机主传动接轴由于 振动一年断了三根，造成极大的经济损失；日本千叶制铁所51 6 1 2 4 5x1 3 0 0 m m 三机架d c r 轧机投产后，振动发生率高达3 5 ，发生振动时带材厚差达2 5 ，废 品率极高；对这些事故进行现场的测试分析和理论研究都表明，这些破坏事故与咬 钢冲击产生的瞬态扭转振动有关。 轧机在轧钢时咬入轧件、抛出轧件、间隙冲击、打滑、机械共振和机电共振， 都将引起相当大的尖峰力矩，在扭振过程中的尖峰扭矩使传动系统的各个轴段产生 很大的应力，或者造成轴段的一次性破坏，或者使轴段的应力超过疲劳极限而造成 疲劳损伤，应力循环超过一定的次数之后，造成零件的疲劳破坏。目前，随着轧钢 技术的飞速发展和适应激烈的市场竞争，轧机的重要性愈加明显，轧机的扭振不仅 对设备造成很大的危害，对生产工艺及产品质量也会产生不利的影响，因此在现代 轧机设计和生产中都应对轧机的主传动系统进行动态分析研究。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 轧机系统振动的类型 根据动力学的观点，任何机械振动按其产生的原因都可以分为以下3 种【2 l ： 自由振动一在机械系统受到干扰而破坏了其平衡状态后，由系统的弹性恢复 力来维持的振动。当系统有阻尼时，由于在振动过程种只有能量消耗而无输入，振 动将逐渐衰减。自由振动的频率就是系统的固有频率。 受迫振动一由外界持续激振力引起和维持的振动。振动的频率就是激振频率。 自激振动一系统在一定条件下没有外部激振力而由系统本身产生的交变力激 发的一种周期性振动。振动的频率接近于系统的固有频率。 根据轧钢机的受力特点，可将轧钢机部件按两种不同的载荷传递系统进行振动 分析。一种，受载系统是轧钢机的主传动系统，包括轧辊、连接轴、齿轮座、减速 机、主电机电枢等。这个系统的外载荷主要是轧制力矩以及主电机磁场作用在电枢 上的扭矩。另一种，受载系统是轧机工作机座系统，包括轧辊、轴承座、压下螺丝、 压下螺母( 或液压压下油缸系统) 、弯辊装置、机架牌坊等。这个系统的外载荷主要 是轧制力、弯辊力、平衡力等。轧钢机主传动系统的振动形式主要是扭转振动，而 轧钢机工作机座的振动形式主要是垂直振动。 1 2 轧机主传动系统振动的研究现状 为了研究解决轧机主传动系统的扭振问题，国外从上世纪六十年代初期就丌始 了研究并逐步形成了一套成熟的计算和分析扭振的方法。其中上世纪6 0 年代，美国 伯利。h 百( b e t h l e h e m ) 钢铁公司对所属3 台轧机进行了现场测试和理论分析，应用经典 振动理论和电子数字计算机对万能板坯机主传动系统做了扭振计算及分析，并借助 计算机探索了如何改变轧机的物理参数以降低扭矩的放大系数。美国的c h a r l e s w t h o m a s 等人对轧机主传动系统在咬钢和抛钢时的瞬态进行了专门研究，建立了 主传动系统扭振的力学模型和数学模型，提出了用t o r q u e a m p l i f i c a t i o nf a c t o r ( t a f ) 即扭矩放大系数来描述瞬态响应的动载荷。美国k o p p e r s 公司金属产品工程经理 j o h nw r i g h t 提出了一个轧机传动系统动力学的设计程序，并提出了判断固有频率是 否合适的原则。上世纪7 0 年代中期，加拿大钢铁公司投入较大精力从事轧机动态性 能的研究，建立了机、电系统动力学的数学模型，应用计算机仿真技术求得! f l , f ) l 瞬 态的及稳态的动力学特性，推导了轧机咬钢时的动态扭矩数学模型。苏联研究的重 点是实际测量与微分方程相结合来进行定性讨论，着重从工艺参数和操作规程上采 2 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 取措施来降低主传动传动系统中的动载荷。日本除了对轧制工艺参数的影响予以研 究外，还通过数值计算和计算机模拟计算，在计算机模拟时考虑了阻尼、间隙、冲 击等因素的影响，对轧辊与轧件间打滑，连轧时前后张力和速度波动等问题进行了 研究。 上世纪七十年代后期，国内对轧机主传动系统的扭振研究主要是从扭振理论分 析和现场实测相结合的分析方法，在考虑系统存在间隙和阻尼的情况下，编制相应 的仿真程序，得到系统的响应波形，并且与实测的波形进行比较，解决了诸多生产 难题。 黄培文【1 2 】通过对武钢1 7 0 0 冷连轧机主传动系统的扭振研究，从轧机主传动系 统扭振动态特性进行研究，结合现场测试和频谱分析，为解决轧机运转过程中接轴 产生剧烈振动问题提供了理论依据。 孟令启【1 4 】通过对中厚板轧机轧制过程中将机械和电力结合角度考虑，采用理论 分析和数值计算相结合的方法建立了4 2 0 0 轧机机电扭振数学模型，并对此进行了计 算机仿真研究。 王章海、王德俊15 儿1 6 】【1 7 1 通过对轧机主传动系统轧制打滑的研究，建立了打滑状 态下系统的非线性模型，并用渐近法对非线性力学模型求解，确定了主传动系统产 生稳定自激振动的条件，并给出计算系统产生自激振动的速度上限和速度下限的方 法，推导出了产生稳定自激振动时，轧制力、轧件和轧辊间的摩擦系数和轧制速度 之间的关系。 周金宇、陈占福【l9 】探讨了考虑间隙因素时粗轧机主传动的扭振分析方法，并基 于龙格一库塔方法建立了粗轧机主传动扭振仿真模型，对粗轧机主传动的扭振响应 进行数值仿真，求出扭矩放大系数。 阎瑾、吴振宝探讨了一类轧钢机主传动系统轴向振动固有频率的计算方法，并 在与扭振固有频率的对比分析基础上，得出不会发生两种固有频率振动谐振的结论。 国内还有很多学者在这方面做了很多工作，从中我们可以发现： 目前普遍采用的轧机动力学模型，从结构上看可分为多质量直串系统、多质量 分支系统和闭合系统三种。从描述系统的数学形式看，可分为线性和非线性模型两 类。线性振动系统可用常系数线性微分方程来描述，它的惯性力、阻尼力、弹性力 。分别与加速度、速度、位移成正比；非线性振动系统要用非线性微分方程来描述， 方程中出现非线性项。非线性机械系统一般具有如下典型特征：不满足线性系统 囊具有的对于解的叠加性原理。存在多解性问题。例如，非线性系统可以具有多种 哄存的稳态振动，真实振动的实现于振动的稳定性和初始条件有关。系统响应中 包含倍频和分频的成分。非线性系统存在跳跃现象。非线性系统的振动频率和 3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 振幅有关。非线性系统存在分叉和混沌等复杂动力学现象。 轧机主传动系统振动问题最重要的体现在于响应分析，这是因为动态响应直接 关系到工程结构的强度、刚度、运动形态和振动能量水平。实际上响应分析也是振 动理论的基础和主要内容。 目前，已发展了多种分析或求解振动系统时间历程响应的方法，然而这些方法 都有一定的适用范围和局限性，没有一种方法是普遍适用的。【2 4 】现在常用的集中参 数多自由度系统的时间历程响应分析法是：振型叠加法、状态空间法、复模态法、 直接积分法、一阶常微分方程组初值问题的数值解法和时域有限元法。 振型叠加法主要是在确定了系统的各阶固有频率和主振型之后，用振型矩阵或 正则振型矩阵通过正交性变换，将物理坐标转化为主坐标或正则坐标，并使系统矩 阵对角滑，实现方程去耦。同时，对各个独立的单自由度方程进行积分，求出各主 坐标或正则坐标的响应，最后利用物理坐标与主坐标或正则坐标的关系，将各主坐 标或正则坐标的响应叠加起来就得到物理坐标。 状态空间法来源于现代控制理论的状态空间法，可用于求解机械振动系统的时 域响应。描述n 自由度机械系统的运动方程为n 个二阶微分方程所组成的方程组。 选择各个广义位移和广义速度作为状态向量的分量，将它们排列在一起构成描述系 统运动状态的一个状态向量。状态方程的解就是原系统的时域响应，包括位移响应 和速度响应，通常用离散型解的递推格式求状态方程的数值解。单本算法的稳定性 有待于进一步研究。 复模态法引入由位移和速度组成的状态向量，将原运动微分方程组转化为状态 方程。求出系统的复模念频率和复模态向量后，对状态向量用复模态坐标进行变换， 并利用复模态的正交性，将状态方程在复特征向量所张成的2 n 维复共轭空间中解 耦。求出解耦后的方程的解，再将这个复模态坐标中的解变换为物理坐标中的解。 直接积分法的基本原理是：设定位移、速度和加速度的近似表达式，如有限差分 表达式、插值函数型表达式等；将位移、速度和加速度的表达式代入系统运动平衡 方程，导出积分格式；最后利用积分格式进行逐步求解，即由前一个或前几个时间 离散点上的位移、速度和加速度推算出下一时间点上的位移、速度和加速度，这样， 就可以从初始时刻t = 0 开始，以，为步长，按照统一的求解格式，逐步求出时刻 a t ，2 a t ，h 出，的位移、速度和加速度，即时域响应。 一阶常微分方程组初值问题的数值解法基本原理为引入由位移、速度组成的状 态向量，将原运动微分方程化为状态方程，状态方程是一个一阶矩阵微分方程。求 系统的响应就是解一阶矩阵微分方程的初值问题。常微分方程初值问题的数值解法 有多种：欧拉法、向后欧拉法、欧拉公式和梯形公式联合、r u n g e k u t t a 法、a d a m s 4 东北大学硕士学位论文第一章绪论 外插公式、a d a m s 内插公式和a d a m s 外插公式联合等。前三种因精度不高而极少应 用于实际计算。最常用的是4 阶r u n g e k a t t a 法。 时域有限元法是将时间区间i t 0 】等分成，个子区1 4 串 t - if ，j ( j = l ，2 ，) ，每个 子区间称为时间有限元。把质点在时元k 书f ，i 内任一时刻f 的坐标、速度、加速度 通过h e r m i t e 插值函数用时刻f ，和f ，时的坐标和速度表示，把时刻r 时的激励力、 质量阵、阻尼阵、刚度阵也通过h e r m i t e 插值函数分别表示成各自在时元起、终点 所取值的函数。把上述得到的在时刻f 的位移、速度、加速度、激励力、质量阵、 阻尼阵、刚度阵的表达式代入运动微分方程，在时元上对方程进行积分，就可推导 出时域有限元法的递推计算格式。当然时域有限元法的递推算式也可以通过其它途 径推导出来。按照这种递推格式就可以从前一离散时刻的位移、速度值计算出后一 离散时刻的位移、速度值。 国内的学者陆续的探讨了一些求解响应的新方法： 崔超、藏勇【2 6 】将轧机主传动系统视为连续系统，建立了扭振的有限元模型，计 算和分析了主传动系统的固有动态特性以及冲击响应。并经有限元法和集中质量法 的计算结果比较，验证了用有限元法研究轧机主传动系统扭振的合理性。 黄培文等提出了原坐标分析法，运用复模态理论，应用求实一般矩阵的复特征 向量的方法，计算振动系统的复模态参数，应用线性系统振型叠加原理，获得系统 的自由衰减振动，即齐次微分方程组的通解，再求出非齐次微分方程组的特解，由 此得出非其次方程组的通解，即系统的瞬态响应。原坐标分析法不需进行坐标解耦 和坐标变换，不要求微分方程组的系数矩阵具有对称的性质。 邹家祥、孙志辉【2 7 】等用加权残值法( m w r 法) 对轧机传动系统扭振进行了研究， 并处理了变刚度及变阻尼的情况。该方法首先假设一个试函数作为控制微分方程的 近似解，这个近似解中有已确定的试函数项，也有待定系数或函数，其次将试函数 代入控制微分方程式，一般不能满足，便出现了残值。于是组成消除残值的方程式， 在一定域内按某种平均的意义将残值加以消除。在消除残值的方程式中引入一个权 函数去乘残值，以体现平均消除残值的意思。消除残值方程式一系列线性或非线性 的代数方程组，联立求解，便可求出待定系数，试函数便成为满足控制微分方程式 的近似解。 1 3 本课题的选题背景、研究内容及方法 轧钢业发展迅速，轧机的稳定性成为影响生产的重要方面，故此需要对轧机进 行主传动系统的振动分析。通过对轧机主传动系统的研究可以指导轧机的实际生产 5 - 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 过程，为现场点检人员的日常点检工作和检修计划提供理论依据。通过对主传动系 统机械设备进行的测试和分析做出能力评估，为生产和现场的维护、检测和改造提 出了建议和措施，这些都会对日常生产产生积极的影响，并会极大限度地减少事故 和减小由于停产所造成的巨额经济损失。 近几年来，随着研究工作逐渐深入，相应地对理论计算要求不断提高。轧机主 东北大学硕士学位论文 第二章轧机主传动系统振动的理论研究 第二章轧机主传动系统振动的理论研究 减速机是轧机主传动系统装置的重要组成部分，其传动齿轮的啮合刚度对整个 轧机的振动起到很大的影响。传统上一般忽略齿轮的啮合刚度对动力学模型的影响。 在传动过程中受到齿轮啮合刚度、轴承刚度和加工误差等因素的影响，使系统的动 态特性呈现非线性变化趋势。所以必须考虑齿轮啮合刚度这一因素，才能更为精确 地描述齿轮系统的动力学行为。本文将齿轮啮合刚度处理为常量，建立轧机主传动 系统的动力学模型进行动力学分析。 2 1 齿轮啮合刚度的计算方法 轮齿啮合刚度乜则是指在整个轮齿啮合区中( 如图2 1 中a - d 段) ，参与啮合的 各对轮齿的综合效应，它主要与单齿的弹性变形、单对齿的综合弹性变形( 综合刚 度) 以及齿轮的重合度有关口0 1 。 单齿的弹性变形是单个轮齿的啮合齿面在载荷作用下的弹性变形，其中包括了 弯曲变形、剪切变形和接触变形等，图2 1 ( b ) 中的蔬和反分别为啮合区中单个的 主、被动轮齿的变形曲线，可以看出，在啮合开始，如在图2 1 中a 点时，主动轮 齿在齿根处啮合，弹性变形较小；被动轮齿在齿顶处啮合，弹性变形较大；而在啮 合终止时( d 点) ，情况则正好相反。 图2 1 齿轮变形曲线 f i g 2 1t h ed e f o r m a t i o nc u r v eo fg e a r 7 一 东北大学硕士学位论文 第二章轧机主传动系统振动的理论研究 一、。单对轮齿综合弹性变形是指一对轮齿在啮合过程中弹性变形的总和，可以表 疋= 4 + 如( 2 1 ) 由于主、被动轮齿分别是在齿顶与齿根和齿根与齿顶相互啮合，因此，叠加后 的弹性变形曲线如图2 1 ( b ) 中的万。 单对轮齿啮合综合刚度k s ，如图2 1 ( c ) 所示，可以表示为 k s = i 12 燕k 2 ( 2 2 ) o sk 、+ 式中，k l 和k ：分别为主、被动齿轮的单齿刚度，即 毛：一1 ，k 2 ：一1 ( 2 3 ) 0 1 o 2 对斜齿轮系统，由于其啮合由轮齿的一端开始，并逐渐扩展至整个齿面，最后 由轮齿的另一端退出啮合的，因此；斜齿轮轮齿的啮合综合刚度虽然是时变的，但 并不象直齿啮合中存在阶段性突变，而是在某一均值下的微小波动，其典型曲线如 图2 4 所示。 图2 2 典型的斜齿轮啮合综合刚度曲线 f i g 2 2t h et y p i c a ls y n t h e t i cs t i f f n e s sc u r v eo ft h ej o g g l i n gh e l i c a lg e a r s 影响轮齿啮合刚度的主要因素有：齿形参数( 齿厚、齿高、齿形及曲率半径) ； 设计参数( 螺旋角p 、重合度s 、齿圈截面形状等) ；齿轮制造误差及齿向啮合误差； 齿轮材料的弹性模量k 的确定有一般方法和简化方法。 ( 1 ) 一般方法 a 单对齿刚度k 对于外啮合刚性齿轮，在载荷作用下，其单对齿刚度可按下式计算： k = 二 n m m 朋( 2 4 ) g 式中：g 一单位轮齿的柔度， m m t r n n ，对于非变位齿轮，可按下式计算： 删m 7 2 3 + 竿+ 等 亿5 ， - 8 东北大学硕士学位论文第二章轧机主传动系统振动的理论研究 式中： z z ，：一主、从动轮的当量齿数。 b 啮合综合刚度k ， k ，= ( o 7 5 + 0 2 5 ) k 式中： f 。一端面重合度； k 。一单对齿刚度。 c 齿轮的总啮合刚度k k = c r b x l 0 6 n m ( 2 6 ) ( 2 7 ) 式中：b 一齿轮副的齿宽，单位：m m ； 在计算斜齿轮与锥齿轮啮合刚度时，只要计算出啮合齿轮对的当量齿数，法面 变位系数，然后带进公式中即可得到。 ( 2 ) 简化方法单对齿刚度 k = 1 4n m m l x m 综合啮合刚度k = 2 0n m m l a i n 本文在建模过程中，对啮合刚度用一般方法来确定。 2 2 齿轮系统扭转型分析模型 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 齿轮系统包括齿轮副、传动轴、支承轴承、箱体以及原动机和负载等零部件， 应根据齿轮系统的具体情况和分析目的、要求等，建立不同类型的分析模型。扭振 型分析模型1 2 8 1 是仅考虑系统扭振振动的模型，在齿轮系统的振动分析中，若不需考 虑传动轴的横向和轴向弹性变形以及支承系统的弹性变形，则可将系统简化为纯扭 转的振动系统。 2 2 1 齿轮副扭转振动分析模型 在不考虑传动轴、支承轴承和箱体等的弹性变形时，齿轮系统可以简化处理成 为齿轮副的扭转振动系统，典型的一对齿轮副的扭转振动力学模型如图2 3 所示。 ( a ) 旋转型模型 ( b ) 等效直线型模型 图2 3 一对齿轮副的手h 转振动力学模型 f i g 2 3m e c h a n i c a lv i b r a t i o nm o d e lo fap a i ro fr e v e r s eg e a r s 9 东北大学硕士学位论文 第二章轧机主传动系统振动的理论研究 设齿轮副的重合度在l 2 之间，则由图2 3 可推得，一对齿轮副的扭转振动分 析模型为： ，p 砩+ r p c 。k ，o p - r g 百g ) 一r p c l 垂l r p c 2 舌2 + r 卢k 。r p o p - r 9 0 9 ) 一r p q p 。一r p k 2 p 2 = 乙 ( 2 1 0 ) ，g 晚+ 尺g c 。c r g 矽g r p 矽p + r g c l i ? l + r g c 2 e 2 + r g k 。( r 9 0 9 - r p o p ) + r g c l p i + 尺g k 2 e 2 = 一t ( 2 1 1 ) 式中： 幺、谚、巨( f = p g ) 一主、被动齿轮的扭转振动位移、速度、加速度； 以、r ，( f = p g ) 一主、被动齿轮的转动惯量、基圆半径； 砖、c 。、e ，( f = 1 , 2 ) 一第f 对轮齿的综合刚度、阻尼系数、误差； k ，、c 。一齿轮副的啮合综合刚度、啮合阻尼； z ( 江1 , 2 ) 一作用在主、被动齿轮上的外载荷力矩。 设定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为： x = r p o p r 9 0 9 ( 2 1 2 ) 从而由式( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 可以表示为： m 。戈+ c 棚戈+ k 。= w( 2 1 3 ) 朋e2 u p 即j p j ，g g 尺；) ( 2 1 4 ) w = w o + c 1 台l + c 2 吾2 + k 2 e 2 + k 2 e 2 ( 2 1 5 ) = 乏= 乏 式中，肌。为等效质量；w 为等效载荷。 2 2 齿轮转子系统扭转振动分析模型 在分析模型的基础上，若再考虑传动轴的扭转刚度和原动机和负载的转动惯量 则形成了齿轮一转子系统的扭转振动问题，其典型动力学模型如图2 4 所示。 - 。1 1 p 1 0j 匿圈b 部受蜀 i m 圜因 i 一 t t t j no m 因函 f ，： if t j l i j l 1 因 | = gc g 因 j g ( a ) 旋转型模型 1 0 东北大学硕士学位论文 g - _ 章轧机主传动系统振动的理论研究 t l ( b ) 等效亘线型模型 图2 4 一对齿轮副的扭转振动力学模型 f i g 2 4m e c h a n i c a lv i b r a t i o nm o d e lo fap a i ro fr e v e r s eg e a r s 对于图2 4 所示的振动系统，不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负 载分别处理成4 个集中的转动惯量元件，因此模型是4 个自由度扭转振动系统，4 个自由度分别描述4 个转动惯量元件的扭转振动位移眈，吃，唿和眈，从而可推 得系统的振动模型为： j m e m + c 釉f 6p 1 + kpo m - ep ) - - r m 厶屯+ c p p p 一痧。) + 七p ( e p - e 。) + 尺p = o 以晚+ 咚p g _ 矽。) + 七g p 尺- o 。) 一r 暑= o j l 吼- i - c p p l 一矽g ) + 七g p 。一秒g ) = 一瓦 式中： ，。，p ，以，以一质量元件的转动惯量； c 。，c 。一主、被动连接轴的扭转阻尼； k 。，七。一主、被动连接轴的扭转刚度； 乙，正一作用再原动机和负载上的扭矩； 呢一轮齿的动态啮合力； 轮齿的动态啮合力可推得为： 阡名- - - - c mc r p 矽厂r g o g - d ) + k 。( r p 秒，一r g 曰。一p ) 以上各式经整理可得齿轮一转子系统扭振分析模型，其矩阵形式表示为： k 】 + 【c 玲 + k ) = p ) ( 2 1 6 ) 8 - - 碴m 8 p8 r8 l t k 】= o 0 东北大学硕士学位论文 第二章轧机主传动系统振动的理论研究 k 】= 阢】_ = 一0 0 f c p + r ；c m c 。r ，r g 0 c m r p r gc g + c 。r ；一c g 0 叫gc g 一k p 00 k p + r j k m k m rp r g 0 一k m r p r gk g + 七。r ；一七g 0 一k gk g 乙 一c m rp 电一k m r p e c m r g b + k m r g e 一瓦 式中： p 一振动位移列阵； k 】，【c 】，k 】一分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵； 尸) 一载荷列阵。 2 3 经典的模态理论 经典模态理论3 5 】【3 6 1 建立在无阻尼自由振动的固有模态基础上，是振动理论分析 的一个重要工具。它的数学模型如下式： 忙) + k k ) = o ) ( 2 1 7 ) 式中： 扛 、扛) 一物理坐标下的振动位移及加速度列向量； o 一零列向量； l ，l 一质量矩阵，是正定的； l k l 一刚度矩阵，对约束系统正定，自由系统则半正定，两者一般 对称；其阶数等于系统的自由度数( n ) 。 令上式的解为：扛) = 讧 s i n ( o ) 。+ 伊) 式中：留 称为特征矢量。上式的求解问题，称为k 】、】有关的特征值问题。 为将其化为标准的特征值问题的振型方程，用r 1 前乘式2 1 7 得： 卜4 4 ) 1 x 1 - - o ( 2 1 8 ) 式中： b 】= 】。医】称为系统矩阵； - 1 2 1 o o “o o 东北大学硕士学位论文第二章轧机主传动系统振动的理论研究 兄= 2 称为系统矩阵阵】的特征值，简称特征值。 上式的求解可以归结为代数特征值问题的一般形式： p k 肛) = c 0 2 似 ( 2 1 9 ) 显然，所有的特征值都满足下列代数方程或频率方程： l 眩】一彩2l ，1 = 0 剐一旯