（机械设计及理论专业论文）连续动力学系统参数模型辨识及工业试验.pdf

内容摘要 论文以大型冶金设备动力学模型辨识为工业应用背景，主要进行了如下几个 方面的研究： ( 1 ) 提出了构造商斯调制函数的尺度变换原理，研究了高斯小波调制滤波器 的结均和频谱特性，建立了基于调制函数法的连续系统辨识模型，设计了连续模 型参数估计的最小二乘法，研究了最小二乘估计的统计性质，证明了测量噪声为 白噪声干扰时最t j 、- - 乘估计的有偏性。 ( 2 ) 构造了能降低测量噪声干扰的辅助变量系统及递推算法，研究了输入输 出端测量噪声影响下最小二乘估计的偏差特性，提出了两种基于测量噪声方差估 计的自适应偏差补偿原理并设计相应算法，用仿真算例研究了调制滤波器参数对 辨识精度的影响。 ( 3 ) 研究了自噪声输入作用下系统频率特性的相关辨识原理，用谱估计技术 实现频率特性非参数模型的辨识，研究了伪随机序列和逆重复伪随机序列的自相 关函数和功率谱特性及在相关辨识技术实施中的参数选择。 ( 却建立了某平整机液压a g c 系统压力控制闭环的动态解析模型，以指导 辨识试验中模型结构参数的选择。 ( 5 ) 用相关辨识理论辨识了液压a g c 压力闭环系统的频率特性，分另1 j 用普 通最小二乘法、辅助变量法及偏差补偿算法辨识了该系统的动态参数模型，辨识 结果验证了论文理论研究成果的正确性和可行性。 基于调制函数法的连续系统模型辨识，国内外缺乏系统研究。本论文在充分 利用离散模型辨识研究成果的基础上，按作者自己的学术思想，系统地研究了连 续模型辨识调制函数法的系列算法。并应用于大型工业装备的状态辨识，丰富了 系统辨识领域的研究成果。 一y、 o 关键词：系统辨识；参数估计；连续系统；调制函数丢；小波；高斯函数 f a b s t r a c t w i t l lt h ei n d u s t r ya p p l i c a t i o nb a c k g r o u n di nt h el a r g e - s c a l em e t a l l u r g ye q u i p m e n td y n a m i c a l m o d e l d e n t i f i c a t i o n ，t h et h e s i sh a sc h i e f l yc a r d e do nr e s e a r c ho f t h ef o l l o w i n gs e v e r a l p e c t s ： ( 1 ) t h es c a l ed i l a t i o np r i n c i p l et h a tc o n s t r u c tg a u s sm o d u l a t i n gf u n c t i o ni sp u tf o r w a r d t h e s t r u c t u r ea n dt h ef r e q u e n c ys p e c t r u mp r o p e r t yo fg a u s sw a v e l e t m o d u l a t i n gf i l t e ri si n v e s t i g a t e d ， a n dt h ei d e n t i f i e dp a r a m e t r i cm o d e lo fc o n t i n u o u st i m es y s t e mb a s e do nm e d u l a t i n gf u n c t i o nh a s b e e ne s t a b l i s h e d1 1 1 el e a s ts q u a r e ( l s ) e s t i m a t i o na l g o r i t h mh a sb e e n d e v e l o p e d ，a n d t h es t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c so fl sa mi n v e s t i g a t e d i tw a sp r o v e dt h a tt h el sa l g o r i t h mi sb i a s e de v e nw i t h w h i t em e a s u r e m e n tn o i s e ( 2 ) t h ea u x i l i a r yv a r i a b l es y s t e mw a sc o n s t i t u t e d ，a n dt h er e c u r s i v ea l g o r i t h mt h a tc a l lr e d u c e t h em e a s u r e m e n tn o i s ei n t e r f e r e n c eh a sb e e n d e v e l o p e d t h eb i a sp r o p e r t yo f l s w i t hi n p u t o u t p u t m e a s u r e m e n tn o i s eh a sb e a nd e r i v e d a n dt h es e l 二e d a p t i v ed e v i a t i o nc o m p e n s a t i o np r i n c i p l eo f m e a s u r e m e n tn o i s ev a r i a n c eh a sb e e np r o p o s e d , a n dt h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h mi sd e s i g n e d t h e i n f l u e n c eo fp a r a m e t e r so fw a v e l e tm o d u l a t i n go ne s t i m a t i o n p r e c i s i o n i s i n v e s t i g a t e d w i t h s i m u l a t i o ne x a m p l e s ( 3 ) t h ec o r r e l a t i v ef i l t e r i n gp r i n c i p l eo ff ”q u e n c yr e s p o n s ee s t i m a t i o nu n d e rw h i t en o i s ei n p u t h a sb e e ns t u d i e d t h en o n - p a r a m e t e rf r e q u e n c yr e s p o n s em o d e li se s t i m a t e dw i t h s p e c t r u m e s t i m a t i o nt e c h n i q u e t h ea u t o - c o r r e l a t i v ef u n c t i o na n dp o w e r s p e c t r u mo f p s e u d o r a n d o mb i n a r y s i g n a l s ( p b r s ) a n di n v e r s er e p e a t i n gp b r s a r ei n v e s t i g a t e d a n ds o m et i p sa b o u tt h ep a r a m e t e r s c l e c t i o no f p b r sa r ed r a w no u t ( 4 ) t h ed y n a m i cm o d e lo fp r e s s u r e c o n 廿o l l o o p o fh y d r a d i ca g co ft a n d e mm i l li s a n a l y t i c a l l yd e r i v e d 1 1 1 em o d e lc a nb eu s e d t h eg u i d a n c eo fs c l e c t i o no fm e d e ls t r u c t u r ei n e x p e r i m e n t ( 5 ) t h ef r e q u e n c yr e s p o n s em o d e lo fh a g c i se s t i m a t e dw i t hc o r r e l a t i v ei d e n t i f i c a t i o nt h e o r y 1 1 1 e d y n a m i c a lp a r a m e t e rm o d e lh a g ci s e s t i m a t e dw i t h l s ，a u x i l i a r yv a r i a b l el s ，a n d b i a s - c o m p e n s a t i n gl sr e s p e c t i v e l y i ti sp r o v e dw i t he x p e r i m e n tt h a tt h em e t h o d sp r o p o s e di nt h e p a p e r a c u r a t ea n d p r a c t i c a l 。 1 1 m o d u l a t i n gf u n c t i o nm e t h o do fc o n t i n u o u st i m es y s t e mi d e n 6 f l c a t i u nh a sn o ta t t r a c t e d m u c ha t t e n t i o n t h ea u t h o rf u l l yi i s e st h er e s u i t so fd i s c r e t et i m em e d e li d e n t i f i c 鲥o n t a s t yo u t t h er e s e a r c ho fc o n t i n u o u st i m em o d e li d e n t i f i c a t i o n s y s t e m a t i c a l l za n dp r o p o s et h es c f i e s a l g o r i t h m si n d e p e n d e n t i y ，w h i c h & r ea p p l i e dt oal a r g e - s c a l ei n d u s t r ye q u i p m e n t t h er e s u l t so f t h e t h e s i se n r i c ht h e h i e v e m e n t so f s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n k e y w o r d s ：s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n ； c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m ； m o d u l a t i o nf u n c t i o n ；w a v e l e t ；g a u s s i a nf u n c t i o n 1 1 工程背景 第1 章绪论 平整是对经过再结晶退火后的带钢以较小的变形量( o 2 4 ) 进行轧制，以 消除屈服平台和轻微的波浪，并得到用户要求的表面结构的轧制过程。无论是传 统还是现代的冷轧工艺，平整是必不可少的主要工艺环节之一。 c m 0 4 单机架平整机组是宝钢集团9 0 年代从西德西马克公司引进的高速轧 机，用于对罩式炉退火后的冷轧带钢卷进行适量的平整，以改善带钢的平直度， 提高产品的机械性能，并获得所需的带钢表面。该机组在平整* l * t j 时，带材表面 经常出现明暗相间的横条纹。由于带材表面的这类质量缺陷，宝钢每年带钢封闭 量达2 万吨，尤其以汽车板的封闭量为最高。 影响平整产品质量及生产效能的因素很多，轧机辊系、液压a g c 系统、前 后张力控制系统及轧制带材形成一个极其复杂的机电耦合系统。在工艺参数强 化下、各物理参数之间的多重耦合关系使轧机动力学行为表现出多样性和不确定 性【l j 。基于各物理领域基本定律的理论分析难以建立反映系统实际运行状态的物 理模型，迫使研究工作者在深层次上融合多学科理论和应用现代试验辨识技术， 多方位探求轧机奇异行为产生的根源，以求得对轧机动力学特性在认识和技术上 的突破。 针对国际轧制界存在的上述技术难题，中南大学与宝钢设备所于1 9 9 8 年1 1 月对c m 0 4 平整机组进行了全方位的静动态测试，结合理论分析，辨识平整机各 相关子系统在不同轧制工艺状态下的动力学行为及交联耦合关系。在这一工程背 景下，中南大学开展了国家自然科学基金重点项目“复杂机电系统耦合与解耦理 论与方法”( 项目号“5 9 8 3 5 1 7 0 ”) 的研究，该项目于2 0 0 2 年5 月通过了国家基 金委的验收，本论文则为该研究项目的部分内容。 液压a g c 系统通过辊系直接作用于轧制带材，其固有的动力学特性直接对 产品质量产生影响。由于液压系统影响因素众多，许多参数的确定存在技术上的 困难，所建立的理论模型与实际情况相差甚远，试验辨识成为这类系统建模的唯 一手段。 此外，许多直接关系国民经济建设的大型复杂机械设备，如核电站、冷轧热 轧机组、大型燃气轮机及发电机组、大型化工设备等，生产过程中的设备故障或 停产将会产生巨大的经济损失，对这类设备运行状态的辨识与诊断只能在线进 行，因此工程上迫切需要对这类大型设备进行在线试验辨识的实用方法。 1 2 理论背景 目前，大多数系统辨识问题均是将对象作为离散系统进行参数估计，已发展 了较完整的理论体系和方法 2 , 3 1 。计算机与数字电子技术的廉价和功能的日益强 大，在系统和控制领域，“纯数字化”成为众多研究工作者或工程技术人员追求 的目标，使得离散模型的辨识研究得到空前的发展。与此相对比的是，连续系统 模型辨识的研究则远没有受到应有的重视，国内学者在该方面的研究很少。然而， 反映系统真实动力学特性，并提供人们对系统运行机理认识的模型只可能是时间 连续的物理模型。离散差分模型中的模型系数只具有数学上的含义，不能像连续 系统微分方程描述中的模型系数一样提供物理上的解释，因此，连续系统模型对 工程技术人员更具吸引力。连续系统建模的另一个动因是，计算机技术的廉价和 功能的日益强化，现代测试设备已为现代工业装备获取数据提供了诸多方法和技 术，连续模型的辨识问题越来越受到人们的重视1 4 , 5 】。 虽然连续系统模型可通过对离散模型的相关变换得到，但离散模型中的后移 算子在连续模型体系中没有相对应的算符，无论取多小的时间步长，也无法避免 离散模型中信息丢失产生的原理上的误差。这种与连续模型相对应的离散模型至 少存在如下几个方面的缺陷 4 , 6 1 ： ( 1 ) 将离散模型转换为连续模型需经复杂运算，存在技术上的困难； ( 2 ) 连续模型受离散采样频率影响大，甚至会改变系统的稳定性； ( 3 ) 对于线性系统，离散模型无法反映传递函数模型分子和分母的相对阶次 信息； ( 4 ) 当系统存在时间延迟环节，而延迟时间常数不是采样周期整数倍时，离 散模型可能会获得不良的非最小相位特性； ( 5 ) 在连续模型中不出现的数值敏感闯题，在离散模型中将有可能出现，基 于这种模型的控制器设计对模型系数的误差极为敏感，使得控制信号的数值计算 高度病态； ( 6 ) 体现在连续模型中的系统先验知识，在离散化后将完全消失。 基于以上原因，本论文选择对国民经济起重要作用的大型冶金机械高速 轧机为工程应用背景，研究连续动力学系统参数模型的试验辨识理论与方法，以 期为我国大型工业装备动态特性辨识提供实用手段。 1 3 研究现状 1 3 1 概述 在大多数工程实际中，由于系统内部结构的复杂及参数的难以确定，用单纯 的理论分析方法难以建立符合实际的数学模型，而系统辨识可通过输入系统特定 的动态激励信号，记录系统输出响应来获得系统内部的物理特征。 c a d e h ( 1 9 6 2 年) 曾给辨识下过这样的定义【7 1 ：辨识就是在输入和输出数据的基 础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。这个定义明确 了辨识的三大要素：输入输出数据；模型类；等价准则。其中，数据是辨 识的基础，准则是辨识的优化目标，模型类是寻找模型的范围。按照z a d e h 的定 义，寻找一个与实际过程完全等价的模型无疑是非常困难的。l j u n g ( 1 9 7 8 年) 给 辨识下了一个比较实用的定义隅l ：辨识就是按照一个准则在一组模型中选择一个 与数据拟合最好的模型。按照这个定义，系统辨识不应是本身意义上的数学演算， 而应服务于辨识结果的应用目标，因此，系统模型形式也应根据应用目的而确定。 辨识在工业上有着广泛的应用领域，主要体现在如下几个方面p 】：用于控 制系统的设计与分析。利用辨识方法获得被控过程的数学模型之后，以此模型为 基础可设计出比较合理的控制系统，或用于分析原有控制系统的性能，以便提出 改进；用于在线控制。在工程实际中，大量的系统为时变系统，通过系统辨识 在线建立控制对象的数学模型，不断调整控制器的参数，以对控制对象实施自适 应控制，可以获得较好的控制效果；用于预报预测。在模型结构确定的情况下， 建立时变模型，并预测时变模型的参数，然后在此基础上对过程进行预报；用 于监视过程参数并实现故障诊断。许多生产过程，如飞机、核反应堆、大型化工 和动力装置、冷轧热轧机组等大型冶金设备等，希望经常监视和检测可能出现的 故障，以便及时排除。这意味着需不断地从过程中收集信息推断过程动态特性的 变化情况，然后根据过程特征的变化判断故障已否发生、何时发生、故障大小、 故障的位置等。 动态系统模型有离散模型和连续模型两大类。对于大多数物理系统，其运行 过程是连续的动态变化过程，其连续动力学模型才是真实反应其本质特征的模 型。按照信号和模型形式及相应关系，可将连续系统模型辨识途径表示为图l - l 所示的形式【4 】。图中a ：用离散( d i s c r e t et i m e ，d 【) 信号辨识d t 模型，然后再转 换为连续( c o n t i n u o u st i m e ，c d 模型；b ：用c t 信号辨识c t 模型，其工具为信 号处理理论；c ：用d t 信号辨识一个与c t 模型等价的非常规离散( u n c o n v e n t i o n a l d i s c r e t et i m e ，u d t ) 模型，当采样时间趋于零时，该u d t 模型收敛于原c t 模型。 不论采用哪一类方法，其最终参数模型的获得有间接和直接两条途径，因此，其 辨识方法可分为间接法和直接法两大类。 图1 - 1 连续系统模型辨识方法 1 3 2 连续系统参数模型的间接辨识 1 , 3 2 1 基于非参数模型的连续系统模型辨识 图l - 2 是这类方法的基本框架1 6 1 。这种方法首先辨识系统的非参数模型，然 后通过一定的拟合方式得到系统的连续时间参数模型。非参数模型辨识可分为时 域的脉冲响应模型辨识和频率响应模型辨识两大类，两类模型互为补充，可通过 一定形式相互转换。输入信号x ( r ) 、输出信号_ y ( r ) 、脉冲响应坂r ) 及相应频 域函数坝仂、喇_ 7 ) 和h ( i ) 满足以下关系 灭, - ) f f i h ( r ) + r )( 1 1 a ) y 0 f 尸n ( i ) x ( i )( 1 - 1 b ) 式中，表示卷积运算。 对于施加阶跃、饱和斜波、块脉冲三种确定形式信号的系统，产生了一系列 估计阶跃响应、脉冲响应的以去卷运算为基础的时域方法【1 4 捌，通过付里叶变换 可求得频率响应函数。用一定频率范围的正弦信号激励系统，通过测试输入输出 稳态信号的幅值和相位关系，可直接求得频响函数。 在许多工程测试场合，阶跃、脉冲等确定性信号将导致生产过程的中断或系 统的破坏，相关辨识理论则满足在线测试的需要。此时，脉冲响应与频率响应有 如下变换关系【9 】 系统试验及输入输出数据采集 i 。1 确 性随 性 i 辨识：亨法 时扣s 频卜 t i 非参数模型 i 疗法 斗 频r 参拟台， 连续系统模型 图1 - 2 基于非参数模型的连续模型辩识 测量嗓声 靠 待辨识时间连续系统卜撕l 一 离散模型辨识 ii = l ， 7 离散一连续模型转换 上上 连续模型参数 图1 - 3 基于离散模型的连续模型辨识原理 t 以r ) = ( r ) + j k ( r ) ( 1 2 a ) 删s 删( 1 2 b ) 式中，j t r ) 、r 。( r ) 分别为 信号x ( o 的自相关函数和珂f ) 、 灭力的互相关函数，( i 力、岛 分别为信号x ( f ) 的自功率谱和 和0 、y ( 力的互功率谱，n ( i t ) 为系统频率特性，( i 力、s 妖j , 0 分别与蹦r ) 、蹦r ) 互为付 里叶变换对。 若估计出蹦r ) 和 凡“r ) ，可通过去卷运算求得 系统脉冲响应。若x ( 0 为理想 白噪声信号，则k 义r ) 本身是 脉冲响应的估计。若d 具有 周期性，但在该周期范围内自 相关函数近似为脉冲函数，则 输入输出互相关函数可近似 看作脉冲响应，这就是工程上 广泛采用的伪随机信号 出( p s e u d o r a n d o mb i n a r ys i g n a l s ， p r b s ) 的特征。 用相关辨识理论辨识系 统频率响应的关键是谱密度 函数的估计。谱估计理论为频 率响应辨识提供了方便的手 段【1 0 1 1 】，而f f t 算法及相关 软件包则使谱估计变得非常 的快捷和可靠 1 2 , t 3 j 。 由非参数模型可通过许 多方法得到系统的传递函数 模型。其中最简单的一类方法 是利用阶跃响应曲线中曲线 斜率、达到稳态值某百分比时的上升时间、超调量等通过一定标准形式直接与传 递函数参数关联，以求得到系统的连续时间模型【1 4 1 。 根据频率桶应数据霹瘸最，l 、二粱类方法求得逐续系统模藿参数，这释方法最 初由l e v y 提出，厝经s a n a t h a n a n 秒k o e m e r 、l a w r e n c e 和r o g e r s 、s t a h l 。 w h i t e f i e l d 、u n b e h a u e n 和r a o 等完普和改进，已脊许多成熟的算法 3 , 5 , 1 1 】。 1 3 2 。2 基予离散模燮静连续系统模逛辨识 熬于离散模型的连续系统模型辨识过程可用图1 3 所示【6 】o 程这种间接方法 中，酋先麓离散模黧的参数辨识，在这方面融有大量戚熟的研究成果f 2 ，1 ”】。在 褥到离教模型囊，选耀遥瀵豹s 域秘z 域阕静变换方式褥离教模鍪交换失连续模 型。最常用的s 域和2 域的变换关系有双线性变换： 型型羔(1-3)8- 。- ：。- - r ( z + 1 ) 蠲：中：丁为采样时间。丁的选撵必须满足沙农( s h a n n o n ) 采样定律，一般可按以下 漾剡选择1 6 】； ( 1 ) 。t 0 。5 ， 。为系统最大特征篷。 ( 2 ) 彬1 0 t f , j ( q 矗掀+ ) f o 。( 譬i ) y ( ( 6 - o n 即+ ) 】7 纷2 【吒蛙】t 妒y 。= - f , ，( g _ 1 ) y ( ” ) 一互 g “) y ( # + ) 一( 矿) j ，( ) 一疋。 g “) “n + 溉) _ r ( ) y ( h ) 一疋。( g “) “+ 飞) 一e ，( g i ) y ( q 一1 ) n n + ) 一e ，( 一) “( 一1 ) n + ) 一只一( 矿) y ( ( f 一1 ) + 2 羁j ( 窖- 1 ) y ( ) ( 矿) y 魄+ ) 凡( 一) y ( ) 曩) y ( + ) 赡。( 口。1 ) y ( ) 最。( ) y ( + ) 嚣。( 譬。涉i 1 ) n y j + 飞) 互j ( g 。t 1 ) n y j + 耘) 毛，l ( 譬_ ) y t 一1 ) n y , 耘 e j = f o x q 。1 ) ( 飞p 窆或巳( 晕- l ( ) 咫翩。1 ) 坳 十飞) + 竞碡瓦( g + 1 m + ) f o x q 1 ) v ( ( o 1 ) + h ) + 竞q 巳( q 。m ( 一1 ) + ) 】7 下，；|iu 下ili 2 5 2 最d , - - 乘估计及统计特性 由( 2 31 ) 式可得目的最小= 乘估计气 州q 。q y - b y 汀1 陟卅 ( 2 - 3 2 ) l 户ljl ，= lj 为了研究最小二乘估计统计特性，不失一般性，本文只考虑单一尺度调制函 数下辨识问题，且令n y = 1 。则由( 2 2 6 ) 、( 2 - 1 5 ) 得辨识模型 f o ( q 。1 弦( 向+ q 只( g 。) x ( 】 ) = q ( g 一1 ) r ( 女) ( 2 3 3 ) ，i lj o ( 2 - 3 4 ) 式代入( 2 - 3 3 ) 式得 式中 式中 眦。1 从的= 酊0 + p ( n = 【y ：y 互】7 忙1 ，2 ，f ) = 一f f f q 1 从的- 联g 。1 从国】7 忙1 ，2 ，f ) 缈，= 【凡( g 1 ) r ( 的f l ( q 1 ) r ( 七) f m ( q 1 】t ( 肛1 ，2 ，d p ( 炉f o ( q 。1 ) 呐+ 口f 只( g - l 弘( 七) = 1 ：壹。) g ( 七) + 窆口l 艺- k 山( 七) j - o i - i - o = 艺【( 刀+ 口f 乃”】v ( 七 j = o i = i = c ( g 。1 ) “的( 婷l ，2 ，? ) c ( q d ) = 艺c q 叫 j - o r 2 - 3 4 ) f 2 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) c j = + 口乃“”俨o “1 “，) ( 2 3 8 ) t 式中 由( 2 3 5 ) 式得口的最小二乘估计 铅c 。= 骞帆以 - 1 骞虮rc 。，y c t ) c 2 - s ， 将( 2 3 5 ) 式代入( 2 - 3 9 ) 式得： 钆( d = 口+ 尽品( f ) ( d ( 2 - 4 0 ) 胄。c 垆喜妒； ( j ) 2 圭k - i e ( 七) 由信号的平稳各态历经特性有： _ e “】- 憋r 。( d r , , = e y k e k 】5 脚( d ! i m o , a 0 = o + a 0 2 0 + 磷 w p 1 ( 2 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) 式中：a o = r 品r ，为估计偏差。、r ，分别为f 自相关矩阵和矽、w 互相 关向量。因系统满足充分激励条件，r 。可逆a r 。- e ( 矿( 七) p ( 七) ) - e f o 国。1 ) “七) f l ( g 1 ) r ( 七) f m ( q 1 m 七) 1 f l ( 一m 妁- b ( g 1 m 七) 1 f o ( q 1 ) v ( 功+ q e ( q 。弘( 七) 】) ，- 1 = e f o ( q 。1 ) ，( 助局( g 。1 ) r ( 七) f k 国1 ) r ( 七) - f l ( q 。1 ) 硝七) - f ( q 1 ) 硝句】1 f o ( q d ) 娴+ q e ( 一) ，( 七) 】) + e 0 0 0 = e 【0 0 0 - f l ( q 1 ) v ( 七) r ( g ) v ( 七) 】7 【f 0 ( g 1 ) v ( 七) + 口。e ( g “) l ，( | | ) 】 f i ( g 。1 ) v q o - f ( q 1 ) ，( 的 r f o ( q 1 ) v ( 向+ 口j e ( g 。弦( 七) 】) ( 2 - 4 6 ) 2 6 由( 2 4 6 ) 式可知，无论v ( 的为白噪声或是有色噪声，都有：r 。0 ，因此有 ( 2 - 3 9 ) 式的估计是有偏估计。 2 6 递推最b - - 乘估计 上述最：b - - 乘算法涉及矩阵求逆运算，当调制函数数量大时，矩阵规模增加， 计算量加大，为此，可采用类似离散系统辨识的递推算法以避免矩阵求逆运算。 曰l s 20 l s ( k - 1 ) + l ( k ) 8 l s ( k )( 2 - 4 7 ) 2 高撬筹品 c z 删 凡( 铲【i 也l s y ( | ) 7 】气( 七一1 ) ( 2 - 4 9 ) s l s ( 七) = r ( 9 4 ) “动- y ( 七) 7 0 l s ( k 1 )( 2 5 0 ) 口l s ( 0 ) 、n s ( o ) 可按如下方式选择： ( 1 ) 前m 组调制数据最 b - - 乘结果： 厂_ 一1 一 厂m 1 厂_ 凡( o ) = f 虮叫一l s ( o ) 2l 虮叫【e ( g 。1 m k l k = l k - ik = lj ，从时1 组开始 jljlj 递推。 ( 2 ) 任意假设口l s ( 0 ) ，取：p l s ( o ) = y i 。，其中r 为很大的实数，k 。为相应单 位矩阵。可以导出，经k 次递推后，有： p l s ( k ) = p l s ( o ) 1 + 虬】_ l( 2 5 1 ) o r s ( k ) 2p l s ( k ) 矿k 计p l s ( o ) “】e l s ( o ) 】( 2 5 2 ) 当，一一时，取很大的实数时，在递推过程中，初始条件口l s ( o ) 和p l s ( o ) 的影响 将越来越小。 2 7 辅助变量递推最：b - - 乘估计 前面已证明，尽管输出端噪声为白噪声，上述算法只能得到模型参数的有偏 估计。在离散系统模型辨识中，常采用辅助变量法减轻输出端测量噪声对辨识精 度的影响，由于辅助变量法无需了解输出端噪声模型，因此该方法得到广泛应用， 有关该方法的理论分析在离散系统模型辨识理论中有详细论述a 本节仅介绍该算 法在上述辨识问题中的应用。 选择辅助变量向量： 虬= 厢f i r ( k ) 靠， f i x ( k ) 一，o ( 纠1( 2 - 5 3 ) 式中：x ( 助理想模型( 排除噪声干扰) 的系统输出。 由连续模型( 2 - 1 2 ) ，采用双线性变换：严三t 务后得离散模型 x c 助2j 由于辅助模型( 2 5 4 ) 中需要模型真值，只能通过迭代或递推过程的辨识结 果代替，因此可得下述辅助变量算法的递推过程。 否( ) = 西( 七- 1 ) _ 忆( 翰占( 七) ( 2 - 5 5 ) 工舻毒斋糌 p s 6 ， p ( 炉【i _ 上( py ( 七) 7 】p ( 七一1 ) ( 2 - 5 7 ) 占( t ) = f o ( q 。1 ) ) ，- ( 七) y ( 七) 7 西( 一1 ) ( 2 - 5 8 ) 式中孝为辅助变量序列的调制滤波输出。 孝国= f o ( q q ) r ( k )f t ( q 1 ) 呐凡( g _ 1 ) ，伪 国。1 ) 舅国- f n ( q 1 ) 譬国】7 ( 2 5 9 ) f 譬( 炉 【 ：手导卜 ( 2 - 6 。) 毋( o ) 、以0 ) 可按如下方式选择： ( 1 ) 取普通最小估计结果为初值 广i1 - 1 厂i1 谷( o ) = l 帆一ll 吼r ( g 。1 ) y ( 七) i l k l ljl k - i j ( 2 - 6 1 ) 2 8 “ 正一 生 2 一r l ，r - 1 p ( o ) = l 炸西i ( 2 - 6 2 ) l k - 1j ( 2 ) 用( 2 3 9 卜( 2 4 2 ) 的普通递推算法递推h 步后的结果作为辅助变量递推算法的 初始值：占( o ) = 毋l s ( h ) ，p ( o ) = e l s ( h ) ，其中毋l s ( o ) 、p ( o ) 的取值可按上节的取法。 2 8 算例 2 8 1 调制窗口参数对最d x - - 乘估计精度的影响 待辨识系统取自文献 9 】，传递函数为：g ( s ) 2 瓦b i 干s + i b 鬲o b o = 1 2 5 ，b l - - o ，a o = o 7 ，a i = 0 2 5 。输入为逆重复伪随机序列及叠加的零均值高斯白噪 t ( 秒) ( a ) 输入序列 图2 - 4 输入输出序列 ( ht = i s ；2 ：t = 2 s ；3 ：t = 6 s ；o ：混合窗口) 图2 - 5 不同调制窗口参数辨识精度 ( b ) 输出序列 声，逆m 序列幅值为a = l ，信号长度 每3 1 ，脉冲周期为a t = 2 0 m s 。叠加的输 入端噪声参数弘= o ，盯，= o 1 。采样序列 时间区间为2 0 4 8 s ( n s = 1 0 2 4 ) 。输出端 噪声“助为t = o ，盯= 吼的正态分布白噪 声序列。图2 4 为前4 秒钟的输入输出 序列。 定义噪信比：n s = 以i ，其中： t 7 。、o x 分别为输出端白噪声和系统输出的均方差。为了排除计算中随机因素的 干扰以验证本文方法的有效性，定义误差值：s = 专善鼎- 。，其中： 为独立的实验次数，本文取：= l o o ，吼为模型真值，刍为估计值。 ”打a a s ) 调制滤波器( t - 1s ) ：2 ：调制滤波嚣( t - 2 s ) 3 ：调制滤波器( t - 6 s ) ；s ：被辨识系兢圈 2 - 6 调制滤波嚣与系统频谱对比 为了研究不同窗口参数下调制滤 波器对噪声的滤除效果，本文分别对 高斯调制函数设计了单尺度和混合 尺度共4 组参数，为了对比研究，各 组参数设计依据以下原则：( 1 ) 混合 尺度参数下各尺度调制窗口平移次 数相同；( 2 ) 各组参数下调制窗口总 数相同，均为1 8 0 。4 组调制函数参 数分别为：a - - o 1 2 5 ，t = i ( = 5 0 ) ； 口= o 2 5 ，t = 2 ( = 1 0 0 ) ；萨o 7 5 ， t - - 6 ( n ，= 3 0 0 ) 上述尺度组合( 各尺度调制函数数量均为6 0 ) 袁2 - 1 两种模型辨识蛄果比较 调调 制 棚 n i s 窗 6 0b la oa l j “) 窗 6 0b la oa l d ( 1 ) 口 ( i 2 s o o ) i 仉) ( o 7 0 0 0 ) n 船呻) 0 0 口 l 堋( o e o o o ) 仉7 0 0 0 ) ( 0 2 s 0 0 ) 长长 度度 o l1 1 9 8- 00 1 0 906 2 2 20 2 2 5 01 06 2 9 1 0 8 9 3 4- o0 0 8 104 7 7 30 1 7 9 12 9 3 4 8 8 0 0 1 4 6 00 0 1 3 0 0 1 4 5 士0 0 0 3 6士0 0 4 5 84 0 ( 3 0 1 74 00 3 2 2 士0 ( 3 0 9 2 i2 4 1 3- 0 0 1 2 406 9 3 10 2 4 7 6l4 0 0 6 l2 3 0 6- 0 0 1 2 80 6 7 5 l0 2 4 0 627 3 0 5 2 0 4 00 0 5 0 士0 0 0 1 6 00 1 1 3 士0 0 0 3 2士0 0 1 0 14 0 0 0 3 5 士0 0 1 8 8 士00 0 6 1 4 0 l2 4 9 2 00 1 5 407 0 0 10 2 4 9 02 4 4 5 5 l _ 2 , 5 1 6- 0 0 2 0 20 6 9 6 102 4 7 237 2 2 7 士00 0 5 54 0 0 3 1 3 0o l l 04 - 0 0 1 8 2士0 0 1 0 24 0 0 4 7 84 - 0 0 2 1 7 士00 2 6 l ol2 2 9 l- 00 1 1 906 8 3 00 2 4 6 322 9 2 1o 11 8 8 10 0 1 1 50 6 5 0 602 3 4 761 2 4 6 00 0 7 5 0 0 0 1 9 士00 1 6 6 00 0 3 84 - 0 0 1 7 9 士00 0 3 2 士00 4 2 5 士00 0 6 7 ：z 。l s ：o ：t = - 2 s ；o ：7 - - 6 s ；0 ： = - i s 、| - 2 s 、7 k ：6 s 组合 图2 5 为不同调制窗口参数( 对应不同伸缩比) l s 估计误差与n s 的关系曲线。 表2 1 为分别为n s = 2 0 和n s = 4 0 时辨识结果的均值和均方差。从图可看出： 在单参数窗口下，调制窗口参数的选择对辨识结果影响很大，t = 2 s 时误差最低 ( 曲线2 ) ，第l 、3 组参数辨识误差均大于第2 组，其中曲线3 优于曲线l 。 图2 - 6 为单窗口调制函数情况下不同窗口长度对应滤波器的频谱及被辨识系 统频谱对比图。其中曲线2 频带与系统频带最为接近，系统频带内的有效信号得 到充分利用，而频带外的噪声成分得以滤除，因此在该窗口参数下辨识精度最高。 越线l ( t = 1 s ) 频带大大超过系统频带，系统频带内的噪声对辨识结果影响很大， 因此辨识精度很低，尤其是在高噪信比下，最小二乘结果基本失真。曲线3 ( t = 6 s ) 频带小于系统频带，但差距不太显著，在系统频带内噪声得以滤除的同时，系统 频带内超过滤波器频带的有效成份也被滤掉，因此影响l s 辨识精度。 图2 5 中曲线0 是前3 种窗口参数的混合窗口下辨识结果，精度与第2 条甚 为接近。在该组参数下，不同频带滤波效应有机组合，使其具有优良的噪声鲁棒 性，其精度明显比第1 、3 组参数强。 在实际系统辨识中，当难以得到估计系统频带时，可在较大范围内设计混合 窗口调制函数，得到一组辨识结果，以此为依据确定系统频谱特征，再设计单参 数调制函数进行辨识，以期得到系统最佳辨识效果。 表2 - 2n s = 4 0 时两种递推估计算法辩识结果比较 谓调 制 普通递推算法 制 辅助遵推算法 窗 磊矗岛a 2 硼， 窗 磊茜磊a 2 础， 口口 长( 1 2 s e e ) ( o o e o e ) ( o 7 0 0 0 ) ( 0 2 s o o )长( 1 删帆o e e o ) ( 0 7 0 0 0 ) 0 2 s o o ) 度度 t = l s09 5 9 5 - 00 0 8 705 1 1 10 1 9 1 62 4 1 7 8 4 t - 1 s l1 2 0 9- 0 0 1 2 606 5 3 702 2 4 699 1 1 1 士00 1 7 4 土00 0 1 1 - t - o0 1 4 6 士o0 0 3 90 0 2 7 0 士0 0 0 2 0 士00 3 7 9 士00 0 6 0 t = 2 s 12 3 4 4 00 1 3 6 06 7 9 302 3 9 222 3 1 5t = 2 s12 4 0 7- 0 0 1 3 006 9 3 l0 2 4 6 1l5 2 1 4 00 0 4 1 00 0 1 6 00 0 9 7 士0 0 0 3 60 0 0 4 7 0 0 0 1 8 士0 0 1 3 1 士0 0 0 4 i t = 6 s i2 4 9 3 - 00 1 8 906 9 4 702 4 7 522 0 5 8 t = 6 s1 2 4 9 4o 0 1 7 106 9 7 7 0 2 4 8 122 2 2 9 00 0 4 9 士0 0 2 4 3 0 0 0 9 2 0 0 1 4 90 0 0 4 9 0 0 2 6 5 士0 0 0 9 8 土0 0 1 6 4 2 8 2 递推估计算法 系统模型，输入信号及输出端噪声与上例相同，噪信比n s = 4 0 ，采样序 列时间区间为6 1 4 4 s ( n s = 3 0 7 2 ) 。调制滤波器参数分别取t _ 1 s ( = 5 0 ) 、 t = 2 s ( n = 1 0 0 ) 、t = 6 s ( n = 3 0 0 ) 。用普通递推估计算法递推1 0 0 0 次后转入辅助变 量递推估计算法。普通递推估计算法递推初值0 l s ( 0 ) = 0 ，p l s ( o ) = r 1 4 x 4 ，r =