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硕上论文光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 摘要 对于光学平面面形的检测，目前普遍采用的干涉测量法需要块高精度的参考平面 作为标准，是一种相对检测方法，其测量精度受到参考面精度限制。为了获得被测平面 的绝对面形分布，提出了一种基于两平晶的平面绝对检验方法，即在菲索干涉仪上利用 两块平晶的三个表面实现平面的绝对检验测量。该方法仅需要两块平晶就可以完成垂直 方向上的面形测量，同时获得高频与低频信息。再通过增加一次旋转测量，就可获得整 个面的面形分布。由于仅需要两块平晶就可实现平面绝对检验，因此可将该方法应用到 6 0 0 m m 大口径平面标定以及干涉仪参考面校准等场合。此外，将绝对检验思想引入五 棱镜使用角测量中，并设计了两镜互检法与三镜互检法实现五棱镜使用角的绝对检验。 利用基于两平晶的平面绝对检验法，获得了两块平晶三个表面的绝对面形分布，给 出了实验结果与误差分析，测量精度优于九5 0 0 。将该方法实际应用于西6 0 0 m m 大口径 平面测量。为了验证该方法的正确性，利用z y g o 自带的三面互检程序的实验结果与之 比对，表明面形测量结果在垂直方向上相差0 0 0 1 a , ( r m s ) ，在水平方向上相差o 0 0 3 k ( r m s ) 。在五棱镜使用角测量实验中，分别使用两镜法与三镜法测量了五棱镜的使用角， 获得了五棱镜使用角的绝对值，两种方法测量结果偏差小于0 2 ”。 关键词：干涉测量，绝对检验，两平晶法，五棱镜 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t i n t e r f e r o m e t e ri sw i d e l yu s e dt oa c h i e v et h ef l a t n e s sm e a s u r e m e m t h er e f e ：r e n c ef l a t w o r k s 憋a ni d e a lf l a tw h i c hc o n t r i b u t e si t so w nf l a t n e s se r r o r st ot h ef i n a lr e s u l t t h e r e f o r e ，i t i sac o m p a r a t i v em e t h o da n dt h ep r e c i s i o ni sr e s t r i c t e dt ot h a to ft h er e f e r e n c ef l a t i no r d e rt o o b t a i nt h ea b s o l u t es u r f a c ed i s t r i b u t i o n s ，an o v e lm e t h o di sp r e s e n t e dt oa c h i e v et h ea b s o l u t e f l a t n e s sm e 觥e m e mb a s e do nt w of l a t si nt h ef i z e a ui n t e r f e r o m e t e r b yu s i n gt h et h r e e s u r f a c e so ft h et w of l a t s ，t h ev e r t i c a lp r o f i l e so fb o t hl o ws p a t i a lf r e q u e n c i e sa n dh i 曲s p a t i a l f r e q u e n c i e sa r eo b t a i n e dt h o r o u g h l y b ya d d i n go n er o t a t i o nm e a s u r e m e m ，t h ew h o l es u r f a c e p r o f i l e sc a l la l s ob eo b t a i n e d t h i sm e t h o dc a nb ee x t e n d e dt oa p p l yt ot h eo c c a s i o n ss u c ha s t h el a r g ea p e r t u r es u r f a c ef l a t n e s sm e a s u r e m e mo rc a l i b r a t i o nf o rt h er e f e r e n c es u r f a c e t h i s a b s o l u t em e a s m e m e n ti d e ai si n t r o d u c e dt ot h em e a s u r e m e mo ft h ed e f l e c t i o na n g l eo f p e n t a p f i s m t w o - p r i s mm e t h o da n dt h r e e - p r i s mm e t h o da r ed e s i g n e dt oa c h i e v et h ea b s o l u t e m e a s u r e m e n to ft h ed e f l e c t i o na n g l e si nt h ef i z e a ui n t e r f e r o m e t e r e x p e r i m e n t sa r ei m p l e m e n t e dt oo b t a i n e dt h es u r f a c ep r o f i l e sb yt h et w o - f l a ta b s o l u t e m e a s u r e m e m t h ee x p e r i m e n tr e s u l t sa r eg i v e na n dt h ee r r o r sa r ea n a l y z e d t h ep r e c i s i o ni s b e t t e rt h a n 入5 0 0 s u r f a c e sw i t ha p e r t u r eo f6 0 0 m ma r ea l s om e a s u r e db yt w of i a tt e s ta n d t h ev e r t i c a lp r o f i l e sa r eo b t a i n e d w i t ht h et h r e ef l a tt e s ta p p l i c a t i o no fz y g o ，t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t sa r ec o m p a r e d 、析t ht h a to ft h et w of l a tt e s t i ts h o w sg o o dc o i n c i d e n c et h a tv e r t i c a l r e s u l t sa l ed i f f e r e da t 0 0 01 入( r m s ) a n dt h eh o r i z o n t a lr e s u l t sa l ed i f f e r e da to 0 0 3 入( r m s ) ， w h i c ht e s t i f i e st h ef e a s i b i l i t yo ft h et w of l a tt e s t t h ea b s o l u t ed e f l e c t i o na n g l e so ft h e p e n t a p r i s m sa r ec a r r i e do u ta n dt h er e s u l t sa l eg i v e nb yb o t l lt h et w o p r i s mm e t h o da n dt h e t h r e e - p r i s mm e t h o d i td e m o n s t r a t e st h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w om e t h o d si sl e s st h a n 0 2 ” k e y w o r d s ：i n t e r f e r o m e t r y , a b s o l u t em e 删e m e n t ，t w of l a tt e s t ；p e n t a p r i s m i i 图表目录硕士论文 v i 图表目录 图1 1 液体平面绝对检验原理图4 图1 2 三面互检测量原理图。5 图1 3z e m i k e 多项式拟合法测量原理图6 图1 4 镜面对称法测量原理图1 3 图1 5 伪剪切法测量原理图1 6 图2 1 两平晶实现绝对检验的基本思路2 0 图2 2 整面测量实验方案示意图2 2 图2 3 平面a 、b 、c 的仿真波面2 4 图2 4 材料不均匀性引入的波差分布2 5 图2 5x 轴方向原始波面和计算波面结果对比2 5 图2 6y 轴方向原始波面和计算波面结果对比2 6 图2 7 材料不均匀性影响的波面分布2 6 图2 8 两平晶法绝对检验实验装置图2 7 图2 9 被测试件平晶i 和平晶i i 的实物图2 8 图2 1 0 透射法测量玻璃均匀性示意图2 8 图2 1 l 平晶i i 均匀性测量结果。2 9 图2 1 2 两平晶绝对检验测量结果3 1 图3 1 两种方法的垂直方向面形分布比对3 5 图3 2 两种方法的水平方向面形分布比对3 5 图3 3 高频信息的实验比对3 6 图3 4 大口径平面的绝对检验实验比对3 8 图4 1 五棱镜孵，一9 0 0 示意图4 0 图4 2 双测微自准直望远镜法4 2 图4 3 精密测角仪法4 3 图4 4 双反射镜辅助的双自准直仪法4 3 图4 5z y g o 提供的五棱镜使用角测量方法4 4 图4 6 五棱镜使用角的两镜法绝对检验4 6 图4 7 五棱镜使用角的三镜法绝对检验4 7 图4 8 五棱镜绝对检验实验装置图4 8 图4 9 干涉法测量直角棱镜4 9 图4 1 0 五棱镜滚转角、俯仰角、偏摆角的影响5 4 硕士论文光学甲面与五棱镜绝对检验方法研究 表2 1 三个仿真波面的峰谷值与均方根值2 5 表2 2 原始面与计算面的仿真结果对比2 6 表2 3 四次测量的3 6 项z e m i k e 多项式系数2 9 表2 4 两平晶绝对检验实验结果3 0 表3 1 不同材料的均匀性影响3 2 表3 2 两平晶法与三面互检法的实验比对3 6 表4 1 三镜法绝对检验实验记录5 0 表4 2 两镜法绝对检验实验记录5 0 表4 3 五棱镜绝对检验结果5l 表4 4 三镜法与两镜法实验结果比对5 1 v i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：年月 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：年月日 硕士论文光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 1 绪论 1 1 课题的研究背景 在光学干涉领域，菲索干涉仪和泰曼格林干涉仪是两种常见的干涉仪，两者可以 用于测量平面的面形。测量原理是通过参考反射波面和测试反射波面形成的干涉条纹， 得到被测平面相对于参考面的面形误差。此时一般认为参考面是一个理想的绝对平面， 参考平面的误差被当作被测面的误差而叠加入最后的测量结果中。由于这种两两比较的 相对测量受到参考平面精度的制约，使得被测平面需要一块更高精度的参考平面才能够 获得比较精确的结果。高精度的要求致使平面制造成本几何倍数地增长，无形中提高了 制造的难度，增加了测量的成本。这就提出了对平面实现绝对检验的需求。 测量水平是制造水平的前提，测量水平的一次次提升也为制造技术的进步与发展开 拓了视野。平面绝对检验可以实现面形的绝对测量，保证并提高测量的精确性。在对面 形要求较高的场合，平面绝对检验可以获得绝对的面形结果，因此当运用于诸如菲索干 涉仪等相对检验的干涉仪中，可以很好地将绝对检验的实际数据替换参考面的假设的理 想平面数据，以此提高测量的准确性与精确性。 测量光学表面面形的方法有很多种，可以分为相对检验和绝对检验。相对检验，顾 名思义就是通过相对比较的方法来测量光学表面面形，常见的有光学干涉测量，通过两 两平面反射的波面形成的干涉条纹来判读平面的质量，但是此方法受到了参考面面形精 度的制约。 实现平面绝对检验的主要方法有液体平面法和三面互检法。1 8 9 3 年l r a y l e i g h 提出 了使用液体平面代替干涉仪的参考面【l j 。液体平面法是指使用液体平面作为参考平面的 方法，认为液体平面为一个理想的平面【2 】。三面互检法通过三个面两两互相检验可以实 现测量，但是需要三个相互独立的平晶，并且在实验中需要多次装卸平副】。当实验 条件不完善的时候，需要寻求一种更加简单易行的绝对检验的方法，因此我们提出了基 于两平晶的绝对检验【5 】。此外，菲索干涉仪作为光学测量领域一种重要的测量仪器，在 其制造的过程中，作为参考镜的平晶的制造精度是十分关键的一步。 目前南京理工大学目前正在研制0 6 0 0 m m 口径数字波面菲索干涉仪，要求参考平面 的制造精度达到a , 1 0 ，而目前国内现有的3 0 0 m m 及以上口径的干涉仪的参考平面的 精度也仅为久, 1 0 ，无法用同等精度的平面作为参考平面，因此引入绝对检验的方法， 实现对参考平面精度的绝对测量。 l 绪论硕上论文 1 2 平面相对检验法 1 2 1 牛顿环和牛顿干涉仪测量法 当两个曲率半径相接近但是不相等的两个光学表面相接触放置在一起时，由于两表 面之间存在空气间隙，则当用单色光照射在该两表面上时，分别由这两表面反射回去的 两束光将产生干涉，形成类似牛顿环的干涉条纹。 在光学车间中这种测量加工表面面形误差的方法就是样板法，形成的干涉条纹( 即 牛顿环) 被称为光圈。如果被加工平面偏离标准平面越大，则光圈数越多。如果被加工 平面存在局部误差，则在规则的干涉条纹上会出现局部的弯曲。样板法只需要样板作为 测量工具外不需要任何其他设备，它可以在室内漫反射的白光下进行测量，所以特别适 用于光学车间在光学零件抛光过程中的检验。它不仅可以测量平面，也可以用作球面面 形的测量1 6 j 。 为了更加方便地用样板法进行测量，制作成牛顿干涉仪，成为一个更加简单的装置。 将样板和被测工件放置在箱体内，可以减少周围环境对测量的影响，例如附近的灯泡、 人体的温度等热源的影响。 1 2 2 菲索干涉仪测量法 用样板法或者牛顿环干涉仪测量，属于接触法测量，测量过程中容易损伤被加工的 表面，以及受到人体体温影响使得干涉条纹变形而产生测量误差，此外样板的重量压在 被测表面上，必定会产生一定的变形。 菲索干涉仪测量属于非接触测量。单色光源发出的光通过聚光镜照亮小孔光阑上的 一个小孔。该小孔位于物镜的焦点上，由小孔射出的光经过物镜后成为平行光束投射到 标准参考平板上。由物镜射出的平行光通过标准参考平板的上表面垂直地入射在参考平 面上。其中一部分光从参考表面反射回去，另一部分透过参考表面射到被测平面上，并 又有一部分光被反射回去。观察者眼睛位于观察孔处，就可以看到在参考平面和被测平 面之间所形成的干涉条纹。 如果被测平面有面形误差，则当表面为有规则的大曲率半径的球面时，视场中所见 到的干涉条纹是弯曲的。如果被测平面存在局部误差，则有规则弯曲的干涉条纹上可以 发现局部的不规则弯曲【6 。7 l 。 1 2 3 泰曼格林干涉仪测量法 在泰曼格林干涉仪系统中，在测试反射镜的位置换上被测平面，此时测试光束从 被测平面上反射回去，被测平面的面形误差反映在反射回去的测试光束平面波面的变形 上。 被测平面面形误差是凸的还是凹的，可以通过参考反射镜向缩短光程的方向移动 2 硕士论文光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 时，干涉条纹的变化来判读。如果干涉条纹向中心收缩，则被测平面的误差是凸起的； 如果干涉条纹向外扩张，则被测平面误差是凹下去的。 1 2 4 刀口阴影法 刀口阴影法需要一块高质量的大口径标准球面反射镜，测量装置简单，操作方便， 可以对大口径的平面进行测量。刀口阴影法对被检波面的局部误差的检测是十分灵敏 的，但是只能实现定性的检验，即只能发现存在误差，但难以给出存在误差的定量数值。 1 3 平面绝对检验法 1 3 1 液体平面法 1 8 9 3 年l r a y l e i g h 提出了使用液体平面代替干涉仪的参考面【。将液体平面看作理 想平面，代替干涉仪的参考面，作为干涉测量的平面基准。五十年后，它成为目视判断 光学系统质量情况的一种公认方法，并一直沿用至今。光学车间检验一书中指出液 体平晶的曲率半径与地球相同，根据地球的半径为6 4 0 0 k i n ，可计算得当液体平面的直 径为o 5 m 时，其峰谷值为九1 0 0 ，因此可以认为这是一个理想的平面【2 1 。 r b t l n n a g e l 等人于1 9 6 8 年用液体平面法测量了直径为2 4 0 m m 的平面【8 】。实验基于 菲索干涉仪，光源为欧司朗镉灯，波长5 0 9 n m ，用水银作为参考面，给出了详尽的光学 设计和机械设计方案，并设计了细致的测量和调整步骤。1 9 9 3 年和1 9 9 6 年陈进榜等人 在移相干涉仪中利用液体平面作为绝对平面用于测量大口径平晶面形 9 1 ，测量口径达 2 5 0 m m ，并且可以扩展到5 0 0 m m ，实验精度优于l 5 0 ，所研制的干涉仪已经作为光学 平面标准计量仪器。1 9 9 6 年l b o u r i m b o r d e 等人利用光干涉技术，研究了稳定和非稳定 的狭窄空间内的自由液体平面l l0 1 ，既讨论了平面形状的容器壁，还讨论了圆柱形和螺旋 管状的容器壁，补偿了液体平面的不足，从而实现了8 0 的液体平面为绝对平面。1 9 9 8 年i p o w e l l 等人利用改良的液体平面技术测量了直径为2 4 0 m m 的平面，在水平和垂直两 个方向上的测量精度优于x 1 0 0 1 1 1 1 ，通过算法计算得到由重力引起的表面变形。将液体 作为参考平面，测量了两块光学平晶的面形分布，验证了实验精度优于a , 1 0 0 。 m v a n n o n i a n d 等人于2 0 0 5 年详细描述了一种利用液体平面作为绝对平面标准实现绝对 测量的方法，给出了表述液体平面的数学公式，分析实验误差和不确定度。实验表明口 径为9 0 m m 的平面测量不确定度可达7 n m ( p v ) 1 2 】。 在菲索干涉仪中用液体平面代替标准参考平板，被测平面朝下并面向液体表面。液 体表面处于静止状态，可认为是以地球的半径为曲率半径的凸球面。使用液体表面作为 参考平面的主要问题是使液体处于静止状态。环境的微小震动、温度的变化、气流等都 会使液体表面处于不断的“波动 中，使测量无法进行。此外，还应该选用粘度较大， 本身比较均匀和清洁的液体。常常用作标准参考平面的液体有液态石蜡，扩散泵油和水 3 l 绪论 硕十论文 银等。需要特别注意的是，医用液体石蜡使用时容易受到外界影响，一旦振动后，需要 很长时间才能稳定下来。水银本身比重大，受外界干扰后能很快稳定下来，但是水银蒸 汽有毒，水银表面容易氧化。另外，水银表面有很高的反射率，如果被测表面反射回去 的光强度太弱，则所形成的干涉条纹对比度较差。为此可以事先在被测平面上镀一层分 光膜，以增加反射光的强度，但是膜层一定要均匀2 】【6 】。 r e f e r e n c e p u 汀e i n t e r f k 呀b l 皿肾一- u 呈 囫每j 闲 ( g r a n z t et a b l e ) )( 图1 1 液体平面绝对检验原理图 由此可见，用这样的液体表面作为基准参考面是很理想的，但液体平面易受干扰， 机械震动、毛细作用、蒸发、灰尘影响、温度梯度、静电荷分子引力作用、外界磁场作 用以及液体的自身不均匀性都会使液面曲率发生变化，同时使用液面作为干涉基准平面 时，被测光学平面必须水平夹持，这样由于万有引力作用引起的被测平面下垂也会引入 一定误差，因此这种方法一直难以在生产中实用化。 1 3 2 三面互检法 1 3 2 1 三面互检法基本原理 g s c h u l z 和j s c h w i d e r 在1 9 6 7 年到1 9 7 1 年提出并发展了无基准平面的平面绝对检 验法，即三面互检法【3 训。在菲索干涉仪上，三个平面两两干涉检验，就可以求解得到 三个面沿着y 轴上的面形分布。在传统的三次测量基础上引入第四次测量，将其中一组 测量中测试面位置上的平面相对旋转一定的角度，就能增加得到一条直径上的轮廓误 差，以此类推，旋转n 次就能求得n 条直径上的轮廓误差。如果要获得整个面的数据， 实验复杂，处理麻烦。 如图1 2 所示，三块平晶各取一个面，则共有三个被测平面，分别设为a 、b 、c ， 两两一组分别置于菲索干涉仪的参考面位置和被测面位置，从干涉条纹图中得到一系列 由各自平面面形误差而造成的空气隙厚度。通过测量干涉波面可以计算得到三个平面的 绝对面形。坐标轴方向如图1 2 所示，可以发现位于参考面位置上的平面在x 方向上有 4 士论文光学平面与五棱镜绝对检验方沾研究 聪渤粥 十 i 州t b o r y ) 囊 s t e pi ：日 y ) y ) ( 13 1 ) 日e p2 州 y ) c 帆坩 图1 2 三面互检测量原理图 设x = 0 ，通过式( 131 ) 可以计算得到y 方向上的面形偏差，计算公式如下 ( 0 ，力= m , ( 0 , y ) + m 1 2 ( o , y ) - m 3 一( o , y ) 她 ：m ( o y ) + m 3 ( - o , y ) - m 2 一( o , y ) ( 1 3 2 ) c ( o ，y ) ：m 2 ( o , y ) + m 3 ( - o , y ) - m , 一( o y ) 如果再增加一次钡4 量，即将平面b 旋转1 8 0 。后测量一次，可以得到： 厶= 皿j ，一，) - i - c ( x ，y )( 1 33 ) 则z 轴方向上的面形计算公式为： 痧。急坳 ，fi、， ，f、， 硕上论文 a ( - 邶) ：坦塑些掣生些垫塑 口“，0 ) = m , ( o , x ) + m 4 _ = ( o , x ) - m 2 ( o , x )( 134 ) c ( x ，0 ) = m 2 ( o , x ) + m 4 _ ( o , x ) - m i 一( o , x ) 传统的三面互检三次测量可以求出三个面沿一个方向( y 轴) 上的面形偏差，增加一 次测量可以获得三个面沿着两个方向( z 轴、，轴) 上的面形偏差。通过增加一次或一次 以上的测量就可以获得更多方向e 的面形数据。 13 22z e m i k e 多项式拟台法 f r i t z 在1 9 8 4 年提出了一种新的处理方法f 1 9 i 他利用z e m i k e 多项式函数形式的旋 转不变性，将所有波面用最d - - 乘法进行拟合，用z c l d i k e 多项式作为基底函数，这样 每一个波面都可以写成z e r i l i k e 多项式的组合。根据不同的波面对称方式分成四组，分 别求得三个波面各自的z e m i k e 多项式系数。这种方法的优点是测试整个波面可程序化， 便于计算机辅助处理。该方法的局限性在于波面拟合使得高频信息丢失，此外对于太口 径平晶，旋转造成试件受力条件变化，从而影响面形。 勘， 吖_ 雷渤 图1 3z e m i k e 多项式拟台法测量原理图 在传统三面互检测量的基础上增加一次旋转测量。利用z e m i k e 多项式函数形式的 旋转不变性，将所有波面均用最小二乘法进行拟台，用z e r n i k e 多项式作为基底函数， 这样每个波面都可以写成z e r n i k e 多项式的组合，根据不同的波面对称方式分成四组， 分别求得三个波面各自的z e m i k e 多项式系数。即： 硕士论文光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 馁 彳( 吖，j ，) + c ( x ，y ) a ( - x ，y ) + 8 ( x ，y ) 4 ( 一x ，y ) + b ( x ，y ) c ( 吖，y ) + 8 ( x ，y ) 用z e m i k e 多项式表示上述关系，可得： 3 6 口， j = l 3 6 口， f - 1 3 6 口： # l 3 6 q ，= i z f ( - x ，y ) + c i f = l 3 6 z 卜石，y ) + 6 f f - l 3 6 z ，( - x ，j ，) + y b , i = 1 3 6 毛( - x ，j ，) + z b , z f ( x ，y ) = z f ( x ，y ) = z f ( x ，少) = z f ( x ，y ) = ( 1 3 5 ) 其中，a ，、岛、c ，表示a 、b 、c 三个面第f 项z e m i k e 多项式系数，未知量。a ，表示平 面c 旋转后第f 项z e m i k e 多项式系数。d ，、e ，、z 、g ，表示四次干涉波差面的第f 项 z e m i k e 多项式系数。z 。( x ，y ) 表示直角坐标系中第f 项z e r n i k e 多项式。 求得三个面的z e r n i k e 多项式系数，就可以用z e m i k e 多项式拟合出三个面的面形误 差函数。对于z e m i k e 多项式前3 6 项，三个面的系数解表达式可以分为四类： ( 1 ) 旋转对称项 ( 扛1 ，4 ，9 ，1 6 ，2 5 ，3 6 ，即多项式中不含0 的项) 口i ：生盟+ 堡! 丛 42 b j ：半一口 ( 1 3 7 ) ， 、 c f = d i - a ( 2 ) 关于x 的偶函数但非旋转对称项 ( f = 3 ，5 ，8 ，1 1 ，1 2 ，1 5 ，1 7 ，2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 1 ，3 2 ，3 5 ，即多项式中含 有s i n o 、s i n 3 0 、s i n 5 0 、e o s 2 0 、c o s 4 0 的项) 铲半 b f = e f - a f c i = d i a ( 3 ) 关于x 为奇函数，且关于少为偶函数的项 ( 1 3 8 ) 7 石3 ，l 力 力 力 力 似 磊 勿 磊 磊 t q z 拍甓蒙蠹瑚 1 绪论硕士论文 项) ( 汪2 ，7 ，1 0 ，1 4 ，1 9 ，2 3 ，2 6 ，3 0 ，3 4 ，即多项式中含有c o s o 、c o s 3 0 、c o s s e 的 口f ：血兰巡 s n 6 j 电一生字 c f = a f - d ( 4 ) 关于x 为奇函数，且关于y 为奇函数的项 ( f 6 ，1 3 ，1 8 ，2 2 ，2 9 ，3 3 ， ( 1 3 9 ) 即多项式中含有s i n 2 0 、s i n 4 0 的项) 口：a 垫= ! 坠鱼 s 一 仇：旷半 ( 1 3 1 0 ) c = a i d 其中： 仫三搿； 3 m ， h = s 咄玎巾) 、。7 求出四类z e m i k e 的多项式系数，从而得到三个面的z e m i k e 多项式系数，则三个面 的面形误差函数就可以表示为： 3 6 彳= ya ， 一 f - l 3 6 b = y 6 ， - 一 i = 1 3 6 c ；y c ； z - 一 i - - 1 毛( 五y ) 乙( x ，y )( 1 3 1 2 ) 1 3 2 3 奇偶函数法 上个世纪9 0 年代亚利桑那大学光科学中心c a i 和j w y a n t 等人提出了新的算法， 称为“奇偶函数法 1 4 - 1 5 】。这种方法不需要进行最小二乘法计算和多项式拟合，可以简 便地求出三个面的绝对面形。原理是将面形函数分成奇奇、奇偶、偶奇、偶偶函数项， 根据函数的对称性，当平面翻转或旋转时，各函数分量前面的正负符号会变化，从而某 些项在经过适当的数学处理后可以消去，其中偶奇函数、奇偶函数和偶偶函数都很容易 求得，而奇奇函数在极坐标中可表示为不同基频正弦函数的组合，用不同角度的旋转测 试得到相应基频的正弦组合。 8 硕士论文光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 在直角坐标系中，任何一个一维函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数的组 合，例如： f ( x ) = v o + e ( 1 3 1 3 ) 其中，f ( x ) 表示以x 为变量的一维函数，下标0 和e 分别表示奇函数和偶函数。其 奇函数和偶函数分别有如下的性质： f ：f ( x ) - f ( - x ) 口 f ：型查幽( 1 3 1 4 ) p 同样，在直角坐标系中，任何一个二维函数可以分解为偶偶函数、偶奇函数、奇偶 函数、奇奇函数的组合，例如： f ( x ，y ) = 兄+ c 。+ 疋+ 瓦 其中，f ( x ，y ) 表示以x 、y 为变量二维函数，下标e e 、e o 、 函数、偶奇函数、奇偶函数、奇奇函数，分别有如下的性质： ( 1 3 1 5 ) o e 、o o 分别表示偶偶 f：f(x,y)+f(-x,y)+f(x,-y)+f(-x,-y) 韶 4 f：f(x,y)-f(-x,y)-f(x,-y)+f(-x,-y) f f ( x ，y ) + f ( - x , y ) 一4 f ( x , - y ) 一f ( 一x ，一y ) ( 1 3 1 6 ) ，钟一了一 f：f(x,y)-f(-x,y)+f(x,-y)-f(-x,-y) ” 4 假设有如下两个算子： ，j ( x ，y ) = f ( x ，y ) 】x = f ( 一x ，y ) 【f ( x ，y ) 】。= f ( x e o s 0 + y s i n 0 ，- x s i n 0 + y c o s 0 ) 可以推导出，任何一个二维函数可以近似表示为： f ( x ，y ) 兄+ 屹+ 兄+ 瓦，2 瑚+ 瓦，4 d d d b 绝对检验可以通过如下六次测量进行，即： m l = a + b m ：么1 。+ b x m 3 = a 。+ b x m 4 = a 4 5 + b x m 5 = a + c x m 6 = b + c x ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) ( 1 3 2 0 ) 9 l 绪论硕上论文 可以推导出如下计算公式，可以计算得到a 、b 、c ： la 色+ a 。+ a + a o o , 2 0 d 湘+ a o o ，4 砌舶 b 吃+ 吃+ 瓦+ 瓦，2 0 姗+ 瓦，4 瑚 ( 1 3 2 1 ) i c 巳+ c o , + c , o + c o o 。2 瑚+ 巳，4 瑚 1 3 2 4 旋转对称法 1 9 9 6 年由c e v a n s 和r k e s t n e r 提出n 次旋转消除系统非旋转对称误差的测量法 。该方法将被测平面做玎次( 3 6 0 n ) o 的旋转测量，得到，2 次测量结果计算可以消除系 统的非旋转对称误差。 1 9 9 7 年，p h a r i h a r a n 分析了利用菲索干涉仪实现平面绝对测量的两种方法【1 7 1 。第 一种在有测试面和无测试面两种情况下，将参考面分别旋转珂步，可以获得两组数据， 而两组数据之差就是被测面的误差。第二种将三个平面两两比较，将平面旋转若干步， 只需要简单计算就可以获得面形结果，消除了随机误差，可以获得更高的精度。c e v a n s 对此作出了进一步评述和说明1 1 8 】。 2 0 0 1 年k f r e i s c h l a d 提出了旋转剪切的方法，这种方法也是基于传统的三面互检法， 可以用于平面或者球面的检测【l9 1 。首先进行传统的三次组合测量，然后选任意一组，多 次进行旋转剪切，运用傅立叶变换处理剪切波面，复原三个波面，从而得到三个面的绝 对面形误差。分析了误差主要来源于由噪声引起的随机误差、由调整光路引起的系统误 差以及由直角坐标系转化为极坐标系转换过程导致的插值误差。实际测量了1 5 0 m m 口径 的平面，结果显示测量精度为0 8 n m ( r m s ) ，消除可能的环境影响后可以达到0 2 n m ( r m s ) 。 2 0 0 1 年m k u c h e l 指出被测波前可以分为旋转对称部分和旋转非对称部分【2 0 】，不需 要将直角坐标系转换为极坐标，只需要几步旋转就可以测量得到波前的旋转非对称部 分。k u c h e l 提出了进行如下九次测量，可以实现比较精准的三面互检测量。 1 0 形( x ，y ) = 4 ( x ，y ) + b 聊( - x ，y ) ( x ，y ) = 8 ( x ，y ) + c ，o r ( 叫，y ) ( z ，y ) = c ( x ，y ) + 彳耐( ，y ) 呒( x ，) ，) = a ( x ，y ) + b ( - x ，y ) 岷( x ，y ) = b ( x ，y ) + c ( - x ，j ，) ( 1 3 2 2 ) 哌( x ，y ) = c ( x ，y ) + a ( - x ，j ，) ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，- y ) 畈( x ，y ) = b ( x ，y ) + c ( x ，少) 矾( x ，y ) = c ( x ，y ) + a ( x ，叫) 将上述结果分为旋转不变量和旋转因变量，分别写成矩阵形式，即： 硕七论文 饵r 训 4 ( x ，y ) 4 ( 一z ，y ) 4 ，一j ，) b ( x ，y ) 玩( - x ，y ) 鼠( x ，叫) c e ( x ，y ) c o ( - x ，y ) c o ( x ，一y ) 光学平面与五棱镜绝对检验方法研究 彤e ( x ，y ) o ( z ，力 呢e ( x ，y ) 呢o ( x ，y ) 呢e ( z ，y ) ，y ) o ( x ，少) ( x ，j ，) o ( x ，j ，) ( 1 3 2 3 ) ( 1 3 2 4 ) 求解式( 1 3 2 3 ) 和式( 1 3 2 4 ) ，可以得到旋转因变量和旋转不变量的计算公式分别为： | ； = ( 1 3 2 5 ) 4 ( x ，力= ：j t ( 。( x ，力一( 一x ，少) + ( 荫，j ，) j f ( z ，一y ) + ( x ，一y ) ) 岛( x ，y ) 2 孝( ( x ，y ) 一职。( 吖，少) + ( 一z ，y ( 1 3 2 6 ) 一彬o ( x ，叫) + e ( x ，- y ) ) c o ( x ，y ) = ( 矽磊( x ，y ) 一畈o ( 一x ，少) + 呢e ( 一x ，j ，) j 一陟，2 0 ( x ，一y ) + 阿，龉( x ，一y ) ) ， ， ， ， ， ， ， p ， 畋 o 0 o 0 0 o o 1 o o 1 1 o l 1 0 l 1 _ o o o 0 1 o o 0 o 1 1 0 1 1 0 1 1 0 o o 1 o 0 1 0 o 1 l o l 1 o 1 1 0 1 o o o 0 o 0 1 o o 0 o o 1 0 0 o o o o 1 o 0 1 o 0 1 0 0 o 0 0 o 0 o o 1 o o o 0 0 1 o o o l o 0 1 0 o 1 o 0 呢k 1j l ，- - _ l i一 1 1l l 1 一 i 1 1 _ 1 l ，工_ 1 l l - l 1 1 - 一 l 1l 1 1 一 ，一6 1 绪论 硕上论文 将各个面的旋转不变量部分和旋转因变量部分相加，就可以得到最后的面形结果。 1 3 2 5 镜面对称法 2 0 0 6 年u g r i e s m a n n 提出了基于简单镜面对称的三面互检的计算方案【2 l 】，较之于之 前的双重镜面对称和旋转对称的处理方法更加简单，这种方法被认为是最简单的方法。 u g r i e s m a n n 等人在2 0 0 7 年又研究了基于旋转对称和镜面对称的绝对检验三面互检方法 中由机械装置所引起的面形变形【2 2 1 ，对于大1 3 径、重量大的被测物有重大的意义。他们 研究发现：对于变形量中镜面对称部分，可以通过基于镜面对称和旋转对称的平面测试 结果比较而得。他们提出了一种测量三面互检中三个面由安装引起的相同的变形的计算 方法。这种崭新的方法使得在测量获得三个平面的波像差的同时，获得安装引起的变形 结果，并且给出了三面互检不确定度的公式。 镜面对称法的原理是基于一条轴线的镜面对称。该方法的数据计算量小，并且只需 要取一条对称轴，不需要再取与此正交的第二条轴线。当波面的二维函数关于y 轴对称 的时候，即： 形( 一x ，j ，) = w ( x ，y )( d 2 y d 2 )( 1 3 2 7 ) 因此，当函数关于y 轴取镜像的时候，可以将其分为镜面不变量和镜面因变量，即 镜像时大小不变的量和大小改变的量。为简便起见，以下函数省略变量书写。根据式 ( 1 3 1 4 ) 对于偶函数和奇函数的定义以及式( 1 3 1 7 ) 定义的 r 算子，波面形可以写作： 脐r 二- w m 3 瑚， | 形。】。= 。 、7 在极坐标下，半径为d 2 的圆环构成的波面l v ( r ，巾) ，定义旋转算子 】r 表示方位平 均值： r 驴) = 形( ，巾) 】r = 去j ：“( ，巾) 脚 ( 1 3 2 9 ) 可见【】只是旋转不变的，即： r v ( r ，巾) 】足】月= 吵( ，巾) r = w 只( ，)( 1 3 3 0 ) 则波面r v ( r ，巾) 可以写作旋转不变量和旋转因变量，即： w ( r ，巾) = p c r ( ，) + n ( r ，巾)( 1 3 31 ) 其中，f 2 ( r ，巾) = r v ( r ，巾) 一w 尺( ，) 表示旋转过程中不断变化的量。 对旋转因变量n ( r ，巾) 使用算子【】足，可以得到以下性质： 【q ( ，巾) 】尺= w ( r ，巾) 一形r ( ，) 】r = w r ( ，) 一w r ( ，- ) = 0( 1 3 3 2 ) 再引入旋转变化。则镜面对称部分和镜面非对称部分又可以分为写作旋转不变量和 旋转因变量，即： 硕论文光学平面与i 棱镜绝对检验方法研究 茹譬筹 ，竭 惭苍0 2 似 。， i 【。 8 = 、 ，i 蕾 勘 图l4 镜面对称法测量原理图 用矩阵表示瞰叽，如下： 彤幢y ) ( z