（系统工程专业论文）Boltzmann方程的粘性分析.pdf

中文摘要 摘要 b o l t z m a r m 方程是非平衡态统计物理学中最重要的模型之一从数学上来说，b o l t z m a n n 方程是一个积分微分方程方程的右端项一碰撞算子，在实际中( 考虑三维空 间) 是一个五重积分同时，碰撞算子只是对速度变量钞作用，关于t ，z 是局部的，这 就给方程带来了某种程度上的退化所以，不管从数值计算方面，还是从偏微分方程 理论方面，b o l t z m a n n 方程的研究都是当前数学所面临的巨大挑战之一 对于均匀气体的空间齐次b o l t z m a n n 方程来说，迄今已有了相对深入的研究和了 解当然，这只是对刚势作用而言，有关软势的研究仍然比较少不管怎样，对于空 间非齐次b o l t z m a n n 方程，所得到的结果却还是相当缺乏的关于完全b o l t z m a n n 方 程的一个至今较满意的结果，就是二十多年前由d i p e m a 和l i o n s 建立起来的重正规 化理论然而，重正规化解的唯一陛与可微性质，仍然是一个开问题二十多年来， 人们对它做了不少的工作，对碰撞算子的性质也有了更深入的了解然而，要解决这 个开问题，也许需要新的工具和理论的出现 关于b o l t z m a n n 方程解对初始值的稳定性分析，已经有了不少的结果 4 ，5 8 ，1 0 0 本文将从粘性分析的角度对b o l t z m a n n 方程进行了稳定性研究，据我们所知，这还是 一个崭新的领域。这里的粘性方程是通过增加关于速度u 的l a p l a c i a n 项”得到的， 这一项也称为f o k k e r - p l a n k 项从物理意义上来说，这是由于分子的扩散引起的有趣 的是，也许可以考虑关于z 的l a p l a c i a n 项进行粘性近似但是，关于它的物理意义至 今不清楚本文得到的主要结果有二：一是对于角截断空间齐次情形，包括m a x w e l l 分 子势、刚势碰撞，本文给出了粘性近似解与原方程的解之间的一个精确的近似估计 需要说明的是，这些估计是依赖于时间的，这与粘性方程中粘性项的扩散效果有关； 二是对于空间非齐次b o l t z m a n n 方程的情形，本文在重正规化框架下研究了粘性近似 解的渐近行为，得到了：当粘性系数趋于0 时，粘性近似重正规化解在三1 中收敛于非 齐次b o l t z m a n n 方程的一个具有“亏损测度”的重正规化解 本文第一章介绍了有关b o l t z m a n n 方程的一些基本知识，包括一些基本概念、 b o l t z m a n n 的h _ 定理、基本的先验估计、碰撞算子的性质 第二章介绍了关于b o l t z m a n n 方程的一些重要的结果，包括空间齐次b o l t z m a n n 方程解的存在唯一性、矩的估计、解的正则性与奇异性的传输、趋向于平衡态的问题， 以及非齐次b o l t z m a n n 方程的重正规化理论和传输方程的速度平均理论值得一提的 是，有关b o l t z m a n n 方程的结果很多，这里主要是关于c a u c h y 问题的一些重要的结 果，特别是关于具有角截断刚势的情形其它的结果可以参见后面的参考文献 第三章主要研究了具有角截断m a x w e l l 分子的粘性近似利用基本解的表示，研 究了粘性解( 我们称之为温和解) 的存在唯一性，并在c o 意义下得到了粘性近似的精 中文摘要 确估计 第四章研究了刚势且具有角截断的空间齐次b o l t z m a n n 方程的粘性近似利用 s c h a u d e r 不动点定理，证明了粘性弱解的存在隆，并利用g r o n w a u 不等式得到了解的 唯一性最后，在l ：，l 2 意义下得到了粘性近似的精确估计 第五章主要研究了空间非齐次b o l t z m a n n 方程的粘性近似。首先，利用弱紧性分 析，研究了粘性重正规化解的一致估计，并得到了在重正规化框架下粘性近似解的渐 近行为 本文所用的主要工具，包括插值不等式、q + 的m o u h o t v i l l a n i 分解以及速度平 均引理 关键词粘性近似；粘性方程；空间齐次b o l t z m a n n 方程；空间非齐次b o l t z m a n n 方 程；重正规化解；亏损测度；碰撞核；广义r a d o n 变换；熵；熵耗散；守恒律；碰撞不 变量 英文摘要 a b s t r a c t b o l t z m a n ne q u a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm o d e l sf o r t h en o n - e q u i l i b r i u ms t a f f s - i l e a lp h y s i c s f r o mm a t h e m a t i c a lv i e w p o i n t ，b o l t z m a n ne q u a t i o ni sa l li n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h ef i g h th a n dt e r mo fb o l t z m a n ne q u a t i o n ，w h i c hi sc a l l e da l s oc o l l i s i o no p e r a - t o r , h a sf i v em u l t i - i n t e g r a l i nt h em e a n t i m e ，t h ec o l l i s i o no p e r a t o ro n l ya c t so nt h ev e l o c i t y v a r i a b l eu ，a n di sl o c a li nt ，z t h i sg i v e st h ee q u a t i o nc e r t a i nd e g e n e r a c yi ns o m es e n s e s t h e r e f o r e ，t h es t u d yf o rb o l t z m a n ne q u a t i o ni sp r e s e n t l yt h eo n eo ft h em o s tc h a l l e n g e s i nm a t h e m a t i c s ，n o to n l yi nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ，b u ti nt h et h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o rt h eh o m o g e n o u sd i l u t eg a s e s ，t h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o nw i t h h a r dp o t e n t i a l sh a sb e e nf u l l ya n a l y z e d o fc a u s e ，f e wr e s u l t sf o rs o f tp o t e n t i a l sh a v eb e e n o b t a i n e ds of a r h o w e v e r , t h es t u d i e sf o ri r d a o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o nh a v eb e e n c o n f r o n t e dw i t hm a n yd i f f i c u l t i e s t h eo n l ys a t i s f yr e s u l tw a st h er e n o r m a l i z e dt h e o r yi n t r o d u c e db yd i p e r n aa n dl i o n st w e n t yy e a r sa g o b u tt h eu n i q u e n e s sa n dt h ed i f f e r e n t i a b i l i t y f o rt h er e n o r m a l i z e ds o l u t i o na r et h em o s to p e np r o b l e m s s i n c et h e n ，m a t h e m a t i c i a n sm a k e al o to fw o r k so nt h eb o l t z m a l me q u a t i o n ，e s p e c i a l l yo nc o l l i s i o no p e r a t o r ，a n dm a n yp r o p - e r t i e sh a v eb e e nf o u n d n e v e r t h e l e s s ，t ow i nt h eo p e np r o b l e mm a y n e e dn e wm a t h e m a t i c a l t o o 】sa n dn e wt h e o r i e s f o rt h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o nt ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o no nt h ei n i t i a lv a l u e ，m a n y r e s u l t sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d 4 ，5 8 ，1 0 0 i nt h i sp a p e rw es h a l ls t u d yt h ev i s c o s i t ya n a l y s i s o nt h eb o l t z m a n ne q u a t i o n h o w e v e r , t oo u rk n o w l e d g et h i sp r o b l e mh a sn o tb e e ns t u d i e d s of a r h e r et h ev i s c o s i t ye q u a t i o ni sd e r i v e db ya d d i n gal a p l a c i a ni nu ，w h i c hi sa l s oc a l l e d f o k k e r - p l a n kt e r m ，i n t ot h eb o l t z m a n ne q u a 一, , o n o np h y s i c a l l y , t h ep l a n k - f o k k e rt e r mi s c a u s e db yt h ed i f f u s i o no fm o l e c u l e s i tm u s tb es t r e s s e dt h a tt h ev i s c o s i t ye q u a t i o nc a n b eo b t a i n e db yal a p l a c i a nt e r mi nz h o w e v e r , t h i sk i n do fa p p r o x i m a t i o nh a sn oc l e a r e x p l a i no np h y s i c a l l y w eo b t a i nt w om a i n r e s u l t s ：t h eo n ei st h a ts o m ea c c u r a t ee s t i m a t e s o nt h ev i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o na r ep r e s e n t e df o rh o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o nw i t h a n g u l a rc u to f f , i n c l u d i n gm a x w e l l i a na n dh a r dp o t e n t i a l s n o t i n gt h a ta l lt h e s ee s t i m a t e s d e p e n do nt i m e w h i c hi n d i c a t e st h ev i s c o s i t yt e r mh a sd i f f u s i o ne f f e c t t h eo t h e ri st h a t t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o ni ss t u d i e di nt h ef r a m eo fr e n o r m a l i z a t i o n f o r i n h o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o n w eo b t a i n t h a tt h ev i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n c o n v e r g e s i nl 1t ot h er e n o r m a l i z e ds o l u t i o nw i t hd e f e c tm e a s u r eo ft h eb o l t z m a n ne q u a t i o n ， a st h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n t sg o e st o0 i nc h a p t e r1t h ep r e l i m i n a r yo nb o l t z m a n ne q u a t i o ni si n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gt h eb a _ s i cd e f i n i t i o n s ，b o l t z m a n n sh t h e o r e m ，s o m eb a s i cap r i o r ie s t i m a t e sa n dt h ep r o p e r t i e so f c o l l i s i o no p e r a t o r s o m ek n o w nr e s u l t so nt h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o n sa r ep r o v i d e di n c h a p t e r2 ，w h i c hi n c l u d et h a tt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o na n du n i q u e n e s s ，t h ee s t i m a t e so n m o m e n t s ，t h ep r o p a g a t i o no fs m o o t h n e s sa n ds i n g u l a r i t y , t h et r e n dt ot h ee q u i l i b r i u m ，a n dt h e r e n o r m a l i z a t i o nt h e o r yf o ri n h o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o n sa n dt h ev e l o c i t ya v e r a g i n g t h e o r yf o rt h et r a n s p o r te q u a t i o n s i tm u s tb ee m p h a s i z e dt h a tw e h e r ea r ec o n c e r n e dw i t h t h ec a u c h yp r o b l e mo fb o l t z m a n ne q u a t i o n ，e s p e c i a l l yi nt h ec a s eo fh a r dp o t e n t i a l sw i t h a n g u l a rc u t o f f w es t u d vt h ev i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o no nt h em a x w e l l i a nm o l e c u l e si nc h a p t e r 3 t h e e x i s t e n c eo ft h em i l ds o l u t i o nt ot h ev i s c o s i t ye q u a t i o na n dt h eu n i q u e n e s sa r eo b t a i n e d ，a n d a ne s t i m a t eo nt h ev i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o ni sp r e s e n t e da c c u r a t e l y i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ev i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o no nt h eh o m o g e n e o u sb o l t z m a n n e q u a t i o nw i t ha n g u l a rc u t o f fa n dh a r dp o t e n t i a l s w ep r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h ev i s c o s i t y w e a ks o l u t i o nb ys c h a u d e rf i x e dp o i n t ，a n ds h o wt h eu n i q u e n e s sb yg r o n w a l l si n e q u a l i t y a tl a s t ，a ne s t i m a t e so nt h ea p p r o x i m a t i o ni nt h es e n s eo f 三 a n d 瑶a r ed e r i v e d t h ev i s c o s i t ya n a l y s i so nt h ei n h o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o ni sp u t o nc h a p t e r5 w es t u d yt h eu n i f o r me s t i m a t eo nt h ev i s c o s i t yr e n o r m a l i z e ds o l u t i o nb yw e a kc o m p a c t n e s s a n a l y s i s ，a n dt h e ni n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h ev i s c o s i t yr e n o r m a l i z e ds o l u t i o n o u rr e s u l t sm a i n l yr e l yo nt h ei n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t y , m o u h o t v i l l a n i sd e c o m p o s i t i o n o nq + a n dt h ev e l o c i t ya v e r a g i n gl e m m a k e y w o r d sv i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o n ；v i s c o s i t ye q u a t i o n ；s p a t i a l l yh o m o g e n e o u s b o l t z m a n n e q u a t i o n ；s p a t i a l l yi r t h o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o n ；r e n o r m a l i z e ds o l u t i o n ；d e f e c tm e a - s u r e ；c o l l i s i o nk e r n e l ；g e n e r a lr a d o nt r a n s f o r m ；e n t r o p y ；e n t r o p yd i s s i p a t i o n ；c o n s e r v a t i o n l a w ；c o l l i s i o ni n v a r i a n c e 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 印年f 月渗日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 冽年阴占日 绪论 动力学的主要研究目的是：在粒子相空间中，利用分布函数对气体、等离子体， 或者其它由许许多多的粒子组成的任何系统进行模拟、分析相空间包括宏观变量， 比如，粒子的“物理”位置；也包括微观变量，这些变量描述了粒子的”状态“由于 我们这里主要考虑遵守经典牛顿力学定律的单一粒子系统，也就是说，这里的系统指 的是非混合的、非相对论的动力学系统，所以微观变量通常是指速度 b o l t z m a n n 方程是由j c m a x w e l l 及l b o l t z m a n n 建立的一个研究非平衡统计力学 的动力学方程它的产生引起了广大物理学家和数学家的极大兴趣这是因为b o l t z m a n n 方程是介于微观层次与宏观层次之间的一种动力学模型 从微观上说，对于由个相同粒子组成的单一粒子系统，根据经典牛顿力学我们 可以得到这些粒子精确的运动方程记粒子的相空间为_ ( 婉，勘) ( z = 1 ，2 ，) ，婉 表示第i 个粒子的位置，幺表示它的速度令z = ( 瓤，鳓表示一个6 n 维的向量，它 的分量由鼢的共3 n 个分量及& 的共3 n 个分量给出于是， 童：鬲d z ：z ， ( o o 1 ) 名2 面2 ， w u 1 ) 其中，z = 他，x ) ，五是作用在第i 个粒子上的力与粒子质量之比也就是说，我 悟羔 ， 如果给出方程( o o 2 ) 的初始值( 即相空间的个点z o ) ，那么从理论上说我们就能唯一 确定方程( o o 1 ) 的解z ( t ) 然而，由于是1 0 2 0 量级的数，我们因此无法精确知道 z - o 的值，可以说，确定这些值比求解问题本身更复杂 从宏观上说，我们可以把粒子系统看成是一种连续介质其相应的模型就是我们 熟知的e u l e r 方程和n a v i e r - s t o k e s 方程( 包括可压缩的可不可压缩的) 这些方程是非 常重要的，它们为我们在实际中的应用提供了方便的数学工具然而，在许多情况下， 例如，当需要考虑到量子影响的相对论气体的时候，或者考虑边界层问题，流体力学 方程所模拟出来的结果往往与实际情况不符 实际上，对这个问题的考虑我们可以借助统计的方法我们知道，单个粒子的运 动是难以确定的，也是不必要的，因为从整体来说，单个粒子运动的随机性对整体不 会产生任何影响正是在这种背景下，j c m a x w e l l 建立了统计物理学，并于1 8 9 5 年 得到了平衡态的均匀气体分子速度的分布律随后，l b o l t z m a n n 对这个问题做了进 一步的研究，并得到了我们现在所看到的b o l t z m a n n 方程b o l t z m a n n 方程作为一种 介观层次的模型，既解决了微观层次分析中无法克服的困难，也具有流体力学方程所 绪论 图1 ：三种层次之间的关系 _ 一粒子数，z 一平均自由程，一粘性系数，a 缸一m a c h 数，c - _ 可压缩的， j c - _ 不可压缩的，n s - - n a v i e r - s t o k e s ，e 一e u l e r 0 没有的许多优势，特别是它揭示了流体是由“粒子”构成的本质对物理学家来说，从 b o l t z m a n n 方程可以得到所研究对象的许多重要的、内在的物理性质，如粘性系数、 热传导系数等关于这三种层次之间的关系，我们可以用图( 1 ) 来表示 9 2 下面，我们从介观层次来考虑单一粒子系统设粒子分布函数为f ( t ，z ，v ) 如果 我们忽略粒子之间的作用，那么按照经典牛顿力学理论，每一个粒子以常速度运动 沿着特征线面d x = 0 ，d _ 出y _ v = o 粒子的密度是不变的因此，f ( t ，z ，钌) 的值可以通过初 始值表示出来： f ( t ，z ，钉) = ( o ，z 一口亡，t ，) ( o 0 3 ) 换句话说，是下面自由传输方程的一个弱解 杀+ u v 霉f = 0 ( 0 0 4 ) 这里，u v 盘是传输算子如果我们给方程( 0 0 4 ) 补充以合适的边界条件，那么它正好 就是粒子间没有相互作用的系统的介观层次的方程如果考虑到一个宏观力f ( x ) 作 用在粒子上，那么方程( o 0 4 ) 应该写成 杀+ 口v $ ，+ f ( x ) v 暂f = 0 ( o 0 5 ) 方程( 0 0 5 ) 被称作线性的v l a s o v 方程 如果我们考虑粒子间的作用，分布函数f ( t ，z ， ) 又将满足什么样的方程呢? 1 8 7 2 年，l b o l t z m a n n 得到了下面的方程 瓦o f 枷v 扣筹小忍 ) = d v d w b ( v 一仇，叫) ( ，7 z 一， ) ( o 0 6 ) 南京理工大学博士学位论文 b o l t z m a n n 方程的粘性分析 这就是在没有考虑外力作用的b o l t z m a n n 方程这里，我们使用了简写符号： = y ( t ，z ，仉) ，7 = y ( t ，z ，, 1 1 t ) ，丘= y ( t ，z ，u ：) ，幻，u ：表示碰撞后的速度，它们分别对应于 碰撞前的速度为 3 ，仉b ( z ，w ) 0 被称为b o l t z m a n n 碰撞核这里我们不细说b 的 具体表示，我们将在第一章对它进行详细的描述值得一提的是，b o l t z m a n n 方程是 建立在五点假设的基础上的 2 9 】 假设1 二元碰撞假设粒子之间只进行二元碰撞，也就是说，只要两个粒子互相靠近 到一定的距离时便会产生碰撞，使得各自的运动轨迹瞬间发生改变实际上，这个 假设隐含了方程( o o 6 ) 只适合稀薄气体，因为在这种情况下可以忽略两个以上粒 子之间得碰撞如果在三维空间考虑有7 , 个半径为7 的“刚性”球分子组成的系 统，那么这个假设要求下面的条件成立 n r 3 1 ，扎7 2 型1 假设2 局部碰撞碰撞是在给定空间位置z ，给定时刻t 发生的瞬间事件，也就是说，碰 撞持续的时间非常短，以至于与所考虑问题的宏观时间尺度相比可以忽略不计 假设3 弹性碰撞碰撞遵守弹性碰撞规则，也就是说，碰撞前后保持动能和动量不变 假设4 微观可逆从微观力学上说，系统是时间上可逆的，也就是说，在一个碰撞过 程中，( ，仉) 变成( u 7 ，u ：) 的概率与( 口7 ，t ，：) 变为( 钞，仉) 的概率是相同的 假设5 分子“混沌”分子“混沌”( c h a o s ) 是指在( t ，z ) 处的两个分子g 瞳度不同) 是 不相关的 b o l t z m a n n 方程( 0 0 6 ) 是一个非线性的一阶双曲型方程由于它的特殊形式，我 们不能希望得到它的显式解关于b o l t z m a n n 方程解的已有结果，可以归纳为三个方 面 1 三o 。一理论 l 理论是在g r a d 的方法【5 2 】的基础上建立起来的实际上，它是线性化与谱 分析方法的结合这种方法的优越性是它既能处理c a u c h y 问题，也能处理初边界问 题【7 ，8 3 ，8 6 ，9 0 ，9 1 】但是，由于l o o 理论是在平衡态线性化得来的，因此它只能得到 平衡态附近的解 2 l 1 一理论 从b o l t z m a n n 方程的物理背景来说，l 1 似乎是考虑这个问题的最合适的空间正如 前面所说，我们最终目的就是研究相空间中的分布函数假设所考虑的粒子系统包含在 域qcr 河以是有界的，也可以是无界的) 中，我们在个时间区间 o ，卅( t 1 第一章b o l t z m a n n 方程基础 在这种情况下，碰撞核可以表示为 b ( i 一u 。i ，伽) ：b ( c o s p ) i t ，一 。1 1 ，y ：1 一2 ( n - 1 ) ， 其中，b 是一个非负的局部有界函数一般地，我们根据7 的取值把碰撞分为几种类 型： 1 当，y = 0 时，称之为m a x w e l l 势； 2 当0 7 1 时，称之为刚势( h a r dp o t e n t i a l ) ； 3 当7 = 1 时，称之为刚球碰撞； 4 当一 ，y 0 时，称之为软势( s o f tp o t e n t i a l ) 如果考虑n = 3 ，则当8 = 5 时为m a x w e l l 势；1 s 5 时为刚 势值得注意的是s = 1 的情形，这种势称为c o u l o m b 势，是等离子体物理学中一种 最重要的模型我们这里不作讨论，读者可以参考文献 8 ，3 7 ，4 0 ，5 4 ，6 9 此外，今后我们常常需要s ( z ，w ) 的对称化形式，即以 b ( c o s 口) + 6 ( c o s ( 7 r p ) ) 】1 0 p 丌2 代替b ( 0 ) 这样，我们可以限制偏移角口 0 ，丌2 】 为了研究碰撞算子的基本性质，让我们回忆一下推出b o l t z m a n n 方程的假设根 据假设3 ，我们有 吝：盂；7 二苫2 + m n 利用平行四边形法则，从( 1 1 2 ) 我们很容易得到 i 一仉i = i u 7 一口扎 另一方面，我们还可以得到口7 ，以的“w 一表示” 或者“盯一表示” ( 动量守恒) ( 动能守恒) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 这里， 叫，o r s 一1 是两个参数，称为碰撞参数( i m p a c tp a r a m e t e r ) 下面的图1 1 、 图1 2 分别表示了它们的意义本文中，我们所采用的一般都是叫一表示但是，在考 虑q 的性质时，使用盯一表示更方便一些这时候，b ( v 一仉，w ) 写成j e 7 0 一仉，仃) 的 枷戤 计 一 一 扣扣 一 汁批知 -ij l - l 、 挚毕 一一2一一2 一。一 一。 ：o = ：一。 ： 一 ： jj：= + + 图j 如二表示。j 。：一0 ：r _ 一- ：1 。o ? j ：图l 。2 ：0 - - 表示 ，j o = - ： 一 _ 。： “。：j h j ：jj * 一： 。= “：= j ： 形式从上面的图示或者从b o i t z m a n n 所做的假设，很明显，碰撞算子q 具有对称性： 和平移不变性，即 - i 强i 囊= _ ，ji 。一- _：_ 。一j ：? ：| ：一 ：- = 量。：。q ( ，i 夕l 亏q ( g ，) ，r h q ( f ，夕) 等q ( r h f ，丁 夕) ，0 ：? ji ? ! 。：? 0 i 。 。 其中，弦表示平移算子，i 。：一- _ ：。：i ! j j i i 。：o ? | 。：0 一ij ：? j = _ - i7 、：= = ! i0 ；? ：r h ( v ) 鼍s ( v _ 9 - ：。一一- - 。 ：i ! i 一? i ：= 1 _ j ： ；_ = _ ：麓麓：；：乒= - i i 二，i -：叠jj ：= ；= = j 三二一： ：；= =： o 毫参量 设算子j ：( v ，仉，w ) _ ( t ，7 ，秒：，一w ) ，那么由假设3 与假设4 可知， ( 口一仉，w ) = 一( u 一以，伽) ， j 0j = 1 ( 1 1 6 ) 即j 是一个正交变换，它的j a c o b i a n 矩阵为1 设妒( ) 沪( r ) ，用妒乘以q ( f ，f ) 然后对臼积分， ，q ( s ，f ) o ( v ) d v = d v d v 。d w b ( v 一仉，伽) ( ，7 以一， ) 妒( u ) ，r j r 2 nj s n - i 。 根据( 1 1 6 ) ，右端可以写成 三j n 2 nd v d v 。厶一，d w b ( u 叫，晰 m 一咖) 】 ( 1 1 7 ) 或者 三上。d v d v 奎厶一，d 叫b ( v - - v , w ) ( f 7 z 一，删咖) + 出宰) 一出，) _ 咖纠( 1 18 ) 所以当妒( 臼) = 1 ，u ，i v l 2 时， i q ( s ，f ) ；o ( v ) d v = 0 我们称1 ，u ，l v l 2 是算子q 的碰撞不变量关于碰撞不变量，我们有下面的命题 性质1 1 1 ( 2 9 ，3 1 】) 设妒( u ) 是连续函数，那么 | q ( s ，f ) o ( v ) d v = 0 当且仅当妒( u ) = a + b u + c l v l 2 ，这里a 、c 是数量而b 是一个向量换句话说。 b o l t z z n a n n 方程阻0 1 ) 的所有碰撞不变量都是1 、仇( 1 i n ) 、i v l 2 的线性组合 第一章b o l t z m a n n 方程基础 1 1 2g r a d 角截断假设 在碰撞核b ( z ，叫) = 6 ( c 0 8 目) 7 p 一至，豸 中，有两种奇异性对于伽一表示， 目是口一巩与w 所形成的角，则当日= 土三时，b ( c o s 0 ) 有下列形式的不可积奇异性 s i n 肛2 ( c 。s 口) 一嘉，当口一士吾 这里，k 是一个正常数，= 簧如果= 3 这种奇异性称为角奇异性当日= 土琴 时，口，= v ，u ：= 仇这种碰撞称为“擦边”碰撞( g r a z i n gc o l l i s i o n ) ，即碰撞几乎不 改变原来各自的运动它对应于碰撞参数是无限大。对于仃一表示而言，设q 是u u 。 与盯所形成的角 0 ，丌 ) 这时候，当0 f = 0 或丌时产生角奇异性为了能更好 的理解叫一表示与矿一表示之间的关系，我们有必要进一步考察它们之间的变换令 n = 3 ，作变量替换 一呙_ 2 饥 很容易验证 咖= 志打 以钞一仉为轴，假设( 蚩三哥，i ，歹)