（计算数学专业论文）扩张混合有限元的几种两层网格法及理论分析.pdf

湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：j ： 嵩 日期：哆年计月f 歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论义作者完伞了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复e 件和电子版， 允许论文被查测和借阅。本人授权湘潭火学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位沦文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文楱于 不仅密回。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：i 1 物 日期： 冽，年中月”e t 翮签名：心鳓：年中月f 7 曰 提妥 多孔介质中流体的运动是一个复杂的物理现象，考虑到对该问 题的研究具有巨大的社会效益和经济效益，譬如，油藏的合理开采 秘繇蘸污染闻题酶蠢效孵奂，瑟以瓣学家翻在这方覆骰了丈餐黪工 作。在处理多孔介质地下水流问题的时候，混合有限元方法町以同 时状得压力和d a r c y 速度，或是位移和应力的相同的准确率；譬如， 看参考文献【1 ，7 ，1 7 】。在近几年中，可作为水文学和生化现象的数 学模墅漪反应扩散方程有着大量静疆著翡应露。在本文中，我们主 要讨论通过多孔介质的地下水流问题 7 】。其中，p 是未知的流体压 力；s 表示相容性系数；“表示水的d a r c y 速度；、彻) 表示外流率。 然丽，混会有限元方法在遗下水文学当中还没有竣应弱。由二糕的 持续性压力梯度项的系数可能趋j 二零，因此，它的倒数在标准混合 有限元中是不适用的“7 1 。因此，在这里我们考虑混合有限元的一 变分形式，扩张的混合有限元方法这种方法适应于具有小的扩散 要或舔兹持续硬戆微分闻题。匿我嬲黧遭，爱瀵合彘f 狠元方法对其 进行离散化所获得的代数方程组是一组很大的非线性方程。因此， 研究非线性纽的具有离效率高精度算法是很有必要的。两层网格法 就是一种比较有效的方法。它的主疆特征是在一粗网铬上对方程组 捷行辑有静菲对稼不是竣j f 线性遮，f 弋，卺是不会影礁缓舔穆。l 释浆 精度。 两层网格法首先被许进超作为解非对称不定和非线性椭圆边值 阉题静一种标准有限元离散方法爨娃l 秘讨论【2 l 】。g 把j # 线性糖西 边值闻题在两个子空阉和上进行标准有限元离散佬。按f 来， 许进超在文 2 1 的基础上对半线性椭圆问题提出“了一种新的两层网 格方法 2 0 】。陈艳萍和黄云清运用这种两层网格方法的思想，提出 了一秘瓣篓线蝗奇异甄点边值阕趣的一静分基迭 弋校正方法网， 通过分析知此方法可保证所有的斋精度性质。黄云清和薛伟民又将 这种思想运用到d 一波趔导体的gi n z b u r g l a n d a u 模型中，对此问题建 立了有限元逼近的多鼷线性化方法，并进行了收敛性分析 2 2 1 。在 2 0 0 4 年，黉云涛，石铮慧，汤涛莓运霞这耱瑟层瓣稳愚怒建窀了关 丁非线性椭圆问题的分层逐步代入法 1 6 ，通过对其收敛性和超收 敛性的详细分析，可知此方法是十分有效的。d a w s o n 和w h e e l e r 首 次将这种两层网格方法 2 1 1 的基本思想应用到当系数k 是非线性时 的抛物型方程的混合有限元方法中 5 ，接着他们又将这种方法应用 到建立在最低阶r t 元的混合有限元基础上的有限差分格式中 6 。 接着，w u 和a l i e n 又运用这种思想讨论了当厂是非线性时的半线性 反应扩散方程的混合有限元的两层网格法 1 9 ，陈艳萍在此基础上 将文 2 0 思想运用到混合元中，建立了一种新的半线性反应扩散方 程的扩张混合有限元的两层网格方法 3 。本文首先是在文 3 的基 础上，将许进超 2 0 ，2 1 1 中的一些其它两层网格方法的基本思想拓广 到扩张混合有限元方法的离散化问题上米，提出了两次细网格牛顿 线性迭代的思想。我们将讨论厂是非线性时的半线性反应扩散方程 的扩张的混合有限元的一些新的两层网格方法很明显的，通过收 敛性分析我们获得了好得多的收敛性结果接着在f 5 的基础上，我 们也给了非线性反应扩散问题的一种新的两层刚格算法及其理论 分析。 本文所考虑的是地下水流的多孔介质问题。在第一章中，我们 对所要讨论的反应扩散方程以及方程中各参数的物理意义进行了说 明；接下来简要的介绍了本文所需的一些基本概念和投影算子及其 性质。在第_ 章中，我们给出了方程的弱形式和全离散格式，利用 投影算子的性质，获得了一些超收敛估计及有限元的误差估计。在 第三章中，我们对半线性和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元 方法给出了几个两层网格方法，并对它们的收敛性进行了分析。结 果表明，我们知道通过这些算法来求解反应扩散方程他们的粗网可 以进一步粗化，而不会影响扩张混合有限元解的精度。 我们介绍了所要讨论作为通过多孔介质的地下水流的数学模型 的反应扩散问题： s pr v ( k ( p ) v p ) = 。，q ) ，( 上，) q z 初始条件为： p ( x ，0 ) = p o “) ，x n ， 2 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 边界条件为 ( k ( p ) v p ) y = 0 ，( x ，f ) 以2 ，( 13 ) 这里nc r 2 ，是边界记为锄的多边形区域，其中，v 是矾2 的单位外 法向量，p ，= o p l o t ，j = ( o ，丁 。我们假定反应项的函数f ：n r r 是三次连续可微函数，且具有直到三阶的有界导数。我们假定张量 k 0 ) 是定义在q 瓞一r 上的平方可积对称一致正定的三次连续可 微函数，且具有直到三阶的有界导数。存在正常数丘和k + 使得对 于z r 2 有 k , i l z l l 2 ，k ( x ，j k k * l l z l l 2 下面我们定义如下空间： w = l 2 ( n ) ， v = h a 2 ，d i v ) = f v ( l 2 ( n ) ) 2 ：vp l 2 ( n ) ) ， v = v n f p y = 0 1 在本文巾，我们将二维区域q 拟一致剖分为步艮为h 的阶为k 的 肼j 元，我们可形成v 和的离散子空间k 和。我们也定义 瓦= v nv j , 为了分析混合有限元的逼近性质，我们将利用下面的假 设 v 如ew h ， vv hev h 在收敛性分析当中，我们利用了标准的上2 投影，和混合有限元 空间投影算子几：h 1 ( n ) h 1 ( q ) ，我们假定 d i v l l h = q h d i v ：v 骂砜 在整篇沦文中，我们始终假定1cq 兰o 。我们有下列逼近性质： 对于任意的廿旷+ 1 。( n ) ( 或砂( v 7 k + l , 。( n ) ) 2 ) 和q ( w k 忆9 ( n ) ) 2 ，总存在 一不依赖丁h 的常数c 使得 q s , 妒f f o ，g c i l 廿| | og l l 沙一q 砂l i o ，q 兰c f l 砂l l ，目h ，0 ，k + 1 ， ( 1 5 ) i g兀 g i l o g 兰 c i i q l l ，g h ， 1 q r k + 1 ， ( 16 ) l i v ( 叮一n q ) l l o ，q c | | vg l l h 7 ，0 ，茎k + 1 ， ( 1 ，7 ) | | 廿一q h 砂 i 。c l l e , i i 。h ，0 兰，k + 1 ， ( 18 ) 我们也假定下列逆估计性质在v h 上成立，也就是说，对于任意 的v h 忆i i v l l h 一 ( 19 ) 这些假定对丁凡7 _ 和8 d m 空问是成立的( 参见文献 1 ，1 7 ) 。在本文 中，c 被定义为一族常数为了方便起见，我们假定解在时间上一 致光滑的，并且他们的最大收敛阶k + 1 能够被获得。 我们定义初边值问题的弱形式存在0 ，g ，”) e y 矿使得满 足 f 害，w 1 + ( v ，w ) = u u ) ，w ) ， v w 彬( 11 0 ) “， ( g ，= ，v ， vv v ， ( 1 1 1 ) ( 1 l ，v ) = ( k ( p ) q ，v ) ， vv v ( 1 1 2 ) 在r 孔元上，建立了初边值问题的一族时间离散的扩张混合有 限元逼近，已知纠，q ：，z ：) 瓦，对于”，”= 1 ，n 我们寻找 ( 碟，醵n ：) h 瓦使得满足 f 掣，w 一) 们吲，w 沪鼽w ) ，v ，( 1 1 3 ) ( g ：，v ) = 0 ：，vh ) ， v “n ，( 11 4 ) ( “：，v h ) = ( k ( 以) 聪，) ， v n( 1 1 5 ) i 、_ 面，我们定义一椭圆混合法投影将边值问题的解通过椭圆 混合法投影到有限维空间眠或上，使得投影僻伊，风口，r h u ) 满 足i 、- 列方程 ( v 嘞) = ( 几，一害，w 一) ( r h q ，v h ) = ( 凡印，v ) ， 僻h ，“) = ( k 0 ) 风g ，) ， 4 v w h 骱， ( 1 1 6 ) v 吮，( 1 1 7 ) v n h( 1 1 8 ) 首先我们获得了三2 投影和椭圆混合法投影之间的超收敛性质： 引理1 1 已知0 ，玑“) w xy 矿是微分方程“ 一“圳式的解，且 嘛p ，r 棚，r 1 1 ) w hx 瓦是微分方程的椭圆混合法投影。那么， 当k 1 且1 p 0 使得如下不等式 成立： m p m 俐m + ( 酬趔7 2 ( 矿 剩2 c ( 驴1 + h 3 “1 + ，) ( 2 3 3 ) n = l 我们可以知道，当细网格与粗州格满足h = 0 耕) 时，所建立的非 线性反应扩散方程的扩张混合有限元的两层网格方法满足扩张混合 有限元方法解的最优逼近。 s u m m a r y t h cf l o wa n dt r a n s p o r to f f l u i d si np o r o u sm e d i ai so fg r e a ti m p o r t a n c es o c i a l l ya n de c o n o m i c a l l yi nt h eo i lr e c o v e r y , g r o u n d w a t e ra n de n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o np r o b l e mt h er e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nh a v er e c e i v e dag r e a td e a lo f a t t e n t i o n i nm o d e l so fg r o u n d w a t e rt h r o u g hp o r o u sm e d i am i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s h a v eb c e nf o u n dt ob ev e r yi m p o r t a n tf o rs o l v i n gt h ep r o b l e m sf o rg r o u n d w a t e r t h r o u g hp o r o u sm e d i a i nam i x e df i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n ，b o t ht h ep r e s s u r e a n dt h ef l u x ，o rd i s p l a c e m e n t sa n ds t r e s s e s ，a r ea p p r o x i m a t e ds i m u l t a n e o u s ；s e e r e f e r e n c e s 1 ，7 ，17 1 i nr e c e n ty e a r s ，r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sh a v er e c e i v e d ag r e a td e a lo fa t t e n t i o n ，m o t i v a t e db yt h e i rw i d e s p r e a do c c u r r e n c ei nm o d e l so f h y d r o l o g i ca n db i o g e o c h e m i c a lp h e n o m e n a ，t y p i c a le x a m p l e si n c l u d et h em o d e l l i n go fg r o u n d w a t e rt l 】r o u g hp o r o u sm e d i a 7 i nt h i sc a s e ，pi st h eu n k n o w n f l u i dp r e s s t i r e ；si st h ec o m p r e s s i b i l i t yc o e f f i c i e n t ；“i st h ed a r c yv e l o c i t yo ft h e w a t e r , a n df ( p ) m o d e l se x t e r n a lf l o wr a t e ! i o w e v e r , m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s h a v en o ty e tb e e na p p l i e di ng r o u n d w a t e rh y d r o l o g y t h ec o e f f i c i e n ti nt h ep r e s s u r e f o r m u l a t i o nm a yt e n dt oz e r ob e c a u s eo fl o wp e r m e a b i l i t y h e n c ei t sr e c i p r o c a li s n o tr e a d i l yu s a b l ea si ns t a n d a r dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 1 7 i nt h ep a p e r , w cw i l lc o n s i d e rav a r i a n to ft h em i x e dm e t h o d ，t h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e - u l e n tm e t h o d i tw o r k sf o rt h ed i f f e r e n t i a lp r o b l e m sw i t hs m a l ld i f f u s i o no rl o w p e r m e a b i l i t yt e r m s a sw ek n o w ，t h er e s u l t i n ga l g e b r a i ce q u a t i o n sa r cl a r g es y s t e m so f n o n l i n e a re q u a t i o n sw i t ht h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h e r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s o ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yh i g h l ye f f i c i e n ta n dh i g h l y a c c u r a t ea l g o r i t h m sf o rn o n l i n e a rs y s t e m s t w og r i dm e t h o di sae f f e c t i v em e t h o d t h ek e yf e a t u r eo ft h et w o - g r i dm e t h o di st h a ti ta l l o w so n et oe x e c u t ea l lt h en o n s y m m e t r i ci n d e f i n i t ea n dn o n l i n e a ri t e r a t i o no nas y s t e ma s s o c i a t e dw i t hac o a r s e g r i d ，w i t h o u ts a c r i f i c i n gt h eo r d e ro f a c c u r a c y o f t h ef i n e - g r i ds o l u t i o n t h et w o - g r i dm e t h o di sp r e s e n t e da n di nt h ew o r ko fx u 2 1 f o rg a l e r k i n p r o c e d u r e sa p p l i e dt ol i n e a ra n de s p e c i a l l yn o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a le q u a t i o n s ，h e e m p l o y e dt w of i n i t ee l e m e n ts u b s p a c e s a n d i nt h ed i s c r e t i z a t i o ns c h e m e s 1 0 y a n p i n gc h e na n dy u n q i n gh u a n gp r e s e n t e dam u l t i l e v e li t e r a t i v em e t h o df o r s o l v i n gf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n so fn o n l i n e a rs i n g u l a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s 4 w ek n o wy u n q i n gh u a n ga n dw e i m mx u ea n a l y s i sc o n v e r g e n c e o f f i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n sa n dm u l t i l e v e l i n e a r i z a t i o nf o rg i n z b u r g - l a n d a u m o d e lo f d w a v es u p e r c o n d u c t o r s 2 2 y u n q i n gh u a n g ，z h o n g c is h i ，t a ot a n g ， a n dw e i m i nx l i ec o n s t r u c t e dam u l t i l e v e ls u c c e s s i v eir o t a t i o nm e t h o df o rn o r l - l i n e a re l l i p t i cp r o b l e n r s 1 6 t h i sa p p r o a c hw a sa p p l i e dt h on o n l i n c a rp a r a b o l i c e q u a t i o n sw h e r et h ek i sn o n l i n e a rt e r mw i t ht h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ec l e m e n t m e t h o db yd a w s o na n dw h e e l e r 5 a n dw i t haf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eb a s e do n t h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tb a s e do nt h el o w e s to r d e rr te l e n r e n tb yd a w s o n 6 w ua n da l l e nt r e a t e dt h ec a s ew h e r e ( p ) i st h en o n l i n e a rt e r mb yt h e t w o g r i de x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d 19 jy a n p i n gc h e r tc o n s t r u c t e d an e wt w o g r i dm e t l m do fe x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e m i - l i n e a r r c a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s t r u c ts o m et w o g r i dm e t h o d s o fe x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e n li - 1i n e a ra n dn o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sb ya p p l y i n gt h ei d e a s 2 0 ，2 1 w eo b t a i nt h e i rc o n v e r g e n c e r e s u l t s i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h cp r o b l e m sf o rg r o u n d w a t e rt h r o u g hp o r o u sm e d i a i nt h ef i r s tp a r t ，t h em a t h e m a t i c a lm o d c lo f g r o u n d w a t e rt h r o u g hp o r o u sm e d i a i si n t r o d u c e da n dt h ee q u a t i o n sa sw e l la st h ep a r a m e t e r si nt h ee q u a t i o n sa r ee x p l a i n e di nt h ep h y s i c a ls c n s c t h e nw ep u tf o r 、v a r dt h ep r o j e c t i o no p e r a t o r sa n d p r o j e c t i o np r o p e r t i e si nt h es e c o n dp a r t ，w cp u tf o r w a r dt h ew e a kf o r m u l a t i o na n d e x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h e nw eo b t a i ns o m es u p e r c o n v e r g c n c e e s t i m a t e sa n de r r o re s t i m a t eo fm i x e df i n i t ee l e m e n tb yu s i n gt h ep r o j e c t i o np r o p e r t i e s i nt h el a s tp a r t ，w eo f f e raf e wa l g o r i t h m so ft w o g r i dm e t h o df o re x p a n d e d m i x e df i n i t ee l e m e n ts o l u t i o no fs e m i - l i n e a ra n dn o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，a n dw em a k eo u re f f o r t st op r o v et h cc o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m s b y t h ea n a l y s i so ft h ep a p e r ，w ek n o wt h ea l g o r i t h m sa c h i e v ea s y m p t o t i c a l l yo p t i m a l a p p r o x i m a t i o na p p l y i n gt h et w o - g r i dm e t h o d sw h e nt h ec o a r s eg r i dc a nb em u c h c o a r s e rt h a nt h ef i n eg r i d i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n gn o n l i n e a rr e a c t i o n - - d i f f u s i o nc q u a - t l o n s ： 印r v ( x ( p ) v p ) = h ，q ) ， w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n ： p ( x ，o ) = p o ( x ) a n db o u n d a r yc o n d i t i o n ： ( k 0 ) 可p ) - y = 0 ， ( x ，f ) n z( 1 1 ) z n ( 1 2 ) ( t ) a n ，( 13 ) w h e r eqc 砘2i sap o l y g o n a ld o m a i nw i t hb o u n d a r ya n yi st h eu n i te x t e r i o r n o r m a l t od q ，p f = o p o t ，i ，= ( 0 ，t 。w ea s s u m e t h a t t h er e a c t i o n t e r m ，：n 礁_ 盟i sat r i p l ec o n t i n u o u s l yd i f f c r c n t i a b l cw i t hb o u n d e dd e r i v a t i v e st h r o u g ht h e t h i r do r d e r w ca s s m n ct h a t 地，) ：n r _ ri st r i p l ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o nw i t hb o u n d e dd e r i v a t i v e st h r o u g ht h et h i r do r d e r , a n dk ( z ，p ) i sas q u a r e i n t e g r a b l es y m m e t r i c u n i f o r m l yp o s i t i v ed e f i n i t et e n s o rd e f i n e do nnt h e r ee x i s t p o s i t i v ec o n s t a n t s 疋a n dk + s u c ht h a tf o rz r 2 k , i l z l l 2 兰z r k ( x s k k + i l z l l 2f o r x na n dj n l e tw ed e f i n es p a c e ， w = 工2 ( q ) ， v = h ( n ，d i v ) = v ( l 2 ( n ) ) 2 ：vv l 2 ( q ) ， v = v n v - y = 0 w ew i l lc o n s i d e rq u a s i u n i f o r mp a r t i t i o no f ni n t or e c t a n g l e so rt r i a n g l e sw i t h t h ep a r t i t i o ns t e phi nt w od i m e n s i o n s ，w eu s emi x e df i n i t ee l e m e n ts p a c e ss u c ha s t h e 月7 _ 1 7 js p a c e so f o r d e r k ，r t k t o f o r mv j , a n dw h ，d i s c r c t cs u b s p a c e so f v a n d ww ed e f i n en = vn 吒7 i ba n a l y z et h em i x e df i n i t e e l e m e n ta p p r o x i m a t i o n ， w e w i l lu s e t h eh 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l h ， vv h f l9 1 i nt h i sp a p e rcs h a l ld e n o t eag e n e r i cc o n s t a n t ，f o rc o n v e n i e n c ew ew i l la l s o a s s u m et h a tt h es o l u t i o ni ss m o o t ha n dt h a tt h em a x i m u mi n d e xo fc o n v e r g e n c e k + 1i sa t t a i n e d f o rt h es a k eo fs i m p l i c i t y , w ea s s u m et h a ts = 1 ，w ed e f i n et h ew e a kf o n no f ( 1 1 ) 。( 1 3 ) a s ( p ，q ，) w v vs a t i s f y i n g 傺w ) 巾圳 ( q ， ( “， u d ) ，w ) ( p ，v v ) ( k q ，v ) ， v w w vp v vp v ( 1 ，1 0 ) f l1 1 、 r l1 2 1 n o w ，b yt h ea b o v es e i n en o t a t i o n sw cc a nc s t a b l i s ht h ef o l l o w i n gd i s c r e t et i m e e x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fp r o b l e mi n 尺ne l e m e n t g i v e n 仞：，q ：，“：) n 瓦，f o r ”= 1 ，w ，w es e e k p ：，簖，r t ：) w h “瓦 s a t i s f y ( 与笋，w 一) 们吲，w 小川 ( 以，) ( “：，p h ) p ：，vv h ) ( k q h ，v o ， v2 w he ，( 1 1 3 ) v ”j ，( 11 4 ) vp h f 1 1 5 ) d e f i n ea ne l l i p t i c m i x e dm 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