（系统工程专业论文）含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 由于非线性动力系统的实际观测时间序列总是不可避免的混有噪声，噪声的普遍存 在性和高破坏性掩盖了系统的内在动态特性，极大地影响了混沌特征参数的计算及其单 变量或多变量的预测精度。因此，对实际观测的混沌时间序列进行有效的降噪具有重要 的意义。 为了充分体现混沌系统的确定性、非线性以及初始状态的敏感性等特征，本研究从 混沌信号自身的规律出发，根据噪声对混沌的影响，探索了不同应用背景下混沌时间序 列的降噪问题。针对未知系统动力学特性以及模型的混沌时间序列，本文提出了一种基 于非线性约束的局部投影降噪方法。该方法通过将非线性约束条件引入局部投影方法之 中，并在局部邻域内进行奇异谱分析，利用代表吸引子的主分量来重构时间序列，克服 了传统局部投影方法不能充分刻画系统内在非线性关系的问题。对于混沌动力学特性未 知、长度信息不充分的时间序列，提出了一种基于双小波的空域相关混沌信号降噪方法， 通过将单小波变换扩展为双小波变换，强化了信号的局部性作用。根据混沌信号和噪声 具有不同的特征表现，提出了一种改进的小波模极大值降噪方法，该方法结合奇异谱分 析和尺度相关性分析，分别对变换后的近似系数和小波模极大值分析后的细节系数进行 了处理，提高了混沌信号的定位精度。针对小波阈值选取的问题，结合神经网络对非线 性阈值进行自学习，研究了一种自适应选取提升小波细节系数的方法，解决了实际中软 阂值方法的通用阂值在应用中显得过大且存在恒定偏差以及硬阈值方法的阈值函数不 连续的问题，提高了系统的整体性能，降低了系统的均方根误差。 本研究以已知模型的l o r e n z 混沌动力系统和实际观测的月太阳黑子时间序列为研 究对象，通过对其进行仿真分析，证实了本文所提出的方法均具有较好的降噪效果。 关键词：混沌时间序列；局部投影；小波变换；空域相关；模极大值 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 t h es t u d yo fn o i s er e d u c t i o nm e t h o d sf o rc h a o t i ct i m es e r i e s a b s t r a c t ni si n e v i t a b l et h a tt h eo b s e r v e dt i m es e r i e sa r ec o n t a m i n a t e db yn o i s e sf o ra l lt h en o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s t h eu n i v e r s a le x i s t e n c ea n dd e s t r u c t i v e n e s so fn o i s ec o n c e a l st h ei n t e r n a l d y n a m i c sp r o p e r t i e s ，a n di n f l u e n c e st h ep a r a m e t e r sc a l c u l a t i o na n dp r e d i c t i o no fu n i v a r i a t eo r m u l t i v a r i a t et i m es e r i e s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yf o ru st os t u d yn o i s er e d u c t i o nm e t h o d sf o r c h a o t i ct i m es e r i e s f o rr e f l e c t i n gf e a t u r e so fc h a o t i cs y s t e m s ，i n c l u d i n gc e r t a i n t y ，n o n l i n e a ra n ds e n s i t i v i t yo f 也ei n i t i a ls t a t e ，t h i sp a p e re x p l o r e sn o i s er e d u c t i o nm e t h o d so nd i f f e r e n tb a c k g r o u n d sf o ro w n r u l e so fc h a o t i cs i g n a l sa n de f f e c t so fn o i s e s f o rc h a o t i ct i m es e r i e sw i t hu n k n o w nd y n a m i c s c h a r a c t e r sa n dm o d e l s ，a ni m p r o v e dm e t h o di s p r o p o s e dw i t hi n t r o d u c t i o no fn o n l i n e a r c o n s t r a i n tc o n d i t i o n st ot h el o c a lp r o je c t i o nm e t h o d ，a n ds i n g u l a rs p e c t r u ma n a l y s i si s c o m b i n e di nt h el o c a ln e i g h b o r h o o d ，w h i c hu s e st h em a i nc o m p o n e n t sr e p r e s e n t i n gt h e a t t r a c t o r st or e c o n s t r u c tt h et i m es e r i e s t h ei m p r o v e dm e t h o do v e r c o m e sp r o b l e m st h a tt h e t r a d i t i o n a ll o c a lp r o je c t i o nc a nn o tf u l l yc h a r a c t e rt h en o n l i n e a rr e l a t i o n s h i po fs y s t e m f o r c h a o t i ct i m es e r i e sw i t hn ok n o w l e d g eo fc h a r a c t e r sa n de n o u g hl e n g hi n f o r m a t i o n ，a n i m p r o v e dd u a l - w a v e l e ts p a t i a l c o r r e l a t i o nm e t h o di s p r o p o s e df o rn o i s e r e d u c t i o n t h e e x p a n s i o no fd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r mf r o mu s i n go n ew a v e l e tt ou s i n gt w os t r e n g t h e n s l o c a lc h a r a c t e r i s t i c so fs i g n a l s f o rd i f f e r e n tf e a t u r e sb e t w e e ns i g n a la n dn o i s ei nd i f f e r e n t s c a l e s ，a ni m p r o v e dw a v e l e tm o d u l u sm a x i m u mm e t h o di sp r o p o s e d t h ea p p r o x i m a t ep a r t s a r eh a n d l e db ys i n g u l a rs p e c t r u ma n a l y s i s ，a n dt h es p a t i a ls c a l e sr e l e v a n c yi su s e df o rw a v e l e t c o e f f i c i e n t sa f t e rm o d u l u sm a x i m u ma n a l y s i si nd i f f e r e n ts c a l e si no r d e rt or e s e r v eu s e f u l s i g n a l sm i x e di nn o i s e s f o rt h ec h o i c ep r o b l e mo fw a v e l e tc o e f f i c i e n t s ，a na d a p t i v en o i s e r e d u c t i o nm e t h o di 5p r o p o s e dc o m b i n i n gw i t hs e l f - l e a r n i n go fn o n l i n e a rt h r e s h o l di nn e u r a l n e t w o r k t l l i sm e t h o ds o l v e st h ep r o b l e mt h a tt h et h r e s h o l df u n c t i o no ft h es o f t t h r e s h o l d w a v e l e th a sac o n s t a n td e v i a t i o ni na p p l i c a t i o na n dt h a to ft h eh a r d t h r e s h o l dw a v e l e ti sn o t c o n t i n u o u s ，a n dr e d u c e st h er o o tm e a ns q u a r ee r r o ro fc h a o t i cs y s t e m t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ec h a o t i ct i m es e r i e sg e n e r a t e db yl o r e n zm o d e la n ds u n s p o tt i m e s e r i e sa sr e s e a r c ho b j e c t sw h i c ha r ea p p l i e dt os i m u l a t i o na n a l y s i s ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h ep e r f o r m a n c e so ft h ep r o p o s e dm e t h o d sa r ea l le f f e c t i v ef o rc h a o t i ct i m es e r i e s k e yw o r d s ：c h a o t i ct i m es e r i e s ；l o c a lp r o j e c t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；s p a t i a lc o r r e l a t i o n ； w a v e l e tm o d u l u sm a x i m u m i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：金里鎏壹之垦三丝堕垄匣盐垡堕睦盗窒里皇鸳，杰 作者签名：壶l 叁叁日期：丝里墨年竺月三兰日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：金盗壹三塾主垄墨蔓蕴匣坐堡堕盥嗑主垄垄亚垒 作者签名：童i 至叁 导师签名： 盈猃 日期：型金年兰月2 2 日 日期：2 型墨年竺月2 竺日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 时间序列是自然界中存在的以一定的时间间隔观测记录得到的一组数值。从时间序 列研究混沌，始于t a k e n s 的相空间重构理论，即可以通过决定系统长期演化的任一单 变量时间序列来研究系统的混沌行为。由于实际观测的时间序列中都含有一定程度的噪 声，噪声的存在影响了混沌特征参数的计算及其单变量或多变量的预测精度，因此本研 究从混沌信号的自身规律出发，探讨了不同背景下混沌时间序列的降噪问题。本章首先 阐述论文的课题背景和研究意义，然后介绍目前国内外混沌时间序列降噪研究的进展和 现状，并对其作简要的分析，最后给出本文的主要研究内容。 1 1 课题背景和研究意义 混沌运动是一种由确定性系统产生的永不重复的回复性非周期运动，对初始条件具 有敏感性和依赖性【l 。5 】。研究表明：自然界中的大部分运动如水文、天文、气象等产生 的时间序列如径流量、太阳黑子数、降雨量等都具有一定的混沌特性【每l o 】，这些实际观 测的时间序列，其动力学特性常常未知。由于受到各种主、客观因素如仪器的精度、测 量的客观外界条件、不同的测量主体等的限制，时间序列在数据测量、传输等过程中可 能受到噪声和数据长度的影响，因此如何根据不同的应用背景和需求，对实际观测的混 沌时序进行有效地降嗓具有重要的意义【l 卜1 3 】。 在非线性动力系统中，实际测量信号总是混沌信号与噪声并存，噪声的影响主要包 括4 个方面【1 4 】： ( 1 ) 系统内在的混沌吸引子自相似性被破坏； ( 2 ) 混沌系统特征参数的计算错误； ( 3 ) 无论用什么方法对确定性系统进行预测，其预测精度都明显降低： ( 4 ) 重构相空间在小尺度上表现出高维性。 混沌信号具有内在随机性，区别于噪声信号外在的、不可预测的随机性行为，但二 者在产生的物理学背景上却具有很强的联系：噪声很大一部分是由仪器的测量精度或运 算精度产生，而混沌最根本的特性是系统状态对初始条件的敏感性、依赖性，即使初始 条件的微小变化也会使系统随着时间的演化在有限尺度上以指数形式增长，这种微小的 差别往往就是由仪器的测量精度引入的。 在信号处理领域，噪声的这种普遍存在性、高破坏性以及与混沌信号的高度相似性 加大了混沌时间序列降噪研究的难度。由于混沌信号具有功率宽带性和似噪声性，其频 带与叠加的噪声频带往往全部或部分重叠，因此传统的频谱分析像低通、高通、带通等 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 滤波器降噪方法对其并不适用 1 5 , 1 6 1 。 近年来，先后出现很多与混沌理论相关的降噪方法，如基于影子定理的降噪方法【1 7 】、 基于模型逼近的降噪方法f 1 3 】、局部投影降噪方法 1 9 - 2 1 】以及小波分析降噪方法【2 2 五钥等，但 是这些方法也都存在着一些不足之处。例如：基于影子定理的降噪方法需要预知映像函 数，这在实际应用中比较困难；基于模型的局部逼近技术过分简化的线性化处理会导致 较大的误差，全局逼近技术忽略了信号的边缘特性，会降低降噪效果；局部投影是目前 应用较为广泛的一种降噪方法，该方法不需要预知系统的动力学特性以及模型，并且对 实际观测的时间序列也能够起到一定的降噪效果，但是当噪声水平较低时，局部的线性 近似可能会损失部分有效信息，引起时序误差；当噪声水平较高时，邻域相点数增加， 分段线性难以模拟非线性系统的复杂动态特性，一些细微的结构得不到反映，降噪效果 不明显；小波分析在时频域都具有很强的表征信号局部特征的能力，因此在混沌信号的 降噪领域中获得了很好的应用，但是小波硬阈值方法的阈值函数不连续，软阈值方法给 出的通用阈值在应用中显得过大且存在恒定偏差。综上所述，如何根据混沌时间序列自 身的特性对其进行有效的降噪是这一领域急需解决的问题。 1 2国内外研究现状及分析 混沌动力系统的降噪是2 0 世纪9 0 年代混沌时间序列分析的主要研究内容之一，也 是对混沌时间序列进行准确预测及参数求取的前提。近年来，国内外出现的与混沌理论 相关的降噪研究经历了从简单到复杂，从线性到非线性，从模型已知到模型未知的过程， 其主要的降噪研究方法如下： ( 1 ) 滤波器降噪方法 该方法主要基于信号的频谱分析，通过对采集的信号进行傅立叶变换得到基频分量 和对应的高频分量，然后再人为地把代表噪声的高频分量去除，就完成了混沌信号的降 噪。线性滤波器主要有w i e n e r 滤波器【2 5 j 和k a l m a n 滤波器【2 6 1 。只要时间序列足够长， 完全可以基于信号在频域中的分布特点滤除周期或者准周期信号中的噪声。 由于混沌信号具有功率宽带性、连续性和似噪声性，其频谱结构随时间不断发生变 化，因此这种不稳定的谱结构变化给混沌信号的降噪带来了很大的困难。另外，f o u r i e r 变换反映的是信号的整体特征，而混沌信号降噪关心的是信号的局部特性，即需要对信 号进行局部分析。短时f o u r i e r 变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，s t f t ) 瞄7 j 的基本思想是 给信号加一个小窗，然后对小窗内的信号进行变换，以此来反映信号的局部特征，但是 大连理工大学硕士学位论文 s t f t 的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，不能 满足混沌信号的特点。因此，该方法没有在混沌信号的降噪领域得到进一步的应用。 ( 2 ) 基于影子定理的降噪方法 对混沌动力学系统，b o w e n t 2 8 】证明了系统中有噪声的轨道旁总是存在一条唯一的、 精确的轨迹，这就是著名的影子定理( s h a d o 咖gt h e o r e m ) 。h a m m e l 2 9 】等利用影子定理 把噪声平滑问题转化为确定一条靠近含噪声序列的轨迹问题；而f a r m e r 和s i d o r o w i c h l 3 0 j 则采用求流动平均数一最大似然估计的标准方法来减弱噪声，其基本原理是通过对过去 的观测点采用非线性映像获得一个新值，对将来的观测点采用逆映像产生另一个新值， 然后取二者的平均值来获得降噪后的观测点，多次重复即可得到满意的干净轨道；j d k 6 等【3 1 采用一个新的评价函数来降噪，该评价函数包括两方面：一方面标度降噪轨迹和含噪 声轨迹之间的距离；另一方面检测降噪后信号匹配系统混沌特性的程度。 基于影子定理的降噪方法需要预知映像函数，即需要知道产生混沌时间序列的精确 数学模型或混沌动态特性的先验信息，这在实际应用中比较困难。 ( 3 ) 基于局部模型近似的降噪方法 基于模型逼近降噪方法的基本思想是利用已观测的时间序列，构建一个和原系统动 力模型最接近的近似模型。根据模型的近似方式，可以分为局部逼近降噪方法和全局逼 近降噪方法。 最常用的基于局部逼近技术的降噪方法是t h o m a ss c h r e i b e r 于1 9 9 3 年提出的简单 局部平均法【3 2 】，该方法通过直接对邻域内的点线性化或取平均值来得到降噪后的结果， 主要思想是选择合适的邻域，并用邻域中点坐标的平均值取代测量值。邻域是在相空间 中确定的，相空间是用t a k e n s 定理将时间序列嵌入形成的，为了定义邻域首先要确定 嵌入向量x ，= t 出，z f + f r ) ，设序列的关联维数为d ，根据混沌重构相空间理论，在舛h 1 维相空间中可得到重构向量： x f = ( x i _ k ，, - - , x i ，薯+ f f ) 7 ( 1 1 ) 上式与相空间重构的实质相同，只是延迟坐标对应的时序发生了平移，使得向量同时包 括五过去和将来的信息，即同时包括了过去的k 个点和未来的z 个点，以利于降噪结果 的改善。 这种方法不需要预知系统动力学特性，计算简单，方便用于混沌时间序列的降噪研 究，但其直接利用邻域内点的平均值进行数值更新，过分简化的线性化处理不能充分刻 画混沌序列的非线性动力学特性，会导致较大误差。余建组等【3 3 】在此方法的基础上，提 出了一种把从混沌时序数据构造非线性预测模型同降低噪声干扰相结合的方法，从而在 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 一个较高维的空间得到了没有交叠的状态轨迹，实现了信噪分离。韩敏等【3 4 】提出了一种 改进的非线性局部逼近降噪算法，该算法通过在邻域内建立一个加权模型来更新数值， 使每个邻域都包含合适的邻域点数，从而校正了相空间中点的位置，使它更加逼近真实 的吸引子轨迹，该算法较之简单的局部平均算法有更好的降噪效果。 另一种基于模型逼近的降噪方法是全局逼近【3 5 1 ，即寻找一个在全局范围内都可以近 似原系统模型的函数。这种全局范围的逼近一般可以用两种方式来实现：径向基函数和 神经网络。该方法同样不需要预知动力学系统的方程，但是直接对混沌信号进行全局分 析，忽略了信号的边缘特性，会降低降噪效果。 ( 4 ) 基于局部投影的降噪方法 局部投影降噪方法通过将含噪声混沌数据的嵌入邻域在线性超平面上进行正交投 影，使得偏离轨道的流形能够逐渐接近真实动力学轨迹来达到降噪的目的。该方法是由 c r r a s s b e r g e r 3 6 】在前人工作的基础上提出的。由于这种方法对未知混沌特性的含噪声时间 序列取得了良好的效果，因此得到了广泛的关注。1 9 9 9 年，s c h r e i b e r t 3 7 通过更新邻域的 选取方法对原局部投影算法进行了改进，在选取参考点对应的邻域点时，只考虑一定的 时间步数内与该时刻相邻的过去与未来时刻的点，克服了信息冗余的问题，并且使计算 得以简单化，但是初始邻域半径的选取比较困难；k e r n 3 8 】和l e o n t i t s i s 3 9 1 考虑了局部邻 域子空间的问题，通过引入估计关联维数和l y a p u n o v 指数确定了一个局部子空间范围， 但是这对于实际观测序列比较困难；此外，基于局部投影的降噪方法在降雨序列、心电 脑电信号以及语音信号等 4 0 - 4 2 】方面也都获得了广泛的应用。 局部投影方法不需要预知系统动力学特性以及模型，能够对实际观测的时间序列起 到一定的降噪效果，但是其在实际应用中仍然存在一定的缺陷，主要表现在：当噪声水 平较低时，直线与投影的超平面相割而不是相切，局部的线性近似可能会损失部分有效 信息，引起时序误差，造成滤波后的波形剧烈振荡；当噪声水平较高时，邻域相点数增 加，分段线性难以模拟非线性系统的复杂的动态特性，一些细微的结构得不到反映，降 噪效果不明显。 ( 5 ) 离散小波降噪方法 利用离散小波对一维信号进行降噪是小波分析的重要应 4 3 - 4 7 】。离散小波降噪的最 大的优势是不需要已知信号的数学模型，可以利用小波变换对信号进行多尺度分解，把 时间域上的一维信号转化成小波域上的一维信号。通过对每一层的小波系数进行阈值滤 波，可以实现信号的降噪。 利用离散小波对实际观测的混沌信号进行降噪，关键包括两方面： 大连理工大学硕士学位论文 分解尺度的选取。由于小波分解尺度过少时，各个尺度上对应的小波系数中含 有的噪声能量较多；而小波分解尺度过多时，又容易造成信号有用信息的丢失，导致系 统信噪比下降：因此，选择恰当的分解尺度能够有效提高降噪方法的性能，增强方法的 实用性。 阈值的选取。其直接影响着降噪效果的好坏：当阈值选取过低时，保留的噪声 信号过多，降噪效果不理想；当阈值选取过高时，将会过多的将信号当作噪声去掉，影 响信号的进一步分析。d o n o h o 和j o h n s t o n e 等【4 8 】提出了广义阈值选取方法，考虑了不 同频率的小波系数特性，是一种非线性算法，但是对于低信噪比的情况，其降噪效果不 好；m a l l a t 等【4 9 】建立y 4 , 波变换与l i p s c h i t z 指数之间的关系，如式( 1 2 ) 所示： l 0 9 21 w f ( 2 j , 6 ) l l 0 9 2a + j c t ( 1 2 ) 其中，表示小波分解尺度，b 表示离散小波平移因子的系数，口表示l i p s c h i t z 指数，么 表示小波模极大值。式( 1 2 ) 不仅给出了小波变换尺度与口的关系，而且也给出了小波 变换系数随尺度和口的变化规律：当口 0 时，小波变换的模极大值随尺度的增大而增 大；反之，则随尺度的增大而减小。因此，可以从大尺度到小尺度逐级确定信号小波系 数的模极大值，然后重构信号，从而达到降噪的目的，但是模极大值范围的选取比较困 难：基于小波系数在相邻尺度的相关特性，x u 等【5 0 】提出了小波空域相关降噪方法，该 方法能够很好的保留信号的边缘特性，但是小波系数的取舍具有主观性。 ( 6 ) 提升小波降噪方法 s w e l d e n s 提出的提升小波变换利用一种简单的提升方法改进已知小波的特性，获得 了期望特性的新小波【5 1 】。提升小波不依赖于f o u r i e r 变换，利用其能够对实际观测的混 沌信号进行有效的降噪，但是对离散序列进行分析时，在序列的边缘两侧容易产生较大 的小波系数。同时由于采用先预测后更新的提升结构，预测过程会影响更新过程，尤其 在多级分解时，预测过程影响下一级小波分解，因此对具有尖锐边缘、分段光滑和奇异 点的序列处理效果很差。 1 3 论文主要内容及安排 本课题来源于国家自然科学基金项目( 6 0 6 7 4 0 7 3 ) “基于多元时间序列分析的复杂系 统建模与预测研究”与国家自然科学基金项目( 6 0 3 7 4 0 6 4 ) “含噪声混沌时间序列重构模 型与预测研究 。本文以l o r e n z 混沌模型和实际观测的月太阳黑子混沌序列为研究对 象，针对噪声对混沌时间序列的影响，根据不同的应用背景对降噪进行研究，并对降噪 后的时间序列做了相应的结果分析。 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 全文内容安排如下： 第1 章：绪论。阐述论文的课题背景和研究意义，并总结目前混沌时间序列降噪方 法的研究进展和现状。 第2 章：基于非线性约束的局部投影降噪方法。本章首先对观测时间序列的确定性 进行了分析，然后针对传统局部投影方法是一种局部线性化方法，不能充分刻画时序的 非线性动力学特性，将非线性约束条件引入到局部投影方法之中，同时结合奇异谱分析 方法，去掉代表噪声的较小奇异值，保持了系统的非线性特性以及平滑性。 第3 章：离散小波混沌信号降噪方法研究。本章根据混沌和噪声在不同的小波分解 尺度上具有不同的特性，分别对单小波空域相关和小波模极大值降噪方法进行了深入了 研究和探讨，主要是从保持信号的非线性特性和光滑特性两方面进行分析。改进的双小 波空域相关混沌信号降噪方法通过将单小波扩展为双小波，加强了信号的局部特性。改 进的小波模极大值方法，通过结合尺度相关性分析，提高了系统的相关特性。 第4 章：自适应提升小波混沌信号降噪方法。这一章主要是对第二代提升小波混沌 信号降噪进行研究，通过结合奇异谱分析和梯度下降法，分别对提升小波变换后的近似 部分和细节部分进行了进一步的分析，实现了小波系数的自适应选取。 第5 章：结论。对本文主要研究的内容以及所取得的结果进行归纳，对有待进一步 研究的问题进行了讨论。 大连理工大学硕士学位论文 2 基于非线性约束的局部投影降噪方法 局部投影( l o c a lp r o j e c t i v e ，l p ) 降噪t 5 2 j 剧b 线性动力学降噪方法的一种，主要根据混 沌吸引子轨道的几何结构来实现对含噪声混沌信号的噪声处理。本章利用递归图对未知 系统进行结构分析，判断观测时间序列是否来自于混沌系统，进而重构出动力系统的形 式。基于t a k e r s 相空间重构理论，提出了一种基于非线性约束的局部投影降噪方法。 该方法一方面将非线性约束条件引入局部投影方法之中，另一方面对局部邻域内的相点 进行奇异谱分析( s i n g u l a rs p e c t r u ma n a l y s i s ，s s a ) ，利用代表吸引子的主分量来重构时 间序列，从而实现信噪分离。同时，对该方法进行了数值试验仿真。 2 1局部投影降噪方法的基本原理及局限性 局部投影降噪方法以t a k e n s 相空间重构【5 3 】为基础，通过在吸引子轨迹空间中选择 合适的邻域点，然后在每个局部邻域内，将含噪声混沌数据在线性超平面上进行正交投 影，使得偏离轨道的流形能够逐渐接近真实动力学轨迹。 假设实际观测的混沌时间序列为： = 蚝+ r l , ，n = 1 ，2 ，n ( 2 1 ) 其中，) ，。表示无噪声时间序列；仇表示噪声时间序列，且其服从正态分布。 如果实际观测的时间序列具有混沌特性，那么可以从时间序列中重构出动力系统的 形式，而来自于随机系统的噪声则不能，因此对观测的时间序列进行确定性分析是必要 的。利用递归副4 9 】能够刻画观测时间序列来自于确定性系统的程度和特征，进而判断观 测的时间序列是否来自于混沌系统。 对一个观测的混沌时序，根据t a k e n s 定理将其嵌入一个m 维的相空间，可以得到： x 。= ( ，x n + ，+ ( 州) ，) ( 2 2 ) 其中，m 是嵌入维数，并且m 2 d + 1 ，d 是吸引子的维数，f 是延迟时间。 t a k e r s 已经证明可以找到一个合适的嵌入维数，在这个嵌入维空间里可以把系统有 规律的轨迹恢复出来，即在重构的贸册空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚。在这 个m 维的相空间中，由系统动力学所形成的吸引子只局限于一个低维的子空间中。 假设在局部邻域u 内存在函数日和宙使得： = 日( ，吒+ ，+ ( 研- 1 ) ，) = 4 x + 死 ( 2 3 ) 工e u 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 即：日( 矗，黾，+ ( 。_ 1 ) ，) = 0 ，其中4 和吃是相点在局部邻域内线性化的系数。 式( 2 3 ) 表明：在重构的m 维相空间中，存在一个超平面，相点与超平面的偏差代 表噪声部分。纯净的混沌吸引子不会延伸到由噪声产生的空间中，通常称该空间为零子 空间。假设零子空间是q 维的，局部投影方法就是要找q 个正交的矢量，使得相点与 超平面的偏差在这些矢量上的局部投影为最小值。 虽然局部投影方法不需要预知系统动力学特性以及模型，并且对实际观测的时间序 列也能够起到一定的降噪效果，但是在实际应用中仍然存在一定的局限性，主要表现在： ( 1 ) 当噪声水平较低时，直线与投影的超平面相割而不是相切，局部的线性近似可 能会损失部分有效信息，引起时序误差，造成滤波后的波形剧烈振荡； ( 2 ) 当噪声水平较高时，邻域相点数增加，分段线性难以模拟非线性系统的复杂的 动态特性，一些细微的结构得不到反映，降噪效果不明显； ( 3 ) 传统的局部投影方法对相空间的前后分量一同校正，但是吸引子的不稳定性导 致首末分量难以被准确的校正，因此在每次迭代中嵌入向量都会带来较大的误差。 2 2 改进的基于非线性约束的局部投影降噪 针对传统局部投影方法存在的问题，本研究提出了一种改进算法：在局部投影中引 入非线性的约束方程，并在局部邻域内进行奇异谱分析，即对重构相空间局部邻域内的 含噪时序进行奇异值分解，保留代表真实信号的较大奇异值。该改进算法能够从一定程 度上刻画系统内在的非线性关系，减小重构吸引子与真实吸引子之间的偏差。 2 2 1基于非线性约束的局部投影降噪 假设邻域u 内所有的相点可以用相同的系数以和既进行表示，在u 内找到与每个 相点最相近的两个邻点蕾和磁。 对于一维的原始时间序列，非线性约束条件取为： q ( f ) = 一l ( 黾+ l 一，一+ 1 一，) + 吒一，( x j + l - j 一+ l f ) + 一f ( + l 一，一x k + l 一，) = 0 ( 2 4 ) 其中，f _ 1 ，2 ，聊一1 ，歹= 1 ，2 ，n ，k = 1 ，2 ，n 。 对于多维情况，非线性的约束条件取为： 大连理工大学硕士学位论文 c ( f ) = ( 口m 一。) ( 稚+ 。一，- x j 小，) + ( 口雉一，) ( _ + 。一，- x , + - ，) 8 0 扣o ( 2 5 ) m - 1 + ( 口+ l _ 一。) ( 吒+ 1 ，- x k + 1 - 。) 0 其中，口。是系数4 中的元素。由式( 2 5 ) 可以看出：e ( f ) 是相空间每个相点的不同邻点 一和x k 的函数，相点中每一个元素对应的q ( f ) 都具有不同的符号。由于连续时间序列 中相近邻点具有相似的行为特征，因此当嵌入维数足够大时，随着f 的变化，q ( f ) 也会 逐渐趋向于零。但是实际中嵌入维数不可能足够大，故瓯( f ) 也不可能为零。 由于引入了非线性的约束方程，此时相点与超平面的偏差可以写为： 乙= r ( x 。一又。一或) ( 2 6 ) 其中，又n2 古荟x t 表示重构相空间邻域内相点的平均值，或= n i = 1q ( f ) 表示在局部 l f ， 邻域内每个相点相近邻点的平均值，r 表示对角权重矩阵，其主要作用是抑制相点的第 一个元素项和最后一个元素项所产生的畸变，保留最稳定的中间元素项。 假设q 个正交矢量为a 9 ，q = 1 ，2 ，q ，引入拉格朗日乘子旯9 ，则最小化拉格朗 日算子： 工= 艺口9 ( a q 乙) 】2 一艺五9 ( 口g 口9 1 ) ( 2 7 ) 取局部邻域u 的协方差矩阵为： c = 乙】； 毛】t ( 2 8 ) 则对于每一个g 有： c a q 一z q a q = o( 2 9 ) 由式( 2 9 ) 求出矩阵c 的特征向量及特征值，去掉较小特征值所对应的特征向量就 可以得到降噪后的时间序列： 文：x 一足一兰口。 口a r ( x 。一又。一或) 】 ( 2 1 0 ) q = l 一9 一 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 基于以上分析，基于非线性约束的局部投影降噪算法的实现步骤如下： 步骤1 通过递归图判断观测时间序列的动态系统确定性，如果观测时间序列系统具 有混沌特性，那么可以从时间序列中重构出动力系统的形式； 步骤2 根据t a k e n s 定理重构相空间，选定嵌入维数m 和延迟时间f ； 步骤3 利用欧几里德距离方法找出每个相点在邻域内的所有邻近点，然后找到距离 每个相点最近的两个邻点： 步骤4 求出每个相点的局部非线性约束方程； 步骤5 利用奇异谱分析( s s a ) 方法，在局部邻域内构造协方差矩阵，并计算其特征 值和特征向量； 步骤6 重构吸引子，对实际信号进行修正，消除噪声部分； 步骤7 重复步骤3 到步骤6 ，直到搜寻完毕所有相点； 步骤8 利用上述算法对降噪过程进行多次迭代。 由于噪声水平较高时，一次降噪并不能很好的降低噪声，因此需要进行多次迭代。 该方法主要依据降噪后系统均方误差最小的原则来确定迭代次数：经过仿真，当迭代次 数为1 到3 次时，降噪后系统的均方误差就会达到最小，因此在实际应用中，可以根据 不同的时序选择1 到3 次迭代。 利用改进的基于非线性约束的局部投影降噪方法对混沌时序降噪时，在每个邻域内 都进行奇异谱分析会导致计算复杂度有所提高。由于实际观测的时间序列都是非线性 的，与基本的局部投影方法相比，若要在提高系统信噪比和增益参数，降低系统均方误 差的同时，精确地描述系统内在的非线性特性，本研究所提出的改进方法是一种更有效 的降噪方法。 2 2 2 混沌时间序列降噪方法评价准则 由于各种降噪方法都存在自身的优缺点，因此为分析数值计算结果的有效性和适用性， 需要建立统一、公正合理的评价准则，以用来比较各种降噪方法的降噪能力。 常用指标有：信噪比、增益参数、均方根误差和偏差。基于上述指标，本研究提出了 信噪比增益、降噪精度和决定度系数三个指标。基于混沌和噪声的特性，引入了自相关函 数分析、功率谱分析和递归图分析。根据混沌时序来自已知模型还是未知模型，下面分两 种情况给出各种指标的具体含义。 ( 1 ) 已知模型评价指标 已知模型混沌时间序列是指由已知的差分方程和微分方程经过迭代或者数值求解采样 得到的，降噪效果的评价指标如表2 1 所示： 大连理工大学硕士学位论文 c s i g n a 脞ln o i s er a t i o ，l o x l o g l 0 隅 s n r ) ( - ， i = 万! 也 i l、 。j 增益参数 ( g a i n p a r a m e t e r ，g p ) 均方根误差 ( r o o tm e a ns q u a r e e r r o r , r m s e ) 偏差( b i a s ) 则v a t ( r ) 石 爻。表示降噪时序；v a r ( ) 表示方差；s n r 反映了降噪能力的大小，值越大说明降噪效 果越好 表示原有噪声与剩余噪声的比值，值越大说 明降噪效果越好 反映了降噪值与原始值的平均偏离程度 专磐一此i 反映了降噪值与原始值的平均系绕陛偏离 信噪比增益 ( s i g n a l - n o i s er a t i o s n r g = s n r i s n r ， g a i n ，s n r g ) s n r ；和s n r ，分别表示降噪序列和加噪序 列的信噪比；s n r g 和s n r 的功能相同 罴了一黧馨篇篇纛羞 表示原始序列的均值；最和s ，分别表 ci决sio警n c o e f f i ce n t ，黜 黼一被 ( 2 ) 未知模型评价指标 未知模型混沌系统的精确动力学方程未知，因此不能用上述的指标对降噪效果进行评 价。根据混沌和噪声的特征可以从以下3 个方面进行分析： 自相关函数分析 由于高斯白噪声是一种均值为零的序列，各个分量之间的自相关函数值比较小，而混 沌时序的自相关函数值比较大，因此可以通过对比序列的自相关函数值，从侧面反映降噪 效果。时间序列的自相关函数如下式所示： 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 如_ ) 2 志善砌状斛f ) ( 2 1 1 ) 其中，r 表示延迟，a r 表示数据点数。 功率谱分析 功率谱是在频域内提取噪声淹没下有用信息的工具，时间序列的功率谱是其自相关函 数的f o u r i e r 变换。由于高斯白噪声具有高频特性，有用信息具有低频特性，因此可以通过 比较降噪前后时序的功率谱来评价降噪效果。功率谱的定义如下式所示： 只( 彩) = 屯 ( f ) p 咖 ( 2 1 2 ) 其中，国表示角频率。 递归图( r e c u r r e n c ep l o lr p ) 分析 递归图【5 4 5 5 】主要是基于对相空间吸引子结构的分析，研究吸引子轨道中相邻向量点间 的递归特性。递归现象是确定性动力系统的一个最基本的特征，也是非线性和混沌系统的 特点。 递归图的定义如式( 2 1 3 ) 所示： r ，- - o ( ，- l l x ，一x ， = 1 ，2 ，n ( 2 1 3 ) 其中，表示预先设定的临界距离，x ，和x ，表示相空间中的向量点，1 1 0 表示e u c l i d e a n 距 离范数；o f 1 是h e a x i s i d e 函数，其表达式如式( 2 1 4 ) 所示： o ( x ) ： 1 ，x o ( 2 1 4 ) 【0 ，x 0 混沌序列的递归图由一些和对角线平行的带构成，并且对角线两边对称相等，而噪声 序列的递归图几乎是杂乱无章的，因此可以通过对比序列的递归图来评价降噪效果。 另外，还可以对递归图进行定量分析( r e c u r r e n c eq u a n t i f i c a t i o na n a l y s i s ，r q a ) ，主要的 递归图量化参数如表2 2 所示。通过对比降噪前后时序的递归图及其定量分析指标，可以 多角度的反映出系统的动力学特性，评价降噪方法的优劣性能。 上述指标都可以对降噪方法的降噪效果进行评价，且每个指标之间存在一定的联系。 因此，在实际应用中，可以根据具体的情况选择其中的一种或者几种对降噪效果进行评价。 大连理工大学硕士学位论文 表2 2 递归图的定量分析指标 t a b 2 2r e c u r r e n c eq u a n t i f i c a t i o na n a l y s i sp a r a m e t e r so fr p 2 3 仿真实例及分析 为验证本研究提出的基于非线性约束的局部投影降噪方法的有效性，分别以加白噪 声的l o r e n z 混沌时间序列和实际观测的月太阳黑子混沌时间序列为研究对象，并对其 进行降噪，仿真结果及分析如下。 2 3 1l o r e n z 混沌时序降噪 l o r e n z 系统的动力学方程可以用一个三维常微分方程组描述，即： 含噪声混沌时序的非线性降噪方法研究 f i = - c r ( x - y ) j 【i = - x z + r x - y ( 2 1 5 ) 1 2 = x y - b z 当( r = 1 0 ，r = 2 8 ，b = 8 3 时，系统处于混沌状态。采用龙格库塔( r u n g e k u t t a ) 法计算 l o r e n z 模型，步长选为0 。0 1 。取x 轴上的2 0 0 个数据