（计算数学专业论文）procrustes问题的迭代解法和两个矩阵扰动问题.pdf

摘要 捅要 本文主要研究了以下几个问题： 1 矩阵方程a x b + c x ? d = e 最小二乘解的迭代解法 提出了两个求解矩阵方程a x b + c x t d = e 的迭代算法，第一个算法针对方 程相容的情况，此时，对任意( 特殊) 的初始值五，在没有舍入误差的前提下，我们的 算法可以在有限步之内得到方程的( 极t b f r o b e n i u s 范数) 解第二个算法是针对方程 不相容的情况，此时，对于零初值，我们的算法可以计算方程极小范数最小二乘解 2 基方法和矩阵方程的约束最小二乘解 我们将一些转化约束问题为非约束问题的技巧统称为基方法，提出了两种具体 的技巧并分别用到两个问题上第一个是子矩阵约束下a x b = e 的最d , - - 乘对称 解问题，第二个是a x b = e 的中心对称最小二乘解问题我们给出了一个从独立 元素空间到约束解集的线性映射，研究了该映射的性质，并利用这些性质提出一个 迭代方法，该方法基于解决无约束最小二乘问题的l s q r 算法，可以计算极小范数解 或准极小范数解 3 四元数矩阵方程的最小二乘问题 当矩阵e 不准确时，四元数最小二乘( q l s ) i b - j 题是解决线性四元数矩阵方 程似口= e 的一种方法通过详细分析四元数矩阵的实表示的性质，我们研究了 四元数矩阵的一些性质和一般四元数矩阵方程的解等而且我们引入了一种四元数 矩阵范数的概念，该概念是文 6 8 ，6 7 中相关概念的推广，并引伸出一个求解四元数 最小二乘问题极小范数解的迭代方法 4 非线性方程x 。+ x q a = i 的一些结果 我们分析了正定解的性质，详细推导了有解的充分条件和必要条件进一步，我 们重点研究了一些特殊解( 最大解，最小解，准最小解) 的存在性，给出了这些解存在 的充分条件和计算方法 5 等式约束不定最, b - - 乘问题的代数性质和扰动结果 建立了等式约束不定最d x - - 乘问题( r o s e ) 的几种无约束的等价系统，导出 了i l s e 问题的扰动结果，并用数值试验进行了说明 6 半正定矩阵广义s c h u r 誊b 的扰动分析 令p = ( 三竺) 0 s = c b 日b 是a 0 的r y s c h u r 补我们 提出了s 的一些扰动界，推广了s t e w a r t g ws t e w a r t ，o nt h ep e r t u r b a t i o no fs c h u r c o m p l e m e n ti np o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x 。t e c h n i c a lr e p o r t ，t r 一9 5 3 8 ，u n i v e r s i t yo f 摘要 m a r y l a n d ，1 9 9 5 的相关结论，丰富t s c h u r ) l 的扰动理论而且，我们也研究了一种降 秩最佳逼近的误差估计问题 7 ( a b ) ( 1 3 ) 的混合逆序律 田永革教授提, h a , - j ( a b ) t 的一些混合逆序律问题并作了深入研究我们借助矩 阵a 和bi 拘p s v d 研究了( a b ) ( 1 3 ) 的混合逆序律，得到了一些好的结果 关键词：最小二乘解，迭代算法，子矩阵约束，四元数最小二乘问题，l s q r ，最大解， 最小解，等式约束不定最小二乘问题，广义s c h u r ) l , ，混合逆序律 一一 、 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ： 1 i t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r t h el e a s ts q u a r e ss o l u t i o n so fm a t r i xe q u a t i o na x b + c x 丁d = e w 色p r o p o s e 帆i t e m t i v ea l g o r i t h m st os o l v et h em a t r i xe q u a t i o na x b + c x l 。d = e t h ef i r s ta l g c l f i t h mi sa p p l i e dw h e nt h em a r xe q u a t i o ni sc o n s i s t e n t i nt h i s c a s e ， f o ra n y ( s p e c i a l ) i n i t i a lm a t r i x 五，as o l u t i o n ( t h em i n i m a lf r o b e n i u sn o h ns o l u t i o n ) c a n b eo b t a i n e dw i t h i nf i n i t ei t e r a t i o ns t e p si nt h ea b s e n c eo fr o u n d o f fe l l o r s t h es e c o n d a l g o r i t h mi sa p p l i e dw h e nt h em a t r i xe q u a t i o ni si n c o n s i s t e n t i nt h i sc a s e ，f o r t h ei n i t i a l m a t 血x 1 ：0 ，al e a s ts q u a r e ss o l u t i o nw i t ht h em i n i m a lf r o b e n i u s n o r mc a nb eo b t a i n e d 2 t h eb a s em e t h o da n dt h ec o n s t r a i n tl e a s ts q u a r e ss o l u t i o n so fm a t r i xe q u a t i o n s w ec a l ls o m et e c h n i q u e so ft r a n s f o r m i n gt h ec o n s t r a i n tp r o b l e mi n t ot h eu n c o n 。 s t r a i n t e dp r o b l e ma st h eb a s em e t h o d w ep r o p o s et w ot e c h n i q u e sa n da p p l y t h e mt ot w o p r o b l e m s ：t h el e a s t s q u a r e ss y m m e t r i cs o l u t i o n so fa x b = e w i t has u b m a t r i xc o n _ s t r a i n ta n dt h el e a s t s q u a r e sc e n t r o s y m m e t r i cs o l u t i o n so fa x b = e w e c h a r a c t e r i z e t h el i n e a rm a p p i n g sf r o mt h e i ri n d e p e n d e n te l e m e n ts p a c e st ot h ec o n s t r a i n e ds o l u t i o n s e t s ，s t u d yt h e i rp r o p e r i t i e sa n d u s et h e s ep r o p e r t i e st op r o p o s ea m a t r i xi t e r a t i v em e t h o d t h a tc a nf i n dt h em i n i m u mo rq u a s i m i n i m u mn o r ms o l u t i o nb a s e do i lt h ec l a s s i c a la l g o r i t h ml s q rf o rs o l v i n gt h e ( u n c o n s t r a i n e d ) l sp r o b l e m 3 q u a t e r n i o n i cl e a s ts q u a r e s ( q l s ) p r o b l e m q u a t e m i o n i cl e a s ts q u a r e s ( q l s ) p r o b l e m i so n em e t h o do fs o l v i n go v e r d e t e r m i n e d s e t so fq u a t e m i o nl i n e a re q u a t i o n sa x b = e t h a ti sa p p r o p r i a t ew h e nt h e r el se n 0 r i nt h em a t r i xe b ym e a n so fr e a lr e p r e s e n t a t i o no faq u a t e m i o nm a t r i x ，w ei n t r o d u c e ac o n c e p to fn o r i l lo fq u a t e m i o nm a t r i c e s ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h a ti n 6 8 ，6 7 ，a n d d e r i v ea ni t e r a t i v em e t h o df o rf i n d i n gt h em i n i m u m n o h i is o l u t i o no ft h eq l sp r o b l e m i n q u a t e m i o n i cq u a n t u mt h e o r y 4 s o m er e s u l t so nn o n l i n e a re q u a t i o nx 。+ a x 一9 a = j w ea n a l y z et h ep r o p e r t i e so nt h ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o na n dd e d u c es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f u r t h e r , w cs t u d yt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sa n d a l g o r i t h m so fs o m es p e c i a ls o l u t i o n ，i e ，t h em a x i m a ls o l u t i o n ，t h em i n i m a l s o l u t i o na n d t h eq u a s i m a x i m a ls o l u t i o n 一m 一 a b s t r a c t 5 a l g e b r a i cp r o p e r t i e sa n dp e r t u r b a t i o nr e s u l t sf o rt h ei n d e f i n i t el e a s ts q u a r e s p r o b l e mw i t he q u a l i t yc o n s t r a i n t s s e v e r a le q u i v a l e n ts y s t e m sw i t h o u tc o n s t r a i n t so ft h ei n d e f i n i t el e a s ts q u a r e sp r o b l e m w i t he q u a l i t yc o n s t r a i n t s ( m s e ) a l ee s t a b l i s h e d w ea l s od e r i v et h ep e r t u r b a t i o nr e s u l t s f o rt h ei l s ep r o b l e ma n di l l u s t r a t eo u rr e s u l t sw i t hn u m e r i c a lt e s t s 6 p e r t u r b a t i o na n a l y s i sf o rt h eg e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n to fap o s i t i v e s e m i - d e f i n i t em a t r i x m 肚( 三善) 0 a n ds 划_ b n a i bkt h eg e n e r a l i z e ds c h 一咖 p l e m e n t o fa 0i np s o m ep e r t u r b a t i o nb o u n d so fsa r ep r e s e n t e dw h i c hg e n e r a l i z e s t h er e s u l to fs t e w a r t g w ：s t e w a r t 。o nt h ep e r t u r b a d o no fs c h u rc o m p l e m e n ti np o s i t i v e s e m i d e f i n i t em a t r i x ，t e c h n i c a lr e p o r t ，t r 一9 5 3 8 ，u n i v e r s i t yo fm a r y l a n d ，1 9 9 5 ，a n de n - r i c hp e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rt h es c h u rc o m p l e m e n t a l s oe r r o re s t i m a t ef o rt h es m a l l e s t p e r t u r b a t i o no fc ，w h i c hl o w e r st h er a n ko fp ，i sd i s c u s s e d 7 t h em i x e d t y p er e v e r s e - o r d e rl a wo f ( a b ) ( 1 3 ) s o m em i x e d - t y p er e v e r s e o r d e rl a w so ff a b ) th a v eb e e np r o p o s e da n ds t u d i e db yy t i a n b ya p p l y i n gt h ep s v do ft h em a t r i c e sa a n db ，w es t u d ym i x e d t y p er e v e r s e o r d e r l a w so ff a b ) 0 3 ) a n do b t a i ns o m eg o o dr e s u l t s k e yw o r d s ：p r o c r u s t e sp r o b l e m ，i t e r a t i v ea l g o r i t h m ，s u b m a t r i xc o n s t r a i n t ，q u a t e r - n i o n i cl e a s ts q u a r e s ( q l s ) p r o b l e m ，l s q r ，m a x i m a ls o l u t i o n ，m i n i m a ls o l u t i o n ，i n d e f i n i t el e a s ts q u a r e sp r o b l e mw i t he q u a l i t yc o n s t r a i n t s ，g e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n t ， m i x e d t y p er e v e r s e - - o r d e rl a w 一一 主要符号对照表 主要符号对照表 r 仇煳( c m 黼)m n 实( 复) 矩阵集合 s p n 期 礼阶实对称矩阵集合 c s 黼扎阶实中心对称矩阵集合 b s 黼 n 阶实双对称矩阵集合 矩阵a 的转置 a h 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的m p 逆 t r a c e ( a ) 方阵a 的迹 r ( a ) 矩阵a 的值域 n ( a ) 矩阵a 的零空间 r ( a ) 或r a n k ( a ) 矩阵a 的秩 a o b 矩阵a 和b 的k r o n i c h e r 积 ( a ，b )矩阵a 和b 的内积，o p ( a ，b ) = t r a c e ( b t a ) 0 a 怯矩阵a 的f r o b n i u s 范数，简记为i i a 0 d i m ( t ) 矩阵子空间t 的维数 s p a n a ，b ，c ，) 由元素a ，b ，c ，张成的空间 s i z e ( a ) 方阵a 的阶数 e 的第i 列 q 似“m xn 四元数矩阵集合 u q n x n mxn 四元数酉矩阵集合 h q 似n 礼自共轭四元数矩阵集合 q 嚣姗4 m 4 n 实表示矩阵集合 a ( i ：j ，k ：f ) 由a 的第i 到j 行和第k 到z 列交叉处元素组成的子矩阵 a ( i ：j ) 由向量a 的第i 到歹个元素组成的向量 最，( i ，j ) 元素为l ，其它为。的矩阵 一v n 学位论文独创- i 生声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：多鱼2 j l 兰亚导师签名：趔 日期： 川f 日期：18 笪! ： 第一章前言 第一章前言 1 1 研究背景 实数域上线性矩阵方程的较简单的形式为 如五岛+ 霹= e ， ( 1 1 ) 1 t k1 i 七 i s j s ，l o ) l s j s ，2 ( t ) 若只求它在实矩阵类r m m 中的解，则称此问题为非约束条件下线性矩阵方程问题， 若限定解在r m 黼的一个子类s 中，则称此问题为约束线性矩阵方程问题，若这种约 束是线性的，则称为线性约束线性矩阵方程问题，比如限定s 为对称矩阵集合、双 对称矩阵集合等当这些问题的相容性条件不满足时，我们考虑求约束矩阵方程的 最小二乘解，我们以最简单的方程 为例，即求贾s 使得 a x b = e ( 1 2 ) i a x b e l l 胪r a i n i i a x b e l l f ( 1 3 ) 约束矩阵方程的最小二乘问题也称为p r o c r u s t e s f 司题【5 8 】简单的p r o c r u s t e s i h - 题的提 法是：求贾s r ? n 使得 贾- - l l i e2 m贮in。iix-sllx6s f r ? ” 该问题在统计学和数量经济学上有重要意义【4 4 】：由于对称正定矩阵的稳定性，要 找到一个对称正定矩阵支，逼近一个标准协方差矩阵b ，而标准协方差矩阵可以从 实验过程和社会调查中得到 与约束矩阵方程的最小二乘问题相联系的是矩阵的最佳逼近问题其一般的提 法是：给定矩阵又，在集合s 中找元素元使得 贾一刘f = m i n i i x 一2 1 1 f ， 第一章前言 此时称支为x 在s 中的最佳逼近矩阵 1 9 9 8 年，a l l w d g h t 1 6 在研究非线性规划问题的算法时推出了具有非正定约束 不相容矩阵方程的求解问题，同一问题也可以用于对一个弹性结构系统的导出矩阵 进行估计，其矩阵的产生可由实验测得的位移而推导出某些稳定的负载矩阵【l 1 0 1 在对电学、光学、自动控制等线性系统进行复原时，在对结构振动系统进行校正， 有限元模型进行修正时，也会碰到谱约束下的矩阵最佳逼近问题在航空工业中，逆 特征值方法已成为飞行器设计的有力工具( 见【1 1 3 】) 正是因为结构动力学、固体力 学、计算物理、地质学、分子光谱学、电学、结构设计、参数识别、自动控制、 非线性规划与动态分析、神经网络等领域提出的许多不同类型的问题，导致了约束 方程问题的迅速发展，使得约束方程问题成为当今计算数学领域热门的研究课题之 一，同时，这也表明这类问题的研究，无论从理论还是应用的角度都具有十分广阔的 前景 对于方程a x b + o x t d = e ，它的一些特殊形式在系统理论和控制理论中有 重要作用 4 8 ，1 1 5 ，如特征结构设计【4 5 】，观察器设计( o b s e r v e rd e s i g n ) 3 6 ，带有约束 输入系统的控制【4 1 】，故障检验( f a u l td e t e c t i o n ) 4 6 对于主子矩阵约束下的矩阵方程问题，它最早来源于子系统的扩张问题【3 8 】， 具有一定的实际意义和重要性其中顺序主子矩阵约束下的矩阵方程问题具体表述 如下：给定a r m 黼，b r n 则，0 r 仇，x o r 七姗，求满足 i a x b g | f = m i n ，x s ( 1 4 ) 的解，其中s = x l x 煳，x 1 ：纠= x o ) 这类问题来自结构动力学中的有 限元模型更新【4 7 】用有限元技巧，结构的动力学分析转化为一个广义特征值问 题玩z = , x m q z ，其中的玩，分别表示刚性矩阵和质量矩阵由于结构的复杂性， 有限元模型仅仅是一个特别结构的近似另一方面，一部分自然参数( 特征值) 和相 应的模型形状( 特征向量) 可以通过振动测试获得然而，通过分析估计的结构动力 行为很少和测得的结果一致工程技术人员希望改进刚性矩阵和质量矩阵以便更新 的模型更接近结构的动力行为，从而，这个更新的模型可以作为结构的更好的动力 学表示令x r n m ( m n ) 表示测量的模型形状矩阵，对角矩阵a r m m 表示 测得的参数，假设这两个测得的数据是正确的有限元模型中最一般的方法是首先 更新质量矩阵或刚性矩阵使其满足基本的正交性条件 x t m x = i ，x t k x = 人， 一2 一 第一章前言 其中m ，k 分别是将被更新的质量矩阵和刚性矩阵一些方法已经研究了这个问题， 见 4 7 1 及其参考文献，这些方法都是从整体上调整质量矩阵和刚性矩阵然而，由模 型误差引起的结构元性质变化的部分表示在工程应用中更有应用价值模型误差可 以通过敏度分析和最小二乘方法等进行局部化，基于此，用测得的数据调整亿，尥 的部分元素是实际需要的，这个问题在数学上等价于上面提到的问题 近年来，四元数矩阵与四元数矩阵方程在量子力学中的应用日趋重要和广 泛【1 3 】随着四元数力学的不断发展，对四元数矩阵方程的进一步认识和研究就显 得越来越重要由于四元数乘法的非交换性，给这方面的研究和应用带来了较大的 困难 对于非线性方程x 。+ x a a = i ，它在最优控制理论，梯形网络，动态规划， 随机过滤等领域有广泛的应用，见文献 8 3 ，6 3 及其参考文献 不定最小二乘问题定义如下 i l s ： m i n ( b 一止) ? j ( b 一血) ， z 这里a r 口) x n i b r j 件g ， l ，：r 一o 、 0 易 该问题来源于整体最小二乘问题和和鲁棒估计方法，详细的背景论述参见【2 9 】就 像最小二乘问题自然扩展到约束最小二乘问题一样，该问题的自然延伸就是等式约 束不定最小二乘问题( i l s e ) 2 3 s c h u r 补是矩阵分析中一个有用的工具，已有大量的文献研究了s c h u r ) i 、，见 8 7 ， 9 1 ，2 0 ，2 7 ，3 4 ，1 9 ，2 6 ，9 7 ，8 2 ，l1 8 及其参考文献 关于广义逆的逆序率问题有重要的理论意义，早已被广泛研究，具体参考文 献 5 3 ，4 9 ，6 6 ，9 4 ，9 3 ，8 5 ，8 6 ，1 0 9 ，1 0 5 ，1 0 7 ，1 0 8 】及其参考文献 1 2 研究现状 1 9 8 7 年。孙【3 】考虑了一般矩阵类上方程a x = b 的等式解和最小二乘解及矩 阵的最佳逼近问题；1 9 8 8 年，a l l w r i g h t 1 6 用凸分析的方法在对称半正定矩阵类上 给出了a x = b 的最小二乘解存在的条件，但要给出其解的表达式是比较困难 的；1 9 9 8 年，胡【4 】在双对称矩阵类上讨论了相关问题；相关的文献太多，在此不再一 一3 一 第一章前言 一列举，具体可见文 1 8 ，4 0 ，5 7 ，5 8 ，9 6 ，7 7 和它们相关参考文献综合分析可以发 现，解决矩阵方程最小二乘问题最常用的方法是矩阵分解法和广义逆方法，但是 这两类方法有其固有的缺点，比如算法复杂，在解决大规模系统时有很大困难等 为了克服这些困难，近年来，迭代法被广泛应用于约束矩阵方程的最d x - - 乘问题， 2 0 0 5 年，彭【7 7 】用迭代方法研究了方程a x b = 口的最小二乘对称解，他的方法来源 于解方程a x = b 的极小残量法或最速下降法2 0 0 6 年，邱 8 1 1 借助l s q r 方法研究 了日y 以t - - z _ f 的一些线性约束最d 、- - 乘解 对于方程a x b + c x t d = e ，矩阵分解的方法只能研究它的一些特殊情况， 例如，对于在控制理论中有重要作用【4 8 ，1 1 5 的方程 a ：r x b + b r x t a = d ， 文1 3 2 ，6 ，5 ，8 ，6 9 分别用g s v d ，c c d 和s v d 进行了研究，得到了极小范数最小二 程解的表达式，其中，2 0 0 7 年，廖【6 9 】用g s v d ，c c d 和投影定理得到了一个有效方 法除此之外，1 9 9 8 年，b r a d e n 2 5 用矩阵分解的方法研究了更简单的情形俨x4 - x t a = b ，2 0 0 6 年，袁【1 2 】利用g s v d 研究了更复杂的情形 a x a t + a z b t + b z t a t = d 2 0 0 7 年，朴等【8 0 】通过广义逆研究了特殊情形a x + x t c = b 对于主子矩阵约束下的矩阵方程问题，2 0 0 4 年，彭 7 8 1 用矩阵分解方法分别研 究了主子矩阵约束下矩阵方程a x = b 的实对称解及双对称解，没有研究最小二 乘解2 0 0 6 年，龚【5 2 】用矩阵分解研究了a t x a = b 在主子矩阵约束下的反对称解 2 0 0 7 年，文l j 7 0 用g s v d 和s v d 研究了问题( 1 4 ) 中a = b t 的特殊情况至于迭代方 法的运用，至今没见有文献提及由于上述作者都是采用矩阵分解的方法，因此对方 程的形式是有严格限制的，本文我们将寻求去掉这个限制的方法 对于四元数体上线性矩阵方程的最小二乘解，研究比较少，在文献【6 2 】中，作者 借助四元数的复表示方法，研究了四元数矩阵方程a x b 一似d = e 解的问题 姜【1 提出了四元数矩阵的实表示并用于解矩阵方程实表示是研究四元数矩阵方 程和最小二乘问题的一种重要手段，但是对于实表示的研究并不深入，许多问题都 尚待进一步讨论 对于x s + 岔x 一宝a = i 的研究由来已久。s = g = 1 的情况已经研究得非常 全面，如a n d e r s o n 1 7 ，r a n 和e n g w e r d a 4 2 。4 3 ，g u o 和l a n c a s t e r 5 5 ，徐【l1 2 ，詹【l1 7 ， 一4 一 第一章前言 1 1 6 和5 t i l 7 1 ，提出了解的存在条件，证明了最大解和最小解的存在性，给出计算 解的迭代方法，研究了解的性质h a s s a n o v 和l v a n o v 5 6 ，i v a n o v 6 4 1 等研究了8 = 1 ，q = n 的情况，讨论了解的性质和扰动结果i v a n o v 6 3 ，6 5 ，张【1 1 9 1 和王1 9 8 1 等研 究了3 = 1 ，q = 2 的情况，得到了有解的一些条件，提出了求解的方法，并针对类最大 解进行了扰动分析刘【7 2 】和杨【1 1 4 针对8 和t 为自然数的情况研究了解的性质，有 解的条件，最大解的扰动分析和求解的迭代方法但是这里的最大解不是真正意义 上的最大解，前者并没有指出最大解的存在性，而后者对最大解的存在性的证明是 错误的而且两篇文章中对解的存在性条件的讨论不够详细本章将从另一个角度 出发，研究有解的条件，解的性质 1 9 9 8 年，c h a n d r a s e k a r a n ，g u 和s a y e d 2 9 首先研究了不定最小二乘问题，2 0 0 3 年， b o j a n c z y k ，h i g h a m 和p a t e l 2 4 进行了进一步的研究，并推广了不定最小二乘问题， 加上等式约束b x = d ，即等式约束最小二乘问题【2 3 】，其中假设矩阵b 是行满秩的 【2 3 中也提出了几个计算i l s e 的方法，如g q r c h o l e s k y 方法和g h q r 方法 对于s c h u r ) f ，文【6 0 】研究了s c h u r 卒h 的扰动分析当p 是半正定矩阵时， s t e w a r t 8 9 】建立了一个比较好的上界，但是对于广义s c h u r 牢b ，目前未见有类似 结论 对广义逆的逆序率问题，g r e v i l l e 5 3 】证明了( a b ) t = b t a t 当且仅 当r ( a h a b ) r ( b ) 而i ! t l r t ( b b h a 日) r ( a h ) 除t ( a b ) t = b t a t ，最有名 的关于两个矩阵乘积a b 的混合逆序率是 ( a b ) t = ( a t a b ) t a t ，( a b ) t = b t ( a b b t ) t ，( a b ) t = b t ( a t a b b t ) t a t ， 关于它们的研究见文献 4 9 ，6 6 ，9 4 ，9 3 等 对于上面的混合逆序率，一种很自然的想法就是替换m p 逆成其它类型的 广义逆s h i n o z a k i 和s i b u y a 8 5 ，8 6 】研究t ( a b ) i ，2 ) 的逆序率w e r n e r 1 0 9 】给 出t b 1 a 1 ( a b ) 1 ) 的条件w e i 1 0 5 ，1 0 7 ，w 苟和g u o 1 0 8 】研究了 1 ) 一逆， 1 ，3 ) - 逆和 l ，4 ) 逆的逆序率 因为部分广义逆是不唯一的，通过田永革教授关于秩等式的思想研究这些问题 有困难，特别是混合逆序率问题 1 3 本文的主要工作 在第二章里，我们第一次研究了矩阵方程a x b + c x t d = e ，提出了求极小 范数解和极小范数最小二乘解的两种迭代方法 一5 一 第一章前言 在第三章里，我们提出了基方法的思想，指出了它的两种应用形式，并把第一种 形式用到任意子矩阵约束下矩阵方程a x b = c 的最小二乘对称解问题，给出了解 的表达式把第二种形式应用到该问题和a x b = c 的中心对称最小二乘解问题，提 出了相应的迭代方法 在第四章里，我们详细研究了四元数矩阵的实表示方法，并借助它研究一般四 元数矩阵方程解的问题，给出一种求解一般四元数矩阵方程解的方法技巧；接着我 们研究了四元数矩阵方程正定( 半正定) 解的计算方法；重新定义了四元数矩阵的范 数并研究了最小二乘问题，提出一种迭代方法 在第五章里，我们研究了非线性方程x 。+ 小x q a = i ，这里a c 似n ，s 和q 为正实数详细研究了有解的条件和解的性质，给出了最大解或最小解存在的充要 条件及求解的迭代算法 在第六章里，我们推广【2 3 】中的i l s e 问题，研究了最小二乘约束下该问题的代 数性质，给出了几个等价的无约束系统，并进行了扰动分析，得到了一个扰动界 在第七章里，我们将研究广义s c h u r 补的扰动理论，推导s = c b 日甜b 的扰 动界，提高和推广了前人的结果同时，我们也研究降秩最佳逼近的误差估计 在第八章里，我们通过运用w e i 和g u o 1 0 8 的一些结果，去研究 1 ，3 ) 逆的混合 逆序率，即 【( a b ) ( 1 3 ) ) 三 ( a ( 1 3 ) a b ) ( 1 3 ) a ( 1 3 ) ， ( a b ) ( 1 3 ) 三( b ( 1 3 ( a b b ( 1 3 ) ) ( 1 3 ) ， 得到了一些充分和必要条件 一6 一 第一二章矩阵方程a x b + c x 丁d = e 第二章矩阵方程a x b + c x t d = e 形如a x b = c ，a x b + c x d = e ，a x j e 7 + 凹d = e ，a x + x b = c 和x + 履b = c 的矩阵方程有重要的现实背景，已得到广泛的研究，具体参 见 3 0 ，3 2 1 等及其参考文献 对矩阵方程a x b = c ，利用它等价于一个单输入单输出的系统( b toa ) y = v e c ( c ) 的事实和共轭梯度法1 3 0 ，文 7 7 ，7 9 的作者提出了一个迭代方法受此启发， 本节我们也将利用共轭梯度法解决线性矩阵方程 a x b + c x t d = e ( 2 1 ) 其中a 胪则，b p t , n 口，c r m 跏，d 刚口，e r m p 给定，x r t n 为待求 矩阵 当( 2 1 ) 不相容时，我们考虑如下最小二乘问题： 1 璎ni i a x b + g x t d e f i ( 2 2 ) 上面问题很难用矩阵分解的工具研究，矩阵分解的方法只能研究它的一些特殊 情况，例如，对于在控制理论中有重要作用1 4 8 ，l1 5 1 的方程 a t x b + b t x t a = d ， 文 3 2 ，6 ，5 ，8 】分别用g s v d ，c c d 和s v d 进行了研究，得到了极小范数最小二乘解的 表达式文1 2 5 矩阵分解的方法研究了更简单的情形俨x 士x t a = b 。而文 1 2 n 利用g s v d 研究了更复杂的情形 a x a t + a z b t + b z r a t = d 本节将提出求方程( 2 1 ) 的极小范数解和最小二乘极小范数解的迭代方法 对于任意的矩阵a ，b 舯，如果( a ，b ) = t r a c e ( b 丁a ) = 0 ，那么我 们称a 和b e 交假设非零矩阵a 1 ，如，a k 。，而且对任意的i j ， 苇f t r a c e ( a t a i ) = ( a ，a j ) = 0 ，那么易证a 1 ，a 2 ，凡是线性无关的 一7 一 第二章矩阵方程a x b + u x t d