（模式识别与智能系统专业论文）非线性系统的混杂反馈镇定及其应用.pdf

摘要 摘要 本文从最基本的镇定问题入手，力求能在一个较统一的体系下讨论了非线性 系统的混杂反馈控制问题 混杂反馈控制是伴随着混杂系统理论与应用研究在九十年代初提出的一种 先进控制策略与传统的连续反馈控制相比较，混杂反馈控制引入了基于逻辑的 离散事件动态，使得闭环系统具有更好的瞬态响应和稳定性典型的混杂控制器 包含了连续控制过程和离散事件( 或离散时间) 切换，通过位于上层的离散事件 监视器配置一组连续状态反馈控制，并按照某种设计的逻辑规则相互切换，以实 现闭环系统的性能要求切换时刻可以事先固定，也可以在控制过程中实时确定 根据离散事件作用的不同方式，本文分别讨论了基于离散时间切换和基于系 统状态切换两种类型不同的非线性系统混杂反馈镇定问题主要工作概括如下： 推广了混杂系统稳定性分析的m u h i l y a p l l l l o v 函数方法，给出了混杂系统渐 近稳定的充分条件，并利用这一基本工具设计了基于离散时间切换的混杂反馈控 制，给出了仿射型非线性系统渐近镇定的充分条件研究结果具有一般性，混杂 切换系统研究中经典的平均驻留时间方法，可以看作是这一条件的推论 对于只包含两个子系统的低维的平面切换系统，通过子系统状态矩阵的结构 特征，利用相平面几何方法和子系统向量场之间的相互关系，首次给出了一类线 性切换系统渐近镇定的充分必要条件，设计了“最镇定”的切换控制律利用这 一研究结果，讨论了控制领域中的两个公开问题，它们是z va r t e s t i n 提出的一 类可镇定可检测线性系统的输出反馈镇定问题，和r a b r o c k 枨提出的b m c k 甜 积分子的镇定问题，由于上述系统不能通过连续时不变反馈镇定，本文分别给出 了基于离散时间切换的混杂反馈镇定控制设计方法 提出了基于系统状态切换的1 址a 婷s u g e n o ( t _ s ) 模糊系统模型这种方法的 中心思想是，根据控制对象实际状况，将系统状态空间划分为不同的部分，每一 部分建立相对独立的局部t - s 模糊模型，根据系统当前状态分别设定模糊规则及 模糊规则的个数，局部状态空间之间的切换通过离散事件系统来描述与一般的 北京工业大学工学博士学位论文 非线性系统t _ s 模糊建模方法相比较，前者有效解决了系统建模复杂性和准确性 之间的矛盾，降低了研究问题的保守性 研究了非线性系统基于切换型t s 模糊模型的镇定问题，采用并行分布式补 偿方法，设计了切换型模糊镇定控制器，并给出了相应的线性矩阵不等式，控制 器的存在条件等价于两类线性矩阵不等式的可解性，在移动机器人运动控制中的 应用验证了方案的有效性 研究了非线性时滞系统基于切换型t - s 模糊时滞模型的保性能控制问题采 用线性矩阵不等式的方法，得到了系统存在保性能控制律的充分条件进而，通 过建立和求解一个凸优化问题，给出了最小化保性能控制律的设计方法最后针 对机械臂运动模型建立了切换型t s 模糊时滞系统，验证了设计方法的可行性 最后对全文所做的工作进行了总结，并指出了下一步研究的方向 关键词：非线性系统，非完整系统，混杂系统，t 酞a 百一s u g e n o 模糊系统，时滞 系统，镇定，保性能控制，m 1 l l t i l y 印u n o v 函数，平均驻留时间方法 i l a b s t r a c t a b s t r a c t t l l i sd i s s e r t a 瞳i o np r e s e m sas y s t e m i ch y m df e e d b a c kc o n t r o lf m n e w o r kf o rt 圭1 e f c e d b a c ks t a b i l i z a t i o np r o b l e mo f n o n l i n e a rs y s t e m s h y b r i df e e d b a c kc o n 订0 1 印p r o a c hh a se m e r g c da sa na d v a l l c e dc o 曲o lt e c h l i q u e w i mt h cd e v e i o p m e n to fh y m ds y s t e mt h e o r ya 1 1 di t s 印p l i c a t i o ns i n c el9 9 0 s c o m p a r e d 谢也t r a d i t i o n a lc o n t i m l o u sf e e d b a c ks t r 砒e g y ，h y b r i df e e d b a c kc o n t m l i n t r o d u c e st h ed i s c r e t ee v e n td y n 锄i c so fl o g i cd e c i s i o nf a c t o r s a d v a n t a g e so f h y b r i d f c e d b a c kc o n 打o li n c l u d ca c h i e v i n gs t a b i l 时a n dj 期【p r o v i n g 订a 1 1 s i e n tr c s p o n s e t y p i c a l l y ，h y b r i dc o n t r o l l e r sc o m b i n ec o m i n u o u st i m ef 宅a t u r e sw i me i t h e rd i s c r e t e e v e n tf b a t u r e so rd i s c d e t et i m ef b a t u r e s t h ee s s c l n i a lf c a t l 】r eo ft h e s ec o n t r o l l e r si s t l a tt h e r ei sal o 、- 1 e v e lt i m ei n v a r i a n tf e e d b a c kc o n t r o l l e r ss u p e i s e db yd i s c r e t e e v e n t s y s t e m t h eo p e r a t i o no fh y b r i dc o m m l l e r si sb a s e do ns w i t c h i n ga t d i s c r e t e t i m em s t a i l t sb e 铆e e nv a r i o u sl o w l e v e lc o n t i n u o u st i m ec o n t r o l l e r st o p r o v i d es t a b i l 时t h et i m ei n s t 踟1 t sa tw h i c hs 、v i t c h e so c c u rm a yb ee i t h e rs p e c m e da p r i o r io rb ed e t e n n i n e di n 廿1 ep r o c e s so fc o n t r o u e ro p e r a t i o n n l i sd i s s e r t a t i o ns 砌i e sh y b r i df e e d b a c ks 诅b i l i z a t i o nc o n 仃o l l e ro fn o n l i n e a r s y s t e i n sw h i c hc o m b i n ec o n t i n u o u st i m ea n dd i s c r e t ct i m ef e a n l r e sa n dw h i c h c o m b i n ec o n t i n u o u st i m ea n ds t a t ev a r i a b l e s f e a t i l r e s ，r c s p e c t i v e l y t h em a i n c o m r i b u t i o n sa f ea s - o l l o w s e x t e n d e d l em u l t i - l y a p l i l l o v 劬c t i o na p p r o a c ho f t i l eh y b r i ds y s t e ma n a 王y s i s ，a n d g a v eas u 伍c i e mc o n d i t i o no fa s y i n p t o t i c a ls t a b i l i 吼b a s e do n 血i sa p p r o a c h ，ah y b r i d f e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w h i c hc o m b i n e sc o n t i n u o u st i m ea i l dd i s c r e t et i m ef e a t u r e s ，i s d e s i g n e da i l da s y m p t o t i c a ls t a b i l i z a t i o nc o n d i t i o n so f 锄n en o n l i n e a rs y s t c m sa r e p r e s e m e d t h ea v e r a g ed w e l lt i m ea p p r o a c ho fh y b r i ds y s t e mr e s e a r c hc o u l db e d e d u c e df r o m 吐1 i s 印p r o a c h f o rp l a i l a rs w i t c h e d s y s t e n l sc o n s i s t i n go ft w os u b s y s t e m s ，u s i n gt 1 1 ep l a i l a r g e o m e 缸ca p p r o a c ha i l dt h ed i r c c t i o no f 似ov e c t o rf i e l d s ，an e c e s s a r ya n ds u m c i e m i t t 北京工业大学工学博士学位论文 c o n d i t i o ni sp r e s e 疵df o rt h eo r i 西nt ob ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l eu n d e rt h e “m o s t s t a b i l i z i n 雪s w i t c h i n gl a w t w oo p e np r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r ya r ed i s c u s s e db yt h i s c o n d i t i o n o n ei so u t p u tf e e d b a c ks 诅b i l i z a t i o np r o b l e mo fac l a s so fl i n e a rt i i n e i n v a r i a n ts y s t e ma 1 1 da 1 1 0 t h c ri sh y b r i df e e d b a c ks t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fb r o c k e t t i n t e 舒a t o r ，w h j c hw a sp r e s e n t e db yz v a r t e s t i na n dr a b m c k e t t ，r e s p e c t i v e l y s i n c ec a f l n o tb es t a b i l i z e db yc o m i n u o u st i m em v a r i a n tc o m r o l ，t w oh y b r i df c e d b a c k c o n t r o l sb a s e do nd i s c r e t et i m ef b a t u r e sa r ep r e s e n t e d as w i t c h i n gt a k a g i s u g e n o ( t s ) 如z z ym o d e l i se m p l o y e dt op r e s e n tt 1 1 ed y n a m i c s o fan o m i l l e a rs y s t e m t h ee s s e n t i a li d e ai st od i v i d em ew h o l es t a t es p a c ei n t o d i r e n tp a n ss o 恤a tt h e yh a v ed i 脑e n tl o c a l l y - s 缸掣m o d e l sa n dm e nt 0s 诵t c h b e t w e e nt l l e ma c c o r d i n gt ot h es t a t ea n de x t e m a lv a r i a b l e s c o m p a r e dw i t l lg e n e r a l t - s 如z z ym o d e l ，t l l i sm e 也o dc o u l de 懿c t i v e l ys o l v et h ec o n t f a d i c t i o no fm o d e l i n g c o m p l e x i t ya i l de x a c t i t u d ea n dr e d u c et h ec o n s e r v a t i v e a s y m p t o t i c a is 诅b i l i z a t i o no fs 谢t c t l i n gt s 舵z ys y s t e m si sa d d r e s s e d 。b a s e do n p a r a l l e ld i s 仃i b u t e dc o m p e n s a t i o n ，d e s i g n e das w i t c h i n gf u z z yc o n t r 0 1 l e rw h i c hi s r e d u c e dt os o l v eas e to fl 访e a rm 砌xi n e q 叫i t i e s ( l m i s ) s t a b l es w i t c h i i l gc o n t r o lo f am o b i l er o b o t ，w h i c hi san o r 山o l o n o m i cs y s t e m ，i sp r e s e m e dt os h o wn l ep o t e m i a lo f m et c c l l l l i q u e s u s i n gh y b r i d f e e d b a c kw i t l io p t i i l l i z a t i o nd e s i g n ，t h eg u a r a i l t e e dc o s tc o m 0 1 p r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a rd e l a ys y s t e m si sd i s c u s s e d ，、v ：h i c h i sb a s e do n s w i t c h i n gt sa l z z yd e l a ys y s t e m s i nv i n u eo fl m i s ，s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rm e e x i s t e n c eo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sa r eg i v e na n dc o n t r o l l a w sa r ed e s i 髓e d m o r e o v e r ，a i lo p t i “z a t i o ns c h e m eo fc o m p u t i n gac o s tu p p e r b o t l i l di sd e s c r i b e d i n m ec a s eo fas i n g l el i r l l ( r o b o ta 衄，s 、v i t c h i n g 如z z yd c s i g nm e t h o da i l do p t i m i z 砒i o n s c h e m ea r eg i v e na sw e l l f i n a l l y ，也er e s u l t so ft l ed i s s e r t a t i o na r cs u m m a r i z e da n df h r t l e rr e s e a r c hp r o b l e m s a r e p o i m o u t k e y w o r d s ： n o n i i n e a r s y s t e m s ， n o r 山o l o n o m i c s y s t e m s ，h y b r i ds y s t e m s ， t a l 【a g i s u g e n of h z z ys y s t e m s ，t i m ed c l a ys y s t e m s ，s t a b i l i z a t i o n ，g u a r a n t e e dc o s t c o n t r 0 1 ，m u l t i l y a p u l l o vf 血c t i o n ，a v e r a g ed w e l lt i m ea p p r o a c h 1 v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：囱蚴日期2 竺堡：i ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 魏幽翮躲毖监吼坦垡。 第1 章绪论 所有的物理系统本质上都是非线性的，采用近似的线性模型虽然可以更全面 和容易地分析系统的各种特征，但是却很难刻画出系统的非线性本质，线性系统 的动态特征已不足以解释许多常见的实际非线性现象【l _ 9 j 因此在控制系统设计 过程中必须充分考虑到被控对象的非线性特征由于非线性系统往往存在多个平 衡点、极限环、分叉及混沌等非线性现象，关于一般的非线性系统镇定问题的研 究是非常困难的，它长期以来一直是控制领域研究里的公开问题本文所进行的 工作是应用混杂系统稳定性分析与镇定问题研究成果，力求在较统一的框架下研 究非线性系统的混杂反馈镇定问题根据离散动态作用的不同方式，分g q 研究了 基于离散时问切换和基于系统状态切换两种类型不同的非线性系统混杂反 馈镇定方法在这一章里我们将对非线性系统镇定问题，以及混杂系统稳定性 分析与镇定问题的研究作一下简要回顾 1 1 非线性系统的镇定问题 镇定是非线性系统研究的一个基本问题，找到反馈控制律，使得通过反馈构 成的闭环系统是渐进稳定的。许多实际控制过程都与镇定问题有关m ”】例如， 当控制系统状态变量接近于某个理想目标点时，通常采用的方法是进行坐标变换 将理想目标点转换为系统坐标原点，然后考虑新系统的“输出”稳定性问题，即， 给定目标函数y = ( x ) ，设计合适的控制律使得，( f ) 寸o ；对于系统跟踪问题， 这时的控制目标是使得系统输出信号y ( r ) 跟随某一事先确定的状态轨迹y + “) ， 它也可以看作是“误差”信号s ( r ) = y ( f ) 一y ( ，) 的输出稳定性问题；其他的相关 问题还有系统状态不变集的稳定性问题，周期轨迹( 极限环) 稳定性问题等 我们这里考虑的镇定问题是指针对闭环系统状态平衡点的稳定性问题下面 简要介绍非线性系统镇定问题研究中通常采用的几种方法 简要介绍非线性系统镇定问题研究中通常采用的几种方法 北京工业大学工学博士学位论文 1 1 1 连续时不变的反馈控制方法 可控l y 印u n o v 函数( c o n 仃0 1 一l y a p u n o vf i m c 廿o n ) 方法【1 1 是非线性系统连续静 态反馈镇定的主要工具，它不仅给出了理论分析工具，同样也提供了反馈控制器 的设计方法在介绍可控l y a p u n o v 函数方法之前，我们首先通过一个简单的例 子回顾经典的l y a p u n o v 函数方法考虑带阻尼弹簧振子系统 _ j ：，+ y + j ，= o ( 1 4 ) 通过坐标变换= y ，x ：= _ y ，得到系统 而= 恐，t = 一耳一而 ( 1 - 5 ) 判断系统( 1 4 ) 相当于平衡点x = 0 是否全局渐近稳定的方法是，选择l y 印u i l o v 函 数矿( 葺，x ：) = 妄砰+ x x ：+ ，并且观察v 矿( x ) ，( x ) = 一l x l 2 o ，x o ，即， 掣掣：挑) 阳 ( 1 - 6 ) 甜 对于所有的非零解，能量函数矿沿着系统轨迹递减，又由于y 为非负的二次项， 这意味着x ( f ) 递减，并且x ( f ) 寸o 当然我们也可以精确计算系统的所有解析解， 或者简单的判断系统矩阵特征方程的所有特征根实部为负，但是l y a p u n o v 函数 方法是一个一般的方法事实上，m a s s e r a 和k u r z w e i l 【1 4 1 的逆定理表明，如果系 统全局渐近稳定，那么一定存在这样的l y a p u n o v 函数，我们对系统( 1 4 ) 进行简 单的修改，加入控制律，那么系统( 1 4 ) 变为受力( 非阻尼) 的简谐振子，系统方程 为 毛= 而，而= 一一+ “ ( 1 7 ) 阻尼反馈“= 一x ，可以镇定( 1 7 ) ，但是假设我们实现并不知道存在这样的控制律， 采用同样的l y a p 吼o v 函数y ，记矿( l “) 为v 矿( x ) 厂( x ，“) ，得到 矿( x ，“) = 一砰+ 五吐+ x ；( _ + 2 x ：) “ ( 1 8 ) 表达式是关于“的仿射函数从而，如果x 是使得而+ 2 x ：0 的系统状态，可以 2 第1 章绪论 选择控制“，使得y o ，另一方面，如果一+ 2 x 2 = o ，矿= 一5 ，x 2 o ，始终 是负定的对于每个状态x o ，都存在控制“使得矿( x ，“) o ，可控l y a p u i l o v 函数方法就是对于协鼠x o ， “u ，使得矿( x ，”) o 事实上，可以采用 梯度下降的方法设计镇定的反馈控制器 ( x ) = a r g m i n v 矿( x ) 厂( x ，“) ， ( 1 9 ) a r t s t c i n 在文献 1 】中给出了这一问题的一个充分必要条件：仿射型非线性系统是 连续时不变反馈镇定的当且仅当系统存在平滑的可控l y a p u n o v 函数，更确切地， 如果系统具有特殊的下三角结构，可以采用b a c k s t e p p i n g 方法逐步构造可控 l y a p u n o v 函数 4 7 1 1 1 2 连续时变的反馈控制方法 连续时变的反馈镇定控制“= 女( f ，x ) ，相对于时不变的反馈控制“= t f x l 有 更强的适应度，文献 1 5 】指出所有的一维非线性系统都可以通过连续时变的反馈 控制镇定文献 1 8 】讨论了移动机器人运动系统的时变反馈镇定设计方法对于 无漂移控制系统，c o r o n 【”1 乖j 用心a s o v s k i i l 弱a 1 1 e 不变集原理设计了静态周期状 态反馈镇定控制器，并且给出了相应的闭环l y a p u n o v 函数不足之处在于整个 闭环系统是渐近镇定而不是指数镇定的2 1 2 3 1 由于时变的反馈控制实现起来相对 较为困难，本文对这一问题不再详细讨论 1 1 3 不连续的反馈控制方法 近十年以来，随着计算机、大功率电予切换器件、机器人及电机等技术的迅 速发展，非线性系统不连续的反馈控制理论和应用研究开始进入了一个新的阶 段，主要方法有分段时不变控制1 3 。17 1 、变结构控制【2 0 2 2 1 、混杂切换控制【2 4 1 等，图 1 1 1 给出了一类典型的切换控制结构图特别是针对非完整系统【1 9 】，由于不能 通过反馈线性化或连续时不变状态反馈镇定，因此关于这方面问题的研究主要集 中在设计不连续反馈控制器对于c h a p l y g i n 非完整系统，文献【1 7 ，8 给出了结合 3 北京工业大学工学博士学位论文 连续控制和离散事件的混杂控制器；文献【1 8 】基于周期输入方法，研究了一大类 非完整运动学和动力学及其受扰运动的混杂反馈镇定问题，但是没有给出控制器 具体设计方法关于混杂反馈控制有两点需要进一步说明其一：对于复杂系统， 简单的切换控制不一定会取得好的系统性能，例如出现c h a t t e r i n g 现象【2 4 】；其二： 混杂反馈控制一般是实用镇定( p r a c t i c a ls t a b i l i z a t i o n ) 的1 1 4 】，即镇定到原点附 近因此，非完整系统混杂反馈控制问题的研究不仅具有重要的理论价值和应用 前景，而且具有相当的难度和挑战性 圈1 1 1 切换控制结构 f i g 1 1 1s w i t c h i n gc o n t r o l l e r a r c h i t e c t u r e 1 2 混杂系统稳定性分析与镇定 近几年，混杂系统的分析与控制问题吸引了国内外学者的广泛关注事实上， 研究结果主要集中在定义切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) 稳定性和寻找切换系统可 镇定条件上切换系统是一类十分重要的混杂系统近十年来由于其深刻的应用 背景而得到广泛的重视【2 5 。5 1 典型的切换系统由一组连续( 或离散) 时间子系统 和一条决定子系统之间如何切换的切换规则所组成，整个切换系统的进展情况受 4 第1 章绪论 控于这条切换规则这条规则也称为切换律、切换信号或切换函数，通常它是一 个依赖于状态或时间的分段常值函数由m 个子系统构成的自治切换系统由如下 微分方程描述【2 9 1 量( f ) = ( x 0 ) ) ( 1 1 ) 其中仃： o ，+ 。) _ m = 1 ，2 ，嘲表示分段常值的切换信号，对每一个离散变量 f m ，_ ：r ”r ”表示充分光滑的非线性函数相应地，当，为线性函数时， 我们得到如下的线性切换系统 童( f ) = 4 ，x ( f ) ( 1 2 ) 对于切换系统，不论是稳定性分析还是镇定，最主要的研究目的是探索给定 系统的结构特征，保证存在切换控制律f f f l 使得整个系统或者是闭环系统稳定 众所周知，切换系统的稳定性问题非常复杂，每个子系统都是h u n v i t z 稳定 的，只是切换系统稳定的一个充分条件，而不是必要条件，文献中的大量实例表 明，稳定子系统之间的多次切换可能导致整个切换系统的运动轨迹发散反过来， 更有研究意义的是，尽管所有的子系统都是不稳定，仍有可能设计出适当的切换 控制律，使得整个系统的运动轨迹稳定 目前，关于切换系统还没有一般的研究结果给出系统渐近镇定的充分必要条 件，同样，也不存在一般的计算方法设计系统渐近镇定的切换控制律对于切换 系统的二次稳定性问题，当切换系统只包含两个子系统时，文献【3 4 】给出了系统 稳定的充分必要条件文献 4 0 给出了构造公共l y a p l l l l o v 函数的迭代算法 下面我们简要回顾在切换系统镇定问题研究中经常采用的几种方法它们都 是针对线性时不变切换系统的，事实上都有严格的适用条件，因此很难应用到一 般的切换系统镇定问题讨论中 1 2 1 平均驻瓷时间方法 平均驻留时间方法( a v e r a g ed w e l lt l m ea p p m a c h ) 1 2 1 1 的主要研究目的是设计 基于离散时间切换的混杂反馈控制更准确的说，切换控制律是基于时间设定的， 并没有以状态反馈或输出反馈的形式出现 5 北京工业大学工学博士学位论文 h e s d a l l h a 和m o r s e 【2 1 】等人最早提出并研究了这问题这一方法的主要创新 点在于，如果切换系统的予系统都是稳定的，并且切换控制律的切换频率足够的 慢，比如，小于某一平均值，那么整个系统运动轨迹将是稳定的特别的，如果 在有限时间区间内，切换次数关于区间长度是线性的，并且增长率非常的小，那 么切换系统是指数稳定的另一方面，对于切换系统镇定问题，如果系统包含不 稳定的子系统，为了使得系统状态保持在原点的某个理想范围内，切换周期也不 能超过某一确定的值 平均驻留时间方法为设计基于离散时间切换的混杂反馈控制提供了理论基 础同时，它也为解决切换控制过程中经常出现的z e n o n e s s 现象提供了有效的 方法l i b e r z o n 和b m c k e t t 【5 5 。5 7 1 等人利用这一方法研究了一类非完整系统的混杂 反馈镇定问题，f r a n c i s 等人研究了线性切换系统的切换镇定控制问题 1 2 2 平面系统的几何方法 由于一般的n 维切换系统很难找到系统渐近镇定的充分必要条件，学者们 开始关注一些较特殊的低维切换系统的镇定问题，例如平面线性切换系统由于 平面系统的向量场位于相平面中，因此可以充分利用相平面中的几何方法来研 究事实上，在平面系统的研究过程中，几何方法始终是解决问题的主要方法和 手段关于平面切换系统研究的另一个优势在于，镇定的切换控制律如果存在， 通常具有周期行为瞄。捌 ，甚至退化为简单的滑模面【2 7 1 由于存在这些好的性质， 关于平面线性切换系统镇定问题的研究取得了较丰富的研究结果 对于二阶线性时不变切换系统，当每个子系统为不稳定的焦点、结点、鞍点 类型时，x u 和a n t s a k i i s f 6 0 _ 6 1j 利用子系统向量场之间的角度和相平面几何方法， 给出了系统渐近镇定的充分必要条件不足之处在于方法非常复杂，同时很难给 出精确的参数值来设计切换控制律利用同样的方法，m i c h e l 【7 1 等人给出了存在 公共二次l y 印u n o v 函数，使得平面切换系统渐近镇定的充分必要条件，根据子 系统向量场之间的关系，他们通过圆锥切换区域给出了切换控制律的设计方 法对于平面切换系统，系统存在镇定切换控制律的充分必要条件等价于下面的 非线性凸问题存在可行解 第1 章绪论 x ( f ) = f ( f ) f ( x ( f ) ) + ( 1 一f ( f ) ) g ( 工( f ) ) ( 1 - 3 ) 1 2 3 公共l y a p u n o v 函数和多l y 印u n o v 函数方法 切换系统稳定性分析的主要工作是基于公共l y a p u n o v 函数( c o m m o n l y a p u n o vf u n c t i o n ) 8 0 - 8 3 1 和多l y a p l l i l o v 函数( m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n ) 方法 【8 4 8 9 1 他们是将传统l y a p u n o v 函数方法在切换系统的推广形式对于状态依赖 型的切换规则，两种方法都需要对整个欧氏空间r “进行分割一般而言，分割 后的每个子空间与每个子系统相对应然而，就切换系统内在的不连续本质而言， 各子系统各自的l y a p u n o v 函数比使用同一个l y 印u 1 1 0 v 函数更具一般性但简单 的使用各自的l y a p u n o v 函数却不一定能保证稳定性p e l e t i e s 在文 8 7 】中，引入 了l y a p u i l o v l i k e 函数的概念在依赖于状态的切换下，多l y 印u n o v 函数方法的 原理可以解释为： 图1 1 1 公共李雅普诺夫函数原理 f 谴1 1 1t h ep 曲c i p l eo f c o m m o ns i n g i el y a p u n o vf u n c t i o “ 与系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 的m 个子系统相对应，将整个欧氏空间足”分割为m 个子空间 q ，且u q ，= r ”， i n t q ，n i m q = 西每个子系统( x ) 都有各自的l y a p l l l l o v - l i k e 函数f 如果同一个子系统在下一次被激活时的l y a p u n o v l i k e 函数的终点值小 于上一次被激活时l y a p u n o v 一1 i k e 函数的终点值，整个系统的能量将呈现递减趋 势，则系统( 1 1 ) 全局渐近稳定更特殊地，如果同一个子系统下一次被激活时的 l y a p u n o v 一1 i k e 函数小于上次被激活时的l y a p u n o v l i k e 函数时，这时，整个系统 的能量递减趋势更加明显，系统( 1 1 ) 将全局渐近稳定( 图1 1 2 ) f8 8 1 7 北京1 ：业大学工学博士学位论文 概括的说，这一方法的最终研究目标是求解矩阵不等式 掣互+ z f 4 o ， 都存在相应数值d ( 岛) ，只要d ( s “) ，雪 o ，由于 北京工业大学工学博士学位论文 存在任意小的正数v ( s ) ，使得 器y ( f 怫删s p ( 占) 我们有 善鼍，矿( 埘( 咄z ( f ) ) 硝( f ) - ( 2 m ) 同理，因为 存在任意小的正数( s ) ，使得 我们有 因此，如果 我们得到 设 。恶y ( ，x ( f ) ) 幽( y ( s ) ，破( 占) ) ( 2 1 3 ) y ( 乇，m ( 屯) ，x ( r o ) ) r m n ( 占( 占) ，西( s ) ) 矿( f ，川( r ) ，x ( f ) ) 破( s ) ， r 如( 2 一1 4 ) 根据定理条件( 1 ) ，如果 我们有 从而得到 矿( 屯，m ( 气) ，上( 岛) ) r n i n j 。( s ) ，破( s ) ( 2 1 5 ) d f 5 ( r ) ，亏 占 1 6 弟2 草非线性糸统的罔散时| 日j 掘荣皮馈锾足 即，混杂系统( 2 1 ) 在李亚普诺夫意义下是一致稳定的 下面证明对于v 占 。，存在i ，满足r i ，d ( s ( 嘎雪 s s 由于 g c 月+ ，月+ ，g ( o ) = o ， 那么存在正数巧( s ) ，如果 s u p 矿( r ，m ，x ( r ) ) 占( s ) ， n 、 我们有 恶矿( 切( 岫工( f ) ) 茎氟( 占) 进而，当 器矿( l ( f ) ) 越n ( 占( 占) ，川) 时，我们有 。叩y ( f ，历( f ) ，x ( ，) ) 硪( f ) ( 2 1 6 ) 芦一。商! 、。 根据定理2 1 2 条件( 3 ) ， 磐y ( f 确，x ( ) ) 一。 廿f s 矿 呻+ ， 因此存在正整数五，使得当任意整数i k 时， 器矿( f 坼删面n ( 占( s ) ，俐) ( 2 郴) 取 f = f “ 当r 丁时， 矿( f ，棚o ) ，z ( r ) ) 破( s ) 根据定理2 1 1 条件( 1 ) ， 蛾( d ( s ( r ) ，亏 矿( m ( r ) ，x ( ，) ) 硪( 占) 从而有 1 7 北京工业大学工学博士学位论文 d f j ( r ) ，雪1 s 即，混杂系统( 2 一1 ) 在李亚普诺夫意义下是一致渐近稳定的得证 2 2 仿射型非线性系统混杂反馈镇定 ( 2 1 8 ) 考虑仿射型非线性系统 x = ，( x ) + g ( x ) “ ( 2 - 1 9 ) 其中，状态向量x 彤，控制输入向量“，( - ) 和g ( ) 为具有相应维数的连 续可微向量函数假设状态原点为系统( 2 一1 9 ) 的平衡状态即，厂( o ) = o 构造基于离散时间切换的混杂反馈控制“ “( 吒) = ( _ ( 吒一。) + z k ( 吒一。) ( 2 2 0 ) 其中， e = ，i 吒， ，吒一。 o ，使得当l 占时， 0 ( x ) l | 1 l x l l ( 2 2 8 ) 既然系统( 2 1 9 ) 中的g ( ) 连续可微，那么当叫i 占时，一定为有界变量因 此存在正数m 尺，使得 慨x ) 忙川 ( 2 2 9 ) 引理2 1 1 混杂系统( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，对于所有的七，都有忙( f ) 忙占， ，( 气，靠+ 】，如果满足f 卜( “) 8 点，f 卜( 吒州4 ， 北尿工业大学工学博士学位论又 其中 小等岩万 证明假设以上结论不成立，即，存在f o h ，靠+ 。】，满足忙“) l i = d ，并且 忙( f ) l 巧，对于所有的f 气 v f 【靠，】，根据系统状态方程( 2 - 2 2 ) ，不等式( 2 - 2 9 ) ，以及 i l 矗( x ( 彳) ) l l l l x ( r ) l i ， 我们有 i | x ( r ) | l s i l x ( r 。) l i + m l “( 。) | l + i ( 1 l 彳l l + 1 ) l l x ( r ) 0 d r 根据引理条件 f 卜( t ) 0