（概率论与数理统计专业论文）再保险中最优化问题探讨.pdf

摘要 在葳除联论静琚究串，鞍舞搏耩寸鳃嚣怒，鞋及更麟过程弱方法，褥虱了广泛鹭应 用破声概举的研究者们结合保险行业的实际情况，邋用时问序列中的思想，讨论了 各种复杂形淼模型下的破产概率止界，如保费理赔相依，考虑利率相关等攥璎，并由 此得到了一系列的相关性质和结论 这些破产概率上界都是运甩鞅，停对班及更薪过糕的方法得到的我们邋避对极 丈燕理沦懿学露窝骚究发褒，羧大簸疆沦孛嚣擐多恿慧遴过一定懿转毒l ：也霹驻藏蘑翻 风险理论巾，由就我# 】可以获舜一个角度得封籀应懿皱产概率上界本文鹃第一舔分 讨论了极大假中的一些理论，并对条件进行了放宽，使之遗合风险理论中的爨际条件 还对其中的某些定理进行了一定的改进，使其上界变小，提高了精确度 其实保除中的破产概率上界的研究已经相当成熟和究善了，而由保险引发出的再 保险行韭魂在当今高稃技熬推动下发撵了越来越重要鹃镩爝，这就捷褥对薅繇黢破产 撩辜鳃探专鼋饔着羹要酶实嚣意义。零文懿第二部势将辩搏绦貔懿破产囊率蓑努谬缓懿 讨论。 再保险的生要功能体现为；分散承保风险、增强可遥用资金等因而很多学者都在 研究讨论辫保险的分担承保风险的最优化问题不过他们讨论的基础都是建崴在再保 险合作有效的条停下，也就是在肯定了再保验有降低赋绦蹬公司风险的功散的前提下 寒| 雩论戆。艇怒实耩上蒡不是辑蠢瓣毒绦殓都麓发撵海 篆斑险弱凌越，本交将辛孛论在 怎样静蘩况下再保险公霹可戳降低麓陵。另多k 蘧靛辩疆优阕题的讨论都蘧祆潦保险 公司的角度上来看的，这里我们想从双方利益均衡的角度来讨论最优蛊留额的问题 最后我们迸想看看在同等风险的情况下原保险公司可以减少多少初始资产，能其资金 能得以充分利用 关键谣t 壤大缀不等式；再像隆破产概率；安全受荷；爨馨额；初始炎产 a b s t a c t n o w a d a y s ，t h et h e o r ya b o u tm a r t i n g a l e ，s t o p - t i m e ，a n dt h er e n e w a lr e c u r s i v et e c h - n j q u eh a sb e e n i d e l ya p p i j e dj nt h er i s kt h e o r e m 8 胤a r c h m a n ys c i e n t j s t sh a v eu s e d t i m e s e r i e st os t u d yt h eb o u n d so fr l l i np r o b a b i l i t yu n d e rv a r i o l l sc o m p l i c a 七e dm o d e l s a n dh a eo b t a i n e dm a r l yg r e a tp r o p e r t i e 8a n dc o n c l u s i o 璐 i na c t u a r 斌8 c i e n c e ，8 l m o s ta l lt h er e s e a r c ho nt h eb o u n d 8o fr u i np r o b a b i b t y w h i c l lh a 坩b e e nd o n eh a sl l s e dt h e 曲e o r yo fm a r t i n g a l e ，8 t o p - t i m e ，a i l d 七h er e n e w a l r e c u r s i v et e c h i l i q u e r e c e n t l y i r i t ht h es t u d y i n go ft h el i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t y t h e o r y ，w ef o u n dt h a tt h 鹤et h e o r e m sc a nb e 印p l i e di nt h er i s kt h e o r e m sr e s e 盯c h s o w ec 8 ng e tt h eb o u n d sd fr u j np r o b a b 诅i t y 埘古h8n e wm e t h o d i nt h e 缶s tp a r to ft h i sa r t i c l e ，w eh a v ei m p r o v e ds o m ei n e q u a t i o n 8i nt h el i m i t t h e o r e m 8o fp r o b a b i u t yt h e o r ya n dh a v ea p p l i e dt h e mt og e tt h eb o u n d 8o fr u i np r o b a b i b t y i nf a c t ，m u c hw o r kh a sb e e nd o n ei i li i l 8 u r a n c er e s e a r c h b u tr e i n s u t a 皿c ew h i c hi s s t i an e w 丘e l dt o 璐i sb e c o m i gm o r ea dm o r ei m p o r t a 正l t s oi t i s i n t e r e s t i n ga n d s i g n i f i c a n tt os t u d yr e i n s u r a n c e i nt h es e c o n dp a r to ft h i sa r t i c l e ，w eh a 、 ed i 8 e u s s e d t h ep r o p e r t i 器且b o u tr e i n s u r a n c e t h em a j o rf u n c t i o n so fr e i n 8 u r a n c e8 r ed i s p e r s i n gr i s ka n db 0 0 8 t i n gu pt h em n d s om a i l ys c i e n t i s t sh a v e8 t u d i e dt h eo p t i o nm e t h o d sa b o u t 曲p e r s i n gr i 8 k b u tt h e c l a s s i c a li i l o d e l s 耻el l s u a l l yb 晒e do nt h ee 伍c i e n tr e i n s l l r a n c ea s s u m p t i o n ，t h a ti s ， t h e yc o n s i d e rt h a tr e i n s u r 舭1 c ed i s p e r s e sr i s ks u r e l y b u ti nf a c t ，t h a t sn o tt r u ei na n y c o n d i t i ( ms of i s tw ed i s c u s st h a ti nw h 记hc o n 出t i o nr e i n s l l r 舡l o ec a nd i s d e r s er i s kt h e n w ed i s c u s st h eo p t i o nr e t e n t i o nc o n s i d e r i n gt h eb e n e 凰o f b o 七hi n 8 u r a n c ec o m p a n ya n d r e i n s u r a n c ec o m p a j l y fn o t o n l y j u s t o n e0 f t h e m a t l a s t w es t u d y h o w m u c hr e s e r v a t i o n c a nb er e d u c e du n d e rt h es a m er u i np m b a b i l i t 矿 讹可叫。珂so 他dp 巾s e s ： r u i p r o b a b i l i t y ； r e i n 8 u r a n c e ； l i i n i ti n e q u a t i o n s ；s a f e t y 1 0 a d ：r 启t e n t i o n ：r e 8 e r v e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知滁文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中作了明确 说明并表示谢意。 作者签名：墨! ! 垒日期：2 塑：点：偿 学位论文使用授权的说明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学校论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保留的 学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 孑1 ，华 炒5 j f g 导师签名： 日 期： 第一章背景介绍 华东师范大学硕士论文 l 第一章背景介绍 在风险理论的研究中，鞅和停时的思想，以及更新过程的方法，得到了广= 2 乏的应 用依据鞅和停时的思想，b o w e r s 在【1 1 中研究了经典模型( 保费为连续变化的，理赔 为离散且独立同分布的随机变量) 下的破产概率上界后继学者们在此基础上运用时间 序列的理论，推导出了更为复杂的模型下的破产概率上界，如当保费，理赔为离散的， 且保费之间，理赔之问不独立的情况下，运用时间序列中 r ( p ) ，m ( q ) ，以r m a ( p ，q ) 模型来讨论；当保费和理赔之间存在相依性时，运用时间序列中门限自回归模型来研 究；当考虑时间效应问题时，用含有利率，并且利率之间满足时间序列的模型来探讨 这些模型都变得更为复杂，但更符合实际情况近年，c 正在 1 8 】中给出了比由b a w e r s 理论推导出的上界更为精确的结果，而后又由此衍生了一系列的复杂模型下的破产概 率上界 上述这些破产概率上界都是运用鞅，停时以及更新过程的方法得到的。而我们通 过对极大值理论的学习和研究发现，极大值理论中的很多思想通过一定的转化也可以 应用到风险理论中，由此我们可以从另一个角度得到相应的破产概率上界本文的第 一部分讨论了极大值中的一些理论，并对条件进行了放宽，使之适合风险理论中的实 际情况；还对其中的某些定理进行了一定改进，使其上界变小，提高了精确度 其实破产概率的上界在保险中的研究可以说是相当成熟和完善了，而由保险引发 出的再保险开始发挥越来越重要的作用在高科技的发展和广泛应用中，大额保险标 的日益增多为了保障投保人的利益，也为了保全保险公司的正常运作，再保险开始 发挥举足轻重的作用，因而对于再保险破产概率的讨论有着重要的实际意义。本文的 第二部分将对再保险的破产概率展开详细的讨论 再保险是保险人在原保险合同的基础上，通过签定分保合同，将其承担的风险和 责任部分转移给其他保险人的一种保险从责任限制上分，再保险可分为比例再保险 和非比例再保险，前者的自留额和分保额是以保险金为基础确定，后者则是按赔偿金 额确定比例再保险中最常见的是成数再保险和溢额再保险；非比例再保险中最常用 的是超额赔款再保险和超额赔付率再保险其中最为经典，讨论最多的也就是超额赔 款再保险，因为它是再保险中效益最优的险种后面我们也将主要讨论这一险种 再保险的作用主要体现为分散承保风险、增强可运用资金等。因而很多学者都 在研究讨论再保险的分担承保风险的最优化问题c h r i s t i a nh i pp ，m i c h a e lv 0 酗等， 已经利用随机微分方程证明了在比例再保险和超额赔款再保险中自留额最优解的存在 问题；c a i 等则在1 7 1 中提出了y o r ，g t e 等新的准则来判别最优化问题；d a v i d 在 第一章鸳景奔绍 华东瘁蓬大学硕士论文 2 潮审，专雩沦了缳费连续，毽戆努囊l 翼跃籀数努衣帮p 口e 掘分毒穗嚣下，囊：鲷再绦羧 秽怒皴戆款弄保险掰对瘦鳃最往院鲷魏簸筑鑫辩额阏瑟，还有一篓其毽学者逮| 主圣论了 簸傀蒋保险定价模蛩 不过他们讨论的基础都是建立在再僳隐会傺有效的条件下，也就是在肯定了露僳 陵有降低原保险公司风险的功效的前提下来讨论的，但是实际上并不是所有的再保险 都能发挥降低风险的功能我们将讨论谯怎榉的情况下再保险公司可以降低风险另 外。他们对最优问题的讨论都是从原保险公讶的角度上来看的，这里我们想从双方利 擞均衡的角度来讨论最优自留额的问题墩聪我们还想看看在同等风险的情况下原保 除公司可以减少多少初始资产。使其资盒勰褥以究分利用 本论文的安排如下t 第二章，讨论了极火德不等式的改进及其在风险理论中的应 厢；第三章奔绍了再豫险中的见个蹬静静援溅；第姆章，双理论上证明了在原保险公 镤蜜垒受蒋蠢毒保验公秀安全受旖稳等条掺节，簸僚蹬公司静玻产概率圪其避行褥保 歉辩簧，l 、，遣餮透骧了潢是上述条镣夔褥像貔爨骞努整藏貔戆凌效，接下寒擦| 专了霉 绦陵公霹胃渡降低藏险的骧赛安全受麓麓燧；第麓掌，及双方弱盏垮鬻酶燕度寒毒雩论 激傀鑫留藏的闷题；第六章，讨论了骧像除公弼在同等风险的情况下初始资产酶减步 阿燧 第二章极大值不等式的改进及其在风险理论中的应用坐壅塑堇盘堂塑主鲎塞3 第二章极大值不等式的改进及其在风险理论中的应用 2 1 准备知识 假设 托，女1 ) 为一列相互独立的随机变量，r ( z ) 为随机变量k 对应的分 布函数，& 为其前n 项和，我们把关于p r m a x ! 蜒。& ) 的不等式称为极大值 不等式p e t r o v 在【2 3 】中，详细地讨论了极大值不等式的性质在此，我们先看其中 两个很经典的不等式 首先，定义 肛( 一。，) = 蒯i ( z ) ， k = 1 。 b ( 一o 。，) = 2 蛾( z ) k = 1 。o f 定理1 i 设n 2 ，e 虬= o ，e 础 o 。，= 2 ，n ，记a 。= ：2 e x 2 ，则 对任意的q ( 0 ，1 ) ，z r ，有 p r ( 嬲瓯$ ) ( 岛z 一( 畚) 5 ) ( 2 1 1 ) 定理2 对任意的正实数z ，口及1 n ，有 p r ( 靠z ) p ( 。磁) + 唧t ；一c 半+ 等产，n c - + 茄b m 上。， 定理1 给出了独立随机变量和的极大值的尾概率分布函数与独立随机变量和的 尾概率分布函数的不等式关系，定理2 给出了独立随机变量和的尾概率分布函数的上 界我们发现实际应用中定理1 所要求的条件e 弧= 0 ，一般是很很难满足的；定理 2 的上界也是可以进一步缩小的因此本文考虑将定理l 中的e 虬= o 条件去掉，得 出相关的结论；对定理2 进行改进，得到一个更小的上界而将这两个不等式联立起 来则可得到独立随机变量和的极大值的分布函数的上界我们可以看到破产概率中对 盈余分布的研究，实质也就是对一列独立随机变量和的极大值分布的研究，于是我们 可以利用此联立不等式得到破产概率的上界。接下来本文将给出改进了的不等式及其 证明并将其应用到风险理论中 第二章援大值不等武酶改进覆其在藏狳理论申的应用华东努范大学硕士论文4 2 。2 摄大蓬不等式豹羧迸 蒋蠢我# j 谈到可默对公式( 2 1 。1 ) 穰( 2 1 。2 ) 邂行改进，为了更势静涯曝，蓄毙缭 出 1 】中的一个 l 理 目i 理1 ：假设存在一个常数g o 和q o ，使得 p r ( r 一鼠一a ) q= 1 ，一，n ， 则对任意的实数茁，有 p 嬲风茹) 蔓j p 。( 品茁一 下箍给出了势剃对公式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 缎避后盼定理1 秘定理2 7 ： 宠疆l ：设 墨，l 滚是，e 霹 。，记热= 未= 2 驭2 + 銎2 淌e 茏e 玛， 掰辩锤意戆g o ，1 ) ，z 跫，有 p r 懋& 妨s ；p r ( 炙。( 鲁) 4 ) 。 ( 2 2 诫明t 对任意的ls 8 ，祷 p r ( 东茹) = 王) f 霉埘k 8 轴) se 如 受豫， 嚣耐 p r ( 又z ) se “2 e e 帆+ p r ( 凰g ) ( 2 2 3 ) 易知晒数，( 茁) ：学关于z 是非降的，所以硝数9 ( ) = 生意声关于h 是非降 的；对任意的托o ，函数9 ( ) = 坐毒燃燕乎z 也是非降的- 因此我们稠 财缸= e “吲卅z ”唰z ) l + 矗，”斑段f 茹) + ，9 e 船一l 一矗善) d 最( 。) l + 矗互。斑段( 茹) + 互。产一1 一妇) d 最( 。) sl 矗f 9 砖最( 固+ ( 一l 一是功纩。厂矿d 最( z ) ，一 j 一 se x p 靠厂z 矗最( 。) + ( e 蜥一l 一 曲一zf ”z z d r ( $ ) s 野( p 靠fz 矗最( 。) + ( e w l 一幻塘一f 。d ；( 。j j 一曲 j o 。 因为禹，相互独立，从而z ，磊墩相互独立，因此 e 一 2 e e “晶= e 一“n 饕1 e e “讯 e x p 一 z + p ( 一o 。，剪) + ( e 蛔一1 一 可) 岔一2 b ( 一。o ，可) ) ( 2 - 2 4 ) 讽g ( ) 。一a z + 姆( 一o 。，们+ ( e 蛔一l 一 ”) 2 8 ( 一o 。，p ) ，对9 ( ) 关于h 求导，得 矿( 毳) = 一卫+ 芦一。o ，芎) 一爹一1 嚣。o ，磐) + 努1 e 姆8 ( 一。，鳓， 第二窜龊大僮不等式酶改进厦其在风险程论中辑应用堡壅塑堇盔堂堑圭熊塞6 旷( ) = 8 妇8 一o 。，e 。 令g ( 哟= 0 ，解褥 矗可1 l n ( t + 与糌) ， ( 2 2 渤 所以9 ( ) 在 驴_ l l n ( 1 + 与擀) 。 处取得最小值因为不等式( 2 2 3 ) 对任意九o 成立，所以只要z2 卢( 一o o ，) ，等 斌( 2 2 4 ) 就成立将九= 代入不等式( 2 2 3 ) 中，得到； e 也萨蔓e x p 型掣 菇j 謦上述苓等式我入2 。2 。2 ) 孛， p r ( & 妨怎l ( 溉# ) 一r 等掣一掣+ 弘，+ 与譬学， 。 挈笋g 一o 。，j 。 褥弱缝沦； + e x ，t 掣一c 掣十等掣脚+ 群臻 定理诋毕 注；如果我们令 = g 一1 l n ( 1 + 高) ，z o ， 则得划了原不等式( 2 1 2 ) 通过上面的证明避稷可以着出，我们得到的上界比原不等 式( 2 ，i 2 ) 小，从两改进了臻 不等式。 2 3 。缀必毽苓等式在风险理论孛豹应爰l 在定理2 7 中，当的分布以及x 瓣德绘定时，不等式右边是一个关于”静连续 滋数。根据的取值范匿我们可以求出不等式右边的最小值，从而得到了独立随机变 燃和的分布函数的上界将其运用于风险联论中，则可得到破产概率的上界下面我 们讨论极大值不等式在风险理论中的应用 设 碥，n 1 是一列独立同分布的非熊随机变量，五= k c ，& 为 尥 的前n 项和，即= ：1 扎记一扎一岛，r = m i n 礼： o ) ；定义 妒( 札) 一p r ( 丁 。) 。 这魁风险理论中常用的经典离散时闻破产概率模型。其中h = 为初始资产， e 淹革位时闻收取鲍保费，k 为第k 令攀傻嚣寸阏魏理赔量，为了使破产概率不恒为 第二章极大值不等式的改进及其在风险理论中的应用华东腼羹盘兰塑垒塞7 1 ，要求n = e ( y ) c ，则“为时刻n 对应的盈余，t 为破产发生时的时刻，这样 我们所定义的妒( u ) 就为破产概率 在实际问题中，我们很难计算出来破产概率的值，一般都是给出破产概率的一个 上界在经典的风险理论中，破产概率的上界基本都是用鞅方法和更新方法得到的 这里我们利用极限理论中的极大值不等式来得到破产概率的一个上界 显然破产概率满足 妒( u ) 2 熙h ( t n ) 2 恕p r 嬲最“) 定理17 给出了关于p r m “t ! k ! 。鼠u ) 的不等式，我们得到； p r ( t 竹) = p r 嬲& “) 扣( “一( 鲁) 。) 记知= u 一( 鲁) ，则再由定理2 7 知 p r ( t 扎) 口一1 k l p r ( 戤) + 既p 坚等剑一( 堑等业+气掣m c + 啬铲m 显然，当地的分布以及。o 的值给定时，上述不等式右边是一个关于g 和q 的连 续函数，记为9 ( ，g ) 在实际保险理赔中，保险公司都会设定最高理陪额，所以我们 选择k 的分布为常见的截尾分布，如截尾正态分布，截尾指数分布，截尾t 分布， 模拟计算得到的g ( ”，q ) 的最小值都小于1 这样我们得到了破产概率的个有意义的 上界，为： i n f ( o ，。) ，口( o ，1 ) ) q 一1 ：1p r ( 。f ) + 唧 坠等业一( 墼每幽+ 专掣) n ( 1 + 等) ) 2 4 数值模拟 在实际问题中，虽然我们很难计算出来破产概率的值，但是我们很容易由公式求 出它的上界为了更好的说明我们所得到的破产概率的上界和真实的破产概率之问的 关系我们做了一些模拟记z 为服从指数分布的随机变量，p ( 。) 为其密度函数，则： p ( z ) 。；e x p ( 一i ) 假定 k ) 独立同分布于y ， y ：j z ，认d ， 【d ， z d 第二章 极大值不等式的改进及冀在风险理论中的应用华东师范大学硕士论文8 在模戮中我们取参数d = 0 4 5 ，c = 0 1 4 5 ，日一o 1 5 ，可以求得e ( y ) 一0 1 4 2 ， 我们可以饕出以上的假设满足定联成立的条件在以下的模拟中，考虑到幽n 取到 2 0 玖露，辍汀 ) 已经非常缦涎p r ( ? a g 第三章再穰验摸鍪舞奔绍 华东舞莲大学壤士论文l l 其中。为约定的壹负责任比率 再保险公司的赔付模型表示为： z 一 ! 二g 妻i ：蓦 赔付率超额再保险的保费的拟定和越额赔款再保险类似，不是按照自留额与分出额的 比率定的，是以另一种规则来确定的 对于上面的四种再保险模型， g 敲农 1 中提到，傈陵模型中的超额赔款辩保 险是这匿释孛效益最高的，丽虽迸一麓赵务位学者主要讨论鳇经典险种。霹掰戎菇疆 鳃搴节里，我织毽主要是疆怒菝髓藏褥缳貔摸鍪为基础，探讨霉缳缒孛懿各耪最豫阏 惩，霹时毽筵萃戆 ：孛沦一下跑鲷蒜缳狳巾熬成熟霉搽验模登。舅多 零文都燕采麓一般 常焉酶破产撮率静准剜佟为傥纯孵拳8 剃壤赠。 嚣落章募镶蹬公霉藩器安全囊靖 华寒帮范大学磺士论文1 2 第四章荐保险公司l 盗界安全负荷 4 1 _ 准备知识 为了更好的理解再保险破产概率棋烈，我们先阐述一下无再保险时原保险公闭的 缀典破产概率模型 设 k ，他l 是一列独立同分带乎随机变量x 的非负随机变量，f ( 窖) 为x 的分布函数( t ) 为参数为弘的p o l 8 8 0 n 过程，记，( ) = + d 一：矍j ， ? = m i n ：f ( 砖 o ，则对于我们上述经典破产概举撩型丽言，我们可1 2 王得到其破产概攀值满怒； 灿) _ 1 一南磊( 1 刊1 f _ ( 4 姚) 萁申f ( t ) 为f j ( t ) 的n 重卷积 证明t 因为理赂次数是满足参数为p 的p o i 8 s o n 过程，记第n 次发生理赔的时剡 为足，等待时间为矸i ，鞴，n = 瓦一一l ，剃 为独立同分布于参数为弘的指数 分蠢。 第四章蒋保险公司临界安金负荷华东师范大擘硕士论文1 3 所以 妒( n ) = p r f 。) = p r ( “+ 瓯一茂o ，存谯菜个n 1 ) ) = p r 扣+ 嘏一托o ，存在某个n 1 ) = p r 链+ c 暇一墨) 兰o ，存农荣拿n 1 ) = n 攀( x - c m 胁) - 令d ( u ) 一1 一妒( 乱) ，砌 5 ( 霹一辍鼍一e 联) 鼹搿专戆n 2 1 ) i = l 记 剥 一p r ( 一c 眦) o ；2 p r ( ( ) 一c o ，x l c 帆 ) e ( p r ( ( ) 一d 一溉+ c m ，对所有的t 0 ，墨一c 叭 训蜀，m ) ) 77 p r ( f ) 一d 露 。) 弘e 一”魄 ，o + f 芦e 5f6 ( + 一z ) 招靠 ：e m p 。z ”e p ：。 z 。6 ( z z ) c 任一( z ) 】出 对两边求爵可彳尊t 文。) = i ：。“础z ”e 咖暖4d 。一霉) 摆蚓如+ ：e 知 一e 一”如暖“5 一茹) d f l = ：5 ( “) 一：z ”5 ( u z ) d f ( 。) 。 麓 黼 i | 蜉鬣 堑婴主要堡堕坌塑i 堕墨塞垒壅煎芏墨塑塑型墅型翌主竖1 4 则对上式微分方程从。到t 积分，由l e b e 8 9 l l e 积分可知； d ( 。) ：6 ( 。) + ：z 6 ( u ) d u 一：z j ( “6 ( u z ) d f ( z ) d “ ：邮) + 鬈m ) 护：r 邓( “叫酬；+ p ( u 叫附) 出) d u ：6 ( o ) + ：z d ( u ) 出t + ： z j ( o ) f ( ”) c 池一z 。z ( u z ) f ( z ) d “d z ) ：即) + 搿舢) “邪) 附冲一z 。脚郴，( u 叫叫0 ) ) 嘲 = 那) + ：j ( 跏) 扯：j ( 。邢叫聃) 如 = 印) + ：z 。即叫如一：z 。叫毗) 如 ：即) + ：触t 刊瓣z 令一o 。，且由 6 ( o 。) = l 一妒( ) 得 则 由上面对c 的定义可知 所以可得 ，刈0 ) + 玎雨如 = d ( o ) + ：e ( x ) = 印) + 譬 印) = l 一譬 j ( o ) ：- 、7 1 + 口 ) = 南+ 击小) 丽出 = 南+ 南小胁 再由l a p l a c e 变化知，等式( 4 12 ) 成立。 证毕。 第四章再保险公司临界安全负荷华东师范大学硕士论文1 5 我们可以发现 p 5 面两一1 ：f ! 业型塑一， 舻e ( x ) = 日 即p 其实与前面提到的安全负荷是等价的 4 2 超额赔款再保险模型下的临界安全负荷 我们再来看看进行再保险后的原保险公司的破产概率模型前面我们已经谈到了 超额赔款再保险的最优效益性，在这里我们就先从超额赔款再保险模型开始讨论 假设原保险公司的自留额为m ，( m o ) 记原保险公司的理赔额为k ，则； k ：墨，墨 m 【m ，m 设原保险公司的安全负荷不变，依然为日，b f 原保险公司向投保人收取的单位保 费c 不变再保险公司所要求的安全负荷为q ，一般要求q 日，否则原保险公司可 以把所有风险转给再保险公司，并还可以从中收取保费差额，显然是不合理的同时 由于再保险公司承担了巨额分险部分的保险业务，一旦有索赔发生，即要承担巨额的 赔偿，其中的风险较大，因此要求竹口也是合理的 因而原保险公司霈给再保险公司支付再保险费用c ，为 c ，= ( 1 + q ) p e ( x y ) 则原保险公司的实际保费收入为t o l = c d = ( 1 + 目) p e ( x ) 一( 1 + q ) p e ( x y ) 这样我们得到进行再保险后的原保险公司盈余模型应该为： ( t ) 巩( t ) = “+ c l t 一k 记乃= m i n t ：巩( ) o ) ，妒1 ( “) = p r ( 丑 m 第四章再保险公司临界安垒负荷 华东师范大学硕士论文1 7 所以 f j ( “) g f ( “) 对所有的u 都成立) 我们再来看一下【6 】中推导出的引理： 引理2 ：设随机向量 ( 以，k ) ，t = l ，是独立的随机向量，如果对所有的i 和任意的实数z ，对应的分布函数都满足f ( 玑 。) 2f ( m z ) ，则f ( ：耄矾 ：置。o ，存在某个t 2o ) n = l 记进行再保险后的原保险公司的破产概率为妒7 ，设n 为约定的比率，且满足n ( 0 ，1 ) ，则由前面第三章提到的成数再保险的模型可知： 妒= p r 哦( ) o ) _ v ( t ) = p r u + 。d 一a k o ，存在某个t o ) n = 1 _ ( ) = p r ( 1 一口) u + o ( u + 以一乏：k ) so ，存在某个t o ) n = l ( t ) p r o ( 口+ 矗一) o ，存在某个t o ) n = l _ v ( t ) = p r u + d 一o ，存在某个t o ) 由此可见，对于成数再保险模型，在初始资产不变的情况下，进行再保险后的原保险 公 司的破产概率一定会小于无再保险的破产概率。也就是说成数再保险是可以降低风险 的，对原保险公司是一定有利的 第五章再保险中的最优自留额华东师范大学硕士论文2 l 第五章再保险中的最优自留额 关于最优自留额的讨论，一般都是从原保险的立场出发的，但是对于整个合作的 优化分配而言，应该是建立在双赢的基础上，也就是双方利益都达到最优所以在讨 论最优化问题时，仅以一方的利益为基准是有失偏颇的在前面的讨论中，我们也可 以发现原保险公司和再保险公司的利益之间肯定会有矛盾冲突能把这种冲突降到最 小化，才是我们所期望的最优结果怎样体现达到冲突最小化。合作双方都满意呢? 下面我们依然从超额赔款再保险中来探讨这一问题 设投保人的理赔额x 服从参数为 的指数分雍，时刻t 内发生的理赔次数( ) 为服从参数为p 的泊橙过程，向投保人单位时间收取的保费为c ，原保险公司的初始 资产为“，自留额为m ，安全负荷为目，再保险公司的初始资产为u 2 ，安全负荷为 q ，记仉( ) 为原保险公司t 时刻的盈余，如( ) 为再保险公司t 时刻的盈余 原保险公司的盈余模型第四章中已给出为r f “ 仉( ) = ”1 + c i t 一k n z l 其中 k ：j ，k “， im ，矗m c l ：( 1 + 口) p e ( x ) 一( 1 + 叶) p e ( x y ) 由第四章我们提到的e m b r e c l i e t s 提出的求解公式( 4 12 ) ，可以得到原保险公司 的破产概率为： 一 + 。 妒- ( “) = l r ( 1 + n ) “嘴 ( 51 1 ) 其中 舻赢_ l ，g ，小) 2 南j ( ；。( 卜g ( 枷咖 g ) 为y 的分布函数，g ( ) 为国( ) 的n 重卷积 已知x 为服从参数为a 的指数分布，因此满足t 已知x 为服从参数为a 的指数分布，因此满足t 9 1 2 石丽 r 1 + p 1 ( 1 + q ) e “”) 1 雾五章孬僚殓孛魏最侥蜜磐壤华东舞范大擎磺士论文2 2 g h ( 缸) =鬻酬 u 0 时， 可求得 p r ( z = t = 0 ) =p r ( x m = o ) p r ( x = m ) l e 一“m g ( z 1 ) 一g x m ) 一g x t + m ) 端圭一一 疆+ 珥 。 州u ) 一高厶。( 1 一) 猕 一 + l a e 一腩一e 一1 “ 晟然g 丘( u ) 关于m 是单调递增的，谨( 珏) 兼于m 也是单调递增的所以在脚确 定的情况下，仍( 让) 关于m 是单渊递减的这和实际也是相符的。 同样由b d w e r s 提出的公式( 4 1 1 ) w 推翔，再保险公司的破产概率为t 蜘) = 琢蒜豪。 礤) 靶2 嚣硪习霾溺蕊丽。 p _ 琳j 藏理霹褥再镖陵公霹懿溪节系数悠秀下列努程戆最小正蕻： p + c 2 搦一舻 珐( r 2 ) ( 5 。l + 7 ) ，m，十 a 如( 尼) = ae p ( 一 ) d 茹+ ae x p ( 如( 。一m ) ) e x p ( 一a t ) d z j 0j m = ，一e 卅圳+ 掣 = t + 篙 薅羚，枣子 嚣( z ) 。篓掣， 第五章再缳陵孛静最捷鑫餐壤华奉；| l | i 范大学馥去埝交2 5 代入方程( 5 ，1 7 ) 得t 如一坠雩譬业 - + 坐警掣堂 ：i 二鱼鱼! 翌! 型 a 一兄 即飓为上述方程的解同样飓的摄徽解根难求出，我们依然可以通过数值模拟米求 解 5 。2 。纛挽准则的讨论 藏匿邑挺虱过关于鬟霞宴餐额瓣怒疆，哭考虑一方是有失镶瓤懿，我# l 羧浚考虑 双藏效应。鄄么怎弹方魏透鹫这耱载豢簸聚缀2 壹麓邃我豹哥黻怒羹l 这襻一整竣黧； 撞粥一考虑嚣个绦验公霹破产 雪c 攀魏秘，莰努暖产概率帮迷雾| 最，j 、的为激馓缀 合 准则二考虑到其中任意一个保除公耐陂产都会使得再保险合同有所变疑，我们 设定使得其中任一保险公司破产即为合同终止，则定义使得这一合同终止的破产概率 达到最小的为最优组合 我们设定原保险公司和再保险公耐的初始资产相同首先来看第一个准则， 记两保险公司的破产概率和为妒( “) ，则 妒( u ) = 妒i ( “) + 如( 让) = p r ( 噩 + 。) + p r ( 砖 8 豹，我弱驭弘= 3 ，a = l ，8 一o 。l ，雄= # + 0 ，l ， l 一# 2 一1 0 得蓟如下瓣二( 缴坐标为妒( n ) 的取穰，横坐标为m 静漱毽) ： 第五章霉镶整孛舞最侥垂磐壤华枣势蓬大擎硬士论灾2 7 “ - ： 4 i - c ： 1 - ： i ： 一i ： l l ， ： ： 1 1 一 “”州岫飞m “。 网二 可以发现当m 接近0 时，两公澍的破产概率程达到最大，超过了l 。这是因为 再保险安全负荷是高于原始的安全受稽，也就是原保险公司的支付的再保险费用离予 英良投保人收取的费用，所以原缳除公溺瓣破产概率为l ，达到最大蔼隧若爨留凝 m 瓣蕴戆攒热，藏保险公霹玻产摄