（生物医学工程专业论文）线性子空间算法在雷达信号检测路面厚度应用中的探讨.pdf

a bs t r a c t i nt h ea p p l i c a t i o no ft h et h i c k n e s sm e a s u r e m e n to ft h ep a v e m e n t , t h et r a d i t i o n a lw a y c o r e - d r i l l i n g , w h i c hi s ad e s t r u c t i v et e s t i n gm e t h o d , h a sal o wa c c u r a c ya n de f f i c i e n c y r e c e n t l y , t h eg p r ( g r o u n dp e n e t r a t i n gr a d a t ) m e t h o df o rt h et h i c k n e s sm e a s u r e m e n t b e c a m ev e r y p o p u l a ri nt h ew o r l d t h i sm e t h o dc a np e r f o r mf a s tw i t hah i g ha c c u r a c ya n dn o n d e s t r u c t i v e , b u tt h ed r a w b a c ki st h ep r i c e b ya m e l i o r a t i n go ft h es i g n a lp r o c e s s i n gp a r t , w e c a ni m p r o v et h i sm e t h o d s ow ef o c u s e do nt h ea l g o r i t h m sw h i c ha r ei nc h a r g eo f t h ee c h o e s p r o c e s si nt h i sp a p e r s o m el r a d i f i o n a la l g o r i t h m sa r ed i f f i c u l tt of i tt h er e q u i r e m e n t so f h i g h r e s o l u t i o n , r e a l - t i m ep r o c e s s ，h i 曲a c c u r a c y , a n dl o wc o s t t h u sag r o u po fl i n e a ra l g o r i t h m s w e r ee x a m i n e di nt h i sp a p e r a f t e rh a v i n gs t u d i e do nt h ed o a ( d i r e c t i o no fa r r i v a l ) p r o b l e m ，as i g n a lm o d e lf o rt h e t i m ed e l a ye s t i m a t i o ni sf o u n d e d t h er e l a t i o n s h i p so ft h i sm o d e lb e i n ga p p l i e da m o n g d i f f e r e n ta p p l i c a t i o n sa n dd i f f e r e n td o m a i n sw e r ec l a r i f i e d as i m p l ee x p l a n a t i o na b o u tt h et h e o r yo ft h es u b s p a c em e t h o d sw a sg i v e n s o m e m a t h e m a t i ce x p r e s s i o n sa b o u tm u s i ca n dl i n e a rs u b s p a c ea l g o r i t h m sw e r ei n t r o d u c e d t h em o d e lo ft i m ed e l a ye s t i m a t i o np r o b l e mw a sf o r m u l a t e d ac o m p a r a t i v es t a t i s t i c a l s t u d yc o n s i d e r i n gf r o md i f f e r e n ta s p e c t so f t h o s ea l g o r i t h m sw a sp e r f o r m e di nm a t l a b as i m u l a t e de x p e r i m e n to ft h et h i c k n e s sm e a s u r e m e n tw a sp e r f o r m e dt oc o l l e c td a t a f r o mt h o s ed a t a , w ec 觚e v a l u a t et h o s ea l g o f i t h i n sa n dd r a wt h ec o n c l u s i o n k e y w o r d s ：l i n e a rs u b s p a c ea l g o r i t h m ；m u s i c ；g p r ( c n o u n dp e n e t r a t i n gr a d a r ) ； t i m ed e l a ye s t i m a t i o n ；t h i c k n e s sm e a s l 1 r e l n e n t ； i i 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：1 弘怕乡 日期：纱多年i t 月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南理工大学。学校 有权保存并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位 论文被查阅( 除在保密期内的保密论文外) ：学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位 论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 本学位论文属于： 口保密，在年解密后适用本授权书。 功不保密。 学位论文全文电子版提交后： 口伺意在校园网上发布，供校内师生和与学校有共享协议的单位浏 览。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：秣4 影 日期：灿2 旧 指导教师签名：如碚星 日期：善卯f “ 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 改革开放以来，我国高速公路建设事业飞速发展，新建公路路面质量直接关系到交 通安全与公路使用寿命，路面厚度的测定是公路施工质量的重要指标之一。多年以来， 道路路面厚度传统的检测方法一直沿用钻孔取芯法，根据试验规程随机选点，钻孔取样， 获得厚度，然后进行分析。这种方法虽然直观，但破坏了路面结构层，对路面局部强度、 防水造成一定影响。另外，测点选择是随机的、稀疏的。因此，检测结果往往缺乏代表 性，对于路面内部存在的缺陷极易漏检，给后续工作昏f 下隐患。因此，新一代路面无损 检测设备及其相应的检测技术日益受到广泛的重视。随着微电子技术及计算机数据处理 方法的发展，探地雷达( g p g r o u n dp e n e t r a t i n gr a d a r ) 以其体积小、频带宽、中心频 率高、测点连续及无损、检测精度高等特点，在路面厚度检测中得到了广泛的应用【1 1 。 探地雷达方法是2 0 世纪7 0 年代发展起来的一种用于确定地下介质分布的广谱电磁 法。其基本原理是向地下发送脉冲形式的高频、甚高频电磁波。电磁波在地下介质中传 播过程中，当遇到存在电性差异的地下目标体，如空洞、分界面等时 电磁波便发生反射， 返回到地面时由接收天线所接收。在对接收天线接收到的雷达波进行处理和分析的基础 上。根据接收到的雷达波形、强度、双程走时等参数便可推断地下耳标体的空问位置、 结构、电性及几何形态，从而达到对地下隐蔽目标物的探测。探地雷达采用非接地性测 量，可作快速连续检测，对检测对象无损，能比较直观地表现检测目标物，因此，地质雷 达技术成为工程地球物理勘查的重要方法之一，广泛应用于地下管线探测，结构物无损 检测，地基基岩面探测，岩溶地面沉陷、地下洞穴等工程勘察领域f 2 】。 我国作为公路大国，目前高速公路正在蓬勃发展，将g p r 完美地用于路况评价非常 必要。因为一旦路面潜伏病害显现化以后，其维修的有效性，经济性均会受到限制，所 以利用雷达探测技术及时发现路面潜在问题，尽早维护，做到防危杜渐，防患于未然， 对提高路面使用寿命，改善行车质量，节省维护费用具有重要意义t 3 1 。 1 2 探地雷达系统的原理与组成 g p r 系统常由三个部件组成：发射机，产生正弦型脉冲、高频电磁波；天线，将电 磁波定向辐射入所测路面；接收机，捕捉并贮存介面反射信号。g p r 工作时，雷达发射 机产生高频电磁脉冲的发射信号，发射信号经由空气到达路表面时，一部分信号会透射 路表继续向下传播，另一部分信号会被路面反射回来。这样，透射的电磁波在路面结构 华南理1 = 大学硕+ 学位论文 中继续传播，每遇到不同的结构层，就会在层间界面发生透射和反射，各层间界面的反 射波即可合成为回波信号。反射回波由雷达接收天线接收，并采用采样技术将其化为数 字信号进行处型3 1 。图1 一l 即为路用探地雷达的工作示意图 g p r s u r f a c i n g 图1 1 探地雷达系统工作示意图 f i g 1 - 1g p rs y s t e ms k e t c hm a p 处理得到的时域采样信号之后，我们即可将其结合其他参数和公式来计算路面的厚 度。具体公式如下f 蚓： 路面厚度= 下c o x a r( 卜1 ) 2 4 e r 其中，c 0 代表光速，s r 为待测路面材料的介电常数，而缸则是本文的重点，它是由实时 处理的数据计算得出，代表的是来自于不同层面的反射波之问的时延的差值( 也可称为 双程走时) 。关于此公式的相关细节将在本文第五章实验部分得到详细的阐述。 1 3 探地雷达系统性能的评价 为了合理的评价用于测定路面厚度的探地雷达系统，我们主要从三个方面来考虑： 分辨率( r e s o l u t i o n ) ，实时性( r e a l t i m ep r o p e r t y ) 和相对误差( r e l a t i v eb i a s ) 。 分辨率是指在发射信号频宽一定的条件下系统能够准确测量路面厚度的最小值。通 常而言，我们希望系统能够具备尽可能高的分辨率，最好能够达到对2 c m 以下层面的检 测能力，以适应不同标准的路面以及可能存在的特殊情况。 实时性是指系统在以一定速度运动的同时检测路面厚度的快速响应能力。在实际应 用中，系统的核心天线部分通常被固定在车尾( 如图1 2 所示) ，伴随车辆的行驶，系 统对路面厚度进行实时动态的检测，这就要求系统对短时间内收集采样到的大量数据能 够迅速进行处理，对硬件软件的处理速度都有着较高的要求。 相对误差是工程质量检测中常用的指标，定义为绝对误差与真实值之比值。 2 第一章绪论 图l - 2 探地雷达系统用于路面厚度测定 f i 舀1 - 2g p rs y s t e mb e i n ga p p l i e dt ot h et h i c k n e s sm e a s u r e m e n to f t h ep a v e m e n t 在以上三个性能指标中，最重要的是测定的准确性，在一个比较小的误差范围内， 分辨率越高，实时性越好，系统则越能适合于实际的应用。 1 4 改进探地雷达系统性能的途径 自7 0 年代以来，许多商业化的通用数字探地雷达系统先后问世，其中有代表性的有： 美国g p h y s i c a ls u r v e ys y s t e mi n c 公司的s i r 系统、m i c r o w a v ea s s o c i a t e s 的m k 系列， 加拿大s e n s o r & s o f t w a r e 的p u l s ee k k o 系列，瑞典地质公司( s g a b ) 的r a m a c g p r 系 列，日本应用地质株式会社o y o 公司的g e o r a d a r 系列及一些国内产品( 电子工业部 l t d 系列，北京爱迪尔公司c r 一2 0 、c b s 9 0 0 等) 。这些雷达仪器的基本原理大同小 异，主要功能有多通道采集、多维显示、实时处理、变频天线、多次叠加、多波形处理 等，另外还有井中雷达系统，多态雷达系统，层析成像雷达系统等1 4 】。 虽然大量的产品已经投入市场并开始应用，但目前的探地雷达系统产品仍然存在种 种问题，最主要的就是在比较小的相对误差条件下分辨率与实时性的平衡问题。因为分 辨率与实时性是一对矛盾体。高分辨率，通常意味着更高频率的采样或者更大的带宽以 获得更大的数据量，从而导致了实时性的下降或是成本的升高。 为了更好的衡量一个系统在分辨率与实时性之间平衡性的问题，我们提出了用b a z 乘积这个参数来帮助我们考察系统的性能。b 即为发射信号的频宽，缸则是我们上节所 提到的时延差值。b a z 乘积值在传统的探地雷达系统中是约等于l 的常量，这是因为传 统方法采用了离散傅立叶变换的算法来处理接收数据。利用离散傅立叶变换来处理接收 数据的优点是速度快，缺点则是分辨率有限，b a z 乘积的理论值是恒等于l 的。而我们 对缸的要求是要足够的小，以满足系统对薄层检测的需要。因此改进探地雷达系统性 能的途径有两条： 华南理丁大学硕十学付论文 1 ) 硬件升级，即在b a r 约为常量l 的情况下通过增加天线发射信号的频宽来实现设计 目标。比如要达到l c m 的临界检测标准，发射信号频宽必须达到约7 g h z ，这显然 对硬件有着很高的要求，大大增加了产品成本，不利于应用推广。 2 ) 软件升级，即通过改进数字信号处理的算法，使b a t 乘积常量降到一个很低的标准 ( 小于1 ) ，这样我们就能够在较低的带宽下达到应用标准。 本文的侧重点即为第二种改进方案，通过采用新的数字信号处理算法来实现系统在 大约2 g 带宽下的高分辨率准确检测。 1 5 本课题的研究意义 我国作为一个发展中国家，处在一个公路建设迅速发展的时期，一方面要尽可能的 采用现代化的仪器设备来协助施工建设，努力提高工程质量，实现国家的交通现代化， 缩小与发达国家的差距；另一方面，考虑到我国人口众多，人均g d p 还不高，并贯彻 党中央努力发展节约型社会的目标，我们应该尽量选择低成本，经济实用，能够普遍推 广的现代化设备。作者曾作为交换学生在法国学习，并在法国国家公共建设工程中心实 验室学习研究，深入到了该领域的研究中，不仅深深体会到了发达国家对科研的重视， 更感到发达国家在资金充沛的情况下也非常的重视节约成本，在科研上大力投入，换来 的是能够迅速推广的低成本高效率的新技术、新产品，十分值得我们学习。 因此，作者希望本文所研究的一些新算法在这个领域的应用能够成为现实，为祖国 的公路建设事业发展尽一份微薄之力。 1 6 本文的研究内容和章节安排 作者主要对探地雷达系统的信号处理算法进行了一些研究。 首先对当前已经应用的探地雷达系统的处理算法进行了了解，发现传统的快速傅立 叶算法虽然速度快，误差小，但是存在着分辨率很低的缺陷，导致其无法适应很多方面 的应用。作者然后对m u s i c 算法进行了深入的研究。m u s i c 算法首先是被应用在阵列 信号处理的波达方向估计上，而且大量的相关频谱分析算法也是被率先应用在这个领 域，因此我们先从波达方向估计的问题入手，研究其信号模型，然后转移到时延估计的 问题上来。因此本文第二章和第三章都与波达方向估计问题有着密切的联系。目前早已 得到公认的是m u s i c 算法虽然分辨率很高，误差小，但是数据量太大，运算速度很慢， 难以适应实时处理。在参考了大量的文献之后，我们提出了用线性子空间算法来解决探 地雷达系统的信号处理问题。因为线性子空间算法有很多种变形，不同的变形之间的性 能也存在一定的差异，因此我们将m u s i c 算法与一系列线性子空间算法进行了理论分 析与比较。从数学模型到仿真，然后到实验，进行了一系列比较性研究，并对算法应用 4 第一章绪论 中出现的各种问题，比如在信号预处理，去除相关性等方面提出了有效的解决办法，最 终获得了比较满意的实验结果，证实了某些线性子空间算法在保证微小误差的前提下能 够在分辨率与运算速度问取得非常好的平衡。 本文所包含的内容有： 第一章，绪论部分。概述本论文的研究方向、前提、研究思路和研究现状。对探地 雷达系统的基本原理、构成、评估标准以及改进途径做了简要的介绍。 第二章，信号模型的研究。先由业已成熟的波达方向估计问题的模型入手，通过在 理论方面进行的分析，建立了时延估计问题的数学模型，并阐述了该模型与利用探地雷 达测定路面厚度应用过程之间的联系。 第三章，子空问算法的介绍。首先对应用广泛的经典子空间算法m u s i c 进行了介 绍，然后以此为理论基础对线性子空问算法进行了详细的阐述。 第四章，时延估计问题的m a t l a b 仿真。按照应用的具体情况，利用m a t l a b 建 立起了算法的运行环境，从而从理论上对各种算法在不同条件下的误差、分辨率、运算 速度进行了比较。 第五章，实验结果。介绍了实验的过程，并对收集到的实验数据进行分析，得出结 论。 此外，还有摘要、结束语、参考文献等部分。 华南理_ t = 大学硕+ 学位论文 第二章信号模型的研究 由于经典的m u s i c 算法和其他大量的频谱分析算法最早也最广泛的应用在了阵列 信号处理的领域，大量关于波达方向估计的研究催生了各种新的算法，如文献 5 - 2 3 所 给出的。因此在本章中，我们首先超越了时延估计的范围，由阵列信号处理中波达方向 估计的模型入手，导出了时延估计的数学模型，然后从频谱分析的宏观角度来为各种应 用建立了统一的信号模型，并阐明了不同应用之间的联系，为今后算法的理论分析提供 了方便。 2 1 波达方向估计问题的模型 在波达方向( d o a ，d i r e c t i o no fa r r i v a l ) 的估计问题中，考虑一组由m 个接收 天线组成的各向同性均匀线阵( u l a ，u n i f o r ml i n e a ra r r a y ) ，接收来自k 个点信源的 入射信号( m k ) 。我们进一步假设每个接受天线具备相同的增益，并且天线阵与入射信 号面处于同一平面内。在观察时间内，天线阵对收到的信号进行了空间采样，即接收信 号同时在不同的天线上被记录，从而得到了天线阵的时域信号x ( t ) 【5 】： 卧桶抽州酬睫 + h l ( f ) ，z 2 ( f ) ： ( t ) ( 2 - 1 ) s t ( f ) = c t ( f ) e 7 2 卿( r = l ，2 ，k ) ( 2 - 2 ) 式中c 。o ) 为一时变复信号，代表信源发射信号的复包络， a ( 刚= 1 ，8 掣矾，p 掣删- 1 ) 矗 r ( 彭= 1 ，2 ，k ) ( 2 - 3 ) 式中的被定义为空间频率，由阵列天线的等距间隔，波达方向0 k ，光速c o ，以及载波 频率f o 决定，如下式： 厶：a s i n 8 l f o c o 6 ( r = l ，2 ，k )( 2 - 4 ) 第二章信号模型的研究 这样，波达方向的空间问题在数学模型中就被转化为频谱分析问题。( 2 1 ) 式可简写为： x = a s + n ( 2 5 ) 以上四式中，x 作为m 维列向量，代表m 个接收天线上采样后的接收信号；a 为 ( m xk ) 维矩阵，分向量a ( o d 代表第k 个信源的方向向量( d i r e c t i o n a lv e c t o r ) 对应e k 则为来自于第k 个入射信号的方向；0 为k 维列向量，分向量s k ( t ) 代表入射信号，并假 设其为载波频率f o ( 假设各信源具有相同的载波频率) ，包络为c k ( o 的时变复信号，如 式( 2 - 2 ) ；i l l 为m 维列向量，分向量n m ( o 则代表分别加在各个天线端的噪声，其中 m = l 2 ，m 。 实际应用中，方向向量e ) 是阵列天线的已知量，文献 5 】早已讨论过此问题，这里 不在赘述。 2 2 时延估计问题的模型 在绪论中，我们已经详细介绍了探地雷达系统的原理构成等，时延估计问题也包括 在内了，因此接下来我们将从数学和物理的角度来阐述时延估计问题。在时延估计问题 中，区别于波达方向估计问题，取代天线阵的是一对收发天线。同样，阵列信号处理中 的空间域采样问题在时延估计中则为时域采样。因此，在阵列信号处理中所假设的各向 同性均匀线阵的情况在时延估计问题中直接得到了满足，因为采样通常都是均匀采样。 另外，阵列信号处理中的波达方向估计问题在时延估计问题中则转换为对不同的回波问 时延( 也称为双程走时) 的估计。因此，我们接下来开始讨论时延估计的信号模型。 在时延估计问题中，接收信号的模型可以用下式表达1 2 5 】： 足 x ( f ) 2 s k e ( t 一气) + ，z ( f ) ( 2 6 1 k = l 。 我们令e ( t ) 为雷达发射信号，瓴为来自第k 层反射信号的时延，因此e ( t 弋k ) 就表示第k 个反射信号。s k 为第k 层的反射系数，它取决于相接两介质的介电常数，我们假设其为 不依赖于频率的常量。n ( t ) 为噪声，在后面的应用中，我们常常假设其为时间不相关与 频率不相关的高斯自噪声。最后，接收信号x ( t ) 就可以写成各个反射波与噪声的叠加。 为了构建频域的数学模型，我们对式( 2 - 6 ) 进行了傅立叶变换，得到了式( 2 7 ) ： k 戈( 厂) = 每( 厂) 矿胁+ 元( 厂) ( 2 - 7 ) k = l 式中，“”表示函数对应的傅立叶变换。实际应用中，接收信号在给定观察时间 7 华南理t 大学硕十学位论文 内直接被采样，然后进行离散傅立叶变换，假设采样点数为m ，因此上式可以写成类似 ( 2 1 ) 的形式： 卧毗妇州训 屯 ： s k + n ( f 1 ) ，l ( 五) ： 咒( 厶) ( 2 - 8 ) 其中s k 为常数，而 a ( 靠) = 否( 石) e 一，2 z 石“，否( 五) p 一，2 f 五h ，否( 厶) e 一，2 j 九气 r ( 2 9 ) 同样，式( 2 8 ) 可以写成式( 2 5 ) 的矩阵形式。关于时延估计模型与波达方向估计模 型之日j 的异同点将会在下一小节得到详尽的阐述。 2 3 信号模型的统一化 在前两节中我们讨论了波达方向和时延估计的信号模型问题，我们发现两种模型都 可以表达为类似的形式。本质上，它们都属于频谱分析的问题，不同的是前者考虑的是 角度频率，后者则是时延影响频率的问题。另外，应用中我们通常都对接收信号采用了 傅立叶变换而在频域中处理数掘，而事实上时域中的模型同样可以被应用到实际中。因 此，在下面我们给出了波达方向，时延估计在时域和频域中的信号模型，也给出了频谱 分析的基本公式。在式首，我们分别以s a ( s p e c t r a la n a l y s i s ) 。d o a ( d i r e c t i o n o f a r r i v a l ) 以及t d e ( t i m ed e l a ye s t i m a t i o n ) 来分别表示频谱分析，波达方向以及时延估计。 时域模型 s a ： 工( ) z ( 乞) x ( 0 ) i - e - ，2 f 正 l ：窆r ? 屯 k = l l 。 l - e 。：哳_ 8 + 咒( ) ，z ( 乞) ，z ( o ) ( 2 - 1 0 ) 第二章信号模型的研究 姒：阱缸力 k ( f ) j 工( f 1 ) 1 眦：一陪k = 1 l 工) j 姒：阿 l 毛( 厂) j 瑚春 分如 ：砌鼍 p ” 。伽( t 业笔掣) e ” ，z ( ) + l ，z ( 乞) l i 【以( o ) 否( z ) 矿2 嘲 香( 五) e 。2 嗷 舀( 厶) 矿口叽缸 + + + ，z 。( 厂) 咒：( 厂) ( 厂) j ；i ( z ) 元( 厶) ： 元( 厶) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 从以上五式可以看出，它们都具备相似的结构，在一定的假设条件下，都能推导出类似 式( 2 5 ) 来统一表述，方便起见，在下面重写该式： x = a s + n 公式的统一化为我们在后面的算法研究中提供了方便，我们完全n - - f 以避开不同应用之间 9 )、；o 啊他 ) ) ) 亿& 气 一 一； 一 乞 ，瑚 叱如 “ _ s r h 华南理1 ：大学硕十学位论文 的差别而用上面这个公式统一表述。接下来有必要对以上5 个公式作一些解释以阐明不 同应用体现在数学模型上的差异。 首先，作为频谱分析的基本公式，式( 2 1 0 ) 是建立在复信号包络s k 为常量的前 提下，这是因为通常包络信号的频率远低于指数信号的频率，在采样周期内，s k 的变 化可以忽略不计。该公式提供了频谱分析理论上的基础，常被应用在噪声背景下多个 信号叠加的参数估计问题上。 其次，时域中的波达方向估计模型，也就是式( 2 1 1 ) ，是在假设各信源均发射的 是相同载波频率的窄带信号( 如式2 2 ) 情况下建立的。同时，由于包络信号的频 率远低于载波频率f o ，因此它在接受天线端的延迟可以忽略不计，时延只是影响了复 信号的相位，而且我们以入射信号所抵达的第一个天线端的时延为零作为参考来确定 其他天线端的时延。这些合理的假设为我们构建了如式( 2 1 1 ) 的信号模型。实际中， 我们也常常在频域中解决问题，即在天线端对接受信号进行离散傅立叶变换，从而可 以建立如式( 2 1 3 ) 的频域模型。 再次，式( 2 - 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 给出了时延估计在时域和频域的模型。同波达方向 问题的模型比较，公式中出现了t ) 和e ( o 这样的函数，它们代表的是雷达发射信号在 时域或者频域的数学形式。而波达问题中的时变信号t ) 对应到时延估计模型中则代表 的是反射系数，取决于相邻介质的介电常数，常常被视为独立时问与频率的常数，这 是二者之间的主要区别。另外一个区别是方向向量构成的矩阵a 的不同。在时延估计 问题的频域模型中，每个方向向量a 都被发射信号的离散傅立叶变换序列所加权了， 如( 2 - 9 ) 所示，这个区别导致了在应用中的某种困难，在后面的仿真与实验部分我们 会进行详细的探讨。而在时域模型中，方向向量则简化为发射信号对应的时延拷贝。 最后要说明的是噪声模型的问题。在波达方向估计问题上，噪声通常是被假设为 在各个接收天线端互相独立，而且在时间上也是独立的。在时延估计问题上则假设为 时域与频域上是独立的。 2 4 本章小结 本章中，我们首先给出了波达方向估计的频域信号模型，并以频谱分析的基本公式 作为参考，引出了波达方向估计问题与时延估计问题在时域和频域的信号模型。然后， 我们对各种模型进行了统一，并对各个公式进行了解释说明，特别是阐明了不同问题在 不同的域的异同点，为后面的算法分析奠定了基石。 1 0 第二章子空间算法 第三章子空间算法 子空间算法的本质是以待分析信号为基础，构建出信号子空间与噪声子空间，从而 利用两空间的正交特性来进行参数估计。 在第二章，我们建立了各种类型的信号模型，并给出了统一的公式，因此在这一章， 首先我们将在统一的信号模型上对经典的子空间算法m u s i c 进行介绍，从而为下文的 其他算法作理论铺垫，然后我们将切入正题，介绍并分析一系列线性子空间算法。出于 对这个领域罩前人所傲的研究工作的尊重，以及为了表述的简便，我们在算法的最终表 达式中将以波达方向估计问题为代表，即以角度o 为变量。 3 1m u s i c 算法 m u s i c 算法的全称是m u l t i p l es i g n a lc l a s s i f i c a t i o n ，是由r a l p h0 s c h i m d t 于1 9 8 6 年首先提出的肼，最初是应用在阵列天线中波达方向的估计问题上。m u s i c 本质是利用 了特征向量空间的一些正交性质来估计参数，需要首先计算信号的自相关矩阵，然后通 过对矩阵的特征值分解来找出信号子空问与噪声子空问，并利用噪声子空问与信号子空 间的正交特点来估计参数，因而称之为子空i h j 算法。跟传统的傅立叶算法相比，其最大 的优点是具有理论上无穷大分辨率，所以也称作超分辨率算法。其缺点主要是需要估计 信号的自相关矩阵，当数据量很大的时候，运算量相当的大，而且算法建立在严格的理 想噪声模型之上，所以也有着对噪声形态敏感的弊端。 3 。1 1m u s i c 算法的原理 这一小节里，我们先从频谱分析的角度入手，对m u s i c 算法原理作一个简单的描 述。 在对多个不同的窄带信号同高斯白噪声混叠而成的复杂信号进行分析时，为了得到 混叠前各个信号的信息，特别是频率信息，m u s i c 算法首先是对复杂信号的自相关矩 阵进行特征值分解。假设混叠前各个信号互不相关，则矩阵为非奇异矩阵，因此分解后 能得到数量相当于矩阵维数的特征值与特征向量。在这一系列特征值中，取值最大的哪 些特征值对应的特征向量生成信号子空间，而剩余的向量则生成噪声子空间。在这里， 混叠信号中所含的有用信号的数量是已知的，方向向量也是预先可以确定的。方向向量 是关于频率的变量( 在波达方向估计中，方向向量为角度的函数；而在时延估计中，方 向向量则为时延的函数) ，当频率等于混叠信号中真实信号的频率时，方向向量就与噪 声予空间正交，这也意味着方向向量在噪声予空间上的投影为零，因此我们就可以据此 华南理1 ：大学硕+ 学付论文 确定真实的信号频率。 3 1 2m u s i c 算法的数学表达 首先重写统一化信号模型的矩阵形式： x = a s + n ( 3 1 ) 已知x 为m 维列向量，a 为( m k ) 维矩阵，s 为k 维列向量而n 为m 维列向量。 假设噪声为高斯白噪声，因此噪声自相关矩阵的所有对角线元素都等于噪声能量0 2 ，而 其他位黄均为0 ，如下式： r 。= e n n 】= 盯2 i ( 3 - 2 ) 其中i 表示单位对角矩阵。接下来我们给出信号的自相关矩阵的计算公式： r = e x x 日】= a r 。a 日+ 盯2 i ( 3 - 3 ) 其中，r 。= e s s 】为信源自相关矩阵。 基于以上公式，我们将m u s i c 算法的假设条件归纳如下： 1 ) 矩阵a 为满秩矩阵 2 ) 矩阵r s 为非奇异矩阵 3 ) 噪声模型为加性高斯白噪声，如式( 3 2 ) 所示 关于第一条假设，因为在u l a 的波达方向估计中( 请参见本文2 1 节) ，矩阵a 为 v a n d e r m o n d c 矩阵，即a 的列向量组a 互相独立，意味着a 为满秩矩阵。第二条假设则 要求信源之间不能完全相关。实际中，信源之间的相关性可以通过一些分段平滑技术 2 9 1 来去除。第三条假设意味着噪声在时域以及空域上都是白色的，在实际中这个要求是不 可能达到的，但我们可以通过对自相关矩阵多次计算求平均来逼近这种理想状况。 实际中，我们常用下式来估计信号自相关矩阵，式中n 为样本数： 贮专善x n x 锄】 ( 3 川 由( 3 - 3 ) 易知，r 为h c r m i t i a n 正定矩阵，这意味着有以下的特征值分解形式： r = a r 。a 日+ 仃2 i = u a u 日= 以u 。u ： 其中 1 2 第三章子空间算法 u = 【u l ，u 2 ，u m 】 ( 3 6 ) a = 卜_ 。， u k + i , u 置+ 2 ，n 膨 上 a l ，a 2 - - ，a 置) ( 3 - 9 ) r = u 。a ，u ，+ u 。a 。u 箬 ( 3 1 0 ) u 。= c u 。，u ：，u 置， a 。= ：三 。，。， u 。= t u 置钉，u 置+ ：，u ，a 。= ：1 三i ：f 。，：， 这里u s 代表的是信号子空问，i k 代表的是噪声子空间。因为0 2 是r 的对应于噪声空间 向量 u k + l ，u ( + 2 ，u m 的特征值，所以，根据特征值与特征向量的性质，我们有 华南理1 ：大学硕十学位论文 r u 女= 盯2 n t ( 尼= k + i ，k + 2 ，m ) 上j ( a r s a 日+ 盯2 i ) u = 盯2 u u u # a r s a 日u t + u 仃2 u 女= u 仃2 u i u u a r 。a h u 女= 0 上王 a 日u i = 0 ( 尼= k + 1 ，k + 2 ，m ) u a t h u 。= 0 ( k = 1 ，2 ，k ) 证毕。 由此可知，考虑波达方向估计的问题，我们可以得到如下公式： 己眦2 再而而1 ( 3 1 ，) 当o 同波达方向一致a , j ，有如下表达式： 0 a h ( o ) u 。| 1 2 = o ( 3 1 4 ) 即式( 3 1 3 ) o p 的p 。峨作为e 的函数，其取最大值时变量0 的值即为我们所要求的波达方向 角度值，因此，式( 3 1 3 ) 也称作为伪频谱函数。 3 1 3 伪频谱函数的计算简化与证明 通常情况下，我们有 f k ，而u 作为( m x ( m k ) ) 维的矩阵，计算量是相当 可观的，因此我们利用正交矩阵的一些性质，把对u - 的计算转换为对( m x k ) 维的信 号子空间矩阵u s 的计算。 为了同下文将要介绍的其他算法作铺垫，我们考虑更一般的情况，即矩阵u 不为正 交矩阵，这意味这式( 3 7 ) 不成立。设噪声空间投影算子： 4 第二章子空间算法 i i - - u 。u ：= u 。( u u 。) _ 1 u ：r ( 3 - 1 5 ) u - 而类似的，信号空间投影算子为： i u i ，= u s u ：- - - - u s ( u m 一1 u 其中 u ：= ( u 孑u 。) 1u u ：= ( u u 。) - 1u ( 3 - 1 7 ) “+ ”代表相应矩阵的广义逆变换( m o o r e ：p e n r o s ep s e u d oi n v e r s e ) 。如果建立在m u s i c 信号模型的基础上，u 为正交矩阵，由式( 3 - 7 ) 易知 u ：= u ，u ：= u s 3 - 1 8 ) 已知u ，u 。- - 0 ，下面我们不考虑式( 3 一1 7 ) 的特殊情况，仅对一般情况简要的证明下式： i = i i + ( 3 1 9 ) = u 。( u 孑u 。) 。1 u 孑 u + = u 。( u 了u 。) 1 u 孑+ u ，( u ，h u ，) - 1 u s u ( + 碍 u 。= ( u 脚地) - l u 芋也( u u $ ) - - i u h ) u 。 uu 多u 。= o ( 碍u + 碍u u 。川， u + = i 1 5 华南理1 二大学硕士学 奇论文 证毕。 因此，式( 3 1 3 ) 中， u 。u 孑= = i - i i u 月u ， 所以，算法的伪频谱函数被简化为下式： k 砑1 a ( 目) li i il a ( 秒) ( 3 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) 这样，在m k 的情况下，( m ( m i o ) 维的矩阵乘法运算就被( m x k ) 维的矩阵 乘法运算以及简单的加法运算所取代。该简化同样适应于下文将要介绍的其他算法，为 此不再赘述。 3 2 线性子空间算法 在上一节里，我们介绍了经典的子空间算法m u s i c ，m u s i c 虽然具有理论上的无 穷大的分辨率，但是对噪声模型的敏感以及庞大的运算量，都从某种程度上影响了 m u s i c 的应用。虽然多年来很多研究者对m u s i c 算法做了种种改进，但算法的本质决 定了这些改进方案不可能获得特别好的效果。因此，一些新的频谱估计方法逐渐涌现出 来，而线性子空间算法就是一类比较成功的。 首先是1 9 9 0 年，法国教授s y l v i e m a r e o s 率先提出了p m ( p r o p a g a t o r m e t h o d ) ，开 创了线性子空日j 算法的先河【2 6 】。接下来她又在p m 的基础上提出了改进的o p m l 2 r l ，然 后e s t o i c a 与t s o d e r s t r o m 等人提出了b e w e 田】，a n d e r se r i k s s o n 与p e t es t o i c a 等人提 出了s w e d e l 2 9 1 ，逐步完善了线性子空间算法的体系结构。 在这一节里，我们将分几部分逐个介绍这些算法。 3 2 1b e w e b e w e 的全称是b e a r i n ge s t i m a t i o nw i t h o u te i g e n d e c o m p o s i t i o n 2 钔，即不需要特征分 解的波达方向估计算法。该算法有两大特点： 1 ) 因为不需要对自相关矩阵进行特征值分解，所以运算量非常小 2 ) 算法是建立在任意噪声模型基础之上的 因此，在信号模型上，b e w e 同m u s i c 略有区别，即不要求如式( 3 2 ) 的噪声模型。 对式( 3 1 ) 的信号模型，我们做以下分解： 1 6 第二章子空间算法 u x = 匪 a = 主 。之：， 似的，a 被分割成两个子矩阵，( k x k ) 维矩阵五和( ( m k ) x k ) 维五分别与i 和i 相 r = e x x 日】= a r 。a 珂+ r 。( 3 - 2 3 ) 同时，我们假设l i s 与五均为非奇异矩阵。由此可见，同m u s i c 相比，b e w e 的算法 u s = e 鳆日】= 五r 。五日( 3 - 2 4 ) 由r i 与五的非奇异性结合式( 3 2 4 ) 易得： s p a n u s ) = s p a n a ( 3 2 5 ) 该式的意思是u s 与五生成相同的子空间。同式( 3 川类似，我们通过下式来估计u s ： 旬s2 专善i 妒 ，z 】 ( s 化运算，f l ：i 式( 3 - 2 0 ) ，我们定义正交投影算子如下： i i 。= i , t 一u 。( u u 。) - 1u 多( 3 - 2 7 ) 同m u s i c 中类似，我们最终能够得到伪频谱函数： 。 腮2 再赢而 ) 1 7 华南理 二大学硕十学何论文 3 2 2o p m o p m 的全称是o r t h o n o r m a l i z e lp r o p a g a t o rm e t h o d 2 7 1 ，是p m ，即p r o p a g a t o rm e t h o d 2 6 】 的正交化版本，区别是前者在后者的基础上增加了一步对噪声子空问正交化的过程，大 大提高了算法的性能，使其能与m u s i c 媲美。下面我们简要介绍p m 与o p m 的原理。 类似于前两种算法，同样我们假设方向向量矩阵a 为满秩矩阵，对于u l a 的波达 方向估计问题和时延估计问题，这个条件是能够直接得到满足的。因为a 为( m x k ) 维矩阵，这意味着a 的秩为k ，也就是说，矩阵中任意k 行都是线性不相关的，因此， 余下的( m - k ) 行都能用取出的k 行来线性表示。因此我们对a 作如下分解： a = 黼 p ：， 其中，a i 为从a 中任意选择的k 行组成的子矩阵，a 2 则为其他行组成的子矩阵。易知 a i 为非奇异矩阵，因此存在唯一的线性算子p ( p r o p a g a t o r ) 满足下式： p 爿a l = a 2( 3 3 0 ) 因此有 【p ，一i 肘一k a = q h a = 00 - 3 1 ) 其中i m - k 为( m - k ) 维的单位矩阵，而 q = p z , - i 膨一置】日 ( 3 3 2 ) 上式q 满足q “糊，这同m u s i c 中的噪声空间的性质很类似，但区别在于q 不是正 交矩阵，因此q n a 并不是a 在q 上的投影，从减小误差的角度来说，非投影算子会带 来算法性能上的急剧下降。为此，文献2 刀提出了对q 采用如下正交化变换： q o = q ( q 日q ) - ) 5 ( 3 - 3 3 ) = 再丽丽1 ( 3 - 3 4 ) 如果去掉式( 3 3 3 ) 这一步骤而是直接用q 取代q