（光学专业论文）利用相干控制的原子库产生纠缠辐射的研究.pdf

摘要 量子纠缠是指多体系统各部分之间的相关与不可分离的特性。它是一种非局 域的量子关联，是量子系统独有的物理属性。纠缠是量子信息处理的基本资源， 因此纠缠制备十分必要。然而，纠缠态容易发生退相干的变化，十分脆弱，人们 便不断的寻求方便易行的实验条件和方法去制备较为稳定的纠缠态。近年来，关 于纠缠态的制备有许多的研究，如：利用辐射过程中的关联态制备；利用腔内单 光子的交换制备；利用单个囚禁原子或光纤中的克尔非线性介质等等。我们对于 原子的相干效应较为感兴趣。原子相干会产生许多新效应，比如：相干布居捕 获，电磁诱导透明，无反转激光，以及自发辐射的控制等等。利用原子的相干效 应来获得连续交量的纠缠或光的福克态的e p r 纠缠已获得证实可行且较为方便。 本文研究发现，可以通过相干布居捕获来控制原子库，利用该原子库能产生 纠缠辐射。我们选取了三能级模型的原子作为原子库，与双模光场作用。原子初 始制备在近相干布居捕获( c o h e r e n tp o p u l a t i o nn a p p i l l g ，简称c p t ) 态，作为相 干原子库与光场发生较长的作用。腔模与原子偶极跃迁的拉比边频共振，四波混 频使得腔模放大。腔模演化为e i n 8 t e i n p 0 d o l s k y - m ) s e n ( e p r ) 态，其纠缠度由驱动 场的强度和频率控制。长时间的c p t 相干抑制了原子束的自发辐射，使得模式较 为牢靠通过修饰变换，旋转交换及偶极近似，并选择合适的参数和条件，通过 一步过程产生了较稳定的双模纠缠态。 关键词：量子纠缠，原子的相干效应，原子库，连续变量的纠缠，相干布居 捕获，四波混频 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t q u 驰t u m 衄t a n 誊e m e n ti sac 0 鞠融a t i v ea n di 憋e p a r a b l ep r o p e r t ya m o n gt h e p 砒so ft h eq u a n t 啪科s t e m s t h a ti st h e 玎伽一l o c a lc o r r e l a t i o n ，w h i c hi st h es p e c i a l l p r o p e r 锣0 ft h eq u a n t u ms y s t 锄e n 专锄尊e m e n ti sab a s i cr e s o u r c eo ft h eq u a n t u m c o m m u n i c a t i o n ，s ot h ep r e p a r a t i o no ft h ee n t a n 寸e m e n ti se s s e n t i a l h o r e v e r ，t h e d e c o h e r e n c ew o u l do c c u ra m o n gt h ee n t a n g e l e ds t a t e se a s i l y ，w h i c hl e a dt h ee n t 卸一 舀e m e n tt ob ef r a 舀l e s ot h em e t h o d0 fp r e p a r a t i n gt h er o b u s t ，s t e a d y a n dh i 曲 e n t a n g l e m e n th a v eb e e ns o u g h tt oc o n s t a n t l y s i n c et h e n ，t h e r ea r em a n ye x p e r - i n l e n t st oa c h i e v et h ee n t a n 舀e m e n t t i h ee ) c p e r i i n e n t sr a n g ef r o mi nac o r r e l 锄e d s t a t eb yar a d i a t i v ep r o c e 豁，t oe x d i 觚g eas i n 百ep h o t o n si nt h ec a v i t y ，t om e d i a t e b yas i n 舀e 乞r 印p e da t o mo rl l s i n gt h ek e l l cn o n l i n e 撕t yo fa no p t i c a l 五b e r ，a n ds 0 o n w ba r em o r ei n t e r e s t i n gi na t o m i cc o h e r e n c ee 珏t a t o m i cc o h e r e n c eh a v el e d t om a n yn o v e le 舵c t ss u c h 嬲c0 _ h e r e n tp o p u l a t i o nt r a p p i n g ( c p t ) ，e l e t r o m a 弘e t i c i l l d u c e dt r a n s p a r e n c y l 画n gw i t h o u ti i l 、r e 陷i o n ，a n dc o n t r o ls p o n t a n e o u se m i s s i o n i tw a ss h o w nt h a te i n s t e i n - p o d o l s k y - 胁e n ( e p r ) e n 乞a n 对e m e n to fc o n t i n u o 璐v a 小 a b l e so rf o c l cs t a t e so fl i 曲tc 卸b eg e n e r a t e db yu s i n ga t o m i cc o h e r e n c ee 行e c t s ， w h i c hi sf - e a s i b l ea n dc 0 i l v e n i e n t i nt h i sp a p e r ，w es t u d i e da n dd i s c a v e r e dt h a tt h ea t o m i cr e s e o i rc a nb ec o n - t r 0 u e db yc o h e r e n tp o p u i a t i o nt r a p p i n g ( c p t ) w ec o u l da u c l l i e v et h ee n t a i l 舀e m e n t b yt h i sa t o m i cr e s e r v 西r w ，ec h o o 伽om o d e l s0 ft h r e e - l e v e la t o m 8 弱t h er e r - 、r o i rt oi n t e r a c tw i t ht h e 胁m o d e l i g h tc 撕t y ab e a mo ft h r e e _ l e v e la t o m 8 砌- e i n i t i a l l yp r e p a r e di nn e a rc p ts t a t e 觚da c t 硝1 0 n g - l i v e dc o h e r e n c e - c o n t r 0 u e dr e r v c 赶 f 0 u r - r a 、任n 施gl e a d 8t 0 锄p 陋c a t i o o fc a 订t ym o d 髑r 鹤o n a n t 硒t hr a b i s i d e b a n d s0 ft h ea t o m i cd i p o l et r a n s i t i o 璐t h ec a 、r i t ym o d 鹤e v o l v ei n t oe p r 8 t a t e ， w h o d e 伊e eo fe n t a n 舀e m e n ti sc o n t r o i i e db yt h ei n t e n s i t ya n dt h e 矗e q u e n c i e so ft h e d r i 咖i6 e l d s t h i ss d h e m eu s et h el o n g - l i v e dc p tc o h e r e n c ea n di sr o b l l s ta g a i 璐t n s p o n t 柚e 0 岫e m j 晒i 帆0 ft h ea t o m i cb e 眦t l h r o u g ht h e 抵鸥e dt r a n s f 0 珊a t i o n ，t h e r o t a t i o nt r 觚s f o l m a t i o n ，t h e 出p o l ea p p r 洳a t i o n ，觚dc h o o s i n gt h ep r o p e rc o n d i t i o 璐a j l dp a r 锄e t e r s ，t h er o b u s tt w o - m o d ee n t a n g l e m e n ti sa c l l i e v e db yo n e - s t e p k e yw o r d s ：q u 觚t 眦e n t 趿g l e m e n t ，a t 砌cc o h e r e n c ee 妇k c t ，a t o m i cr e s e r v 蜕r ，e n t a i l d e m e n to fc o n t i n u o u 8v 撕a b l e s ， c o h e r e n 乞p o p u l a t i o nt r a p p i n g ( c p t ) ， f 0 u r - w 瓣m i 虹n g m 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 李高 日期：2 缈8 年z 月乙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 专扬 日期：砂明年6 月日言要兰3 年耀中啁日期：泐3 年占j 1 3 羔日。7 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程力，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞握銮蜃进蜃；旦主生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名 专岛 日期：渺g 年弓月2 日 导师签名： 劫刁侈向印习 日期：2 汐口雪年6 月三 日 第一章引言 1 9 3 5 年，奥地利科学家薛定谔提出了薛定谔猫”的佯谬，随后在量子力学中 引进了量子纠缠的概念及术语，并称它为量子力学的精髓”f 1 1 ；而在量子力学的 完备性与否的激烈讨论中，爱因斯坦等人发表的著名的”e p r 佯谬 ，其中也包含 了纠缠的概念( 2 】。量子纠缠反映了量子理论的本质内容一相干性、或然性和空间 非定域性，目前在量子计算和量子通信中有广泛的研究和应用。由于纠缠是量子 信息处理的基本资源，使得纠缠制备成为纠缠研究中的一项重要内容。我们知 道，纠缠态容易发生退相干的变化，十分脆弱，人们不断的寻求方便易行的实验 条件和方法去制备较为稳定的纠缠态。近年来，关于纠缠态的制备有许多的研 究，如：利用辐射过程中的关联态制备光子对【叫】；利用腔内单光子交换制备纠 缠原子【6 8 1 ；利用单个囚禁原子【9 】或光纤中的k e r r 非线性介质【1 0 】制备成对的纠缠 束等等。而我们对于原子的相干效应较为感兴趣。原子相干会产生许多新效应， 比如：相干布居捕获【1 1 】，电磁诱导透明【1 2 1 6 】，无反转激光【1 7 - 2 0 1 ，以及自发辐 射的控制【2 1 2 4 】等等。利用原子的相干效应来获得连续变量的纠缠或光的福克态 的e p r 纠缠已获得证实，可行且较为方便。 p i e l a w a 等人f 2 5 】证实了可以利用原子的相干效应获得e p r 纠缠态。这些原子 作为库在任意的时刻飞入腔内。而四波混频的过程使得辐射进入腔的两个模，它 们与强相干场驱动的原子偶极跃迁的拉比边频共振。稳态时，腔模处于e p r 态， 其纠缠度由横向场的强度和频率决定。这个模型适用于微波领域。不过，要实现 这个模式是需要两个连续的步骤的。对于这两个步骤，原子分别经历不同的动力 学过程。两步过程要求原子场失谐量的改变，它是利用外经典场或调制驱动场来 完成的。显然，有必要将两步过程简化为一步过程。这样，我们便可以简化实验 步骤，并且节省一半的操作时间。同时，我们也需要利用长久一些的相干来抑制 自发辐射，从而加强该模式的牢靠性。为此，我们考虑选取的两个特殊的三能级 的原子系统，这些三能级原子初始制备在近c p t 态，以作为一个长久相干依赖的 库。随后，我们选择合适的模型和参数，结果一步便获得了稳态下的双模压缩态 1 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s ( e p r 态) ，简化了实验步骤，节省了操作时间：其次，利用了近c p t 态，使得 模式有效地抑制自发辐射更为牢靠，可以应用在微波领域和光波领域上，一定程 度上拓宽了应用的范围。 本文作如下安排。第二章介绍了库理论等其它将要用到的基础理论知识。第 三章介绍了纠缠制备的最新进展，并介绍了一种有效的判断连续变量纠缠的判断 方法。第四章介绍了用c p t 控制原子库获得纠缠辐射的内容。第五章是本文工作 的总结和展望。 2 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 第二章基本理论 本章介绍了本文将会用到的些基本理论：首先介绍了库理论的基础知识； 然后介绍了相干布居捕获( c p t ) ，介绍了c p t 的特殊性质和特点，使得它有着较 为广泛的应用：最后我们介绍了一种非线性过程一一四波混频的特性，它同样有 着较高的应用价值。 2 1 库理论简介 量子光学的许多领域中，我们感兴趣的常常是所研究系统的一个部分f 2 6 】， 例如：在激光问题中，我们需要知道场，而对于原子的情况并不特别有兴趣。因 此，我们常常把感兴趣的系统简称为”系统”，而将认为次要的系统称为”库”。这 样，我们就可以在薛定谔表象( 或相互作用表象) 中应用约化密度矩阵的方法， 也可以在海森堡表象中应用噪声算符的方法将库消去。两种方法有各自的优势， 本节以一个简单的模型来说明库理论，主要介绍一下本文主所用到的密度算符的 方法。 考虑一个代表依赖于时间的电场的简谐振子与一束二能级原子的耦合，这些 原子中有一些初始就是被激发了的。原子能量分布为一个温度t 确定，由如下的玻 耳兹曼分布给出： 薏。唧( 一鼬七b t ) ， ( 2 1 ) 式中和n 分别表示每秒钟通过腔的处在高能级中和处在低能级中的原子数( 如 图2 1 ) 。原子束对于简谐振子的影响作用就是使该振子与之处于相同的温度t 。 一般情况，场是用混合态描述，可以方便地用场密度算符表示 p ( 亡) = 焉i 雪) ( 皿l ， ( 2 2 ) 霍 这里r 是场具有态矢妒的几率。 若考虑一个单原子渡越所引起的小变化， 印( t ) = p ( t + r ) 一p ( t ) ，( 2 3 ) 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l 妇o n a n c e c a v l 哆 t 细：t a - _ 一a 图2 1 ：描绘二能级原子通过共振腔：初始时刻0 = 0 ) 它们或是处在高能态l q ) 或是处在低 能态1 6 ) 。每秒有r 口个原处于i 口) 的原子通过腔，有r 6 个原处于1 6 ) 的原子通过腔。这些原子与 场发生相互作用，使场与之共处于一个平衡的温度t 下，t 可由( 2 1 ) 式确定。 式中j p + 下) 由关于原子一场耦合系统的薛定谔方程的一个积分确定。下面这个和 式就给出p ( 亡) 的”粗粒 时间变化率： 声( t ) = r 口( 纠d + ( 6 ， ( 2 4 ) 式中( 泐口和( 6 力b 分别表示与注入的高能态原子和低能态原子相互作用所引起的变 化。方程( 2 4 ) 是一个平均时间变化率，它就不能描述围绕该平均值的起伏，需要 引入噪声算符，这里就不讨论了。 对原子一场耦合系统积分有两个方法。第一种方法：应用运动方程求出时 刻t + r 时的原子一场联合密度算符几一，( t ) ，采用初始条件 加一，( t ) = p ( t ) oi 卢) ( 声i ， ( 2 5 ) 在此式中，初始场密度算符p ( t ) 与一个注入能量本征态i 卢) 的原子初始算 符i 卢) ( 卢i 作”外积 。场算符p + 丁) 对原子坐标取矩阵迹得出 p 【t + 丁) = t r b t m p 口一，( t + 7 ) ) ，( 2 6 ) 4 第二种积分方法是求关于原子场的一个单态耦合的态矢l 化一，( t ) ) 。所得的原 子场密度算符是 几一， + r ) = 昂j 札一， + 力) ( 讥一， + 7 一) l ， ( 2 7 ) 母 然后将它代人( 2 6 ) 式求p + 7 ) 。原子一场联合态矢的初始外积 i 饥一，( t ) ) = i 矽( t ) ) i p ) ， ( 2 8 ) 式中i 砂( t ) ) 是出现在( 2 2 ) 式中的任一态矢。原子束库问题以一种简明的方式具体说 明了库的概念以及粗粒时间微商。 现在完全从算符的观点来考虑系统库相互作用。考虑一个系统a ，它与库b 相 互作用。组合密度矩阵记为纵口，而系统的约化密度算符可将( 2 6 ) 式推广对库坐标 取阵迹得出 肌( t ) = t 7 - 口 纵b ( t ) ) = 俾l 纵b ( t ) lj e i ) ， ( 2 9 ) b 在初始时刻古，系统和库被认为是无关联的，因此如口( t ) 的初始值由外积 肌口( 亡) = 肌( 芒) o 肋( 亡) ， ( 2 1 0 ) 给出，有如( 2 5 ) 式。采用相互作用表象，纵日的运动方程是 以b ( t ) = 一去【玖b ( 亡) ，阻b ( t ) 】， ( 2 1 1 ) 用迭代法解此方程，对诸b 子系取阵迹得p0 + 7 ) 纵 + 力= z ，日 纵b ( 亡+ r ) ) = 7 ，日毛阻( t ) op 口( t ) + 车( 一玑件下砒z h 如rz “1 以 ( t 1 ) ，) ，( “) ，纵( t ) 圆阳( t ) 】m ，( 2 1 2 ) 这里 以 + 丁) = n 肌( t ) o 肋 = 肿) 一1 5 硝p ( f ) ，纵( t ) 圆舶( t ) + ) ) ，肌( t ) 。肋【亡) 】+ ， ( 2 1 3 ) 阿 f t， 广以 ；元 抽 一 t 力 耐 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中，第一项为系统a 初始密度矩阵，第二项是由系统b 相互作用产生的关联。 为了具体说明这个公式化方法，现在再次考虑被原子束库所阻尼的简谐振 子，如图2 1 。处在高、低能级诸原子玻耳兹曼混合态的初始原子密度矩阵是 m t o ，。，= z 一1 ( _ 7 i c “七口? 乙。一氘七b t ，) = ( ：) ，c 2 1 4 ， oe 印( 一砒协七b t ) o舳 式中归一化因子 z = e x p ( 一j i b + e ) 币( 一忍如七日t ) ，( 2 1 5 ) 方程( 2 1 ) 中的频率是由差凸一u b 给出。( 2 1 2 ) 式所需要的共振相互作用算符为 y = 幻盯口t + c c = 幻( 三，：) ， c 2 1 6 ， 保留至y 的二级项，并利用y 对时间的依赖关系，可由( 2 1 2 ) 式得到如下相当简单 的结果 p0 十r ) = 所。埘 + 7 - ) = p ( 主) 一丢仉姗【v 纯一，( z ) 】一丢( 丢) 2 7 凡姗f v f k 风一，( ) h ，( 2 1 7 ) 应用( 2 1 4 ) 式，p 口一，( 亡) 的初始条件是 风，c t ，= p c 。( 2 ) = ( p ) ( 2 1 7 ) 式中的一级贡献只含非对角元 m 几一，( t ) 】= 幻 ( 三，肛m p 。t ，：朋嗨p ( t ) 一( 2 p 。t ，口，p ( 亡) 。) 幻( 三，n m p 。t ，一向陆p 。t ，一三朋蚰p ) 一a 嵋p ( t ) 。) ，口加护( 1 ) 一加p ( t ) 口t o ( 2 1 9 ) 6 82 、lij， o m 应用( 2 1 6 ) 和( 2 1 9 ) 式，可以计算二级对易子 【k 【k 风一，( t ) 】= 炉9 2 ( 三一p p 一。p j 晒p t 。兰，。吣p ( t ) 一一p p ( 亡) 口) + c c 、od 7 d p 砧p ( t ) 一口t p p ( 亡) 口， ( 2 2 0 ) 将( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 式代人( 2 1 7 ) 式，得出 p ( t + f ) 竺p ) 一9 2 7 1 2 【( 口n p g t 纠p + ( a t n p o 舯) m + c c 】， ( 2 2 1 ) 于是，p ( 丢) 的粗粒时间变化率就由下式给出： 声0 ) = r p 0 + 7 - ) 一p ( 亡) 】， 式中r 是每秒钟原子注入的速率。= r 风口，= r 加。从而得到 ( 2 2 2 ) 11 声( 亡) = 一寺盹( 8 8 p 一口胆) 一言睨( 8 印一唧) + c c ， ( 2 2 3 ) 式中吼= 夕2 7 2 ，喻= r 诏2 r 2 ，为速率系数。易证得，光子数矩阵风m 的运动方程 是 磊m ( t ) = p n m l i d ) 岫+ 以m i i a t 。m 。 = 一去【蹰口( 礼+ 1 + m + 1 ) + 瓤( 死+ 7 功】砌m + 翼。 嫩硝l l 。m l + 喻【+ 1 ) ( m + 1 ) 】1 2 陬+ 1 朋+ 1 ，( 2 2 4 ) 从而平均光子数伽( t ) ) 的运动方程是 墨( n ( t ) ) = 一乳口咿 + ( n ) 卜( 舻) + 晚( m 2 一m ) 胁+ 耽( m 2 + 2 m + 1 ) = ( 一) ( n ) + 吼， ( 2 2 5 ) 平均场俾( ) ) 的运动方程 晏( 锄= 一壶喻惋+ 1 ) - 1 ( 科一州釉， ( 2 2 6 ) 7 用中的腔的品质因子q 值表示，方程( 2 2 3 ) 具有如下形式： p ) = 一三苦 元p 一一叫+ ( 1 ) p 一一叫) + c c ( 2 2 7 ) 其中磊为平均光子数。 2 2 相干布居捕获 在双光子共振条件下，初始处在相干叠加态的原子，在与双模光场作用时， 原子的粒子布居出现稳恒的状态，这种现象称为原子的相干捕获。下面举例说明 解释： 考虑人型三能级原子与两光场作用时的相干布居捕获的现象，如图2 2 。频 率为恍和拉比频率为q 。的光场与能级1 2 ) 和1 3 ) 耦合，频率为和拉比频率为q p 的 光场与能级1 1 ) 和1 3 ) 耦合。l 一3 和2 3 之间的跃迁速率分别为能和仇，假设能 级1 1 ) 和1 2 ) 之间的跃迁是偶极禁戒的。在旋波近似下，该系统的哈密顿量为 图2 2 ：三能级a 型原子与两光场相互作用模型 h = h n + h l ， 8 ( 2 2 8 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中自由哈密顿量 相互作用哈密顿量 凰= 鼬l 吼1 + 砒吻+ ，( 2 2 9 ) 研= 一害( e 咖f c r 3 t + q ；e 螂t 盯。3 + q 。e 一讥t 咖+ q ：e 饥t 吻) ， 旋转变换后，系统的哈密顿量可转换为 ( 2 3 0 ) 瑶= 尬1 锄3 + 毳( l 一2 ) 吻，( 2 3 1 ) 珥= 一罢( q p o r 3 l + 睇口1 3 + q 。仃3 2 + q ：口2 3 ) ， ( 2 3 2 ) 其中失谐量1 = 蛐1 一吻，2 = 呦一魄。蛐1 和蛐2 是两个跃迁的中心频 率。( 2 3 2 ) 式可以演化为 珥= 一耋q ( 竺纠学( 3 l + 1 3 ) 塑j _ 学) ， ( 2 3 3 ) 定义 q = 、i 1 2 + i q 。1 2 ， ( 2 3 4 ) 双光子共振条件下( 1 = 2 ) ，有 磁= 危1 ，( 2 3 5 ) 岛= 一号q ( i + ) ( 3 l + 1 3 ) ( + i ) ， ( 2 3 6 ) 其中 | + ) = 署1 1 ) + 普1 2 ) ， ( 2 3 7 ) 由式可看出，只有i + ) 态与场作用，所以称此态为亮态。而与亮态l + ) 正交的 态i - ) 可写为 l - ) = 鲁1 1 ) 一鲁1 2 ) ， ( 2 删 这个态没有与场作用，通过计算可知态l 一) 为系统哈密顿量的本征态，对应的 本征值为零，毋| - ) = o ，我们称这个态为暗态。该系统中，原子由于1 3 ) _ + ) + l _ ) 图2 3 ：在双光子共振条件f ，与圈等价的修饰态就级图。在祸合场作用卜，既级l + ) 上时 布居经过能级1 3 ) 转移到能级l - ) 上，从而导致布居捕获在暗态i - ) 上 1 2 ) 和1 3 ) _ 1 1 ) 之间的相消干涉，处在暗态卜) 的原子没有被场激发。下面计算该情 形下，原子的布居数。自发辐射对暗态的形成是没有影响的，因此为方便计算， 在计算过程我们可以不考虑自发辐射。 在旋波近似和偶极近似下，主方程为 声= 一圭【日，d ， ( 2 3 9 )p 2 一元【爿，纠， 哆j y j 且有布居守恒p l l + 助+ 细= 1 ，我们可得到密度矩阵元的运动方程 勉= 譬p 3 2 一譬助， ( 2 4 0 ) 知= 譬助譬触+ 譬以3 一譬 ( 2 4 1 ) 腑= 下助彳触十亏以3 一彳船l ， l j -_ _ 硒= 一讼内2 + 孚( 彻一腑) + 譬锄， ( 2 4 2 ) 西，= 一i 船，+ 譬( m ，一j 1 9 3 3 ) + 譬晚。， ( 2 4 3 ) a 3 = 譬旷誓助， ( 2 初态为期= 0 ，得上述方程的稳态解 触= 群， 仁删 一群白， 仁 这说明在双光子共振条件下，初态处于相干叠加态( 一q c1 1 ) + q p1 2 ) ) q 的原子， 在与双模光场发生相互作用时，原子布居出现稳恒的状态，这种现象就称为原子 的相干布居捕获( c p t ) 如图2 3 。 导致这种现象的原因是原子1 3 ) 一j 2 ) 和1 3 ) _ j 1 ) 两种不同的单光子之间存在一 定的干涉效应。而初始处于态( 一q c1 1 ) + 1 2 ) ) q 的原子由于这种相消干涉造成 原子光场相互作用系统彼此退耦合，使得原子处于态1 3 ) 上的原子布居为零。此时 处于1 2 ) 和1 1 ) 态上的布居不变，原子的相干性质也没有交，系统发生原子的相干布 居捕获。 2 3四波混频 四波混频是指有四个相互作用的电磁场参与的非线性过程。在弱相互作用情 况下，这是一个三级过程，因而是由三阶非线性极化率所决定的，与二级过程不 同，不管介质是否具有反演对称性，三级过程在所有介质中都是允许的。然而， 三级过程一般要比允许的二级过程弱得多，只是因为它们的极化率相差悬殊， 即l x ( 3 ) l 1 ) ( ( 2 ) i 。但正如m a k e r 和t e r h u n e 【2 7 】首先证实的那样，当用高强度激光 时，三级过程仍旧是很容易被观测到的。如果i x ( 3 ) i 显示出共振增强的话，但尤其 是这样。当用一个以上的可调谐激光辐射场作为泵浦光源时，甚至可激发i ) ( ( 3 ) i 的 多重共振。 由于四波混频在所有介质中都容易被观测到，而且变换形式很多，所以四波 混频已得到许多很有意义的应用。用它来把可调谐相干光源的频率扩展到红外和 紫外【2 8 1 。在简并的情况下( 即四个波都有相同的频率) ，四波混频对于自适应光 学中的波前再现是很有用的 2 9 ，3 0 】。另外，在材料研究中共振四波混频技术是有力 的光谱和分析工具。随着对各种非线性光学晶体性质的深入研究，四波混频技术 也日益成熟，已有共轭反射率超过2 0 0 的报道，因此利用四波混频能够产生高强 度的纠缠光子对。下面介绍一下四波混频的一些基本特性和一些应用。 1 1 波在非线性介质内的相互作用导致波的混频，会产生具有和频和差频的波 四波混频的理论几乎完全遵循光学混频的一般理论。为简单起见，假设介质是立 方对称的或各项同性的。下面分三种不同的情况来讨论。 a 三个泵浦场 令泵浦场为e m ( ) = 钿e ) ( p ( t k m r 一钇) ，其中m = 1 ，2 ，3 。如图2 4 。输出 场e ，( ) = 岛e x p ( i k 。r 一妣t ) ( 其中= l + 忱+ 蛐) 满足波动方程 f v 2 + 警) e s 一警p ( 3 小 ( 2 4 7 ) 式中p ( ) = x ( 3 ) ( u 。= u l + 忱+ 蛐) ：e ( u 1 ) e ( u 2 ) e ( 叫3 ) 。 茎歹口1 多口一张 耳 乓( o ) 丘( o ) e 乓( 1 ) - 专 二一 巨1 ) 图2 4 ：三种不同类型的四波混频 采用通常的慢变振幅近似和简化的边界条件，并假设泵浦场的消耗是可以忽 略的，这样求解式( 2 4 7 ) 给出 州加一赫x 赫双( 1 ) e 咱弘， ( 2 4 8 ) 1 2 式中 k = k ，+ i k ， = ( 醚+ 畦+ 砖一e ) + 珐( q “+ 蚴+ 呶一) ， ( 2 4 9 ) k 是波矢失匹，而q m 是波沿乏方向的衰减系数。 与光学混频过程一样，在这里相位匹配( k = o ) 也是头等重要的，因为它 可以大大增强信号输出。在四波混频中，只要适当调节三个泵浦波的传播方向就 能达到相位匹配，而这种调节的方式可以有无限多个。究竟哪一种光路配置在实 际上更可取一些，这常常需要视实际问题的考虑而定。 b 输出场与一个输入场具有相同模式的情况 在这种情况下，我们令忍i = e 3 z ( 如图2 4 ) 。那时输入场魄必然经受到由波的 相互作用所引起的放大或衰减。由于现在式( 2 4 7 ) 中有。= u 3 和k = k 3 ，就必须 有u 1 一忱，k = k 1 ( 甜1 ) + k 2 ( 峨) 。当可以忽略e l 和e 2 的消耗时，解就成为 s ，i ( 名) = 。( o ) e x p 睡( 名) 一q ，i z 】，( 2 5 0 ) 酵) = 一品嘏以触( 1 一产。毒) ， ( 2 5 1 ) & ( 名) 的实部表示增益。对于置i p t ) = ( 娩) 和= o 的特殊情况，得到 妣) 】= 等i m x 踟h 如 ( 2 5 2 ) 这个表达式可同拉曼增益的表达式相比较。 c 后向参量放大和振荡 这是四波混频的一种特殊情况，其中两个强波作为泵浦场，而两个反向传播 的弱波得到放大( 图2 4 ) 。这类似于参变放大的情况，其差别只是这里用的是两个 而不是一个泵浦场。两个弱波分别是信号波和空闲波。于是，它们的解也基本相 似。假设现在是完全地相位匹配的，这一点在该情况下是很容易达到的，并假设 可忽略泵浦场的消耗。于是得到沿千2 方向传播的信号场和空闲场，e 。和e i ，它们 分别为 叫刎愚印) c o s 譬+ t 薏( 2 引0 ) t a n 譬， ( 2 - 5 3 ) 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s p = j ) = 一i 薏( 鲁) v 2 以j ) t 粕譬+ ( 。) c o s 譬， ( 如4 ) 式中 等2 = 0 瓣) l k 最蜀 2 ， ( 2 5 5 ) 庀= 鍪毛x ( ( u 。= 一咄+ u 1 + 峨) ：自言1 龟， ( 2 5 6 ) 以及e 1 和e 2 是泵漓场。从( 2 5 3 ) 和( 2 5 4 ) 式可看出，当9 0 z 趋于7 r 时，自( o ) 和岛( z ) 都 要发散。这就出现了振荡，也就是说，即使不存在任何输入波，即岛( f ) = 岛( o ) = 0 ，也会产生输出。 在泵浦场足够弱即鲥1 ，和g 。( z ) = o ，以及岛( z ) = 矗( o ) 的情况，信号输 出的表达式应简化成一个有三个泵浦场参与的普通四波混频的信号输出的表达 式。四波混频有简并的和非简并的，由于四波混频的特殊性质，使得这两种四波 混频方式都可以产生纠缠，都能产生较为稳定的纠缠光子对。而本文也充分利用 了四波混频的这一优势。 1 4 第三章利用二能级原子库产生连续变量的纠缠 3 1 连续变量系统的纠缠判据 量子纠缠在量子信息各个方面中都有着重要的作用【3 1 】。一个重要的问题是， 检验一个一般混合的态是否是纠缠态。对于这个问题，p e r e s 提出了一个基于复合 密度算符【3 2 】的部分置换的不可分离的标准，给出了一个判断纠缠的充分条件。 随后，h o r o d e c l 【i 从不可分离的2 2 及2 3 维态上有效的证明了这个标准，并得 到了充分必要条件。然而，它对于更高维数的态则不适用【3 3 ，3 4 】o 最近许多关于 连续变量量子系统量子通信和量子计算的文章【3 5 - 4 1 】，连续变量的光学系统被用 于实验认识不确定的量子通信【4 2 】。因此，有必要去判断一个连续可变的态是否 是纠缠。d u a n 4 3 1 在文章中提出了一个的判断连续可变态不可分离的简单标准。 这个标准基于计算所有成对的e p r 态的变量。他们发现对于任何分离的连续可变 态，全部的方差限制在不确定关系所决定的确定值内，而纠缠态则可以超越这个 限制。因此，违背此限制就是一个有效的判断纠缠的条件。随后证明发现，一个 高斯态遵守一定的成对e p r 型算符的低限制，以保证该态的p 表示为正的分布，所 以可分离。因此，得到个所有高斯连续可变态的不可分离的充分必要标准。下 面进行阐述： 如果说两个模1 和模2 的量子态p 是分离的，则可以表示为如下形式： p = 鲰a lo 店2 ， ( 3 1 ) 其中，假设a l 和砌分别是是模1 和模2 的归一化的态，且玖o 以满足i a = 1 。一个最大纠缠的连续可变态可以表示为一对e p r 算符【2 】的共本征态，比 如：岔l + 勃和众一疡。因此，这些双算符的全方差对于最大纠缠的连续可变态降为 零。当然，最大纠缠的连续可变态并没有实体存在，但对于实体存在的纠缠连续 可变态( 双模压缩态f 4 4 】) ，这些方差将随着压缩度的增大快速趋于零。对于任意 分离的态，发现存在一个全方差的最低限度。对于更一般的情形，考虑类e p r 算 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 符的以下形式： 口= l 口l 岔l + 主窑2 ， ( 3 2 ) 1 o = i 口i a 一，( 3 3 ) 这里，设d 是任意( 非零) 的实数。对于任意可分离的态，任何一对有诸如( 3 2 ) 和( 3 3 ) 的 形式类e p r 算符的全方差，应满足的较低的限制有下面的定律： 定律一：不可分离的充分条件：对于任何可分离的量子态p ，其类e p f 0 算符的 全方差如果式( 3 2 ) 和式( 3 ，3 ) 定义，且有对易关系蛾，磊，】= i 屯，( 歹，j = 1 ，2 ) ，则满 足不确定关系 ( ( d ) 2 ) 户+ ( ( 白) 2 ) p 凸2 + 去， ( 3 4 ) 事实上，该定律给出了可分离态的一系列的不确定关系。在定义式( 3 1 ) 中算 符白，岛0 = 1 ，2 ) 可以是满足对易关系渤，岛，】= i 岛，任何定域算符。特别地，对于 算符口和移的任意定域么正算符矾q 巩，不定关系( 3 4 ) 则保持不变。对于不计一般 损耗的情形，算符奶和殇可以延伸到无限维。随后发现( 3 。4 ) 式的确给了一个对所有 的高斯态都适用的充分且必要的标准。为了表达和证明这个主要的定律，需要提 到一些关于高斯态的定义和结果。 用w i n g e r 特征函数表示高斯态较为方便。密度算符p 的双模态有以下 的w i n g e r 特征函数形式f 4 4 】； ) ( ( ( a l ，a 2 ) 其中，参数= 垮+ i 碍，湮灭算符妨= ( 奶+ 嘞) ，正交幅奶，霓，满足对易关 系嗡，岛，】= i 啊0 ，= 1 ，2 ) 。对于高斯态，、i n g e 啭征函数) ( 扣) n l ，a 2 ) 是a 于和a ；的 高斯函数。不计一般损耗，我们可以将x p ) ( a l ，a 2 ) 写为以下形式 r11 x 和( 入1 ，a 2 ) = ( pl 一吉( a f ，a ，a 5 ，a 参) m ( a f ，a ，a 5 ，a 参) t l ，( 3 6 ) l _ j 在( 3 6 ) 式中，指数项的不含线性项，因为可以通过一些定域置换算符奶，岛，使它 们容易地移去，这样对于态的分离或不可分离没有影响。高斯态的关联性质可 1 6 印 挽 h 户+麓譬 k 拎 一q a 以“卿 沁扣 打 打 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s m = ( 美玲 慨7 ， =(二二二二，cn，ml， e 3 8 ， 小爿 9 ， 1 7 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 其中啦，m i 和c i 满足 住l l彻一l 而2 罚m 】一1 彻垃一1 7 ( 3 1 0 ) l c l i i c 2 i = ( 住l 一1 ) ( m l 一1 ) 一、( 扎2 1 ) ( b 一1 ) ，( 3 1 1 ) 以上两个引理都得到了证明。对应标准形式i 和，有一类等价于l l u b o s 的高斯 态。分离和不可分离性，并不影响l l u b o s ，因此所有有同样标准形式的高斯态就 有同样的分离和不可分离的特性。由以上的准备工作，可以写出下面的定律： 定律二：高斯态不可分离的必要充分条件：如果一个高斯态船是可分离的，当 且仅当表达为标准形式i i ，不确定关系式( 3 4 ) 可以有以下两个e p r 形式的算符来 证明 口= 口。金1 一南去魄 ( 3 1 2 ) 忙哪一鬲去赴， ( 3 1 3 ) 其中碚= 等= 等。 现在，就有一个关于所有高斯态的充分必要的不可分离的标准了，可应用该 标准到普通的例子。设想一个双模压缩压缩真空态e r ( a i a ；一a t a ：) l v a c ) ，其压缩参 数为r 。这个态可用于目前的连续可变的量子通信的实验 4 6 】。设两个光场模服从 发射过程中独立的热噪声，有同样的衰减系数( 定义为叼) ，以及同样的平均光 子数( 定义为磊) 。易证，经过肘闻，这个高斯态的标准关联矩阵有( 3 8 ) 式的形 式，其n = m = c o s h ( 2 r ) e 一铆+ ( 2 元+ 1 ) ( 1 一拶) ，以及c = d = s i n h ( 2 r ) e 姊。因 此，不可分离的标准是说，如果发射时间t 满足 t ，( 3 1 8 ) l 一) = c o s p l 夕) 一s i n p i e ) ， ( 3 1 9 ) 而t 强p = 熬，这些都是半经典修饰态对应的能级如图3 1 ( b ) 。我们在新的基 底下定义上升和下降算符，青+ = l +