（应用数学专业论文）一类奇异型随机控制模型的推广.pdf

y 5 8 6 1 2 6 声明 本人郑重声明，本论文的所有研究工作都是在导师 的指导下，由 本人独立完成的，文中所有的引用均已列 在参考文献中。 未经作者 s 导聆 i ; l 勿全文公布 一类奇异型随机控制模型的推广 摘要 随机最优控制是现代控制理论的一个重要分支 近几十年来， 随机 最优控制在很多领域已有广泛而成功的应用， 如飞船导航、 卫星天线定 位、 跟踪间题、存储问题、风险控制及经济学中的投入产出分析等. 随机最优控制模型的研究始于二十世纪五、 六十年代， 在七、 八十 年代得到了很大的发展， 各种模型被相继提出并进行了研究. 其研究主 要分为两个方面:对随机微分 ( 积分) 方程的研究和最优化问题 ( 基于 费用函数的变分方程) 的研究. 本文研究的一类奇异性随机最优控制模型最初由s .e .s h r e v e 和j .p l e h o c a k v ll s 于1 9 8 4 年 提出 该 模型 相应的 控制费 用函 数比 较简 单， 使 其应用受到了限制， 本论文的主要工作时对原间题的费用函数进行了扩 展， 使其归结到一类更广泛的函数上去， 从而拓宽了其应用;并且将得 出的结论引入存储问题， 得到储量与需求间平衡的最佳效益模型的最优 控制策略，并给出相应的数值结果.此外， 本文基于动态规划方法讨论 了解决此类问题的关键所在: 对费用函数所对应满足的变分方程的构造 和分析. 论文分为四章: 第一章绪论， 主要介绍了随机最优控制的一些发展情况及一些常见_ 的随机最优控制模型 一类奇异型随机控制模型的推广 第二章扩展了原模型的费用函数， 给出了最优控制策略和最优费用 函数的具体形式. 第三章将第二章得到的结论给出应用，引入存储间题， 得到最优控 制策略， 并给出相应的数值结果. 第四章结束语， 给出了本文的主要结论以及有待于进一步解决的问 一类奇异型随机控制模型的推广 ab s t r a c t s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l i s a n i m p o r t a n t b r a n c h o f c o n t r o l t h e - o r y . i n r e c e n t y e a r s , s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l i s w i d e l y a n d s u c c e s s f u l l y a p p l i e d i n m a n y fi e l d s . f o r e x a m p l e , s p a c e s h i p n a v i g a t io n , a n t e n n a o r i - e n t a t i o n , t r a c e p r o b l e m , s t o r a g e p r o b l e m , r i s k c o n t r o l a n d p r o d u c t i o n - c o n s u m p t i o n r e s e a r c h i n e c o n o m y . t h e r e s e a r c h o f s t o c h a s t i c o p t i ma l c o n t r o l w a s c o m me n c e d i n 1 9 5 0 s a n d 1 9 6 0 s , a n d d e v e l o p e d i n 1 9 7 0 s a n d 1 9 8 0 s . ma n y m o d e l s w e r e p u t f o r w a r d a n d r e s e a r c h e d . t h e r e s e a r c h o f t h o s e mo d e l s ma i n l y d i v i d e d i n t o t w o a s p e c t : t h e r e s e a r c h o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( o r i n t e g r a l e q u a t i o n ) a n d t h e r e s e a r c h o f v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . t h i s p a p e r s t u d i e s a c l a s s o f s i n g u l a r s t o c h a s t i c c o n t r o l p r o b l e m, w h i c h w a s p r o p o s e d i n i t i a l ly b y s . e .s h r e v e a n d j .p . l e h o c z k y i1 s i i n 1 9 8 4 . b u t i t s c o s t f u n c t i o n i s t o o s i m p l e t o b e u s e d . f o r t h e s a k e o f e x t e n d i n g i t s a p p l i c a t i o n , i n t h i s p a p e r t h e c o s t f u n t i o n i s m o d ifi e d . f u r t h e r 1 m a k e u s e o f t h e c o n c l u s i o n t o s o l v e a s t o r a g e p r o b l e m , g e t a n o p t i m a l c o n t r o l p o l i c y b e t w e e n s t o r a g e a n d n e e d , a n d g i v e t h e c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l r e s u l ts . . e n d w e a l s o d i s c u s s t h e k e y w o r d t h a t d i s s o l v e t h i s k i n d o f p r o b l e m: t h e c o n s t r u c t a n d a n a l y s i s o f v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . 一类奇异型随机控制模型的推广 t h i s p a p e r i n c l u d e s f o u r c h a p t e r s . t h e fi r s t c h a p t e r m a i n l y i n v o l v e s t h e r e c e n t w o r k s a n d s o me n o r ma l o p t i m a l s t o c h a s t i c m o d e l s . t h e s e c o n d c h a p t e r e x t e n d s i t s c o s t f u n c t i o n o f o r i g in a l m o d e l , a c e d g i v e i t s o p t i m a l p o l i c y a n d e x p l i c i t v a l u e f u n c t i o n . t h e t h i r d c h a p t e r i s a n e x a m p l e o f i t s a p p l i c a t i o n , a n d g e t s t h e c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l r e s u l t s . t h e l a s t c h a p t e r g i v e s t h e m a i n c o n c l u s i o n s o f t h i s p a p e r a n d t h e p r o b l e m s w h i c h c a n b e r e s e a r c h e d f u r t h e r . 一类奇异型随机控制模型的推广 关键 词 随机控制，随机最优控制，变分方程，模型，奇异型，最优控制策 略，存储问题 ke y w o r d s s t o c h a s t i c c o n t r o l s t o c h a s t i c o p t i ma l c o n t r o l vari - a t i o n a l e q u a t i o n mo d e l s i n g u l a r s t o c h a s t i c c o n t r o l o p t i ma l c o n t r o l p o l i c y， s t o r a g e p r o b l e m。 一类奇异型随机控制模型的推广 第 一 章绪 论 1 1随机控制及随机最优控制简介 现代控制理论的奠基人属于美国科学家维纳( n . u t i 。二 ， 1 8 9 4 - 1 9 6 4 ) 、 自从上个世纪五十年代以来，由于计算机技术、 航空航天技术的飞速发 展， 控制论技术得到了很好的发展和应用 其主要包括如下五个分支: 线性系统理论，建模和系统理论，最优控制以及自适应控制 在对实际控制问题的研究中， 人们认识到，由于某些外部及内部因 素的干扰， 影响控制系统的不确定因素是时有发生的 因此， 随机控制 理论得到了应用和发展 随机控制理论是研究具有随机信号， 随机噪声 和随机特性的系统控制理论、这方面的工作可分为两个方面来看: 1对随机过程的研究 由于随机控制研究的是非确定性系统， 传统 的微分方程理论在描述它时 产生了 很大的困 难。1 9 5 1 年， 伊藤( k ,i t 句 发表了 论随机微分方程一文， 使得对具有良 好统计规律的非确定性 系统的描述有了相应的理论基础。 z对控制本身的研究 这方面的主要理论有: 庞特里亚金的极大值 原理 (1 9 5 1 年) ，贝尔曼的动态规划法 1 9 5 7 年) ， 卡尔曼的滤波和预 测理论 (1 9 6 0 年) 。这些工作产生了随机最优控制理论和滤波理论 随机最优控制是随机控制理论的一个重要分支， 其主要利用最优状 一类奇界型随机控制模型的推广 态估计系统的运行状态， 求出一个状态反馈， 实现使给定性能指标( 一 般称为费用函数) 为最小的指标 相应的状态反馈称为最优控制策略 随机最优控制的突破发展主要是由于贝尔曼的动态规划原理的提出， 并 且人们已 经证明， 随机最优控制策略与确定性最优控制策略是相同的， 这就是确定性等价原理. 本文下面的主要工作就是找出费用函数所应满 足的变分方程，并给出最优控制策略。 这里需要指出的是。目 前主要研究的随机最优控制问题都是状态完 全能观测的系统，本论文研究的也是这样的一类间题 1 . 2几类常见的随机最优控制问题 本节介绍目前常见的几类随机最优控制模型， 需要指出的是， 这几 类模型的提出都是在对实际问题的分析中产生的， 具有很强的应用背 景. 对于随机控制间题， 就其受控状态过程而言， 可分为奇异型随机控 制和脉冲型随机控制。 1 . 奇异型随机最优控制模型 设价， .f , v ) 为一概率空间，u 几 , t 0 为其上wi e n e r 过程，只二 可t d g , 0 。 及x e r，d e13 ， 费用函数为: 、 (; ) 一 e j + e- 0 th (x t)d t0+ d s 上式中x t =x +哄 +氛，函数 h一般为一非负偶函数 ( 下同) .第一 个积分为黎曼积分，第二个积分为关于单调函数的斯蒂阶积分，在不 弓 !起 混 淆 的 情 况 下 ， 将 其 统 一 记 为了。 最 优 控 制 是 寻 找c 。 。 ， 使 得 0 j w ) 一 黔i x w 带有折扣费用的奇异型随机最优控制模型的推广， 可以从费用函数 和状态过程两方面入手， 在一维情形下已经研究扩展的比较完善 这方 面的文献可参看【 1 1 、 2 1 、3 1 . ( 2 )平均期望费用模型 在这种情形下， 对初值x c r，叮e 5， 费用函数为 1 f j ( ， 一 t in f t e f h (x t ) d t + d e j 上式中x * 二x +哄 +石 * ，最优控制即是寻找犷 e 1 3 ， 臀 j s (s ) 平均期望费用模型目 前也有一些研究 文献， 可参看 3 ( 3 )有限时间费用模型 使得 j w) = 口 一类奇异型随机控制模型的推广 对初值二 e r，成c - 8,费用函数为 、 (; ) 一 e f h (x t)d t + d o t 有限时间费用问题目 前研究文献较少， 详细介绍参看文献3 . 这里需要指出的是， 除了对费用函数的研究扩展之外， 对状态空间 的研究与扩展也是一个重要的方面。 最完善的推广是将状态空间x t = x + 城+ t 扩 展为x t =二 + f o / t ( x g ) d s + f o o ( x , ) d w + t ， 其中 函 数 赵 ( ) ，二 ( ) 为满足某些性质的实函数， 分别称为扩散系数和漂移系数. 这方面的文献可参看闭、$ 2 . 脉冲型随机最优控制模型 脉冲 控制的 原始模 型最初由b e n s o u s s a n 和l i o n s 提出 ， 后来r i c h a r d 将该模型推广到为无限直线上的问题，r i c h a r d 模型简述如下: 设( q , .p , p ) 为一概率空间，w t , t 。 为其上的wi e n e r 过程， .p t 二 a ( w s , 0 8 t ) 。 每一个控制: 即指一列上升的t t 停时。 t i 。 为其上的一维标准 wi e n e r 过程。令t t =v ( w 5 , 0 0 , x 。 为状态过程， 其中x 。 为状态初 值，f t ，。 为任 意常 数，月 。 . 则d ( f , 动e ii ， 使用积 分.fo代替 0，c o ) ( 下同 ) ， 定 义控 制费用 函 数 为: j . ( ,: ) 一 “ 关 e a tr df 0。 - cd ?7t 上式中。0 为折扣因子，r ,。 为正常数 目 的 是寻找( 犷， 护 ) e c 3 , 使得 人佰 * , r 1 ) = s u p几佰7 l ) 。 ( c v ) e b 文献 1 5 的作者从理论上证明了 该模型存在最优控制策略， 但并未 给出具体形式. 此后又有许多人对该模型进行了研究， 并结合实际问题 做出了一定的推广， 这方面的文献可参看 1 6 1 , 1 7 , 1 8 1 。 但是这 些推广主要集中在对状态过程的推广上， 并没有将费用函数做进一步推 广.本论文首先将原模型的费用函数推广到如下的一般函数: 、 (; : ) 一 e f -0 一f (x t)d ! 一 : (x t)d n t, 上式中f ( x ) 为!0 , o c ) 上连续函数， 且f ( x ) 0 ，g ( x ) 为0 , o c ) 上非降 连续函数，f ( 0 ) g ( 0 ) 。 证明了此模型存在最优控制策略， 并给出了 最优控制策略和最佳费用的具体形式。 在论文的第三章， 将已 得出的结 一类奇异型随机控制模型的推广 果引人存储间题， 得到储量与需求间平衡的最佳效益模型的最优控制策 略和最佳费用函数， 并给出相应的数值结果. 本论文中所涉及的模型，由于有很强的应用背景， 是近年来被广泛 涉足的一个课题， 特别在经济领域中投资分红、 保险回报等问题的研究 上， 有着重要的意义。 本论文将【 1 5 中的模型进行了一般化， 扩展了 其 应用范围. 一类奇异型随机控制模型的推广 第 二 章模型的推广 2 . 1主要定理及证明 首先给出模型， 设 牌， -7 , 叫 为一概率空间，呱, t 全0 为其上的 一维标准 wi e n e r 过程 令 -f t =a ( y 6 3 , 00 为状态初值，0，。 为任意常数，a 。 . 对袱c , 动eb， 定 义费用函数 二 (; ，。 ) 一 e l0 e - tf (x t)d 。 一 、 (x t)d ?t, ( 2 . 1 ) 上式中。0 为折扣因子，f ( x ) 为0 , 0 0 ) 上的连续函数且 f ( x ) 0 g ( x ) 为0 , 0 0 ) 上连续非降函数， f ( 0 ) 0 r 2 ， 考虑函数u ( 劝二 则存在b * 0 满足 =f ( b ) 。 证明 f ( - ) h 卜x ) 一 h ( o ) 9 ( o ) ， 显然、 ( 二 ) 为 0 , 0 0 ) 上 的连续函数. 一类奇异型随机控制模型的推广 因为h ( 0 ) = r , 一: 2 ，则 v ,( 0 ) =f ( 0 ) h ( 0 ) 一 h ( 0 ) g ( 0 ) =h ( 0 ) f ( 0 ) 一 g ( 0 ) =( r , 一r 2 ) f ( 0 ) 一 g ( 0 ) 1 ， 由 条 件f ( 0 ) 二， 可 知u (0 ) 。 ， 的连续性可知至少存在一点b ( 0 . o c ) ， 理为封匀句 引诊降担俘 得。 ( b * ) =0 ， 即f 必 * ) h 卜b ) 一h ( 0 为 ( 0 ) 二0 ， 1 证毕。 =f ( b ) . 引理2 : 存在二阶连续可导函数。 ( x ) 满足 v ( 0 ) =g ( 0 ) ; v ( b ) =f ( b ) ; a v (x ) 一 告 o 2v (x ) 一 。 一 (x ) 一 。 ， x 。 。 ，。; a v (x ) 一 叠 a 2v (x ) 一 。 一 (x ) : 。 ， x : !。 ，0 0 ); v ii ( x ) b * , + h ( - b ) x b , 夕-h 月j-门口 一类奇异型随机控制模型的推广 由上式得 u ( 0 ) =f ( b * ) h ( 0 ) g ( 0 ) h ( - b * ) h ( b * ) =g ( 0 ) , d ( b 0 ) 二f ( b * ) h ( b * ) i i ( b * ) h ( 一 b - ) . g ( 0 ) h ( 0 ) 十一了 了 丁 一 一 于丁 丁 一 厅( 一 b ) 二f ( b * ) . ( 2 .3 ) 式得证. 下面证 ( 2 . 4 ) 及( 2 5 ) 式。由于 故当x0 , b * 时， cev (x ) 一 合 v 2v (x ) 一 。 一 (x ) _ o f ff ( b *2 h (x ) h ( b ; ) g ( 0 ) h ( x 一 b * ) , 1 2 , f ( b * ) h ( x ) - - - 下下勺一一二弋 - - - - 1一- o 1 h t - b t ) 2 h ( b - ) . 9 ( 0 ) h ( x 一 b - ) 十1 h ( - b ) - w f ( b * ) h ( x ) h ( b * ) . g ( 0 ) h ( x 一b * ) , 十i h ( - b少 一 a h (x ) 一 i l7 2h (x ) 一 p h(- )拐 十 cth (二 一 。 ) 一 要 a 2 h (二 一 。 ) 一 。 h (二 一 。 * ) l g ( 0 ) h ( - b * ) 故( 2 .4 ) 式成立. 当x e ( b * , o o ) 时， a v (x ) 一 ; a 2v (x ) 一 。 ( x ) 二。 v ( b * ) +- f ( b * ) ( x 一b * ) 一o f ( b * ) , 由( 2 .4 ) 式有a v ( b * ) 一告 a v ( b * ) u ( b * ) =0 ， 故a v ( b * ) 一o f ( b * ) = 一p v ( b * ) =0， 且 v ( b * ) =f ( b 0 .所以。 v ( x ) 一 o f ( b * ) ( x 一b * ) ，由f ( x ) 0 可知f ( b * ) 0 .于是， 告 a 2 v ( x ) 一 p v ( x ) = ( 2 . 5 ) 式成立. 一类奇异型随机控制模型的推广 以下证明( 2 . 6 ) 式 因为x b 时，v ( x ) = 0 , 所以只需证v ( x ) 0 t 。 ，b t皆 连续) 0 才 =m a x 0 , 0 一 a x e - x 一 w + a u , e t=m a x 0 , m a x0 e f 0 0 e - a f ( 二 : ) d o t 一9 ( x t ) d 77 t . 证明 :因为 v ( x ) 二阶连续可导， 则对一切 t0和 x 0，以及 x t =x +川+二 哄 +t lt 一氛， 应用 d o l 6 a n s - m a d e - m e y e r 公式得， 上去 d 、少 奋 x 厂. 刃 月 - 、l 止l x j才.、 .夕 刃 2 j ，土lq 一 、 俨 x 了万.1 即 a j乙 住 - v (x ， - e - ,t v (x t ) 一 fttl/ e0 f t一_ 。 ， ， 、 ， 。产 _ 。 ， ， ，、 ，f t_ _ ， ， 、 ， _ 1 0 u u “ l x t ) u v v 一 j o “ - - v l x a j a rlt + j 0 e 一 v l x a ) a t 艺 e - a t w( x t ) 一 v ( x t - ) x t .( 2 . 7 ) ot 4“ 一 “ tv (x t) d t- 1 0 “ 一 “ t.v (x t)d t7t - j o re - q v (x t) d r t0 ( 2 . 8 ) 因为 v ( x ) 一 。 - t v ( x t )=v ( x ) 一 e - a t v ( 0 ) + 二 ( b ) x t ( 0 0，所以v ( x ) 一 e - a t v ( x t ) j 0 “ 一 “ tv (x t) d 。 一 j 0 e a tv (x t) d t1: 一 1 0 o e - tv (x t) d w , ( 2 . 9 ) 因为v ( x ) 0 , x e 0 , 0 0 ) ， 所以v ( x ) 在0 , 0 o ) 上是单调非增函数， 又当 x e b , 、) 时， v ( x ) =f ( b ) ， 故x e (0 , o c ) 时，f ( b ) e 1 . “ 一 “ y (x t)d 一 e j 0 e 一 “ v (x t) d ft 一类奇异型随机控制模型的推广 一 ， 一一一叫 一-一一-一 一一一一一 叫 -一一. 一. -一-.一， . 响.一一 尹 t尸 t e f 。 一 。 t 9 ( x t ) d 7 7 t e - 9 ( x t ) d 7 1 m 厂拓 。 一 。 f ( b * ) d 一 e e - f ( x t ) d 一e f, f ( x )0，9 ( x )0， 应用单调收敛定理， 令 t e 犷e - f ( x e ) d 当 二 。 ( b * , c c ) 时 ， v= s , 。 一8 + 为 一 最 优 控 制 ， 这 里6 + 二 盯: 。 。 8 b+ = 9 r ( b * ) ;8 - = f i a : ， 全 。 可= 8 j ( b * ) + ( 二 一 b * ) i t o ) 。 证明 应用 当x e 0 , b * 时， 对对=x 十 川十 。 城 +嘴一 s t 和一切t。 ， d o l e a n s - ma d e - m e y e r 公式，得 二 卜 一(、 卜rtjjj 0 c一 !a v (二 :卜 i a 2v + (x *)t 一 芜 t v e -a tv r(x ;)d ta二 一 d ta 一x t )d n t + 尤 tf e av ( x t ) d t 。 一 。 t.v ( x * ) d tt 又 e - a t a v 0 t t 上式中 可 x ,* ) 二v ( x i ) ( x i ) 一。 ( x , - ) 2 t . 一 。 ( : 扛 ) ，l x , 二x t 一 x t* _ .由 于x t 连续， 故 上 式中 最后一项为0 。 由0 叮 e 岸e - c l f ( 二 ， ) d 一 9 ( 二 。 ) d ? 7 , ) . 与定理1 相比 ， 定理1 中去掉了 条件f ( x ) 0 ，x ( t ) 为状态过程，x 0 为状态初值， 则对于每一个化 ， 功e t i ， 考虑费 用 函 数几化n ) = e 犷 e - 0 c f ( x ( t ) ) d ( t ) 一 s ( x ( t ) ) d ,7 ( t ) 1 。 对于奇 异型随机 一类奇异型随机控制模型的推广 最优控制问题， 最优费用函数一般均为二阶连续可导 假设最优控制存 在， 则存在二阶连续可导函数。 ( x ) ， 满足对每一个x 。 存在一个最 优控制( x , 7 1x ) 使得v ( x ) 二j x ( g , 7 7 . ) 对于给定的二 及: 0 , 定义控制( m, 77 ( 0 ) ; g 哎 子l r.尹、.l -一 ( ( * ? , ( t ) ) ( g ( 二 ) ( t 一 : ) t la ( e ) ( t 一 : ) ) ， t 七: ， 式中x ( e ) 表示在时刻: 的状态值， 从控制 ( f t) , t7 ( t ) ) 的定义可看出， 在时间0 , 约内w ( t ) , q , ( t ) ) 没有作用， 在s o o ) 内 按以x ( e ) 为初值的 最优控制作用. 易 证( t) , n ( t ) ) 召. 故由v ( x ) 最优及( 2 . 2 ) 式有 v ( x ) j = w, q ) e x f0 。 一 f (x (t)d 6 (t， 一 。 (x (t)d le(t) e z fe一tf (x (t)d (t) 一 。 (x (t)d 7l(t) e y e f 一 (f (x (t)d 6 #(t) 一 。 (x (t)d n (t)二 e x.:一e f -0 。 一 - )f (x ( 一 :)d ) 1) e - q ee x e f 000 。 一 ;， (二 (t) )d =(e) (t) 一 。 (x (t)d tls(_=) (t)!二 “ 一 。 e s v ( 二 ( : ) ) ( ) + e x f0 一 q 2v n (x (t) + a v(x (t) 一(x (t)d t. ( 2 . 1 1 ) 一 类奇异型随机控制模型的推广 ( 2 . 1 1 ) 式中最后一个等式可应用i t o 公式得到 由( 2 . 1 1 ) 式有 1 0, , v (x ) + 。 一 (x ) 一(x ) : 0 固定x 。 不变 考虑控制( e , v ， 其中s e = s x - e ( o + e , f e = 77 . - 6 ( t ) , ( 于 ， 澎 ) 的作用使状态x ( 约在。 时刻由x 跳到二 一 : ， 然后按照以x 一 : 为初值的最优控制作用.易证 ( f - , c 任b.由试 x ) 最优有 v ( x ) mv , f =人- e ( s x - e , 2 - e ) +f ( x 一 : ) : 二 : ( 二 一动十f ( x 一 e ) e . 令e - - r 0 ， 可得v , ( x ) - f ( x ) ，由 于f ( x ) f ( b ) 即可. 另 一 方面， 考 虑 控 制( e , ci e ) ， 其中宁= s x + e ( t ) ， t二 71 x + e ( t ) + e , ( 乎 f /e ) 的 作 用 使x ( t ) 在。 时 刻由x 跳 到x + e ， 然 后 按 照 以x + : 为 初 值的 最优 控制作 用， 易 证( 拿 , ? e ) 任 召 . 由。 (x ) 最优 有 v ( x ) 令: 份。 ， 可得 j . w, i e ) 二j x + e ( s x + e , l2 + e ) 一 g ( x + : ) : 二 。 ( x +: ) 一g ( x + e ) e . 二 ， ( x ) 三g ( x ) ，由于g ( x ) 全在变分方程中只需 v ( x ) p 0 . 用、0 表示单位时间内 每一产品所需劳动力工资， 则二 k 为单位时间付给工人的工资. 除了劳动力工资外， 公司还需支付原材料 费用和存储过程中的保存费用，用 二表示单位产品的原材料费用，则 二应该小于7, 以p 表示单位产品的保存费用. 为了满足市场需求并且 使公司获得最大效益， 公司的目的是选取一产品存储量 库存量) 的上 限b 0 ， 使产品存量一直保持在 0 , b 之间. 当产品存量超过b 时， 此 时市场出现供过于求的局面， 存量大于需求， 公司需采取一定措施 ( 如 一类奇异型随机控制模型的推广 减少工作时间) 使产品库存量不大于b ;当产品存量小于0 时，这时市 场上供不应求， 需求量大于存量， 公司应立刻施行相应办法 ( 如从其它 地方调拨等) ，使库存量大于或等于0 . 根据以上假设，