（计算数学专业论文）poisson方程的组合杂交有限元方法.pdf

四川大学硕士学位论文 p ois s o n 方程的组合杂交有限元方法 计算数学专业 研究生张一凡导师胡兵 摘要：本文将周天孝教授的能量优化思想 3 ，5 ，6 应用到p o i s s o n 方程的 类边值问题数值求解中，得到一种组合杂交有限元计算格式，利用w 儿s o n 非协调位移 7 和t a y o r 非协调位移 2 构造了三组低阶四边形有限元，相应于 双二次元( q 2 ) 计算量较小且精度略优。 关键字：组合杂交元；四边形有限元；能量优化；非协调b u b b l e 四j t i x 学硕士学位论文 ac o m b i n e dh y b r i da p p r o a c ht of i n t ee l e m e n t f o rp o i s s o ne q u a t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t ez h a n gy i f a na d v i s o rh u b i n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e ra p p l i e dt h ei d e ao fe n e r g yo p t i m i z a t i o n p r e s e n t e db y t i a n x i a oz h o ut os o l v et h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fp o i s s o ne q u a t i o n w eg e ta c o m p u t a t i o n a im e t h o df o rt h ec o m b i n e dh y b r id f in i t ee l e m e n t w e c o n s t r u c tt h r e eg r o u p so fl o w - o r d e rq u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n tb yu s i n gw i l s o n n o n c o n f o r m i n gd i s p l a c e m e n ta n dt a y l o rn o n c o n f o r m i n gd i s p l a c e m e n t c o m p a r e d t ob i q u a d r a t i ce l e m e n t ( q 2 ) ，t h i sm e t h o dr e q u i r e sl e s sc o m p u t a t i o na n di t sp r e c i s i o n p r o v e st ob eb e t t e r k e yw o r d s ：c o m b i n e dh y b r i df i n i t ee l e m e n t ；q u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n t ；e n e r g y o p t i m i z a t i o n ；n o n c o n f o r m i n gb u b b l e i i 四川大学硕士学位论文 1 引言 b a b u s k a ( 1 9 7 1 ) i 4 和b r e z z i ( 1 9 7 4 ) 1 5 。建立了鞍点问题有限元分析的 一般理论。此后，混合元法在流体力学、固体力学等偏微分边值问题的数值求解 中有着广泛的应用( 如参见 9 ，1 7 ，1 8 及其引用文献) 混合元法的难点在于混合 有限元空间一般需满足所谓的n f s u p 条件( 9 ，1 4 ，1 5 ，1 7 ，2 5 ) 。 从数学的角度看，离散方法的稳定、收敛性主要受制于历厂一s u p 条件。实 践表明，满足i n f s u p 条件的有限维空问的构造般十分复杂，通常是高阶元， 有时不易选取自由度。另一方面，计算上需要低阶元，而这类元一般不满足 i n f s u p 条件。 因而，近十几年来，在科学工程计算中，修改变分方法变得十分重要( 参见 9 ，1 6 ) 。如g a l s 一稳定化方法 9 ，1 9 ，2 0 和最小二乘有限元法 2 l ，2 2 ，2 3 ，2 4 ， 等等这些方法正是为了避开j ) 矿一s u p 条件。 事实上，如何构造满足或避开i n f s u p 条件的有限元并寻求发展稳定化离 散格式一直是仍将是高性能有限元方法研究最活跃的领域之一。近年来，周天 孝教授提出了基于鞍点问题的对偶组合的有限元方法，将要求b a b u s k ab r e z z i 条件( 简称b b 条件) 的鞍点型有限元格式 2 5 ，改为不要求或基本上不要求 b b 条件的混合杂交元方法，称为稳定型的混合元格式。利用鞍点问题对偶特 性，将同一问题的p r i m a l 和d u a l 两种鞍点问题表达加权组合，提出组合杂交 元方法 3 ，4 ，5 ，6 。 考虑以下p i s s o d 方程边值问题 一i 2 ，艘( 1 1 ) 【女k = g 该问题有较强的数学物理背景，例如物体表面上或内部的温度、势场、杆 的扭转、薄膜的挠曲等部可用类似( 1 1 ) 的方程来进行描述。因而是物理上非常 重要的一个方程。关于它的计算结果也层出不穷。最近a r n o l d ，b o f f i 和f a l k 在文 1 中给出了8 自由度的s e r e n d i p i t y 元及x x - - - 次q 2 元求解问题( 1 1 ) 的对 比计算结果。本文将周天孝教授提出的组合稳定化思想 3 应用到( 1 1 ) 的数值 求解中，利用w i l s o n 非协调位移模式和t a y l o r 非协调位移模式，构造了三组 低阶四边形有限元，其计算量比双二次9 2 元低。数值实验表明：在矩形剖分时， 四川大学硕上学位论文 我们提出的三组元素数值结果整体上精度接近q 2 元，另外还验证了梯形剖分时 的收敛性。 2 杂交元方法 本文中，$ o b o l e v 空间以及其他相关的记号比如h ( ) ，范数、半范数等将 被直接引用，详见 9 。 问题( 1 1 ) 可通过齐次化边界变为 j - a ”p q ( 2 1 ) i h l m = o 。 放松限制“c o ( q ) ，则相应于问题( 2 1 ) 的位移格式为： 求p ，“) r u 使得 c l ( u ，v ) 一b t ( o r ，v ，) = ( 厂，v ) v v u ( 2 2 ) b i ( f ，“，) = 0 v g - r ( 2 3 ) 这罩挠度位移v = v i 4 - 1 ；c ，v c 为协调位移，v ，为内部位移( 可以是协调的，也可 以是非协调的) 。 引入变量t o = v u ，得如下变分问题： 求陋，”) r u 使得 b 2 ( r ，v ) 一岛( 盯，v ，) = ( 厂，v ) v v u ( 2 4 ) a ( a ，f ) 一6 2 ( f ，“) + 6 f ( f ，“，) = 0 v f f ( 2 5 ) ( 2 2 ) ( 1 一口) + ( 2 4 ) 口，( 2 - 3 ) x 口+ ( 2 5 ) ( 1 一口) ，则得如下的变分格式： 求( 盯，“) r u 使得 a a ( a ，v ) b l ( c r ，v ，) + ( 1 一a ) d ( u ，v ) = ( 厂，v ) v v u ( 2 6 ) a a ( o - ，f ) 一日b 2 ( r ，“) + b i ( f ，u 1 ) = 0 v r f ( 2 7 ) 这里d ( 州) = ( v h ，v v ) q ， a ( a ，r ) = ( 盯，r ) q ，b 2 ( r , v ) = ( r ，v v ) 0 ， 6 l ( r ，v ，) = 啦( f 二) v l d s ，1 1 = i - h ( d i v , q 。) ，u = 。u ，u c = 硪( q ) ， u = s p a n ( b u b b l e s ) ，矗= q j ) 为区域q 的正规有限元剖分，口( o ，1 ) 为组合参 数。 空间r 和u x 的范数定义如下： 2 四川i 大学硕士学位论文 i i = 1 1 ，= 1i i = 1 1 = o ，。+ 钏讲v 珊ql i h 。：= ( 1 1 v v i l l , ) “2 ；，犯= 。囊“娜州川v ( v 侧：，珥 l 2 这里 表示单元q 的直径。 定理( 2 1 ) ( 存在唯性定理) 问题( 2 6 ) ，( 2 7 ) 有唯一解p ，“) f u 。 证明：泊松方程的原始微分方程的解显然是问题( 2 6 ) 和( 2 7 ) 的解。 在方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 中令厂= o ，f = 盯，v = “，v 1 = “，可得： a d ( 仃，盯) + ( 1 一a ) d ( v ，v ) = 0 由此可以导出：v v f 。= 0 以及在区域q 上仃= 0 。 从方程( 2 7 ) 可得：对任意的f v ，6 l ( f ，“，) = 0 ，“，= “一吣，。而 ( “，“。、) u 所以有“h ；( q ) ，则。一) 1 。= o 以及在区域q 上“= 0 ( 见 3 ，4 ，5 ，1 0 ) 。由此，解的存在唯一性得证。口 注2 1 具有优化条件的方程组被称为组合变分原理，为我们研究很多问题提 供了一条更合理的途径。 3 有限元离散及其收敛性 在这一节中，我们将致力于组合杂交元方法的构造及其收敛性分析。公式 ( 2 6 ) 和( 2 7 ) 是基于区域分解的h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理及其对偶的一 种组合变分格式，在作有限元逼近时，该方法是稳定的，即有限元空间的构造 勿需满足i n f s u p 条件。 令p ，u “为相应于区域剖分的有限元空间，满足f 6cf ，u 6 u ，则问 题( 2 6 ) 和( 2 7 ) 有如下离散： 求( 吒，) f 6 x u “，使得 j 口口( ，r ) 一a 。b 2 ( r ，) + 6 l p ，“ ，) = 0 g r f “ ( 3 1 ) l 口8 2 ( c r , ，v ) 一b i ( o h ，u ) + ( 1 一口) d ( u ，v ) = ( f ，v ) v v u “ ( 3 2 ) 3 四川大学硕士学位论文 从下面定理，组合格式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 是稳定的。 定理3 1 ( 存在唯一性定理) 假定p ，“) 为问题( 2 1 ) 的准确解，o - = v u ，则 问题( 3 1 ) 和( 3 2 ) 存在唯一解( 巩，) r u 6 。 证明：由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 知，口a ( r ，r ) + ( 1 一a ) d ( v ，v ) 在f “u 6 上正则，则有限元 解( ，) 的存在唯一性可由l a x m i l g r a m 定理直接导出。 定理3 2 存在与h 无关的常数c l 0 ，对任意的q 五及v u 6 ，使得 i v - v c 。，舭钏v v k 又对口 0 ，准确解p ，“) 和有限元解( a h ，) f 6 u “满足如下误差估计： 忙一吒k + l l u 一札 蚓吵制摹帮】 3 3 这 0 和l 0 ，使 屯。r ；v , d s _ 1 w n + ( n 一1 ) + 1 & w n & w n & w n + ( n 一1 ) + 1 & m o d ( w n ) = = o f o ri g a u s = l ：g a u s s y i t a = p g a u s s ( i g a u s ) ： x i = 1 ： 2 四j i 【大学硕上学位论文 a p h a l = 0 【g d ，n 】= f u n n e w 3 2 9 1 ( x i ，y i t a a 1 a 2 ，a 3 ，b 1 ，b 2 ，b 3 ，a p h a l ，x ( 1 ) ，x ( 2 ) x ( 3 ) ( 4 ) ，y ( 1 ) ，y ( 2 ) ，y ( 3 ) y ( 4 ) ) ： e l m 2 = e i m 2 + g d n + d v o l u ； e n d e n d b i m = e l m l + e l m 2 ；第二边界 q = z e r o s ( 1 ，6 ) ： q = d f l + 引m ；【q cq i 的形式 m 1 1 = m ( 1 ：4 1 ：4 ) ： m12 = m ( 1 ：4 ，5 ：6 ) ： m 2 1 = m ( 5 ：6 ，1 ：4 ) ： m 2 2 = m ( 5 ：6 ，5 ：6 ) ： q c = q ( 1 1 ：4 ) ： q i = q ( 1 ，5 ：6 ) ； e s m = m11 一m12 + i n v ( m 2 2 ) + m 21 ： e i m = q c q i + i n v ( m 2 2 ) + m 2 1 ： 合成总刚及总体载荷 f o r j _ 1 ：4 z j = k a k o m ( w j ) ：z j 为单刚元素在总刚中的列数 p ( 1 ，z j ) = p ( 1 ，z j ) + e i m ( 1 ，j ) ：p 为总载荷刚 f o r j = 1 ：4 z h = k a k o m ( w , i ) ；z h 为单刚元素在总刚中的行数 k o ( z h ，z j ) = k o ( z h ，z j ) + e s m ( i ，j ) ：k o 为总刚 e n d e n d e n d 加边界条件 f i = l ：n o d t ； t e m p = l ：n o d t ； m = z e r o s ( 1 ，n o d t ) q = z e r o s ( n o d t 1 ) ： r = z e r o