（概率论与数理统计专业论文）分数布朗运动在图像分割中的应用.pdf

t h e a p p l i c a t i o no f f r a c t a lb r o w n i a nm o t i o nt oi m a g e s e g m e n t a t i o n at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l i q i n g s u p e r v i s o r ：p r o f r a n gg u a n g l i n h u b e i u n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 肌9m 6m 3 脚z川i跚y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名： 毒素 签名日期：2 。f 癖6 月旧 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，u p ： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：奎青日期：驯。年 指黝师群：抛勉拶：撕声 6 月f日 月父日 中文摘要 摘要 图像分割作为一种重要的图像分析提取技术，已经成为图像处理领域中的一 个关键问题。分数布朗运动作为描述自然界极不规则极为复杂现象的数学工 具，目前已经在信号处理、图像分析中得到了非常广泛的应用。 本文以研究分数布朗运动模型为基础，对图像的分形特征进行了特征提取，并 结合支持向量机方法对特征( h 值) 进行分类，实现了图像的边缘检测，取得了较好 的结果。主要工作成果体现在下面两个方面： 1 针对以往用传统的分形方法做图像分割时，在提取图像的分形特征后，主要 采用阈值法进行图像分类。该方法主要是直接赋予一个系数，该系数的选择主要 是通过分割效果来尝试，这种分割方式效率很低，也不是很精确。通过以上方法 的思考研究，本文提出了基于分数布朗运动和支持向量机的图像边缘检测，实现图 像分割。最后把该结果和其它经典微分算子的边缘检测效果作了对比，并进行了 结果分析。 2 提出了一种基于分数阶导数和分数布朗运动的图像分割方法，该方法是尝 试性的。主要是基于以往利用微分算子做边缘检测和分数阶微积分与分数布朗 运动的联系的思考提出的该方法，其有效性还有待于验证。 关键词：图像分割；分数布朗运动；支持向量机；边缘检测；分数阶导数 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o n ，a ni m p o r t a n te x t r a c t i o nt e c h n o l o g yo fi m a g ea n a l y s i s ，h a s b e c o m eak e yp r o b l e mi nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，a m a t h e m a t i c st o o lt od e s c r i b et h ev e r yi r r e g u l a ra n dc o m p l e x p h e n o m e n ai nt h en a t u r e ， h a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt os i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g ep r o c e s s i n gs of a r t h i sp a p e r , o nt h eb a s i so ft h er e s e a r c ho ft h em o d e lo ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o - t i o n ，m a k e saf e a t u r ee x t r a c t i o no ff r a c t a lf e a t u r eo fi m a g ea n da c h i e v e st h eg o o dr e s u l t o fr e a l i z i n gt h ee d g ed e t e c t i o no fi m a g eb yc a t e g o r i z i n gt h ef e a t u r e sw i t hs v m t h e m a i na c h i e v e m e n t sa l ea sf o l l o w s ： 1 t r a d i t i o n a l l y , t h r e s h o l dm e t h o di su s e di nt h ei m a g ec l a s s i f i c a t i o na f t e re x - t r a c t i n gf r a c t a lf e a t u r e so fi m a g ew h e ns e g m e n t i n gi m a g eb yt h ef r a c t a lm e t h o d t h i s m e t h o di sj u s tt og i v eac o e f f i c i e n tc h o s e nb yt h es e g m e n t a t i o ne f f e c t s ，t h u si n e f f i c i e n t a n dn o te x a c t t h i sp a p e rp r o p o s e si m a g ee d g ed e t e c t i o nb a s e do nf f a c t a lb r o w n i a n m o t i o na n ds v mt or e a l i z ei m a g es e g m e n t a t i o n c o m p a r i s o n sa n dr e s u l ta n a l y s e sa r e m a d eb e t w e e nt h i sr e s u l ta n de d g ed e t e c t i o nr e s u l t so fo t h e rc l a s s i c a ld i f f e r e n t i a lo p e r - 2 at e n t a t i v ei m a g es e g m e n t a t i o nm e t h o db a s e do nf r a c t i o n a lo r d e rd e r i v a t i v e a n df r a c t a lb r o w n i a nm o t i o ni sp r o p o s e d t h i sm e t h o di sp r o p o s e do nt h eb a s i so ft h e t h o u g h to ft h ep a s te d g ed e t e c t i o nb yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n dt h ec o n n e c t i o nb e t w e e n f r a c t i o n a lo r d e rc a l c u l u sa n df r a c t a lb r o w n i a nm o t i o nt h e r e f o r e ，i t sv a l i d i t yn e e d st o b ev e r i f i e d k e y w o r d s ： i m a g es e g m e n t a t i o n ；f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；s v m ；e d g ed e t e c t i o n ； f r a c t i o n a lo r d e rd e n v a t i v e 目录 目录 摘要i a b s t 凡虻t ( 英文摘要) l 绪论1 1 1 引言1 1 2 国内外研究现状2 1 3 论文研究内容及组织结构3 1 3 1 论文研究内容3 1 3 2 论文组织结构4 2 图像分割方法及特点5 2 1 图像分割方法5 2 2 基于边缘检测的图像分割7 2 2 1r o b e r t s 算子8 2 2 2s o b e l 算子9 2 2 3p r e w i t t 算子1 1 2 2 4l a p l a c e 算子1 3 2 2 5 c a n n y 算子1 4 2 3 本章小结1 7 3 分数布朗运动的理论基础1 8 3 1 分形与分形维数1 8 3 1 1 分形的定义1 8 3 1 2 分形维数1 9 3 1 3 分形的自相识性和标度不变性2 1 3 1 4 图像分形维数的估计方法2 2 3 2 分数布朗运动法2 6 3 2 1 分数布朗运动概念2 6 3 2 2 离散分数布朗运动模型2 8 3 2 3 分数布朗运动h u r s t 系数( h 值) 的估计2 9 i 湖北大学硕士学位论文 3 3 本章小结3 1 4 基于分数布朗运动和支持向量机的边缘检测3 2 4 1 支持向量机( s v m ) 分类原理3 2 4 2 灰度图像的边缘检测实验3 4 4 2 1 灰度图像的特征参数( h 值) 估计3 4 4 2 2 基于灰度图像的特征参数( h 值) 进行边缘检测3 4 4 2 3 处理结果分析3 5 4 3 本章小结3 7 5 分数布朗运动在图像分割中的相关研究3 8 5 1 基于分数阶导数与分数布朗运动的边缘检测3 8 5 2 方法改进3 9 6 结论4 0 参考文献4 1 致谢4 3 i v 1 绪论 1 1 引言 1 绪论 随着现代科学技术的发展，人们生活中所接触到的全部信息中，有8 0 以 上是通过视觉得到的。和语音、文字信息相比，图像信息包含的信息量更大、 更准确，因而具有更高的使用效率和更广泛的适应性。因此，图像信息对于人 们的日常生活和工作都是非常重要的。 目前图像处理技术已成为计算机技术科学、信息与计算科学、物理学、应 用数学、医学甚至社会科学等领域各学科之间学习和研究的对象。图像处理的 应用也越来越广泛，已经延伸到工程技术、工业生产、医学治疗、航空航天、 军事战略、科研研究、安全保卫等各个方面，在国计民生及国民经济中发挥越 来越大的作用。图像处理技术在各个领域的应用有着无与伦比的优越性。通过 分析资源卫星得到的照片可以获得地下矿藏资源的分布及埋藏量；利用红外线、 遥感技术可探测到隐蔽的军事装备；x 射线c t 成像技术已广泛应用于临床分析， 由于它可得到人体内部器官的断层图像，因此可准以确定病灶位置，为诊断和 治疗疾病带来了极大的方便；至于在工业生产中的设计自动化及产品质量检测 中更是大有作为；在安全保障及监控方面，图像处理技术更是不可或缺的关键 技术。因此，图像处理科学受到了科研各界的广泛重视，它对人类具有重要意 义。 图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的 地位，也是计算机视觉研究中的一个经典难题。计算机视觉中的图像理解包括 目标检测、目标识别等等，这些都依赖于图像分割的效果。尽管研究人员提出 了许多分割方法，但到目前为止还没有一种通用的方法，也不存在一个判断分 割是否完全的评价标准，因此被认为是图像研究中的一个瓶颈问题。 分数布朗运动( f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，f b m ) 被赋予不同的名称，如分 形布朗运动、有偏的随机游走( b i a s e dr a n d o mw a l k ) 、分形时间序歹l j ( f r a c t i o n a l t i m es e r i a l ) 、分形维纳过程等。与分数布朗运动结合最紧密的一个概念就是分 形，分数布朗运动就是一个常用的分形数学模型。自1 9 7 5 年，美籍法国数学 家m a n d e l b r o tb b 首次提出了分形这个概念以来，随着电子计算机的迅速发展， 分形的思想和方法在模式识别、数字图像处理、信息讯号的处理以及影视作品 湖北大学硕士学位论文 的制作等领域都取得了极大的成功。分数维作为分形的重要特征和度量，它可以 作为描述物体的一个不变的特征，把图像的空间信息和灰度信息简单而又有效的 融合在一起了，因而在图像处理与图像分析中备受人们的广泛关注目前，国内外 学者对这一问题已开展了较多的研究，但在分形维计算的稳定性、尺度选择等许 多方面仍需要进一步的研究。 分数布朗运动模型是m a n d e l b r o tb b 和v a nn e s s 等提出的可以用来描述 自然界中随机分形的一种统计自仿射数学模型，它将粗糙表面看成是随机游 动( r a n d o mw a l k ) 的结果，即在方向和距离上都是均匀随机变量。分数布朗运动模 型也是计算图像分形维数的一种重要的方法，其方法主要特点是可以解决用分 形维作为特征提取方法进行纹理图像分类和灰度图像边缘检测时的分形维计算 结果不稳定问题。 1 2 国内外研究现状 随着计算机科学以及图形图像学、虚拟机的发展，为分形的应用提供了新 的空间。分形理论与计算机图形学相结合产生了一门新的学科分形图形学。分 形图形学主要是利用分形的基本理论，结合计算机图形学现有算法生成模拟图 形，是运用分形与计算机解决图图像问题的一门学科。 自从1 9 8 4 年p e n t l a n d 首先将分维概念引入图像处理以来，目前图像 处理技术有了不少新发展。基于分形的图像处理，分维计算是一项 关键技术，各种研究往往都是通过图像分维计算来实现的，所以这 部分研究占有较大比例，取得了很多成果。m a n d e l b r o t 、v o s s ( 1 9 7 7 ) 提出 图像分维计算的盒维数估计法【l 】。p e n t l a n d ( 1 9 8 4 ) 用分数布朗随机场来表 达图像灰度表面 5 】。l u n d a h l 、o h l e y 等( 1 9 8 6 ) 用极大似然估计方法计算了 离散分数布朗运动的h u r s t 指数h 值，通过h 值对x 线医学图像进行了分 类【2 】。c h e n c h i c h a n g 、d a p o n t e 等( 1 9 8 9 ) 运用分数布朗运动模型，对医学超 声波图像进行了分类、边缘检测和增强1 3 1 。g h o z i ( 1 9 9 7 ) 把分数布朗运 动和马尔科夫随机场( m r f ) 结合起来对纹理图像进行了合成【1 1 】。p e s q u e t p o p e s c u 、j a c q u e s ( 2 0 0 2 ) 利用多维分数布朗运动模型对分形表面图像进行了分析 和合成【4 】。 国内也有许多学者在此方面做了研究，朱光喜、朱耀庭( 1 9 9 4 ) 采用离散分 形布朗增量随机场模型，通过提取特性参数h 值、方差、平均灰度值，然后结 2 l 绪论 合传统的聚类分割技术实现图像分匐j 1 4 】。薛东辉、朱耀庭( 1 9 9 6 ) 将分形用于自 然纹理描述，指出了用单一分形维数作为纹理分析特征的局限性，并提出了尺 度分维的新概念。研究了自然纹理与纹理边缘的尺度分维随尺度的变化规律， 提出了一种基于图像纹理特征的边缘提取方法，并分析了它的抗噪性能 1 5 】。 郭欣、曾亮等( 1 9 9 7 ) 采用基于图像模块的分形特征提取方法，利用特征点在特征 空间中的分布对图像进行分害l j 1 6 】。吴更石、梁德群等( 1 9 9 9 ) 以分形作为纹理特 征，运用图像变换的思想，结合差分盒计数和基于分形布朗运动模型的分形估 计方法对纹理图像分割取得较好的效果 1 7 】。胡金艳、张太镒( 2 0 0 4 ) 基于自然纹 理图像的分数布朗运动模型，引入一种新的分形特征参数分形尺度，提出计算 分形尺度的截矩线性度( i a l ) 方法，最后采用概率神经网络( p n n ) 作为分类器进 行自然纹理图像分类，得到较为准确的分类结果 1 8 】。杨绍清、刘松涛( 2 0 0 8 ) 把 的分数布朗运动模型运用到光电目标检测上，能够从自然背景中检测出入造目 标来 1 9 】。 将分数布朗运动运用于图像分割，已经有一段长的时间，许多工程研究人 员在这一方面进行了深入研究，并取得了较大的进展，但现在的计算方法适应 性较差，我们的目的是寻找一种适应性较好的算法，达到更好的分割效果。实 际应用中，很多图像分割方法还存在着计算复杂、参数选择困难等问题，阻碍 了这些方法的应用推广，如何利用新理论、新技术完善图像分割方法还需要进 一步研究和探索。 1 3 论文研究内容及组织结构 1 3 1 论文研究内容 本文以基于分数布朗运动的图像分割为研究主线，对分形、分数维 和h u r s t 系数进行了阐述，提出了把分数布朗运动模型和支持向量机( s v m ) 方法 结合起来，主要对灰度图像进行了图像分割，完成相关工作如下： 1 研究了图像分割的基本理论和主要方法，对基于灰度图像的分割方法进 行了总结，分析了这些方法的异同。 2 研究了分形理论，总结分析了分形维数的计算方法。 3 研究了基于分数布朗运动模型的图像分割方法，并进行了实例分析。通 过和其它经典边缘检测方法比较，验证了方法的有效性。 3 湖北大学硕士学位论文 4 提出了基于分数阶导数与分数布朗运动的边缘检测方法，此方法是跟据 前人的研究做出的一个设想，其有效性还有待验证。 1 3 2 论文组织结构 全文主要由如下几部分组成： 第1 章为绪论，主要介绍分数布朗运动的相关概念和应用背景，图像分割的 国内外研究现状及本文主要工作。 第2 章为图像分割方法及特点概述，主要研究图像分割的基本理论，分析目 前图像分割的方法，比较了各自的异同点，最后重点介绍了一些经典边缘检测 算法。 第3 章为分数布朗运动的理论基础研究，主要研究了分形特征维数的估计方 法和分数布朗运动模型h 值估计。 第4 章为基于分数布朗运动和支持向量机( s v m ) 的边缘检测方法研究，对灰 度图像特征参数( h 值) 运用支持向量机方法进行了分类，实现图像分割。 第5 章为分数布朗运动在图像分割中的相关研究，这一章简要介绍了分数布 朗运动与分数阶导数的联系，同时提出了基于分数阶导数与分数布朗运动的边 缘检测方法。本章对这一问题的讨论仅仅是尝试性的。 最后对本文进行总结。 4 2 图像分割方法及特点 2图像分割方法及特点 2 1 图像分割方法 图像分割可以理解为将图像中各具特性的不同区域划分开来，这些区域是 互相不相交的，每个区域都满足特定区域的一个属性。其要点是：把图像划分成若 干互不相交区域的集合。借助集合的概念，图像分割可以做如下定义： 定义2 1 令集合e 代表整个图像区域，对酞的分割可以看作若干个满足以下 五个条件的非空的子集( 子区域) r 1 r 2 ，k ： u 銎1 咒= r ； 对所有的i ，j ，i j ，有忍nr j = 0 ； 对i = 1 ，2 ，礼，有p ( 忍) = t r u e ； 对i j ，有p ( 见n 马) = f a l s e ； 对i = 1 ，2 ，n ，冠是连通的区域 其中p ( 尼) 是对所有在集合中元素的概率，非0 表示真，0 表示假，d 是空集，面先 对上面五个条件分别给予简单的解释： 条件表明对一幅图像分割所得到的全部子区域的全部应能包括图像中的 所有象素，或者说分割应该将图像中的每个象素都分进某个子区域中去。 条件表明在分割结果中各个子区域是互不相交的，或者说在分割结果中 一个象素不能同时属于两个子区域。 条件表明在分割结果中每个子区域都有唯一的属性或者说同一区域的象 素点应具有相同的属性。 条件表明在分割结果中，不同的子区域具有不同的特征，没有公共像素 点，或者说属于不同区域的象素应具有不同的特征。 条件表明分割结果中同一个子区域内的象素应该是连通的，即同一个子 区域内的任意两个象素在该子区域内互相连通，或者说分割得到的区域是一个 连通区域。 好的图像分割应具备的特征：分割出来的各区域对某种特征例如灰度、纹 理而言具有相似性，区域内部是平整的且没有许多非连通区域；相邻区域对分 割所依据的特点有明显的差异性；区域边界是明确的。图像分割对把原始图像 转化为分割图像从而进一步提取目标特征，进行目标检测和图像分割以及对其 5 湖北大学硕士学位论文 后的精细处理都非常重要。 从6 0 年代开始人们就对图像分割进行了大量的研究，至今已提出了上千种 针对各种具体应用的分割算法。图像分割可以理解为这两个步骤： 1 、对图像进行特征提取，比如纹理、灰度、颜色等等，是图像的某种不变特征； 2 、结合提取出来的某种特征进行行之有效的特征分类，实现图像分割的目的。 根据使用知识的特点与层次，可以将图像分割分为数据驱动与模型驱动两 大类。其中数据驱动分割直接对当前图像数据进行操作，虽然也可使用有关先 验知识，但不依赖于知识；模型驱动分割则直接建立在先验知识的基础上。这种 分类更符合当前图像分割的技术要点。 常见的分割方法包括基于边缘检测的分割、基于区域的分割、边缘与区域 相结合的分割、基于某种理论的分割等等。 ( 1 ) 基于边缘检测的分割 基于边缘检测的图像分割方法是一种经典的分割方法，这种分割方法的特点 是相当直观的。基本思想是先检测图像中的边缘点，再按一定方法连接成分割 区域。其难点在于边缘检测的抗噪性和检测精度的冲突，若提高检测精度，则 噪声产生伪边缘，这样会导致不合理的轮廓；若提高抗噪性，则会产生轮廓漏检 和位置偏离。 ( 2 ) 基于区域的分割 基本思想是根据图像数据的特征将图像空间划分为不同的区域，常用的特 征包括：原始图像的灰度或彩色特征：由原始灰度或彩色值变换得到的特征。主 要方法有：阈值法、区域生长法、松弛法、聚类法、分类器法等。 阈值法通过设定不同的分割阙值，将像素点分为不同区域。其难点在于阈 值的设定，对传统阈值法的改进包括局部阙值、模糊阈值、随机阈值等方法。 区域生长方法从若干种子或种子区域出发，按照一定的生长准则，对邻域像素 点进行判别并连接，直到完成所有像素点的判别连接。这种方法的关键在于种 子点的初始值、生长规则和生长顺序的确定。松弛法是一种基于动态调整的标 号方法，包括概率松弛、模糊松弛、随机松弛等。把对应于不同目标的标号分 别赋给图像中每个像素，根据相邻像素之间的相容性原则，通过迭代标号调整 法，直到收敛。其关键在于标号相容模型德选择和迭代方法的收敛性聚类法 在特征空间对像素点集进行聚类分析，包括直接聚类、概率聚类、模糊聚类 等。该法由于缺乏对像素空间拓扑关系的考虑，往往还需进行进一步的处理才 6 2 图像分割方法及特点 能完成分割。聚类准则是聚类分割的关键。聚类也没有考虑空间关联信息，因 此也对噪声和灰度不均匀敏感。分类器方法不需要迭代运算，因此计算量相对 较小；能应用于多通道图像。但没有考虑空间信息，因此对灰度不均匀的图像 分割效果不是很好。 ( 3 ) 边缘与区域相结合的分割 边缘检测能够获得灰度或彩色值的局部变化强度，而区域分割能够检测特 征的相似性与均匀性。边缘与区域相结合分割的主要思想是结合二者的优点， 通过边缘点的限制，避免区域的过分割；通过区域分割补充漏检的边缘，使轮廓 更加准确。 “) 基于某种理论的分割 近十几年来，随着统计学习理论、模糊集理论、随机场理论、形态学理 论、小波理论等在图像分割中的应用日渐广泛。遗传算法、尺度空间、多分辨 率方法、神经网络、偏微分方程等近期涌现的新方法和新思想也不断被用于解 决分割问题，国内外学者提出了不少有针对性的图像分割方法。 2 2 基于边缘检测的图像分割 在图像分割中，边缘检测方法可以说是人们研究得最多的方法，它试图通 过检测包含不同区域的边缘来解决图像分割问题。图像边缘是图像最基本的特 征之一，往往携带着一幅图像的大部分信息。而边缘存在于图像的不规则结构 和不平稳现象中，也即存在于信号的突变点处，这些点给出了图像轮廓的位 置，这些轮廓常常是我们在图像处理时所需要的非常重要的一些特征条件，这 就需要我们对一幅图像检测并提取出它的边缘通常利用区域间不同性质( 如区 域内灰度不连续性) 划分出各个区域之间的分界线。 根据图像中边缘区域的灰度在空间中的变化形式，边缘一般可以分为三种 类型：阶跃型、屋脊型和线条型，分别如图2 1 边缘的类型( a ) ，( b ) 和( c ) 所示，其中 阶跃型边缘一般对应着物体的反射边缘，是最常见的边缘灰度变化类型。 图2 1边缘灰度变化类型 7 湖北大学硕士学位论文 第一种是阶跃型边缘( s t e p - - e d g e ) ，即从一个灰度到比它高好多的的另 一个灰度。第二种是屋脊型边缘( r o o f - - e d g e ) ，它的灰度是慢慢的增加到一 定的程度然后再慢慢的减小。还有第三种是线性边缘( l i n e - - e d g e ) ，它的灰 度从一个级别跳到另一个级别之后然后回来。 图像中相邻的不同区域间总存在边缘，边缘处象素的灰度值不连续，这 种不连续性可通过求导数来检测到。对于阶跃状边缘，其位置对应一阶导数 的极值点，对应二阶导数的过零点( 零交叉点) 。因此常用微分算子进行边缘 检测，它是一种并行边界技术。常用的一阶微分算子有r o b e r t s 算子、p r e w i t t 算 子、s o b e l 算子，二阶微分算子有l a p l a c e 算子。在实际中各种微分算子常用小区 域模板来一表求，微分运算是利用模板与图像卷积来实现。这些算子对噪声敏 感，只适合于噪声较小不太复杂的图像。 由于边缘和噪声都是灰度不连续点，在频域均为高频分量，直接采用微分 运算难以克服噪声的影响。因此用微分算子检测边缘前要对图像进行平滑滤 波。l o g 算子和c a n n y 算子是具有平滑功能的二阶和一阶微分算子，边缘检测 效果较好。其q a l o g 算子是采用l a p l a c e 算子求高斯函数的二阶导数，c a n n y 算 子是高斯函数的一阶导数，它们在噪声抑制和边缘检测之间取得了较好的平 衡。 2 2 1r o b e r t s 算子 由r o b e r t s 提出的算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子，边缘的锐 利程度由图像灰度的梯度决定。梯度是一个向量，v ，指出灰度变化的最快的方 向和数量。v ( 錾，苗) 的梯度和方向为： v 川= n n 。( 雅) 因此最简单的边缘检测算子是用图像的垂直和水平差分来逼近梯度算子： v ，= ( f ( x ，可) 一f ( x 一1 ，可) ，( z ，! ，) 一f ( x ，一1 ) ) 8 2 图像分割方法及特点 对每一个像素计算出以上式子的向量，求出它的绝对值，然后与阈值进行比较， 利用这种思想就得n r o b e r t s 算子： g ( i ，歹) 又称为r o b e r t s 交叉算子。在实际应用中为了简化计算，用梯度函数 的r o b e r t s 绝对值来近似： g ( i ，歹) = l f ( i ，歹) 一f ( i + 1 ，j + 1 ) i + i f ( i ，歹+ 1 ) 一，g + 1 ，j ) 另外还可以用r o b e r t s 最大值算子来计算： g ( i ，歹) = m a x ( 1 f ( i ，歹) 一f ( i + 1 ，歹+ 1 ) i + i f ( i ，歹+ 1 ) 一f ( i + 1 ，j ) i ) 上式能够提供较好的不变性边缘取向。对于同等长度但取向不同的边 缘，应用r o b e r t s 最大值算子比应用r o b e r t s 交叉算子所得到的合成幅度变化 小。r o b e r t s 边缘检测算子的卷积算子是一组两个2 x 2 模板( 标注”的是当前像素 的位置) ，模板表示为： ( ! 1 。1 ) 1 0 o 一1 显然r o b e r t s阶微分不是沿x 轴方向和y 轴方向微分，而是取旋转4 5 度和 4 5 度两个方向微分值的和r o b e r t s 边缘检测算子是r o b e r t s 于1 9 6 3 年在他( m 1 1 ) 博士毕业论文“m a c h i n ep e r c e p t i o no f3 一ds o l i d ”提出的。这是最早分析 图像中的边缘、线、模型和图形学的文章。能够查到的最早的关于边缘 检测的文献是1 9 5 9j u l e z b 的“am e t h o do fc o d i n gt vs i g n a l sb a s e do ne d g e d e t e c t i o n ”。1 9 6 3 年提出r o b e r t s 边缘检测算子在当时是具有相当的成就的。 2 2 2s o b e l 算子 r o b e r t s 算子的一个主要问题是计算方向差分时对噪声敏感。s o b e l 提出 一种将方向差分运算与局部平均相结合的方法，晟 i s o b e l 算子。该算子是在 9 湖北大学硕士学位论文 v a f ( x ，y ) 为中心的3 x 3 邻域上计算x 和y 方向的偏导数，即： 岛= 厂( z + 1 ，y 一1 ) + 2 f ( x + 1 ，) + ，( z + 1 ，y 一1 ) 一 ，( z 一1 ，矽一1 ) + 2 i ( x 一1 ，) + ，( 。一1 ，! ，+ 1 ) ) 岛= ，( z 一1 ，+ 1 ) + 2 f ( x ，y + 1 ) + ，( z + 1 ，可+ 1 ) ) 一 ，( z 一1 ，y 一1 ) + 2 ，( z 一1 ，秒) + ，( z 一1 ，! + 1 ) ) 实际上，上式应用t f ( x ，y ) 邻域图像强度的加权平均差值。其梯度大小为： 或取绝对值： 它的卷积算子为： 夕( 删) = 丽 9 ( z ，y ) = i & i + i 岛i 一10 20 1o ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 由上面两个卷积算子对图像运算后，代入( 2 2 2 ) 式，可求得图像的梯度幅 度值g ( x ，y ) ，然后适当选取门限t h ，作如下判断：9 ( x ，可) t h ，( 1 ，j ) 为阶跃状 边缘点，为一个二值图像，g ( x ，y ) 也就是图像的边缘图像s o b e l 算子很容易在空 间上实现，s o b e l 边缘检测器不但产生较好的边缘检测效果，同时，因为s o b e l 算子 引入了局部平均，使其受噪声的影响也比较小。当使用大的领域时，抗噪声特性 会更好，但这样做会增加计算量，并且得到的边缘也较粗。s o b e l 算子利用像素 点上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一现象进行 边缘的检测。因此s o b e l 算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信 息，但是，这是由于局部平均的影响，它同时也会检测出许多的伪边缘，且边 缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方 法 1 0 、llllj， 1 o l 屹o 2 0 0 1 ，f一 2 图像分割方法及特点 2 2 3p r e w i t t 算子 1 9 7 0 年左右p r e w i t t 提出了一个边缘检测算子，这就是p r e w i t t 算子。p r e w i t t j 2 缘检测算子使用两个有向算子( 一个水平的，一个是垂直的两个模板) ，每一个 逼近一个偏导数，这是一种类似计算偏微分估计值的方法，x ，y 两个方向的近 似检测算子为： 只= ，( z + 1 ，y 一1 ) + f ( x + 1 ，y ) + f ( x + 1 ，y + 1 ) ) - f ( x 一1 ，y 一1 ) + f ( x 一1 ，y ) + f ( x 一1 ，y + 1 ) 】 b = ，( z 一1 ，y + 1 ) + ( x ，y + 1 ) + ( x + 1 ，y + 1 ) - f ( x 一1 ，y 一1 ) + ( x ，y 一1 ) + f ( x + 1 ，y 一1 ) ) 得出卷积模板为： 一1o 一10 10 - 1 - 1 - 呈1 ) x 轴方向 y 轴方向 当用两个模板( 卷积算子) 组成边缘检测器时，通常取较大的幅度作为输 出值。这使得它们对边缘的走向有些敏感。取它们的平方和的开方可以获得 性能更一致的全方位响应，这与真实的梯度值更接近。具体过程是，如果我 们用p r e w i t t 算子检测图像m 的边缘的话，我们可以先分别用水平算子和垂直算 子对图像进行卷积，得到的是两个矩阵，在不考虑边界的情形下也是和原图 像同样大小的尬，他们分别表示图像m 中相同位置处的两个偏导数。然后 把m i ，m 2 对应位置的两个数平方后相加得到一个新的矩阵g ，g 表示m 中各个像 素的灰度的梯度值( 即一个逼近) 。然后就可以通过阈值比较得到边缘图像。表 达式如下： e ( ( m 。r ) 2 + ( m 。马) 2 ) t h r e s 舻 ( 2 2 3 ) 其q b t h r e s h 是阈值。 湖北大学硕士学位论文 这些模板是如何产生的，假设灰度图像满足下面这个关系式子： 尥，可= q z + p y + ，y 则梯度是( q ，) ，显然当前象素3 x 3 邻域内的象素值为： 一q p + 一y a + ，y q + p + 7 一p + f f8 + l q 一卢+ ，yo t + 一y口+ + ，y 定义垂直算子和水平算子形如： 垂直算子 水平算子 利用这两个模板对当前象素进行卷积，得到方向导数为： 因此当前象素的梯度大小为： 如= 2 p ( 2 a + 6 ) g u = 2 a ( 2 a + b ) ( 2 2 4 ) 必须满足2 ( 2 a + b ) = 1 ，当我们取a = b = l 6 贝t j 得到的模板就是1 6 乘p r e w i t t 算子。 另一种方法是，可以将p r c w i t t 算子扩展到八个方向，即边缘样板算子。这 些算子样板由理想的边缘子图像构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测 区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值p ( i ，j ) ，这样 1 2 、lilij， o 6 口 0 0 o o 6 o 一 一 一 ，jiiiilii 、lilj， 咆0 口 曲0 6 吨0 口 ，一 2 图像分割方法及特点 可将边缘像素检测出来。定义p r e w i t t 边缘检测算子模板如下： 0 ：) ( | j j i 子二1j 7 r 2 斯 4 ( 一；一 1 )( ；圭圭)( i 二：)( i ；) 7 r 3 _ 4 e三三 v 2 m 川= 笔+ 笔笋 亿2 渤 这就是应用l a p l a c e 算子提取边缘的形式，即二阶导数的和，它是一个标量，属 于各向同性的运算，对灰度突变敏感。在数字图像中，用差分近似微分，其离 散计算形式为： v 2 f ( x ，y ) = l ( z ，y ) = ( ，( z + 1 ，y ) 一f ( x ，秒) ) 一( f ( x ，y ) 一，( z l ，可) ) + 【( ，( z ，y + 1 ) 一f ( x ，可) ) 一( f ( x ，y ) 一，( z ，y 一1 ) ) 也可以写成： l ( z ，y ) = ， + 1 ，y ) + f ( x 一1 ，可) ) + ( f ( x ，y + 1 ) + f ( x ，y 一1 ) 一4 f ( x ，! ，) 1 3 、l_、 l l 一 一 1 l 2 o 1 1 上1 1 ，f一 1 一 一 l 以o l l 1 ，。一 、liil 1 1 1 之o 1 _ 1 一 ，f。一 湖北大学硕士学位论文 l a p l a c e 算子对不同的边缘类型有两种估算模板： l 一4 1 i )( 三) 一1 1 18 一ll ( a ) 阶跃边缘( b ) 屋脊边缘 对于阶跃边缘，二阶导数在边缘点产生一个陡峭的零交叉，即边缘点两边 二阶导数取异号。l a p l a c e 算子就是依据此对f ( x ，y ) 的每个象素取它关于x 方 西和y 方向的二阶差分之和，这是一个与边缘方向无关的边缘检测算子。而对 屋脊边缘，在边缘点的二阶导数取极小值，这时候对f ( x ，y ) 每个象素取它关 于x 方向和y 方向的二阶差分之和的相反数。 l a p l a c e 算子有两个缺点：其一是边缘方向信息的丢失，其二是l a p l a c e 算子 为二阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响；优点是各向同性，即具有旋转不 变性。因此在微分学中有：一个包含偶次阶导数和取偶次幂的奇次阶导数的线 性组合算子，一定是各向同性的。 l a p l a c e 算子是二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理检 测边缘。不具有方向性，定位精度高，不但检测处绝大部分边缘，同时基本上 没有出现伪边缘，但它的检测缺点也比较明显，如丢失一些边缘，有一些边缘 不够连续，不能获得边缘方向等信息。而l a p l a c e 算子为二阶差分，与一阶比 较，l a p l a c e 算子对噪声更加的敏感，它使得噪声的成分加强，因此实际应用中 必须充分注意。通常在微分前要对图像进行平滑。 二阶微分是一个标量，可取正值，也可以取负值，一般取正值或取绝对 值。同一阶微分一样，二阶微分也存在着阈值选择问题，其最好的方法是计算 ： t l a p l a c e 算子的直方图，然后在双峰直方图谷底的的位置确定阈值。 2 2 5c a n n y 算子 c a n n y 对边缘检测算法做出了创造性的工作。1 9 8 6 年，他从边缘检测算子应 满足三个基本准则出发，提f l s c a n n y 边缘检测算子。三个基本准则如下： ( 1 ) 信噪比准则 1 4 2 图像分割方法及特点 将非边缘点判为边缘点的概率要低，将边缘点判为非边缘点的概率也要低。 信噪比的数学表达式为： s 兄：if _ w 1 g ：( - ：x ：) h ：( x ：) d ( x ) i ( 2 2 6 ) 1 巴h 2 ( z ) d ( z ) 其中，g ( x ) 代表边缘函数，h ( x ) 代表带宽为w 的滤波器的脉冲响应，盯代表高斯 噪声的均方差。 一 ( 2 ) 定位性能准则 通常在检测图像边缘时，最希望边缘检测算法能检测到图像边缘的中心。定 位性能准则的数学表达式为： l 。跣z 。挽m ：i f 叫_ w 1 g ( ：- x ) h ( x ) 一d ( x ) i ( 2 2 7 ) 1 巴胪( 。) d ( 引 其中，g ， ) 和 7 ( z ) 代表g ( x ) 和h ( x ) 的导数。l 越大表明定位精度越高。 ( 3 ) 单边响应准则 通常在检测图像边缘时，最希望边缘只有一个像素因子响应。如果保证单边 缘只有一个像素响应，那么检测算子脉冲响应导数的零交叉点平均距离应满足： 叫肛丌 5 ( 2 2 8 ) 其中，( z ) 为 如) 的二阶导数。 c a n n y 在推导出最优边缘检测算子三个准则之后得到结论：最佳一阶微分边 缘检测算子的函数形式近似为高斯函数的一阶微分，即著名的c a n n y 算子： 他) = 一( 嘉) e x