（课程与教学论专业论文）“推理与证明”专题进入《高中数学课程标准（实验）》的研究.pdf

摘要 2 0 0 3 年，国家普通高中数学课程标准( 实验) ( 以下称标准) 出台， 预示着高中数学课程改革进入了崭新的阶段。为此，对颁布的课程标准进行研究， 意义是非常重大的。“推理与证明”专题进入高中新课程标准的研究，就是基于 这样的目的。 本文的研究是基于对标准深入解读的基础之上的，包括两部分。 第一部分是，首先通过访谈、问卷调查以及相关的理论研究，论证“推理与 证明”专题进入高中课程标准的必要性与可行性；然后借助一些适合高中教学的 案例，给出标准实施之后开展本专题教学的几个设想，如，加强数学方法一 般原理的理解与掌握、在数学研究的过程中学习数学思想方法、在“多元联系” 中提高对数学方法的认识以及体现数学的文化价值，等等。 第二部分是，通过课堂教学实验及其相关的调查研究，指出在“推理与证明” 专题教学中，为实践上述教学设想，可采用“数学课题探究”教学模式，并且给 出这一教学模式的操作流程，进而把这一教学模式运用到高中其他选修课程专题 的教学中去。 在上述研究的基础上，本文对标准中“推理与证明”内容要求的制订提 出了一些建议，给出了高师院校在应对高中新课程标准的挑战中，调整课程内容 与体系、转变教学方式的一些具体做法与建议，最后指出对标准继续研究的 几个问题。 需要说明的是，标准选修课程的研究还处于起步阶段，文中提出的教学 建议与教学模式的可行性仍需在高中教学的实践中进一步检验与论证。 关键词：普通高中数学课程标准选修课程推理与证明教学模式 a b s t r a c t “s t a n d a r do fm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mf o rs e n i o rh i g hs c h o o l ( e x p e r i m e n t a l d r a f t ) ”( s t a n d a r d ) i no u rc o u n t r yw a si s s u e db yt h em i n i s t r yo fe d u c a t i o ni n 2 0 0 3 w h i c hi n d i c a t e st h a tt h em a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r mi nh i g hs c h o o lh a s s t e p p e di n t oan e ws t a g e t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et os t u d yt h e s t a n d a r d t h i si st h ep u r p o s eo fo u rr e s e a r c ho nt h ee n t e r i n go ft h es p e c i a lt o p i c “r e a s o n i n ga n dp r o v i n g ”i n t ot h es t a n d a r d t h i sr e s e a r c hi n c l u d e st w op a r t s ： i nt h ef i r s tp a r t ，t h en e c e s s i t ya n df e a s i b i l i t yo f “r e a s o n i n ga n dp r o v i n g ” e n t e r i n gt h es t a n d a r dw a sp r o v e dt h r o u g hi n t e r v i e w i n g , m a k i n gq u e s t i o n n a i r e s a n dr e l a t i v et h e o r e t i c a lr e s e a r c h t h e n ，s o m ep r e s u m p t i o n so nt h ed e v e l o p m e n t o ft h ei n s t r u c t i o na f t e rt h es t a n d a r dw a s p u ti n t op r a c t i c ew e r em a d ew i t hs o m e c a s e sw h i c hw e r es u i t a b l ef o rf u t u r ei n s t r u c t i o n ，s u c ha st os t r e n g t h e nt h e u n d e r s t a n d i n ga n dm a s t e r yo ft h eg e n e r a lp r i n c i p l e so fm a t h e m a t i c a lm e t h o d s ， t ol e a r nt h em a t h e m a t i c a lm e t h o d si nt h ec o u r s eo fm a t h e m a t i c a ls t u d y , t o e n h a n c et h ec o g n i t i o no fm a t h e m a t i c a lm e t h o d si n “m u l t i p l el i n k s ”a n dt o e m b o d yt h em a t h e m a t i c a lc u l t u r a lv a l u e sa n ds oo n i nt h es e c o n dp a r t ，o nt h eb a s i so fs o m et e a c h i n ge x p e r i m e n t si nc l a s s e sa n d r e l a t i v et h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，w ep o i n t e do u tt h a ti no r d e rt o a p p l y t h e i n s t r u c t i o n a lp r e s u m p t i o n sm e n t i o n e di nt h ef i r s tp a r t ，w em u s ta d o p tt h e t e a c h i n gp a t t e r n “i n q u i r yo fm a t h e m a t i c a ls u b j e c t s ”i nt h et e a c h i n go ft h e s p e c i a lt o p i c i na d d i t i o n ，t h eo p e r a t i n gp r o c e d u r e so ft h ep a t t e r nw e r ep r e s e n t e d a n dt h ep a t t e r nw a se x t e n d e dt ot h et e a c h i n go fo t h e re l e c t i v ec o u r s e s b a s e do nt h ea b o v er e s e a r c h ，t h i st h e s i sm a d es o m es u g g e s t i o n so nt h e c o n s t i t u t i o no ft h es t a n d a r da b o u tt h ec o n t e n ta n dr e q u i r e m e n to ft h es p e c i a l t o p i c a tt h es a m et i m e ，w ea d v a n c e ds o m es p e c i f i cw a y sa n ds u g g e s t i o n sf o r n o r m a lu n i v e r s i t i e st oa d j u s tt h ec o n t e n ta n ds y s t e mo ft h e i rc u r r i c u l u m sa n dt o t r a n s f o r mt h e i rt e a c h i n gs t y l e si nr e s p o n s et ot h ec h a l l e n g eo ft h ee l e c t i v ec o u r s e s i nt h es t a n d a r d i nt h ee n d ，s o m ep r o b l e m sw e r e a d v a n c e df o rf u r t h e rs t u d y f i n a l l y , i ts h o u l db ei n d i c a t e dt h a tt h er e s e a r c ho nt h ee l e c t i v ec o u r s e si nt h e s t a n d a r di ss t i l li ni t ss t a r t i n gp h a s e t h ef e a s i b i l i t yo ft h es u g g e s t i o n sa n dt h e t e a c h i n gp a t t e r nn e e d sf u r t h e rp r o v i n ga n dt e s t i n g 一k e yw o r d s ：g e n e r a ls e n i o rh i g hs c h o o l ，s t a n d a r do f m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m ， e l e c t i v ec o u r s e ，r e a s o n i n ga n dp r o v i n g , t e a c h i n gp a t t e r n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名盎盗眦。丝业：12 r 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名r 壹妃松导师签名：j 丝，次式 日期：州，2 - ，r 日期：棚；二7 第一章研究背景及目的意义 1 1 研究的背景 进入2 1 世纪以来，出于计算机科学、教育学与心理学以及数学自身的迅猛 发展，引发了世界范围内的数学课程改革。我国从2 0 0 0 年6 月开始组织人员在 基础教育课程改革指导纲要等文件精神指导下，对世界主要发达国家的数学 课程标准进行了认真研究，并对国内高中学生的学习现状和数学学习心理进行了 详细调查，2 0 0 2 年3 月国家高中课程标准制订组发布了高中数学课程标 准框架设想征求意见稿，随后在广泛征求社会各界意见的基础上，于2 0 0 3 年 4 月出版了普通高中数学课程标准( 实验) ( 本文以下简称标准) ，并同时 开始组织编写实验教材、确定实验区和实验方案，培训教育行政干部、教研人员、 校长、教师，2 0 0 4 年9 月开始，部分地区己开始试用“实验教材”。 为推进新课程标准的顺利实施，广大数学教育工作者对标准展开了深入 研究。笔者申报了2 0 0 3 年度温州师范学院校级科学研究基金课题“标准下高 中选修课程的研究”，对标准进行了研究，本文是这一课题研究的一部分， 论题是：“推理与证明”进入高中数学课程标准( 实验) 的研究，该研究也 是在上述的大背景下展开的。这里的“推理与证明”专题是选修课程内容，为此 下面对标准中选修课程与“推理与证明”专题分别予以概述： 1 1 1 选修课程概述 标准共有四部分，第一部分“前言”，明确了课程性质、提出了课程的 基本理念及设计思路，第二部分是“课程目标”，第三部分是“内容标准”，包括 必修课程、选修课程和数学探究、数学建模、数学文化这三部分的内容与要求、 说明与建议以及参考案例，第四部分是“实施建议”，提出了教学建议、评价建 议和教材编写建议。 标准中与选修课程相关的内容包括： 基本理念 课程的基本理念共l o 点，其中第2 点提到：提供多样课程，适应个性发展。 也就是说：高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不 同的发展，课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多侧面、 多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教 师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当的转换、调整。同时，课程也 应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身的条 件，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。由此可见，标 准中非常重视课程的选择性，为学生选课提供了充分的选择空间，适应了学生 的个性发展，从而进一步强化了选修课程在整个高中课程中的地位，把选修课程 的重要性提到了前所未有的高度。 课程框架 高中数学分必修和选修。必修课程由5 个模块组成；选修课程有4 个系列， 其中系列l 、系列2 分别由2 个和3 个模块组成，系列3 、系列4 分别由6 个和 1 0 个专题组成：每个模块2 学分( 3 6 学时) ，每个专题1 学分( 1 8 学时) ，每2 个专题可组成1 个模块。 选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生 进一步学习获得较高数学素养奠定基础。系列1 是为那些希望在人文、社会科学 等方面发展的学生而设置的( 下文称侧文) ，系列2 是为那些希望在理工、经济 等方面发展的学生而设置的( 下文称侧理) 。系列1 ，系列2 内容是选修系列课 程中的基础性内容，系列3 和系列4 是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素 养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生迸一 步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终生的发展，有利于学生扩展数学 视野，有利于学生提高对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的 选修专题内容还应随着课程的发展逐步予以扩充。 选修课程内容的逻辑顺序 选修课程一般应在所有的必修课程开设之后再开设。必修课程中，数学1 是数学2 ，数学3 ，数学4 和数学5 的基础，全部必修课程是选修课程中系列1 、 系列2 课程的基础，选修课程中系列3 、系列4 基本上不依赖其他系列的课程， 可以与其他系列课程独立开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序，但“推理 与证明”专题的学习将有助于选修系列3 与选修系列4 专题的学习。必修课程共 1 8 0 个学时，通常可以在高中一年级完成，高中二年级与三年级学习选修课程。 1 1 2 “推理与证明”专题概述 本文要研究的“推理与证明”专题，包括在选修系列1 2 ( 包括统计案例、 推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图) 和选修系列2 2 ( 包括导数及其 应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入) 之中，它在系列1 2 与系列2 2 中有一些内容基本相同，但要求不同，有一些内容则是不同的。 在标准中，提出了“推理与证明”专题的教学目标与大致所用的教学课 时数，界定了本专题的内容，明确了这些内容的要求，对教学提出了说明与建议， 并给出“欧拉公式的发现”和“平面上的圆与空阃中的球的类比”两个参考案例。 上面概述表明，与以往的高中数学教学大纲比较，标准发生了很大变化， 特别是选修课程，无论是它的教学内容，还是教学方式都有很大改变，甚至还有 相当一些选修系列专题是以往高中教材中所没有的。 1 2 研究的目的与意义 很明显，标准的改革力度是相当大的。尽管标准制订者在标准 发布前进行了高中数学课程标准的国际比较研究，并在国内一些中学做了实验， 经过了反复修改与研究。然而目前国内有关标准的研究主要集中在必修课程 上，对选修课程方面的研究只能说还只是刚刚起步，对选修课程的实验与研究相 当缺乏，可供借鉴的研究成果也非常有限。为了课程改革的顺利实施，当前有必 要对每一个选修课程系列专题进入高中的必要性及可行性、内容取舍、深度广度 设计、教材编写等做深入广泛的研究与实践。本文主要针对的是选修专题“推理 与证明”这部分内容的研究。 选择“推理与证明”专题作为选修课程研究的突破口，其理由：一是“推理 与证明”作为一个专题来学习是标准中新增加的内容，这部分内容以往人们 对它不够重视；二是它是所有选修学生必须选修的，选修面比较广；三是由于“推 理与证明”这一专题内容属于数学思想方法之类，相比数学知识类的内容，它的 教学更难把握，目前有关它的教学研究也比较少。总之，“推理与证明”专题的 研究在选修课程中较有代表性，对其他选修课程专题会有更好的借鉴作用，尤其 是对方法性比较突出的教学内容，其借鉴意义将会更大。 关于“推理与证明”进入标准的研究目的与意义在于：一是通过这一专 题的解读及其教学等方面的研究，对标准中有关这一专题内容与要求制订的 合理性与可行性进行讨论，对今后高中开设这一专题的教学提出若干设想，从而 为标准制订者与中学教师今后的研究与教学提供参考意见；二是通过这一专 题的研究，进一步推广到对高中如何开设选修课程这一问题的探索，从而为选修 课程的教学实施提供一种相对可行的教学模式：三是给出高师院校在应对标准 选修课程挑战中，调整课程内容与体系、转变教学方式的一些具体做法，为高师 在基础教育的改革中发挥应有的作用提供依据。同时，希望通过这一专题的研究， 收集并编写一些高中选修课程相关的教学配套材料，为新课程标准选修课程的实 验提供素材和实践依据，从而为今后建立高中数学选修系列课程的教学理论和实 践作点贡献。 4 第二章研究综述及研究方法介绍 2 1 国内研究综述 近几年，国内对高中新课程标准展开了一系列研究。2 0 0 3 年4 月出版的数 学教育学导论t i l l 一书中，介绍了高中阶段数学课程标准的国际比较，讨论了标 准的一些基本问题，如基本理念、标准的基本框架以及处理高中数学内容的一 些新视角等。数学教育学报把“普通高级中学数学课程标准介绍与讨论”列为 2 0 0 4 年选题计划，数学通报、数学通讯等杂志从2 0 0 3 年9 月起相继开辟 新“课标”论坛栏目。 与标准的选修课程以及“推理与证明”相关的研究主要集中在四个方面。 第一个方面是标准与原全日制普通高中数学教学大纲( 试验修订版) ( 以下简称大纲) 的比较研究，主要有数学教育学报2 0 0 4 年2 月( 第1 3 卷 第1 期) 、数学通报2 0 0 4 年第1 期、中学数学教学参考2 0 0 4 年第4 期写的一批 论文，特别是数学通报2 0 0 4 年第7 期发表的“数学课程标准和新教学大纲中的 选修课程比较”。一文，更是直接指向了选修课程的研究。在这些文章中，它们 分别就数学观与课程功能观、指导思想、课程目标、课程结构、课程内容、课程 对象以及课程评价等方面的新变化进行了比较研究。研究表明：选修课程的框架 发生了很大变化，大纲只将高中数学分为必修课和选修课，选修课包括选修 i 和选修i i 和两个研究性课题学习；课时上，比起大纲，在标准中，选 修课程在高中全部课时中所占的比例大幅度增加，比如大纲理科方向共3 6 8 课时，其中选修8 8 课时，约占总课时的2 5 ，而标准相应部分超过5 0 ，由 此可以发现标准更加突出了选修课程。 第二个方面是标准下高中数学教学该如何应对。钱佩玲在数学通报2 0 0 3 年第1 0 期发表的“如何认识数学教学的本质”【2 0 】一文，从理论高度概述了标 准下的高中数学教学是师生双边活动、师生共同发展的过程，指出：“数学教 学中应该把握好数学的两个方面数学内容的形式性和数学发现的经验性，我 们要使学生能认识数学的这两个方面，学习数学发现和形成数学理论过程中归纳 和演绎这两个侧面，学习数学的基本思考方式。标准在内容部分重视从丰富 的实例出发，其目的之一就是强调学习数学中对数学归纳这一个方面的认识， 但同时又非常强调要抽象概括，注重演绎推理。在选修系列1 、2 中新增加的推 理与证明的内容中，关于两种推理的学习也是一个具体体现”。他在2 0 0 4 年第 4 期发表的“新课程理念下的双基教学”f 2 1 1 一文中，对新增的“推理与证明” 内容的教学做了简要说明。数学通报2 0 0 4 年第6 期，国家普通高中数学课程标 准实验教科书编委会撰写的“普通高中数学课程标准教材的研究与编写”1 2 2 1 一 文中，就教材编写的指导思想、教材创新的目标、教材创新实践进行了论述。 第三个方面是高师如何应对标准的若干讨论。在数学教育学报2 0 0 4 年 2 月发表的“高师数学教育如何应对基础教育新数学课程的挑战”【2 3 】一文中，指 出新的课程标准对高师数学教育带来了新的挑战，提出了高师数学教育几个应对 的措施，如加强对高师生的情感与态度及价值观教育，调整课程体系与内容，倡 导新的学习方式以及转变教学方式等等。刘立明“高中数学课程标准与高师 数学专业课程改革” 2 4 】一文中，指出高师要构建多样化的选修课程体系以及重 新优化、整合数学教育类课程。 第四个方面是选修课程若干专题的解读及教学建议。比如数学通报刘绍学教 授写的“开关电路与布尔代数” 2 9 1 ( 选修系列4 ) 一文，通俗易懂地对布尔代数 这一非常抽象的概念进行讲述，为本选修课题的开设提供了教学材料的支持； 2 0 0 3 年第1 2 期“关于在高中开设矩阵与几何变换选修课的实验研究”1 3 剐 一文，则是从中学实验这一角度，阐述了选修课程的教学。另外还有一些文章对 诸如数论等选修课题在中学开设进行了讨论。尽管国内的这些研究都没有直接涉 及到“推理与证明”这一专题，但是其中对标准选修课程的研究以及对有关 “推理与证明”的一些讨论对本文的研究还是很有借鉴作用的。 2 2 国外相关研究材料 数学中的推理和证明是i c m e l 0 中的研究主题1 2 1 。美国田纳西洲9 年级到1 2 年级的数学课程标准框架【1j 中，其中一个过程标准就是“作为推理的数学”。它 指出：数学学习必须强调推理，要具有批判性思维、逻辑推理，重视对问题解决、 思考过程以及数学猜测的说理与解释；给出猜测、收集证据以及进行讨论是做数 学的基础：“作为推理的数学”关注的是引导学习者去给出和证实数学猜想、对 数学问题的价值作出判断、给出一个逻辑的结论以及阃题的发现与答案的理由。 日本杉山吉茂著的基于公理方法的中小学数学学习指导旧1 6 l - - 书，立 足于公理方法的观点上，对数学教育进行了研究。作者期望通过公理方法的思维， 即“寻找依据( 公理、原理) ”和“在假设( 公理) 的条件下思考”进行教学， 来培养学生的数学的观察方法和思维方法，培养学生的创造和发展能力。书中的 一些观点对本文的研究有定的影响。 从国外有关研究可看出，“推理与证明”是数学重要的一部分，学会推理与 证明方法是数学教学的重要目标。 2 3 研究方法及其实施 本文研究的基本设想是：依据标准的设计思路、内容要求以及说明与建 议，对选修课程系列进行教学实验，从而论证部分选修系列专题在中学开设的可 行性和内容与要求的合理性，为这些专题的教学提供合理化建议。 基于此，本文采用了理论研究、教学实践总结、教学实验和调查等研究方法。 在理论研究方面，首先认真解读标准，深入领会新课程标准的精神所在， 阅读相关的研究论文；其次从数学方法论的角度学习“推理与证明”，准确把握 它的内容与要求，并在高师开设“数学方法论”等课程教学实践的基础上，深化 对“推理与证明”这些知识的理解与把握。 在教学实践总结方面，一方面，根据自己多年的高中数学教学经历，以及指 导高师学生在高中数学教学实习的一些体会，对选修课程的教学进行总结反思， 另一方面，依据标准中选修课程专题( 包括推理与证明) 的内容与要求，编 写教学材料，形成讲义，并在笔者所在的学校对中师生、高师专科和本科生、参 加本科函授的中小学教师及继续教育的中学教师等多种对象进行讲授，在多次的 讲授中不断优化教学案例，编选一些比较切合高中学生的选修专题的参考案例， 从而形成选修课程教学的点滴设想。本文所用到的全部教学案例，都是笔者在多 次教学实践的基础上经过不断修改形成的，其中一部分案例是笔者在高中教学时 曾经用过的。因此，本文的研究，教学实践总结法占了相当的分量，因为笔者深 信基于研究者的经历来开展研究的重要性。 在此需要说明的是，关于高中选修课程的研究，理应放在高中进行，但标 准颁布仅一年多时删，很多中学教师对此并不了解，当前的教学实验只在一些 国家教委指定的实验区进行，而且现在大部分的实验针对的是必修课程的教学， 笔者所在的地区又不是标准的实验区，联系的一些中学大多因选修课程与高 考无关而婉拒了，因此本文的研究事实上没有在中学丌展，只在“准中学”( 中 师) 及高师院校展开，籍此启发对标准选修课程的研究。而对“中学”的研 究，只能等待今后弥补，而作为后续研究的一个重要方面。 在教学实验方厩，选取笔者在高师数学方法论课程中开展的教改实验的 典型课例，即“基本不等式的探究”来研究适合选修课程开设的合适的教学模式。 在调查研究方面，采取了访谈与问卷调查两种方式。 关于访谈，笔者选择了两种不同对象。 一是对中学教师进行访谈。对象是有5 年以上教龄的普通高中数学教师，访 谈的主要内容是：标准选修课程内容与要求的感想，高中开设选修2 1 与2 2 “推理与证明”的必要性、内容要求的合理性，数学归纳法的设置与教学，高中 如何开展选修课程的教学，高中教师如何胜任标准选修课程的教学等等。这 类对象的访谈，除了4 个老师面对面交谈外，其它6 位老师笔者是通过电子邮件 的方式，把访谈问题发给他们，然后要求他们把对问题的思考结果再发回来。 二是对高师院校教师就标准选修课程的看法、师范院校在课程设置上如 何调整以及教学方法上的改革进行访谈。对象是学校教务处的老师、数学系主管 教学的领导以及数学基础课老师，采取个别访问的访谈方式。 关于调查，对象是笔者任教的“数学方法论”课程的学生，其中包括五年制 中师四年级学生4 2 位，高师数学系大三学生6 4 位，共1 0 6 人。调查的内容有两 部分，一是高师课堂采用“数学课题探究学习”教学模式的调查，二是大学与中 学学习“推理与证明”的必要性、对数学归纳法原理的理解及其学习必要性的调 查。调查采取问卷方式，对五年制中师四年级学生的调查是在2 0 0 4 年上半年完 成的，对高师数学系大三学生则是2 0 0 4 年9 月底作的。 8 第三章“推理与证明”专题的教学 “推理与证明”这一专题安排在标准的选修2 - 1 与选修2 - 2 模块中，选 修2 - 2 比选修2 - i 除多了“数学归纳法”这一内容，其他内容一样，但要求有所 不同。本文主要以选修2 2 为蓝本展丌论述。 3 1 “推理与证明”专题进入标准的必要性与可行性分析 3 1 1 必要性分析 学校教育应当以学生发展为本。在数学教育中，应当使学生在数学的知识、 思维、方法以及理性精神等方面得到发展。这既是数学教育的作用所在，也是数 学教育的目的所在。 由于推理与证明是数学的基本思维过程，是做数学的基本功，也是人们在日 常学习和生活中常用的思维方式，是发展理性思维的重要方面。通讨数学方法的 学习，可以使得那些在不同层次上学习数学的人们对数学的精神保持一种领悟。 数学与其他学科的区别除了研究对象不同之外，最突出的就是数学内部规律的正 确性必须用演绎推理( 逻辑推理) 的方式来证明，丽这些规律( 数学结论) 经常 要用合情推理去猜测和发现结论、探索和提供思路，因此，学习掌握推理与证明 方法，被认为是从事未来数学职业的人的一项基本能力要求，也是这门学科的特 殊标志。另外，就数学方法而言，数学推理与证明方法构成了数学方法论中一个 最基础的子系统，它在数学发展中的奠基地位及重要作用是显而易见的。所以， 标准设置了“推理与证明”专题，能使学生比较系统地了解推理与证明的基 本方法，通过对不同方法的比较，加深对它们的理解，从而提高运用这些方法去 解决问题的能力。同时，学习了合情推理的基本方法，也有助于提高学生的数学 思维能力，而不单单是以往所强调的逻辑思维能力。 另外，还要看到，随着课程改革的不断深入，“双基”的内涵也在发生变化。 在标准中，基础知识不但包括概念、定理、公式等知识，还包括基本的数学 思想方法，也就是说，标准中的“双基”已增加了数学思想方法这一新的内 涵，自然的“推理与证明”也成了“双基”的一个新的内涵。因此，无论是学数 学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，以及“双基”的落实，都需要在高 9 中数学中加强这方面的学习和训练。所以，从与时俱进地认识“双基”和“双基” 教学的角度来看，也可以看出“推理与证明”这一内容作为一个专题进入高中的 必要性。另外，国外的一些课程标准，如罔纳西湘课程标准( 9 1 2 年级) ，将数 学看作是“推理的数学”【“，从中可见“推理与证明”在整个数学中的重要地位。 在高中教师的访谈中，大部分教师、认为，在高中阶段把“推理与证明”作为 专题来加以学习是非常有必要的，并指出了其中的理由。例如： 教师甲：选修2 2 推理与证明的设计是可行、有必要的，因为推理与证明 是为了培养学生严密推理能力和逻辑思维能力。它的学习可以规范学生对数学问 题的表述和推理。如分析法、反证法、归纳法的学习为学生研究新问题、新知识 提供了科学方法。 教师乙：“推理与证明”的学习是对以前所学知识从方法角度上的概括， 能促使学生从方法论的高度更好的理解所学知识，同时也是学生自觉地以方法论 指导自己学习的一个良好开端。 由此看出，高中教师已充分地认识到“推理与证明”在数学教学中的重要性。 笔者在对高师( 含中师) 选修“数学方法论”的学生调查中发现，9 6 的学 生认为“推理与证明”作为专题在高中学习是有必要的，其中有7 6 的学生认为 系统学习它相当有必要，有2 0 的同学认为不必太系统，要以具体例子为主。以 下是几个学生的回答： 数学本身就是逻辑性较强的一门学科，需要的是理解而非死记硬背。因此， 学习推理与证明方法是非常有必要的。学习推理过程有助于我们从根本上了解其 蕴含的数学思想，久而久之，便能拥有自己的一些想法。而证明，它可以让我们 考虑问题时更加严密，更具有逻辑性。中学阶段，很有，必要学习这些内容，这样 可以尽早接触数学思想方法的学习。 推理与证明方法，不仅要学，而且要学好。它不仅有利于提高我们对问题 的分析能力，而且有助于发现真理，认识事物的本质。 学习推理与证明方法 - 3 然是有必要的。我觉得这种能力的提高需要一个 漫长的过程，所以在中学时就开始灌输这种思想会比现在( 指大学) 开始学要好 得多。 由此可见，高师学生对这部分知识的重要性是高度认可的。 综上所述，“推理与证明”作为专题内容进入高中新课程是非常有必要。 3 1 2 可行性分析 首先，在以往的大纲中，数学思想方法是零散在中学各个阶段的。“反 证法”的名称在初中阶段就已有过，在高中必修“9 ( a ) 直线、s f 面、简单几何体” 一章中要求学会运用；“分析法与综合法”是在高二“不等式”一章提出的，用 来证明不等式时所用，演绎法在平面几何证明中早已用上；数学归纳法是在选修 i i 第二章极限用较大篇幅介绍的【7 1 ( 更早以前的教材安排在数列这一章) ，公理 化思想部分学生也略知一二。不过，在以往的教材中，观察发现、归纳类比等合 情推理方法尚没有得到足够的重视。 标准中，把“推理与证明”作为一个专题来集中教学，与大纲比较 起来，是有较大变化的，但教学还是比较容易把握的。因为教学这部分内容，主 要是通过大量案例的分析，总结推理与证明的基本方法，而大量的案例可以取自 学生以往学过的知识；而且高考一贯非常重视数学思想方法的考查，在高考复习 中，大多数教师会安排“数学思想方法”的专题教学，这就相当于把推理与证明 的一些方法集中作为一个专题来集中教学，这样，标准中的“推理与证明” 实施起来，多数教师就不会感到陌生。标准中增加了“推理与证明”专题， 与大纲比较起来，更加突出了它的重要性。当然，高考复习的做法与标准 的内容要求还是有很大区别的，i j l 者侧重的是解题方法，而后者则更强调推理与 证明的一般思维方法。 其次，在全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中，指出数学课程的 学习，应强调学生的数学活动，发展学生的推理能力，其中合情推理能力的 培养应贯穿于义务教育阶段的始终。在第三学段( 7 年级9 年级) ，合情推理能 力培养的目标是：“能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的 猜测”，“能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜 想”；而在演绎推理方面，则要求学生“体会证明的必要性，发展初步的演绎推 理能力” 3 4 o 基于此，高中阶段进一步学习“推理与证明”，在选修课程中予以 深化，能进一步提高学生相关的能力。 再次，高中必修课程5 个模块这些知识中，都已经“零散”的涉及到推理与 证明方法的学习。特别是，在选修l - 1 和选修2 1 ( 它们在“推理与证明”之前 学习) 学生将学习“常用逻辑用语”，通过学习，学生能正确地运用逻辑用语表 达自己的思维，更好地进行交流，为今后学习“推理与证明”提供了逻辑上的保 证和准确的语言工具。 最后，当前中学已普遍意识到数学思想方法的重要性，在知识教学中加强了 数学思想方法的渗透，从中还摸索出一些行之有效的教学方法，比如，“贯彻数 学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的教改实验( 称m m 实验) ，就尾数 学思想方法教学的一个成功的例子，而“推理与证明”属于方法论范畴，说明它 的教学已经有相当的教学实践可供借鉴，这为标准中这部分内容的丌设奠定 了实践基础。 综上所述，“推理与证明”作为选修专题进入高中选修课程不仅是必要的， 也是可行的，通过专题的学习，更有助于学生数学研究能力的培养，理性精神的 提升。当然，事物都有两面性，我们得客观的看待它。在标准中，“推理与 证明”专题的设置也不是绝对的，因为选修2 2 中的“推理与证明”专题除了数 学归纳法外，都可以在系统的数学知识的学习过程中加以渗透，对于无法渗透的 少量实例，也可以作为阅读材料来处理；另外，如果该专题教学中不注意与前面 内容的联系，这个专题的设置很可能会有一种生硬、离散的感觉。但是，将“推 理与证明”作为一个专题来集中教学，可以使学生对推理与证明方法从无意识学 习转变到有意识学习，从以往相对模糊或无形的学习转变到有形的学习，从而使 学生对推理与证明方法的掌握落到实处。我想，这或许是标准制订者将“推 理与证明”作为一个专题进入标准的初衷吧! 3 2 “推理与证明”专题的教学设想 一般来说，数学教学内容贯穿着两条线：数学基础知识的教学与数学思想方 法的教学，前者是一条明线，而后者是一条暗线。因此，数学思想方法的教学往 往是比较难以把握的，要在教学中逐步渗透，是一个渐进反复逐步提高的过程。 推理与证明方法属于数学方法论范畴，为此，在证明与推理方法的教学中，方 面应遵循化隐为显、循序渐进与学生参与等原则，把握思想方法学习的分合统一 的基本原则；另一方面，应在学生理解掌握数学思想方法的前后衔接的三个阶段 ( 潜意识阶段一明朗化阶段一深刻化阶段) 中，采取“多次孕育一初步形成一应 用发展”相应的教学对策。 3 6 1 标准中也提到：“教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、 猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误 的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与逻辑推理，而0 i 追求对概 念的抽象表述；本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总 结；在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必 要性，对证明的技巧性不易作过高的要求。” 5 , p 4 9 1 这些教学建议值得我们在教学 设计时充分加以考虑。 由此看来，在中学数学教学的各个阶段、各种知识的教学中，教师应树立强 烈的“思想方法”意识，通过挖掘、提炼、明确化等方式，使学生感受和体验如 何学会数学的思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作 用，逐步形成对一些基本的科学方法、数学方法的正确理解，提高运用这些方法 解决问题的水平。 3 2 1 加强对数学方法一般原理的理解与掌握 教学中，应该引导学生弄清推理与证明基本方法的原理所在，并从原理出发， 使学生运用原理进行创造性、发展性的学习。在此，应首先让学生意_ 谚 到证明的 必要性，然后才会自觉地使用推理与证明方法来解决问题。当然，在丌始教论证 的时候，都可能会遇到这样的问题，即学生觉得要论证的问题( 包括由猜测获得 的) 的真实性太显然，没有证明的必要。因此，立足于从“寻找论据”这一思路 出发，那么尽管问题非常显然，学生也会认识到证明的必要性和证明的意义。“如 果对证明的目的，除了表达某个命题为真之外，还要强调寻找思路，那么在证明 某个命题的真实性以后，便会回过头来检验保证其真实性的要素和命题之间的关 系，于是证明更严密化，命蹶更一般化，达到弄清问题的本质，并会在此基础上 去思考、发现新的问题，从而获得了新的知识，即进行了发展性的学习”。“6 ” ( 1 ) 帮助学生准确理解数学思想方法的实质 学生只有准确地理解了某种数学思想方法的实质，才能灵活运用它去解决问 题。而学生对数学思想方法的学习，往往要通过整个高中数学学习中对它的多次 接触，通过问题解决的活动等方式，来不断加深对思想方法的认识和理解。“推 理与证明”专题的教学，就是为了对一些学生已经接触过的基本方法作一次总结 提升，因此，教学中应该帮助学生准确理解数学思想方法的实质，这是本专题教 学中首先得以考虑的。 案例1 ：反证法的教学 反证法教学中，应通过实例帮助学生弄清反证法的实质。比如通过“2 是 无理数”的证明，明确下面几个问题，来加深对反证法的理解。 反证法是怎样的的一种证明方法? 反证法是在“正难则反”的情况下采取的一种间接证法，它是从需证命题结 论的反面出发，通过导致矛盾来推倒这个结论的反面，从而肯定这个命题的真实 性的一种证明方法；其实质在于通过矛盾转化达到问题解决的目的；从命题等价 的角度看，反证法实际上是证明了原命题的逆否命题。由此它的步骤是“三部曲”： 首先反设，然后归缪，最后存真。英国数学家哈代说的好：“反证法是数学家最 有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。 象棋奕者不外牺牲一子或顶多一子，数学家属性先把全局拱手让与对方! ”。”5 1 反证法证题有何特点? 由于用反证法证明一开始题设中就增加了否定结论这一条件，于是就提供了 较多的“原料”去“炮制”一连串的推论，虽然这一切推导的结论都是“子虚鸟 有”的，但正是因为有了反设，才使证明有了更多的“回旋余地”。这正是反证 法的优势所在。也就是说，反证法的特点是，把结论否定了当条件用，条件加强 了更易于推出矛盾。比如“2 是无理数”的证明，有了假设“2 是有理数” 之后，互就具有了m ( 其中m , n 是互质的正整数) 这样的形式，这样就为矛盾 h 的“制造”创造了更多的条件。 当然，我们也要意识到，由于导出怎样的矛盾比较“宽松”，导致欲证的目 标即构造什么样的矛盾往往不甚明确，这可是反证法证题的一个缺陷，但同时也 预示了矛盾的导出往往会有多渠道，比如有了“2 是有理数”之后，就可以导 出诸如m ，1 , 7 同为偶数、一个确定的自然数可以无穷递降等等矛盾。 为了让学生理解并会运用反证法，教学时应多举一些经典的例子来说明，比 如证明斯坦纳一李密士定理( 若三角形的两内角平分线等长，则此三角形必为等 腰三角形) 、素数有无穷多个等命题，并通过一些生活中的例子和一些比方来帮 助学生理解反证法。同时通过反证法在证题中的不断运用，使学生逐步了解反证 1 4 法的适用范围与注意事项，提高该方法的运用水平。 ( 2 ) 多角度地领会基本原理。 用通俗易懂的方式、直观的手法和多元的解释，才能深刻地领会数学中的一 些基本原理。 案例2 ：数学归纳法的教学 使学生理解数学归纳法是一种正确的证题方法，它具有科学的依据，这是数 学归纳法教学的基本目标。 然而，在当前高中教学实际中，经常有诸如学生在归纳假设的运用上遇到稍 难的问题时不知所措，或者是出现“假数学归纳法”即第二步推理中没有采用“归 纳假设”等现象，其中的主要原因是学生没有正确领会数学归纳法的原理。 为了促使学生对数学归纳法原理的正确理解，教学中，教师应通过一些通俗 易懂的方式，来达成这一基本目标。比如，多米诺骨牌，它是数学归纳法这一抽 象的数学概念较为直观和形象的数学模型。运用过程中，对多米诺骨牌应加以如 下限定：“想象有无限多块”，“是一种理想状态”，“保证推倒”，以避免引起误解。 多米诺骨牌推倒过程这一现象的本质是：首先是在外力作用- r g 一块骨牌被推倒 了( 这相当于数学归纳法中的奠基步骤) ，其二是前一块骨牌倒下一定推倒后一 块骨牌( 这相当于数学归纳法中的递推论证步骤：如果前一个命题正确一定可以 推得后一个命题也正确) ，如果有了这两点，所有的多米诺骨牌都将被推倒( 这 相当于数学归纳法中的归纳总结的步骤) ”。以此，“生活化”地揭示了数学归 纳法的基本原理。 笔者把g 波利亚著的数学与猜想关于“前h 个正整数的平方和1 、2 3 2 + + 2 公式的探索”“”1 加以改编，